Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра Экономики
Контрольная работа
по дисциплине “Математические модели в Экономике ”
Вариант №18
Выполнил:
Студент гр. з822
________ Васенин П.К.
Проверила:
________ Сидоренко М.Г.
г. Томск 2003
Задание №1
1. Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x как функция
. Цена продукции v, зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество вложенного труда.
Решение:
Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль
Воспользуемся соотношением - т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество вложенного труда
Задание №2
2. Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены. Найдите равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Решение:
Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е. 200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при равновесной цене.
Задание №3
3. Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) .
Решение:
1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В матрице седловой точки нет.
Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:
Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание случайной величины W(x,y):
Оптимальные стратегии игроков:
2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с нулевой суммой, то для игры с матрицей оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения уравнений:
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
Задание №4
4. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции . Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему межотраслевого баланса.
Решение:
I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
Матрица косвенных затрат второго порядка:
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
II. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц:
a) Находим матрицу (E-A):
b) Вычисляем определитель этой матрицы:
c) Транспонируем матрицу (E-A):
d) Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
Таким образом:
e) Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные – это произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат выше второго порядка.
Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой продукции:
Схема межотраслевого баланса
Производящие
отрасли
Потребляющие отрасли
1
2
3
Конечная продукция
Валовая продукция
1
2
3
2574,67
1839,05
0
464,32
232,16
232,16
0
0
3328,64
640
250
600
3678,1
2321,6
4160,8
Условно чистая продукция
-735,62
1392,96
832,16
1490
Валовая продукция
3678,1
2321,6
4160,8
10160,5
Задание №5
5. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд.
Решение:
a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на трендовую модель.
Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой:
Расчётные значения:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - 1,06 0,53 1,06 0,53 0,53 0,53 0,53 1,06 0,53Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина , и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
Табличные значения для уровня значимости a=0,05, т.е. с 5% ошибкой:
n 2 3 10 20 30 50 100 2,8 2,3 1,5 1,3 1,2 1,1 1Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет, т.е. .
b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
tМетод простой скользящей средней,
1 53 -- 2 51 -- 3 52 52 4 54 52,3 5 55 53,6 6 56 55 7 55 55,3 8 54 55 9 56 55 10 57 55,6c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
tЭкспоненциальный метод,
1 53 52,1 2 51 51,99 3 52 51,99 4 54 52,19 5 55 52,47 6 56 52,82 7 55 53,04 8 54 53,14 9 56 53,42 10 57 53,78d) Представим результаты графически:
e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель):
Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий:
a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:
Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:
tФактическое
Расчётное
Отклонение
Точки пиков1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
53
51
52
54
55
56
55
54
56
57
51,97
52,49
53
53,52
54,03
54,55
55,06
55,58
56,09
56,61
1,03
-1,49
-1
0,48
0,97
1,45
-0,06
-1,58
-0,09
0,39
--
1
0
0
0
1
0
1
0
--
55 543 542,9 0,1 3b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:
Необходимые условия:
Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:
то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной.
1)
2)
Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла.
Задание №6
6. Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока , производительность пункта . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности, среднее число занятых бригад.
Решение:
Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки)
a) Вероятность того, что оба канала свободны:
b) Вероятность того, что один канала занят:
c) Вероятность того, что оба канала заняты:
d) Вероятность отказа в заявке:
e) Относительная пропускная способность:
f) Абсолютная пропускная способность:
g) Среднее число занятых бригад: