Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАУКОВО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ КОНЦЕРН
“ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ”
ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ
На правах рукопису
ДОМБРОВСЬКИЙ
Маріуш
УДК 530.12;530.145
СТРУННІ КОСМОЛОГІЇ
01.04.02 – теоретична фізика
Автореферат дисертації
на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Харків – 2001
Дисертацією є рукопис.
Работа виконана в Інституті фізики Щецінського університету,
Польща
Офіційні опоненти:
Академик НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор С. В. Пелетмінський,
Начальник відділу Інституту теоретичної фізики Національного наукового центру “Харківський фізико-технічний інститут”;
Доктор фіз.-мат. наук, професор Ленур Яг'я Аріфов, завідуючий кафедрою теоретичної фізики Таврійського національного університету
ім. В.І. Вернадського;
Доктор фіз.-мат. наук, професор О. О. Капустніков,
професор кафедри теоретичної фізики Дніпропетровского національного університету.
Провідна установа:
Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України,
Відділ астрофізики і елементарних частинок, м. Київ.
Захист відбудеться _19_ _вересня_ 2001 року о_14.00_ годині на
засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.169.01 при Інституті
монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.
Автореферат розісланий __8__ ___серпня___ 2001 р.
Вчений секретар
Спеціалізованої вченої ради Д.64.169.01,
кандидат технічних наук Л.В. Атрощенко
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми.
На сьогодні теорія суперструн є однією з найбільш передових і водночас найбільш обіцяючих фізичних теорій, що стосуються матерії у Всесвіті, яка дає повну уніфікацію чотирьох фундаментальних взаємодій. Теорія виходить з того, що основними складовими матерії є не точкові елементарні частинки, а об'єкти, розтягнуті в просторі - одновимірні струни (більш загально - багатовимірні мембрани). Ці об'єкти можуть виконувати складні коливання і їх моди проявляються в масштабі довжин, менших за довжину Планка (10-33 см) елементарної частинки. З огляду на відсутність до цих пір основного принципу теорії струн (подібного до принципу загальної коваріантності в загальній теорії відносності), остаточна форма теорії струн, виражена у вигляді дії (вторинне квантування струни), також невідома.
Незважаючи на це, широко розглядаються різного типу ефективні теорії струн, які застосовні в області низьких енергій нижче енергії Планка частинок (слабкої взаємодії). В залежності від напрямку руху різних осциляційних мод струни, а також числа суперсиметрій, існують такі ефективні теорії: бозонна (без суперсиметрії), типу І, типу ПА, типу ІІВ, крім того, гетеротична S0(32) і E8 x E8. Усі ці теорії формулюються в 26 (бозонна) або в 10 (суперструнна) часопросторових вимірах, проте звичайно припускається компактифікація додаткових вимірів і розглядаються тільки 4 макроскопічні виміри.
Однією з найбільш інтригуючих властивостей теорії суперструн є дуальні симетрії (наприклад, Т- дуальність, S- дуальність), які дозволяють переходи від однієї ефективної теорії до іншої, а також чітко вказують, що ці ефективні теорії пов'язані між собою і складають підрозділ більш загальної теорії, названої попередньо М-теорією. М-теорія формулюється в 11 часовопросторових вимірах, а її ефективною теорією є 11-вимірна супергравітація. В теоріях суперструн з'являються різні, не обов'язково відомі до цього часу частинки (їм можна надати прийменник "струнної природи"). Спільний сектор суперструнних теорій складають безмасові моди: гравітон (його існування свідчить, що теорія струн включає квантову гравітацію), дилатон (скалярне поле типу Бранса-Діка), а також аксіон (поле Неве-Шварца (NS-NS) з потенціалом, який є 2-формою). Цікавою є отримана за допомогою компактифікації супергравітації на орбіфолді теорія Ходжави-Віттена, котру ідентифіковано з границею сильної взаємодії для гетеротичної теорії Е8 х Е8. В цій теорії істотним є те, що калібрувальні поля пропагуються у 10 часопросторових вимірах, в той час як гравітація пропагується в усіх 11 вимірах.
Теорія суперструн є сильно розвиненою математичною теорією. Однак для масштабу енергії, якого вона стосується, не можна виконати жодного експерименту на існуючих в світі прискорювачах (хоч недавно розглядались певні надзвичайно низькоенергетичні ефекти теорії, сконструйованої в аналогії до теорії Ходжави-Віттена). Тому дуже важливою є розробка передбачень теорії суперструн, що стосуються великомасштабної структури Всесвіту, а також інших ефектів, які могли залишити видимі до сьогодні наслідки - як релікти попередньої фази еволюції. Останні спостереження супернових зірок типу Іа у віддалених галактиках наводять на думку про необхідність включення матерії з від'ємним тиском (наприклад, додатна космологічна стала), як одного із субстратів Всесвіту. Мотивацію до такої матерії можна знайти тільки в теоріях елементарних частинок (до них належить і теорія суперструн), при цьому виявляється, що подібні результати можна отримати й при аналізі різних галузей теорії суперструн в контексті космології. Ці проблеми складають предмет поданої дисертаційної роботи.
В останні кілька років значно зросла зацікавленість суперструнними космологіями і здобувач включився в ці дослідження, співпрацюючи з колегами в цілому світі. Про актуальність і великий інтерес до цієї тематики свідчить кількість цитувань в роботах інших авторів на праці здобувача, які включені до дисертації. Ці праці (роки 1997-2000) мають таку кількість цитувань (без автоцитувань): праця [1] - 21 цитування, праця [2] - 10 цитувань, праця [3] - 11 цитувань, праця [4] - 3 цитування, праця [5] - 2 цитування, праця [6] - 3 цитування, праця [9] - 3 цитування.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Тема дисертації пов'язана з тематикою наукових досліджень, що виконувались у Відділі космології й теорії гравітації Інституту фізики Шецінського університету в рамках проекту "Космологічні моделі в різних теоріях гравітації"" (1992-1999 р.р.) і фінансувались Комітетом наукових досліджень Польщі. Крім того, вона є предметом двох грантів автора, які реалізовувались при частковій співпраці з закордонними науковими центрами (університет Сассекс у Великій Британії, університет Оденсе в Данії та Харківський фізико-технічний Інститут). Це гранти "Класичні і квантові струни в різних часопросторах" N2 РОЗВ 196 10 (1996-1998 р.р.) і "Космологічні аспекти теорії суперструн та М-теорії" N2 РОЗВ 105 16 (1999-2001 р.р.). Деякі дослідження, подані в цій дисертації, фінансувались також в рамках проектів Королівського товариства (Велика Британія), Німецького бюро академічного обміну (ФРН) та НАТО.
Мета дисертаційної роботи
З самого початку виникнення теорій, уніфікуючих фундаментальні взаємодії (від уніфікації Салама-Вайнберга до моделі суперструн), існує велика відмінність поміж стандартним підходом до космології (де, по суті, розглядається феноменологічний субстрат матерії у Всесвіті) і підходом, що виникає з глибшого фізичного розуміння світу на базі теорії елементарних частинок. Дана дисертація в однією із спроб заповнити цю прогалину.
Її головну мету можна сформулювати так:
- дослідження впливу частинок, існування яких виникає з теорії, що уніфікує взаємодії - конкретно теорії суперструн, на глобальну космологічну еволюцію Всесвіту;
- дослідження можливостей, сконструйованих на базі теорії суперструн космологічних моделей, в розв'язанні стандартних проблем космології, а саме: проблеми початкової особливості, ізотропії фонового випромінювання і виникаючої звідси ізотропії розподілу галактик;
- дослідження питання про принципові відмінності між стандартними космологічними моделями і моделями, сконструйованими на базі теорії суперструн (наприклад, поява хаотичної поведінки).
Наукова новизна одержаних результатів.
В дисертації знайдено найзагальніший клас неособливих космологічних моделей Фрідмана, для якого допускаються осциляції масштабного множника поміж двома скінченими значеннями. Цей клас отримується для просторово замкнутих моделей з матерією у вигляді доменних стінок і з від'ємним космологічним членом (енергія вакууму). Унікальним є розгляд квантовомеханічиого ефекту тунелювання (макроскопічного) в точку максимального розширення для таких моделей.
