Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
\IÌàíüêîНацiональна академiя наук України
Iнститут математики
ПЕТРИШИН Ярослав Романович
УДК 517.927
УСЕРЕДНЕННЯ БАГАТОТОЧКОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ
З ПОВIЛЬНО ЗМIННИМИ ЧАСТОТАМИ
01.01.02 – диференцiальнi рiвняння
АВТОРЕФЕРАТ
дисертацiї на здобуття наукового ступеня
кандидата фiзико-математичних наук
Київ - 2001
Дисертацiєю є рукопис.
Робота виконана на кафедрi прикладної математики i механiки Чернiвецького нацiонального унiверситету iм. Ю.Федьковича.
Науковий керiвник – академiк НАН України, доктор фiзико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Анатолiй Михайлович, Інститут математики НАН України, директор інституту
Офiцiйнi опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор фiзико-математичних наук, професор ПЕРЕСТЮК Микола Олексiйович, Київський нацiональний унiверситет iм.Т.Шевченка, декан механiко-математичного факультету;
кандидат фiзико-математичних наук, доцент КОРОЛЬ Iгор Iванович, Ужгородський нацiональний унiверситет, доцент кафедри диференцiальних рiвнянь i математичної фiзики
Провiдна установа – Одеський нацiональний унiверситет iм. I.I.Мечнiкова, кафедра економiчної кiбернетики i оптимального керування, м.Одеса.
Захист вiдбудеться 11 грудня 2001 р. о 15:00 год. на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.206.02 в Iнститутi математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенкiвська, 3.
З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Iнституту математики НАН України (01601, м. Київ, вул. Терещенкiвська, 3).
Автореферат розiсланий 8 листопада 2001 р.
Вчений секретар
спецiалiзованої вченої ради Пелюх Г.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальнiсть теми. Багаточастотнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь є типовими при вивченнi коливних процесiв в класичнiй i небеснiй механiцi, радiотехнiцi, електротехнiцi та багатьох iнших роздiлах природознавства. Наявнiсть у таких системах повiльних i швидких рухiв не дозволяє ефективно використовувати класичнi методи дослiджень, наприклад, числовi, бо в цьому випадку необхiдно вибирати малий крок.
Серед рiзноманiтних пiдходiв дослiдження багаточастотних коливань одним з найбiльш продуктивних, але разом з тим i складних, виявився метод усереднення. У 1965 р. В.I.Арнольд опублiкував перший результат про оцiнку похибки методу усереднення у двочастотних резонансних системах з аналiтичними правими частинами, що дало можливiсть переосмислити природу резонансiв. Пiзнiше рiзнi питання обгрунтування та застосування методу усереднення для коливних систем дослiджено в монографiях М.М.Боголюбова i Ю.О.Митропольського, В.М.Волосова i Б.I.Моргунова, Є.О.Гребенiкова i Ю.О.Рябова, А.М.Самойленка i М.О.Перестюка, М.М.Хапаєва, В.О.Плотнiкова, А.М.Самойленка i Р.I.Петришина та iн. Викладенi тут iдеї та алгоритми дiстали подальший розвиток на випадки багаточастотних систем iз запiзненням та iмпульсним впливом.
Важливе мiсце при дослiдженнi звичайних диференцiальних рiвнянь займає теорiя крайових задач, iнтенсивний розвиток якої в останнi десятирiччя обумовлений необхiднiстю розв'язання низки теоретичних i практичних проблем. Створюються аналiтичнi, чисельнi та чисельно-аналiтичнi методи, якi дозволяють будувати точнi чи наближенi розв'язки нелiнiйних крайових задач, вивчати оцiнки похибок. Результати таких дослiджень висвiтлено у працях А.Б.Васильєвої та В.Ф.Бутузова, I.Т.Кiгурадзе, А.Я.Лєпiна i Л.А.Лєпiна, Н.I.Васильєва i Ю.А.Клокова, А.М.Самойленка i О.А.Бойчука, А.Ю.Лучки, М.О.Перестюка i А.М.Ронто та iн. У монографiї А.М.Самойленка i А.М.Ронто2 наведена досить повна бiблiографiя i проведена класифiкацiя методiв i пiдходiв розв'язання крайових задач. Проте їх використання для багаточастотних коливних систем веде до значних труднощiв через появу резонансних спiввiдношень мiж координатами вектора частот. У такiй ситуацiї зручним виявилось використання методу усереднення до розв'язання крайових задач, бо процедура усереднення, як правило, спрощує дослiджувану задачу.
