Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
1.Понятие ЧМ. Приближен. вычислен.Меры близ-ти.Погрешть С помощью математического моделиров. решение научно-технической задачи сводится к решению мат.задачи, являющейся ее моделью. Для решения используются 3 основных группы методов: графические, аналитические и численные. Графические позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея: решение находится путем геометр. построений. Метод имеет большую наглядность и весьма малую точность. В настоящее время ЧМ комбинируется с графическими представлениями, т.к.это удобно. При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. Но, на практике это слишком редкие случаи. В последние годы объединяют аналитические и численные методы в одном алгоритме, что позволяет существенно повысить эффективность ЧМ. ЧМ наряду с возможностью получения результата должен обладать еще одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей. Основные источники погрешностей: 1.Погрешности математической модели. Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т.е. содержит погрешности. 2.Погрешности исходных данных. Данные могут оказаться неточными. 3.Погрешности метода решения.ЧМ-ды заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т.д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи. 4.Погрешности округлений при выполнении арифметических операций. В рамках ЧМ погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми. Рассмотрим подробнее пункт 4. Пусть - приближенное представление числа X, т.е. где - погрешность. Приближенные числа Пусть X – некоторая величина, истинное значение которой известно или неизвестно и равно x*. Число x, которое можно принять за значение величины X, назовем ее приближенным значением (числом). Число x называют приближенным значением по недостатку, если оно меньше истинного значения (x < x* ), и по избытку, если оно больше (x > x* ). Например, число 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 2,72 – приближенным значением числа е по избытку. Абсолютная погрешность приближенного числа есть абсолютная величина разности между истинным значением величины и данным ее приближенным значением. Δx = |x* – x| Поскольку истинное значение величины обычно остается неизвестным, неизвестной остается также и абсолютная погрешность. Вместо нее приходится рассматривать оценку абсолютной погрешности, так называемою предельную абсолютную погрешность, которая означает число, не меньшее абсолютной погрешности Абсолютная погрешность приближенного числа не в полной мере характеризует его точность. Более информативным показателем точности приближенного числа является его относительная погрешность. Относительной погрешностью δx приближенного значения величины X называют абсолютную величину отношения его |
2. Задача аппроксимации. Интерполяция. Пусть величина является функцией аргумента . Это значит, что любому из области определения поставлено в соответствие значение . Но на практике часто неизвестна явная связь между и , т. е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости . В некоторых случаях даже при известной зависимости она настолько громоздка (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п.), что ее использование в расчетах затруднительно. Наиболее распространенным и практически важным Т.о. с точки зрения экономии времени и средств необходимо использовать имеющиеся табличн. данные для приближен. вычислен. искомого параметра при любом значении (из некот. области) определяющего параметра , поскольку точная связь неизвестна. Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией . так, чтобы отклонение (в некотором смысле) от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей. Для практики весьма важен случай аппроксимации функции многочленом При этом коэффициенты будут подбираться так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной ф-ии. Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения па непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b]) аппроксимация называется непрерывной (или интегральной). Точечная аппроксимация. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция f(x), т. е. При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т. е. при . Точки называются узлами интерполяции, а многочлен— интерполяционным многочленом. Т.о. близость интерполяционного многочлена к Основная цель интерполяции – получить быстрый алгоритм вычисления значений для значений , не содержащихся в таблице данных. |
3.Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа,погреш-ть Пусть на отрезке задана сетка и в ее узлах заданы значения функции равные . Требуется построить интерполянту – ф-ию совпадающую с функцией в узлах сетки: Основная цель интерполяции – получить быстрый алгоритм вычисления значений для значений , не содержащихся в таблице данных. Интерполирующие функции, как правило, строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций: где –фиксированные линейно независимые функции , – не определенные пока коэффициенты. Из (1) получим систему уравнений относительно коэф-тов : Положим что система ф-ий такова что при любом выборе узлов отличен от нуля определитель системы: Тогда по заданным однозначно определяются коэф. . В качестве системы линейно независимых функций чаще всего выбирают: степенные ф-ии (в этом случае полином степени n ). Известно, что любая непрерывная на отрезке [a, b] ф-ия может быть хорошо приближена некоторым полиномом . Теор.Вейерштрасса: Для любого полином степени , такой что Но эта теорема не дает ответа на вопрос о существовании хорошего интерполяционного полинома для заданного множества точек . Будем искать интерполяционный полином в виде где неопределенные коэффициенты. Полагая получим систему уравнений: ….. Определителем этой системы является определитель Вандермонда: полином (2) существует и единственен. В качестве базиса мы взяли базис из одночленов 1, . Для вычислений более удобным является базис полиномов Лагранжа степени или коэф-тов Лагранжа:
|