Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Пусть - область в пространстве Rn+2 и в задана функция F(x,y,U1,…,Un). Опр 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n называется выражение вида: F(x,y,y1,…,y(n))=0 (1), где x - независимая переменная, y(x)-функция от x, y1(x),...,y(n)(x) -производная от y(x), n-порядок. Опр 2. Функция y=(x) определенная на промежутке I=<,> называется решением дифференциального уравнения (1), если выполняются условия : 1) (x)Cn(I); 2)xI: точка с координатами (x, (x), 1(x)…(n)(x)); 3) xI: F(x,(x),1(x),…,(n)(x))=0 Пусть D-область, D<Rn+1 X ,Y ,U1 , …, Un-1 В D определена функция f(x,y,u1,…,un-1) Если F(x,y,u1,…,un)= un -F(x,y,u1,…,un-1), где F(x,y,u1,…,un-1) определена в D Rn+1, то уравнение f(x,y,y1,…,y(n-1))= y(n) называется разрешенным относительно старшей производной. |
2. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятия решения и интегральной кривой уравнения. Постановка задачи Коши. Пусть область DR2 и f(x,y) определена в D. y’=f(x,y) (1) - ОДУ 1-го порядка разрешенная относительно производной. Опр 1. Функция y=(x) определена на промежутке I=<,> называется решением уравнения (1) если: 1) (x)C1(I); 2) xI:(x,(x))D 3)xI: '(x)=f(x,(x)). Опр 2. Если y=(x)- решение (1), то график этой функции называется интегральной кривой уравнения (1). Постановка задачи Коши. Известно: Область DR2, f(x,y)-определена в D и точка (x0,y0)D (или числа (x0,y0)D).Надо найти решения y=(x) уравнения (1) определенное на I, такое что (x0)=y0 (т.е. интегральная кривая проходящая через (x0,y0)). Числа (x0,y0) называются начальными условиями. Условная запись задачи Коши. Найти решение y’=f(x,y) удовлетворяющее условию y(x0)=y0. Замечания
|
3. Формулировка теоремы существования и единственности ( ТСЕ ). Понятие общего решения. Обобщение некот понятий. Пусть f(x,y) опред обл DR2 X ,Y , точка (x0,y0)D. Рассмотрим задачу Коши (8)(y’=f(x,y)(2);y(x0)=y0). Пусть 1(x) и 2(x) решения (8), т.е. 1(x),2(x)-реш(2) и 1(x0)=y0, 2(x0)=y0. Опред. Говорят, что задача Коши(8) имеет единст решение если любые 2 реш 1(x) и 2(x) этой задачи совпадают на некот окр-сти точки x0 >0 x(x0-,x0+):1(x)2(x) ТСУ1(Локальная)Пусть на обл. DR2 X ,Y функ.f(x,y) и ее част. производная (x/y)(x,y) опред. и непрерывны, и точка (x0,y0) D. Тогда урав. y’=f(x,y) имеет решение (x): 1)опред. на некот. окр-сти (x0-h,x0+h) точки x0, удовл. условию (x0)=y0; 2)такое решение единственно.(Без док-ва) Замечание к ТСЕ. Пусть в обл D выполн. усл. ТСЕ1. 1)В D беск много решений уравнений. x0-точка(x0,y0)D.Через эту точку проходит реш y=(x,y0).Все эти решения не совпадают. 2)Решение задачи(8) может быть опред-но лишь на некот окр-сти x0. Пусть f(x,y) удовл в D условиям ТСЕ1. Функцию y=(x,c) наз-ют общим решения урав(2) в обл D, если: 1)c:(x,c)-реш(2); 2) частное решение урав(2) может быть получено из (x,c) подбором соотве-его значения c. |
|
4. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными: y’=f(x)*g(y) (3) Теорема 1. Пусть функция f(x)-непрерывна на интервале (a,b), а функция g(y)-непрерывна на (c,d) причем для y(c,d): g(y)0. Тогда через любую точку прямоугольника D={(x,y),a<x<b,c<y<d} проходит единственное решение уравнения (3). Док-во. y’=f(x)*g(y) (3); g(y) ≠0; (3’): y’/g(y)=f(x). Проинтегрируем (3’) по х y’dx/g(y)=f(x)dx dy/g(y)= f(x)dx (3*) Это равенство множества первообразных. Обозначим F(x)= x0xf(t)dt, G(y)= y0yds/g(s). Из (3*) G(y)=F(x)+C. Т.к. G’(y)=1/g(y)≠0, то у G(y) существует обратная G-1. y= G-1(F(x)+C)-решение урав(3). Найдем реш., прох. (x0,y0). G(y0)=F(x0)+C -> 0=0+C=0. y=G-1(F(x)) проходит через (x0,y0). |
5.Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернули. Ур-е вида(1) y/+p(x)=f(x) – линейное ур-е 1ого порядка. Теор. Пусть функция р(х) и f(x) непрерывны на интервале α<x<β. Тогда через любую точку(х0;у0) полосы D={(х;у); α<x<β, -∞<y<+∞}проходит единственное решение ур-я (1) причем оно определено на (α;β). Уравнение(1) однородное, если f(x)≡0 и неоднородно в противном случае. Док-во(Метод решения): 1) Пусть ур-е однородное, т.е y/+p(x)=0 – это ур-е с разделяющимеся переменными. у≡0 – решение; у≠0, dy/y=-p(x)dx, ∫dy/y=-∫p(x)dx,ln|y|=-∫x0X p(t)dt + lnC1, C1>0, lnC1 ϵ |R Потенциируем выражение |y|=C1exp(-∫x0X p(t)dt), y=± C1exp(-∫x0X p(t)dt), C1>0 {C1,y>0 => Введем новую С={-C1,y<0 => y=Cexp(-∫x0X p(t)dt), разрешим С=0,С ϵ |R Решение проходит через(х0;у0) имеет вид y = y0exp(-∫x0X p(t)dt) 2) Пусть f(x)≠0/ Решаем ур-е (1) |
6.Обобщенное понятие интегральной кривой. D |R2 Опред.1| Пусть P(x,y) и Q(x,y) непрерывны в обл.D. Кривая γ ={(x,y), x=φ(t), y=ψ(t), t I=< α, β>} называется интегральной кривой ур-я (1)P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0,если выполняются условия: 1) φ(t), ψ(t) С1(I) 2) I: (φ(t), ψ(t)) D 3)I: P((φ(t), ψ(t)) φ (1)(x)+Q((φ(t), ψ(t)) ψ(1)(t)≡0 Опред2| Если интегральная кривая ур-я (1) задаётся в виде Ф(х,у)=0, то это ур-е будем называть интегралом ур-я (1). Опред3| Уравнение Ф(х,у)=С называется общим интегралом ур-я (1), если1) : Ф(х,у)=С – интеграл ур-я (1) ;2) Любой интеграл ур-я можно получить подбором соответствующих произвольныз постоянных С. Ур-е в полных дифференциалах: Пусть P(x,y) и Q(x,y) С1(D), ур-е P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 называется ур-ем в полных дифференциалах ,если U(x,y) С1(D), такая что dU(x,y)= P(x,y)dx+ Q(x,y)dy (2) dU(x,y)= P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0, ясно что dU(x,y)= 0 U(x,y)=С. Докажем что U(x,y)=С – общий интеграл ур-я(2): пусть γ ={(x,y), x=х(t), y=у(t), t I=< α, β>}- интегральная кривая(2) P(x(t),y(t))x(1)tdx+ Q(x(t),y(t))y(1)tdy=0= dU(x(t),y(t)) – т.е существует С|R такое что γ: U(x,y)=C |