Знайдено також дві явні космологічні моделі з неоднорідним тиском, які потім порівнюються з астрономічними спостереженнями супернових зірок типу Іа. Це перша спроба порівняння неоднорідних моделей Всесвіту із спостереженнями.
В дисертації вперше досліджувалась еволюція струн в космологічних часопросторах, складніших ніж ізотропні часозмінні Фрідмана . Стосується це класу однорідних часопросторів тину Б'янчі. Цей розгляд є повністю оригінальним - навіть після опублікування автором результатів розрахунків ніхто не зробив спроби їх узагальнити.
Цілком новаторським є також розгляд еволюції нульових струн як нульового наближення струн, що розтягуються, в цих часопросторах. Цей же метод нульових струн був застосований до дослідження еволюції струн в часопросторі Шварцшильда. Оригінальний розв'язок автора для нульової струни на фотонній сфері був використаний, в свою чергу, в пертурбарційній схемі О. Желтухіна. Розв'язок в часопросторі Шварцшильда пізніше був поширений на випадок Керра та більш загальні.
Щодо суперструнних космологій, то вперше було досліджено вплив аксіона на еволюцію космологічної моделі Кантовського-Закса. Унікальними є також дослідження космологічних моделей типу Гьодля (до першого порядку за '), так само як і знаходження класу моделей Гьодля без замкнутих часових петель. Тут була подолана перешкода на шляху до дальших узагальнень.
Іншим, повністю започаткованим в дисертації новим аспектом є детальна дискусія про можливість появи хаотичної поведінки в космологічних моделях типу Великого Змішування, що будуються на базі теорії суперструн. Стосується це як спільного сектора частинок для ефективних взаємодій типу ІІА, ІІВ, і гестеротичного (гравітон, дилатон, аксіон), так й взаємодії Ходжави-Віттена. В останньому випадку вперше обговорено явний розв'язок у формі Каснера, який виходить за ізотропні розв'язки. Питання можливості появи хаотичної поведінки розвиваються також іншими дослідниками.
Питання квантової космології струн, в яких розглядаються мінісуперпростори з додатною і від'ємною кривизною, або аксіонним полем, також повністю нові. Це саме стосується і завдання граничних умов в області слабкої взаємодії замість завдання цих умов в області сильної взаємодії, як це робилося раніше. Нарешті, розгляд струнних мінісуперпросторів з анізотропною геометрією здійснений вперше.
Практичне значення одержаних результатів.
Знайдені здобувачем явні розв'язки для нульових струн в часопросторі Шварцшильда дали можливість іншим дослідникам проаналізувати більш складні випадки. Стосується це як суперструнних космологій - космологічних моделей Гьодля, так і хаотичного режиму в моделях Великого Змішуваня.
Застосування методу нульових струн в пертурбаційному контексті є потужним знаряддям при дослідженні поведінки струн, що розтягуються, у викривлених просторах.
Положення, що в припущенні елементарного анзатцу для аксіона неможливою є ізотропізація моделі Кантовского-Закса, має велике значення при знаходженні верхньої спостережуваної межі на кількість матерії в аксіонній формі у попередньому Всесвіті. Подібне положення, що при такому анзатці аксіона його взагалі не можна узгодити з геометрією Великого Змішування, дає простий висновок про відсутність впливу цієї частинки на можливу хаотичну поведінку в околі початкової особливості.
Особистий внесок здобувача.
У роботах, виконаних спільно із співавторами, вклад здобувача визначається наступним чином.
Здобувач застосував метод нульових струн до вивчення еволюції струн у викривлених часопросторах [2]. Знайшов розв'язок для такої струни, що рухається на фотонній сфері у часопросторі Шварцшильда, а також два явні асимптотичні розв'язки, які наближаються до цієї сфери, аналогічно до випадку фотонів, що обертаються навколо чорної дірки [2]. Крім того, знайшов декілька явних розв'язків для еволюції нульових струн та струн, що розтягуються, в просторах Кантовського-Закса (на основі отриманого раніше розв'язку для моделі з нестисливою рідиною [19]), а також у вісесиметричних просторах Б'янчі IX. Здобувач ввів постулат про застосування т.зв. еліптичного анзатцу для струни, що еволюціонує у часопросторі Б'янчі І [4].
В суперструнних моделях здобувачеві належить явний космологічний розв'язок для моделі Кантовського-Закса з дилатоном і аксіоном в припущенні анзатцу солітона [1]. Здобувач самостійно знайшов явні розв'язки для космології суперструнних Гьодля, що не містять замкнутих часових петель, опрацював метод генерації розв'язків такого типу в моделях першого порядку за ' [6].
Здобувачеві повністю належить ідея розгляду моделей Великого Змішування в межах спільного сектора суперструнних теорій, і зв'язку відсутності прояву хаосу в цих моделях з існуванням симетрії дуальності [5,7,8]. Доведення відсутності прояву хаотичної поведінки в моделях Ходжави-Віттена також належить здобувачеві [9].
Нарешті, здобувач був автором і виконавцем розгляду рівняння Віллера-де Вітта, знайшов деякі розв'язки цього рівняння для випадку однорідних геометрій типу Б'янчі І, IX і Кантовського-Закса [10].
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких наукових зустрічах:
International Seminar on Mathematical Cosmology (Роtsdam, 1998), International Conference Beyond the Standard Model (DESY, Hamburg, 1998), 2nd ICRA Workshop The Chaotic Universe (Rome-Pescara, 1999) 1st International Conference Chaos in Dynamical Systems}(Miкdzyzdroje, 1999), 2nd International Conference Chaos in Dynamical Systems (Miкdzyzdroje, 2000), IX Marcel Grossmann Meeting (Rome, 2000), SSQFT2 Conference (D.V.Volkov Memorial) (Kharkov, 2000).
Окремі результати були темами семінарів, проведених автором в університеті Сассекс (Велика Британія, 1993, 1994, 1996-1998), університеті Портсмута (Велика Британія, 1996, 1998); університеті Грайфовальда (ФРН, 1998), Вроцлавського університету (Польща, 1990-1992, 1998, 1999), Варшавського університету (Польща, 1999), Шецінського університету (Польща, 1992-1999), університету Неаполя (Італія, 1999), університету Бонна (ФРН, 1996), університету Фрайбурга (ФРН, 1996), університету Лондона (Велика Британія, 1997).
Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 44 роботи. Список праць, котрі містять основні положення дисертації, що виносяться на захист, приведено в кінці автореферату. Він налічує 22 статті та 2 електронних препринти.
Структура і об'єм дисертації.
Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 241 посилань. Повний обсяг дисертації - 277 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі аналізується стан обраної для досліджень проблеми, обґрунтовується її актуальність. Проводиться також короткий огляд літератури, відзначається новизна отриманих результатів та їх практичне значення.
Перший розділ
В першому розділі коротко обговорено основні проблеми стандартної космології, відомі під назвами проблем горизонту (ізотропність мікрохвильового фону при великих кутових розмірах), плоскості або початкових умов (близькість до нуля початкової кривизни Всесвіту) і надмірної поширеності монополів (усупереч з теорією великої уніфікації, яка передбачає існування величезної кількості магнітних монополів, останні залишаються до цих пір експериментальне не виявленими). Усі ці проблеми з'явилися в результаті протиріч між передбаченнями теорії і даними спостереження. Найважливішим тут є проблема горизонту, яка виникає з факту спостережуваної високої ізотропії мікрохвильового випромінювання фону на кутових розмірах, значно більших, ніж розміри причинно зв'язаних між собою у минулому просторі. Стандартною космологією вважається започаткована у праці А. Ейнштейна теорія, в якій він подав перший космологічний розв'язок на підставі отриманого ним раніше рівняння поля загальної теорії відносності, відомий сьогодні під назвою статичної моделі Ейнштейна. "Закінчується" ж стандартна теорія роботами А. Гута і А. Лікде. Математичні основи стандартної космології, крім Ейнштейна, були представлені А. Фрідманом, який довів, що найзагальніший розв'язок рівнянь Ейнштейна не є статичним, а також, що Всесвіт еволюціонує в часі. Пізніше цей результат був підтверджений Е. Хабблом при спостереженні червоного зсуву в спектрах віддалених галактик. Спостережуване розширення Всесвіту з необхідністю свідчить, що в попередньому він був густішим, а оскільки так, то усі частинки були ближчі одна до одної і, відповідно, Всесвіт мав вищу температуру. Звідси виникла концепція гарячого Всесвіту, найважливішим експериментальним підтвердженням якої було спостереження мікрохвильового випромінювання фону, як релікту фази, в якій матерія була іонізованою.
Поряд з працями Гута і Лінде, на початку вісімдесятих років була започаткована теорія, відома сьогодні під назвою інфляційної космології. Інфляційна космологія розв'язує три основні проблеми стандартної космології (горизонту, плоскості і надмірної поширеності монополя), однак залишає нерозв'язаними інші проблеми (наприклад, проблема відповідного вибору потенціалу для інфлатону, проблема початкової особливості та інші). Відсутність розв'язання цих проблем дала мотивації до конструювання космологій, які б спиралися на більш фундаментальні теорії уніфікації взаємодій. Ними є теорії суперструн. Останні є головною проблемою даної дисертації.
В підрозділі 1.2 коротко розглянуто основний набір космологічних розв'язків рівнянь Ейнштейна на основі однорідної і ізотропної метрики Робертсона-Волкера. Космологічні розв'язки, які називають моделями Фрідмана, отримуються в припущенні, що матерія яка заповнює Всесвіт, може бути описана тензором енергії-імпульса ідеальної рідини. Проте стандартними вважаються такі моделі Фрідмана, які отримуються для матерії у вигляді пилу (тиск р = 0) і які розпочинаються з початкової особливості. В підрозділі 1.2 подано загальний космологічний розв'язок (за допомогою еліптичних функцій) для рівнянь Ейнштейна як з матерією з додатним тиском (пил р = 0, випромінювання р = (1/3) , де - густина енергії), так і з т.зв. екзотичною матерією, яка допускає від'ємний тиск (космічні струни р = -(1/3) , доменні стінки р = -(2/3) , космологічна стала р = - = -). Далі в підрозділі 1.2 увагу зосереджено на окремому класі рівнянь (для просторово замкнутих моделей), який допускав можливість уникнути початкової і кінцевої особливості - еволюція Всесвіту характеризується осциляціями між двома скінченими значеннями масштабного множника а(t). Для отримання такого розв'язку тензор енергії-імпульса повинен містити матерію у вигляді від'ємної космологічної сталої < О і доменних стінок. Виявляється, що осциляції допускають такі важливі процеси попереднього Всесвіту, як рекомбінація зарядів і нуклеосинтез у формі, яка не суперечила б спостереженням.
В підрозділі 1.2 вивчено також можливість квантовомеханічного макроскопічного тунелювання Всесвіту в точці його максимального розширення до розглянутого раніше осциляційного режиму. Головна ідея виглядає так: Всесвіт розширюється від початкової особливості доходячи до точки максимального розширення, де наступає тунелювання до стану, в якому Всесвіт осцилює поміж двома скінченими значеннями масштабного множника. Далі, в точці мінімального стискання може наступити "ретунелювання" до стану, в якому Всесвіт починає стискуватись до кінцевої особливості. Ідеї застосування квантової механіки до космології започатковані Фоміним і розвинені пізніше Віленкіним, Хартлі і Хокінгом. В підрозділі 1.2 розраховано імовірність такого тунелювання і доведено, що вона істотно залежить від величини космологічної сталої (енергії вакууму). Важливим результатом тут є факт, що зміна стану Всесвіту за рахунок тунелювання відбувається без зміни складу субстрату матерії (в розглянутому випадку визначено кількість матерії у формі доменних стінок і космологічної сталої).
В підрозділі 1.2 розглянуто також проблему горизонту в моделях Фрідмана з космологічним членом . Показано, що врахування невеликого космологічного члена, який має місце на сучасному етапі еволюції Всесвіту, не дозволяє розв'язати проблему горизонту, хоча при цьому й зростає розмір причинно зв'язаних між собою областей в епосі рекомбінації.
Остання частина підрозділу 1.2 присвячена дослідженню впливу екзотичної матерії (доменні стінки, космічні струни , текстури і космологічна стала) на кутові розміри анізотропії випромінювання фону, які відповідають збуренню густини з розмірами, що дорівнюють розмірам типової галактики в ері рекомбінації (т.зв. малокутове анізотропне випромінювання фону, виражене в секундах дуги). Розрахунки показують, що доменні стінки і космічні струни у кілька разів збільшують розмір анізотропії, що не суперечить даним спостереження. З іншого боку, допущення космологічного члена збільшує розмір анізотропії у багато разів, і тому дані спостережень можуть бути використані для визначення верхньої границі кількості матерії у Всесвіті в формі космологічної сталої.
В підрозділі 1.3 розглянуто узагальнені космологічні моделі, в яких зроблено відхід від Космологічного Принципу (однорідність та ізотропність простору). В найзагальнішому випадку такі моделі цілком неоднорідні, проте, з огляду на можливості розрахунку, розглянуто лише їх сферично-симетричні випадки. Однак, це дає можливість отримати цілком загальні результати, хоча б в такому випадку, коли спостерігач знаходиться поза центром симетрії. Ці так звані моделі Стефані, характеризуються неоднорідністю тиску, тобто тиск є однаковим на концентричних сферах, що оточують центр симетрії, але змінюються радіально від сфери до сфери. Іншими словами, в цих моделях виступає градієнт тиску, який може спричиняти ефект притягання (або відштовхування) між частинками у Всесвіті. В моделях Стефані крім особливостей густини (Великий Вибух) можуть виступати особливості іншого типу, які називаються особливостями тиску.
Мотивація до розгляду таких узагальнених моделей Всесвіту має сенс при умові несуперечливості із даними спостережень. В підрозділі 1.3 запропоновано дві сферично-симетричні моделі Стефані, досліджено їх глобальні властивості (за допомогою діаграм Пенроуза), а потім розглянуто узагальнений закон Хаббла (співвідношення між зсувом до червоної границі спектру спостережуваних галактик з прозорістю спостереження цих галактик). Розрахунок закону Хаббла дозволив зробити спробу порівняння передбачень моделі з неоднорідним тиском і надзвичайно важливих спостережень зірок типу Іа. Якщо застосувати спостережувальні дані до моделі Фрідмана, то отримуємо результат, що еволюція Всесвіту повинна бути прискореною. Відповідно до рівнянь Ейнштейна це можливе для форм матерії з від'ємним тиском, про яку згадано в підрозділі 1.2 (космологічна стала, космічні струни або доменні стінки).
В підрозділі 1.3 виявилось, що спостережувальні дані про супернові не суперечать неоднорідним моделям з від'ємним тиском, і, що цікавіше, можуть дати вік Всесвіту на 3-5 гігароків довший, ніж відповідні моделі Фрідмана з екзотичними формами матерії. Це важливо, оскільки останні вимірювання віку сферичних утворень показали, що вони дуже близькі до віку Всесвіту. Неоднорідні моделі Стефані дають також альтернативне пояснення прискореній експансії Всесвіту - у центрі симетрії Всесвіту (або локальної неоднорідності) існує тиск, вищий ніж поза центром симетрії, і тому усі частинки відштовхуються з центра назовні. Цей тиск залежить від точки простору і часу, в той час як в моделях Фрідмана тиск залежить тільки від часу. Треба підкреслити, що в кожному з випадків мотивацію від'ємного, або залежного від точки простору тиску, треба шукати в теорії елементарних частинок (вакуум), а тому також, відповідно, в теорії суперструн.
Другий розділ дисертації містить опис еволюції тестових струн у викривлених часопросторах. Класично еволюція струн в часопросторі Мінковського відображається через дію Намбу-Гото, або рівноважну дію Полякова
, (1)
де Т = 1/2, x0 = і x1 = - просторово- і часо-подібні координати струни, - 2-вимірна метрика світової поверхні (а,b = 0,1), ( 0,1,... D - 1) - координати світової поверхні струни, що поширюється в 0-вимірному просторі Мінковського з метрикою . Спінори на світовій поверхні позначаються а - 2 х 2 матриці Дірака з алгеброю . Основна різниця поміж еволюцією точкової частинки і еволюцією струни полягає в тому, що струна замість світової лінії утворює в часопросторі світову поверхню. Рівняння руху являють собою складну систему спряжених нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку, яка є інтегрованою лише у спеціальних випадках.
