Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
140
7. МЕТОДЫ ВЫРАВНИВАНИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ
7.1. Методические указания к решению задач
по теме «Методы выравнивания рядов динамики»
Для выявлении тренда (тенденции развития) в рядах динамики используется выравнивание (сглаживание) рядов динамики, когда фактические уровни заменяются на расчетные.
Методы сглаживания подразделяются на аналитические и алгоритмические. Аналитические методы заключаются в построении уравнения регрессии (теоретического уравнения). При использовании алгоритмических методов применяется алгоритм расчета неслучайной составляющей ряда в любой момент времени. К алгоритмическим методам относятся методы сглаживания рядов динамики с помощью скользящих средних, которые позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания.
Аналитический метод выравнивания рядов динамики
При определении коэффициентов уравнения, характеризующего тенденцию развития ряда динамики, используется метод наименьших квадратов. Система уравнений имеет следующий вид:
для линейной модели
для параболической модели
Для показательной модели применяется логарифмирование, т. е. рассматривается модель , для которой система уравнений имеет вид
Для упрощения расчетов можно перенести начало координат в середину ряда динамики. До переноса начала координат время t было равно 1, 2, 3,..., после переноса
при четном числе членов ряда t =..,5; 3; 1; 1; 3; 5; ...;
при нечетном числе членов ряда t =..,3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ...
При переносе начала координат суммы
где k нечетное число.
В этом случае системы уравнений упрощаются и принимают следующий вид:
для линейного тренда
для параболического тренда
для показательного тренда
Из систем уравнений могут быть определены коэффициенты тренда ряда динамики
линейной модели
параболической модели
показательной модели
Для показательной модели коэффициенты а и b могут быть определены из значений логарифмов.
При построении уравнений тренда необходимо проводить исследование качества полученных моделей оценку адекватности и точности выбранных моделей.
Метод скользящих средних выравнивания рядов динамики
Для выравнивания рядов динамики могут использоваться простые и взвешенные скользящие средние.
При использовании простой скользящей средней выполняются следующие действия:
выбирается интервал сглаживания l . Интервал может содержать нечетное или четное число последовательных уровней ряда. Чем больше интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания;
ряд разбиваются на участки. При этом интервал сглаживания "скользит" по ряду с шагом, равным 1;
рассчитывается среднее значение из уровней ряда, входящих в каждый участок;
заменяются фактические значения, находящиеся в центре каждого участка, на средние значения.
Для практических расчетов удобнее использовать нечеткое число членов ряда в интервале сглаживания, т. к. среднее значение приходится на определенную дату, находящуюся в середине интервала.
Уровни ряда в интервале сглаживания при нечетном числе членов ряда могут быть представлены следующим образом:
где центральный уровень ряда в интервале сглаживания;
k число уровней интервала сглаживания, предшествующих центральному уровню или следующих за ним.
Длина интервала сглаживания при нечетном числе членов составляет
Тогда, скользящая средняя может быть рассчитана по формуле
Например, скользящие средние в 12-й и 13-й момент времени при интервале сглаживания рассчитываются по следующим формулам:
Если интервал сглаживания содержит четное число членов, средние значения приходятся на момент времени между исходными датами. Например, 4-членные скользящие средние для первых двух интервалах скольжения
приходятся на моменты времени между 2-й и 3-й датой и между 3-й и 4-й. Чтобы этого избежать выполняется повторное усреднение
В общем виде формулу расчета скользящей средней при четном числе членов в интервале сглаживания можно записать следующим образом
Для сглаживания сезонных колебаний в квартальных и месячных рядах динамики используются формулы 4- и 12-членной скользящих средних
Скользящие средние могут быть вычислены с учетом весов членов ряда по формуле взвешенной скользящей средней
где wi весовые коэффициенты.
При использовании простой скользящей средней выравнивание на каждом интервале скольжения осуществляется по прямой (полиному первого порядка), при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего второго и третьего.
В работе [15] приведен расчет весовых коэффициентов для различной длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиному второго и третьего порядка). Получены следующие значения коэффициентов:
Метод экспоненциальной средней выравнивания рядов динамики
При экспоненциальном сглаживании более поздним наблюдениям придается больший вес, что учитывает их большую информационную ценность. Выравнивание рядов динамики осуществляется с помощью экспоненциально–взвешенных скользящих средних, или кратко, экспоненциальных средних:
где St – значение экспоненциальной средней в момент t ;
xt – уровень ряда в момент t ;
– параметр (постоянная) сглаживания
Экспоненциальную среднюю можно записать следующим образом:
Для того, чтобы экспоненциальную среднюю выразить через значения ряда динамики x , используются рекуррентные соотношения. Например, при трех уровнях ряда
В общем виде экспоненциальная средняя в момент t имеет следующий вид:
где N – число уровней ряда; S0 – начальное значение экспоненциальной средней.
При , а сумма коэффициентов
Тогда
Эта величина равна средней взвешенной всех членов ряда, причем веса падают по мере увеличения давности наблюдения.
Процедура экспоненциального сглаживания работает как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней. Чем меньше постоянная сглаживания , тем в большей степени подавляются колебания исходного ряда.
Для увеличения веса последних наблюдений следует повышать , для сглаживания случайных отклонений значение необходимо уменьшать. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели.