Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Кинематика поступательного движения
При поступательном движении тела все точки тела движутся одинаково, и, вместо того чтобы рассматривать движение каждой точки тела, можно рассматривать движение только одной его точки.
Основные характеристики движения материальной точки: траектория движения, перемещение точки, пройденный ею путь, координаты, скорость и ускорение.
Линию, по которой движется материальная точка в пространстве, называют траекторией.
Перемещением материальной точки за некоторый промежуток времени называется вектор перемещения ∆r=r-r0, направленный от положения точки в начальный момент времени к ее положению в конечный момент.
Скорость материальной точки представляет собой вектор, характеризующий направление и быстроту перемещения материальной точки относительно тела отсчета. Вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета.
Материальная точка — это тело, размерами которого в процессе движения можно пренебречь. Возможность рассматривать тело как материальную точку зависит не от самого тела, а от характера его движения. Например,на картинке показано движение Земли вокруг солнца и вокруг своей оси. При движении вокруг Солнца Землю можно считать материальной точкой, если же нас интересует суточное вращение Земли вокруг своей оси, — то нельзя.
Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.
Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x = x (t),y = y (t), z = z (t) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки.
Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.
Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.
Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути.
В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.1.2).
Для характеристики движения вводится понятие средней скорости:
В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость, которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени Δt:
|
|
В математике такой предел называют производной и обозначают или
Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рис. 1.1.3.
При движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости за некоторый малый промежуток времени Δt можно задать с помощью вектора .
Вектор изменения скорости за малое время Δt можно разложить на две составляющие: направленную вдоль вектора (касательная составляющая), и направленную перпендикулярно вектору (нормальная составляющая).
Мгновенным ускорением (или просто ускорением) тела называют предел отношения малого изменения скорости к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости:
|
|
Направление вектора ускорения в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости Составляющие вектора ускорения называют касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями (рис. 1.1.5).
Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю:
Вектор направлен по касательной к траектории.
Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей.
Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент:
Вектор всегда направлен к центру окружность.
модуль полного ускорения равен
Таким образом, основными физическими величинами в кинематике материальной точки являются пройденный путь l, перемещение , скорость и ускорение . Путь l является скалярной величиной. Перемещение , скорость и ускорение – величины векторные. Чтобы задать векторную величину, нужно задать ее модуль и указать направление. Векторные величины подчиняются определенным математическим правилам. Вектора можно проектировать на координатные оси, их можно складывать, вычитать и т. д.
2. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.
1. Характеристики вращательного движения.
а) Угловая скорость .
Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью «омега», которая равна производной от угла поворота тела по времени
, (16)
- угол поворота тела за малое время .
При равномерном вращении его быстроту также описывают частотой оборотов и периодом вращения . Частота оборотов равна числу оборотов, сделанных за единицу времени,
, (17)
- число оборотов за время . Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2, то и
. (18)
Период вращения - это время, за которое тело совершает один оборот. Т.к.
,
то . (19)
рад/с ,об/с , с .
Рис.3.
б) Угловое ускорение .
Угловое ускорение «эпсилон» равно производной от угловой скорости по времени ,
, (20)
- изменение угловой скорости за время . .
Векторы и направлены по оси вращения тела; вектор угловой скорости направлен в сторону хода правого винта при вращении винта в направлении вращения тела (рис.3). При ускоренном вращении тела направления векторов и совпадают, при замедленном – противоположны.
2. Связь линейных и угловых характеристик.
Если точка тела отстоит от оси вращения на расстоянии , то за время она проходит путь
.
Скорость точки , или
. (21)
При вращении тела тангенциальное ускорение его точки , или
. (22)
Нормальное ускорение точки тела , или
. (23)
Полное ускорение, как указывалось ранее, определяют по формуле
.
3. Формулы равноускоренного вращения.
Если угловое ускорение постоянно, то
(24)
и
, (25)
и – угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент ,
и – в момент времени . При ускоренном вращении в уравнениях (24) - (25) выбирается знак «+», а при замедленном – знак «-».
