Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БИРСКОГО ФИЛИАЛА «БАШКИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА»
СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА СОЦИАЛЬНОЙ ПЕДАГОГИКИ И СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЫ
«Развитие общеучебных умений старшеклассников средствами самостоятельной работы»
Выполнила: студентка II курса
3 группы Пакуртдинова А.Д.
Научный руководитель: к.п.н. доцент Волков В.А.
Бирск 2013
Содержание
Введение………………………………………………………………………………..2
§1. Сущность и содержание понятий: знания, навыки, умения, учебная деятельность, умения учебной деятельности, общеучебные умения и их классификация. Взаимосвязь и взаимозависимость этих понятий.....………………4
§2. Структура и содержание общеучебных умений старшеклассников. Методы и результаты деятельности уровня сформированности общеучебных умений старшеклассников…………………………..………………………………..………..11
§3. Понятие «самостоятельная работа». Виды самостоятельной работы учащихся. Влияние самостоятельной работы на развитие общеучебных умений старшеклассников………....…………………………………………………………..25
§4.Организация самостоятельной работы учащихся при изучении естественно-математических и гуманитарных дисциплин…..…………………………………...31
Заключение…………………………………………………………………………….32
Список использованной литературы
Приложения
Введение
Изменения современного общества предъявляют новые требования к системе образования: России нужны люди, способные принимать нестандартные решения, умеющие творчески мыслить. В законе Российской Федерации “Об образовании” подчеркивается задача всестороннего развития личности учащегося, необходимость формирования творческих способностей, создания благоприятных условий для всестороннего их развития.
Гармоничному развитию творческой личности способствует включение учащихся начальной школы в творческую деятельность на уроках. Поэтому возникает необходимость нахождения новых путей и средств, позволяющих формировать у школьника способность самостоятельно осваивать новейшие достижения науки и техники, воспитывать у него потребность к постоянному самообразованию.
Задача школы состоит в том, чтобы давать определенный минимум знаний - фактов, положений, истин научных, технических, политических, эстетических. Но самое главное - научить школьника овладевать методами добывания знаний, приемами исследования и логикой научного мышления, закономерностями познания. Для этого нужно учить детей самостоятельности.
Актуальность проблемы и обусловила выбор темы исследования.
Объект исследования: процесс обучения на старшей ступени общего образования.
Предмет исследования: система заданий интегративного характера как средство развития комплекса общеучебных самостоятельных умений у старших школьников и условия её реализации в образовательном процессе.
Цель исследования: теоретически обосновать и построить систему заданий для развития общеучебных умений старшеклассников и опытно-экспериментальным путем проверить условия ее эффективной реализации в образовательном процессе.
Задачи исследования:
Выполняя эти самостоятельные работы, дети приобретают опыт самостоятельной аналитико-синтетической мыслительной деятельности, учатся опираться на факты при осознании и усвоении выводов, обосновывать свои ответы. Это ведет к четкости и доказательности ответов, а значит, и к твердости взглядов и убеждений, которые вырабатываются на основе приобретаемых знаний.
Самостоятельная работа учащихся должна входить органической частью во все звенья процесса обучения. Самостоятельная работа будет достаточно эффективной как в отношении усвоения учащимися знаний, так и в отношении их способностей, если она организована в системе уроков.
Методы инструктирования организации самостоятельной работы учащихся следует видоизменять с тем, чтобы постепенно предоставлять учащимся больше самостоятельности. Нужно идти от показа образца и расчлененного инструктирования по отдельным частям задания к предъявлению инструкций, требующих от учащихся самостоятельных поисков некоторых материалов, средств, действий, а также инструкций, открывающих возможности для творчества школьников. Надо также практиковать и планирование работы самими учащимися под руководством учителя. Необходимо всемерно способствовать развитию у школьников конструктивных способностей, поощряя их инициативу в различных областях творческой деятельности.
§1. Сущность и содержание понятий: знания, навыки, умения, учебная деятельность, умения учебной деятельности, общеучебные умения и их классификация. Взаимосвязь и взаимозависимость этих понятий.
На каждом этапе исторического развития образование выполняло одну и ту же задачу: сохранение накопленных знаний и подготовка подрастающего поколения для жизни в данном конкретном обществе. Педагогические задачи, решаемые школьным образованием на современном этапе:
• Формирование мировоззрения
• Формирование мышления
• Подготовка к труду и дальнейшему самообразованию
Успешная социализация и т.д. (Хотя, скорее, первые две задачи являются подзадачами двух последующих.) Для решения жизненных задач человеку, помимо способностей и личностных качеств, необходимы различные умения. Именно умения, прежде всего, и развивает учитель, работая с учениками на определенном предметном содержании. Традиционно педагог обращал внимание на предметное содержание и предметные умения. Вместе с тем в жизни мы нечасто сталкиваемся с задачами, аналогичными предметным. Напротив, чаще всего жизненные задачи требуют надпредметных умений, которые в школьной практике называют общеучебными умениями. Специальному формированию умений этого типа не уделялось необходимого внимания, овладение ими не выделялось как отдельный компонент требований к результатам обучения, а поэтому фактически не контролировалось и не оценивалось учителем. На сегодняшний день, когда меняется представление о целях и ценностях образования, когда более важными становятся не конкретные знания, а умения их добывать, такие практико-ориентированные умения становятся все более актуальными. Определение и классификация общеучебных умений и навыков (чему учить?).
Общеучебные умения и навыки - это универсальные для многих школьных предметов способы получения и применения знаний, в отличие от предметных умений, которые являются специфическими для той или иной учебной дисциплины. [5] В научной литературе нет однозначного определения содержания и структуры общеучебных умений и навыков. Я предлагаю принять за основу такую классификацию:
1. Учебно-организационные общеучебные умения и навыки обеспечивают планирование, организацию, контроль, регулирование и анализ собственной учебной деятельности учащимися.
К ним относятся:
• определение индивидуальных и коллективных учебных задач;
• выбор наиболее рациональной последовательности действий по выполнению учебной задачи;
• сравнение полученных результатов с учебной задачей; • владение различными формами самоконтроля;
• оценивание своей учебной деятельности и учебной деятельности одноклассников;
• определение проблем собственной учебной деятельности и установление их причины;
• постановка цели самообразовательной деятельности; • определение наиболее рациональной последовательности действий по осуществлению самообразовательной деятельности.
2. Учебно-информационные общеучебные умения и навыки обеспечивают школьнику нахождение, переработку и использование информации для решения учебных задач.
К ним относятся:
• работа с основными компонентами учебника;
• использование справочной и дополнительной литературы;
• различение и правильное использование разных литературных стилей;
• подбор и группировка материалов по определенной теме;
• составление планов различных видов;
• создание текстов различных типов;
• владение разными формами изложения текста;
• составление на основе текста таблицы, схемы, графика;
• составление тезисов, конспектирование;
• подготовка рецензии;
• владение цитированием и различными видами комментариев;
• подготовка доклада, реферата;
• использование различных видов наблюдения;
• качественное и количественное описание изучаемого объекта;
• проведение эксперимента;
• использование разных видов моделирования.
3. Учебно-интеллектуальные общеучебные умения и навыки обеспечивают четкую структуру содержания процесса постановки и решения учебных задач.
К ним относятся:
• определение объектов анализа и синтеза и их компонентов;
• выявление существенных признаков объекта;
• определение соотношения компонентов объекта;
• проведение разных видов сравнения;
• установление причинно-следственных связей;
• оперирование понятиями, суждениями;
• классификация информации;
• владение компонентами доказательства;
• формулирование проблемы и определение способов ее решения.
4. Учебно-коммуникативные общеучебные умения и навыки позволяют школьнику организовать сотрудничество со старшими и сверстниками, достигать с ними взаимопонимания, организовывать совместную деятельность с разными людьми.
К таким навыкам относятся:
• выслушивание мнения других;
• владение различными формами устных публичных выступлений;
• оценка разных точек зрения; • владение приемами риторики;
• организация совместной деятельности;
• владение культурой речи;
• ведение дискуссии.
При этом мы понимаем, что при решении конкретных жизненных задач одновременно используются умения из разных групп. На современном этапе развития общества одними из важнейших считаются ИКТ-компетенции.
Поэтому некоторые исследователи к вышеперечисленным добавляют пятую группу (один из возможных вариантов названия "учебно-технологические умения”), включающую в себя следующие умения и навыки:
• набирать текст в среде текстового редактора;
• выполнять основные операции над текстом в среде текстового редактора;
• сохранять информацию на диске, загружать его с диска, выводить на печать;
• строить изображения в среде графического редактора;
• создавать БД в среде СУБД;
• вносить изменения в БД в среде СУБД
• организовывать сортировку и поиск информации в БД в среде СУБД;
• создавать расчетную электронную таблицу в среде табличного процессора;
• редактировать содержимое расчетной таблицы в среде табличного процессора;
• работать с гипертекстом, звуком, графикой в среде мультимедийных программ и т.д. Всем этим движут знания.
Знания составляют ядро содержания обучения. На основе знаний у учащихся формируются умения и навыки, умственные и практические действия; знания являются основой нравственных убеждений, эстетических взглядов, мировоззрения.
Понятие «знание» многозначно и имеет несколько определений. Оно определяется то как часть сознания, то как нечто общее в отражении предметного разнообразия, то как способ упорядочения действительности, то как некоторый продукт и результат познания, то как способ воспроизведения в сознании познаваемого объекта.
Знания, обусловленные биологическими закономерностями, свойственны и животным, у которых они служат необходимым условием их жизнедеятельности, реализации поведенческих актов. Знания являются органическим единством чувственного и рационального. На основе знаний вырабатываются умения и навыки.
Многозначность в определении понятия «знание» обусловлена тем множеством функций, которое реализуется знанием. Так, например, в дидактике знание может выступать и как то, что должно быть усвоено, т. е. в качестве целей обучения, и как результат осуществления дидактического замысла, и как содержание, и как средство педагогического воздействия. В качестве средства педагогического воздействия знание выступает потому, что, входя в структуру прошлого индивидуального опыта учащегося, оно меняет и преобразует эту структуру и тем самым поднимает обучаемого на новый уровень психического развития. Знание не только формирует новый взгляд на мир, но и меняет отношение к нему. Отсюда вытекает и воспитательное значение всякого знания.
Знания и правильно избранный путь их усвоения – предпосылка умственного развития учащихся. Сами по себе знания еще не обеспечивают полноты умственного развития, но без них последнее невозможно.
