Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа + погрешность интерполяции (только формулу).
Пусть на отрезке задана сетка и в ее узлах заданы значения функции равные . Требуется построить интерполянту – ф-ию совпадающую с функцией в узлах сетки:
Основная цель интерполяции – получить быстрый алгоритм вычисления значений для значений , не содержащихся в таблице данных.
Интерполирующие функции, как правило, строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций: где –фиксированные линейно независимые функции , – не определенные пока коэффициенты.
Из (1) получим систему уравнений относительно коэф-тов :
Положим что система ф-ий такова что при любом выборе узлов отличен от нуля определитель системы:
Тогда по заданным однозначно определяются коэф. .
В качестве системы линейно независимых функций чаще всего выбирают: степенные ф-ии (в этом случае полином степени n ).
Известно, что любая непрерывная на отрезке [a, b] ф-ия может быть хорошо приближена некоторым полиномом .
Теор.Вейерштрасса: Для любого полином степени , такой что
Но эта теорема не дает ответа на вопрос о существовании хорошего интерполяционного полинома для заданного множества точек .
Будем искать интерполяционный полином в виде
где неопределенные коэффициенты. Полагая получим систему уравнений:
…..
Определителем этой системы является определитель Вандермонда:
полином (2) существует и единственен. В качестве базиса мы взяли базис из одночленов 1, . Для вычислений более удобным является базис полиномов Лагранжа степени или коэф-тов Лагранжа:
Видим что полином степени
Удовлетворяет этим условиям. Полином , очевидно определяется единственным образом. Пусть существует еще один полином , тогда их разность есть полином степени , обращающийся в нуль в точках . Это возможно только при
Полином принимает значение в точке и равен нулю в остальных узлах при Отсюда следует, что интерполяционный полином
Имеет степень не выше и . Формулу (3) называют формулой Лагранжа. Число арифметических действий для вычисления по этой формуле пропорционально . Для оценки близости полинома к ф-ии предполагают что существует непрерывная производная Тогда имеет место формула для погрешности:
График интерполяционного многочлена проходит через заданные точки, т.е. значения многочлена и данной функции совпадают в узлах . Если функция сама является многочленом степени , то имеет место тождественное совпадение: В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции,
Эта разность есть погрешность интерполяции и называется остаточным членом интерполяционной формулы. Оценим его значение.
Предположим, что заданные числа являются значениями некоторой функции в точках . Пусть эта функция непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка включительно. Можно показать, что в этом случае остаточный член многочлена Лагранжа имеет вид
Здесь - производная порядка функции в некоторой точке Если максимальное значение этой производной равно
То можно записать формулу для оценки остаточного члена
Существует только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона и др. порождают один и тот же многочлен. Разница лишь в алгоритме их построения.
Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округлений и др. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, в то время как построение единого многочлена высокой степени (глобальная интерполяция) не приводит к успеху.
Повышение точности интерполяции целесообразно производить за счет уменьшения шага и специального расположения точек Повышение степени интерполяционного многочлена при локальной интерполяции также уменьшает погрешность, однако здесь не всегда ясно поведение производной при увеличении . Поэтому на практике стараются использовать многочлены малой степени (линейную и квадратичную интерполяции, сплайны).