Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Математическим анализом называют раздел математики, в котором функции изучаются методом пределов.
Для описания математических свойств используют два символа, позволяющих сокращать запись: (любой, произвольный, все) и (существует, найдется). Они называются кванторами общности и существования. При построении противоположного высказывания квантор общности заменяют на квантор существования и, наоборот, квантор существования – на квантор общности, а последнюю (основную) фразу заменяют на противоположную.
Роль открытия неевклидовой геометрии в создании аксиоматического метода
Сначала небольшой экскурс в историю математики.
До 19 века математика считалась незыблемой. Она развивалась, появлялись новые разделы, понятия и теории, но основа была постоянной. Этой основой являлось гениальное творение Евклида «Начала» (Александрия, 3 в. до н. э.), в котором были собраны все математические знания греков и их предшественников. По «Началам» Евклида обучались многие поколения математиков: Коперник, Галилей, Паскаль, Ньютон, Ломоносов, Лейбниц,…. Да и современные школьные учебники по алгебре и геометрии – это, в значительной мере, адаптированные для современного читателя и известные древним грекам утверждения и доказательства, являющиеся эталоном простоты и логичности. Кроме того, в «Началах» были заложены те идеи, которые были «переоткрыты» и развиты много веков спустя (например, теория иррациональных чисел).
«Начала» состоят из 13 книг, содержание которых можно охарактеризовать следующим образом: 1 – условия равенства треугольников, соотношения между углами и сторонами, свойство параллельности прямых и его следствия; 2 – построение квадрата, равновеликого любому многоугольнику; 3 – окружности, их взаимное расположение, углы, вписанные в окружности; 4 – многоугольники, вписанные в окружности и описанные вокруг них; 5 – теория пропорций; 6 – подобные многоугольники; 7, 8, 9 – арифметика в геометрической интерпретации; 10 – основы теории иррациональных величин; 11, 12 – начала стереометрии; 13 – правильные многогранники.
Изложение в «Началах» является дедуктивным, основанным на силлогизмах. При изучении каких-либо объектов сначала дается определение (например, «точка на плоскости – это то, что не имеет длины и ширины»). Определив объект, Евклид излагает постулаты – утверждения, связанные с определенным объектом, не доказуемые в рамках данной теории и принимаемые за истинные. Примером постулата может служить знаменитый «Пятый постулат», связанный со свойством параллельности: «всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше , эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше ». Вводятся аксиомы, регламентирующие операции с объектами. Примером аксиомы может быть следующая: «если и , то ». Аксиомы имеют более общий характер, чем постулаты, и могут иметь более широкое применение, чем применение для работы с определенным объектом. После того, как введены определения, постулаты и аксиомы, на их основе формулируется и доказывается предложение. Предложение в «Началах» имеет канонический вид, знакомый нам со школы: «дано…., требуется доказать…». Доказательство проводится строго в рамках предложенных постулатов и аксиом.
Схема построения «Начал», считавшаяся идеальной, содержала, тем не менее, недостатки, признававшиеся математиками и философами. В самой основе этой схемы лежат определения, данные с помощью некоторых понятий (например, в определении точки на плоскости, приведенном выше, есть понятия «длина» и «ширина»). Но кто определит сами эти понятия, участвующие в определении? И где граница определений? Сами греческие математики, видимо, считали первоначальные понятия интуитивно очевидными. Кроме того, вставал вопрос о «существовании». Так, еще Аристотель отмечал, что определение еще не влечет существования определяемого объекта.
К началу 19 века накопились вопросы к классической математике. Она уже не казалась бесспорной. Многим казалось, например, что пятый постулат – это не постулат, а утверждение, которое может быть доказано на основе остальных постулатов, аксиом и предложений. Были попытки таких доказательств, но они не были успешными. И появились те, кто смог понять роль этого постулата. Это были Карл Фридрих Гаусс (Германия), Николай Иванович Лобачевский (Казань, Россия) и Янош Бойаи ( Венгрия). Именно эти математики считаются авторами неевклидовой геометрии. Каждый из них шел своим путем.