|
7.Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Пусть в обл. в G|R3х,у,р опред. непр. Функция F(x,y,p) и ур-е F(x,y,p)=0 имеет хотя бы 1 решение в обл. G. Говорят,что урав. F(x,y,p)=0 задает в обл. D|R2x,y функцию p=f(x,y),если:1)(x,y)ϵD: ((x,y),f(x,y))ϵG. 2)(x,y)ϵD: F(x,y,f(x,y))≡G. В этом случае p=f(x,y) неявно задается ур-ем F(x,y,p)=0. Рассмотрим функцию F(x,y,U1) опред. на G|R3. (1) F(x,y,у(1))=0 ур-е 1ого порядка неразреш. отн. производной. Постановка задачи Коши: Пусть F(x,y,p) опред.в обл. в G|R3х,у,р , точка(х0,у0,р0)ϵ G и F(x,y,p)=0. Найти φ(x)решение ур-я F(x,y,p)=0 оперд. на некотор. окрестности (х-h,x+h)точки х0 и уд. усл. φ(x0)=у0, φ(1)(х0) =р(х0). Запись задачи Коши: F(x,y,у(1))=0, у(х0) =у0 у(1)(х0) =у(1)0, где F(x0,y0,у(1)0)=0 Опред| Решение ур-я F(x,y,у(1))=0, через каждую точку которого, проходит ещё одно решение, касаясь того же направления, называется особым решением этого ур-я. |
8.Общий метод введения параметра. F(x,y,у(1))=0 ур-е 1ого порядка неразреш. отн. производной. Будем искать решение (интегральную кривую) в параметрическом виде(2) γ {х=х(р), у=у(р), рϵ < α, β>. Вводим параметр у(1)=р. Сводим уравнение к разрешенному отн. производной у=f(x, у(1)) или x=g(y, у(1)). Решение ищем в виде γ {х=х(р), у=у(р), γ {х=х(р), у=f(x(р),p), p=p(x), p(1)(x)≠0. Рассм. равенство: у=f(x,p) и продиффер. его по х,считая р=р(х); =+ т.к = у(1)=р. (1)р=f(1)x+f(1)pp(1)x ур-е (1) разреш. отн. произв р(1)х. Т.к р(1)х≠0 и х(1)р=1/р(1)х; (1*) рх(1)р=х(1)р+. Решаем (1*), находим х(р), подставляем в (2). |
|
Теор1| Пусть D-односвязная область в |R2x,y функции P(x,y),Q(x,y) непрер. И диффер. на D. Тогда ур-е P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 явл. ур-ем в полных диффер., если D: =. Док-во:1) Необходимость. Пусть ур-е явл. ур-ем в полных диффер.,т.е U(x,y)C1(D) dU= P(x,y)dx+ Q(x,y)dy. Известно что dU=U(1)x dx+ U(1)y dy значит =P(x,y);=Q(x,y). P,QC1(D) след-но сущ. непрер.=, =, т.к и - непр. То .= . Нахождение первообразной: dU(x,y)= P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0- ур-е в полных диффер.; dU=U(1)xdx+ U(1)ydy,т.е U(1)x=Р(х,у), U(1)y=Q(x,y), U(x,y)=∫P(x,y)dx+ g(y), g(y)-непр.диффер.подлежит определению. =(∫P(x,y)dx+ g(1)(y))= Q(x,y). Сначала находим g(1)(y) и g(y) и подставляем g(y) в U(x,y). |
Выпишем все решение ур-я y/+p(x)=0, y=Cexp(-∫x0X p(t)dt), оно представляется в виде у= φ(x). Св-ва φ(x):1) φ(x) ϵ С1(α;β) (α;β): φ(x)>0. 2) φ(x0)≡ exp(-∫x0X0 p(t)dt)=1 3) φ(x) – решение уравнения y/+p(x)=0 на (α;β), т.е φ (1)(x)+p(x) φ(x)≡0. Решение уравнения (1) ищем в виде y=C(x) φ(x),где С(x)непрерывно дифференцируема на (α;β),подлежит определению. Подставим у=φ(x)С(х) в (1) y(1)=C(1)(x)φ(x)+C(x) φ (1)(x), [C(1)(x)φ(x)+C(x) φ (1)(x)]+p(x)C(x) φ(x)=f(x), т.к C(1)(x)φ(x)+ p(x)C(x) φ(x) ≡0, то C(1)(x)φ(x)=f(x), т.к φ(x)>0 на(α;β) C(1)=f(x)/ φ(x) – непрерывно на (α;β) С(x)= ∫x0Xf(s)/ φ(s)dS + K,K ϵ|R Подставим С(x) в y(x): y(x)= φ(x) ∫x0Xf(s)/ φ(s)dS + K φ(x) Замечание| yо.н=уо.о+уч.н Решение проходит через(х0;у0), y(x)= φ(x) ∫x0Xf(s)/ φ(s)dS + у0 φ(x)=>y(x0)= φ(x0) ∫x0X0f(s)/ φ(s)dS + у0 φ(x0)=0+y0*1=y0 Ур-е вида(2) y/+p(x)=y(n)f(x)- ур-е Бернули. n≠0,n≠1. Если n>0,то y≡0 – решение, =>y≠0 то делим обе части ур-я на y(n), Вводим новую переменную z(x)=y(1-n), z(1)(x)= (y(1-n))(1)=(1-n)y(-n)y(1), z(1)+(1-n)p(x)z=(1-n)f(x) – линейное относ. z |
Замечание. 1) Если существует y* такое что g(y*)=0, то функция y= y*-общее решение уравнения (3). 2) Схема решения (3): а) g(y)=0 находим y*. Функция y= y*-общее решение уравнения (3) б) g(y)0. Разделяем переменные dy/g(y)=f(x)dx. Интегрируем dy/g(y)=f(x)dx+C. y’=f(ax+by+c) a,bR, b0 x-независимая переменная. Вводим z(x)=ax+by. zx’=a+byx’ yx’=1/b*(zx-a). Разделяем переменные 1/b*(zx’-a)=f(z) zx’=bf(z)+a-уравнение с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. dy/dx=f(x/y) (1) - однородное, x-независимая переменная. u=u(x)=y/x, y=xu, yx’=u+xux’. Подставим в (1) u+xux’=f(u), xux’=f(u)-u, ux’=(f(u)-u)/x. Уравнения сводящиеся к однородному. yx’=f[(a1+b1y+c1)/( a2+b2y+c2)]. a1b2-b1a20 { a1+b1y+c1=0; a2+b2y+c2=0. Пусть решение системы в точке (x0,y0). Разделим переменные {y*=x-x0;y*=y-y0} dy*/dx*=dy/dx, dy*/dx*=f((a1x*+b1y*)/( a2x*+b2y*))-однородная относительно x*, y*. |
|
9. Уравнения Лагранжа и Клеро. Ур-ие Лагранжа: y=f(y’)*x+g(y’) (1); f(y’) ≠y’; y’=p; {x=x(p),y=y(p); {x=x(p),y=f(p)*x+g(p); yx’=f(p)+x*df/dp* px’+dg/dp* px’; p-f(p)=x*df/dp* px’+dg/dp* px’; Если p-f(p) ≠0 и т.к. px’≠0; (p-f(p))* xp’=x*df/dp+dg/dp лин. ур-ие относит. x(p). Если сущ-ет p0 такое, что f(p0)= p0=0, т.е. f(p0)= p0 то ур-ие (1) имеет реш-ие вида; y=f(p0)+g(p0) или y= p0*x+g(p0)); Ур-ие Клеро: y=x*y’+g(y’)(2); вводим параметр p=y’; {x=x(p), y=x*p+g(p); yx’=p+x* px’+ gp’*px’; p = p + x*px’ + gp’*px’; [x + gp’(p)]*px’ = 0; a) px’=0 p=c; y=c*x+g(c) семейство прямых( реш ур-ия (2)); б) x+g’(p)=0x=-g’(p); Уравнение интегральной кривой γ : {x = - g’(p); y = - p*g’(p) + g(p); Пусть g(p) ЄC1(I), g’’≠0; в этом случае γ-особая интег-ая кривая(2), пусть p0Є I : (x0;y0) Є γ; { x0 =-g’(p0), y0=- p0g’(p0)+g(p0) Для γ в точке (x0;y0) yx’ - тангенс угла наклона касательной yx’ (x0;y0)= p0; y=c*x+g(c); {x0=-g’(p0), y0=- p0*g’(p0)+g(p0)=c* x0+g(c); yx’(x0)= p0=c; c= p0; реш-ие y= p0*x+g(p0) проходит через точку (x0;y0) касаясь интегр-ой кривой особая инт-ая кривая γ γ-особая интегр-ая кривая.
