Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Дальневосточный государственный технический университет
(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)
Изучение прецессии гироскопа
Методические указания
к лабораторной работе №12a
по курсу физики для студентов дневной и заочной форм
обучения всех технических специальностей
Владивосток ∙2009
Одобрено научно – методическим советом университета
УДК 53.082.1; 531.76
И88
Изучение прецессии гироскопа: метод. указания / сост. В.В. Зауткин.– Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2009. – 8с.
В методических указаниях приведены краткие сведения по кинематике и динамике вращательного движения, на основании которых рассмотрены законы прецессии механического гироскопа, зависимость параметров прецессии от частоты вращения гироскопа относительно свободной оси и момента внешних сил, приложенных к гироскопу. Дано описание экспериментальной установки, приведены подробные рекомендации по проведению опытов, обработке результатов, вопросы для самоконтроля, указана литература для дополнительного изучения темы.
Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения всех технических специальностей университета.
Печатается с оригинал-макета, подготовленного автором
Типография ДВГТУ, 690950, Владивосток, Пушкинская, 10
Лабораторная работа №16
Изучение прецессии гироскопа
Цель работы: изучить явление прецессии, установить зависимость угловой скорости прецессии от момента внешней силы и скорости вращения гироскопа
Постановка задачи.
Гироскопический эффект – поразительное явление динамики, которое позволяет объяснить, например, устойчивость вращающегося волчка, устойчивость велосипеда при вращении колес и т.п.
Понять гироскопический эффект можно только на основе законов вращательного движения тела. Напомним эти законы и рассмотрим суть явления.
Быстроту вращения тела относительно оси описывают угловой скоростью ω. Если за время dt, тело повернулось вокруг оси на угол dφ, то
, (1)
т.е. это просто угол поворота за единицу времени (рад/c). Так как за один полный оборот происходит поворот тела на угол 2π радиан, то угловую скорость можно выразить через частоту вращения ν или период вращения T:
Чтобы характеризовать не только быстроту вращения, но и расположение оси вращения в пространстве, угловую скорость считают вектором , направленным вдоль оси (по школьному правилу буравчика – рис.1).
Для более полной характеристики состояния вращения следует еще учесть распределение массивных точек тела относительно оси. В динамике вращения тела вводят понятие – момент инерции тела J относительно оси:
, (2)
т.е. сумму масс всех точек тела, умноженных на квадраты их расстояний до оси вращения. Чем дальше массивные точки от оси, тем больше момент инерции всего тела (именно так делают особо инертные маховые колеса – маховики, у которых основная масса распределена по ободу колеса).
Самой полной характеристикой состояния вращения является величина, учитывающая и быстроту вращения, и распределение вращающихся масс. Она называется вектором момента импульса тела. Момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость:
(3)
В соответствии с этим определением – вектор, также как и , направленный по оси. Если ось вращения в пространстве не закреплена, то тело с достаточно большим и представляет собой гироскоп.
Понятно, что если нет никакого внешнего воздействия на вращающийся гироскоп (в том числе устранено трение), то он может вращаться бесконечно долго. При этом вектор момента импульса не изменяет ни величины, ни направления. В этом случае обычно говорят о законе сохранения момента импульса . (Свойство сохранения направления оси раскрученного гироскопа используется, в частности, в гирокомпасах).
Однако если попытаться повернуть ось вращающегося гироскопа внешней силой, то происходит удивительной эффект – ось поворачивается совсем “не в ту сторону”! (Попытайтесь включенный пылесос наклонить “вправо” или “влево” – он при этом обязательно наклонится “вперед” или ”назад”).
Чтобы это понять, надо вспомнить, что внешнее динамическое воздействие при поворотах оказывается не силой, как в поступательном движении, а моментом силы. Так, если стержень массой m расположен вдоль оси OY (рис.2), то сила тяжести создает относительно закрепленной точки O момент силы M, который по известному из школы правилу равен произведению силы F на её плечо l:
(4)
Момент силы M пытается повернуть стержень относительно центра O. Здесь l (плечо силы F) – кратчайшее расстояние от центра вращения до линии, вдоль которой действует сила.