Наш гениальный соотечественник Н.И.Лобачевский (1792-1856) окончил Казанский университет магистром и был оставлен в университете для преподавания. С 1813 г. он работал в университете в должности адъюнкт-профессора – преподавал и занимался научными исследованиями. Стремясь к строгому построению начал геометрии, Н.И.Лобачевский так же, как и многие его предшественники, усомнился в том, что пятый постулат в «Началах» действительно является постулатом. Отказавшись от пятого постулата, то есть от предположения о том, что через точку вне данной прямой проходит только одна прямая, не пересекающаяся с данной, Н.И.Лобачевский попытался доказать это свойство методом «от противного». То есть, предполагая, что через точку вне данной прямой проходит более одной прямой, не пересекающейся с данной, попытался прийти к противоречию с остальными постулатами, аксиомами и уже доказанными предложениями. Ему не удалось найти этого противоречия. Напротив, он создал стройную теорию, заменяющую классическую геометрию. В этой новой геометрии через точку вне данной прямой проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной прямой, а сумма углов треугольника меньше .
Нужно иметь научную смелость, чтобы предложить теорию, полностью противоречащую каноническим представлениям. Н.И.Лобачевский не был понят при жизни. В 1826 году он делает в университете доклад о своих результатах, но не находит понимания. Он опубликовал работу с описанием новой геометрии в «Казанском вестнике» в 1829-1830 годах. Предложенная российской Академии наук, его работа получила отрицательный отзыв профессора Остроградского, более того, в одном из санкт-петербургских журналов она была высмеяна анонимным автором. Есть сведения о том, что работа Н.И.Лобачевского оказалась известной Гауссу, который пришел к выводам, подобным выводам Н.И.Лобачевского, и дал высокую оценку его результатам. К сожалению, Гаусс нигде не опубликовал своего мнения об исследованиях российского математика.
Открытие неевклидовой геометрии, тем не менее, постепенно овладело умами математиков и было оценено по достоинству. Это открытие привело, в частности, к выводу, что постулаты Евклида являются на самом деле гипотезами, отказ от которых приводит к новым непротиворечивым теориям. Уже через несколько лет после смерти Н.И.Лобачевского знаменитый немецкий математик Б.Риман, развивший многие идеи Н.И.Лобачевского и создавший «эллиптическую геометрию» (в отличие от геометрии Лобачевского, названной «гиперболической»), выступил с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», где признавалась правомерность новых геометрий и говорилось: «Остается решить вопрос, в какой мере и до какой степени эти гипотезы подтверждаются опытом».
Забегая вперед, следует отметить, что геометрия Лобачевского, действительно, подтвердилась опытом. Она применяется в космических расчетах, так как именно гиперболическая геометрия согласуется со специальной теорией относительности Эйнштейна. Кроме этого, гиперболическая геометрия применяется при анализе движения элементарных частиц в «пузырьковых камерах» в ускорителях. Таким образом, если геометрия обычного мира – евклидова геометрия, то в микро- и макромире справедлива геометрия Лобачевского.
Новые идеи, опровергающие интуитивные представления, постепенно увлекли математиков конца 19 в. Стало ясно, что практически вся классическая математика построена на интуитивных понятиях. Даже действительное число, на применении которого построена вся цивилизация (не говоря уже о математике), также интуитивное понятие. Математики увлеклись построением контрпримеров, опровергавших то, что казалось ранее интуитивно очевидным. Были построены, например, кривые, не имеющие касательной ни в одной точке, или проходящие через любую точку квадрата. Геометрическая интуиция была полностью дискредитирована.
Необходимо было привести все в строгий порядок и понять, что есть математическая истина и что есть математическое доказательство. Многие математики работали над новым построением евклидовой геометрии. Большой вклад в эти исследования внес Гильберт, опубликовавший в 1899 году свои «Основания геометрии». В этой работе Гильберт не только систематизировал аксиомы, лежащие в основе евклидовой геометрии, но и исследовал возможности отказа от различных аксиом, обсуждая, к каким новым геометриям приведет такой отказ.
Математики пришли к тому, что геометрические аксиомы являются соглашениями и понятие истины в их отношении не имеет смысла. Да, возможности практического использования утверждений, доказанных на основе применения введенных аксиом, и экспериментальное их подтверждение очень ценны, но их отсутствие не умаляет математической истинности доказанных положений. Классические объекты уже не являются единственными объектами математических исследований. Применение моделей и интерпретаций связывает различные разделы математики и делает сам объект не столь существенным. Считается, будто сам Гильберт говорил, что если заменить слова «точка», «прямая» и «плоскость» словами «стол», «стул» и «пивная кружка», в геометрии ничего не изменится. Конечно, это остроумный анекдот, но он ярко демонстрирует формализацию математических теорий. Таким образом, математику можно считать учением об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, изложенных в аксиомах.