|
10. ОДУ порядка n: определение решения, постановка задачи Коши, формулировка ТСЕ. Пусть Ω область в пр-ве Rn+1 и в Ω задана непрер. ф-я f(x, y, U1 , …, Un-1) Соотношение y(n) = f( x, y, y’, ... , y(n – 1) )(1) вида называется ОДУ порядка n, разрешенным относительно старшей производной. Опр.: Ф-я φ(x) определенная на промежутке I=<α;β>, наз-ся реш-ем ур-ия (1), если вып-ся след. условия:1) φ(x) Є Сn(I); 2) x Є I точка : (x ,φ(x), φ’(x) ,…, φ(n-1)(x)) Є Ω; 3) x Є I точка : φ(n)(x) ≡ f(x, φ(x), φ’(x), …, φ(n-1)(x)). Постановка задачи Коши. Пусть Ω обл пр-ва Rn-1 , f(x, y, U1 , …, Un-1) определена и непрер в Ω , числа (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) такие, что (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) Є Ω. Найти ф-ю , опред на интервале (x0-δ; x0+δ) являющ реш-ем ур-ия (1) и удовлет усл y0 = φ(x0), y0’= φ’(x0),…, y0 (n-1) = = φ(n-1)(x0) нач данные: (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ). Запись задачи Коши: y(n) = f(x,y,y’,... ,y (n – 1) ) , y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1) . TCE 2( локаль): Пусть Ω область в Rn+1 , (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) ,численно, такие, что (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) Є Ω. Если ф-я f(x, y, U1 , …, Un-1 )и частн призв ∂f /∂ui (x, y, U1 , …, Un-1 )(i=1,…,n-1) непрер в обл Ω, то в некоторой окрест =(x0-h; x0+h) сущ реш-я ур-ия y(n) = f( x, y, y’, ... , y(n – 1) ), и это реш-ие удовлет усл y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1) и это реш-ие единственно. Физический смысл: x(t) – координата точки массы m на оси x. x’= dx/dt - это скорость; x’’=d2x/dt2 - это ускорение ; f(t, x, x’) – это сила , действующая на точку. m*x’’ = f(t, x, x’). Начальные условия : {t0 – нач момент времени; x(t0) – нач координата; x0’ – нач скорость {m*x’’ = f(t, x, x’); x(t0) = x0; x’(t0) = x0’. |
11.Простейшие методы понижения порядка. Примеры. (1) F(x, y, y’, ... , y (n)) = 0 – называется неразрешённым относительно старшей производной. I.F(x, y’, y’’, ... , y (n) ) = 0 – функция не содержит y. Осуществим замену переменной: х – независимая переменная; z(x) = y’(x) , y’’= z’,…,y(n) = z(n-1) F(x, z, z’, … , z(n-1) ) = 0. II. Левая часть не содержит (явно) x. F( y, y’, y’’... , y (n) ) = 0; у – независимая переменная; t = t(y) = yx’; t – функция от у. yxx’’ =(ух’)х’ = tx’= ty’*yx’= t*ty’ yxxx’’’ = (yxx’’)’ = (t*ty’)x’ = (t*ty’)y’*yx’ = t*(t*ty’)y’ F(y, t, ty’... , t (n-1) ) = 0. III. F(x, y, y’, ... , y (n)) = 0; Пусть Ф(x, y, y’, ... , y (n-1)) такая, что F(x, y, y’, ... , y (n)) = d/dxФ(x, y, y’, y’’, ... , y (n-1) ), тогда исходное ур. эквивалентно Ф(x, y, y’, y’’, ... , y (n-1)) = C. Пример. y*y’’ + y’2 = 1. Решение: (Х)х’ = 1; (y*y’)’ = y*y’’ + y’*y’; (y*y’)x’ = (Х)х’; y*y’ = x + C1; ∫y*dy = ∫(x + C1)dx; y2/2 = x2/2 + C1*x + C2; y2 = x2 + 2*C1*x + 2*C2; K1 = 2*C1; K2 = 2*C2 . Ответ: y2 = x2 + K1*x + K2 . |
|
12.Линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) порядка n. Формулировка ТСЕ и задачи Коши для ЛДУ высшего порядка. Пусть a0(x), a1(x), … , an(x), f(x) определены на I=<α,β>. Уравнение вида a0(x)*y(n) + a1(x)*y(n-1) + … +an-1(x)*y’ + an(x)*y = f(x) называется ЛДУ порядка n (a0(x) ≠ 0). Если a0(x) ≠ I на I, то обозначим: Pi(x) = ai(x)/a0(x); I = 1,…,n; f(x) = b(x)/a0(x); (1) y(n) + p1(x)*y(n-1) + … + pn-1(x)*y’ + pn(x)*y = f(x); Если для всех xЄ I выполняется f(x) ≡ 0, то (2) y(n) + p1(x)*y(n-1) +…+pn-1(x)*y’ + pn(x)*y = 0. Ур. (1) – неоднородное ЛДУ порядка n; Ур. (2) – однородное ЛДУ порядка n. Постановка задачи Коши. Пусть x0 Є I, y0 , y0’,…, y0 (n-1) - произвольные действ.числа. Найти решение ур. (1), удовлетворяющее начальным условиям: y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = = y0 (n-1). Теорема. (ТСЕ 3 - для ЛДУ порядка n). Пусть функции p1(x) , … , pn(x) , f(x) непрерывны на промежутке I=<α,β> , точка х0 Є I, y0 ,y0’ , … , y0 (n-1) - произвольные действ. числа . Тогда существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию: y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1), определённое на всём промежутке I=<α,β>. Замечание к ТСЕ 3. Пусть x0 Є I, ур. (2) – однородное, и начальные условия: y(x0) = 0 , y’(x0) = 0 , … , y(n-1)(x0) = 0. Эта задача Коши имеет только нулевое решение y ≡ 0. |
Теор. Пусть p1(x),…, pn(x) ∈C(I),тогда пространство решений однородного ЛДУ (7) L[y]=0= y(n)+ p1(x) y(n-1) +….+ pn(x) y порядка n конечномерно , и его размерность равна n. Док-во. Укажем базис в пространстве решений уравнения (7) Зафиксируем точку x0 ∈I y1 (x0)=1 , y(1) (x0)=0,…., y(n-1) (x0)=0 По ТСЕ эта задача имеет единственное решение , определенное н а всем промежутке I. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (7) с начальными условиями. y(k)(x0)=1, y(i)(x0)=0 I не равно K Эта задача имеет решение .Обозначим его yk+1 (x) Получим систему решений уравнения (7) ; Эти решения линейно независимы. |
|
|
13.ЛДУ порядка п и линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородного ЛДУ. Пусть p1(x)…pn(x) непр на I=<a;b> Рассм. оператор L, L: c^(n)->c(I) L=d^n/dx^n +P1(x)d^(n-1)/dx^(n-1)+...+Pn-1(x)D/dx+Pn(x)D^0/dx^0; d^0/dx^0(f)=f ^0 = f ; Теор. Пусть Р1(х)…Рn(х)С(I) 1) Если У1(х) и У2(х) – реш-я ЛДУ пор-ка n, и 2)Если комплекс. Функц. F(x)=U(x)+iV(x) Реш. ур-я ЛДУ пор n, то действ часть ReF(x)=U(x) и JmF(x) = iV(x) – реш-е ур-я ЛДУ пор n. |
14 Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского и необходимое условие линейной зависимости произвольной системы функций. Определитель Вронского системы ф-ций. Услов. линейной зав ф-ции. 1)Пусть ф-ции наз-ся лин зав-ми на I, если найдутся числа не все равные нулю, такие, что на I выполняется тождество: х 2)Функ. наз-ся лин. незав. на I, если выполн тожд-во: Пусть y1(x),y2(x)…(I) Опр-ль вида W(x)=W(y1(x),y2(x)…)= Наз-ся опред-лем Вронского |
15 Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений однородного ЛДУ порядка п. Т1 Пусть решения y1(x),y2(x)… – лин незав на I. Если y1(x),y2(x)… - лин незав на I, то Следствие: Если сущ-т X0, такое, что W(Х0)=0, то y1(x),y2(x)… - лин зав на I |
|