Дослiдження розв'язностi крайових задач для систем стандартного вигляду за допомогою методу усереднення вивчалося в роботах багатьох авторiв i привело до широких застосувань, в тому числi до задач оптимального керування.
Але цей метод поки що не знайшов належного застосування у крайових задачах для систем з повiльними та швидкими змiнними. Вiдмiтимо лише результати, отриманi в цьому напрямку Д.Д.Байновим i С.Д.Мiлушевою, В.О.Плотнiковим i В.В.Бардай, А.М.Самойленком i Р.I.Петришиним, В.В.Самойленком.
Проаналiзувавши науковi дослiдження стосовно обгрунтування методу усереднення в крайових задачах для звичайних диференцiальних рiвнянь, можна зробити висновок, що найповнiшi результати одержано для рiвнянь стандартного вигляду та деяких класiв рiвнянь з повiльними та швидкими рухами i оператором усереднення вздовж породжуючого розв'язку. Якщо частоти коливної системи змiннi i їм властиве явище резонансу, то повних результатiв ще не одержано.
Недостатньо вивчено усереднення за всiма швидкими змiнними в резонансних крайових задачах з параметрами та iмпульсним впливом.
Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню цих проблем у випадку загальних крайових задач для коливних систем з майже перiодичними за швидкими змiнними правими частинами.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження дисертацiйної роботи розпочатi в рамках теми "Якiснi i конструктивнi методи дослiдження систем з пiслядiєю та їх застосування" (N держреєстрацiї 0199U001909), що виконувалась на кафедрi прикладної математики i механiки Чернiвецького унiверситету в 1996–2000 роках, i були продовженi в рамках науково дослiдної роботи "Обгрунтування асимптотичних методiв дослiдження нелiнiйних диференцiальних та диференцiально-функцiональних рiвнянь" (N держреєстрацiї 0100U005501), яка входить до координацiйного плану наукових дослiджень мiнiстерства освiти i науки України з напрямку "Геометричнi та аналiтичнi методи в математицi та їх застосування".
Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є обгрунтування методу усереднення в крайових задачах з багатоточковими та iнтегральними крайовими умовами для коливних систем з повiльно змiнними частотами, яким властиве явище резонансу. Безпосереднiми задачами дослiдження є всебiчне вивчення умов розв'язностi та встановлення ефективних оцiнок вiдхилення розв'язкiв вихiдних та усереднених задач для вказаних систем, зокрема i у випадку систем, що пiдлягають iмпульсному впливу у фiксованi моменти часу.
Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї вперше одержано такi науковi результати:
Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя має теоретичний характер. Її результати можуть бути використанi при подальших дослiдженнях з теорiї багаточастотних коливань i при вивченнi конкретних задач практики, математичними моделями яких є розглянутi в нiй крайовi задачi.
Зазначимо, що результати робiт [1,2] використанi в монографiї А.М. Самойленка i Р.I. Петришина3.
Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертацiї отриманi автором самостiйно. У спiльних з науковим керiвником роботах [1–3] А.М.Самойленку належить постановка задач та аналiз одержаних результатiв, а в статтi [4] Р.I.Петришин поставив задачу i визначив загальну схему дослiдження.
Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дослiджень, що включенi до дисертацiї, доповiдались на: мiжнародних конференцiях "MODELLING AND INVESTIGATION OF SYSTEMS STABILITY" (Київ, 1997р.), "Сучаснi проблеми математики" (Чернiвцi, 1998р.), "DYNAMICAL SYSTEMS MODELLING AND STABILITY INVESTIGATION" (Київ, 1999 i 2001 pр.), "Еругинские чтения – VI" (Гомель, 1999 р.), "Понтрягинские чтения – X" (Воронеж, 1999 р.), "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000 р.), "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (Одеса, 2000 р.), VII i VIII мiжнародних конференцiях iм. академiка М.Кравчука (Київ, 1998 i 2000 рр.), всеукраїнськiй конференцiї "Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування" (Чернiвцi, 1996р.), наукових семiнарах математичного факультету та кафедри прикладної математики i механiки Чернiвецького унiверситету (Чернiвцi, 1997–2001 рр.).
Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в 12 працях, з них 5 – в наукових журналах, 2 – у збiрниках наукових праць i 5 – у матерiалах конференцiй. Серед публiкацiй 5 праць у наукових фахових виданнях з перелiку №1 ВАК України вiд 9.06.1999р.
Структура i обсяг роботи. Дисертацiя складається з вступу, трьох роздiлiв, висновкiв i списку використаної лiтератури, який мiстить 110 найменувань. Повний обсяг роботи становить 131 сторiнкy.
Автор висловлює щиру подяку науковому керiвнику академiку НАН України А.М. Самойленку за постановку задач i постiйну увагу до роботи.
ЗМIСТ РОБОТИ
У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми, ставляться мета i задачi дослiдження, вказується на зв'язок дисертацiї з науковими темами кафедри, де вона виконувалась, наводяться основнi результати, вiдзначається їх новизна, практичне значення i апробацiя.
У першому роздiлi зроблено огляд праць, що стосуються методу усереднення в багаточастотних системах, крайових задач для звичайних диференцiальних рiвнянь та використаної в дисертацiї методики.
У роздiлi 2 наведено постановку багатоточкових задач для коливних систем з повiльно змiнними частотами, доведено теореми про їх розв'язнiсть, а також встановлено оцiнки вiдхилення розв'язкiв вихiдної та усередненої задач.
У пiдроздiлi 2.1 розглядається багаточастотна система n+m звичайних диференцiальних рiвнянь
(1)
в якiй , , ,
(2)
Тут i надалi через (– цiле) позначатимемо множину матричних функцiй , якi разом iз всiма своїми частинними похiдними по z до порядку l неперервнi по i обмеженi сталою , а через при –пiдмножину множини , кожний елемент якої задовольняє умову Гельдера . Пiд нормою матрицi розумiємо суму модулiв її елементiв.
Вважатимемо, що X i належать класу майже перiодичних по функцiй, для яких
(3)
де при –уявна одиниця, –скалярний добуток векторiв. На частоти накладемо обмеження
(4)
Тут
при i –парна фiнiтна неперервно диференцiйовна на R функцiя з носiєм .
Задамо для рiвняння (1) крайовi умови
(5)
в яких –n-вимiрна вектор-функцiя змiнних
Усереднена за всiма швидкими змiнними задача набуде вигляду
(6)
(7)
Теорема 3.6.1. Припустимо, що: 1) виконуються обмеження А)––В); 2) , , ; 3) для деяких i iснує такий єдиний розв'язок задачi (19), (20), що , а крива лежить в D разом iз своїм –околом; 4) , , ; 5) , . Тодi можна вибрати такi додатнi сталi i , що для кожного , задача (18), (20) має єдиний розв'язок , який задовольняє нерiвностi
,
.
Дослiджено також бiльш загальний випадок крайових умов за рахунок замiни у (20) на . При цьому доведено лише iснування розв'язку крайової задачi i оцiнку похибки методу усереднення з поправкою для швидких змiнних.