Метод интерпретаций позволил свести вопросы о непротиворечивости одних теорий к непротиворечивости других теорий. Так, например, проблема непротиворечивости геометрии сводилась к проблеме непротиворечивости арифметики.
При таком восприятии математической теории соблазнительной представлялась перспектива решить на пути создания единой теории – метаматематики – все вопросы обоснования математики. Однако этим планам не суждено было сбыться: в 30-х годах 20-го века результаты Геделя продемонстрировали, что доказательство непротиворечивости теории средствами, формализуемыми в ней самой, невозможно.
Создать метаматематику не удалось, но аксиоматический метод занял центральное место в современной математике. Он позволил получить фундаментальные результаты в ряде математических наук.
Таким образом, аксиоматический метод, истоки которого находятся в работах древних греков, окончательно сформировался в конце 19 – начале 20 в. и является фундаментом для построения современных математических теорий. Развитие компьютерных наук было бы немыслимым без этого метода.
Основой аксиоматического метода является математическая структура, которая задается на множестве элементов, природа которых не определена. Структура задается в виде некоторых отношений, в которых находятся элементы рассматриваемого множества. Для этих отношений определяются условия, которым отношения удовлетворяют. Эти условия и являются аксиомами вводимой структуры. Построить аксиоматическую теорию – значит, вывести логические следствия непосредственно из аксиом структуры, отказавшись от любых предположений о природе элементов.
Существуют 3 основных типа простых математических структур:
1) алгебраические структуры, когда задаются отношения между элементами, определяющие однозначно третий элемент как функцию двух элементов (например, аксиомы сложения двух чисел),
2) структуры, определенные отношением порядка (например, отношение «x меньше или равно y»),
3) топологические структуры, определяемые понятиями окрестности, предела, непрерывности.
Простые структуры являются фундаментом для создания сложных структур, являющихся комбинациями простых структур.
Мы будем работать с функциями, заданными на подмножествах множества действительных чисел, поэтому необходимо
познакомиться с аксиомами действительных чисел.
Аксиоматика действительных чисел
Множеством действительных чисел () мы назовем множество, для элементов которого () определены две бинарные операции: сложение (+) и умножение (), а также отношение порядка (), удовлетворяющие следующим аксиомам.
1) справедливо .
2) справедливо .
3) (нейтральный элемент сложения) такой, что справедливо .
4) такой, что .
1) справедливо .
2) справедливо .
3) (нейтральный элемент умножения) такой, что справедливо .
4) такой, что .
3. Аксиома сложения и умножения.
1) справедливо .
4. Аксиомы порядка.
1) справедливо .
2) таких, что , справедливо одно из двух соотношений: или .
3) Если выполняются одновременно соотношения и , то справедливо соотношение .
4) Если выполняются одновременно соотношения и , то .
5. Аксиомы порядка, связанные с операциями.
1) Если , то для справедливо .
2) Если выполняются одновременно соотношения и , то .
6. Аксиома непрерывности.
Пустьи – подмножества множества , причем для и для справедливо . Тогда такое, что и для и для .
Очевидно, что аксиомы сложения и умножения задают алгебраическую структуру, аксиомы порядка задают структуру отношения порядка.
Последняя аксиома кажется лишней в перечне аксиом. Однако именно эта последняя аксиома позволяет ввести иррациональные числа в множество действительных чисел.
Действительно, первые пять аксиом справедливы и для множества рациональных чисел , то есть, чисел, представимых в виде отношения , где – целое число, а – натуральное число. То, что должны существовать еще какие-то действительные числа, отличные от рациональных, было известно еще Евклиду.
Приведем доказательство того, что положительное число , квадрат которого равен 2, не является рациональным. Доказательство проведем методом «от противного».
Предположим, что существуют такие взаимно простые числаи , что . Имеем: , то есть, число является четным. Если бы само число было нечетным, то и было бы нечетным, так как согласно соотношению квадрат нечетного числа – нечетное число. Поскольку четное, то , и значит, или . Согласно рассуждениям, аналогичным приведенным по поводу , также четное число, и значит, . Следовательно, оба числа и являются четными и не могут быть взаимно простыми. Таким образом, предположение наше неверно, и число не является рациональным.
То, что не является рациональным, еще не обеспечивает существования этого числа в множестве вещественных чисел. Докажем с помощью аксиомы непрерывности, что .