— линейно независимы (по следствию 4) Пусть φ (x)-произвольное решение уравнения (7) Вычислим значение φ (x), φ' (x) ….. в x0∈I Обозначим a1= φ (x0), ,…, an= φ (n-1) (x0) Построим z(x)= a1 y1 (x)+….+ an yn (x)- φ (x) Z(x)-решение уравнения (7) z(x0)= a1 y1 (x0)+….+ an yn (x0)- φ (x0)=0 и все производные тоже равны 0. Итак ,решение уравнения (7) z(x) удовлетворяет начальным условиям z(x0)=0,и все остальные производные равны нулю. Следовательно по замечанию к ТСЕ3, решение z(x)=0 z(x)= a1 y1 (x)+….+ an yn (x)- φ (x)=0 y1 (x), ……..,yn(x)-базис в пространстве решений уравнения Замечание ТСЕ 3. Если z(x)= a1 y1 (x)+….+ an yn (x)- φ (x)=0 и y(x0)=0 как и все производные y, то эта задача Коши имеет только нулевое решение y=0. |
||
|
20. ФСР однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни. L[y]=y^{n}+a1y^{n-1}+…+a(n-1)y’+an*y=0 (13) l(t)=t^n+a1t^(n-1)+…+a(n-1)t+an (15) Определение Говорят, что число C является корнем кратности k многочлена l(t) степени (n-k), если l(t)=(t-)^k*l1(t), где l1()0. Если k=1, - простой корень. L=l(D)=D^n+a1*D^(n-1)+…+a(n-1)*D+an. Пусть - корень кратности k l(t), т.е. l(t)=(t-)^k*l1(t), то L=l(D)=(D-)^k*l1(D)=l1(D)*(D-)^k .Зафиксируем sN s=0 (натуральные и ноль) x^s*e^x, (D-)^k*[x^s*e^x] 1. k=1 (D-)^k*[x^s*e^x]==(det) D*[x^s*e^x]-*[x^s*e^x]= =(d/dx)*[x^s*e^x]-*[x^s*e^x]= =s*x^(s-1)*e^x+*[x^s*e^x]-*[x^s*e^x]=s*[x^(s-1)*e^x] (D-)*[x^s*e^x]=[s*[x^(s-1)*e^x], sN; 0, s=0] 2. (D-)^2*[x^s*e^x]= (D-)*[(D-)*[x^s*e^x]]= =(D-)*[s*x^(s-1)*e^x]=s*(D-)*[x^(s-1)*e^x]= =[s*(s-1)*[x^(s-2)*e^x], s>1; 0, 0<=s<=1] kN. (D-)^k*[x^s*e^x]=[k*(k-1)*…*(k-s+1)[x^(s-k)*e^x], s>=k; 0, 0<=s<=k-1] Теорема 1: Пусть C явл. корнем кратности k храк-кого многочлена, тогда функции e^x, x*e^x,..,x^(k-1)*e^x являются решениями (13) Доказательство (13) L[y]=0 L=l[D]=l1(D)* (D-)^k 0<=s<=k-1: L[x^s*e^x]=(l1[D]* (D-)^k)*[x^s*e^x]=l1(D)*( (D-)^k*[x^s*e^x])= l1(D)[0]=0, т.к. 0<=s<=k-1. => x^s*e^x- реш. (13) |
19. ФСР однородного ЛДУ с постоянными коэффициента-ми в случае простых корней характеристического уравнения (действительных или комплексных). Теорема1: Пусть a1,..,anC и L[y]=y{n}+a1*y{n-1}+…+a(n-1)*y’+an*y=0 (13) и l(t)=t^n+a1*t^(n-1)+…+a(n-1)*t+an (15)– характеристический многочлен ОЛДУ(13). Функция e^x, где C, Является решением (13) т. и т. т., когда l()=0 (т.е. - корень характеристического многочлена (13)) Доказательство Т.к. L[e^x]= D^n*[e^x]+…+ a(n-1)*D*[ e^x ]= e^x*(^n +…+ a(n-1) * + an) = e^x * e()=0 <=> e[]=0 Лемма Пусть 1, 2,.., nC, причем ij при ij. Тогда функции e^1x, e^2x,.., e^nx линейно независимы на R Доказательство: Индукция по n: 1) n=1 1*e^1x=0 <=> 1=0 – утверждение верно 2) Пусть для попарно независ. M1,..,M( n-1)- утверждение верно 3) ij, ij, e^1x, e^2x,.., e^nx . ПустьxR и 1,.., nC 1*e^1x+2*e^2x+…+n* e^nx0 , умножим на e^(-nx) x: 1* e^(1-n)x+…+(n-1)*e^((n-1)-n)x + n0. Дифференцируем (1-n)*1*e^(1-n)x+…+((n-1)-n)*(n-1)*e^((n-1)-n)x0 Т.к.: 1-n…(n-1)-n, то п индуктивному предположению => e^(1-n)x,..,e^((n-1)- n)x – линейно независимы на R Замечание:(i-n)i0, i=1,..,(n-1) => 1=2=…=(n-1)=0 n*e^nx0=> n=0 => e^1x,…, e^nx. |
17. Теорема об общем решении неоднородного ЛДУ порядка n. (8) y{n}+p1(x)*y{n-1}+…+p(n-1)(x)*y’+pn(x)*y=f(x) (8) L[y]=f(x) – неоднородное ЛДУ (9) y{n}+p1(x)*y{n-1}+…+pny=0 (9) L[y]=0 Говорят, что однородное уравнение (9) соответствует неоднородному уравнению (8) Теорема:Общее решение уравнения (8) представляется как сумма общего решения соотв. Однороднод.ЛДУ (9) и некоторого частного решения yч.н.(x) уравнения (8).Если y1(x),…,yn(x)-ФСР неоднор. ИДУ(9), а yч(x)-частное решение неоднор. ЛДУ(8), то общее решение (8): y(x)=yч.н.+С1*y1(x)+…+Cn*yn(x) (10), где C1,..,Cn – произвольные const. Док-во: Пусть y2(x)-фикс.частное решение ур-ния(8) 1)Пусть φ(x) решение ур-ния(9),т.е. L[φ (x)]=0.Тогда по теореме о размерности пр-ва: φ(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x),т.к. y1(x),…,yn(x)-ФСР ур-ния(9).По условию L[yч(x)]=f(x), y(x)=yч(x)+ φ(x)=yч(x)+C1y1(x)+…+Cnyn(x)-решение(8). L[y(x)]=L[yч(x)+ φ(x)]= L[yч(x)]+L[φ(x)]=f(x)+0=f(x) 2)Пусть y(x)-произвольное решение ур-ния(8),т.е. L[y(x)]=f(x),рассмотрим z(x)=y(x)-yч(x), L[z(x)]=L[y(x)]-L[yч(x)]=f(x)-f(x)=0 сл-но z(x)-решение ур-ния(9) сл-но найдутся числа C1,C2,…,Cn такие, что z(x)=C1y1(x)+…+Cnyn(x) и y(x)=yч(x)+C1y1(x)+…+Cnyn(x). |
|
18.Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного ЛДУ порядка n. Пусть найдены y1(x),..,yn(x) – ФСР (9) Будем искать yч.(x) – частное решение неоднородного уравнения (8) в виде: yч.=C1(x)*y1(x)+…+Cn(x)*yn(x), где C1(x),..,Cn(x) – непрерывно дифференцируемые на I функции, подлежащие определению. k=1,..,n L[yk(x)]=0 yч.=(i=1)(n)(Ci(x)yi(x)) При подстановке yч. В (8) получится: y’ч.(x)= (i=1)(n)(Ci(x)*y’i(x))+ (i=1)(n)(C’i(x)*yi(x)) Наложим дополнительные условия (i=1)(n)(C’i(x)*yi(x))=0, тогда y’ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y’i(x)) y’’ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y’’i(x))+ (i=1)(n)(C’i(x)*y’i(x)) (i=1)(n)(C’i(x)*y’i(x))=0 Итак, пусть (i=1)(n)(C’i(x)*y{k}i(x))=0 для k=0,..,n-2 y{n-2}ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y{n-1}i(x)) Решаем неоднородное уравнение L[y]=f(x) y{n}(x)+p1(x)*y{n-1}(x)+…+p(n-1)(x)*y’(x)+pn(x)*y(x)=f(x) Ищем частное решение в виде yч.=(i=1)(n)(Ci(x)*yi(x)), y1(x),..,yn(x) – ФСР L[y]=0 y{k}ч.= (i=1)(n)(Ci(x)*y{k}i(x)), k=1,..,n-1. Получим систему из n ур-ний: (i=1)(n)(C’i(x)*y{k}i(x))=0 y{n}(x)=(i=1)(n)(C’i(x)*y{n-1}i(x))+ (i=1)(n)(Ci(x)*y{n}i(x)). |
21. Отыскание частного решение неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и стандартной правой частью. (18) L[y]= y^(n)+any^(n-1)+…+a(n-1)y^(1)+any=f(x), a1, a2,…., an є C; Известно уо.н.=уч.н.+уо.о. (18.1) L[y]=f(x); L[y]=0; Теорема Пусть єC, a1, a2,…., am є C; Pm(x) – многочлен степени m с комплексными коэф-ми. l(t)=t^n+a1t^(n-1)+…+a(n-1)t+an – характеристический многочлен уравнения (18.1) и f(x)=Pm(x)e^x; (19): L[y]=Pm(x)e^x – неоднородное ЛДУ порядка N. Тогда: 1. (нерезонансный случай). Если l()0 (т.е. не является корнем l(t), то уравнение (19) имеет частное решение yч.(x)=Qm(x)e^x, где Qm(x) – многочлен степени m. 2. (резонансный случай). Если - корень кратности x многочлена l(t), то уравнение (19) имеет частное решение вида yч.=(x^k)Qm(x)e^x, где Qm(x) многочлен степени m. Доказательство (случай m=0, т.е. Pm(x)=A, AC; f(x)=Ae^x) 1. L[y]=Ae^x; l()0; yч.=Be^x (В подлежит определению); Подставляем yч.(x) в (19) L[yч.(x)]=L[Be^x]=BL[e^x]=Bl()e^x=f(x)=Ae^x <=> Bl()=A, т.к. l()0, то B=A/l(); yч.=A/l(x)e^x |