К этому определению следует добавить, что момент силы M создает не просто поворот стержня, а поворот вокруг конкретной оси OX в пространстве, поэтому момент силы условились считать вектором, направленным вдоль этой оси поворота OX по правилу буравчика (правилу винта): если буравчик вращать так, как сила поворачивает стержень, то буравчик вкручивается против оси OX (см. вектор на рис.2). Итак, есть две важнейшие механические характеристики: момент импульса , описывающий состояние вращения тела и момент силы , описывающий внешнее динамическое воздействие на тело при его повороте под влиянием силы. Между ними существует простая связь, выражающая основной закон динамики вращения (уравнение моментов)
, (5)
который говорит о том, что изменение вектора момента импульса тела за единицу времени (т.е. скорость изменения вектора L) равно вектору момента силы, действующей на это тело. Физический смысл его прост. Если внешнего воздействия нет (), то , и следовательно, (гирокомпас, рассмотренный выше). Если внешнего воздействие есть (), то состояние вращения изменяется, причем тем быстрее, чем больше воздействие . Этот закон строго обосновывается в лекционном курсе физики.
На основании уравнения моментов легко объяснить гироскопический эффект. Пусть гироскоп раскручен вокруг оси OY и обладает моментом импульса . Пусть ось гироскопа свободно опирается на упор в одной точке O (рис.3). Казалось бы, при этом сила тяжести создает опрокидывающий момент относительно точки O (т.е. относительно оси OX) и гироскоп должен падать. Однако этого не происходит.
Дело в том, что согласно основному закону динамики вращения (5) изменение момента импульса равно:
, (6)
и, следовательно, направлено так же, как – в горизонтальной плоскости параллельно оси OX в сторону направления вектора , т.е. .
В результате через время dt вектор окажется в той же горизонтальной плоскости, но повернутым на угол dψ относительно .
Таким образом, мы видим, что ось гироскопа не “опрокидывается” в вертикальной плоскости, а поворачивается в горизонтальной плоскости. Такое движение называется прецессией гироскопа. Итак, свободная ось гироскопа поворачивается в горизонтальной плоскости, т.е. вокруг неподвижной оси Z - оси прецессии. Это вращение на рис.3 можно изобразить вектором – вектором угловой скорости прецессии, направленным вдоль оси Z. Величину угловой скорости прецессии Ω легко получить из треугольника моментов импульсов () на рис.3:
,
где – угол поворота оси гироскопа, выраженный в радианах. Вместе с (6) это дает: , откуда, учитывая, что – угол прецессии в единицу времени, т.е. угловая скорость прецессии, получаем:
, или . (7)
Таким образом, во-первых, угловая скорость прецессии гироскопа Ω тем меньше, чем больше угловая скорость ω вращения его вокруг собственной оси, и во-вторых, чем больше “опрокидывающий момент” М, тем больше Ω.
Экспериментальной задачей лабораторной работы и является проверка этих двух закономерностей: 1) ; 2) .
Лабораторная установка.
Главная часть установки представляет собой достаточно массивный диск, насаженный на вал электродвигателя, с помощью которого он и раскручивается до большой угловой скорости ω. Диск вместе с валом и является гироскопом.
Электродвигатель гироскопа подключается к генератору переменного тока с регулируемой частотой. Плавная регулировка частоты позволяет плавно изменять угловую скорость гироскопа ω. На рис.4 приведено схематическое изображение исследуемого гироскопа. Электродвигатель здесь не изображен, чтобы не загромождать схему. Гироскоп Г представлен пунктирным диском с пунктирным валом В. Так как гироскоп раскручивается до высоких скоростей (2000-3000 оборотов в минуту), то из соображений безопасности он помещен в прочный закрытый металлический кожух К с двумя полыми стержнями С, внутри которых в подшипниках вращается вал В гироскопа.
Подвеска гироскопа позволяет оси гироскопа СС вместе с кожухом свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси OX благодаря шарнирам Ш и вокруг вертикальной оси OZ благодаря свободным поворотам вилкообразного держателя Д в вертикальной стойке. При возникновении прецессии держатель поворачивается вокруг OZ вместе со всем гироскопом.