Рассмотрим множество , состоящее из положительных действительных чисел таких, что , и множество , состоящее из положительных чисел , таких, что . Примерами чисел из множества являются 1 и 1,1. Примерами чисел из множества являются 2 и 1,9. Поскольку , то для любых и любых . Таким образом, введенные множества и удовлетворяют условиям аксиомы непрерывности, и значит, существует число такое, что для любых и любых .
Предположим, что , то есть, . Тогда (так как ). Поэтому справедливо соотношение , что обеспечивает неравенство . Возьмем теперь число . Это число больше, чем , и значит, согласно аксиоме непрерывности не может находиться в множестве . С другой стороны, пользуясь доказанным неравенством и тем, что , имеем
,
что обеспечивает принадлежность числа множеству . Мы пришли к противоречию, и значит, предположение о том, что , то есть, , было неверным. Следовательно, .
Предположим, что , то есть, . Имеем (так как ). Число не может принадлежать множеству согласно аксиоме непрерывности. С другой стороны,
,
то есть, согласно определению. Это противоречие приводит к тому, что , и значит, .
Полученные неравенства и обеспечивают равенство . Таким образом, число , существующее в соответствии с аксиомой непрерывности, и есть то положительное число, квадрат которого равен 2.
Таким образом, аксиома непрерывности задает топологическую структуру, так как благодаря этой аксиоме мы можем иррациональные числа воспринимать в виде пределов последовательностей рациональных чисел.
Множество R и его подмножества
Известной еще древним грекам является интерпретация множества в виде бесконечной прямой, на которую нанесена точка, являющаяся началом отсчета как в положительном, так и в отрицательном направлениях. Действительные числа – это точки прямой с расстояниями от точки отсчета, равными абсолютным величинам чисел. Такой интерпретацией мы активно пользуемся со школы.
Другой моделью множества является окружность. Характерной особенностью такой интерпретации является то, что аналогом бесконечности является одна из точек окружности. Покажем, что между точками бесконечной прямой и конечной окружности существует взаимнооднозначное соответствие, позволяющее заменять одну модель на другую.
Представим окружность, касающуюся прямой в точку A, которую мы назовем полюсом. Другим полюсом (B) назовем точку, диаметрально противоположную A. Проводя из B лучи, пересекающие окружность и данную прямую, мы получим взаимнооднозначное соответствие точек окружности и прямой. Полюс A будут соответствовать самому себе. Полюс B будет соответствовать бесконечности. При этом понятия и будут означать только направление движения к одной и той же точке B, соответствующей бесконечно удаленной точке.
Самым первым подмножеством множества R, освоенным человечеством для счета, является множество натуральных чисел (N). Другим подмножеством R, включающим в себя N, является множество всех целых чисел (Z). Третьим подмножеством, включающим в себя Z, является множество всех рациональных чисел , а с множеством иррациональных чисел, дополняющим множество до множества R, мы познакомились в этом параграфе.
Мощность множества
Когда речь идет о конечном множестве, одной из его характеристик является число элементов этого множества. Как же с подобной точки зрения характеризовать множества, содержащие бесконечные наборы элементов? Естественным для такой характеристики является сравнение бесконечных множеств между собой или с каким-то бесконечным «эталонным» множеством. Множества считаются равномощными, если существует взаимно однозначное соответствие между всеми элементами одного и другого множеств. Это означает, что существует закон, в соответствии с которым каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент второго множества, причем разным элементам первого множества соответствуют разные элементы второго множества и все элементы второго множества имеют прообразы в первом множестве.
Примером задания взаимно однозначного соответствия между множествами точек двух отрезков является гомотетия:
Таким образом, «количество» точек верхнего и нижнего отрезков вследствие взаимно однозначного соответствия между точками одинаково, хотя один отрезок длиннее другого. Все дело в том, что точки, как известно, не имеют длины, и присутствие или отсутствие на отрезке отдельных точек не связано с изменением этой меры отрезка.
Взаимно однозначное соответствие между множествами на вещественной оси можно задавать с помощью функций. Так, функция (что в данном случае равносильно ) задает взаимно однозначное соответствие между точками интервала и точками всей вещественной оси. Таким образом, множество точек любого интервала равно множеству точек всей вещественной прямой.