Являясь составной частью мировоззрения человека, знания в большой мере определяют его отношение к действительности, моральные взгляды и убеждения, волевые черты личности и служат одним из источников склонностей и интересов человека, необходимым условием развития его способностей.
С учетом перечисленных выше дидактических функций знания перед учителем стоит несколько задач: а) перевести знание из его застывших фиксированных форм в процесс познавательной активности обучаемых; б) преобразовать знание из плана его выражения в содержание мыслительной деятельности учащихся; в) сделать знание средством формирования человека как личности и субъекта деятельности.
Виды знаний: донаучные; житейские; художественные (как специфический способ эстетического освоения действительности); научные (эмпирические и теоретические).
Знания, приобретаемые в процессе обучения, характеризуются различной глубиной проникновения учащихся в их сущность, что, в свою очередь, обусловлено:
– достигнутым уровнем познания данной области явлений;
– целями обучения;
– индивидуальными особенностями учащихся;
– уже имеющимся у них запасом знаний;
– уровнем их умственного развития;
– адекватностью усваиваемого знания возрасту учащихся.
Непосредственными целями любого учебного предмета являются усвоение учащимися системы знаний и овладение ими определенными умениями и навыками. При этом овладение умениями и навыками происходит на базе усвоения действенных знаний, которые определяют соответствующие умения и навыки, т. е. указывают, как следует выполнять то или иное умение или навык.
Умение и навык есть способность совершать то или иное действие. Различаются они по степени (уровню) овладения данным действием.
Умение – это способность к действию, не достигшему наивысшего уровня сформированности, совершаемому полностью сознательно.
Навык – это способность к действию, достигшему наивысшего уровня сформированности, совершаемому автоматизированно, без осознания промежуточных шагов.[6]
Умение – это промежуточный этап овладения новым способом действия, основанным на каком-либо правиле (знании) и соответствующим правильному использованию знания в процессе решения определенного класса задач, но еще не достигшего уровня навыка. Умение обычно соотносят с уровнем, выражающимся на начальном этапе в форме усвоенного знания (правила, теоремы, определения и т. п.), которое понято учащимися и может быть произвольно воспроизведено. В последующем процессе практического использования этого знания оно приобретает некоторые операциональные характеристики, выступая в форме правильно выполняемого действия, регулируемого этим правилом. В случае каких-либо возникающих трудностей учащийся обращается к правилу с целью контроля за выполняемым действием или при работе над допущенными ошибками.
Навыки – это автоматизированные компоненты сознательного действия человека, которые вырабатываются в процессе его выполнения. Навык возникает как сознательно автоматизируемое действие и затем функционирует как автоматизированный способ его выполнения. То, что данное действие стало навыком, означает, что индивид в результате упражнения приобрел возможность осуществлять данную операцию, не делая ее выполнение своей сознательной целью.
Процесс формирования учебных умений и навыков (общих и узкопредметных) является длительным и, как правило, занимает не один год, а многие из этих умений (особенно общие) формируются и совершенствуются в течение всей жизни человека.
Можно установить следующие уровни овладения учащимися действиями, соответствующими и учебным умениям, и навыкам:
– 0-й уровень – учащиеся совершенно не владеют данным действием (нет умения);
– 1-й уровень – учащиеся знакомы с характером данного действия, умеют выполнять его лишь при достаточной помощи учителя (взрослого);
– 2-й уровень – учащиеся умеют выполнять данное действие самостоятельно, но лишь по образцу, подражая действиям учителя или сверстников;
– 3-й уровень – учащиеся умеют достаточно свободно выполнять действия, осознавая каждый шаг;
– 4-й уровень – учащиеся автоматизированно, свернуто и безошибочно выполняют действия (навык). Подчеркнем, что далеко не все учебные умения должны достигать уровня автоматизации и становиться навыками.
Одни учебные умения формируются в школе обычно до 3-го уровня, другие, главным образом общие, до 4-го уровня, после чего они в последующем обучении совершенствуются.[1]
Применение знаний, умений и навыков – важнейшее условие подготовки учащихся к жизни, путь установления связи теории с практикой в учебно-воспитательной работе. Их применение стимулирует учебную деятельность, вызывает уверенность учащихся в своих силах.
Знания становятся средством воздействия на предметы и явления действительности, а умения и навыки – орудием практической деятельности только в процессе их применения. Важнейшая функция применения – получение с его помощью новых знаний, т. е. превращение их в инструмент познания. В этом качестве применения знаний может нередко означать лишь мысленное преобразование некоторых исходных моделей действительности с целью получения новых, более полно и совершенно отражающих реальный мир. Характерный пример такого применения – мысленное экспериментирование. Способность использовать усвоенные знания для получения новых называют интеллектуальными умениями и навыками. В практической деятельности, кроме интеллектуальных, обязательно применение специфических умений и навыков, в совокупности обеспечивающих успешность труда.
Применение знаний, умений и навыков – один из этапов усвоения – осуществляется в самых разнообразных видах деятельности и во многом зависит от характера учебного предмета, специфики содержания изучаемого. Его можно педагогически организовать путем выполнения упражнений, лабораторных работ, практической деятельности. Особенно глубоким по своему воздействию является применение знаний к решению учебно-исследовательских задач. Применение знаний усиливает мотивацию учения, раскрывая практическую значимость изучаемого, делает знания более прочными, реально осмысленными.
Применение знаний по каждому учебному предмету своеобразно. При изучении физики, химии, естествознания, физической географии знания, умения и навыки применяются в таких видах деятельности учащихся, как наблюдение, измерение, фиксирование полученных данных в письменных и графических формах, решение задач и т. д. При изучении гуманитарных предметов знания, умения и навыки реализуются при самостоятельном объяснении учащимися тех или иных явлений, при применении правил правописания и т. д.
Применение знаний, умений и навыков связано прежде всего с распознаванием в конкретной ситуации случаев, где такое применение целесообразно. Специальное обучение соответствующему распознаванию связано с установлением принципиального сходства и, следовательно, с умением отвлечься (абстрагироваться) от факторов и особенностей, которые при данных обстоятельствах можно считать несущественными.
Единство обобщения и конкретизации позволяет избежать решения задач лишь с опорой на память, а не на всесторонний анализ предлагаемых условий, т. е. избежать формализма знаний. Другое необходимое условие – владение последовательностью операций применения. Обучению такого рода действиям уделяют обычно больше внимания, но и здесь встречаются ошибки – чаще всего попытки свести его к чисто алгоритмическим процедурам в раз и навсегда заданной последовательности. Применение знаний, умений и навыков успешно тогда, когда оно приобретает эвристический и творческий характер[6].
§2. Структура и содержание общеучебных умений старшеклассников методы и результаты деятельности уровня сформированности общеучебных умений старшеклассников
Формирование общеучебных умений и навыков – специальная педагогическая задача. Однако не все учителя рассматривают эту проблему с данной точки зрения. Часто считается, что специальная, целенаправленная отработка этих умений и навыков не нужна, поскольку ученики сами в процессе обучения приобретают необходимые умения, - это неверно.
Школьник в своей учебной деятельности действительно перерабатывает и трансформирует те способы учебной работы, которые ему задает учитель. Такая внутренняя переработка приводит к тому, что усвоенный ребенком способ работы с учебным материалом иногда довольно резко может отличаться от учительского эталона. В то же время преподаватель, как правило, не контролирует этот процесс, фиксируя только качество полученного учеником результата (решенная или нерешенная задача; содержательный или неглубокий, отрывочный малоинформативный ответ и т.д.) и не представляет себе, какие индивидуальные умения, приемы учебной работы у ребенка стихийно сложились. А эти приемы могут оказаться нерациональными или просто неверными, что существенно мешает ученику продвигаться в учебном материале, развивать учебную деятельность. Громоздкие системы нерациональных приемов тормозят учебный процесс, затрудняют формирование умений и их автоматизацию.
Итак, у учащихся на всем протяжении школьного обучения я, как учитель, формирую общеучебные умения, причем умения сознательно контролируемые, часть из которых затем автоматизируется и становится навыками. Что же при этом делаю я? Отмечу два главных момента, или этапа: постановку цели и организацию деятельности.
Прежде всего, перед детьми ставлю особую цель – овладеть определенным умением. Когда сталкиваюсь с отсутствием у учеников конкретного умения, задаю вопрос себе. А была ли перед ними поставлена такая цель? Осознают ли ее ученики? Ведь только наиболее интеллектуально развитые учащиеся самостоятельно выделяют для себя и осознают операциональную сторону учебной деятельности, остальные же остаются на уровне интуитивно-практического владения умениями.[3]
Очень распространенный недостаток организации учебной работы учащихся состоит в том, что они не видят за выполняемой ими работой учебной задачи, учебной цели. Конечно, на первых порах, да периодически в более сложных случаях в дальнейшем, давая то или иное задание, сама указываю ту учебную задачу, которую должен решить ученик, выполняя это задание. Но постепенно ученики приобретают умение, способность и привычку видеть за любой выполняемой ими работой те знания, умения и навыки, которые они должны приобрести в результате данной работы.
Помимо осознания цели, ученику нужно осознание ее отношения к мотиву своей деятельности. Учебная мотивация всегда индивидуальна: каждый ребенок имеет свою систему мотивов, побуждающих его учиться и придающих смысл учению. Известно, что неформальное освоение высших интеллектуальных умений возможно только при познавательной мотивации. Тем не менее, даже при преобладании познавательной мотивации у ребенка все равно будут присутствовать и другие мотивы – широкие социальные, достижение успеха, избегания наказания и др. Мне приходится ориентироваться на весь спектр мотивов. Ставя цель обучить данному умению, даю возможность каждому ученику понять, какой личностный смысл будет заключен в этой работе, зачем ему нужно это умение (овладев им, он сможет выполнять сложные задания, которые гораздо интереснее тех, что он выполняет сейчас; сможет быстро и правильно решать задачи определенного типа; получать при этом хорошие оценки и т.д.)
Чтобы поставить перед учениками четкую цель, сама имею соответствующую программу формирования умений. При планово – тематической системе организации учебного процесса эта программа предоставлена в каждом учебном минимуме – перечне основных знаний, умений и навыков, которые должны быть обязательно усвоены всеми учащимися при изучении учебной темы. В учебный минимум включаются лишь наиболее важные, существенные вопросы, без знания которых невозможно последующее изучение учебной программы. В него включается также освоение учебных умений, как предусмотренных учебной программой, так и не предусмотренных ею, без овладения которыми деятельность учеников не будет достаточно рациональной и эффективной.