ВИСНОВКИ
Дисертацiйна робота присвячена використанню методу усереднення для вивчення розв'язностi крайових задач для деяких класiв нелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь з повiльними та швидкими рухами. Такого типу системи є важливими як з точки зору застосувань у теорiї нелiнiйних коливань, так i в математичнiй теорiї багаточастотних систем.
Основними новими результатами дисертацiї є наступнi:
Одержанi результати i методика доведень мають, в основному, теоретичне значення. Строге математичне обгрунтування цих результатiв визначає їх достовiрнiсть. Запропонованi пiдходи розв'язання крайових задач для коливних систем з майже перiодичними за швидкими змiнними правими частинами можуть бути поширенi i узагальненi на новi класи диференцiальних рiвнянь у рiзних функцiональних просторах, а також використанi при вивченнi практичних задач теорiї нелiнiйних коливань.
Основнi результати дисертацiї опублiкованi в працях:
1. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Метод усереднення в багатоточкових задачах теорiї нелiнiйних коливань // Укр. мат. журн.– 1996.– 48, №8.– С.1096–1103.
2. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Крайовi задачi з параметрами для багаточастотної коливної системи // Укр. мат. журн.– 1997.– 49, №4.– С.581–589.
3. Самойленко А.М., Петришин Я.Р. Багатоточковi задачi для коливних систем з повiльно змiнними частотами // Нелiнiйнi коливання.– 1999.– 2, №2.– С.231–240.
4. Петришин Р.I., Петришин Я.Р. Усереднення крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь з повiльними та швидкими змiнними // Нелiнiйнi коливання.–1998.– №1.–C.51–65.
5. Петришин Я.Р. Усереднення багатоточкової задачi з параметрами для коливної системи з iмпульсною дiєю // Укр. мат. журн.– 2000.– 52, №3.– С.419–423.
6. Петришин Я.Р. Оцiнки вiдхилення розв'язкiв деяких багатоточкових задач // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр.– К.: Iн-т математики НАН України, 1996.– Вип. 13.– С.174–187.
7. Петришин Я.Р. Знаходження початкових даних розв'язкiв диференцiальних рiвнянь у випадку багатоточкових крайових умов // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр.– К.: Iн-т математики НАН України, 1997.– Вип. 16.– С.235–240.
8. Петришин Я.Р. Построение решения многоточечной импульсной задачи методом усреднения // Междунар. конф. "Еругинские чтения – VI" (20–21 мая 1999 г., Гомель): Тез. докл., Ч.1.– Гомель, 1999.– С.71–72.
9. Петришин Я.Р. Краевая задача для многоточечной импульсной колебательной системы // "Понтрягинские чтения - X" на Воронежской мат. школе "Современные методы в теории краевых задач" (3–9 мая 1999 г., Воронеж): Тез. докл.– Воронеж, 1999.– С.195.
10. Петришин Я.Р. Про рiвномiрну оцiнку одної осциляцiйної суми // VIII мiжнар. наук. конф. iм. акад. М.Кравчука (11–14 травня 2000 р., Київ): Матерiали конф.– Київ, 2000.– С.165.
11. Петришин Я.Р. Многоточечная задача для двухчастотной резонансной системы // Междунар. науч. конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (15–20 мая 2000 г., Воронеж): Тез. докл.– Воронеж, 2000.– С.30–31.
12. Петришин Я.Р. Усереднення крайових задач для резонансних систем з iмпульсним впливом та iнтегральними крайовими умовами // Мiжнар. наук. конф. "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (12–14 вересня 2000 р., Одеса): Тез. доп.– Одеса, 2000.– С.217–218.
Анотацiя
Петришин Я.Р. Усереднення багатоточкових задач для нелiнiйних коливних систем з повiльно змiнними частотами.– Рукопис.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 – диференцiальнi рiвняння. Iнститут математики НАН України, Київ, 2001.
