Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Курсовая работа :
“Анализ производственных функций”
Группа: ДИ 302
Студент: Шеломанов Р.Б.
Руководитель: Зуев Г.М
Москва 1999
Содержание
Теоретическая часть
Мультипликативная производственная функция
Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. При описании экономики (точнее, ее производственной подсистемы) с помощью ПФ эта подсистема рас сматривается как «черный ящик», на вход которого поступают ресурсы R1, ..., Rn, а на выходе получается результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции Х1, ..., Хm .
В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наи более часто рассматриваются накопленный труд в форме производст венных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата - валовой выпуск Х (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать X, хотя это может быть и валовой вы пуск, и ВВП, и национальный доход.
Остановимся несколько подробнее на обосновании состава факто ра К. Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборот ных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава K определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизвод ственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое вли яние, это служит основанием напрямую учитывать в ПФ только произ водственные фонды.
Но производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составны ми частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в ПФ только основные производственные фонды.
Если изучаемый период достаточно продолжителен и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем К называть фондами.
Таким образом, экономика замещается своей моделью в форме нелинейной ПФ
Х= F(K, L),
т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).
Теперь рассмотрим экономическую интерпретацию основных характерис тик ПФ на примере мультипликативной функции (в частности, функ ции Кобба—Дугласа), некоторые дру гие ПФ, используемые в экономике, разберем в конце работы.
Производственная функция Х= F(K, L) называется неоклассичес кой, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:
1) F(0, L) = F(K, 0) = 0
- при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;
2)
3)
- с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;
4) f(+, L) = F(K, +) = +
- при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неогра ниченно растет.
Мультипликативная ПФ задается выражением
a1>0 a2>0
где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а1, a2 -коэффициенты эластичности по труду и фондам .
Таким образом, ПФ обладает свойством 1, адекватным реальной экономике: при отсутствии одного из ресурсов производство не возможно. Частным случаем этой функции служит функция Кобба-Дугласа
Где a1=a, a2=1-a
Мультипликативная ПФ определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов (Хt, Кt, Lt,), t= 1, ..., Т, где T- длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место Т соотношений
где t — корректировочный случайный коэффициент, который приво дит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюк туацию результата под воздействием других факторов, Мt = 1. Поскольку в логарифмах эта функция линейна:
In Хt = In A + atIn Kt+ a2InLt + t, где t = In t, Мt= 0,
получаем модель линейной множественной регрессии. Параметры функ ции А, a1, a2 могут быть определены по методу наименьших квадратов с помощью стандартных пакетов прикладных программ, содержащих метод множественной регрессии (например, STATGRAF или SAS для пер сональных ЭВМ).
В качестве примера приведем мультипликативную функцию валово го выпуска Российской Федерации (млрд. руб.) в зависимости от стои мости основных производственных фондов (млрд. руб.) и числа занятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 гг. (все стои мостные показатели даны в сопоставимых ценах для этого периода):
X=0,931K0,539L0,594
Мультипликативная функция обладает также свойством 2, адекватным реальной экономике: с ростом затрат ресурсов выпуск увели чивается, т.е.
Так как a1 >0
Так как a2>0
Частные производные выпуска по факторам называются предель ными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:
- предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов);
- предельный продукт труда, предельная производительность (предельная эффективность труда).
Для мультипликативной функции указанной выше вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче — с коэффициентом a1 , а предельная производительность труда — средней производительности труда — с коэффициентом а2:
,
Из чего вытекает, что при а1 < 1, a2 < 1 предельные отдачи факторов меньше средних; при этих же условиях мультипликативная функ ции обладает свойством 3, которое очень часто наблюдается в реальной экономике: с ростом затрат ресурса его предельная отдача падает, т.е.
так как а1<1
так как а2<1
Из также видно, что мультипликативная функция обладает свойством 4 , т.е. при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет. Таким образом, мультипликативная функ ция при 0 < а1 < 1, 0<а2 < 1 является неоклассической.
Перейдем теперь к экономической интерпретации параметров А, а1, а2 мультипликативной ПФ. Параметр А обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же а1, а2 выпуск в точке (К, L) тем больше, чем больше А. Для интерпретации а1, а2 необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмических производных факторов:
Поскольку в нашем случае In Х = In А + a1ln К + a1ln L, то
т.е. а1 — эластичность выпуска по основным фондам, а a2 - эластич ность выпуска по труду.
Из
видно, что коэффициент эластичности фактора показы вает, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594
при увеличении основных фон дов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе нии занятых на 1% — на 0,594%.
Если а1 >a2 имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающчй (экстенсивный) рост.
Рассмотрим темп роста выпуска
Если возвести обе части уравнения в степень , получим соотношение
в котором справа — взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при этом в качестве весов выступают относительные эластичности факторов
При а1+ а2 > 1 выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы , а при а1+ а2 < 1 - медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. Kt+1>Kt, Lt+1>Lt) то согласно растет и выпуск (т.е. Xt+1>Xt), следовательно, при а1+ а2 > 1
т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов . Таким образом, при а1+ а2 > 1 ПФ описывает растущую экономику.
Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х0=const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид :
или
т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.
Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X0, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.
Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0 = const, то
В этом соотношении , поэтому dK и dL имеют разные знаки: если dL<0 что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK.
