Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 7
Вариационный ряд. Критерий согласия и их применение
План лекции
7.1 Вариационный ряд и его обработка
Выборка значений случайной величины Х с функцией распределения , расположенных в порядке возрастания называется вариационным рядом. Вариационный ряд характеризует изменение количественного признака случайной величины, значение которого может измениться в каждом опыте.
Полученные значения случайной величины Х могут являться результатом опыта, эксперимента, наблюдений или сбора данных и представляют собой ряд неупорядоченных чисел.
На первом этапе необходимо эти неупорядоченные числа привести в порядок, например в порядке увеличения значений показателя. Для установления закономерности распределения значений показателя при вариационный ряд группируют, разбивая их в интервалы и выполняя ряд операций по следующей последовательности: определяют наибольшее и наименьшее значения выборки; интервал – разбивается на равных подинтервалов. Величина каждого подинтервала равна
. (7.1)
По значениям подинтервалов строится гистограмма. Площадь гистограммы равна единице. По виду гистограмм выдвигают предположение о принадлежности данной совокупности значений к определенному закону распределения. Затем проверяют справедливость выдвинутой гипотезы о виде закона распределения по одному из критериев согласия. Если гипотеза не подтверждается, проверяют принадлежность данной совокупности другому закону распределения или дополнительно собирают информацию о надежности машин. Как будет установлен вид закона распределения, определяют границы доверительного интервала значений математического ожидания.
7.2 Критерий согласия
Под критерием согласия подразумевают совокупность условий, подтверждающих справедливость принятой гипотезы. возможны ошибки двух видов: если отклоняется правильная гипотеза и если принимается ложная гипотеза. В первом случае ошибка относится к ошибке первого рода и обозначается буквой , во втором – ошибка второго рода и обозначается . – называют уровнем значимости критерия согласия. Величину (1–) называют вероятность того, что будет отвергнута ошибочная гипотеза и характеризует мощность критерия.
Критерий согласия Пирсона. Широкое применение данного критерия обосновывается легкостью его использования для проверки согласия любого распределения. Эмпирические данные группируются по интервалам и сопоставляются с ожидаемым числом наблюдений для принятого распределения. На основе этого сопоставления вычисляется критерий, который приближенно следует распределению только в том случае, если модель описания случайной величины выбрана правильно. Согласно ГОСТ 11.006–74 для применения -критерия необходимо, чтоб выборка была не менее 100. Однако, имеются литературные данные, где утверждают достаточность объема выборки .
Полученное значение сравнивают с критическим значением этого критерия. Значение выбирают по таблицам в зависимости от и числа степеней свободы , где – число интервалов.
Гипотезу о предлагаемом законе распределения считают приемлемым при условии . Если , то гипотезу отвергают.
Критерий согласия Мизеса. Данный критерий обладает рядом преимуществ перед критерием Пирсона. С помощью критерия Мизеса удается полнее использовать результаты наблюдений, поскольку принадлежность распределения к определенному закону проверяют по всем значениям случайной величины. Критерий применяется только для не группированного ряда наблюдений и объем выборки должен быть не более 50.
Критерий Колмогорова. Строят эмпирическую функцию распределения и теоретическую функцию предполагаемого закона распределения. Проверку гипотезы производят с помощью величины Д
. (7.2)
для практических расчетов используют следующие формулы:
при , (7.3)
при , (7.4)
значение используют для определения числа
(7.5)
для вычисления интеграла функции используется выражение
(7.6)
Значения табулировано.
Достоинством критерия Колмогорова является возможность оценки справедливости при малых объемах выборки.
Другой характеристикой распределения значений показателя является частость, определяемая отношением частоты к общему числу наблюдений
, (7.7)
где - частость; - число в -м интервале (частота).
В том случае, когда число выборки небольшой () определяют математическое ожидание
(7.8)