После мотивационного формирования умения следует этап организации совместной с учителем деятельности. В этой совместной деятельности ученик должен, прежде всего, получить образец или правило, алгоритм работы. Желательно, чтобы, получая готовый образец, дети сами (но под руководством учителя) разрабатывали систему правил, по которой они будут действовать. Этого стараюсь добиться, сравнивая выполняемое задание с данным образцом. [1]
Например, при обучении умению составлять план-схему, показываю в виде образца план к определённой, уже знакомой детям теме. Ориентируясь на него, ученики выполняют задание по другой, близкой теме – составляют план по этому учебному материалу. Далее, тщательно анализируют несколько работ из класса, сопоставляют их друг с другом и образцом. Определяется, какие элементы в плане-схеме выделены, какие связи показаны, какие отсутствуют, а какие являются лишними, ненужными. Как уже видно из приведённого примера, совместная деятельность по выработке осознанного умения всегда внешне развёрнута. У учащихся обычно недостаточно развита способность внутренне, теоретически действовать, имея познавательную задачу. Во всяком случае, действуя по плану, они сталкиваются со значительными трудностями. Поэтому им нужны более лёгкие, доступные действия, внешние по форме. Таким образом, основной путь здесь – совместная деятельность, а метод – выполнение внешних действий. Причём внешние действия должны быть вначале максимального развёрнуты и лишь потом, по мере отработки умения, они могут сокращаться.
После осознания школьниками правил, по которым нужно действовать, необходимы упражнения в использовании полученного умения. Ученику недостаточно знать рациональные правила учебной работы, он должен ещё научиться применять их в собственной практике. Упражнения, в ходе выполнения которых отрабатывается умение, должны быть разнообразны. Например, при обучении умению различать главное и второстепенное используются, в частности, такие упражнения – задания: опустить при пересказе текста второстепенные моменты; расположить учебный материал в определённом порядке, соответствующем степени его важности; сравнить какие-либо явления, сходные в главном и различные в частностях, при этом чётко объясняя, что здесь существенно, а что нет.
Тренировка, нужная для обработки умения, не должна быть односторонней и чрезмерной. Умение, которым ребёнок достаточно овладел на простом материале, затем часто бывает трудно включать в сложную деятельность, предполагающую использование разных умений. Выполняя специальное упражнение, ученик сосредотачивается на правильном применении одного нового умения. Когда же более трудное задание требует от него распределения внимания, включения этого умения в систему ранее сложившихся, оно начинает “выпадать”. Так, на уроках русского языка и чтения ученик, хорошо выполнявший упражнения, может ошибаться при работе над сочинением. Избежать этого можно, приучая ребёнка совмещать формируемое умение или навык с другими, чтобы он мог использовать их совместно, одновременно, овладевая все более сложными способами деятельности.
Таким образом, вся эта сложная работа направлена на то, чтобы внешняя практическая деятельность учащегося стала его внутренним достоянием и могла выполняться в умственном плане.
И так, общеучебные умения и навыки – это универсальные для многих школьных предметов способы получения и применения знаний.
Для усвоения отдельных предметов необходимы так называемые узкопредметные умения и навыки. Им соответствуют такие действия, формируемые в каком-либо учебном предмете, которые могут становиться операциями выполнения лишь других специфических действий этого предмета или смежных предметов.
Чёткую границу между узкопредметными и общеучебными умениями и навыками провести довольно трудно.
Вместе с тем, все учебные умения и навыки, формируемые в каком-то учебном предмете, можно разделить на две категории:
Модель формирования общеучебных умений
Компетентный ученик
Ключевые компетенции
|
Социальная |
Коммуникативная |
Информационная |
Учебно - познавательная |
Рефлексивная |
Общеучебные умения
|
Учебно-организационные |
Коммуни-кативные |
Информационные |
Учебно-интеллектуаль-ные |
Учебно-рефлексивные |
Формирование общеучебных умений и навыков – специальная педагогическая задача. Однако не все учителя рассматривают эту проблему с данной точки зрения. Часто считается, что специальная, целенаправленная отработка этих умений и навыков не нужна, поскольку ученики сами в процессе обучения приобретают необходимые умения, - это неверно. [10]
Школьник в своей учебной деятельности действительно перерабатывает и трансформирует те способы учебной работы, которые ему задает учитель. Такая внутренняя переработка приводит к тому, что усвоенный ребенком способ работы с учебным материалом иногда довольно резко может отличаться от учительского эталона. В то же время преподаватель, как правило, не контролирует этот процесс, фиксируя только качество полученного учеником результата (решенная или нерешенная задача; содержательный или неглубокий, отрывочный малоинформативный ответ и т.д.) и не представляет себе, какие индивидуальные умения, приемы учебной работы у ребенка стихийно сложились. А эти приемы могут оказаться нерациональными или просто неверными, что существенно мешает ученику продвигаться в учебном материале, развивать учебную деятельность. Громоздкие системы нерациональных приемов тормозят учебный процесс, затрудняют формирование умений и их автоматизацию.
Итак, у учащихся на всем протяжении школьного обучения я, формирую общеучебные умения, причем умения сознательно контролируемые, часть из которых затем автоматизируется и становится навыками. Что же при этом делаю я? Отмечу два главных момента, или этапа: постановку цели и организацию деятельности.
Прежде всего, перед детьми ставлю особую цель – овладеть определенным умением. Когда сталкиваюсь с отсутствием у учеников конкретного умения, задаю вопрос себе. А была ли перед ними поставлена такая цель? Осознают ли ее ученики? Ведь только наиболее интеллектуально развитые учащиеся самостоятельно выделяют для себя и осознают операциональную сторону учебной деятельности, остальные же остаются на уровне интуитивно-практического владения умениями.
Очень распространенный недостаток организации учебной работы учащихся состоит в том, что они не видят за выполняемой ими работой учебной задачи, учебной цели. Конечно, на первых порах, да периодически в более сложных случаях в дальнейшем, давая то или иное задание, сама указываю ту учебную задачу, которую должен решить ученик, выполняя это задание. Но постепенно ученики приобретают умение, способность и привычку видеть за любой выполняемой ими работой те знания, умения и навыки, которые они должны приобрести в результате данной работы.
Помимо осознания цели, ученику нужно осознание ее отношения к мотиву своей деятельности. Учебная мотивация всегда индивидуальна: каждый ребенок имеет свою систему мотивов, побуждающих его учиться и придающих смысл учению. Известно, что неформальное освоение высших интеллектуальных умений возможно только при познавательной мотивации. Тем не менее, даже при преобладании познавательной мотивации у ребенка все равно будут присутствовать и другие мотивы – широкие социальные, достижение успеха, избегания наказания и др. Мне приходится ориентироваться на весь спектр мотивов. Ставя цель обучить данному умению, даю возможность каждому ученику понять, какой личностный смысл будет заключен в этой работе, зачем ему нужно это умение (овладев им, он сможет выполнять сложные задания, которые гораздо интереснее тех, что он выполняет сейчас; сможет быстро и правильно решать задачи определенного типа; получать при этом хорошие оценки и т. д.)
Чтобы поставить перед учениками четкую цель, сама имею соответствующую программу формирования умений. При планово – тематической системе организации учебного процесса эта программа предоставлена в каждом учебном минимуме – перечне основных знаний, умений и навыков, которые должны быть обязательно усвоены всеми учащимися при изучении учебной темы. В учебный минимум включаются лишь наиболее важные, существенные вопросы, без знания которых невозможно последующее изучение учебной программы. В него включается также освоение учебных умений, как предусмотренных учебной программой, так и не предусмотренных ею, без овладения которыми деятельность учеников не будет достаточно рациональной и эффективной.
После мотивационного формирования умения следует этап организации совместной с учителем деятельности. В этой совместной деятельности ученик должен, прежде всего, получить образец или правило, алгоритм работы. Желательно, чтобы, получая готовый образец, дети сами (но под руководством учителя) разрабатывали систему правил, по которой они будут действовать. Этого стараюсь добиться, сравнивая выполняемое задание с данным образцом. [2]
Например, при обучении умению составлять план-схему, показываю в виде образца план к определённой, уже знакомой детям теме. Ориентируясь на него, ученики выполняют задание по другой, близкой теме – составляют план по этому учебному материалу. Далее, тщательно анализируют несколько работ из класса, сопоставляют их друг с другом и образцом. Определяется, какие элементы в плане-схеме выделены, какие связи показаны, какие отсутствуют, а какие являются лишними, ненужными. Как уже видно из приведённого примера, совместная деятельность по выработке осознанного умения всегда внешне развёрнута. У учащихся обычно недостаточно развита способность внутренне, теоретически действовать, имея познавательную задачу. Во всяком случае, действуя по плану, они сталкиваются со значительными трудностями. Поэтому им нужны более лёгкие, доступные действия, внешние по форме. Таким образом, основной путь здесь – совместная деятельность, а метод – выполнение внешних действий. Причём внешние действия должны быть вначале максимального развёрнуты и лишь потом, по мере отработки умения, они могут сокращаться.
После осознания школьниками правил, по которым нужно действовать, необходимы упражнения в использовании полученного умения. Ученику недостаточно знать рациональные правила учебной работы, он должен ещё научиться применять их в собственной практике. Упражнения, в ходе выполнения которых отрабатывается умение, должны быть разнообразны. Например, при обучении умению различать главное и второстепенное используются, в частности, такие упражнения – задания: опустить при пересказе текста второстепенные моменты; расположить учебный материал в определённом порядке, соответствующем степени его важности; сравнить какие-либо явления, сходные в главном и различные в частностях, при этом чётко объясняя, что здесь существенно, а что нет.
Тренировка, нужная для обработки умения, не должна быть односторонней и чрезмерной. Умение, которым ребёнок достаточно овладел на простом материале, затем часто бывает трудно включать в сложную деятельность, предполагающую использование разных умений. Выполняя специальное упражнение, ученик сосредотачивается на правильном применении одного нового умения. Когда же более трудное задание требует от него распределения внимания, включения этого умения в систему ранее сложившихся, оно начинает «выпадать». Так, на уроках русского языка и чтения ученик, хорошо выполнявший упражнения, может ошибаться при работе над сочинением. Избежать этого можно, приучая ребёнка совмещать формируемое умение или навык с другими, чтобы он мог использовать их совместно, одновременно, овладевая все более сложными способами деятельности.
Таким образом, вся эта сложная работа направлена на то, чтобы внешняя практическая деятельность учащегося стала его внутренним достоянием и могла выполняться в умственном плане.
