Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Методичні вказівки до семінару №4
При підготовці до семінару пропонується ознайомитися із наведеними нижче відомостями про диференціальні рівняння прикладами задач застосування диференціальних рівнянь у фізиці, техніці та економіці.
1.Що таке диференціальне рівняння?
Наприкінці XVI – на початку XVII століття особливо бурхливо розвивались точні науки. Розвиток навігації та військової справи, будівництво гребель і каналів – все це сприяло розвитку механіки, астрономії, оптики, а отже, й докорінному поновленню математичних знань. Нові практичні задачі зумовили появу нових методів дослідження, пов'язаних з розглядом «нескінченно малих» величин, стали основою для відкриття диференціального та інтегрального числення.
Творці нового числення – І. Ньютон (1642 – 1727) і Г. В. Лейбніц (1646 – 1716) – насамперед звернулися до задач, пов'язаних із знаходженням залежностей між тими чи іншими змінними величинами та їх похідними, тобто до розв'язування диференціальних рівнянь.
Диференціальним називається рівняння, яке, крім не залежних змінних та невідомих функцій цих змінних, міс тить ще й похідні невідомих функцій.
Наприклад, якщо х – незалежна змінна, а y – шука на функція цієї змінної, то диференціальне рівняння в за гальному вигляді можна подати так:
F (х, у, у', у"...., у(п)) = 0.
Зокрема, рівняння виду F (x, y, y') = 0 або y' = f (x, y), (1)
де у – невідома функція від х, називається диференціаль ним рівнянням першого порядку.
Функція у = u (х) називається розв'язком диференціального рівняння (1) на деякому
інтер валі (а, b), якщо F (х, и (х), и' (х)) = 0 або и' (х) = f (х, и (х))
для всіх х(а, b). Інакше кажучи, у = и (х) перетворює (1) у тотожність. Розв'язати диференціальне рівняння озна чає знайти всі його розв'язки.
Пропонуємо розгля нути деякі задачі, які виникають у природознавстві та техніці і зводяться до розв'язування найпростіших ди ференціальних рівнянь.
Розглянемо задачу про тертя троса об нерухому цилінд ричну тумбу.
Нехай точка О – в центрі перерізу. Циліндр охоплено гнучким тросом АВ (мал. 2). Прикладемо до точки А силу Р, а до точки В – силу F. Трос знаходитиметься в рівно вазі тоді, коли сила F буде більша за Р, бо сила F повинна зрівноважити ще й сили тертя троса об поверхню циліндра.
Розглянемо довільний нескінченно малий елемент троса ab. Нехай зліва на тяг його дорівнює R. Вра ховуючи сили тертя, діста немо справа більший на тяг R + ∆R. Рівнодійну CD цих двох сил, що діють під кутом одна до одної, ви значимо за правилом паралелограма. З точністю до нескінченно малих величин порядку, вищого за перший, вважатимемо паралелограм LCKD ромбом. Тоді: |OC| = |CL| sin ≈ |CL| (кут ∆φ взято в радіанах). Позначивши |CD| через N, діс танемо= R або N = R∆φ.
Відрізок CD, як діагональ ромба, перпендикулярний до хорди LK в її середині, тобто сила N перпендикулярна до нескінченно малого елемента троса аb. Сила тертя ∆G на цьому проміжку пропорційна силі N з деяким коефіцієн том μ: ∆G = μR∆φ, причому μ називається коефіцієнтом тертя між тросом та циліндричною тумбою.
Враховуючи, що натяг троса в точці b більший від його натягу у точці а на величину ∆R, яка і є величиною тертя ∆G, дістанемо: ∆R = μR∆φ.
Поділивши кожну частину останнього співвідношення на ∆φ і переходячи до границі, коли ∆φ → 0, дістанемо R' = μR.
Єдиний розв'язок такого диференціального рівняння, як відомо, – функція
R = Сеμφ, де С – довільна стала.
Зауважимо, що в точці а (при φ = 0) R = Р, а тому С = Р і, отже, R = Pеμφ.
У точці b (при φ = α) R = F, a тому остаточно маємо F = Реμα.
Як видно з останньої формули, різниця між натягами F та Р значно зростає із збільшенням кута α. Наприклад, охопивши 5 раз причальну тумбу звичайним тросом (кое фіцієнт тертя μ = 0,5), можна силою лише в 10 кг зрівно важити силу в 25 500 кг.
Прилад, за яким визначають висоту, назива ють анероїдом. Принцип дії анероїда грунтується на за лежності між тиском повітря та висотою його знаходження над рівнем моря.
Відомо, що атмосферний тиск зменшується із збільшен ням висоти над рівнем моря. Позначимо тиск через p0. Ви ділимо циліндричний стовп повітря з площею поперечного перерізу, що дорівнює 1, та проведемо два поперечні перерізи на висоті h та h + ∆h. При переході від першого пере різу до другого (коли ∆h > 0) тиск зменшиться на величи ну ваги повітря, що міститься в циліндрі між проведеними перерізами. Якщо ∆h мале, можна наближено вважати, що густина повітря у в цій частині циліндра – стала вели чина. Вага виділеного стовпчика повітря дорівнює γ∆h. Позначимо зменшення тиску через ∆p, тоді: ∆p = – γ∆h.
Згідно із законом Бойля – Маріотта, густина повітря γ пропорційна його тискові р γ = kp, де k – коефіцієнт пропорційності, що залежить від особ ливих фізичних властивостей повітря.
Остаточно дістанемо таке співвідношення ∆p = – kp∆h, або p' = – kp.
Як відомо, єдиний розв'язок такого рівняння – функ ція р = Cе– kh, де С – довільна стала. Враховуючи, що тиск атмосфери над рівнем моря (коли h = 0) дорівнює р0, дістанемо С = р0 і, отже, р = р0е– kh
Переходячи до логарифмів, дістанемо
Зауважимо, що ця формула правильна не для дуже ве ликих висот.
Задача про швидкість прямолінійного руху
Розв’язання. Будемо вважати, що човен рухається прямолінійно. Направимо ось Ох вздовж руху човна. Позначимо через v(t) швидкість руху човна в момент часу t після вимкнення мотора. В момент вимкнення мотора (t=0) швидкість, за умовою, дорівнює 5 м/с, або v (0) =5. Це – початкова умова задачі.
Складемо диференційне рівняння. Нехай маса човна дорівнює m. За умовою, на човен діє сила F=- k1v(t), де k1>0 (знак мінус вказує на те, що сила опору води направлена проти швидкості руху човна). Підставивши це значення F в рівняння mv’(t) = F і позначивши m k1 = k, отримаємо диференціальне рівняння v’(t)=- kv(t), k>0.
За формулою y(x) = y0ek(x-x0 знайдемо його розв’язок при початковій умові v (0) =5:
.
Використовуючи додаткову умову v(4)=1 м/с, знайдемо ось чому - це закон зміни швидкості руху човна після зупинки мотору. Для відповіді на питання потрібно розв’язати рівняння v(t)=0,04 відносно t. Розв’язавши його отримаємо, що t=12с.