Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
|
УТВЕРЖДАЮ Декан ЭФФ ____________ Евтушенко Г.С. «_____» ____________ 2010 г. |
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ПАКЕТЕ ПРОГРАММ MATLAB
Методические указания
по выполнению лабораторной работы №4
по курсу “Цифровая обработка сигналов”
ТОМСК 2010
Лабораторная работа №4
Спектральный анализ в пакете программ MATLAB
2.1.1. Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ), иллюстрируемое рис. 1, соответствует выборкам непрерывного преобразования Фурье (или спектра) дискретной последовательности x(n) конечной длины N1, вычисленным на дискретных равностоящих частотах ωk= k∆ω:
|
(1) |
где ∆ω=ωд/N – шаг дискретизации по частоте; N – число вычисляемых частотных выборок ДПФ в полосе частот {0 − ωд}, в общем случае не равное N1; k = 0, 1... N–1 – номер частотной выборки.
Рис. 1. Дискретизация сигнала в частотной области
Выбор шага дискретизации по частоте определяется возможностью восстановления сигнала x(n) и его непрерывного спектра по ДПФ.
Восстановление сигнала по дискретизированному по частоте спектру осуществляется с помощью обратного ДПФ (ОДПФ):
|
(2) |
Сигнал xp(n) периодичен с периодом N: , i = 0, ±1, .. и связан с сигналом x(n) соотношением .
Преобразования ДПФ − ОДПФ (1), (2) представляют как в виде функции дискретной частоты ωk, так и номера частотной выборки k:
|
, k = 0, 1... N – 1. |
(3) |
|
, n = 0, 1... N – 1. |
(4) |
Вычисление ОДПФ и ДПФ требует N2 операций умножения и N(N−1) операций сложения комплексных чисел.
Оба преобразования используют единый вычислительный алгоритм, основанный на их достаточно простой взаимосвязи:
|
, |
(5) |
где * − операция комплексного сопряжения.
При N ≥ N1 xp(n) = x(n), n = 0, 1.. N – 1, т.е. сигнал xp(n) на интервале 0…N–1 точно совпадает с исходным сигналом x(n), дополненным (N – N1) нулевыми отсчетами и является периодическим его продолжением за пределами этого интервала (рис. 2). ОДПФ, вычисляемое на интервале 0…N–1, обеспечивает в данном случае точное восстановление сигнала x(n) по его ДПФ.
При N < N1 ( ∆ω = ωд/N > ωд /N1) имеет место перекрытие периодизированных с периодом N последовательностей x(n) (явление наложения во временной области), так что xp(n) ≠ x(n) при n = 0.. N1−1 (рис. 3). Это исключает возможность точного восстановления сигнала по его дискретизированному спектру.
Рис. 2. Сигнал, соответствующий ОДПФ при N ≥ N1
Рис. 3. Сигнал, соответствующий ОДПФ при N<N1
2.1.2. Анализатор спектра на основе ДПФ
В основе анализаторов спектра, использующих ДПФ, лежит базовая структура, приведенная на рис. 4. Она реализует базовые операции анализатора спектра – взвешивание и вычисление ДПФ. Ее выходом является вектор ДПФ входной в общем случае не ограниченной по длине последовательности x(n), усеченной весовой функцией w(n) конечной длины N:
|
, |
(6) |
k=0,1, …N–1.
Здесь – преобразуемая входная последовательность ДПФ; ωk=kωд/N или fk=kfд/N – частоты анализа, называемые также бинами ДПФ: 1 бин равен шагу дискретизации сигнала в частотной области fд/N. Анализатор имеет N разнесенных по частоте на 1 бин (fд/N) каналов анализа с центральными частотами ωk (fk), при этом значения k=0,1,…N–1 соответствуют номеру канала, номеру бина или номеру частотной выборки ДПФ . Весовая функция представляет окно, через которое наблюдается входной сигнал, длиной ее определяется время анализа Tа=NTд или время наблюдения сигнала.
Рис. 4. Структурная схема анализатора спектра на основе ДПФ
Умножению или взвешиванию во временной области соответствует свертка в частотной, поэтому вычисляемое ДПФ фактически является дискретизированной сверткой истинного спектра анализируемого сигнала X(jω) с частотной характеристикой (спектром) весовой функции W(jω):
, где * – символ свертки, т.е. содержит систематическую (методическую) погрешность анализа. Она является следствием ограничения сигнала по длительности, искажающего результаты спектрального анализа.