Для нарушения равновесия оси гироскопа и создания “опрокидывающего” момента силы в установке имеется цилиндр Ц, который надевается на правый или левый стержень С. Изменяя расстояние от стенки кожуха до цилиндра Ц, можно изменять плечо силы тяжести цилиндра, а следовательно, и момент силы (как уже было показано на рис.2) Для установки цилиндра или перемещения его в другое положение нужно на время остановить прецессию – это делается с помощью стопорного винта СВ в вертикальной стойке прибора. При закручивании стопора СВ прецессия прекращается и ось гироскопа “опрокидывается”; для восстановления прецессии нужно, поддерживая руками стержни С, установить их горизонтально, закрепить цилиндр Ц и затем отпустить стопорный винт.
Второй частью установки является электронный блок, который представляет собой генератор переменного тока, питающий электродвигатель гироскопа. Поскольку гироскоп обладает большой инерционностью (большим J), то быстро установить скорость вращения невозможно. Поэтому электронный блок очень медленно увеличивает (или уменьшает) частоту вращения, постепенно приближая ее к заданному пределу, который устанавливает экспериментатор. На передней панели электронного блока выведено световое табло, на котором высвечивается заданный предел и частота в данный момент времени, которая постепенно приближается к этому пределу.
Угловую частоту прецессии можно легко определить наблюдая за поворотом гироскопа и измеряя угол прецессии ψ за единицу времени. Для этого на держателе Д укреплена 3600-шкала (не изображенная на рис.4). Но в данной схеме предусмотрена другая возможность. Измерение угловой скорости прецессии Ω производится самим электронным блоком, имеющим свой встроенный электронный секундомер, при этом значение Ω непосредственно в радианах в секунду выводится на второе световое табло.
Таким образом, измерение частоты вращения гироскопа и угловой скорости его прецессии производится в автоматическом режиме. Показания высвечиваются на двух табло.
Порядок выполнения работы.
а) закрутить стопорный винт СВ;
б) установить (руками) ось гироскопа (стержни СС) в горизонтальное положение;
в) поддерживая ось в этом положении, надеть на один из стержней С цилиндр Ц, играющий роль опрокидывающего груза и закрепить его винтом;
г) Открутить (ослабить) стопорный винт и отпустить ось СС – начинается прецессия.
4. Повторяя опыт, но с закреплением цилиндра Ц на другом стержне , убедиться, что гироскоп прецессирует в противоположном направлении. С помощью схемы взаимного расположения векторов , , объяснить это изменение направления прецессии.
5. Обратить внимание на тот факт, что вначале ось гироскопа действительно поворачивается в горизонтальной плоскости, но с течением времени постепенно из нее выходит. Объяснить, почему это может происходить.
Поскольку все формулы выше получены для случая прецессии в горизонтальной плоскости, для дальнейших измерений следует снимать отсчеты нужных величин именно в режиме горизонтальной прецессии.
6. Снять экспериментальную зависимость . В соответствии с (7) следует ожидать линейную пропорциональную связь. Так как , а вес цилиндра , то фактически проверяется линейность зависимости .
При неизменной частоте провести измерения величины с разными положениями груза Ц на стержне С, каждый раз запуская прецессию в соответствии с пунктами а) - г) задания 3. Вначале груз Ц ставится вплотную к стенке кожуха К, затем сдвигается на 5, 10, 15 …мм. В каждом случае угловая скорость прецессии определяется по нижнему табло электронного блока. Данные занести в таблицу, построить график зависимости .
7. Исследовать зависимость , т.е. проверить обратную пропорциональную связь (7) между и при постоянном значении M. Поскольку , то точно таков же характер зависимости ; удобнее снимать именно эту зависимость, так как частота вращения в Герцах выводится прямо на табло. Данные занести в таблицу, построить график как функцию обратной частоты , чтобы проверить их линейную связь.
Контрольные вопросы.
1. Дать определение вектора угловой скорости, момента инерции тела, вектора момента импульса тела, вектора момента силы относительно оси.
2. Сформулировать основной закон динамики вращательного движения.
3. Объяснить явление прецессии гироскопа.
4. Вывести формулу для угловой скорости прецессии гироскопа.
5. Объяснить устройство гироскопической установки для данного лабораторного эксперимента.
6. Как в процессе эксперимента изменяют величину “опрокидывающего” момента силы, действующего на данный гироскоп? Как можно изменить направление момента силы на обратное?
7. Как в процессе выполнения работы изменяют частоту вращения гироскопа?
8. Каков ожидаемый в работе вид зависимостей и ?
Литература.
Трофимова Т.И. Курс физики. М., Высшая школа, 2008.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М., Высшая школа, 2008.