Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическое задание №3
Расчет аналоговых фильтров.
Краткие теоретические сведения
По форме АЧХ различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ). Примеры АЧХ для приведенных типов фильтров показаны на рисунке 1.
Рисунок 1. Примеры АЧХ различных фильтров
Рассмотрим постановку задачи расчета фильтра на примере ФНЧ. В идеале мы бы хотели получить фильтр, который пропускает без искажений все частоты ниже и полностью подавляет все частоты выше . Такой ФНЧ называют идеальным, и он не реализуем на практике. Реализуемые же ФНЧ всегда вносят какие-то искажения в полосе пропускания и не до конца подавляет в полосе заграждения. На рисунке 2 показаны идеальная и реальная АЧХ ФНЧ. Синим показана АЧХ идеального фильтра, красным - реального.
Рисунок 2. Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ
Полоса частот от 0 до называется полосой пропускания ФНЧ, полоса частот от и выше называется полосой подавления или полосой заграждения. Полоса между и называется переходной полосой фильтра. Параметр
(1)
определяет максимальное искажение сигнала в полосе пропускания, а параметр
(2)
задает требуемое подавление в полосе заграждения. Таким образом, получили такой «изогнутый коридор» в который должна поместиться АЧХ нашего фильтра. При этом, чем «коридор уже», тем параметр меньше, а параметр больше. Принято искажение в полосе пропускания и требуемое подавление выражать в децибелах, тогда:
(3)
Откуда можно выразить:
(4)
Таким образом, для расчета фильтра достаточно задать «коридор АЧХ» путем задания вышеприведенных параметров.
Часто при расчете фильтра используют еще два параметра, которые и мы тоже будем в дальнейшем использовать:
(5)
Параметр определяет селективные свойства фильтра. Если сужать переходную полосу, то будет стремиться к единице. С другой стороны параметр определяет степень подавления фильтра с учетом вносимых искажений. Так, если коэффициент подавления в полосе заграждения растет, то стремиться к нулю. Аналогично стремиться к нулю, если коэффициент неравномерности в полосе пропускания стремиться к нулю.
Порядок фильтра.
Введем понятие порядка фильтра. Порядок фильтра можно определить как максимальное количество нулей и полюсов передаточной функции фильтра . Также можно сказать, что порядок фильтра задается максимальной степенью полинома числителя и знаменателя передаточной функции фильтра.
Порядок фильтра можно рассчитать из уравнения при заданных параметрах и :
(6)
где - функция, аппроксимирующая квадрат модуля АЧХ. При заданном «коридоре АЧХ» уравнение (6) необходимо разрешить относительно . Чуть ниже поясним уравнение (6).
Необходимо отметить, что для сужения коридора АЧХ необходимо увеличивать порядок фильтра, однако при практической реализации от порядка фильтра зависит количество реактивных элементов (емкостей и индуктивностей) в его схеме. Таким образом, увеличение порядка фильтра приводит к усложнению самого фильтра, удорожанию и что самое важное, фильтр с увеличением порядка становится очень чувствительным к разбросу номиналов его компонент и требует точной прецизионной настройки.
Исходя из вышесказанного, можно предложить две постановки задачи. Первая постановка необходимо задать «коридор АЧХ» и, исходя из коридора и выбранного способа аппроксимации идеального ФНЧ, рассчитывать порядок фильтра согласно (6) и, собственно, сам фильтр. Вторая постановка задачи заключается в том, что задается порядок фильтра и некоторые наиболее важные параметры «коридора АЧХ», например подавление в полосе заграждения и частота среза, а остальные параметры не ограничивают. Так, на практике, как правило, не накладывают ограничения на переходную полосу фильтра. Вторая постановка задачи расчета фильтра нашла наибольшее распространение. Кроме того при различном способе аппроксимации АЧХ ограничивают различные параметры «коридора».
Аппроксимация АЧХ фильтров - общие замечания.
Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ представляется в виде:
(7)
где - аппроксимирующая функция порядка . Таким образом, для аппроксимации необходимо задать порядок нормированного фильтра. Нормированный фильтр называется, потому что его частота среза Основными способами аппроксимации являются:
Аппроксимация по Баттерворту.