Знаходження багатьох явних розв'язків для еволюції струн в цьому розділі є можливим, зокрема, для випадку нульових струн (такі об'єкти вперше розглядали ще в 1977 році Шільдом). На основі результатів, отриманих для нульових струн, зроблено певні якісні висновки для струн масивних (по-іншому, з напруженням - часом вживають назви ненапружений й напружений). Нульові струни так співвідносяться із струнами масивними, як безмасові частинки з частинками масивними, при цьому роль маси тут відіграє напруження струни Г, котре є обернено пропорційне до параметра Редже ' (докладно T = 1/('), , где , - фундаментальна довжина струни). Ця аналогія не є, однак, повною, оскільки точкова частинка (як безмасова, так і масивна) взаємодіє лише з гравітаційним полем і перехід до границі нуля маси є в цьому сенсі гладким. У випадку ж струни маємо справу як із взаємодією струни і гравітаційного поля, так і з самовзаємодією масивної струни. Самовзаємодія зникає для нульової струни, і, отже, граничний перехід до нульового напруження не є таким гладким. Проте, навіть нульові струни проявляють нетривіальні динамічні властивості, оскільки, як об'єкти протяжні, в гравітаційному полі підлягають дії припливних сил. Виникає тут повна аналогія з пучками світлових променів в теорії Ейнштейна, на які, згідно з рівнянням Рейчавдурі, діють припливні сили. Звичайно знаходження явної еволюції для нульової струни не є складним завданням, оскільки рівняння руху для неї таке ж, як і рівняння нульової геодезичної в теорії Ейнштейна. Але тут мають місце додаткові в'язі, яких немає в теорії Ейнштейна, а це є причиною можливої нетривіальної динаміки нульових струн.
В підрозділі 2.2 знайдено форму явної еволюції пробної струни (як масивної, так і нульової) в часопросторах Кантовського-Закса, Б'янчі І і вісесиметричному Б'янчі IX. Для цих розв'язків зроблено припущення (анзатц) про кільцеву форму струни. Існує три типи розв'язків. В найпростішому випадку струна просто збільшується і зменшується разом з експансією і колапсом Всесвіту. В другому розв'язку струна виконує скінчену або нескінчену кількість осциляцій під час еволюції Всесвіту, а в третьому - скорочення струни є строго рівноважна експансія Всесвіту у випадку, коли фізичний розмір струни є постійним.
Іншою цікавою проблемою, яка обговорюється в Розділі 2, є твердження, що в часопросторі типу Б'янчі І припущення про еліптичну форму струни веде до неузгоджених рівнянь руху. На перший погляд така форма (анзатц) струни повинна ідеально підходити до часопростору, в якому експансія є анізотропною. Нами видається, що існуюча ситуація є наслідком самовзаємодії струни (для струн масивних) і припливних сил (для нульових струн), котрі таку конфігурацію роблять неможливою.
Найцікавішим результатом Розділу 2 в знаходження явного розв'язку, який описує нульову струну, що рухається від полюса до полюса на фотонній сфері часопростору Шварцшильда з координатами
, (5)
котрі означають, що струна може рухатись вертикально від південного полюса до північного і в такий спосіб навиватися на фотонну сферу (г = ЗМ). Тут маємо справу із якісно цілком новим ефектом. Точкова частинка в часопросторі Шварцшильда завжди рухається в площині, яка проходить через початок координат. Для нульової струни це не має місця - як ціле вона не рухається в жодній площині, що проходить через початок координат, в той же час кожна її точка зокрема, рухається власне так. Це можна зрозуміти, якщо прийняти до уваги, що нульова струна певної форми (а тут взято форму кільця) не має напруження і може трактуватись як рухома система безмасових точкових частинок. Показано, що цей ефект залежить від того, чи автоматично задовольняються певні в'язі. Як уже згадувалось у зв'язку із зникненням само-взаємодії для нульової струни, границя нульового, напруження для струни є якісно іншою, ніж для точкової частинки, яка взаємодіє лише з гравітаційним полем.
Крім того, в Розділі 2 обговорена можливість отримання явних розв'язків для напружених струн. Наприклад, доведено, що для напруженої струни не може існувати розв'язок, для якого радіальна координата є сталою. Фізичну причину цього факту слід вбачати в самовзаємодії струни.
В останній частині Розділу 2 для знаходження зв'язку між описом нульової струни і струни масивної, яка рухається на фотонній сфері, - явного розв'язку знайденого раніше в підрозділі 1.2, застосовано пертурбаційну схему Рощупкіна і Желтухіна. Виявилось, що пертурбаційна схема є досконалою, якщо в якості малого параметра прийняти , де М є масою Шварцшильда. Отримане рівняння з точністю до першого порядку за параметром є можна розв'язати за допомогою функцій Бесселя. У випадку незалежної від часу першої поправки для радіальної координати г, в інших координатах з'являються осциляції, викликані ненульовим напруженням струни. Знаходяться вони на поверхні фотонної сфери і не спричиняють її деформації. Відповідно, радіальна поправка описує невелику деформацію фотонної сфери, викликану ненульовим напруженням струни. Успішне застосування пертурбаційної схеми до часопростору Шварцшильда дає підстави сподіватися на її можливе використання при розгляді інших більш складних часопросторів.
Предметом третього розділу дисертації є обговорення різноманітних космологічних моделей, отриманих на базі спільного сектора частинок для ефективних суперструнових взаємодій. Обмежуючись нульовим порядком в розкладі за , Каллан та інші розрахували функції ренормалізаційної групи і, таким чином, отримали ефективне рівняння для бозонної струни в наближенні дерев. Це ефективне рівняння можна отримати і з ефективної класичної взаємодії, яка в найнижчому порядку за і без аксіона є нічим іншим, як відомою в теорії Бранса-Діка взаємодією з параметром . Як відомо з теорії Бранса-Діка (по-іншому її називають скалярно-тензорною теорією), взаємодію можна записати в двох конформне зв'язаних системах відліку, т.зв. системі Йордана і системі Ейнштейна. В теорії струн ці системи відповідають т.зв. системі' струн і системі Ейнштейна. В контексті теорії струн система струн вважається фундаментальною в тому розумінні, що тільки її потрібно використовувати при розгляді частинок з енергіями, близькими до шкали Планка. У віддалених більших від довжини Планка обидві системи можна вважати рівноправними. В теорії Бранса-Діка гравітаційна стала G є обернено-пропорційною до поля Бранса-Діка. В ефективній теорії струн ситуація є подібною, при тому що поле Бранса-Діка замінюємо на поле дилатона , і, що важливіше, виконує роль константи взаємодії. При великих значеннях поля дилатона взаємодія є сильною, і це визначає границю застосовності ефективної теорії. В свою чергу, для малих значень поля дилатона взаємодія є слабкою і ефективна теорія може бути застосованою.
Явні ізотропні космологічні розв'язки типу Фрідмана, що ґрунтуються на бозонних ефективних взаємодіях в системі струн, були на початку 90-х років представлені Гасперіні і Венеціано. Зв'язаний з ними сценарій розвитку Всесвіту відомий під назвою космології перед-Великим-Вибухом (prе-Віg-Bang cosmology). Назва походить від того, що такі розв'язки означені не тільки для додатних значень часу (при умовному нулеві даного моменту часу (t= 0), але й для часів від'ємних, які в стандартній космології не мають фізичного змісту. Для аналізу загальних властивостей моделі досить обмежитись моделлю з рівною нулеві просторовою кривизною. Еволюції в часі підлягає як масштабний множник, так і дилатон. При ' цьому з'являються чотири можливості, які звичайно називають гілками еволюції. Кожна гілка еволюції масштабного множника має відповідну гілку еволюції дилатона, що дає разом вісім зв'язаних гілок. Розглядаючи це в термінах масштабного множника, можна сказати, що існують дві гілки для від'ємних часів і дві гілки для часів додатних, і кожна з них описує або розширення (експансію), або стискання (зменшення) Всесвіту (рис. 1).