Средства:
- печатные учебные материалы
- ТСО
- тренажеры
- средства наглядности и др.
Формы:
- тренинги
- игры
- упражнения
- семинары
- дискуссии
- синквеи «паучки» и др.
Методы:
- проектов
- коллективного способа
- игровые
- кейсов
- портфолио и др.
§3. Понятие «самостоятельная работа». Виды самостоятельной работы учащихся. Влияние самостоятельной работы на развитие общеучебных умений старшеклассников
Под самостоятельной работой понимают работу выполняемую «извне» без активной помощи. Провести более четкую границу между самостоятельными работами и работами, выполняющими под руководством учителя довольно трудно. Но для практике знание этого вопроса не имеет существенного значения. Более важным представляется знание смысла использования самостоятельной работы при обучении математике. Самостоятельная работа в обучении математике не самоцель, она необходима для перевода знаний «извне», во внутреннее достояние учащегося, необходима для овладения этими знаниями, а также для осуществления контроля со стороны учителя за их усвоением. [11]
При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта передаваемой ему извне информации, такой постановкой образовательного процесса учитель искусственно задерживает развитие познавательной активности ученика, наносит ему большой вред в интеллектуальном и нравственном отношении.
Самостоятельная деятельность учащихся можно и нужно организовывать на различных уровнях, от воспроизведения действий по образцу и узнавание объектов путем их сравнения с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях.
Переходом с одного уровня на другой должен осуществляться полностью, только когда учитель будет убежден, что учащийся справится со следующим уровнем самостоятельности, иначе в атмосфере спешки и нервозности у ученика возникают пробелы в знаниях. Очень важно, чтобы содержание самостоятельной работы, форма и время её выполнения отвечали основным целям обучения данной теме на данном.
В то же время учителю нужно знать, что злоупотребление самостоятельной работой в учебном процессе также вредно как и её недооценка.
Бывает так ,что учитель включает в урок самостоятельную работу без особой необходимости, просто ради разнообразия, не продумав её содержание и форму организации. Результаты бывают плачевны: или дети не готовы выполнить задание, или не хватило времени и т.п. Но, если учитель, составляя план урока, продумал место и время самостоятельной работы четко, определил
ею общее содержание, разбил задания по разным уровням сложности то она сыграет свою положительную роль. [7]
Поэтому учителю важно знать формы и виды самостоятельных работ, их место в процессе обучения.
В зависимости от целей от целей, которые ставятся перед самостоятельны ми работами, они могут быть:
1) Обучающими;
2) Тренировочными,
3) Закрепляющими,
4) Повторительными;
5) Развивающими
6) Творческими,
7) Контрольные.
1. Смысл обучающих самостоятельных работ заключается в самостоятельном выполнении школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ развитие интереса к изучаемому материалу привлечение каждого ученика к тому что объясняет учитель. Здесь сразу выясняется непонятное, выявляются сложные моменты дают себе знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал. Самостоятельные работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания, также при непосредственном введении нового содержания, при первичном закреплении знаний, т.е. сразу после объяснения нового, когда знания учащихся еще не прочны.
Учителю необходимо знать следующие особенности обучающих самостоятельных работ: их надо составлять в основном из заданий непродуктивного характера, проверять немедленно и не ставить за них плохих оценок.
Так как самостоятельные обучающие работы проводятся во время объяснения нового материала или сразу после объяснения, то их немедленная проверка дает учителю четкую картину того, что происходит на уроке, какова степень понимания учащимися нового материала, на самом раннем этапе его обучения. Цель этих работ -не контроль, а обучение, поэтому им следует отводить много времени на уроке. К самостоятельным обучающим работам можно также отнести составление примеров на изученные свойства и правила.
2. К тренировочным самостоятельным работам относятся задания на распознавание различных объектов и свойств.
В тренировочных заданиях часто требуется воспроизвести или непосредственно применить теоремы, свойства тех или иных математических объектов и др.
Тренировочные самостоятельные работы состоят из однотипных заданий, содержащих существенные признаки и свойства данного определения, правила. Конечно эта работа мало способствует умственному развитию детей, но она необходима, т.к. позволяет выработать основные умения и навыки тем самым создать базу для дальнейшего изучения математики. При выполнении тренировочных самостоятельных работ еще необходима помощь учителя. можно разрешить пользоваться и учебником и записями в тетрадях, таблицами и т.п.. Все это создает благоприятный климат для слабых учащихся. В таких условиях они легко включаются в работу и выполняют её. К таким работам можно отнести выполнение заданий по разно уровневым карточкам. Сейчас такие дидактические материалы выпущены по алгебре и геометрии для всех классов. [12] По этим карточкам учащиеся привыкают работать самостоятельно. Учителю удобнееими пользоваться, если он соберет комплот карточек по темам. Каждый комплект может состоять из 8-10 вариантов разного уровня.
3. К закрепляющим можно отнести самостоятельные работы, которые способствуют развитию логического мышления и требуют комбинированного применения различных правил и теорем. Они показывают, насколько прочно усвоен учебный материал. По результатам проверки заданий данного типа учитель определяет нужно ли еще заниматься данной темой. Примеры таких работ в изобилии встречаются в дидактическом материале.
4. Очень важны так называемые повторительные (обзорные или тематические) работы. Перед изучением новой темы учитель должен знать, познавательны ли школьники, есть ли у них необходимые знания, какие проблемы смогут затруднить изучение нового материала.
5. самостоятельными работами развивающего характера могут быть д./з. по составлению докладов на определенные темы, подготовка к олимпиадам, научно творческим конференциям, проведение в школе дней математики и др. На уроках-то самостоятельные работы, требующие умения решать исследовательские задачи.
6. Большой интерес вызывают у учащихся творческие самостоятельные работы, которые предполагают высокий уровень самостоятельности. Здесь учащиеся открывают для себя новые стороны уже имеющихся у них знаний, учатся применять эти знания в новых неожиданных ситуациях. Это задания на нахождение второго, третьего и т.д. способа решения задачи.
7. Контрольные работы являются необходимым условием достижения планируемых результатов обучения.
По существу разработка текстов контрольных работ должна быть одной из основных форм фиксирования целей обучения, в том числе и минимальных. Поэтому, во-первых, контрольные задания должны быть равноценными по содержанию и объему работы; во-вторых, они должны быть направлены на отработку основных навыков, в-третьих, обеспечивать достоверную проверку уровня знаний; в-четвертых, они должны стимулировать учащихся позволять им продемонстрировать прогресс в своей общей подготовке.
ОСНОВНЫЕ ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
1. Работа с книгой
2. Упражнения
3. Выполнение практических и лабораторных работ
4. Проверочные самостоятельные, контрольные работы, диктанты, сочинения
5. Подготовка докладов, рефератов
6. Домашние опыты, наблюдения
7. Техническое моделирование и конструирование
ТИПЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
(в соответствии с уровнями самостоятельной деятельности)
|
Воспроизводящие |
|
Реконструктивно-вариативные |
|
Эвристические |
|
Творческие |
|
ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ |
|
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ |
ФРОНТАЛЬНЫЕ |
ГРУППОВЫЕ |
Самостоятельная работа может рассматриваться как дидактическое родство, с помощью которого учитель организует деятельность ученика на уроке и при выполнении домашнего задания, активная самостоятельная деятельность предлагает наличие у учащихся многих умений. [9]
Основными из них являются:
1.работа с книгой (учебником, математическим текстом, справочниками, таблицами и.др.), работа по плану, алгоритму, предписанию.
Навыки работы учащихся по плану особенно успешно развиваются на уроках геометрии. Работа по образцу, решение задачи стандартного вида. Умение работать по образцу не приходит само собой, а требует специальных приемов работы учителя, на уроках математики можно применить карточки с пропусками для многократного использования карточки удобно вложить в полиэтиленовый пакет. Тогда учащиеся заполняя пропуски, пишут на пленке, после проверки работы карточка вынимается из пакета и может быть использована повторно, написанное на пленке легко стирается. Классификация.систематизация учебного материала —успех самостоятельной работы нередко зависит от умения систематизировать учебный материал.
Одна из сторон самостоятельного мышления-сформированность привычки к самоконтролю и умение его проведения. Здесь учащемуся могут быть предложены различные рекомендации, они учат давать рецензию на ответ товарища, другие учат на уроке проверять решение задач по такой памятке:
а) Проверьте, правильно ли выписано условие задачи?
б) Верно ли сделан чертеж?
в) Просматривается ли логический план решения задачи?
г) Достаточно ли обоснованно решение, рационально ли оно?
д) Что вам мешало при проверке, есть ли замечании: при проверке?
е) Ваша оценка работы
ж) Работа по собственной инициативе.
Для того, чтобы самостоятельную работу приблизить к практической деятельности, полезно проводить лабораторные работы. Их можно дифференцировать как по содержанию, так по методам выполнения- от простейших задач практического характера на .непосредственное применение знаний до серьезных исследовательских работ, связанных с конструированием и математическим моделированием. Лабораторно- практические работы развивают учащихся навык приближенных вычислении, учат пользоваться таблицами и микрокалькуляторами, справочной литературой, проводить различные измерения и построения геометрических фигур, а тем самым демонстрируют прикладной характер математики.
Однако проведение лабораторных работ сложнее в методическом отношении, чем организация других видов самостоятельных работ. Они требуют от преподавателя большей подготовки, их проводят 2-3 раза в год.
Математика как никакой другой предмет позволяет формировать нужный для самостоятельной работы навык самоконтроля за своей работой.
Остановимся на специфике формирования навыков самоконтроля при проведении математических диктантов, которые желательно проводить после изучения соответствующего материал каждого пункта задачи учителю большей частью приходится составлять самому ,т.к. число задач с установкой на самоконтроль составляет менее 20% от общего числа заданий, имеющихся в учебниках и учебных пособиях по математике для средней школы.
Ответы к заданиям заготавливаются заранее и по окончанию диктанта представляютих для пользования учащимся. [2]
При проведении диктантов учитель должен четко представлять себе результативность следующих видов работ: а) проверка диктантов только учителем; б) взаимопроверка работ соседями по парте; в) взаимопроверка работ соседями по варианту; г) самопроверка;
Наиболее высокий % объективных оценок, как правило бывает при взаимопроверке соседей по варианту. Самый низкий- соседей по парте, т.к. обмен работами в этом случае приводит к перемене варианта задания. Продуктивность самостоятельной работы зависит во многом от общих умений познавательной деятельности, поэтому учащихся нужно ориентировать на развитие умений обобщать, классифицировать, систематизировать и строить различные схемы изучаемого материала.
