Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
44
ім. Я. С. ПІДСТРИГАЧА
С У Х О Р О Л Ь С Ь К И Й
Михайло Антонович
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТА МЕТОДИ
МЕХАНІКИ ТОНКОСТІННИХ ПРУЖНИХ ТІЛ
ПРИ ЛОКАЛЬНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ
.02.04 –механіка деформівного твердого тіла
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Львів –
Дисертацією є рукопис
Робота виконана у Національному університеті “Львівська політехніка”
Науковий консультант: член-кореспондент НАН України, доктор фізико -
математичних наук, професор Бурак Ярослав Йосипович,
Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я.С.Підстригача НАН України, головний науковий
співробітник.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
професор Осадчук Василь Антонович, Національний
університет „Львівська політехніка”, завідувач кафедри;
доктор фізико-математичних наук,
професор Шаблій Олег Миколайович, Тернопільський
державний технічний університет ім. І.Пулюя, ректор,
завідувач кафедри.
професор Сяський Андрій Олексійович, Рівненський
доктор технічних наук,
державний гуманітарний університет, завідувач кафедри.
Провідна установа: Донецький національний університет, кафедра теоретичної
і прикладної механіки.
Захист відбудеться “ 4 “ вересня 2003 р. о 15 год. на засіданні
спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 при Інституті прикладних проблем
механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України за адресою:
, м. Львів - 60, вул. Наукова, 3 “б”.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці ІППММ
ім. Я.С.Підстригача НАН України (м. Львів - 60, вул. Наукова, 3 “б”).
Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 27060, м. Львів - 60, вул. Наукова, 3 “б”, ІППММ НАН України, вченому секретарю спеціалізованої
вченої ради.
Автореферат розісланий “ 24 ” липня 2003 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,
кандидат фізико-математичних наук П.Р.Шевчук
Актуальність теми. У механіці деформівного твердого тіла значне місце займають задачі визначення напружено-деформованого стану пружних тіл при локальних навантаженнях, зокрема, про нагрів джерелами тепла та дію зусиль, зосереджених у точках або розподілених на частині тіла чи частині границі тіла. Сингулярні розв’язки рівнянь теорії пружності (розв’язки задач про дію зусиль, зосереджених у точках) використовуються як безпосередньо в інженерних розрахунках, так і для зображення в інтегральному вигляді розв’язків більш складних крайових задач та формулювання числових методів їх розв’язування.
Визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл - тонкостінних елементів (пластин, оболонок, шарів, покрить) з використанням рівнянь теорії пружності ускладнюється тим, що відповідні крайові задачі є погано обумовленими і, більше того, тонкостінні тіла, як правило, анізотропні, а вихідні рівняння записуються у криволінійних системах координат. Використання рівнянь теорії оболонок для розв’язування задач такого типу, хоч і спрощує побудову їх розв’язків, однак, внаслідок постулювання законів розподілу переміщень і напружень по товщині тіл, встановлює додаткові умови при формулюванні задач (на математичні моделі локальних навантажень та математичні моделі взаємодії тіл з середовищем). Так у межах теорій оболонок типу Тимошенка (коли розподіл переміщень і напружень за товщиною постулюється лінійним законом) локалізація навантажень на бокових поверхняхі локалізація зовнішніх об’ємних силможуть бути враховані лише за координатами серединної поверхні, а математичні моделі локальних навантажень на лицевих поверхнях повинні забезпечувати лінійну залежність від товщинної координати точного розв’язку відповідної задачі теорії пружності. Природно, що ефективні розв’язки задач про локальне навантаження тонкостінних тіл можуть бути побудовані за умови формулювання відповідних крайових задач в межах теорії пружності з наступним їх зведенням до двовимірних задач. Редукція тривимірних задач теорії пружності до двовимірних ґрунтується, як правило, на наближенні шуканих величин послідовностями частинних сум рядів за товщинною координатою або малими параметрами і єпо суті послідовнісним поданням математичних моделей деформування тонкостінних тіл і, відповідно, послідовнісним поданням математичних моделей навантажень та математичних моделей взаємодії тіла з середовищем. Аналіз відомих у літературі розв’язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл вказує на необхідність розвитку методів послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень з використанням слабко збіжних послідовностей функцій та розвитку методів послідовнісного подання двовимірних математичних моделей деформування тонкостінних тіл з використанням послідовностей частинних сум рядів за малими параметрами. Актуальними також є питання розмежування та систематизації математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл стосовно задач про локальну дію об’ємних сил та задач про локальну дію поверхневих (на лицевих поверхнях) навантажень.