22. Нормальная система ОДУ. Понятие решения и интегральной кривой. Постановка задачи Коши для нормальной системы, формулировка ТСЕ. Пусть функции f1(x,y1,..,yn), f2(x,y1,..,yn),..,fn(x,y1,..,yn) определены в области Rn+1x,y1,..,yn Опеределение Нормальной системой ОДУ порядка N называется система вида: {dy1/dx=f1(x,y1,..,yn); dy2/dx=f2(x,y1,..,yn);…; dyn/dx=fn(x,y1,..,yn)} (1) Замечания 1) x – независимая переменная, y1(x),..,yn(x) – функции от x. 2) число уравнений системы (1) равно числу зависимых переменных y1,..,yn 3) порядок системы (1) равен числу уравнений 4) каждое уравнение содержит только одну производную, правосторонних производных нет. Пусть I=<,>R Говорят, что на I определены функции y1(x),..,yn(x) и y(x)=(y1(x),..,yn(x))T. Вектор-функция y(x)C1(I) (по определению) <=>(det) i=1,.,n: yi(x)C1(I) (C(I)) dy/dx=(dy1/dx,..,dyn/dx)T=y’=(y1`(x),..,yn`(x)) Обозначим fi(x,y1,..,yn)=fi(x,y) Говорят, что Rn+1x,y1,..,yn задана вектор-функция f(x.y)=(f1(x,y),.., fn(x,y))T, если на определены функции f1(x,y),.., fn(x,y) Векторная запись системы (1): dy/dx= f(x.y) (2), y'= f(x,y) Определение |
|
23. Нормальная система ЛДУ. Скалярная и матричная запись. Формулировка ТСЕ решения задачи Коши для системы ЛДУ. Нормальную систему порядка n дифференциальных уравнений вида dy1/dx=a11(x)y1+… a1n(x)yn+b1(x); …; dyn/dx=an1(x)y1+… ann(x)yn+bn(x) (1). называют линейной системой, здесь функции aij(x) и bi(x) определены и непрерывны на I=<>. dyi/dx=j=1naij(x)yj+bi(x), i n. fi(x,y)= j=1naij(x)yj+bi(x), i,j dfi(x,y)/dyi=aij(x)C(I). Функции fi(x,y) и dfi(x,y)/dyi определены и непрерывны G=xI=<>; -y1;…;-yn}=I*Rn. Задача Коши для линейной системы: начальные условия: x0I, y10…yn0 – произвольные числа, т.е. y0Rn (произвольный вектор). Запишем систему (1) в матричном виде: b(x)=(b1(x)…bn(x))T, A(x) – матрица-функция порядка n. A(x)=||aij||n*n; dy/dx=A(x)y+b(x). A(x), b(x)C(I). Определение. Если b(x)0, то система dy/dx=A(x)y+b(x) (2) называется неоднородной. Если столбец b(x)=0, то система ЛДУ называется однородной и имеет вид dy/dx=A(x)y Th.(ТСЕ для системы ЛДУ). Пусть вектор-функция b(x) и матрица-функция A(x) определены и непрерывны на I=<>, x0I, y10…yn0 – произвольные действительные числа. Тогда задача Коши: dy/dx=A(x)y+b(x), y(x0)=y0 (y0={y10…yn0}) 1. Имеет решение (x), определенная на всем I. 2. Это решение единственно (т.е. если (x) и (x) – решения, удовлетворяющие условию (x0)=(x0), то xI: (x)(x)). |
24. Свойства решений однородной системы. Определение. Если b(x)0, то система dy/dx=A(x)y называется однородной системой ЛДУ. Введем оператор =d/dx-A(x); y(x)C1(I); [y(x)]= dy/dx-A(x)y; [ y(x)]C(I). Лемма. Оператор - линейный. Доказательство: Для любых y1(x), y2(x)C1(I) и 1,2R; Z[1y1+2y2]=1dy1/dx + 2dy2 - 1A(x)y1-2A(x)y2=1(dy1/dx-A(x)y1)+2(dy2/dx-A(x)y2)= 1Z[y1]+2Z[y2] . Th. 1. Если вектор-функции 1(x)…n(x) решение системы dy/dx=A(x)y (1), то С1…Сn – числа: C11+…+Cnn – тоже решение системы. 2. Если u(x),v(x)C1(I), а действительная функция (x)= u(x)+iv(x) – решение системы (1), то действительные функции u(x) и v(x) – тоже решения системы. Доказательство: 1. y(x) – решение системы (1) тогда и только тогда, когда [y]= 0, т.е. когда y – лежит в ядре оператора . Т.к. ядро - линейное подпространство, то 1(x)…n(x)Rer C11+…+CnnRer и является решением системы (1). 2. [ y(x)]= dy/dx-A(x)y=0. По условию: 0=[u(x)+iv(x)]=[по лемме 1]=[u(x)]+i[v(x)]=0. Т.к. [u(x)] и [v(x)] – действительные вектор-функции, то [u(x)]=0 и [v(x)]=0. |
|
19.Теорема2: Пусть a1,..,anC и (13) l(t)=t^n+a1t^(n-1)+…+a(n-1)t+an – характеристический многочлен уравнения (13). Если 1,2,..,nC – корни характеристического многочлена (15) такие, чтоij при ij, то функции e^1x, e^2x,.., e^nx образуют ФСР ур-ния(13) и общее решение им. вид: y(x)=C1e^1x+ C2e^2x+…+ Cn*e^nx (16), где C1,..,Cn – произвольные комплексные постоянные. Доказательство: Т.к. 1,…, n-корни хар.ур.(15), то по теореме 1 :e^1x, e^2x,.., e^nx – решения (13) По Лемме 4, т.к. ij, ij, то e^1x, e^2x,.., e^nx – линейно независимы => e^1x, e^2x,.., e^nx – ФСР (13) И значит, общее решение (13) имеет вид (16) Действительный случай Пусть a1,..,anR (действительные числа). l(t)=t^n+a1t^(n-1)+…+a(n-1)*t+an – многочлен с действительными коэффициентами. Пусть1, 2,.., n (ij, ij)-корни этого многочлена. а) 1, 2,.., nR, тогда ФСР e^1x, e^2x,.., e^nx – действительная функция y(x)=C1e^1x+ C2e^2x+…+ Cn*e^nx, где С1,..,Сn – произвольные действительные числа |
20.Лемма: Для любых различных 1,2,..,sC и k1,k2,..,ksN, тогда система функций {e^1x, x*e^1x,..,x^(k1-1)*e^1x; e^2x, x*e^2x,..,x^(k2-1)*e^2x;…; e^sx, x*e^sx,..,x^(ks-1)*e^sx} линейно независима на R Теорема Пусть различн. числа 1,2,..,sC - корни характеристического многочлена l(t) кратности k1,..,ks соответственно и k1+…+km=n. Тогда обще решение (13) имеет вид y(x)=P1(x)*e^1x+…+Ps(x)*e^sx, где j=1,..,s Pj(x) – многочлен степени kj-1, коэффициентами которого являются произвольные комплексные числа. Доказательство т.к. jC , j=1,..,s –корень хар-го многочлена l(t), то по Th 1 функции: e^1x, x*e^1x,..,x^(k1-1)*e^1x; e^2x, x*e^2x,..,x^(k2-1)*e^2x;…; e^sx, x*e^sx,..,x^(ks-1)*e^sx – решения (13). По Лемме эти ф-ции явл. линейно независ. на R. Число этих функций k1+k2+…+km=n. Следовательно, они образуют ФСР. yо.о.= j=1s (C1j+C2j*x+…+C(kj)j*x^(kj-1))*e^jx, где С – произвольные комплексные числа. Действительный случай Пусть a1, ..,anR (17) L[y]=y{n}+a1*y{n-1}+…+a(n-1)*y’+an*y=0 (15) l(t)=t^n+a1*t^(n-1)+…+a(n-1)*t+an=0 |
|
|
22. Решением системы (1) называется упорядоченный набор функций 1(x),.., n(x), определенных на I=<,> и удовлетворяющих условиям: 1) i=1,..,n : i(x)С^1(I) 2) xI : (x, 1(x),.., n(x)) 3) i=1,..,n xI : di(x)/dxfi(x, 1(x),.., n(x)) Определение Решением системы (1) называется вектор-функция (x)=( 1(x),.., n(x)) T, определенная на промежутке I и удовлетворяющая условиям: (x)С^1(I) 2) xI : (x, 1(x),.., n(x)) 3) xI : d(x)/dx= f(x. (x)) Определение Пусть (1(x),.., n(x)) T решение системы (1) на I. Интегральной кривой системы (1) называется кривая Rn+1x,y1,..,yn, заданная параметрически: ={x=x; y1=1(x);…; yn=n(x)}, xI Задача Коши Пусть f(x,y)=( f1(x,y),.., fn(x,y))T определена в и точка (x0,y01,..,y0n) Найти решение (x)=( 1(x),.., n(x)) системы (1) [(2)], удовлетворяющее условиям 1(x0)=y01, 2(x0)=y02,.., n(x0)=y0n. Запись в векторном виде: Обозначим y0=(y01,..,y0n)Rn Задача Коши dy/dx= f(x.y) – система, y(x0)=y0 – начальное условие. Геометрический смысл: - найти интегральную кривую, проходящую через эту точку Теорема (ТСЕ для НС n) Пусть f(x,y)=( f1(x,y),.., fn(x,y)) и f(x,y)/yi=(f1/yi,..,fn/yi), где i=1,..,n определена и непрерывна в области Rn+1x,y1,..,yn и (x0,y01,..,y0n)= (x0,y0) Тогда на некотором интервале I=(x0-,x0+) существует решение задачи Коши. dy/dx= f(x.y), y(x0)=y0 и это решение единственно. (без доказательства) |