Как уже говорилось, нам надо ввести такие физические величины, которые характеризовали бы неравномерное вращение колеса (в системе отсчета, связанной с троллейбусом). Попробуем это сделать по аналогии с прямолинейным неравномерным движением.
Проследим за точкой М колеса в течение малого промежутка времени Δt. За это время точка пройдет по дуге окружности путь s и будет иметь скорость υ и касательное ускорение ak (рис. 2). Три величины s, υ и ak, называемые линейными величинами, характеризуют движение точки М, но не могут служить для описания вращения всего колеса, так как в один и тот же момент времени другие точки, расположенные на других расстояниях от оси вращения, имеют другие линейные скорости, и касательные ускорения и пройденные ими пути тоже не одинаковы. Поэтому кроме линейных вводятся так называемые угловые величины, которые одинаковы для всех точек вращающегося колеса: угол поворота φ радиуса, соединяющего точку М с центром окружности, угловая скорость ω=ΔφΔt (Δφ — изменение угла поворота за время Δt) и угловое ускорение ε=ΔωΔt (Δω — изменение угловой скорости).
Очевидно, что введенными здесь угловыми величинами можно описывать вращение не только троллейбусного колеса, но и любого другого тела. При этом с течением времени может изменяться не только угол поворота φ, но и угловая скорость ω и угловое ускорение ε. В частности, если угловое ускорение не зависит от времени, то угловая скорость изменяется равномерно и в таком случае говорят, что имеет место равноускоренное вращение. Когда же угловая скорость остается постоянной, то угловое ускорение оказывается равным нулю и говорят о равномерном вращении тела.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:
= τ + n
Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.
В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
где — ускорение материальной точки;
— сила, приложенная к материальной точке;
— масса материальной точки.
Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:
5. И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
.
И́мпульс си́лы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (в поступательном движении).
За конечный промежуток времени эта величина равна определённому интегралу от элементарного импульса силы, где пределами интегрирования являются моменты начала и конца промежутка времени действия силы. В случае одновременного действия нескольких сил сумма их импульсов равна импульсу их равнодействующей за то же время.
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.
6. Механическая работа — это физическая величина, являющаяся скалярной количественной мерой действия силы или сил на тело или систему, зависящая от численной величины, направления силы (сил) и от перемещения точки (точек) тела или системы[1].
При прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения[3]:
Здесь точкой обозначено скалярное произведение[4], — вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила постоянна в течение всего того времени, за которое вычисляется работа.
Если сила не постоянна, то в этом случае она вычисляется как интеграл[5]:
(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).
Если существует зависимость силы от координат[6], интеграл определяется[7] следующим образом:
,
где и — радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.
Cледствие: если направление движения тела ортогонально силе, работа (этой силы) равна нулю.
Работа сил над системой материальных точек определяется как сумма работ этих сил над каждой точкой (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в суммарную работу этих сил над системой).
Даже если изначально тело не является системой дискретных точек, можно разбить его (мысленно) на множество бесконечно малых элементов (кусочков), каждый из которых считать материальной точкой, вычисляя работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл.
Эти определения могут быть использованы как для какой-то конкретной силы или класса сил — для вычисления именно их работы отдельно, так и для вычисления полной работы, совершаемой всеми силами, действующими на систему.
Кинетическая энергия вводится в механике в прямой связи с понятием работы.
Схема рассуждений такова: 1) попробуем записать работу, совершаемую всеми силами, действующими на материальную точку и, пользуясь вторым законом Ньютона (позволяющим выразить силу через ускорение), попытаться выразить ответ только через кинематические величины, 2) убедившись, что это удалось, и что этот ответ зависит только от начального и конечного состояния движения, введём новую физическую величину, через которую эта работа будет просто выражаться (это и будет кинетическая энергия).
Если — полная работа, совершённая над частицей, определяемая как сумма работ совершенных приложенными к частице силами, то она выражается как:
где называется кинетической энергией. Для материальной точки, кинетическая энергия определяется как работа силы, ускорившей точку от нулевой скорости до величины скорости и выражается как:
Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.