При этом целесообразно подчеркивать, что например построение таблиц, схем графиков в ходе изучения материала позволяет увеличивать объем запоминаемой информации(по сравнению с запоминаем на слух на 15-20%).
Организация самостоятельной работы на уроке вызывает большие трудности, здесь нельзя ограничится фронтальными воздействиями: учителю необходимо дифференцировать работу учащихся, 'организовывать управление ею, приблизить самостоятельную работу к реальной практической деятельности. Решение каждой их этих задач достигается с помощью учебного оборудования. Уже давно и прочно в практику школы вошли дидактические материалы," составленные по вариантам с различным уровнем трудности заданий.
Управление самостоятельной работой учащихся в значительной мере можно поручить ТПО (таблицы программного обеспечения).
При этой работе облегчается управление классом со стороны учителя. Доказательство теоремы можно провести в виде структированного текста, содержащего блоки. Обращение к таким таблицам не только способствует непроизвольному и прочному запоминанию, но и учит самостоятельному изучению нужных сведений, работе со справочной информацией. [8]
Хочется отменить организацию уроков- зачетов, которые называются математическими рингами, где ярко выражена самостоятельная работа при подготовке.
За неделю до зачета предлагаются учащимся теоретические вопросы по определенной теме, которые он должен подготовить. К зачету учащиеся переписывают вопросы, а слева оставляют место для оценок за ответы на них. До зачета договорится, что на своих карточках с тыльной стороны учащиеся проведут красную или желтую, или зеленую полосу, красная полоса обозначает, что обладатель такой карточки уверен в своих знаниях и хочет выйти на ринг одним из первых, желтая полоса свидетельствует о томи, что ученик не слишком уверен в своих знаниях, а зеленая говорит еще о меньшей
уверенности.
1-ый вопрос по теории ученики берут из предложенного заранее им списка, а дополнительные вопросы могут быть какими угодно по данной теме. Ребята могут их записывать из учебника или придумывать сами. Можно предложить и занимательную задачу и чем она оригинальна, тем больше баллов получит тот, кто её предложил, ребята должны быть настолько хорошо подготовлены, чтобы отвечать с "ходу". При ответах разрешается делать на доске схематические чертежи, краткие записи. Если ответ надо подтвердить доказательством, отвечающий получает несколько минут для подготовки. Пока один ученик готовится, вопросы задают другому. За правильностью ответов учитель следит вместе с классом. Каждому ученику разрешается дополнить или поправить отвечающего. Его активность также оценивается баллами, заработанные баллы выставляются в специальную ведомость. Её ведет ученик- "' контролер. В ведомости несколько граф, в которых проставляются баллы за работу заранее установленного типа. Опрос сильных учащихся продолжается целый урок. [13]
На втором этапе математического ринга учащиеся экзаменаторы . рассаживаются ,по одному за пронумерованные столы. Этот номер вопроса в списке вопросов, предложенных перед зачетом. Учащиеся, переходя от стола к столу должны побеседовать с каждым экзаменатором, но последовательности бесед они устанавливают сами.
Тот из учащихся, кто почувствовал затруднение, может обратится к учебнику. Ребята с желтой полосой могут воспользоваться учебником дважды, ас зеленой трижды. Штрафные очки им при этом не присуждаются.
На третьем этапе математического ринга происходит подведение итогов, подсчет полученных баллов и выставление каждому участнику определенной оценки.
Условия выставления баллов следующие:
1)3а ответ на каждый их обязательных вопросов - по 10 баллов,
2)3а решение коллективной задачи-10 баллов
3)3а сообщение по теме - 20 баллов
4)3а активное участие в опросе - 3 балла
5)3а оперативность - 5 баллов
6)3а дополнительную задачу-20 баллов.
После подведения итогов учащимся выставляются оценки. Если ученик получит от 110-140 баллов-"5", от 90-100 баллов –«4», от 70-90 баллов-"3", от 60 и меньше.
Решение учеником домашней задачи считается самостоятельной работой, но степень самостоятельности здесь установить трудно. Однако выполнение учащимися различных практических заданий связанных с построениями, измерениями при условии, что они индивидуализированы можно всегда считать самостоятельной работой.
Эффективность самостоятельной работы, формирование навыков самостоятельной деятельности во многом зависит от своевременного анализа результатов работы, когда у ученика еще не окончен процесс корректировки собственных знаний, когда образно говоря, он еще не успел "поспать" быть может ошибочную информацию в память, очевидно, что анализ самостоятельной работы должен носить обучающий характер, т.е. не просто констатировать количество ошибок, а производить их разбор, с тем, чтобы учащиеся смогли до конца понять вопросов котором сделали ошибки.
В управлении самостоятельной работой школьников у учителя наблюдаются такие ошибки:
а) Учителя нередко совершенно избегают единых для всех учащихся учебных заданий из-за боязни списывания, но без этого вообще невозможно организовать учебно-познавательную деятельность, работу всего класса,
б) Другая ошибка - когда учебная работа задается фронтально, но учитель не следует за тем, чтобы она сразу протекала в индивидуальной фазе, когда все ученики самостоятельно независимо друг от друга пытаются выполнить упражнение, решить задачу.
Устная работа в таких случаях ведется лишь с активом класса, ведь ответы первых опрошенных учеников дают подсказку остальным. Учебные задания, предназначенные для устной работы должны быть не громоздкими, своего рода учебными заданиями на сообразительность, различных вычислительных расчетов, а ответ имел лаконичную, не громоздкую форму. Если при проведении самостоятельной работы учитель сталкивается и с такими трудностями:
а)учащиеся заканчивают работу не одновременно, поэтому целесообразно включать дополнительные задания для тех, кто работает быстрее. б)трудно подобрать задание, однако посильное для всех учащихся. Если выполняется ряд однотипных упражнений, то здесь его посильность реализуется его объемом; трудно организовать проверку самостоятельной работы. Можно использовать вращающуюся доску или кодоскоп для проверки самостоятельной работы.
Самостоятельная работа как прием обучения может входить почти во все методы обучения, воспитывать в учениках потребность самостоятельно добывать знания, умение творчески пользоваться объяснениями учителя, помощью товарищей, книгами, конспектами одна из важнейших целей работы педагогов. [12]
§4. Организация самостоятельной работы учащихся при изучении естественно-математических и гуманитарных дисциплин.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
В настоящее время каждый учитель математики ставит перед собой задачу не только сообщить школьникам определенную сумму знаний, наполнить их память некоторым набором фактов и теорем, но и научить учащихся думать, развить их мысль, творческую инициативу, самостоятельность. Привитие ученикам навыков самостоятельной работы, умения ориентироваться в поступающей информации, умения самостоятельно пополнять свои знания — это сложный и длительный процесс, требующий специально организованной и целенаправленной работы учителя, в которой, так же как и в любой другой работе. выделяются определенные этапы.
Среди совокупности умений и способов деятельности, которыми овладевают учащиеся при изучении математики, существуют такие, которыми должен прочно овладеть каждый ученик, для того чтобы учебный процесс протекал нормально.
Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. Умения, приобретаемые школьниками при изучении функций, имеют прикладной и практический характер. Они широко используются при изучении, как курса математики, так и других школьных предметов — физики, химии, географии, биологии, находят широкое применение в практической деятельности человека. От того, как усвоены учащимися соответствующие умения, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.
При проведении работы со школьниками на базе школы №7 города Бирска мною было выявлено, что при выделении обязательных задач по теме «Функции», следует ориентироваться на то, что обучение в VI—VIII классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника: На базе полученной им математической подготовки строится его дальнейшее обучение. Поэтому для определения реально необходимого уровня сформированности умений по каждому вопросу, в первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования этих умений на следующих ступенях обучения. Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.
Применительно к функциональному материалу естественным представляется проанализировать характер его применения в курсе алгебры и начал анализа, геометрии, а также школьного курса физики. Анализ теоретического и задачного материала этих курсов позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно следить при изучении всех видов конкретных функций,— умения работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.
К умениям работать с формулами относятся "следующие.
Если функции вида y=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, у=х3, y=Öx заданы формулами с конкретными значениями параметров, то учащиеся должны уметь:
— указать область определения функции;
— вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
—вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;
— определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции,
Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождении наибольшего и наименьшего значений функции, вычислении пределов функций, интегралов и др. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении и т.. д. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции (а также графику уравнения), требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнений прямой, окружности, плоскости.
Важнейшее значение в функциональной подготовке учащихся - имеет формирование графических умений. График — это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе.
График функции выступает основным опорным образом при формировании целого ряда понятий — возрастания и убывания функции, четности и нечетности, обратимости функции, понятия экстремума. Без четких и сознательных представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл. Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функций. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций:
y=kx+b, у=k/x, y=ax2+bx+c, (при конкретных значениях параметров), у=х3, y=Öx
Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функций. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов: ,
— по заданному значению одной из переменных х или у определить значение другой;
— определять промежутки возрастания и убывания функции;
— определять промежутки знакопостоянства;
— для квадратичной функции указывать значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение, а также определять это значение.
Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: у=х, у=—х, у=х2, и уметь без специального построения по точкам показать их расположение в координатной плоскости.
И наконец, учащиеся должны применять графики изученных перечисленных выше функций для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств видаf(x)³0.
Достижение„всеми учащимися выделенных результатов обучения требует специальной ориентации процесса обучения, серьезной и тщательной работы учителя по обеспечению такого усвоения. При этом правильно организованная работа по обучению учащихся решать основные типы задач не только не противоречит тезису о развитии самостоятельности учащихся в учебной деятельности, но и способствует такому развитию, закладывает основы обучения школьников обще учебным умениям, умениям самостоятельной работы. Остановимся на некоторых из этих вопросов.
Прежде всего, одним из условий эффективности этой работы является своевременное ознакомление учащихся с основными требованиями к их знаниям и умениям. Это может делаться в различной форме. Приступая к изучению какой-либо функции, целесообразно сообщить учащимся в самом общем виде, какими умениями они должны овладеть в обязательном порядке. Например, начав изучать функцию вида y=ax2+bx+c, можно указать учащимся, что усвоение этого материала будет оценено положительно только в
том случае, если они научатся строить график квадратичной функции и по графику отвечать на некоторые вопросы. В ходе изучения материала следует уточнить требования, конкретизировав их вторую часть. При этом, если имеется такая возможность, полезно указать номера упражнений, отражающих основные требования.