21. 2. Резонанс. l()=0, - корень кратности k многочленаl(t), т.е. l(t)=(t-)^k*l1(t), где l1(t)0. В этом случае L=l1(p)(p-)^k. Ищем yч.=Bx^k*e^x, где В подлежит определению. Уравнение (19) имеет вид L[y]=(l1(p)(p-)^k)[y]=Ae^x. Подставим yч. В уравнение: L[Bx^k*e^x]=B(l1(p)(p-)^k)[x^k*e^x]=B(l1(p))[(p-)^k*(x^k*e^x))]=B(l1(p))[k(k-1)…1*x^(k-k)e^x]=Bk!(l1(p)(e^x))=Bk!*l1()*e^x=Ae^x, где l1()0 <=> Bk!*l1()=A, B=A/(k!*l1() Замечание f(x)=e^x (Pm(x)cos(x)+Ql(x)sin(x)), Pm – многочлен степени m, Ql(x) – многочлен степени l. e^x=e^(+i)x=e^x*cos(x)+ e^x*isin(x), e^(-x)=e^(-i)x=e^x*cos(x)-e^x*isin(x) e^x*cos(x)=1/2(e^(+i)x+ e^(-i)x) e^x*sin(x)=1/2(e^(+i)x-e^(-i)x) f(x)=Pm(x)*e^x*cos(x)+Ql(x)*e^(-i)x =~Ps(x)*e^(+i)x+~Qs(x)e^(-i)x, где s=max(m,l), Ps(x), Qs(x) – многочлен с комплексными коэффициентами. Лемма Пусть L[y]=f1(x), L[y]=f2(x), L[y]=f1(x)+f2(x). Если 1(x) – решение L[y]=f1(x), 2(x) – решение L[y]=f2(x), то функция 1(x)+2(x) – решение уравнения L[y]=f1(x)+f2(x) На практике решение ищут в виде: 1. Нерезонансное, т..е. l(+i)0 yч.н.=e^(x)*(~Pl(x)*cos(x)+~Ql(x)*sin(x)) 2. Резонансное =(+i), l()=0 – корень кратности k. yч.н.=x^k*e^(x)*(~Pl(x)*cos(x)+~Ql(x)*sin(x)) |
|
|
25 Определение1. Вектор-функции 1(x)…n(x) назыв. лин. зав-ми на I=<>, если сущ-ют числа 1…n не все равные 0 такие, что xI: 11+…+nn0. Вектор-функции 1(x)…n(x) – лин. независимы на I, если из тождества xI: 11+…+nn0 следует, что 1=…=n=0. Определение2. Пусть на пром-ке I=<,> задана вектор-функция k(x)=(1k(x); 2k(x);…; nk(x))T (k=1…n) функциональный определитель W(x)=W[1(x)…n(x)]=|11(x)…1n(x);…;n1(x)…nn(x)| (это квадр. матрица размерами n×n) называется определитель Вронского системы функций 1(x)…n(x) на I=<>. Теор. Если система вектор-функций 1(x)…n(x) – линейно зависима на I, то xI: W(x)=W[1(x)…n(x)]0. Доказательство: Т.к. 1(x)…n(x) – лин. зав. на I, то сущ. числа 1…n не все равные 0, такие что xI: 11+…+nn0, след-но, x0I столбцы 1(x0)…n(x0) линейно зависимы W(x0)=W[1(x0)…n(x0)] т.к. его столбцы сов. с этими вект. В силу произвольности x0: W(x)=0 на I обратное неверно. Следствие. Если существует x0I в которой W(x0)=W[1(x)…n(x)]|x=x00, то вектор-функции 1(x)…n(x) – линейно независима на I. |
26 Теор. Пусть вект.-функция 1(x)…n(x) явл-ся реш. dy/dx=A(x)y (1) на I. Если сущ. x0I, в которой W(x0)=W[1(x)…n(x)]|x=x0=0, то эти решения линейно зависимы на I. Доказательство: Рассм-м вектора 1(x0)…n(x0) –столбцы W(x). Они лин.зависимы, т.к. W(x0)=0. сущ. 1…n не все равные 0 такие, что 11+…+nn=0. Составим линейную комбинацию Z(x)=11(x)+…+nn(x). По теор(_1)Если 1(x)…m(x)- произвольные решения урав. dy/dx=A(x)y (или L[y]=0) и С1,..,Сm –произ. числа, то фун-ия y=С11(x)+..+ Сmm(x)-также решение урав (1). 2) Пусть U(x) и V(x)C1(I) действ. вект.-функции, если комплексная вект.-функция f(x)= U(x)+ i*V(x) - решение (1), то U(x) и V(x) решение (1). _) Z(x)–решение (1). Z0(x)=11(x0)+…+nn(x0)=0 Таким образом Z(x) реш. задачи Коши. dy/dx=A(x)y y(x0)=0 Такая задача (след.ТСЕ) имеет един. решение – нулевое решение, т.е.xI: Z(x)=0 .xI: 11(x)+…+nn(x)≡0, причем 1…n не все равные 0, след. 1(x)…n(x) – линейно зависимы. След.Если 1(x)…n(x) лин. незав. на I решения (1), то xI: W(x)=W[1(x)…n(x)]0 |
27 Пусть матрица-функция A(x)=||aij||n*n непрерывна на I=<>.dy/dx=A(x)y (1). Определение1. ФСР однородная сист. ЛДУ (1) порядка n назыв. любые n линейно независ. решений этой системы. Теор. У любой однор. системы ЛДУ существует ФСР. Доказательство: Зафиксируем x0I и вектора e1=(1,0,…,0)T, e2=(0,1,…,0)T,…,en=(0,0,…,1)T. Поставим задачу Коши: dy/dx=A(x)y, y(x0)=ek, k=1…n. Обозначим k(x) – реш. этой задачи. Покажем, что решение 1(x)…(x) линейно независимо. Вычислим: W(x0)=W[1(x0)…n(x0)]=|1,0,…,0;0,1,…,0;…;0,0,…,1|=10 (это квадр. матрица) 1(x)…n(x) – линейно независимы на I 1(x)…n(x) – ФСР. . Определение 2. Общим решением системы ЛДУ вида dy/dx=A(x)y+b(x) на промежутке I=<,> назыв. мн-во всех решений этой системы на I. Теор. (об общем решении системы ЛДУ). Пусть 1(x)…n(x) – ФСР системы (1) на пром. I, тогда любое решение этой системы имеет вид: y(x)=C11+…+Cnn, где C1…Cn – произвольные числа. |
|
28 dy/dx=A(x)y+b(x) (1); dy/dx=A(x)y (2); L=d/dx-A(x); L[y]= b(x) (1'); L[y]=0 (2'); b(x), A(x) непр. на I. Теор1. (св-ва решения неоднородной системы ЛДУ). 1. Если (x) – решение системы (1), а (x) – решение системы (2), то (x)+(x) – решение (1). 2. Если 1(x),2(x) – решения системы (1), то (x)=1(x)-2(x) – решение приведенной системы (2). Доказательство: 1. Дано L[]=b(x), L[]=0; L[+]=L[]+L[]=b(x)+0= b(x); +-решение (1). 2. Известно L[1(x)]=b(x), L[2(x)]=b(x). L[]=L[1-2]=Z[1(x)]-Z[2(x)]=b(x)-b(x)=0 (x)-реш.сист. (2). Теор2. (об общем решении неоднородных систем ЛДУ). Пусть (x) – частное решение системы (1), а 1(x)…n(x) – ФСР однородной системы (2), тогда любое решение y(x) неоднор. сист. (1) представ. в виде: y(x)=(x)+C11+…+Cnn, где C1…Cn – произвольные числа. Доказательство: Заметим, что любая вект.-функ. (x)-i=1nСii(x)- решение сист. (1) (из теор 1). Пусть y(x) – произвольное решение (1), тогда y(x)-(x)= (x), где (x)- реш. привед. сист. (2) (теор 1). По теор (_(об общем решении системы ЛДУ). Пусть 1(x)…n(x) – ФСР системы (1) на пром. I, тогда любое решение этой системы имеет вид: y(x)=C11+…+Cnn, где C1…Cn – произвольные числа._) (x) может быть представ. в виде: (x)=C11+…+Cnn, Следовательно, y(x)=(x)+(x)= (x)+C11+…+Cnn. |
29. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородной системы ЛДУ. =A(x)y+b(x) (9) L=- A(x), L[y]=b(x) (9’) =A(x)y (10), L[y]= (10’) Метод вариации произвольных постоянных: Пусть 1(x),… n(x)– ФСР системы (10) Теорема: если известна ФСР однородной системы (10) на промежутке I, то решение неоднородной системы (9) может быть найдено в квадратурах( выражено через интегралы известных функций) Док-во(метод нахождения частных решений системы (9)) : 1(x), … n(x) – ФСР – ищем частные решения: (x)=C1(x)φ(x)+…+ Cn(x)φn(x)=, где С1(x), … Cn(x) – непрерывно дифференцируемые функции на промежутке I, подлежащие определению. Определим: С1(x), … Cn(x) По условию : L[]=o i=1, … n |
