У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Лекция 15 пп.15.235 основан на определении постоянных интегрирования в общем решении дифференциального уравн

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

2.7 Решение уравнений цепи непосредственным интегрированием.  Затухающие колебания в LCR-контуре.

Метод непосредственного интегрирования, использованный при расчете переходных процессов в простейших цепях (Лекция 15, пп.15.2,3,5), основан на определении постоянных интегрирования в общем решении дифференциального уравнения путем решения системы уравнений, выражающих искомую величину и ее младшие производные при t = 0. Этот метод целесообразно применять к уравнениям невысокого порядка при достаточно простом законе изменения действующих в цепи источников f(t) — постоянных во времени [f(t) = f0 = соnst], синусоидальных [f(t) = sin ( t + )] и экспоненциальных [f(t) = е t].

Ограничимся рассмотрением системы уравнений второго порядка, которая в развернутой форме имеет общий вид:

Определим переменную состояния х1.  Ее общее решение имеет вид суммы частного решения неоднородной системы  и общего решения однородной системы :

Для перечисленных законов изменения внешних источников f(t) частные решения  и  находят в результате подстановки в уравнения состояния выражений вида , где  и  — константы; (t) — функция, выражающая закон изменения внешних источников. Для цепи, находящейся под действием постоянных источников (t) = 1, при воздействии синусоидального источника с частотой  частное решение определяют в виде (t= А sin t + В соs t; для экспоненциального возбуждения цепи(t) = еt. Подстановка указанных частных решений в уравнения состояния приводит их к алгебраической системе, из которой находят константы  и . Для случаев постоянного и синусоидального источников это частное решение определяется состоянием цепи после окончания переходного процесса. Его можно найти как из системы уравнений состояния указанным способом, так и непосредственно из анализа рассчитываемой цепи в установившемся режиме при t   .

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка при различных корнях характеристического уравнения имеет вид

Для определения корней характеристического уравнения 1,2 подставим в однородную систему (т. е. при f1 = f2 = 0) ее экспоненциальные частные решения . В результате дифференцирования и сокращения уравнений на еt получаем однородную систему:

Она имеет нетривиальное решение при равенстве нулю главного определителя:

,

которое и представляет характеристическое уравнение

.

Его корни  1 и  2 являются собственными числами матрицы

В общем случае (п — любое) характеристическое уравнение записывается аналогично

После нахождения корней получим общее решение системы второго порядка для x1 в виде

Для определения двух постоянных интегрирования A1 и A2 используют два начальных условия — значения х1и 1/dt при t = + 0. Значение х1(+ 0) определяют из анализа режима в рассматриваемой цепи до коммутации. Так как переменная состояния в момент коммутации непрерывна, то

Начальное значение производной 1/dt найдем из первого уравнения состояния при t = + 0

Непрерывность переменных состояния позволяет найти их значения при t = 0, входящие в последнее выражение, из анализа цепи до момента коммутации. Производная /dt в общем случае не сохраняет непрерывности в момент коммутации. Поэтому ее значение при t = + 0 нельзя определить из рассмотрения цепи до коммутации (/dt(+0)  /dt(– 0)). В результате подстановки найденных начальных значений в общее решение для x1 и его производную при t = 0 получим систему уравнений для определения постоянных интегрирования А1 и А2:

При расчете цепи, находящейся под действием постоянных источников, установившееся значение x'1 не зависит от времени, и производная в правой части второго уравнения равна нулю. Аналогично можно найти и вторую переменную состояния х2, для которой общее решение . Частное решение  было уже найдено,  1 и  2 также определены, а константы Аи А4 определяют из системы, аналогичной системе для Аи А2; они выражаются через начальные значения х2(0) и 2/dt(+ 0). Эти последние величины определяют так же, как и начальные условия для переменной х1.

Пример, иллюстрирующий применение указанного способа, дан в Задаче 14.1.

Изложенная схема принципиально не изменяется и при решении системы уравнений более высокого порядка (п > 2)Так, при произвольном п общее решение для любой из переменных состояния при отсутствии кратных корней характеристического уравнения включает п экспонент, отвечающих отдельных корням

Нахождение частного решения х' аналогично рассмотренному выше случаю. Однако для определения п постоянных интегрирования Ak теперь необходимо знать п начальных условий — значения искомой переменной х(0) и ее (n – 1) производную при t = + 0. Если первая производная dх/dt непосредственно выражается через уравнения состояния, то производные более высоких порядков приходится находить последовательным дифференцированием уравнений состояния, в результате которого р-я производная d(p)х/dtp будет выражена через (р – 1)-е производные всех переменных состояния. Эта схема позволяет последовательно определить все производные d(p)х/dtp(+ 0), необходимые для нахождения Ak. Заключительный этап сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, подобных приведенной выше системе для определения A1 и А2:

Здесь под производной нулевого порядка (р = 0) понимается значение самой функции х(0). Очевидно, что изложенная схема решения при больших значениях п довольно громоздка, более эффективным оказывается решение с помощью матричной экспоненты, рассматриваемое ниже.




1. обыденной и простой формы некое искусственное её украшение
2. buzz by people singing lughter ywning ror giggle nd nimls moo blet crok frog
3.  Поскольку как мы видим всякое государство представляет собой своего рода общение всякое же Общение орган
4. Отчет по социальной практике за период с сентября месяца по ноябрь Румянцева Игоря
5. На сколько мы хозяева своего здоровья Как вы считаете Задать вопрос сидящему в аудитории Если каж
6. Рений - Секрет старых отвалов
7. Реферат- Бухгалтерский учёт в средние века
8. Методические рекомендации по дисциплине ПОЛИТОЛОГИЯ Контрольная работа ее характеристика
9. Модульный тест 4201
10. ТЕМА 7 Физиократы Узловые вопросы фирмы Концепция естественного порядка Ф