, , (6)
де а(t) - масштабний множник. В момент часу t= 0 маємо справу з особливістю кривизни (скаляр Річчі є розбіжним) і особливістю сильної взаємодії () . Цю точку можна означити так само як і в стандартній космології - Великий Вибух. В моделях з додатною кривизною простору, крім того що масштабний множник прямує до безмежності для часів нескінчених , з'являється друга особливість кривизни і відповідав вона Великому Колапсу в стандартній теорії. Запропонована Гасперіні і Венеціано ідеологія космології перед-Великим-Вибухом полагає в тому, що початкова фаза є фазою з тривіальним вакуумом Мінковського (слабка взаємодія, мала кривизна). Ця ідеологія надає перевагу моделям плоским, або просторово відкритим.
Рис. 1: Схематичне зображення космології перед-Великим-Вибухом. Існує чотири можливі типи еволюції масштабного множника а(t), які називаємо гілками. Еволюція дилатона якісно така ж. Гілки 1-3 і 2-4 пов'язані між собою симетрією дуальності. Гілка 1 є суперінфляційною, в той час як гілка 4 в деінфляційною і описує звичайну променисту еволюцію Всесвіту. Всесвіт розпочинається асимптотично тривіальним станом вакууму Мінковського (), кривизна в якому є малою, а взаємодія слабкою, з тим, щоб після того перейти через суперінфляційну фазу, викликану кінетичною енергією дилатона, досягаючи особливості кривизни і сильної взаємодії в момент часу (t= 0). Регуляризація за допомогою вищих струнових поправок повинна дозволити "вийти" з фази суперінфляції і перейти до фази променистої еволюції.
Реалізацією симетрії дуальності (точніше, Г-дуальності) в космології перед-Великим-Вибухом є т.зв. дуальність масштабного множника, звана також O(d,d) симетрією, яка вперше розглядалася Мейснером і Венеціано. Вона дає інваріантність ефективних рівнянь при заміні масштабного множника на зворотний до нього, тобто , разом з відповідною заміною дилатона (зв'язок поміж гілками 1-3 і 2-4 на рис. 1). Ця симетрія, разом з симетрією відбиття в часі, дає зв'язок між гілкою експансії 1 в моменти часу t<0 і гілкою експансії 4 в моменти часу t>0. Детальний аналіз похідних масштабного множника показує, що гілка 1 є інфляційного типу (тобто ), її називають суперінфляцією, в той час як гілка 4 є зростаючою і може описувати стандартну променисту еволюцію Всесвіту. Ці гілки розділяються особливістю сильної взаємодії і Кривизни; вони складають головну базу запропонованого сценарію розвитку Всесвіту. Вважається, що ця особливість може бути регуляризована, наприклад, вищими струновими поправками (в і струнових петлях). Однак, перехід від гілки 1 до гілки 4 завжди треба розглядати як проблему "елегантного виходу" з суперінфляційної фази. Істотним аспектом суперінфляції є факт, що, на відміну від стандартної інфляції, викликаної виключно потенціальною енергією скалярного поля - інфлятона, в сценарії перед-Великим-Вибухом суперінфляція викликається лише кінетичною енергією дилатона, оскільки в лагранжіані маємо лише кінетичний член. Це звільняє розглянутий нами сценарій від проблеми з вибором потенціалу.
Слід підкреслити, що існування 4 типів еволюції Всесвіту, а також суперінфляції, має місце лише в системі струн. В системі Ейнштейна суперінфляція відповідає простому зменшенню Всесвіту, з особливістю тут не відбувається нічого. Звідси виникає питання, чи в системі струн мають місце якісь додаткові ефекти, яких немає в системі Ейнштейна. Цих питань торкаємось в Розділі 3 дисертації.
В підрозділі 3.2 на основі геометрії Кантовського-Закса досліджено ефективні рівняння бозонної теорії. Знайдено декілька явних розв'язків еволюції конденсату струн як без аксіона, так і з аксіоном, підтверджуючи при цьому, що часопростір Каптовського-Закса є добрим струновим вакуумом. Звичайно, нема жодних проблем з узгодженням дилатона із симетричними геометріями (ізотропними або анізотропними), оскільки це ефективне поле в тензорі енергія-імпульс може трактуватись як густа матерія. Проте виявилось, що включення аксіона до рівнянь поля створює проблеми в анізотропних часопросторах. Це поле узагальнює електромагнітне поле на триіндексні об'єкти (3-форма ), а чотирипотенціал - на двоіндексний об'єкт (2-форма , так що ). Тут існують дві можливості. Якщо антисиметричний потенціал не є функцією часу, то тоді напруженість поля аксіона повинна бути функцією часу , і аксіон може бути легко введений до рівнянь. Такий вибір називається солітонним анзатцем. Застосування солітонного анзатцу дозволяє без труднощів ввести аксіон до геометрії Кантовського-Закса, і, в аналогії до дилатона, трактувати його ефективно, як густу матерію. Проте виглядає, що як і в електромагнітному полі, тут головну роль повинен відігравати потенціал , який для однорідних геометрій треба вибирати як функцію часу. Тобто напруженість поля повинна бути функцією просторових координат. Такий вибір називаємо елементарним анзатцем.
В підрозділі 3.2 доведено, що в припущенні елементарного анзатцу, при прямуванні часу до безмежності аксіон робить неможливою ізотропізацію анізотропної моделі Кантовського-Закса, оскільки існує одна з його складових () і яка є виділеною. З усією очевидністю це суперечило б спостереженням мікрохвильового випромінювання фону. Виглядає, що не можна просто нехтувати полем аксіона, оскільки, якщо довіряємо теорії струн, не можна знехтувати однією з головних частинок безмасового спектру цієї теорії, котра має типово "струнову" природу і не виступає в жодній з інших теорій. В цьому ж підрозділі подано також багато явних космологічних розв'язків для випадків як без поля аксіона, так і з полем аксіона для обох анзатців: солітонного і елементарного. Заслуговує на увагу обговорення цих розв'язків в контексті симетрії дуальності. Ця симетрія приймає тут менш тривіальний вигляд, ніж для ізотропних моделей, змішуючи між собою масштабні множники, поля дилатона і аксіона.
В підрозділі 3.3 йдеться про те, що елементарний анзатц взагалі не може бути застосований до однорідного часопростору типу Б'янчі IX (ВІХ) навіть у вісесиметричному випадку. Цей висновок є правильним, оскільки він дає можливість, в припущенні солітонного анзатцу, ізотропізувати модель. Головна увага в підрозділі 3.3 присвячена дослідженню космологічних моделей Б'янчі IX, що конструюються на базі ефективних бозонних взаємодій в околі особливості. Як відомо, в теорії Ейнштейна вакуумні (точніше, з матерією іншою, ніж густа рідина, тобто , де р - тиск, а - густина енергії) моделі ВІХ при наближенні до особливості ведуть себе хаотично. У випадку моделі з густою рідиною р = хаос зникає. В теорії струн взаємодія може бути записана в системі Ейнштейна, або в системі струн. Показано, що в системі Ейнштейна моделі ВІХ з дилатонним полем поводять себе як моделі з густою рідиною і, отже, не проявляють хаосу. Але, з огляду на зміни масштабу і появу симетрії дуальності, постало питання, чи будуть ці моделі хаотичними в системі струн. Для відповіді на це питання застосовано гамільтонові методи, в яких еволюція Всесвіту зводиться до еволюції частинки в потенціальній ямі з похило наростаючими стінками. В теорії Ейнштейна частинка, що знаходиться у вакуумі, може нескінчену кількість разів відбиватись від стінок, при цьому за кожним разом наростав невизначеність початкових умов, що є проявом хаосу. У випадку моделі з густою рідиною кількість зіткнень із стінками потенціалу є обмеженою, і хаос не виникає. Автором показано, що подібний ефект має місце і в системі струн, і, отже, наближення до особливості в системі струн також є хаотичним. Видається, що проявом цього ефекту в системі струн є поява симетрії дуальності. Розуміємо це так: хаос в системі Ейнштейна не наступає, оскільки в цій системі маємо справу з густою рідиною - відбиттям цього факту в системі струн є те, що тут з'являється симетрія дуальності, і вона запобігає хаотичній поведінці.