30. ФСР однородной системы ЛДУ с постоянными коэффициентами с случае простых действительных корней характеристического уравнения. Система ЛДУ с постоянными коэффициентами A=||aij||n×n i,j=1,…n, aijR(C) bk (x) C(I) k=1,…n, I=<α,β> =Ay+b(x) (2) = Ay (3) Все решения системы (3) определены на всей числовой прямой, можно доказать, что все решения бесконечно дифференцируемы. Будем искать решения: y(x)=e^(x) (4), где λR(C) γRn (Cn); γ≠ Теор 13. Пусть матрица A = ||aij||nn (aij C) имеет n различных собственных значений (хар чисел) 1…n,тогда век.-функ. y1=γ1*e1x … yn=γn*enx – где γk собств вектора, соотв. соб. знач. k (k=1,..n), образует ФСР сист. (3) и общее реш имеет вид y=C1 γ e1x +…+ Cn γnenx, где C1 … Cn – произв числа. |
|
31. ФСР однородной системы ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет простые комплексные или кратные действительные корни. Система ЛДУ с постоянными коэффициентами A=||aij||n×n i,j=1,…n, aijR(C) bk (x) C(I) k=1,…n, I=<α,β> =Ay+b(x) (2) = Ay (3) Все решения системы (3) определены на всей числовой прямой, можно доказать, что все решения бесконечно дифференцируемы. Будем искать решения: y(x)=e^(x) (4), где λR(C) , γRn (Cn); γ≠ Теорема(1): для того чтобы вектор-функция y=γeλx являлась решением системы =Ay необходимо и достаточно, чтобы λ было собственным значением матрицы А, а γ собственным вектором, соответствующим собственному значению. Док-во: y=γeλx – реш.сист. <=> γeλx A(γeλx) γeλx=γ(deλx)/dx = γeλx = λγeλx λγeλx=(Aγ)eλx<=>λγ=Aγ<=>Aγ=λγ следовательно согласно определению собственного вектора γ- собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ матрицы А. 1)Пусть среди λ1, … λn встречаются комплексные числа. λ=α+β α,β - действительные числа λ- собственное значение, обозначается :γ≠θ – соответствующий собственный вектор. y=γeλx по теореме 1 – решение системы (5) |
32.Понятие устойчивости по Ляпунову и ассимптотической устойчивости. Сведение исследования устойчивости решения к исследованию устойчивости нулевого решения. Реш.задачи Коши: y=(t) (1)=F(t,y) (2) y(t0)=y0 Теория устойчивости Ляпунова Обозначим: y=y(t,y0) - реш.задачи Коши (1)-(2) =F(t,y(t,y0)); y(t0,y0)=y0 (1)=F(t,y) (2*)y(t0)=y0 Решение задачи (1),(2*) : y(t)=y(t,y0) Определение: Решение задачи (1),(2*) называется устойчивым по Ляпунову, если выполняется условие: 1) задача Коши имеет единственное решение y=y(t,y0) опред на [t0:+] 2) Определение: решение y=y(t,y0*) задачи (1),(2*) называется асимптотически устойчивым если: 1.оно устойчиво по Ляпунову 2. |
33. Устойчивость системы ЛДУ. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. (3) A(t)=||(t)|C[ В этом случае задача Коши имеет единственное решение, определенный на [
Теорема 1. Решение задачи Коши (3), устойчиво (ассимтотически устойчиво), если нулевое решение приведенной однородной системы ЛДУ: Док-во: обозначим: где решение (3), [А(t)+-[A(t)= =A(t)[=
|
|
Доказательство: 1(x)…n(x)- реш., C1…Cn: C11+…+Cnn – реш. Пусть y(x) – произвольное решение системы (1). Зафиксируем x0I. Вычислим y(x0)= y0. Вычислим 1(x)…n(x)- они лин. незав., т.к. W(x0)0. Числа y0, 1(x0)…n(x0) Rn(Cn), значит: y0 лин. выражается 1(x)…n(x), т.е. сущ. 1…n такие, что y0=i=1nii(x). Рассм. вект.-функц. Z(x)= y(x) - i=1nii(x). Z(x) – решение сист. (1). Z(x0)= y(x0) - i=1nii(x0)= y0 - i=1nii(x0)=0. Таким образом Z(x) – решение зад. Коши dy/dx=A(x)y, y(x0)=0. Эта задача имеет только нул-ое реш. xI: Z≡0, т.е. y(x)=i=1nСii(x). |
||
|
Докзательство: Из теор (11) (_Для того чтобы вектор-функция y=γeλx являлась решением системы =Ay необходимо и достаточно, чтобы λ было собственным значением матрицы А, а γ собственным вектором, соответствующим собственному значению._) следует, что а y1(x).. yn(x) – решениея сист. (3). Докажем лин незав y1(x).. yn(x): Вычислим опр. Вронского этих функ. в x0=0: W(0)=[y1e1x…ynenx]= W(γ1*e1x… γn*enx)≠0, т.к. соб.век. γ1…γn, матр.А, относящ. К различ. соб.знач. 1… n – лин.незав. Т.к. W(0)≠0, то y1(x).. yn(x)-лин.незав.След., они образуют ФСР. Общ. реш. имеет вид: C1γ1e1x+…+ Cnγnenx , где C1...Cn – произв числа (копл). Действ.случ: A = ||aij||nn, ij: aijR; (3) dy/dx = Ay (4) det|A - E| = 0 – действ. многочлен. степ. n и урав. имеет корни 1… n. I) Пусть 1… n-прост. действ. корни.( т.е. i≠j, j≠i); тогда сист. (3) имеет ФСР y1=γ1*e1x… yn=γn*enx; где γ1…γn-дейст.соб.век. Общ.реш.: C1γ1e1x+…+ Cnγnenx II) Пусть среди 1… n встреч. компл. числа = + i, ,R, = + i-корни хар-го урав-ия, -соб.знач., γ≠0- соб.век. y=γ*ex по теор (11) реш. сист-мы (3). ex= e( + i)= ex(cosx+i*sinx) e(сопряж)x= e( - i)= ex(cosx-i*sinx), след. ex(сопряж)= e(слпряж)x |
Необходимо: L[ψ(x)]= b(x) Подставляем ψ(x) в (9) Ψ= dψ/dx=A(x) ψ(x)+b(x) dψ/dx=; +=A(x)+ +b(x)=+b(x) + =b(x) Заметим, = Получим систему: =b(x) Ф(x)=) - фундаментальная матрица С(x)=( ) , Ф(x)C’(x)=b(x) det Ф(x)=W(x)=W[] xI : det Ф(x)0 , значит Ф-1(x)C(I) Ф(x)C’(x)=b(x), C’(x)=Ф-1(x)b(x)=g(x) Ci’(x)=gi(x) i=1,…n Ci(x)= (x)= y= ψ+ y= k1, … kn – произвольные постоянные |
|
|
33.Следствие 1. Все решения системы ЛДУ устойчивы (ассимтотически устойчивы), если у этой системы хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. Следствие 3. Система ЛДУ называется (асимтотически) устойчивой, если у нее хотя бы одно (асимтотически) устойчивое решение. В противном случае система ЛДУ является неустойчивой. =- устойчиво, если
Замечание. 1) вектор-функция назывется ограниченной на множестве , если такое, что 2)= является ограниченной на в том и только в том случае, когда ограниченна на функция 3)Если ||, то i=1,…,n : |x(t)|||M Теорема 2. Система ЛДУ устойчива т и тт, когда все решения этой системы ограниченны (без док-ва) |
32.Решение y(t,y0*) неустойчиво, если: 1.выполняется 2. (t-время) *для одной и той же системы одно решение может быть устойчивым, а другое неустойчивым. Сведение к исследованию на устойчивость нулевого решения приведенной системы. Пусть дана задача Коши (1),(2). Исследуем на устойчивость реш (1),(2*). y=y(t,y0), введем новую переменную x(t) = y(t)-y(t,y0*), y(t) – произвольное решение (1) Сделаем замену в задаче (1),(2) y=y(t,y0) решение (1),(2*) т.е y(t0,y0*)=y0*, y(t)=x(t)+y(t,y0*) x(t) y(t)=y(t,y0*), Обозначим: f(t,x)=F(t,x(t)-y(t,y0*)-F(t,y(t,y0*))) Приведенная задача: (1’) (2’) y(t,y0) – устойчивость(асимптотическая устойчивость) решения xзадачи (1’),(2’) |
