Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5 Переходный электромагнитный процесс в неподвижных
магнитосвязанных цепях
5.1 Общие положения
Многие цепи электрических систем имеют между собой магнитную связь, которая осуществляется через трансформаторы, т.е. аппараты, имеющие специальные магнитные цепи. Протекание электромагнитного переходного процесса в магнитосвязанных цепях имеет некоторые характерные особенности, обусловленные наличием взаимоиндукции.
Принято, что насыщение магнитных систем отсутствует, т.е. собственная и взаимная индуктивности (L и М) элементов являются постоянными величинами. Это позволяет описывать режимы рассматриваемых цепей линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Характер изменения свободных токов определяется только параметрами элементов рассматриваемой схемы и ее конфигурацией. Поэтому полученные ниже закономерности изменения свободных токов справедливы для любых ЭДС источников питания. Исследования закона изменения свободных токов в магнитосвязанных цепях будем вести при включении их на постоянное напряжение. От закона изменения приложенной ЭДС зависят начальные значения свободных токов.
5.2 Результирующая индуктивность и полное сопротивление двухобмоточного трансформатора в дифференциальной форме
Однофазный двухобмоточный трансформатор представляет собой простейшую цепь с взаимоиндукцией, имеющую всего два индуктивно связанных контура (рис 5.1.). Дифференциальные уравнения для напряжений обмоток трансформатора имеют вид:
(5.1)
где U1 и U2 - напряжения на зажимах первичной и вторичной обмоток;
I1 и I2 - токи, протекающие по обмоткам;
R1 и R2 - активные сопротивления обмоток.
|
Потокосцепления обмоток равны сумме собственных потокосцеплений, создаваемых токами, протекающими по рассматриваемой обмотке и потокосцеплений взаимоиндукции: (5.2) |
|
|
Рисунок 5.1 Двухобмоточный трансформатор |
где L1 и L2 – полные индуктивности первичной и вторичной обмоток;
М12 = М21 – взаимные индуктивности обмоток, равные друг другу в связи с тем, что обмотки находятся в одинаковых магнитных условиях.
Уравнения для напряжений (5.1) с учетом выражения (5.2) для потокосцеплений обмоток можно записать в виде:
(5.3)
При КЗ трансформатора уравнения (5.3) будут для одной фазы:
(5.4)
Пренебрегая током намагничивания, предположим: i1 = i2 = i. Сложим уравнения (5.4), получим:
(5.5)
где Rk=R1+R2; Lk=L1+L2+2M – активное сопротивление и индуктивность рассеяния трансформатора, обусловленная потоками рассеяния обмоток.
Таким образом, при исследовании процесса КЗ в схеме, содержащей трансформаторы, каждый трансформатор можно рассматривать как обычный элемент электрической цепи со своими сопротивлениями (Rk и Lk) после приведения параметров одной обмотки к другой.
5.3 Уравнения двухобмоточного трансформатора в операторной форме
Для получения операторной формы записи уравнений, то есть для перехода от функций к изображениям, нужно заменить d/dt на оператор р. Уравнения для напряжений первичной и вторичной обмоток трансформатора будут иметь вид:
(5.6)
В этой системе уравнений
(5.7)
где – изображения токов обмоток;
– изображения потокосцеплений обмоток;
– изображения напряжений, приложенных к обмоткам.
На практике при расчетах в системе относительных единиц заменяют само- и взаимные индуктивности равными им в системе относительных единиц при базисной частоте индуктивными сопротивлениями. Для обмоток трансформатора
где Х1 и Х2 – полные индуктивные сопротивления обмоток трансформатора;
Х12 – сопротивление взаимной индуктивности обмоток.
Тогда систему уравнений (5.6) можно представить в следующем виде:
(5.8)
5.4 Изменение свободных токов двухобмоточного трансформатора
Рассмотрим переходный процесс при включении на постоянное напряжение (рис. 5.2) трансформатора. Считаем, что все параметры вторичной обмотки приведены к напряжению первичной обмотки.
При включении первичной обмотки на постоянное напряжение в обмотках появятся апериодические составляющие токов, которые будут затухать с постоянными времени, определяемыми только параметрами контуров первичной и вторичной обмоток:
(5.9)
|
В выражениях (5.9) индекс "0" у постоянной времени указывает, что она определена для данного контура при отсутствии влияния другого контура. Магнитосвязанные цепи характеризуются коэффициентом связи К и коэффициентом рассеяния С. |
|
|
Рисунок 5.2 Включение трансформатора на постоянное напряжение |
Если имеются две магнитосвязанные цепи, то коэффициент рассеяния С представляет собой отношение индуктивности первичной обмотки при замкнутой накоротко вторичной обмотке к индуктивности первичной обмотки при разомкнутой вторичной обмотке, т.е. С1 = (L1 – M) / L1.
