Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 9. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
9.1. Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением векторов и называется
Физический смысл:
Связь между проекцией вектора на ось и скалярным произведением
Свойства скалярного произведения
1.
2.
3.
4.
Пример.
Теорема (необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов).
Теорема (о выражении скалярного произведения через координаты).
Доказательство:
Следствие 1. Длина вектора
Следствие 2. Угол между векторами
Следствие 3. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство
Следствие 4.
Направляющие косинусы векторов.
Пример.
Определение. Векторным произведение вектора на вектор называется вектор , обозначаемый
Физический смысл векторного произведения:
Геометрические свойства векторного произведения:
1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является
.
2.
Алгебраические свойства векторного произведения
Пример.
Теорема (о выражении векторного произведения через координаты). Пусть даны два вектора . Тогда векторное произведение вычисляют по формуле
Доказательство.
Пример.
Определение. Пусть даны три произвольных вектора .
Геометрический смысл смешанного произведения:
Следствие 1..
Следствие 2.
Следствие 3.
Свойства смешанного произведения:
Теорема (о выражении смешанного произведения через координаты).
Пусть
Тогда
Доказательство:
Примеры.