Назначение специальных весовых функций или окон – сглаживание или ослабление вызываемого временным усечением влияния или эффекта разрывов сигнала на краях.
2.1.3. Масштабирование результатов анализа спектра по ДПФ
Дальнейшая обработка выходных данных ДПФ осуществляется с учетом измеряемых или оцениваемых с помощью ДПФ спектральных характеристик, зависящих от вида анализируемых сигналов.
Для периодических сигналов xp(n) с периодом NTд оценивают амплитуды и фазы гармоник с частотой kfд/N или их средние за период мощности .
Для детерминированных сигналов конечной длительности x(n) (непериодических) оценивают:
При реализации конкретных алгоритмов спектрального анализа различных сигналов важное значение имеет правильное масштабирование результатов анализа и учета их размерности [5].
Если ДПФ определяется выражением , то масштабирование выполняется следующими ниже указанными способами.
Для вещественного периодического сигнала xp(n) с периодом NTд и частотами гармоник kfд/N, совпадающими с бинами ДПФ,
Для детерминированного сигнала конечной длительности NTд аналогичным образом находятся амплитуды, фазы и мощности k-й частотной выборки спектра сигнала, а спектральная плотность сигнала на частотах ωk определяется как TдX(jωk). Другие спектральные характеристики такого сигнала связаны с его ДПФ соотношениями:
В программе Simulink можно производить анализ спектра методом ДПФ (дискретного преобразования Фурье). При этом возможно анализировать спектры только непериодических сигналов по конечным наборам отсчетов.
Для анализа спектра периодических сигналов более целесообразно использовать функции классического языка MATLAB. Однако в этом случае моделирование спектра напоминает работу в программе Mathcad. В данной лабораторной работе анализ спектра периодических сигналов не рассматривается, поскольку был подробно рассмотрен в лабораторной работе №2 «Спектральный анализ в пакете программ Mathcad».
Работа в программе MATLAB осуществляется с помощью симулятора работы виртуального прибора Simulink. Запуск пакета Simulink можно произвести из командного окна MATLAB, нажав пиктограмму в панели инструментов и открыв новую модель (пиктограмма ).
При запуске Simulink открываются два окна: пустое окно untitled (окно для создания блок–диаграммы модели) и окно Library Simulink (библиотека) с перечнем основных разделов библиотеки.
В открывшееся окно untitled необходимо добавить блоки, моделирующие работу источников сигналов, измерительных приборов и аналоговых систем.
Для изменения параметров блоков необходимо выполнить двойной щелчок на пиктограмму блока. При этом должно открыться окно настройки параметров Block Parameters.
2.2.1 Создание модели фильтра
Для проведения спектрального анализа аналогового фильтра требуется составить следующую структурную схему (модель), рис. 5.
Рис. 5. Структурная схема для проведения спектрального анализа фильтра
Модель аналогового фильтра (в данной работе исследуется фильтр Баттерворта) выглядит так, как показано на рис. 6, и создается с помощью следующих блоков:
(DSP blockset/Filtering/Filter Design/Analog Filter Design), рис. 7;
Рис. 6. Модель фильтра Баттерворта в программе MATLAB
Рис. 7. Расположение блока Analog Filter Design
Рис. 8. Расположение блока усилителя Gain
Исходные данные необходимые для синтеза аналогового фильтра:
Исходные данные задаются в блоке параметров фильтра Block Parameters: Analog Filter Design (рис. 9), где:
Коэффициент усиления задается отдельно в блоке параметров усилителя Block Parameters: Gain (рис. 10).
Рис. 9. Блок параметров Analog Filter Design
Рис. 10. Окно настройки параметров блока Gain
2.2.2. Блок Power Spectral Density (анализатор спектра)
Для просмотра спектральной плотности сигнала используют анализаторы спектра Power Spectral Density (Simulink Extras/Additional Sinks/Power Spectral Density), рис.11.
а) б)
Рис. 11. Расположение блока Power Spectral Density (а) и результаты анализа спектра (б)
В окне настройки Block Parameters: Power Spectral Density, рис. 12, задаются следующие параметры анализатора спектра:
Все параметры, кроме периода дискретизации, должны быть кратны 2N, где N – целое число.