При формулюванні задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл локальна дія фізичних полів та середовища моделюється, як правило, розривними (або узагальненими) функціями, і тому ці задачі є некоректно поставленими в сенсі застосування (найчастіше використовуваного у теорії пружності) методу Фур’є, оскільки формально знайдені цим методом розв’язки зображуються розбіжними рядами в класичному розумінні суми. Одним із шляхів вирішення цієї проблеми є побудова узагальнених розв’язків задач такого типу і, зокрема, подання узагальнених розв’язків у вигляді границь слабко збіжних послідовностей функцій. Послідовнісний підхід до побудови узагальнених розв’язків некоректно поставлених крайових задач ще не зайняв належного місця у теорії пружності. Тому актуальним є питання розвитку методів послідовнісного подання узагальнених функцій і узагальнених розв’язків задач теорії пружності, що ґрунтуються на використанні слабко збіжних послідовностей функцій і слабко збіжних послідовностей частинних сум рядів Фур’є. Актуальним є також питання модифікації методу Фур’є стосовно задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл.
Безпосередньо пов’язаними з задачею про дію на оболонку об’ємних сил, локалізованих за координатами серединної поверхні і розподілених за заданим законом за товщинною координатою (що визначається відповідною теорією оболонок), є задачі побудови функцій Гріна крайових задач теорії оболонок і на цій основі формулювання граничних інтегральних рівнянь та розв’язування задач визначення напружено-деформованого стану багатозв’язних оболонок. З задачею про локальне поверхневе навантаження оболонок пов’язано формулювання та розв’язування інтегральних рівнянь контактних задач теорії оболонок. Тому актуальним є питання розвитку методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна стосовно крайових задач та контактних задач теорії оболонок.
Метою роботи є розвиток методів послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень та математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл, а також розвиток методу Фур’є та методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання узагальнених розв’язків стосовно задач про локальну силову дію та тепловий нагрів тонкостінних елементів, контактних задач теорії оболонок і задач про власні та вимушені коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з вирізами, отворами та включеннями.
Досягнення мети передбачає:
- формулювання послідовнісного підходу до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл;
- розвиток методів послідовнісного подання математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл;
- розвиток теоретичних основ послідовнісного подання узагальнених функцій і на цій основі розвиток методів послідовнісного подання локальних навантажень;
- розвиток методу Фур’є стосовно крайових задач теорії оболонок з правими частинами рівнянь, що містять розривні функції;
- розвиток методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна стосовно крайових задач та контактних задач теорії оболонок.
Об’єкт дослідження –локальна силова дія та локальний нагрів тонкостінних елементів, напружено-деформований стан тонкостінних елементів при локальних
навантаженнях, коливання двозв’язних оболонок, оболонок з вирізами та включеннями, а також контактна взаємодія оболонок.
Предмет дослідження - математичні моделі локальних навантажень, математичні моделі деформування тонкостінних елементів, методи побудови математичних моделей та узагальнених розв’язків задач про локальне навантаження тонкостінних елементів, методи розв’язування динамічних задач для багатозв’язних оболонок та контактних задач теорії оболонок.
Наукова новизна. 1. Сформульовано послідовнісний підхід до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл, який включає послідовнісні подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних тіл та математичних моделей взаємодії з середовищем, а також послідовнісне подання узагальнених розв’язків відповідних задач теорії оболонок.
2. З метою побудови спрощених математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл, розвинуто метод, що ґрунтується на наближенні шуканих величин крайових задач теорії оболонок та модифікованої теорії оболонок Тимошенка послідовностями частинних сум рядів за введеними малими параметрами, і на цій основі побудовано: - теорію оболонок з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами; - з відсутніми нормальними жорсткими поворотами; - з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і відсутніми нормальними жорсткими поворотами.