Крім того, в підрозділі 3.3 отримано деякі інші цікаві результати. Вперше обговорено різні пов'язані з собою значення каснерівських індексів в контексті симетрії дуальності. Виявилось, що існують переходи "від епохи Каснера до епохи Каснсра", які є аналогічними до переходів в теорії Ейнштейна, але крім них існують переходи, в яких каснерівські індексі пов'язані симетрією дуальності. Знайдено дуальні (і самодуальні) значення каснерівських індексів, здійснено параметризацію цих індексів аналогічно до параметризації відомої з попередніх робіт Бєлінського і Халатнікова. Розраховано і подано графічно значення каснерівських індексів, які забороняють розпочати перехід "від епохи Каснсра до епохи Каснера" (така ситуація має місце і у вакуумних 5-вимірних моделях в теорії Ейнштейна).
Остання частина Розділу 3 стосується також струнних космологій, причому це є в певному сенсі продовженням розгляду, що стосується однорідного часопростору, але зараз вивчається однорідна як в часі так і в просторі модель - космологічна модель типу Гьодля. З огляду на просту алгебраїчну форму тензора Рімана для моделі Гьодля, достатньо легко знайдено розв'язки ефективних рівнянь до першого порядку за параметром п'. Найважливішим результатом підрозділу 3.4 є знаходження таких розв'язків типу Гьодля в теорії струн, для яких не з'являються замкнуті часові петлі (ЗЧП). Цей результат є цікавим, оскільки відомо, що поява замкнутих часових петель і, крім того, порушення принципу причинності, є однією з найбільших проблем в теорії Ейнштейна. Фізично такий стан справи можна пояснити тим, що в теорії Ейнштейна ЗЧП з'являються (за описом у відповідних координатах), коли радіальна координата перевищує певну визначену скінчену величину ( - кутова швидкість обертання), в той час як в моделях, що розглядаються автором, формально ЗЧП є допустимими для величини цієї координати, прямуючої до безмежності.
Оскільки в часопросторі Гьодля існує виділений напрямок, пов'язаний з глобальним обертанням Всесвіту, то, так само як в часопросторах Кантовського-Закса і Б'янчі IX, виявляється, з огляду на антисиметричність , що єдиним способом включення аксіона як струнового субстрату є застосування елементарного анзатцу. З іншого боку, для отримання моделі без ЗЧП в системі Ейнштейна взагалі не є можливим включити аксіон як субстрат (суперечність з рівнянням руху дилатона). Це єдиний відомий на цей час випадок, коли елементарний анзатц є фізично виділеним.
Крім факту відсутності ЗЧП в розглянутих моделях, отримано інші цікаві висновки, що виникають із зв'язків поміж певними параметрами моделі. В бозонній теорії, без врахування членів першого порядку за , для отримання моделі Гьодля з ненульовою ротацією не можна нехтувати аксіоном (в системі струн). Це перший випадок, котрий вказує, що аксіон, як справді "струнову" частинку, потрібно завжди враховувати в спектрі безмасових частинок. Хоча з точки зору фрідмановських моделей, наприклад, це не видається необхідним. При врахуванні членів першого порядку за з'являється також цікавий зв'язок між швидкістю обертання Всесвіту в моделі Гьодля і параметром . В певному сенсі він пов'язує макрофізику (глобальна ротація) і мікрофізику (фундаментальна довжина струни є пов'язаною з ). Цей зв'язок можна узагальнити так, щоб він містив параметр, який характеризує густину енергії аксіона). Наприкінці варто підкреслити, що отримані для моделі Гьодля розв'язки є першими явними космологічними розв'язками ефективних рівнянь з точністю до членів першого порядку за .
Представлені в підрозділі 3.4 розв'язки недавно були узагальнені на випадок, коли у взаємодії враховується в першому порядку за і електромагнітне поле. Однак такі моделі не дають можливості уникнути ЗЧП.
Четвертий розділ дисертації присвячений проблемі "елегантного виходу" з фази суперінфляції до фази домінуючого випромінювання (перехід з гілки 1 до гілки 4 на Рис.1).
В загальному вважається, що регуляризація особливості в момент часу t= 0 може наступити внаслідок врахування в ефективній взаємодії членів вищого порядку (як в параметрі , так і в струнових петлях). Деякі явні приклади такого переходу вже відомі.
Інший підхід полягає в застосуванні понятійного апарату квантової космології. Такий підхід до проблеми "елегантного виходу" запропонований в 1996 р., але в Розділі 4 звертається увага на певні недоліки оригінального формулювання.
Передусім, в згаданих працях знайдено розв'язок рівняння Віллера-де Вітта (ВдВ) при накладанні граничних умов в області сильної взаємодії , і цей розв'язок інтерпретується як такий, що описує розсіювання в мінісуперпросторі (з двома степенями вільності: логарифм масштабного множника і зсунутий дилатон). Крім того, виходячи з аналогії до класичних міркувань, відповідним розв'язкам рівняння ВдВ приписано зміст квантових гілок "перед-Великим-Вибухом" і "після-Великого-Вибуху". Таке розділення не має, проте, ніякого сенсу, оскільки в квантовій космології не існує зовнішнього часового параметра і отриманим розв'язкам можна надати зміст відносних "внутрішніх" змінних, таких як, наприклад, масштабний множник.
На противагу цьому, у Розділі 4 час виключено вже на класичному рівні при утворенні відповідного конфігураційного простору (логарифм масштабного множника і зсунутий дилатон), в якому виділено відповідні гілки "перед" і "після". Підкреслено, що називати гілки "перед" і "після" немає змісту, єдиний зміст має відмінність між малим масштабним множником (точніше його логарифмом ) і великим масштабним множником. Далі, сконструйовано відповідні хвильові пакети і показано, що вони рухаються вздовж класичних траєкторій, які визначаються відповідними гілками у конфігураційному просторі.
Найважливішим результатом Розділу 4 є, однак, завдання граничних умов в області слабкої взаємодії, тобто там, де цілком можна довіряти ефективній взаємодії і класичній теорії, в той час як в інших роботах це робиться в області сильної взаємодії.
П'ятий розділ присвячений космологічним моделям, що конструюються на базі теорії Ходжави-Віттена. Вихідним пунктом розгляду є 11-вимірна супергравітація.
Показано, що компактифікація супергравітації з N = 1, D == 11 на крузі S1 приводить до теорії супергравітації типу ПА, яку можна інтерпретувати як границю сильного зв'язку суперструни типу ПА (з N = 2 суперсиметріями) на мові 11-вимірної теорії. Ця відповідність привела Ходжаву і Віттена до ідеї про можливість компактифікаціЇ 11-вимірної супергравітації на S1/Z2 орбіфолді (який є одиничним інтервалом I) з тим, щоб отримати гетеротичну теорію з суперсиметрії N = 1. Тобто, вони показали, що 10-вимірна теорія виникав з 11-вимірної теорії, скомпактифікованої на орбіфолді в такий же спосіб, як теорія типу ПА виникає з 11-вимірної теорії, скомпактифікованої на. Це пов'язує границю сильної взаємодії гетеротичної теорії з 11-вимірною супергравітацією, яка компактифікована на орбіфолді. Крім того, їхня ідея полягає в тому, що гравітація діє в усіх 11 вимірах, тоді як калібрувальні поля з групою обмежені тільки 10-вимірними площинами, що фіксуються орбіфолдом.
Рис. 2: Модель Ходжави-Віттена, компактифікована на многовиді Калябі-Яу. Гравітація діє в усіх 5 вимірах.
І (каснерівський режим) і IX (Велике Змішування). Отримані каснерівські розв'язки такі, що для індексів Каснера виконуються алгебраїчні співвідношення:
(15)
і
(16)
Це, зокрема, доводить, що ізотропний випадок Фрідмана, отриманий Лукасом та іншими, міститься в каснерівських асимптотиках (15)-(16)
(17)
(18)
А це означає, що при наближенні до сингулярності хаотичні осциляції (каснер-каснерівські переходи) можуть починатися в будь-якому районі, за виключенням вузької області, що оточує ізотропні точки и . Проте, такі хаотичні коливання продовжувались би невизначено довго, якби вказаної області не було взагалі (як у випадку, наприклад, вакууму загальної теорії відносності). Тут же, як тільки параметри Каснера попадають в район, що оточує ізотропні розв'язки Фрідмана або , дані Лукасом та іншими, хаотичні осциляції припиняються. В таких космологіях Ходжави-Віттена хаос не з'являється.