Сформировать прочные умения в построении и чтении графиков функций, добиться, чтобы каждый ученик мог выполнять основные виды заданий самостоятельно, можно только при условии выполнения учащимися достаточного числа тренировочных упражнений. Но было бы большой ошибкой, если бы эта работа ограничивалась только тренировкой. Обоснованность действий, сознательность при их выполнении, внимание к формированию умений обще учебного характера — непременное условие прочности в овладении умениями. Рассмотрим это на примере отработки умения строить графики функций.
Часто приходится наблюдать, особенно в практике работы неопытных учителей, что при формировании этого умения они ограничиваются исключительно тренировочными упражнениями, не уделяя должного внимания овладению понятиями, изучению свойств функций. Результатом является то, что при затрате больших сил и времени учащиеся так и не приобретает умения свободно и уверенно строить графики. Проанализируем один пример. В итоговой контрольной работе по алгебре за курс VI класса учащимся было предложено построить график функции, заданной формулой у=2х—1. Многие учащиеся справились с заданием. Однако среди ошибок были такие, которые свидетельствовали о несформированности не только умения строить график линейной функции, но и строить график вообще. В некоторых работах на рисунке вместо прямой можно было видеть некое подобие параболы или гиперболы. Иногда это была и прямая, но проходящая через другие координатные углы. Ученики, таким образом выполнившие задание, усвоили только одно: для того чтобы построить график функции, надо находить координаты точек, принадлежащих графику. Допущенные в вычислениях ошибки не Позволили им верно выполнить задание, однако проконтролировать себя в ходе его решения они не смогли. Это свидетельствуемо том, что в ходе обучения построению графиков функций акцент делался на механическое повторение способов построения графиков отдельных функций и недооценивалось значение теоретических знаний.
При обучении учащихся построению графиков функций следует ориентироваться не на формальное повторение школьниками отдельных приемов построения графиков, а на сознательное усвоение материала. Необходимо уделять серьезное внимание усвоению соответствующих понятий, изучению свойств функций и формированию на этой основе способов построения графиков.
При изучении всех видов функций построение графика полезно проводить по одному и тому же общему плану, добиваясь от учащихся его непременного соблюдения:
1. по формуле распознать вид функции (линейная, квадратичная и т. д.)
2. вспомнить, что является графиком функции такого вида (прямая, парабола и т. д.)
3. выяснить, исходя из формулы, некоторые характерные особенности этого графика (так как k>0, то угол наклона прямой к оси х острый; так как а<0, то ветви параболы направлены вниз;
4. приступать к построению графика по точкам, используя для каждого вида функции свой специфический способ.
При выполнении упражнения всем классом, сопровождающемся построением графика на доске, надо непременно требовать от отвечающего ученика вслух комментировать ход решения, выделяя каждый из этих этапов, не пропуская ни один из них. Такая планомерная работа приводит к тому, что соблюдение этого плана становится привычным для ученика, и каждый ученик самостоятельно обращается к нему при построении любого графика.
Обучаясь построению графиков конкретных функций, ученик обучается составлению определенного плана действий. Приступая к решению поставленной перед ним задачи, ученик не берется за ее выполнение «в лоб», а предварительно намечает исходную идею решения. Иными словами, у него появляется основа для ориентировочных действий. А это, в свою очередь, способствует приобретению навыков самоконтроля. Причем подход к самоконтролю здесь не формальный, в отличие от широко распространенного в практике, когда ученикам, уже выполнившим задание, предлагают:
«Проверьте свое решение». В такой ситуации ученик, как правило, не знает, что ему при этом надо делать и в лучшем случае просто прочитывает свое решение еще раз. Однако ему трудно увидеть ошибки и немудрено, что ошибочное решение часто остается неисправленным. Анализ же условия и обдуманная наметка пути решения на первоначальном этапе более эффективны в плане самоконтроля, так как ученик получает возможность контролировать свои действия на каждом этапе выполнения задания. Так, например, установив, что графиком функции является прямая, ученик уже не станет изображать на рисунке параболу. Зная, что угол наклона прямой к оси хдолжен быть острым, он насторожится, если у него на рисунке получится тупой угол, и это может заставить его пересмотреть некоторые моменты своего решения. Базу для такого самоконтроля создает твердое знание основного теоретического материала, знание свойств функций.
Для прочного усвоения свойств изучаемых функций необходимо включать специальные упражнения, заставляющие учащихся актуализировать имеющиеся у них знания о функциях, выполнять некоторый перебор знаний с целью выбора нужных в данной ситуации. С этой точки зрения эффективны упражнения на соотнесение графика функции с формулой, задающей эту функцию. Например, после изучения свойств линейной функции можно предложить учащимся задание такого типа: «На рисунке изображены графики линейных функций и приведены формулы, задающие эти функции: y=-0,5x+1; у=3; у=2х+2; y=3x. Установите, какая формула соответствует каждому из представленных графиков». Эти упражнения легко варьировать, увеличивая, например, число приводимых формул, после изучения новых видов функций, включая графики различных функций. Например, предложить учащимся соотнести каждый из графиков, изображенных на рисунке, с формулами:
y=2х—1; у=2х; у=х2; y=3/x; y=х3.
Подобные задания можно выполнять устно при фронтальной работе с классом и письменно в виде самостоятельной работы. В первом случае следует непременно требовать от учащихся обоснования своего выбора. Не отнимая много времени на уроке, эти упражнения приносят существенный эффект и помогают добиться прочных умений. в построении графиков функций.
В заключение отметим, что, хотя работа по обучению учащихся умению самостоятельно решать основные виды задач еще не решает проблемы развития самостоятельности учащихся в целом и ее, конечно, недостаточно для достижения такой цели, все же эта работа является важным этапом в ее достижении. Обучение деятельности по образцу имеет в математике свою специфику, так как в большинстве случаев такая деятельность не сводится к чисто воспроизводящей. Воспроизводится именно способ решения, сама же задача, ее конкретные данные всегда варьируются. При решении любой задачи, при выполнении каждого упражнения ученик осуществляет хотя бы элементарный перенос знаний, актуализирует необходимый способ действий, определяет путь решения. Таким образом, целенаправленная и тщательная работа по организации овладения всеми учащимися необходимым набором умений создает основу для перехода на более высокий уровень самостоятельности, является необходимой базой такого перехода. Кроме того, эта работа не только не противоречит идее развития у учеников общеучебных умений, составляющих основу самостоятельной деятельности каждого ученика, но включает в себя большие возможности в этом плане и, правильно организованная, служит начальным этапом формирования этих умений.
Заключение.
1) Изучив научно - методическую литературу по проблеме формирования у старшеклассников готовности к самообразованию я сделала вывод, что проблема остается не изученной до конца и нуждается в дальнейшем исследовании. В педагогической литературе в последнее время часто обращается внимание на то, что для обеспечения социальных задач необходимо построение для школы особой методики самостоятельной работы учащихся, усложняющейся от I до XI класса, предполагающей не только увеличение времени на самостоятельную работу, но прежде всего овладение школьниками приемами самостоятельной работы, причем не получение этих приемов в готовом виде от учителя, а обнаружение их в ходе активного поиска самими учениками. Современный этап движения человечества к самопознанию и самообразованию акцентирует проблему качества образования.
2) Различные подходы к пониманию сущности самообразования позволили определить, что самообразование основано на знаниях, умениях, навыках и способах учебной деятельности, приобретенных в процессе обучения, проявляется как самостоятельная познавательная деятельность, осуществляемая субъектом учения. В ходе самообразовательной деятельности идет целенаправленное и целесообразное самоизменение личности концептуально и нормативно определенное ей самой и самостоятельно ей реализуемая для дальнейшей успешной самостоятельной жизнедеятельности и самореализации личности.
3) Сущность самообразования с психологической точки зрения состоит в том, что оно движимо мотивами личностного самоусовершенствования (в том числе усовершенствования учебной деятельности), определяемыми социальными требованиями общества. Это особая деятельность, имеющая свою специфическую структуру, отличающаяся от учебной деятельности и ее самостоятельных форм тем, что ее основные компоненты - мотивы, задачи, способы действий и способы контроля определяются самим учеником. Как правило, в основе самообразования лежат мотивы жизненного определения; потребности, не удовлетворяемые в условиях школы.
4) Мною рассмотрены виды педагогического руководства самообразованием, которые направлены на формирование прежде всего приемов и способов самообразования.
5) Рассмотренные в моей работе характеристики готовности личности к самообразованию отражают наиболее важные способности, обуславливающие возможность осуществления самообразования.
6) Рассмотрев организацию учебной домашней работы в рамках формирования умений познавательной деятельности при подготовке старшеклассников к самообразованию, я пришла к выводу, что перестраивая позицию ученика из пассивного исполнителя заданных учителем заданий в позицию активного строителя своего образования, мы тем самым вызывем у него необходимость использования более разнообразных приемов работы, что определив слабые стороны своих знаний, учащиеся более интенсивно, с использованием более разнообразных приемов будет их ликвидировать.