В математике очень важным является понятие счетного множества. Счетным называется множество, равномощное множеству натуральных чисел . Примером счетного множества является множество целых чисел. Действительно, хотя является подмножеством , между точками этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие с помощью следующего правила. Присвоим числу 0 номер 1, числу 1 – номер 2, числу -1 – номер 3, числу 2 – номер 4, числу -2 – номер 5…. Таким образом, целому положительному числу n поставим в соответствие натуральное число 2n; отрицательному целому числу -n поставим в соответствие натуральное число 2n+1. Взаимно однозначное отображение установлено, следовательно, счетно.
Множество рациональных чисел также является счетным. «Сосчитать» его, то есть, установить взаимно однозначное соответствие с множеством можно при помощи следующей бесконечной таблицы.
В верхней строке таблицы стоят целые числа (p), начиная с 0. В левом крайнем столбце – натуральные числа (q). На пересечении строки и столбца стоит рациональное число p/q.
|
q\p |
0 |
1 |
-1 |
2 |
-2 |
3 |
-3 |
4 |
……. |
|
1 |
0 |
1 |
-1 |
2 |
-2 |
3 |
-3 |
4 |
…… |
|
2 |
0 |
1/2 |
-1/2 |
1 |
-1 |
3/2 |
-3/2 |
2 |
…… |
|
3 |
0 |
1/3 |
-1/3 |
2/3 |
-2/3 |
1 |
-1 |
4/3 |
…… |
|
4 |
0 |
1/4 |
-1/4 |
1/2 |
-1/2 |
3/4 |
-3/4 |
1 |
…… |
|
5 |
0 |
1/5 |
-1/5 |
2/5 |
-2/5 |
3/5 |
-3/5 |
4/5 |
…… |
|
…. |
……. |
… |
…. |
… |
… |
… |
…. |
… |
…… |
Очевидно, что некоторые числа в таблице повторяются. Но для любого рационального числа найдется место в таблице на пересечении столбца, соответствующего числителю, и строки, соответствующей знаменателю. Начнем двигаться по таблице с левой верхней позиции по такому пути, чтобы пройти все элементы таблицы. Можно, например, двигаться по следующему маршруту.
При этом попадающиеся по пути рациональные числа последовательно нумеруются и запоминаются, так как номера присваиваются только еще не пронумерованным числам. При указанном способе движения числу 0 присваивается номер 1, числу 1 – номер 2, числу 1/2 – номер 3, числу 1/3 – номер 4, числу -1/3 – номер 5, …..Указанная процедура (бесконечная) обеспечит нумерацию всех рациональных чисел, причем ни одно не будет пронумеровано дважды. Взаимно однозначное соответствие установлено.
Возникает вопрос: можно ли пронумеровать все вещественные числа? Ответ на этот вопрос отрицательный. Покажем, что множество точек любого интервала, лежащего на вещественной оси, несчетно. Поскольку между точками двух интервалов можно установить взаимно однозначное соответствие, докажем несчетность множества точек интервала (0,1). Доказательство проведем методом «от противного».
Заметим, что в силу взаимно однозначного соответствия любую точку на интервале (0,1) можно ассоциировать с десятичной дробью вида 0,…….. , где после нуля и запятой стоит бесконечное множество цифр, принимающих значения от 0 до 9. В случае, когда десятичная дробь конечная, все цифры, начиная с некоторой, будут нулями. Предположим, что мы смогли присвоить номера всем точкам интервала или, что то же самое, всем десятичным дробям указанного вида. Следовательно, мы можем расположить все такие числа последовательно, в соответствии с нумерацией:
1)
2)
3)
………………………
n)
……………………..
Здесь все , – цифры, принимающие значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9.
А теперь построим новую десятичную дробь с нулем в целой части: ., где – также цифры из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. При построении выберем цифру так, чтобы , цифру так, чтобы ,………., ,………. У нас получится новая точка из интервала (0,1), не совпадающая ни с одной точкой из пересчитанных, так как соответствующая новой точке десятичная дробь отличается от каждой из пересчитанных десятичных дробей хотя бы одной цифрой после запятой. Таким образом, мы пришли к противоречию, предполагая, что можем пересчитать все точки: мы нашли точку из интервала (0,1), не совпадающую с пересчитанными точками.
Мощность множества точек интервала (0,1), а значит, в силу равномощности, и мощность множества всех вещественных чисел называется континуум. В 1878 году Г.Кантор выдвинул гипотезу о том, что любое бесконечное подмножество множества вещественных чисел либо счетно, либо имеет мощность континуум. До сих пор эта гипотеза не доказана и не опровергнута.