Рис. 12. Окно настройки параметров блока Power Spectral Density
Результаты анализа спектра, выполняемого блоком Power Spectral Density, представляются в трех окнах (рис. 11.б):
Чтобы просмотреть спектр сигнала нужно запустить работу модели. Это можно сделать, вызвав меню Simulation и нажав команду Start, либо нажав сочетание клавиш Ctrl + T или же щелкнув пиктограмму – Start simulation.
2.2.3 Блок Signal Generator (генератор сигналов)
Для задания гармонического сигнала, используется блок Signal Generator
(Simulink/ Sources/Signal Generator), рис. 13.
Рис. 13. Расположение блока Signal Generator
В окне настройки блока Signal Generator задаются следующие параметры:
Рис. 14. Окно настройки параметров блока Signal Generator
2.2.4 Блок Sum (сумматор)
Для создания более сложных сигналов используется сумматор (Simulink/ Math Operations/Sum), рис. 15. Блок Sum выполняет суммирование входных сигналов. Пример использования сумматора для сложения двух входных сигналов показан на рис. 16.
Рис. 15. Расположение блока Sum
Рис. 16. Пример использования сумматора для сложения двух сигналов
Сумматор может использоваться в двух режимах:
Окно настройки параметров блока Sum изображено на рис. 18. Вводя значения в поле List of sings (список знаков), можно управлять режимами работы блока Sum.
Значения могут задаваться одним из трех способов:
Рис. 17. Окно настройки параметров блока Sum
Два других параметра настройки блока имеют следующий смысл:
Посредством этих команд входящих в меню Simulation (моделирование), рис. 18, разработчик получает возможность не только динамически управлять сеансом моделирования, но и изменять многие важнейшие параметры модели, такие, например, как способ изменения модельного времени, алгоритм расчета и формат представления результатов моделирования.
Рис. 18. Меню Simulation
Элементы управления на вкладке Solver окна Simulation Parameters (параметры моделирования), рис. 19, собраны в три группы.
Simulation time (интервал моделирования) – выбор интервала моделирования посредством указания начального (Start time) и конечного (Stop time) значений модельного времени.
Рис. 19. Окно установки параметров моделирования
Solver options (параметры расчета) – выбор метода реализации (расчета) модели.
Output options (параметры вывода) – параметры вывода выходных параметров моделируемой системы (при моделировании с переменным шагом).
Под выбором метода реализации модели имеется в виду следующее. Имея структуру исследуемой системы в виде блок–диаграммы, разработчик может выбрать метод отображения хода моделирования. С помощью двух раскладывающихся списков Type (тип) система может быть реализована в следующих формах:
Первый список (слева) позволяет выбрать способ изменения модельного времени:
Второй список (справа) позволяет выбрать метод расчета нового состояния системы. Первый вариант (discrete) обеспечивает расчет дискретных состояний системы. Остальные пункты списка обеспечивают выбор метода расчета нового состояния для непрерывных систем. Эти методы различаются для переменного (Variable – step) и для фиксированного (Fixed – step) шага времени, но основаны на единой методике – решение обыкновенных дифференциальных уравнений(ode).
Ниже двух раскрывающихся списков Type находится поле, название которого изменяется в зависимости от выбранного способа изменения модельного времени.
Параметры других вкладок используется по умолчанию.
При выполнении лабораторной работы используется программа MATLAB версии 6.0 и выше.
Подготовить и ввести в программу исходные данные фильтра (п. 2.2.1) в соответствии с заданным вариантом (по номеру компьютера): аппроксимация – по Баттерворту; частота среза Fс; коэффициент усиления K0;
|
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Fс |
100 Гц |
200 Гц |
300 Гц |
400 Гц |
500 Гц |
600 Гц |
|
K0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
Для анализаторов спектра (Power Spectral Density) дополнительно указать параметр периода дискретизации Sample time=1 / (10Fx) периода входного сигнала (п. 2.2.2).
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ПАКЕТЕ ПРОГРАММ MATLAB
Методические указания к лабораторной работе №4
по курсу “Цифровая обработка сигналов”
Составители: Якимов Евгений Валерьевич