Список использованной литературы
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИЙ
ПРИЁМЫ И МЕТОДЫ
§1. Анализ программ и учебников
«Алгебра, 7», «Алгебра, 8», «Алгебра, 9», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова
|
Тема |
Основная цель |
|
График функции y=kx+b. График функции y=kx. |
В данной теме начинается работа по формированию учащихся умения самостоятельно находить значение функций по известному значению аргумента (по графику) и решать по графику обратную задачу. Учащиеся должны понимать, как влияет знак коэффициента k на расположение координатной плоскости графика функций y=kx, где k ¹0, как зависит от значений k и b взаимная расположение графиков двух функций вида y=kx+b. |
|
График функции y=k/x. |
При изучении свойств функции y=k/x, важно рассмотреть с учащимися расположение в координатной плоскости графика этой функции при k<0 и k>0. |
|
График функции y=Öx. |
При изучении функции y=Öx, полезно остановится на вопросе о её связи с функцией y=x2 , где х³0 |
|
График функции y=ax2+bx+c. |
Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функцииу=ах2, её свойств и особенностей графика. Важно, чтобы учащиеся понимали, что график функции y=ax2+bx+c может быть получен из графика функции у=ах2, двух параллельных переносов вдоль осей. Приёмы построения графика функции y=ax2+bx+c обрабатываются на конкретных примерах. При этом следует обратить внимание на формирование умения указывать координаты параболы, её ось симметрии, направление ветвей параболы. |
“Алгебра, 7”, “Алгебра, 8”, “Алгебра, 9”, авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.
|
Тема |
Основная цель |
|
Функция y=kx+b и её график. |
В данной теме начинается работа по формированию у учащихся умения находить значение функций по известному значению аргумента(по графику) и решать по графику обратную задачу. |
|
Функция y=kx и её график |
Учащиеся должны понимать как влияет знак коэффициента k на расположение координатной плоскости графика функций y=kx, где k=0, как зависит отзначений k и b взаимное расположение графиков двух функций при k<0 и k>0. |
|
Функция y=k/x и её график |
При изучении свойств функции y=k/x, важно расмотреть с учащимися расположение в координатной плоскости графика этой функции при k<0 и k>0 |
|
Функция y= x и её график |
При изучении функции y= x, полезноостановится на вопросе о её связи с функцией y=x , где х>0. |
|
Функция y=ax2+bx+c её свойства и график |
Изучение квадратичной функции начинается с рассмотрения функции y=аx2 , её свойств и особенностей графика. Важно, чтобы учащиеся понимали, что график функции y=ax2+bx+c может быть получен из графика функции y=ax двух параллельных переносов вдоль осей. Приёмы построения графика функции y=ax2+bx+c отрабатываются на конкретных примерах. При этом следует уделять внимание формированию умению указывать координаты вершины параболы, её ось симметрии, направление ветвей параболы. |
”Алгебра, 7”, ”Алгебра, 8”, ”Алгебра, 9”, Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.
|
График функции. Функция y=kx и его график |
Вводится понятие график функции. начинается работа по формированию у учащихся умений находить значение функции, заданной графиком, по известному значению аргумента, а также определять по графику функции значение аргумента, если значение функции задано. Изучение линейной функции предшествует изучение функции y=kx и ее график. Рассматривается зависимость расположения графика функции от значения коэффициента k. Учащиеся должны понимать, как влияет знак k на расположение графика. |
|
Функции y=x , y=ax , y=ax +bx+c и их графики |
Научит строить график квадротичной функции. Последоательно знакомить с графиками и свойствами этих функций. Построение этих графиков на конкретных примерах осушествляется по точкам. Основное внимание уделяется построению графика с использованием координат вершины параболы, нулей функции (если они имеются) и нескольких дополнительных точек. Преобразования же графиков являются вспомогательным материалом. Формируются умения определять по графику промежутки возростания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции |
|
Функция y=k/x |
Выработать умение устанавливать основные свойства (читать график), по заданному графику функции y=x , y=x , y=1/x, y= x, y=k/x, y=ax +bx+c и изображать эскизы графиков этих функций. |
“Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных”, “Математика 8: Алгебра функции. Анализ данных”, Математика 9: Алгебра функции. Анализ данных”, авт. Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.
|
Тема |
Основная цель |
|
Графики зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=½x½. Графики реальных зависимостей |
Познакомьтесь с графиками зависимостей y=x, y=-x, y=x2, y=x3, y=½x½, сформировать первоначальные навыки интерпретации графиков реальных зависимостей. Учащиеся должны уметь достаточно быстро и самостоятельно строить графики, указывая несколько характерных точек, изображать эти графики схематически. Рассматривается график y=½x½. Специальное внимание уделяется работе с графиками реальных зависимостей температуры, движения и др. Акцент ставится на умение считывать с графика нужную информацию. |
|
Графики функций y=kx, y=kx+l, y=k/x. Графики реальных зависимостей |
При построении графиков формулируется представление об общих свойствах функции (нули, промежутки, монотонности, сохранение знака) |
|
График функцииy=ax2+bx+c. |
Научит строить график квадратичной функции, по графику читать её свойства; учащимся сообщается, что графиком квадратичной функции является парабола, рассматриваются готовые графики квадратичной функции и анализируются их особенности (наличие оси симметрии, вершины направление ветвей, расположение по направлению к оси). Учащиеся учатся строить параболу по точкам с опорой на её симметрию. Сначала рассматриваются свойства и график функции y=ax2, затем показывается как при сдвигах параболы y=ax2 вдоль осей координат получаются графики новых квадратичных функций. Здесь формируется умение находить вершину и ось симметрии графиков квадратичных функций, заданных формулами y=ax2+q, y=a(x+p)2, y=a(x+p)2+q. Рассматриваются некоторые примеры, связанные с переносом вдоль осей координат произвольных графиков. Центральным моментом является доказательство того, что график любой квадратичной функции y=ax2+bx+cможет быть получен с помощью сдвигов вдоль координатных осей параболыy=ax2, после чего учащиеся могут находить абсциссу вершины параболы по известной формуле. Значительное место отводиться задачам прикладного характера, которые решаются с опорой на графические представления. |
Старшая школа
«Алгебра и начала анализа, 10 – 11 класс», авт. М.И Башмаков.
|
Тема |
Основная цель |
|
Графики тригонометрических функций |
Изучить свойства и графики тригонометрических функций, учащиеся должны хорошо усвоить вид графиков тригонометрических функций. |
|
Графики показательной и логарифмической функции |
Изучить графики показательной и логарифмической функции |
“Алгебра и начала анализа, 10 - 11”, авт. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др.
|
Графики тригонометрических функций |
Особое внимание нужно обратить на графическую интерпретацию свойств.Значительно расширит возможности учащихся в построении графиков функции рассмотрение вопроса о преобразовании графиков (параллельный перенос на заданный вектор, растяжение вдоль оси Ох), что позволит осознано строить графики гармонических колебаний |
|
Применение производной к исследованию функции и построению её графика |
Существенное внимание следует уделить решению разнообразных задач связанных с иследованием функции. |
“Алгебра и начала анализа, 10 - 11”, авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.
|
Тема |
Основная цель |
|
Степенная, покозательная, логарифмическая функции их свойства и графики |
Познакомить учащихся с графиками этих функций. Познакомить их с многообразием свойств и графиков степенной функции в зависимости от значений оснований и покозателей степени. Особое внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику. |
|
Тригонометрические функции и их графики. |
Научит учащихся строить графики тригонометрических функций. Учащиеся должны научится выполнять эскизы графиков, используя эти свойства, а также устонавливать эти свойства по графику. |
|
Применение производной к построению графиков функций |
При изучении графика функций полезно показать построение графиков функций, которой не являются неприрывной на всей области определения. И особенности построения графиков четной и не четной функции. |
Программа для школы с углубленным изучением математики.
«Алгебра, 8», авт. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др. «Алгебра, 9», авт. Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев.
|
Тема |
|
График функции. Простейшие преобразования графиков (параллельные переносы вдоль координатных осей). График функции y=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=Öx, y=Ö(x-m)+n.Отражение свойств функции на графике. Преобразование графиков функций: симметрия относительно осей координат и относительно прямой y=x. Построение графиков кусочно-заданных функций. Построение графиков функций связанных с модулем. Примеры построения графиков рациональных функций. Графики функций y=[x], y={x}. Графики функций y=xn, y=Öx. |
«Алгебра, 8», «Алгебра, 9», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нелеков, С.Б. Суворова, «Учебные пособия, Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 (9) класса», авт. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.
|
Тема |
|
Построение преобразование графиков функций. График функции y=k/x. График дробно – линейной функции. График функции вида y=Öx, y=Ö(x-m)+n. График квадратичной функции. Построение графиков функций. График функций y=-f(x), y=f(-x), y=-f(-x), y=½f(x)½ y=f(½x½). [Графики функций y=½x½ и y={x}.]. |
«Алгебра и математический анализ, 10», «Алгебра и математический анализ, 11», авт. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.
|
Тема |
|
Построение графиков функций элементарными методами. Преобразование графиков. Графики дробно – линейных функций. Графики функций, связанных с модулем. Графики взаимно обратных функций. Построение графиков функций с помощю производной. Графики тригонометрических функций. Графики показательной и логарифмической функции |
§2. Построение графика функций с помощью преобразования
Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. График функций вида:
y=Af(ax+b)+B
может быть получен из графика функций y=f(x) при помощи следующих геометрических преобразований:
1. а) Осевой симметрии относительно оси 0X;
б) осевой симметрии относительно оси 0Y;
в) центральной симметрии относительно начала координат точки 0;
2. а) Параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0X;
б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси 0Y;
3. а) Растяжения (или сжатия) по направлению оси 0X;
б) растяжения (или сжатия) по направлению оси 0Y;
Отметим, что:
1. а) При осевой симметрии относительно оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x; -y);
б) При осевой симметрии относительно оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (-x; y);
в) При центральной симметрии относительно начала координат (x; y) переходит в точку (-x; -y);
2. а) При параллельном переносе вдоль оси 0X точка (x; y) переходит в точку (x+a; y), где а – некоторое число при этом перенос происходит «вправо», если а>0, и «влево», если а<0;
б) ) При параллельном переносе вдоль оси 0Y точка (x; y) переходит в точку (x; y+b), где b – некоторое число при этом перенос происходит «вверх», если b>0, и «вниз», если b<0;
3. а) При растяжении (сжатии) в p раз (p>0, p¹1) вдоль оси 0X относительно 0Y точка (x; y) переходит в точку (px; y);
б) При растяжении (сжатии) в q раз (q>0, q¹1) вдоль оси 0Y относительно 0X точка (x; y) переходит в точку (x; qy);
Применительно к графикам функций эти свойства дают те конкретные геометрические преобразования (табл. 1), использование которых позволяет из известного графика функции y=f(x) строить графики других функций (рис. 1 - 11).
Таблица №1
Рассмотрим несколько примеров построения графиков функций:
Пример 1. График функции y=2x-3 получается из графика y=2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде 2(x-3/2), замечаем, что график функции y=2(x-3/2) можно получить из графика функции y=2x при помощи
параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3/2(рис. 12).
Пример 2. График функции y=4x2получается из графика функции y= x2 растяжением последнего в 4 раза вдоль оси 0Yотносительно оси 0X. Переписав 4x2 в виде(2x)2 , замечаем, что график функции y= x2можно получить из графика функции y=x2 сжатием последнего в 2 раза вдоль оси 0Xотносительно оси 0Y(рис. 13).
Пример 3. График функции y= 2x-3 получается из графика y= 2x при помощи параллельного переноса его вдоль оси 0X вправо на отрезок длины 3.
Переписав 2x-3 в виде(1/8)*2x , замечаем, что график функции y=(1/8)*2x можно получить из графика функцииy=2x сжатием последнего в 8 раз вдоль оси 0X (рис. 14).
Пример 4. Построить график функции:
y=1/2arctg(i/4-x)
Решение: построение графика данной функции может быть проведено по следующей схеме (рис. 13):
arctg ® arctg(-x) ® 1/2arctg(-x) ® 1/2arctg(-(x-1/4)).