Ограниченные подмножества множества R
Определение 1. Множество называется ограниченным сверху, если такое, что . В этом случае число называется мажорантой множества A.
Пример. Множество точек полубесконечного интервала обладает мажорантой (например, 6).
Определение 2. Множество называется ограниченным снизу, если такое, что . В этом случае число называется минорантой множества A.
Пример. У множества из предыдущего примера нет минорант, поэтому оно не ограничено снизу.
Определение 3. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным.
Определение 4. Пусть множество ограничено сверху. Если такое, что , то называется максимальным элементом множества A.
Очевидно, что максимальный элемент является мажорантой. Если максимальный элемент множества существует, то он единственен (докажите самостоятельно).
Пример. Множество точек полубесконечного интервала не имеет максимального элемента, а множество точек имеет максимальный элемент 3.
Определение 5. Пусть множество ограничено снизу. Если такое, что , то называется минимальным элементом множества A.
Очевидно, что минимальный элемент является минорантой. Если минимальный элемент множества существует, то он единственен (докажите самостоятельно).
Утверждение 1. Если множество A ограничено сверху, то существует, причем единственный, минимальный элемент на множестве мажорант, называемый супремумом множества A (обозначается sup A).
Доказательство. Рассмотрим множество B всевозможных мажорант множества A. Для и справедливо: . Согласно аксиоме непрерывности такое, что для и . Согласно определению 1 является мажорантой A, следовательно, . Согласно определению 3 является минимальным элементом на множестве мажорант. Следовательно, . Единственность супремума следует из единственности минимального элемента.
Утверждение 1-а. Если множество A ограничено снизу, то существует, причем единственный, максимальный элемент на множестве минорант, называемый инфимумом множества A (обозначается inf A).
Утверждение 2. Пусть . Тогда для тчо .
Доказательство. От противного. Пусть тчо (). Следовательно, является мажорантой множества A, и значит, , будучи больше , не является минимальным элементом на множестве мажорант, то есть . Пришли к противоречию.
Утверждение 2-а. Пусть . Тогда для тчо .
Принцип Архимеда и его следствия
Принцип Архимеда. Пусть – фиксированное число. Тогда для тчо .
Доказательство. Рассмотрим множество . Множество A ограничено снизу, следовательно согласно Утверждению 1-а . В соответствии с Утверждением 2-а при тчо . В полуинтервале может лежать только одно целое число. В силу того, что – точная нижняя грань подмножества A целых чисел, совпадает с целым числом и является минимальным элементом множества A. Следовательно, , то есть, . Так как – минимальный элемент множества A, . То есть . Таким образом, является искомым целым числом.
Следствие 1. тчо .
Доказательство. Применим принцип Архимеда для и . тчо . Из правой части двойного неравенства следует: и . Таким образом, целое число является натуральным числом, . И мы получили требуемое неравенство .
Следствие 2. Для , , тчо .
Доказательство. В соответствии со Следствием 1 при найдем тчо . В соответствии с Принципом Архимеда при и найдем тчо . Имеем . Следовательно, . Рациональное число найдено.
Классификация точек подмножеств R
Окрестностью точки называют любой интервал тчо .
окрестностью точки называют интервал . Обозначают такую окрестность .
Проколотой окрестностью точки называют множество . Обозначают проколотую окрестность .
Точка называется предельной точкой множества , если . То есть, в любой окрестности точки находятся точки из множества A.
Примеры. Точка 0 является предельной для множества , и не принадлежит этому множеству. Точка 0 является предельной для множества точек интервала (0,1) и также не принадлежит этому множеству. Точка 0 является предельной для множества точек полуинтервала [0,1) и принадлежит этому множеству.
Точка является дискретной точкой множества A, если или, что то же самое, . То есть дискретная точка множества такова, что существует ее окрестность, в которой нет других точек множества, кроме нее самой.
Пример. Множество состоит только из дискретных точек.
Точка является внутренней точкой множества A, если . То есть, внутренняя точка входит в множество с некоторой своей окрестностью.
Множество называется открытым, если состоит только из внутренних точек.
Примеры. Множество точек интервала (0,1) является открытым, в то время как множество точек полуинтервала [0,1) не является открытым: точка 0 не является внутренней точкой данного полуинтервала.
Множество называется замкнутым, если его дополнение до R, то есть, множество , является открытым.
Пример. Множество точек отрезка [0,1] является замкнутым.