Сформульовано інтегральні умови стосовно переміщень точок границі серединної поверхні тонкостінного тіла, що забезпечують ефективність використання спрощених теорій оболонок (теорій оболонок типу Тимошенка), а також доведено в межах цих теорій взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи. Поширено математичний апарат методу потенціальних комплексних функцій на задачі згину пластин з відсутніми нормальними жорсткими поворотами.
. Сформульовано клас дельтоподібних послідовностей фінітних функції з заданими властивостями гладкості і побудовано відповідні їм дельтоподібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур’є. На цій основі розвинуто метод Фур’є стосовно крайових задач теорії оболонок, праві частини рівнянь яких містять розривні функції.
. Показано, що дельтоподібні фінітні функції є ефективними математичними моделями локальних навантажень. З цією метою знайдено допустимі значення характеристик локальних навантажень (густини і області локалізації), що дозволяють у межах модифікованої теорії оболонок типу Тимошенка коректно формулювати задачі про локальне поверхневе навантаження тонкостінних тіл. Побудовано також математичну модель деформування тонкого шару при об’ємних локально-імпульсних силовій дії та нагріві.
5. Розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна стосовно крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка. На цій основі побудовано алгоритми числового розв’язування задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних оболонок, а також оболонок з вирізами, виступами та включеннями.
. Розроблено, спираючись на послідовнісне подання сингулярних розв’язків
рівнянь теорій оболонок типу Тимошенка і метод інтегральних рівнянь, методику дослідження контактних напружень при взаємодії оболонок з жорсткими та пружними тілами. Побудовано математичну модель нелінійно-пружного шару і сформульовано нові контактні задачі теорії оболонок, а також розроблено числові алгоритми розв’язування задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно- та нелінійно-пружні шари.
Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Послідовнісний підхід до побудови розв’язків задач про локальне навантаження тонкостінних елементів визначає новий напрям розв’язування задач цього класу.
Послідовнісний підхід до побудови (у межах теорій оболонок Тимошенка) математичних моделей деформування тонкостінних елементів за допомогою послідовностей частинних сум рядів за введеними малими параметрами є аналітичною реалізацією методу гіпотез. Він може бути поширений на аналогічні задачі теорій оболонок вищих порядків.
Розвинутий математичний апарат методу послідовнісного подання узагальнених розв’язків задач теорії оболонок за допомогою послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур’є вирішує проблему застосування методу Фур’є до розв’язування крайових задач з правими частинами рівнянь, що містять розривні функції.
Подання функцій Гріна в аналітичній формі (у вигляді границь збіжних послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур’є) дозволяє ефективно використовувати відомі у теорії пружності схеми методу граничних інтегральних рівнянь до розв’язування крайових задач для багатозв’язних оболонок.
Сформульовані у межах побудованих теорій оболонок задачі деформування двозв’язних оболонок зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь, що суттєво спрощує побудову їх числових розв’язків.
Методика досліджень вимушених та власних коливань кусково-однорідних оболонок, оболонок з вирізами та включеннями, а також методика дослідження контактної взаємодії оболонок спрощують одержання числових результатів і підвищують їх точність. Вони однаково ефективні при розв’язуванні задач різних теорій оболонок.
Послідовнісний підхід до побудови математичних моделей локальної та імпульсної дії фізичних полів може бути поширений на інші фізичні системи, а модифікація методу Фур’є стосовно крайових задач для неканонічних областей може бути поширена на крайові задачі інших прикладних наук.
Результати досліджень розв’язків задач про локальний нагрів шару, про власні та вимушені коливання неоднорідних оболонок і оболонок з вирізами та включеннями, а також контактних задач про взаємодію оболонок з іншими тілами через лінійно- та нелінійно-пружні шари мають практичне застосування.
Результати проведених у дисертаційній роботі досліджень з питань послідовнісного підходу до побудови узагальнених розв’язків крайових задач для основних рівнянь математичної фізики склали основу навчального посібника “Рівняння математичної фізики. Узагальнені розв’язки крайових задач”.