31.Теор. 2.: Пусть С и комплексно-сопряж . Если y=γeλx , где γЄ Cn явл-ся реш-ем с-мы(3), то ф-я y(x) также явл-ся реш-ем с-мы (3). При этом, если y(x)=U(x)+iV(x) , где U(x), V(x) действит вектор-ф-ции, то U(x) и V(x) также реш-е с-мы (3). Док-во: y= γ eλx = γ eλx ; согласно теор 1 явл-ся реш (3) т и т т когда λ явл-ся собст значением матр А а γ0 соб вектор удовлет соб знач-ю λ, т е А γ= λ γ ; А γ= λ γ ; значит А γ= λ γ т е λ – собст значение матр А, γ-собст вектор приним собст знач λ . По теор 1 в этом случае y= γ eλx явл решением сист (3) Предст y(x)=U(x)+iV(x), где U(x) и V(x) действит вект ф-ия. По теор 3, если y(x) явл-ся реш сист (3), то U(x)=Rey(x) и v(x)=Jmy также реш с-мы (3) Лемма: Если y1(x), (x), y3(x),…, yn(x) - ФСР системы(5) и y1(x)=U(x)+iV(x), а =U(x)-iV(x) , где U(x), V(x) – действительные вектор-функции, то U(x), V(x), y3(x),…, yn(x) образуют ФСР системы. Док-во: y1(x),…yn(x) – ФСР, то W(0)=0, W(o)=W(U(x)+iV(x),U(x)-iV(x),y3(x),…yn(x))|x=0= =-2iW(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|x=0≠0, т.к W(0)=0,то W(U(x),V(x),y3(x),…yn(x))|x=0≠0 U(x),V(x),y3(x),…yn(x) –лин. незав. реш.(ФСР) 2)Кратные корни =Ay (3) A=||aij||n×n aijC, пусть λ1=λ2=…=λm=μ – корень кратности m характеристического уравнения системы (4) Теорема: пусть μ- корень кратности m характеристического уравнения системы (4), тогда система (5) имеет m линейно независимых решений вида: y=(γ0+γ1t+…+γm-1tm-1)eμx, где γ0,γ1,γm-1Cn |
|
37. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - комплексные. A=, ; Точки покоя: , , единственная точка покоя (0,0). det(A-λE) = 0 =0 – характеристическое уравнение. – корни характеристического уравнения.
1) =0, , , , т.е. нулевое реш. не явл. асимптотически уст. Решение периодично T= x(t)=x(t+T) y(t)=y(t+T) Все фазовые траектории замкнуты Центр (нет асимптотической устойчивости) |
38. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , A=,
Точки покоя: , , единственная точка покоя (0,0). det(A-λE) = 0 =0 – характеристическое уравнение. – корни характеристического уравнения. кратные корни =+ -собственный вектор, отвечающий 1) Матрица А имеет 1 линейно независимый собственный вектор (к) а) асимптоти-чески устойчивая система Устойчивый вырожденный узел |
39. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае . A=,
Точки покоя: , det(A-λE) = 0 =0 – характеристическое уравнение. – корни характеристического уравнения. =0, пусть . =0. Точек покоя бесконечное множество
Все точки покоя заполняют прямую . . , =+ параметрическое задание прямой с направляющим вектором а) все решения ограничены система устойчива. |
|
40. Нелинейные системы. Исследование устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова. dx/dt=f(t,x);(9) dxi/dt=fi(t,x1…xn); f(t,)=; пусть система (9) предст. в виде dx/dt=A(t)x+R(t,x) (10) где А(t)=aij(t), где aij(t) [t0;) выполняется неравенство: Тогда dx/dt=A(t)x называется системой первого приближения для (9),(10). Теорема Ляпунова: пусть вектор-функция R(t,x) непрерывно диффер. при (IIxII<C0) и для [t0;) а А(t), тогда 1)если все корни det(A-λE) = 0 имеют отриц. действит. корни, то нулевое решение системы (9) и (10) асимптот. устойчивое. 2)если сущ. Корень характер. уравнения, имеющий положит.действит. числа, то нулевое решение системы неустойчиво. (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА) Теорема. Если вектор-функция f(x) дважды непрерывно диффер. В окрестности точки х=0 и f(0)=0, то система dx/dt=f(x) приводится к виду dx/dt=A(t)x+R(t,x) и для нее справедливы условия теоремы Ляпунова. |
35. Понятие фазового пространства и фазовой траектории. Автономные системы ОДУ, св-ва их фазовых траекторий. = (6) = i=1,…,n Считается, что определена и непрерывно дифференцируема в области G Пусть =(t), t –решение системы (6) Кривая Г: – -интегральная кривая системы (6) Гс – пространство решений Определение. Пространство называется фазовым пространством системы (6), а кривая , задаваемая направлением , где =(t)=(- решение системы (5), называется фазовой траекторией системы (5). Определение. Если функции не зависят явно от , т.е. система имеет вид (7) = ; = То система ОДУ называется автономной Определение. Точка =(,…, называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (7), если , т.е. |
34. Теорема об устойчивости системы ЛДУ с постоянными коэффицентами. (5) = A=|||; Все решения системы определены на всей числовой оси Рассмотрим характеристическое уравнение системы: det(A-λE)=0; ,-корни характеристического уравнения. Теорема 3. 1) если все корни характеристического уравнения системы (5) =0 Имеют отрицательные действительные части (т.е. , то система асимптотически устойчива. 2) если хотя бы 1 корень характеристического уравнения с положительной действительной частью (т.е. к: , то система (5) неусточива Замечание. 1) Если <0, nN, R, то функции: , , ограничены на [0,+ и ==0; 2)Если то многочлена степени n функции:, , - ограниченны на [0,+ =0; 3) Если то функции ,, и - неограниченны на [0,+ |
|
36. Исследование устойчивости положения покоя системы двух ЛДУ с постоянными коэффициентами в случае , - действительные. , Находим точки покоя — вектор скорости
(x0,y0) — точка прямой
— характеристическое уравнение — корни
1° , — общее решение |
|
39. асимптотической устойчивости нет так как: б) неустойчивая система 2)=0 =+, Решение ненулевое неограниченно система неустойчива. II) A точки покоя - все точки плоскости |
б) неустойчивая система Неустойчивый вырожденный узел 2) Матрица А имеет 2 линейно независимых собственных вектора , =+= , y=x a), асимптотически устойчивая система устойчивый дикритический узел б) неустойчивая система неустойчивый дикритический узел |
37. Система асимптотически устойчива; фазовые траектории: спирали, накрученные на точку покоя Устойчивый фокус а) =Re, Система неустойчива; фазовые траектории: раскрученные спирали Неустойчивый фокус |
|
Свойства фазовых траекторий автономной системы 1) Если точка =(,…,-точка покоя системы (7), то вектор-функция (t) является решением системы (7) Док-во: ===f((t)- решение (7) 2) Если точка покоя системы (7), то – фазовая траектория системы (7) Док-во: (t)- решение (7) Замечание: Точка покоя = называется (ассимтотически) устойчивой или неустойчивой, если устойчиво или (ассимтотически устойчиво или неустойчиво) решение (t). 3) Если фазовая траектория отлична от точки покоя, то она является гладкой кривой(т.е. в каждой её точке ненулевой касательный вектор). 4) Если =(t)- решение системы (7), то для вектор-функция =(t+с)- также решение системы (7) и фазовые траетории этих решений совпадают. 5) 2 фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают. 6) следующие типы фазовых траекторий: 1. Точка (положение равновесия); 2.гладкая замкнутая кривая (цикл); 3.гладкая кривая без точек самопересечения; |
||
|
—2 луча, соответствующих. —2 луча, соответствующих.
— система неустойчива. |