Квадрат АЧХ фильтра задается выражением:
(8)
Фильтры Баттерворта являются фильтрами с максимально-гладкой АЧХ. Скорость спада квадрата модуля АЧХ составляет дБ/декада.
При аппроксимации по Баттервотру, очень часто задают параметр , и на частоте рад/с (-3 дБ). Тогда для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта при задается только порядок фильтра. Остальные параметры, такие как неравномерность в полосе пропускания и уровень подавлениия в полосе заграждения не задаются.
Аппроксимация по Чебышеву первого рода.
В случае аппроксимации по Чебышеву, функция , где - многочлен Чебышева порядка . Тогда квадрат модуля частотной характеристики при аппроксимации по Чебышеву можно записать:
(9)
Параметр задает уровень пульсаций в полосе пропускания фильтра и рассчитывается исходя из заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания согласно выражению (3).
В полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода совершает равноволновые колебания, в отличии от фильтра Баттерворта, при этом скорость спада АЧХ фильтра Чебышева первого рода выше чем у фильтра Баттерворта.
Аппроксимация по Чебышеву второго рода.
Ранее при аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра , тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением , а квадрат модуля АЧХ представляется в виде:
(10)
Как уже было сказано, задает уровень подавления в полосе заграждения фильтра согласно (3). Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте «пропускает» сигнал, т.к. близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к. дБ. Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для расчета режекторных (полосозаграждающих) фильтров с заданным коэффициентом подавления.
Сравнение порядков фильтров при различных способах аппроксимации АЧХ. Решение уравнения порядка фильтра.
Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:
(11)
Порядок фильтра Чебышева как первого рода, так и второго рассчитывается из уравнения:
(12)
Задание.
В таблице 1 представлены варианты, которые выбираются в соответствии с указанием преподавателя.
Таблица 1 – Варианты для расчета фильтра
|
Номер варианта |
полоса пропускания, рад/с |
полосаподавления, рад/с |
Максимальное искажение сигнала в полосе пропускания , дБ |
Требуемое подавление в полосе заграждения , дБ |
Максимальный порядок фильтра |
Дополнительные требования |
|
1 |
1 |
1,4 |
0,9 |
0,1 |
9 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания и в полосе заграждения |
|
2 |
1 |
1.3 |
0.8 |
0.2 |
4 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания |
|
3 |
1 |
1.2 |
0.75 |
0.2 |
5 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе заграждения |
|
4 |
1 |
1.4 |
0.9 |
0.2 |
5 |
- |
|
5 |
1 |
1.5 |
0.95 |
0.1 |
9 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания и в полосе заграждения |
|
6 |
1 |
1.15 |
0.85 |
0.15 |
6 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания |
|
7 |
1 |
1.1 |
0.8 |
0.2 |
6 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе заграждения |
|
8 |
1 |
1.25 |
0.65 |
0.1 |
10 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания |
|
9 |
1 |
1.4 |
0.95 |
0.05 |
10 |
- |
|
10 |
1 |
1.6 |
0.85 |
0.1 |
4 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания |
|
11 |
1 |
1.15 |
0.8 |
0.2 |
9 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе заграждения |
|
12 |
1 |
1,2 |
0,8 |
0,1 |
15 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания и в полосе заграждения |
|
13 |
1 |
1.2 |
0.8 |
0.2 |
5 |
- |
|
14 |
1 |
1.5 |
0.85 |
0.15 |
5 |
Обеспечить равномерную АЧХ в полосе пропускания |
Порядок расчет первого задания.
1) Рассчитать параметры ,, , , и с помощью выражений 1-5.
2) Рассчитать требуемый минимальный порядок фильтра согласно выражениям 11, 12 для всех видов аппроксимации Баттерворта, Чебышева первого рода и Чебышева второго рода и занести результаты расчета в следующую таблицу:
Таблица 2
|
Параметры коридора АЧХ |
Требуемый порядок фильтра |
||||||
|
Баттерворта |
Чебышева |
||||||
3) Провести анализ результатов расчета, представленных в таблице и обосновать выбор типа аппроксимации.
5) Записать АЧХ рассчитанного аналогового фильтра нижних частот.