Методи досліджень. У роботі використовуються методи математичного аналізу (фундаментальні послідовності і ряди Фур’є), теорії функцій (апроксимація функцій послідовностями частинних сум рядів, послідовнісний підхід до побудови узагальнених функцій); теорії рівнянь з частинними похідними (зведення крайових задач до граничних інтегральних рівнянь, побудова узагальнених розв’язків крайових задач у розумінні слабкої збіжності), механіки суцільного середовища (варіаційні формулювання задач, варіаційні принципи), а також числові методи розв’язування інтегральних рівнянь.
Обґрунтованість і вірогідність результатів. Основні результати роботи сформульовано у вигляді тверджень, які доведено, постулатів, які апробовано на тестових задачах та узгоджено у частинних випадках з відомими у літературі результатами, і крайових задач, існування класичних та узагальнених розв’язків яких доведено. Вірогідність наближених числових розв’язків крайових задач забезпечена строгістю виконання достатніх умов існування і стійкості розв’язків.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Теоретичні і практичні результати, які склали основу дисертації, отримані здобувачем при виконанні держбюджетної теми кафедри вищої математики Національного університету „Львівська політехніка” „Питання алгебри, функціонального аналізу, математичної фізики, гіллясті ланцюгові дроби та їх застосування” (1984 - 2003, номер державної реєстрації 01870095011) і конкурсних держбюджетних тем: „Математичне моделювання і методи розрахунку кусково-однорідних структур під дією полів різної фізичної структури” (1994 –, номер державної реєстрації 0194U029517); „Метод граничних елементів у задачах математичної фізики” (1995 –, номер державної реєстрації 0195U014374); „Числова реалізація деяких крайових задач методом граничних елементів” (1997 –, номер державної реєстрації 0197U000215); „Розробка математичних моделей для опису впливу зовнішніх полів на рівноважні і не рівноважні системи” (1998 –, номер державної реєстрації 0198U007870); „Теорія станів хемосорбованих на поверхнях та сольвантованих в структурно-невпорядкованих середовищах атомів і молекул” (2001 –, номер державної реєстрації 0101U000881).
Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати роботи доповідалися і обговорювалися на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Національного університету „Львівська політехніка”, Всесоюзній науковій конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 1987), Всеукраїнській науковій конференції “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 1994), Всесоюзному науковому семінарі “Актуальные проблемы неоднородной механики” (Єреван, 1991), Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 1993, 1995, 1997, 1999, 2001, 2003), Міжнародних наукових конференціях ім. акад. М.Кравчука (Київ, 1994, 1997, 2000), Всеукраїнській науковій конференції „Розробка та застосування математичних методів у науково-технічних дослідженнях” (Львів, 1995), III Міжнародному симпозіумі „Некласичні проблеми теорії тонкостінних елементів конструкцій та фізико-хімічної механіки композиційних матеріалів” (Івано-Франківськ, 1995), Міжнародній науковій конференції „35 godina mašinskog fakulteta univerziteta u Nišu” (Niš, 1995), Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 1997, 2000, 2003), Міжнародному конгресі „Modeling and investigation of systems stability” (Київ, 1997), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998), Міжнародній науковій конференції „Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (Дрогобич, 2001), Міжнародній науковій конференції „Актуальні проблеми механіки суцільних середовищ” (Донецьк, 2002), Міжнародній науковій конференції „Международная конференция по математическому моделированию, МКММ 2002” (Херсон, 2002) та інших.
У повному обсязі робота доповідалась на науковому семінарі кафедри вищої математики Національного університету „Львівська політехніка” під керівництвом проф. Ю.К.Рудавського, на науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України під керівництвом член. кор. НАН України, проф. Я.Й.Бурака, на об’єднаному семінарі кафедр теоретичної та прикладної механіки і теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету під керівництвом акад. НАН України, проф. В.П.Шевченка, на семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. І.Франка під керівництвом проф. Г.Т.Сулима, на проблемному семінарі з механіки Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України під керівництвом член. кор. НАН України, проф. Г.С.Кіта, на науковому семінарі з математичного моделювання Тернопільського державного технічного університету ім. І.Пулюя під керівництвом проф. О.М.Шаблія, на науковому семінарі з математичних проблем механіки Одеського національного університету ім. І.І.Мечнікова під керівництвом Г.Я.Попова, на науковому семінарі відділу механіки оболонкових систем Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України під керівництвом акад. НАН України Я.М.Григоренка.