Коэффициент магнитной связи между обмотками К = M / ( L1 L2).
Общий коэффициент рассеяния С = 1 – К2 = 1 – M2 / L1 L2 = С1 + С2 - С1 С2.
При малых С1 и С2 можно принять приближенно: С ≈ С1 + С2.
При нулевых начальных условиях (U2=0) уравнения (5.8) будут иметь вид:
(5.10)
Решая совместно систему уравнений (5.10), после промежуточных преобразований имеем:
(5.11)
где
Из уравнения (5.11) видно, что влияние вторичной обмотки приводит к уменьшению L, причем оно тем сильнее, чем меньше рассеяние С. В пределе, когда С = 1, а, следовательно, К=0, т.е. при отсутствии магнитной связи между обмотками индуктивность L неизменна.
Найдем корни р1 и р2 характеристического уравнения Z(р)=0, предварительно проделав некоторые преобразования.
Так как Т1о = L1 / R1, Т2о = L2 / R2, (L1 L2-M2) = L1 L2 С, то
(5.12)
Из выражения (5.12) имеем:
(5.13)
Решение уравнения (5.13) имеет вид:
(5.14)
Поскольку всегда (T1o + T2o)² > 4СT1oT2o, оба корня являются действительными отрицательными числами.
Наличие двух корней свидетельствует о том, что свободный ток в каждой обмотке состоит из двух составляющих, затухающих по экспоненте с постоянными времени Т' и Т":
(5.15)
Для С = 0, Т'=T1o + T2o, Т"=0.
Для нахождения тока первичной обмотки в функции времени воспользуемся для выражения (5.11) формулой разложения:
(5.16)
где i' - медленно затухающий свободный ток;
i" - быстро затухающий свободный ток.
Аналогично находится ток во вторичной обмотке.
(5.17)
Воспользовавшись теоремой разложения, имеем ток вторичной обмотки в функции во времени:
(5.18)
Естественно, при включении на постоянное напряжение принужденный ток во вторичной обмотке отсутствует, а начальные значения свободных токов равны и взаимно противоположны:
i"2(o) = - i'2(o) (5.19)
5.5. Внезапное КЗ двухобмоточного трансформатора
Если КЗ вторичной обмотки произошло при работе трансформатора в режиме холостого хода, то, решая систему уравнений (5.10) относительно токов I1(p) и I2(p), получим следующие операторные выражения для токов КЗ:
(5.20)
где Z1(p) – полное операторное сопротивление первичной обмотки с учетом магнитосвязанной с ней короткозамкнутой вторичной;
C2(p) – операторная проводимость вторичной обмотки.
, (5.21)
Из (5.21) следует, что влияние второго контура сказывается в снижении L1, причем оно тем сильнее, чем сильнее магнитная связь между обмотками (больше М12 и меньше рассеяние С =(L1-M12)/L1). В пределе, при отсутствии магнитной связи, т.е. когда М12=0 и С = 1, индуктивность L1 неизменна.
Для перехода от изображений I1(p) и I2(p), к функциям времени в соответствии с теоремой разложения нужно найти корни уравнения Z1(p) = 0:
(5.22)
Корни уравнения (5.21)
Оба корня уравнения (5.22) являются действительными и отрицательными.
Если напряжение, приложенное к первичной обмотке, изменяется по синусоидальному закону:
то в соответствии с теоремой разложения:
(5.23)
Первое слагаемое в (5.23) представляет принужденную (периодическую) составляющую тока в первом контуре.
Свободный ток в первом контуре состоит из двух свободных (апериодических) составляющих, одна из которых затухает по экспоненте с постоянной времени:
а другая - с постоянной времени:
Как видно, Т' всегда больше Т", причем различие между ними возрастает с уменьшением рассеяния.
Учитывая идентичность решения, переход к временной функции для тока I2(p) выполнять не будем. Отметим лишь, что вторичный ток также содержит вынужденную, периодическую составляющую и две свободных (апериодических), затухающих с теми же постоянными времени Т' и Т".
Из выражения (5.23) видно, что величина апериодических составляющих тока внезапного КЗ зависит от значения фазного угла напряжения, т.е. от момента КЗ трансформатора. Возникновение апериодической составляющей тока внезапного КЗ отвечает закону электромагнитной инерции, согласно которому всякий короткозамкнутый контур стремиться сохранить свое потокосцепление постоянным.