Поэтому естественно следующее определение, вытекающее из .
Предельной нормой замены SK труда фондами называется отно шение модулей дифференциалов ОФ и труда:
соответственно , предельная норма замены SL фондов трудом
при этом Sk SL=1
Для мультипликативной функции норма замещения труда фондами пропорциональна фондовооруженности:
,
что совершенно естественно: недостаток труда можно компенсировать его лучшей фондовооруженностью.
Изоклиналями называются линии наибольшего роста ПФ. Изокли нали ортогональны линиям нулевого роста, т.е. изоквантам. Поскольку направление наибольшего роста в каждой точке (К, L) задается градиентом
grad , то уравнение изоклинали записывается в форме
В частности, для мультипликативной ПФ получаем,
поэтому изоклиналь задается дифференциальным уравнением,
, которое имеет решение
,
где (L0; К0) - координаты точки, через которую проходит изоклиналь. Наиболее простая изоклиналь при а = 0 представляет собой прямую
На рис. 1 изображены изокванты и изоклинали мультипликатив ной ПФ.
При изучении факторов роста экономики выделяют экстенсивные факторы роста (за счет увеличения затрат ресурсов, т.е. увеличения масштаба производства) и
рис. 1
интенсивные факторы роста (за счет повы шения эффективности использования ресурсов).
Возникает вопрос: как с помощью ПФ выразить масштаб и эффек тивность производства? Это сравнительно легко сделать, если выпуск и затраты выражены в соизмеримых единицах, например представлены в соизмеримой стоимостной форме. Однако проблема соизмерения на стоящего и прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому воспользуемся переходом к относительным (безраз мерным) показателям.В относительных показателях мультипликативная ПФ записывается следующим образом:
те X0, K0 L0 — значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.
Безразмерная форма , указанная выше , легко приводится к первоначальному виду
Таким образом, коэффициент
получает естественную интер претацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском. Если обозначить выпуск и ресурсы в относительных (безразмер ных) единицах измерения через x, k, l, то ПФ в форме
запи шется так:
Найдем теперь эффективность экономики, представленной ПФ . Напомним, что эффективность — это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов k и настоящего труда l. Поэтому имеются два частных показателя эффективности: -фондоотдача , - производитель труда.
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них. Так как ПФ выражена в мультипликативной форме, то и среднее естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометриче ское значение.
Итак, обобщенный показатель экономической эффективности есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономичес кой эффективности:
в котором роль весов выполняют относительные эластичности
т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в ПФ соответствующие ресурсы.
Из вытекает, что с помощью коэффициента экономичес кой эффективности ПФ преобразуется в форму, внешне совпадающую с функцией Кобба-Дугласа:
k=Eka l1-a
в соотношении с чем Е - не постоянный коэффициент, а функ ция от (К, L).
Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затрачен ных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, сред ний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)
M=kal1-a
В результате получаем , что выпуск Х есть произведение экономической эффективности и масштаба производства:
Х=ЕМ.
Линейная производственная функция
X=F(K,L)=EKK+ELL
Где EK и EL частные эффективности ресурсов.
EK = -фондоотдача , EL = - производитель труда.
Поскольку частные показатели эффективности имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно находить любые средние из них.
Эластичности замены труда фондами для линейной ПФ =
эта величина показывает, на сколько процентов надо изменить фондо вооруженность, чтобы добиться изменения нормы замены на 1%.
Производственная функция затраты-выпуск
X= F(K,L)=
Где:
Коэффициенты эластичности представленные в виде логарифмических производных факторов показывают, на сколько процентов увеличится выпуск, если фактор возрастет на 1%. Например, согласно ПФ X=0,931K0,539L0,594
при увеличении основных фон дов (ОФ) на 1% валовой выпуск повысится на 0,539%, а при увеличе нии занятых на 1% — на 0,594%.
Практическая часть
Задача
Дана производственная функция валового внутреннего продукта США по данным 1960-1995 гг.
X=2,248K0,404L0,803
Валовой внутренний продукт США, измеренный в млрд. дол. в ценах 1987 г. возрос с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза, основные производственные фонды за этот же период увеличились в 2,88 раза, число занятых - в 1,93 раза.
Необходимо рассчитать масштаб и эффективность производства.
Решение
Из условия x = 2,82 k=2,88 l=1,93;
('начала находим относительные эластичности по фондам и труду
Затем определяем частные эффективности ресурсов
после чего находим обобщенный показатель эффективности как среднее геометрическое частных:
Масштаб устанавливаем как среднее геометрическое темпов роста ресурсов
Таким образом , общий рост ВВП с 1960 по 1995 г. в 2,82 раза произошел за счет роста масштаба производства в 2,207 раза и за счет повыше нии эффективности производства в 1,278 раза (2,82 = 1,273 * 2,207).
Заключение
Выше достаточно подробно была изучена мультипликативная ПФ F(K,L). В частности, был выяснен экономический смысл ее параметров , показано, что при 0 <а1<1, i= 1, 2… эта функция –неоклассическая , построены изокванты и изоклинали этой функции, найдены нормы замены ресурсов.. Рассмотрены и другие производственные функции.
Литература
В.А. Колемаев «Математическая экономика»
Г.М. Зуев Ж.В. Самохвалова «Экономико-математические методы и модели. Межотраслевой анализ»