Публікації та особистий внесок здобувача. За основними результатами роботи опубліковано навчальний посібник і 28 наукових робіт, у тому числі монографія та 27 статей, які відповідають вимогам ВАК України до публікацій результатів дисертаційних робіт у фахових виданнях. Всього за темою роботи опубліковано 50 наукових праць.
Основні результати дисертаційної роботи отримані дисертантом самостійно. У монографії дисертантом розвинуто послідовнісно-апроксимаційний метод редукції тривимірних задач теорії термопружності до двовимірних, сформульовано в межах уточненої теорії оболонок узагальнений варіаційний принцип, а також побудовано розв’язки двовимірних контактних задач теорії оболонок. У посібнику дисертантом викладено послідовнісний підхід до побудови узагальнених функцій і узагальнених розв’язків крайових задач для основних рівнянь математичної фізики, а також метод інтегральних рівнянь розв’язування крайових задач для двозв’язних областей. У самостійно опублікованих працях викладено основні теоретичні дослідження і практичні результати роботи. У решти спільних публікаціях дисертанту належить математична постановка задач, виведення основних співвідношень та рівнянь, розробка методів розв’язування задач, а також участь у розробці числових алгоритмів та аналізі отриманих результатів.
Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку літератури та двох додатків. Загальний обсяг роботи становить 298 сторінок. Список літератури містить 315 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовується актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, відзначено її новизну, наукове та практичне значення, обґрунтовано вірогідність отриманих результатів, наведено дані про апробацію результатів, що становлять основний зміст роботи, відзначено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготовлених за участю співавторів, а також частково сформульовано послідовнісний підхід до визначення напружено-деформованого стану тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях. У кінці вступу подано відомості про структуру та об’єм роботи.
У першому розділі проаналізовано, згідно з основними етапами визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних елементів, відомі в літературі двовимірні математичні моделі деформування тонкостінних пружних тіл, математичні моделі локальних навантажень та методи розв’язування відповідних крайових задач. Аналіз досліджень проведено з міркувань застосування послідовнісного підходу до побудови математичних моделей та розв’язків задач механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях.
Особливості формулювань та побудови розв’язків задач про локальне навантаження пружних тіл, а також сингулярні розв’язки задач теорії пружності для областей з нерегулярними границями детально досліджено у роботах В.Т.Грінченка і А.Ф.Улітка. Відзначено, що важливим при формулюванні задач такого типу є вибір вихідних математичних моделей - навантажень, форми тіла та взаємодії тіла з зовнішнім середовищем. Дослідженню формулювань задач про локальне навантаження пружних тіл присвячені також роботи В.М.Александрова, І.І.Воровича, Г.Градвела, А.Н.Гузя, С.А.Калоєрова, Г.С.Кіта, А.Д.Коваленка, А.С.Космодаміанского, В.В.Ло-боди, В.І.Моссаковського, В.В.Михаськіва, Н.І.Мусхелішвілі, Ю.Н.Немиша, В.А.Осадчука, В.В.Панасюка, В.З.Партона, П.І.Перліна, Я.С.Підстригача, Г.Я.По-пова, В.Л.Рвачова, Г.Рейсснер, М.П.Саврука, Г.Т.Сулима, М.Й.Теплого, С.П.Тимо-шенка, М.В.Хая, О.М.Шаблія, В.А.Шалдервана, І.Я.Штаєрмана та інших.
