Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Представление числовой информации с помощью систем счисления
Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.
Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).
Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.
Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе - 60 минут).
В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее.
В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.
Классификация систем счисления
|
Системы счисления |
|
|
Позиционные |
Непозиционные |
|
В позиционных СС вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. |
В непозиционных системах вес цифры (т.е. вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так в римской СС в числе XXXII (32) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. Значение цифры не зависит от места (позиции) в числе. |
Запись чисел в разных системах счисления
двоичная (используются цифры 0, 1)
восьмеричная (используются цифры 0, 1, , 7)
шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ,9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы А, B, C, D, E, F).
|
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
10 |
2 |
2 |
|
3 |
11 |
3 |
3 |
|
4 |
100 |
4 |
4 |
|
5 |
101 |
5 |
5 |
|
6 |
110 |
6 |
6 |
|
7 |
111 |
7 |
7 |
|
8 |
1000 |
10 |
8 |
|
9 |
1001 |
11 |
9 |
|
10 |
1010 |
12 |
А |
|
11 |
1011 |
13 |
B |
|
12 |
1100 |
14 |
C |
|
13 |
1101 |
15 |
D |
|
14 |
1110 |
16 |
E |
|
15 |
1111 |
17 |
F |
|
16 |
10000 |
20 |
10 |
|
17 |
10001 |
21 |
11 |
Перевод целого числа из одной системы счисления в другую
При переводе десятичного числа в систему с основанием q (q = 2,8,16) его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1.
Число с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.
Перевод числа из двоичной (8-,16-ричной) системы в десятичную:
Для этого число в двоичной (8-,16-ричной) системе надо представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
Позиционные и непозиционные системы счисления
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используют сейчас, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системой счисления является римская система (римские цифры).
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись чисел производится с помощью десяти цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Перевод десятичных чисел в другие системы счисления.
Перевод целых чисел.
Перевод дробных чисел
Перевод смешанных чисел, содержащую целую м дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Арифметика в позиционных системах счисления
Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы умножения и сложения однозначных чисел. Пользуясь этими таблицами, можно выполнить арифметические операции с многозначными числами.
Например, таблицы сложения и умножения в пятеричной системе счисления выглядят так:
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
10 |
11 |
|
3 |
3 |
4 |
10 |
11 |
12 |
|
4 |
4 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
* |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
2 |
2 |
4 |
11 |
13 |
|
|
3 |
3 |
11 |
14 |
22 |
|
|
4 |
4 |
13 |
22 |
31 |