Утверждение. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Необходимость. Пусть A замкнуто, то есть, пусть – открытое множество. Докажем, что все предельные точки A принадлежат A методом от противного. Предположим, что – предельная точка множества A – такая, что . В таком случае . Поскольку – открытое множество, является внутренней точкой множества , то есть, . Следовательно, , и значит, не может быть предельной точкой множества A.
Достаточность. Пусть множество A содержит все свои предельные точки. Покажем, что – открытое множество, то есть, если , то . Предположим противное: пусть для . Согласно определению точка – предельная точка множества A, и значит . Мы пришли к противоречию.
Теорема Вейерштрасса
Пусть является бесконечным ограниченным множеством. Тогда тчо – предельная точка множества A.
Доказательство. Раз множество A ограничено, то , где , . Если точка является предельной точкой множества A, то теорема доказана. Предположим, что не является предельной для множества A, то есть, . Значит, в проколотой окрестности точки нет точек множества A. В таком случае , являясь точной нижней гранью, необходимо должна принадлежать множеству A, значит, является дискретной точкой множества A.
Рассмотрим новое множество B таких точек , для которых на бесконечном интервале находится конечное число точек множества A. Согласно нашему предположению на бесконечном интервале находится одна точка , следовательно, и . Множество B ограничено сверху, потому что является мажорантой для B, так как на бесконечном интервале находится все бесконечное множество A. Следовательно, .
Для бесконечный интервал содержит либо конечное множество точек множества A, либо вообще не содержит точек множества A. Так как , бесконечный интервал содержит уже бесконечное множество точек множества A. Следовательно, содержит бесконечное множество точек множества A. Поэтому является предельной точкой множества A. Теорема доказана.
Способы задания функций
Определение 1. Если каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , здесь определяет закон, с помощью которого осуществляется это соответствие.
Примеры. 1. Показательная функция
2. Логарифмическая функция
3. Степенная функция .
Функция может быть задана в виде таблицы или графика, либо формулой (аналитическое задание). В качестве примера приведена функция, аналитическое задание которой , а табличное и графическое ее задания приведены ниже.
|
x |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
4 |
6 |
|
y |
1 |
2.25 |
4 |
6.25 |
9 |
16 |
36 |
Аналитически функцию можно задать в явном виде (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная зависит от , то есть является функцией аргумента .
Можно задать ее неявно , когда любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции
и . График первой функции представляет верхнюю полуокружность, график второй – нижнюю ее часть. Если не требовать непрерывности, то из соотношения можно получить бесчисленное множество функций, заданных на отрезке [-3,3].
Кроме того, возможно параметрическое задание функции , когда вводится дополнительный параметр . Примером является параметрическое уравнение той же, что и выше окружности , в неявном виде записанное как .
Определение 2. Множество называется областью существования функции, или областью ее определения.
Определение 3. Множество называется областью значений функции.
Числовые последовательности.
Числовой последовательностью называют счетный набор пронумерованных чисел . Последовательность также можно рассматривать как функцию, заданную на множестве N. Число называют членом последовательности, – номером этого члена последовательности.
Примеры. 1) , 2), 3), 4) .
Легко заметить, что члены первой и третьей последовательностей с ростом приближаются к конкретной величине, члены второй последовательности безгранично увеличиваются, а члены четвертой последовательности поочередно принимают два значения.
Введем определение предела последовательности, используя кванторы общности и существования для отображения динамики процесса.
Определение. Число называется пределом последовательности , (), если для такое, что при справедливо неравенство: .
Пример. Покажем, что . Здесь . Так как , найдем такое значение , что при (). Так как последнее неравенство эквивалентно неравенству , за можно принять наибольшее целое число, меньшее или равное . Такое число обозначается как [].
Элементарные свойства пределов
1. Предел единственен.
Доказательство . Пусть и . Для найдем такое, что при и найдем такое, что при . Тогда при получим . Из произвольности получаем: расстояние между числами и может быть сделано сколь угодно малым. Это означает, что .
2. Пусть . Если , то . (Теорема о двух полицейских).
Доказательство. Для найдем такое, что при и найдем такое, что при . Тогда при получим неравенства . Следовательно, при справедливо , что обеспечивает неравенство .
Пример применения. Покажем, что . Обозначим . Имеем . В соответствии с формулой бинома
.
Следовательно, или . Из соотношения , применяя теорему о двух полицейских, получим , откуда следует .