В самом неблагоприятном случае КЗ (замыкание при а=0) наибольшее значение тока (ударный ток) может достигать удвоенной амплитуды периодической составляющей тока КЗ:
5.6 Ток включения трансформатора
Операторный и классический методы решения задач широко применяются во всех случаях, когда системы дифференциальных уравнений переходных процессов являются линейными. Если же хотя бы одно уравнение нелинейно, то такая система уравнений решения в общем виде не имеет. Нелинейные системы дифференциальных уравнений решаются численными методами. В ряде случаев решения нелинейных дифференциальных уравнений можно существенно упростить, применяя графоаналитические методы. В качестве примера такого случая рассмотрим переходный процесс при включении в сеть ненагруженного трансформатора.
При включении первичной обмотки трансформатора на напряжение при разомкнутой вторичной обмотке переходный процесс описывается дифференциальным уравнением
(5.24)
При ненасыщенной магнитной цепи коэффициент L1 – постоянная величина и решение уравнения (5.24) имеет вид:
(5.25)
где i10 – амплитуда установившегося тока холостого хода трансформатора;
Т1 – постоянная времени первичной обмотки трансформатора (при ненасыщенной магнитной цепи);
α – угол включения;
φ1 – фазный угол тока.
Постоянная времени , фазный угол тока первичной обмотки
(5.26)
Величина тока первичной обмотки трансформатора при расчете по выражению (5.25) может достичь удвоенного значения установившегося тока холостого хода трансформатора, если включение трансформатора в сеть произошло в момент, когда напряжение сети равнялось нулю (α=0).
Однако из практики известно, что ток включения трансформатора может в сотни раз превышать величину установившегося тока холостого хода. Объясняется это влиянием насыщения магнитной цепи. С изменением насыщения магнитной цепи индуктивность обмотки трансформатора не остается постоянной и коэффициент L1 является нелинейной функцией тока. Поэтому с учетом насыщения магнитной цепи уравнение (5.24) становится нелинейным и решения относительно тока в общем виде не имеет. Однако полное потокосцепление первичной обмотки Ψ11 является величиной, линейно связанной с напряжением U1. Поэтому кривую тока i1 с учетом влияния насыщения магнитной цепи можно построить графо-аналитическим методом, используя кривую намагничивания сердечника трансформатора и разрешая уравнение (5.24) относительно потокосцепления Ψ11.
Учитывая, что при разомкнутой вторичной обмотке потокосцепление Ψ11=L1 i1 подставляем в уравнение (5.24), тогда:
(5.27)
Отношение изменяется при нарастании тока включения от нуля до максимума в довольно широких пределах.
Возможны различные допущения, линеаризующие уравнения (5.25).
Например, допускают, что величина L1 остается постоянной, равной среднему значению индуктивности на интервале изменения тока или своему минимальному насыщенному значению. В последнем случае правильно определяется амплитуда тока включения, однако для остальных моментов времени значения тока получаются несколько завышенными. Насыщенное значение индуктивности первичной обмотки трансформатора можно выразить через ее ненасыщенное значение, исходя из следующего равенства:
(5.28)
Принимая Т1 величиной постоянной и заменяя потокосцепление ψ11 через поток (ψ11 = ω1 Ф11), получим линейное дифференциальное уравнение:
(5.29)
Решение уравнения имеет вид:
(5.30)
где а постоянная С1 определяется из условия, что при t=0 поток в сердечнике трансформатора Ф11 равен остаточному потоку Фост, т.е. С1=Фост.
Таким образом,
(5.31)
где – фазный угол,
– амплитуда установившегося потока холостого хода трансформатора.
Амплитуда тока включения во много раз превышает установившееся значение тока холостого хода. Расчеты показывают, что при Ф11, соответствующем индукции 1,4 Т, отношение амплитуды тока включения к установившемуся значению тока холостого хода достигает 50-80, а при больших индукциях - 100-120. Так как ток холостого хода трансформатора составляет 5-10% от номинального тока, то, очевидно, что ток включения трансформатора может превысить номинальный ток в 6-10 раз.
Свободная составляющая тока Ф11 затухает во времени. Соответственно, уменьшается амплитуда тока включения. Полное затухание тока включения трансформатора средней мощности происходит за 6-8 с, а в мощных трансформаторах продолжается до 20 с.
Наиболее благоприятные условия включения имеют место в момент, когда напряжение сети достигает максимального значения. В этом случае свободная составляющая тока отсутствует и по магнитопроводу сразу потечет только установившийся поток трансформатора, а по первичной обмотке трансформатора - установившийся ток холостого хода.