В розділі Висновки підведено підсумок дослідженням та перелічено найбільш важливі результати, які отримані в дисертації. Головні висновки роботи можна сформулювати у вигляді таких тверджень:
1. Розглянуто загальний розв'язок рівняння Фрідмана з багатьма формами матерії в формі еліптичних функцій. Знайдено широкий клас несингулярних розв'язків рівняння Ейнштейна, які допускають осциляції коефіцієнта розширення між двома фіксованими значеннями. Це можливо для моделей з від'ємною космологічною постійною та з доменними стінками. Доведено можливість тунельного переходу (макроскопічного) в точку максимального розширення в цих моделях (Розділ 1).
2. Проаналізовано і доведено неможливість розв'язання проблеми горизонту в космології Фрідмана з космологічним членом (навіть у сценарії вторинного розсіювання фотонів). Анізотропія мікрохвильового фонового випромінювання в моделях Фрідмана з додатнім космологічним членом значно збільшується (в кільки разів для моделей космічних струн або доменних стінок) (Розділ 1).
3. Розглянуто загальний клас сферично-симетричних космологічних моделей з неоднорідним тиском і доведено, що їх використання не суперечить спостережувальним даним супернових типу Іа. Ці моделі дають альтернативне фізичне пояснення космологічного прискорення, а також дозволяють значно розширити час життя Всесвіту (Розділ 1).
4. Знайдено декілька явних розв'язків для еволюції нульових струн в часопросторі Шварцшильда. Зокрема, на фотонній сфері в часопросторі Шварцшильда знайдено явний розв'язок для циклічної еволюції нульової струни від північного полюса до південного і зворотньо (Розділ 2).
5. Якісно проаналізовано можливі типи еволюції масивних струн, що мають форму кільця в часопросторі Шварцшильда, з летальним врахуванням ролі самовзаємодії струни, яка перешкоджає неперервному граничному переходу від масивних струн до нульових. Доведено неможливість існування масивних струн у формі кільця з постійним радіусом (Розділ 2).
6. Для розгляду еволюції масивної струни поблизу фотонної сфери в часопросторі Шварцшильда застосовано пертурбаційну схему Рощупкіна-Желтухіна, в якій нульовим наближенням масивної струни є безмасова частинка, що еволюціонує на фотонній сфері (Розділ 2).
7. Знайдено ряд явних розв'язків для еволюції нульових і масивних струн, що мають форму кільця, в анізотропних космологічних часопросторах. Доведено, що можливими є три основні типи еволюції струни: а) струна розширюється або скорочується відповідно до експансії чи зменшення Всесвіту; б) струна здійснює скінчену або нескінчену кількість осциляцій під час еволюції Всесвіту; в) скорочення струни зрівноважується експансією Всесвіту, і фізичний розмір струни залишається незмінним. Доведено, що т.зв. еліптичний анзатц для струни (струна в формі еліпса, а не кола) в часопросторі Б'янчі І не є можливим (Розділ 2).
8. Розглянуто космологічні моделі (типу Кантовського-Закса, Б'янчі IX і Гьодля), відомі під назвою космології Перед-Великим-Вибухом, які отримані на базі спільного сектора бозонних частинок (гравітон, дилатон, аксіон) для ефективних суперструнних дій. Вивчено моделі з залежним і незалежним від часу антисиметричним потенціалом . Показано, що в найнижчому (нульовому) порядку за параметром а', т.зв. елементарний анзатц для аксіона (антисиметричний потенціал , є функцією часу) не дає можливості ізотропізувати моделі типу Кантовського-Закса. Обговорено явні розв'язки теорії для випадків залежного і незалежного від часу потенціалу . Доведено, що елементарний анзатц взагалі не може бути застосований до космологічних моделей типу Б'янчі IX (навіть у вісесиметричному випадку) (Розділ 3).
9. Детально досліджено поведінку суперструнових космологічних моделей типу Б'янчі IХ (Великого Змішування) в околі особливості кривизни. Доведено, що і в системі Ейнштейна, і в системі струн ці моделі не допускають хаотичного режиму при наближенні до особливості. Знайдено зв'язок каснерівських осциляцій з симетрією дуальності, яка виступає в суперструнних теоріях, знайдено параметризацію індексів Каснера і їх допустимі значення під час квазіперіодичних осциляцій. Обговорено можливості прояву хаосу в суперструнних теоріях (Розділ 3).
10. Знайдено явні розв'язки рівнянь типу Гьодля теорії ефективних струн в нульовому і першому порядку за параметром а' (бозонних, гетеротичних і суперструн), які не містять замкнутих часових петель. Доведено необхідність використання елементарного анзатцу для отримання таких моделей. Знайдено цікавий зв'язок між параметром а' і кутовою швидкістю обертання Всесвіту в цих теоріях (Розділ 3).
11. Обговорено проблему "елегантного виходу" з фази суперінфляції за сценарієм космології Перед-Великим-Вибухом і застосовано квантово-космологічний підхід до цього питання. Записано і в найпростіших випадках розв'язано рівняння Віллера-де Вітта для струнових мінісуперпросторів з ізотропними (ненульова просторова кривизна і аксіон) та анізотропними (Б'янчі І, IX і Кантовського-Закса) геометріями (Розділ 4).
12. В області слабкої взаємодї ефективної бозонної теорії задано граничні умови і обговорено проблему декогерентності і відсутності класичного часу в квантовій космології струн (Розділ 4).
13. В теорії Ходжави-Віттена сконструйовано 5-вимірні космологічні моделі (після компактифікації шести вимірів на многовиди Калябі-Яу) з п'ятим виміром у формі орбтфолду, одним часовим виміром і трьома просторовими вимірами з геометрією типу Б'янчі IX (Великого Змішування) (Розділ 5).
14. Обговорено поведінку космологічних моделей типу Великого Змішування в околі особливості для теорії Ходжави-Віттена. Знайдено асимптотичні розв'язки типу Каснера в цій теорії. Доведено скінченність часу тривання хаотичного режиму (Розділ 5).
Основні результати дисертації опубліковані в таких роботах:
[1] J. D. Barrow & M. P. D№browski, Kantowski-Sachs String Cosmologies, Physical Review D55, (1997), 630-638.
[2] M. P. D№browski & A. R. Larsen, Null Strings in Schwarzschild Spacetime, Physical Review D55, (1997), 6409-6414.
[3] M. P. D№browski & C. Kiefer, Boundary Conditions in Quantum String Cosmology, Physics Letters B397, (1997), 185-192.
[4] M. P. D№browski & A. R. Larsen, Strings in Homogeneous Background Spacetimes, Physical Review D57, (1998), 5108-5117.
[5] J. D. Barrow & M. P. D№browski, Is There Chaos in Low-Energy String Cosmology? Physical Review D57, (1998), 7204-7222.
[6] J. D. Barrow & M. P. D№browski, Godel Universes in String Theory, Physical Review D58, (1998), 103502 (5 страниц)
[7] J. D. Barrow & M. P. D№browski, String Cosmology and Chaos, in "Current Topics in Mathematical Cosmology", eds. M. Rainer & H-J. Schmidt (World Scientific, Singapore, 1998), 53-62.
[8] M. P. D№browski, Problems with Chaos in String Cosmology, Proceedings of the 2nd ICRA Workshop "The Chaotic Universe", eds. V. Gurzadyan & R. Ruffini, (World
Scientific, Singapore, 2000), 331-349.
[9] M. P. D№browski, Kasner Asymptotics of Mixmaster Horava-Witten Cosmology, Physics Letters B397,(2000), 52-57.
[10] M.P. D№browski, Quantum String Cosmologies, Annalen der Physik (Leipzig), 10 (2001), 195-217.
[11] J. Stelmach, R. Byrka & M. P. D№browski, Large- and Small-Angle Anisotropies of Microwave Background in Cosmological Models with Non-Zero Л-Term, Physical
Review D41, (1990), 2434-2443.
