Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Найти все значения а, при которых корни х1, х2, х3 многочлена х3 – 6х2 + ах + а удовлетворяют равенству (х1 – 3)3+ (х2 – 3)3 + (х3 – 3)3 = 0.
Решение.
Сделаем замену у = х – 3, т.е. х = у + 3.
у1 = х1 – 3, у2 = х2 – 3, у3 = х3 – 3, тогда у13 + у23 + у33 = 0.
(у + 3)3 – 6(у + 3)2 + а(у + 3) + а = у3 + 9у2 + 27у + 27 – 6у2 –36у – 54 + ау +3а +а = 0;
у3 + 3у2 + у(а – 9) + 4а – 27 =0.
Согласно теореме Виета для кубического уравнения:
у1 + у2 + у3 = -3;
у1у2 + у1у3 + у2у3 = а – 9;
у1у2у3 = 27 – 4а.
Возведем в куб выражение у1 + у2 + у3 и выразим
у13 + у23 + у33, получим
у13 + у23 + у33 = (у1 + у2 + у3)3 – 3(у1у2 + у1у3 + у2у3)(у1 + у2 + у3) + 3у1у2у3 = 0.
у13 + у23 + у33 = -27 + 3(а – 9) · 3 + 3(-4а + 27 ) = 0.
а = -9 .
7. Доказать, что для любых ненулевых значений α и β корни х1, х2 и х3 многочлена αх3 – αх2 + βх + β удовлетворяют равенству (х1 + х2 + х3)(1/х1 + 1/х2 + 1/х3) = -1.
Решение.
αх3 – αх2 + βх + β = α(х3 – х2 + βх/α + β/α).
Рассмотрим многочлен х3 – х2 + βх/α + β/α.
Согласно теореме Виета:
х1 + х2 + х3 = 1;
х1х2 + х1х3 + х2х3 = β/α;
х1х2х3 = -β/α.
(х1 + х2 + х3)(1/х1 + 1/х2 + 1/х3) = (х1х2 + х1х3 + х2х3 ) / (х1х2х3) = (β/α) : (-β/α) = -1.