Дисертацiйна робота присвячена використанню методу усереднення для вивчення розв'язностi крайових задач для деяких класiв нелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь з повiльними та швидкими рухами. Такого типу системи є важливими як з точки зору застосувань у теорiї нелiнiйних коливань, так i в математичнiй теорiї багаточастотних систем.
У дисертацiйнiй роботi знайдено достатнi умови розв'язностi багатоточкових задач для коливних систем з майже перiодичними за швидкими змiнними правими частинами i залежними вiд повiльних змiнних частотами, а також встановлено кiлькiсну залежнiсть похибки методу усереднення вiд величини малого параметра. Доведено новi теореми iснування та єдиностi розв'язкiв крайових задач з параметрами i багатоточковими та iнтегральними крайовими умовами для коливних систем, частоти яких залежать вiд "повiльного часу". Встановлено оцiнки частинних похiдних по початкових даних i параметрах рiзницi розв'язкiв задачi Кошi для вихiдних та усереднених коливних систем з iмпульсним впливом. Цi оцiнки використано для розв'язання крайових задач як з параметрами, так i без них для iмпульсних систем.
Ключовi слова: метод усереднення, багаточастотна система, система з iмпульсним впливом, крайова задача, багатоточковi умови.
Abstracts
Petryshyn Y.R. Averaging of multidot problems for nonlinear oscillating systems with slowly changeable frequencies.– Manuscript.
The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2001.
The dissertation is devoted to the use of averaging method for learning of the possibility of solving boundary value problems for some classes of nonlinear systems of usual differential equations with slow and fast movements. Systems of such kinds are important both from the point of view of their usage in the theory of nonlinear oscillations and in the mathematical theory of multi-frequent systems.
In the dissertation sufficient conditions for the possibility of solving multidot problems for the oscillating systems with almost periodic right parts with respect to fast variables and frequencies depending on slow variables have been found. The quantitative dependence of the error of a method of averaging depending on the size of small parameter has also been established. New theorems of existence and uniqueness of solutions of boundary value problems with parameters and multidot and integral boundary conditions for oscillating systems, frequencies of which depend on "slow time", have been proved. The estimations of partial derivatives due to initial data and parameters of the difference of solutions of the Cauchy problem for the initial and average oscillating systems with impulse influence have been established. These estimations have been used for solving boundary value problems both with parameters and without them for impulse systems.
Key words: method of averaging, multi-frequent system, system with impulse influence, boundary value problem, multidot conditions.
Аннотация
Петришин Я.Р. Усреднение многоточечных задач для нелинейных колебательных систем с медленно меняющимися частотами.– Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.
Диссертация посвящена использованию метода усреднения для изучения разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с медленными и быстрыми движениями. Такие системы важны как с точки зрения применения в теории нелинейных колебаний, так и в математической теории многочастотных систем. Использование метода усреднения в колебательных системах усложняется по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений в стандартной форме в связи с появлением резонансных соотношений между координатами переменного вектора частот. Именно в резонансных зонах происходит существенное отклонение решений исходной и усредненной систем. Для решения этой проблемы при исследовании краевых задач мы используем равномерные оценки осцилляционных интегралов и сумм и принцип сжимающих отображений или теорему Брауэра о неподвижной точке.
Основными новыми результатами диссертации являются следующие:
Полученные результаты и методика доказательств имеют, в основном, теоретическое значение. Строгое математическое обоснование этих результатов определяет их достоверность. Предложенные подходы решения краевых задач для колебательных систем с почти периодическими по быстрым переменным правыми частями могут быть расширены и обобщены на новые классы дифференциальных уравнений в различных функциональных пространствах, а также использованы при изучении практических задач теории нелинейных колебаний.
Ключевые слова: метод усреднения, многочастотная система, система с импульсным воздействием, краевая задача, многоточечные условия.
2 Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений.– К.: Наук. думка, 1992.- 279 с.
3 Самойленко А.М., Петришин Р.I. Багаточастотнi коливання нелiнiйних систем.--- К.: Iн-т математики НАН України, 1998.– 340 c.