[12] J. Stelmach, M. P. D№browski & R. Byrka, Effect of Exotic Matter on Small-Angle Anisotropies of the Microwave Background, Nuclear Physics B406, (1993), 471-482.
[13] M. P. D№browski, Isometric Embedding of the Spherically Symmetric Stephani Universe. Some Explicit Examples, Journal of Mathematical Physics 34, (1993), 1447-1479.
[14] M. P. D№browski, A Redshift-Magnitude Relation for Non-Uniform Pressure Universes Astrophysical Journal, 447,(1995), 43-52.
[15] M. P. D№browski & A. R. Larsen, Quantum Tunneling Effect in Oscillating Friedman Cosmology, Physical Review D52, (1995), 3424-3431.
[16] J. D. Barrow & M. P. D№browski, Oscillating Universes, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 275, (1995), 850-862.
[17] M. P. D№browski, Note on Kantowski-Sachs Universes, Journal of Mathematical Physics 36, (1995), 2985-2987.
[18] M. P. D№browski, Oscillating Friedman Cosmology, Annals of Physics 248, (1996), 199-219.
[19] M. P. D№browski, Time-Symmetrization and Isotropization of an Anisotropic Cosmological Model without Inflation, Astrophysics and Space Science 240, (1996), 123-131.
[20] M. P. D№browski & M. A. Hendry, The Hubble Diagram of Type Ia Supernovae in Non-Uniform Pressure Universes, Astrophysical Journal 498, (1998), 67-76.
[21] M. P. D№browski & F. E. Schunck, Boson Stars as Gravitational Lenses Astrophysical Journal 535, (2000), 316-324.
[22] M.P. D№browski, Chaotic Systems in Relativity and Cosmology, in Chaos in Dynamical Systems, ed. M.P. D№browski (Institute of Physics Publishing, University of Szczecin, 2000), 18-27.
[23] M. P. D№browski & A. A. Zheltukhin, Perturbative String Dynamics Near the Photon Sphere, e-print hep-th/9809176 (1998).
[24] M. P. D№browski, Is supernovae data in favour of isotropic cosmologies?, e-print gr-qc/9905083 (1999).
Домбровський М. Струнні космології - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальностю 01.04.02 — теоретична фізика. — Інститут монокристалів НТК “Інститут монокристалів” НАН України, Харків, 2001.
Дисертація присвячена застосуванню суперструнної і М- теорій у космології. Розглянуто такі проблеми: рух струн у різноманітних викривлених фонових просторах, суперструнні космології, що базуются на спільному секторі частинок для ефективних суперструнних дій (гравітон, дилатон, аксіон), космології Ходжави-Віттсна і проблема "елегантного виходу" для суперструнних космологій.
Показано, що суперструнна космологія має деякі унікальні риси, які відсутні в звичайних космологіях загальної теорії відносності. Базисний фізичний сценарій, відомий як космологія перед-Великим-Вибухом - ця назва походить від різних граничних умов для розвитку Всесвіту. Хоч суперструнна космологія включає в себе космологію Бранса-Діка (і, отже, загальну відносність) як окремий випадок із тим, що скалярне поле дилатона відіграє ту ж роль, що й поле Бранса-Діка, існування певних (типово "струнних") частинок робить ці космології відмінними від космології загальної теорії відносності. Це, зокрема, відноситься до аксіона, який є одним з наслідків суперструнних теорій і може запобігти ізотропізації однорідних всесвітів. Показано також, що в суперструнних космологіях існує можливість уникнути замкнутих часових петель, які з'являються у загальнорелятивістських моделях Всесвіту Гьодля.
Ключові слова: струни: космічні, фундаментальні; суперструнні ефективні дії; космологія: суперінфляційна, хаотична, квантова; теорія Ходжави-Віттена.
Домбровский М. Струнные космологии — Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика. — Институт монокристаллов НТК “Институт монокристаллов” НАН Украиньї, Харьков, 2001.
Диссертация посвящена применению суперструнной и М- теорий в космологии. Рассмотрены такие проблеми: движение струн в различных искривленных фонових пространствах, струнные космологии, базирующиеся на общем секторе частиц для эффективных суперструнных действий (гравитон, дилатон, аксион), космологии Ходжавы-Уиттена и проблема "грациозного выхода" для суперструнных космологий.
Показано, что суперструнная космология обладает некоторыми уникальными чертами, отсутствующими в обычных космологиях общей теории относительности. Базисный физический сценарий известен как космология Перед-Большим-Взрывом - это происходит от разных граничных условий для развития Вселенной. Хотя суперструнная космология включает в себя космологию Бранса-Дика (и, следовательно, общую теорию относительности) как отдельный случай, при этом скалярное поле дилатона играет ту же роль, что и поле Бранса-Лика, существование определённых (типично "струнных") частиц делает эти космологии отличными от космологии общей теории относительности. Это, в частности, относится к аксиону, который является одним из следствий суперструнных теорий, и может предотвратить изотропизацию однородных вселенных. Показано также, что в суперструнных космологиях существует возможность избежать замкнутых временных петель, которые появляются в общерелятивистских моделях Вселенной Гёделя.
Ключевые слова: струны: космические, фундаментальные; суперструнные эффективные действия; космология: суперинфляционная, хаотическая, квантовая; теория Ходжавы-Уиттена.
D№browski M. String Cosmologies. - Manuscript.
Thesis for a doctor's degree (phys.-math.) by speciality 01.04.02 – theoretical physics. -- Institute for Single Crystals STC “Institute for Single Crystals” NAS of Ukraine, Kharkiv, 2001.
The dissertation is devoted to the implications of the superstring and M-theory in cosmology. The following problems are considered: the motion of strings in various curved backgrounds, superstring cosmologies based on the common article sector of superstring-effective-actions (graviton, dilaton, axion), Horava-Witten cosmologies and the "graceful-exit" problem of superstring cosmologies. First part of the dissertation is devoted to the relativistic cosmology which is based on Einstein's general relativity. A general solution to the Einstein field equations with all possible positive and negative pressure fluids (dust, radiation, domain walls, cosmic strings, cosmological constant) for isotropic Robertson-Walker geometry has been found. A lot of interest is paid onto the existence of the nonsingular Friedman-type cosmological solutions which allow oscillations between the two fixed values of the scale factor. These solutions exist provided there is negative cosmological term and domain walls in the universe.
Quantum tunneling effects for such models have also been considered. General relativistic models of the universe with inhomogeneous pressure matter are also considered and compared with current observational data from supernovae. It appears that these models are not in contradiction with this data and allow the age of the universe to be much larger than the age calculated in corresponding Friedman models.In the consecutive parts it is shown that superstring cosmology has got some unique features which are absent from standard general relativistic cosmology. The underlying physical scenario is known as pre-big-bang cosmology - its name comes from the different boundary conditions for the universe. Although superstring cosmology contains Brans-Dicke cosmology (and so general relativity) as a special case with the dilaton scalar field playing similar role as Brans-Dicke field, its stringy-motivated particle content makes them different from general relativistic cosmology. This, in particular, refers to axion which is unique consequence of superstring theories and may prevent the homogeneous universe from isotropization. Also, it is shown that in superstring cosmologies it is possible to avoid closed timelike curves (CTCs) which appear in general relativistic Godel models of the universe.
A large part of the dissertation is devoted to Mixmaster (or Bianchi type IX) cosmologies in superstring and M-theory (Horava-Witten) and it is proven that in both of these theories chaotic approach to the initial singularity is suppressed. The role of duality symmetries of superstring theories in this process is discussed explicitly.
Various possible transitions from string weak coupling regime (pre-big-bang) via strong coupling regime (singularity in curvature and strong coupling) are briefly discussed. Wheeler-deWitt (quantum cosmological) approach to this problem of "graceful-exit" is developed. The boundary conditions in weak coupling regime instead of strong coupling regime are imposed.
As for the classical motion of strings in curved backgrounds, many exact solutions are explicitly given for both black hole and cosmological backgrounds. In particular, an explicit solution for a string moving on the photon sphere in Schwarzschild spacetime is applied for a perturbative scheme between tensionless (null) and tensile strings.
Key words: strings: cosmic, fundamental; superstring effective actions; cosmology: superinflation, chaotic, quantum; Horava-Witten theory.