Пример 5. Построить график функции:
y=ax2 +bx+c, a¹0.
Решение: квадратный трехчлен ax2+bx+cможно записать в видеa(x+(b/2a))2+(4ac-b2)/4a. Отсюда видно, что график функции y=ax2+bx+c, получается из параболы y=x2 по следующей схеме:
x2® ax2® ax2+(4ac- b2)/4a ® a(x+b/(2a))2 +(4ac-b2 )/4a
т.е. для построения графика y=a x2+bx+cнадо:
1. Растянуть в |а | раз, если |а | >1 (сжать |1/а | раз, если |а | <1), вдоль оси0X график функции y=x2 (с возможным последующим отображением полученного графика функции y=|a| x2 относительно оси 0Y, если а<0).
2. Параллельно перенести вдоль оси 0Y на отрезок длины |(4ac-b2)/4a| вверх (вниз) график функции y=ax2 , если величина (4ac-b2)/4a положительна (отрицательна).
3. Полученный после предыдущего преобразования график параллельно перенести вдоль оси 0X на отрезок длины |b/2a|вправо, если b/2a<0, и влево, если b/2a>0.
Пример 6. Построить график функции:
y=| x2-5x+6|
Решение: построим график функцииy=x2-5x+6
x2 ®(x-5/2)2 ®(x-5/2)2 -1/4= x2-5x+6
На рисунке изображен график функций y=|x2-5x+6|
Иногда функция, график которой должен быть построен, представляется как сумма двух простейших функций, графики которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить приём графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков.) покажем этот приём на примерах.
Пример 1. Построить график функций y=x3 +2x+2.
Решение: можно представить данную функцию как сумму функций y=x3и y=-2x+2, графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 16 тонкими линиями: это прямая y=-2x+2 и кубическая параболаy=x3. Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере – вершинуO(0; 0) параболы, точки пересечения прямой с осями и т.д.). Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем много сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т.д. Положение этих характерных точек её графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.
Пример 2. Построить график функций y=2ч-2x.
Решение: график данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y=2x и линейной функции y=-2x. Это сделано на рис. 17. График пересекает ось OX в точках x=1, x=2, являющихся нулями функции y=2ч-2x.
Обратим ещё внимание на то, что прямая y=-2x является асимптотой графика (т.к. при x, стремящимся к минус бесконечности, разность между значениями функций y=2ч-2x и y=-2x стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти её точное положение для нас затруднительно.
Пример 3. Построить график функций y=x2-x4.
Решение: график может быть построен вычитанием ординат графика y=x4 из ординат графика y=x2 (рис. 18). В данном случае полезно дополнить это построение некоторым общим исследованием свойств функции y=x2-x4. Ясно, что функция определена для всех значений x и является четной. Она обращается в нуль при x=0, x=±1. Как видно из построения графика методом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их нетрудно найти; преобразуем выражение функции:
y=x2-x4=1/4-(1/4- x2+x4)=1/4-( x2-1/2) 2 .
Теперь видно, что наибольшее значение y=1/4 функция имеет при х=±1/Ö2. Точка x=0 является точкой минимума данной функции (но значение функции в этой точке, равное нулю, не есть её наименьшее значение).
(книга 2)
Используя геометрические преобразования, рассмотренные выше, в их различных комбинациях, можно построить и графики более сложных функций.
Пример1. Построить график функций
y= |||x | - 1| -2|
Решение: график данной функции можно построить по графику функции y=||x|-1|, если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длины 2, а затем эту часть полученного графика функции y= ||x | - 1| -2, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X. График функции y= ||x | - 1| можно построить по графику функции y= |x| если последний параллельно перенести вдоль оси 0Y вниз на отрезок длинны 1, а затем ту часть полученного графика функции y= |x| - 1, которая расположена в нижней плоскости, симметрично отобразить относительно оси 0X.
Таким образом, график заданной функции может быть построен согласно схеме: x®|x|®|x|-1®||x|-1|® ||x|-1|-2®|||x|-1|2|
§3. Применение производной
к построению графика функции
Графики функций строятся по точкам. Обычно из уравнения y=f(x) находят несколько точек графика функций y=f(x) и соединяют эти точки плавной кривой. Однако при таком методе легко пропустить какие-то особенности графика и допустить ошибку в построении.
Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию на честность и периодичность. Т.к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной - относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств лишь при х³0. Если периодическая и Т – её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.
Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том , что если, скажем, на интервале (a; b) функция y=f(x) принимает только положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведения функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они есть), найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать её на экстремум.
Подводя итог всему сказанному выше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции,
2. Исследовать функцию на четность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Определить промежутки знакопостоянства.
6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.
7. Исследовать функцию на экстремум.
8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.
9. Используя все полученные результаты ,построить график функции.
Пример 1. Построить график функции y= x4-2 x2-8.
Решение. 1.Функция определена при любом значении x,т.е. D=(f)=R.
2. Так как область определения функции - симметричное множество и f(-x)=f(x),то функция четна .Следовательно график функции симметричен относительно оси Оy и для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком [0,+ ]. Но в данном примере мы этого делать не будем.
3Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения графика с осью Ох. Для этого решим уравнение x4- x2-8=0. Пологая u= x2,получим квадратное уравнение u2- u-8=0. Пологая u= x2,получим квадратное уравнение u2- u-8=0, имеющее корни 4 и –2. Из уравнения x2=4 находим х=2, х=-2, уравнение x2=-2 не имеет решений. Мы нашли две точки пересечения с осью Ох:(2;0) и (-2;0).
С осью Оу график функции пересекается в точке(0;-8).
5. Найдем интервалы знакопостоянства функции. Заданная функция не прерывна на всей числовой прямой обращается в 0 в точках 2 и –2. Значит, в промежутках (- ,-2). (-2;2) и (2; ) она сохраняет постоянный знак Чтобы определить знак функции на каждом из указанных промежутков, достаточно взять по одной “пробной” точке из каждого промежутка.
Имеем –100 (- ,2), f(-100)=(-100)4-2(-100)2-8>0. Значит, f(x)>0 в промежутке (- ; -2). Далее, 0Î(-2; 2), f(0)=-8<0. Поэтому f(x)<0 в промежутке(-2; 2). Наконец, 100Î(2; + ), f(100)=f(-100), а выше мы видели, что f(-100)>0. Следовательно, f(100)>0, а потом f(x)>0 в промежутке (2; + ).
На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту. Заштрихованы те участки координатной плоскости, где графика нет, отмечены известные точки(0; -8), (2; 0), (-2; 0). Это – ответ на вопрос, где расположен график. Дальнейшее исследование позволяет ответить на вопрос, как строить график.
6) Изучим поведение функции вблизи границ области определения. Поскольку D(f)=(- ; + ), такими «границами»можно считать - и + . преобразовав выражениеx4-2x2-8 к виду x2-( x2-2-8/ x2), замечаем, что если х®- или х®+ , то у®+ .
Асимптот график не имеет.
7) Исследуем функцию на экстремум; имеем
y’=4 x3-4x=4x(x-1)(x+1)
Прировняв производную нулю, находим три корня: 0, 1, -1. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки (- ; -1), (-1;0), (0;1), (1; + ). Если х>1, то у'>0, а в остальных промежутках знаки чередуются справа на лево, смотри рисунок.
Составим таблицу:
|
x |
- <x<-1 |
-1 |
-1<x<0 |
0 |
0<x<1 |
1 |
1<x<+ |
|
f’(x) |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
Убыв. |
-9 min |
Возр. |
-8 max |
Убыв. |
-9 min |
Возр. |
Итак, в точках (-1; -9) и (1; -9) функция имеет минимум, а в точке (0; -8) - максимум.
8) Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, включая те, что были уже отмечены в ходе исследования:
|
X |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-2,5 |
2,5 |
|
Y |
0 |
-9 |
-8 |
-9 |
0 |
»6 |
»6 |
9) Строим график функции y= x4-2 x2-8.
Пример 2. Построить график функции y=( x2-1)/x.
Решение:
1. Функция не определена только в точке х=0, т.е. D(f)=(- ; 0)È(0; + ).
2. Множество D(f) является симметричным; кроме того f(-х)=((-х)2-1)/-х=-(x2-1)/-х=-f(х). Значит, y=f(x) – нечетная функция. Поэтому график симметричен относительно начала координат и для дальнейшего исследования можно ограничится промежутком (0; + ), что мы и сделаем.
3. Функция непериодическая.
4. Найдем точки пересечения графика с положительным лучом оси Ох. Из уравнения ( x2-1)/x=0 находим x=1 (корень х=-1 пока не принемаем во внимание). Итак, точка пересичения с осью Ох – точку (1; 0).
С осью Оу график не пересекается, т.к. точка х=0 не принадлежит к области определения функции: 0 D(f).
5. Находим промежутки знакопостоянства: (0; 1) и (1; + ). В первом из них f(x)<0, во втором f(x)>0/
На рисунке представлена геометрическая иллюстрация тех сведений о графике, которыми мы располагаем к настоящему моменту.
6. Изучим поведение функции вблизи границ области определения, т.е. вблизи точки ноль и при х®+ . Если х®0 (напомним, что мы рассматриваем случай где х>0), то(x2-1)/x®. Если же х®+ , то ( x2-1)/x=х-1/х®+ .
Прямая х=0 является вертикальной асимптотой. Далее, т.к. степень числителя выражается (x2-1)/x на единицу больше степени знаменателя, то должна существовать и наклонная асимптота. В самом деле, поскольку (x2-1)/x=х-1/х и 1/х стремятся к нулю при х®+ , наклонной асимптотой служит прямая у=х.
7. Исследуем функцию на экстремум; имеем
y’=((x2-1)/x)’=([-1/x)’=1+1/ x2.
Замечаем, что у’>0при любых х. Значит на луче (0; + ) функция возрастает и экстремумов не имеет.
8. Составим таблицу значения функции:
|
x |
1 |
0.5 |
0.25 |
2 |
3 |
4 |
|
y |
0 |
-1.5 |
-3.75 |
1.5 |
2.67 |
3.75 |
9. отметив найденные точки на координатной плоскости и учитывая результаты исследования, строим ветвь графика при х>0, смотри рисунок.
Т.к. график функции y=(x2-1)/x, симметричен относительно начала координат, то добавив к построенной ветви симметричную ей относительно начала координат, получим искомый график.