Визначальним у процесі розрахунку напружено-деформованого стану тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях є побудова двовимірних математичних моделей деформування цих тіл (теорій оболонок). Характерними у літературі є два підходи до побудови теорій оболонок. В основі першого з них лежить спрощення тривимірних крайових задач теорії пружності для тонкостінних пружних тіл методом гіпотез (гіпотетичним методом). Другий підхід ґрунтується на методах послідовнісного подання двовимірних математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл - наближенні шуканих величин тривимірних задач теорії пружності послідовностями частинних сум рядів за товщинною координатою або малими параметрами. У роботах К.Васідзу, А.Н.Гузя, А.И.Лур’є, В.В.Новожилова, Б.Л.Пелеха, С.П.Тимошенка, К.Ф.Черниха та інших викладено побудову гіпотетичним методом теорії оболонок Кірхгофа-Лява і теорії оболонок, що враховують поперечні зсувні деформації. У роботах С.А.Амбарцумяна, В.В.Васильєва, З.В.Власова, Е.І.Григолюка, В.М.Толкачова, І.Т.Селєзова, В.І.Шваб’юка гіпотетичним методом побудовано уточнені варіанти теорій оболонок. Ефективно гіпотетичний метод використовується для побудови теорій шаруватих оболонок. Послідовнісний підхід до побудови теорій оболонок і відповідних розв’язків задач теорії пружності реалізується у роботах Н.А.Базаренка, Я.Й.Бурака, А.Т.Василенка, І.Н.Векуа, І.І.Воровича, Ш.Л.Галімова, А.Л.Гольденвейзера, В.Т.Грінченка Я.М.Григоренка, Ю.Д.Зозуляка, А.С.Космодаміанського, С.А.Назарова, І.Ф.Образцова, Н.Д.Панкратової, В.В.Понятовського, Б.Л.Пелеха та його учнів, Я.Й.Підстригача, Г.Рейснера, Я.Г.Савули, А.Ф.Улітка, І.Ю.Хоми, В.Е.Чепиги, Ю.А.Чернухи та інших. Теорії оболонок, побудовані з використанням послідовностей частинних сум рядів Фур’є за системою поліномів Лежандра від товщинної координати, покладені в основу проведених у дисертаційній роботі досліджень напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних елементів. Аналіз побудованих теорій оболонок показує, що актуальними ще залишаються питання аналітичної реалізації гіпотез та побудови в межах цих теорій оболонок спрощених математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл.
Визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних елементів з використанням рівнянь теорій оболонок встановлює, внаслідок постулювання законів розподілу переміщень і напружень по товщині елементів, додаткові в порівнянні з відповідними задачами теорії пружності обмеження на величину області локалізації і гладкість функцій, що моделюють ці навантаження. Що стосується коректності формулювань задач про локальне навантаження тонкостінних елементів (як об’ємними силами, так і поверхневими напруженнями), то вони допускають узагальнені розв’язки для достатньо загальних правих частин рівнянь –математичних моделей локальних навантажень. Однак ефективність математичних моделей поверхневих локальних навантажень та одержаних розв’язків, а також відповідність розв’язків (знайдених за допомогою рівнянь теорій оболонок) реальному напружено-деформованому стану тонкостінних елементів, що є важливим для практики, можуть бути оцінені лише при порівнянні цих розв’язків з розв’язками відповідних задач теорії пружності.
Для моделювання локальних навантажень тонкостінних елементів використовуються як дельта-функція, так і дельтоподібні функції (з областю локалізації співмірною з товщиною оболонки). Оскільки ряди Фур’є розривних функцій зображуються розбіжними (в класичному розумінні суми) рядами, формально знайдені методом Фур’є розв’язки задач теорії оболонок з розривними правими частинами рівнянь зображуються також не завжди збіжними рядами. У роботах Я.М.Григоренка, А.Ф.Василенка та їх учнів локальна силова дія на оболонки моделюється дельтопо-дібними функціями експоненціального типу. У роботах А.Н.Гузя, Ю.Н.Немиша, Я.Ф.Каюка, В.І.Моссаковського, В.Б.Рудницького та інших для цієї цілі використовуються узагальнені методи підсумовування рядів. Розв’язки (в широкому розумінні) задач про локальне навантаження оболонок (зусиллями, зосередженими у точках і розподіленими на ділянках) також одержано у роботах П.Біджларда, А.Л.Гольденвейзера, Е.І.Григолюка, В.М.Даревського, M.Козарова, С.Лукашевича, K.Мізогучі, В.В.Новожилова, Г.Рейсснера, T.Сандерса, Л.Тінга, В.М.Толкачова, K.Форсберга, В.Флюге, К.Ф.Черниха, Г.Н.Чернишова, О.М.Шаблія, А.Ф.Шестопала та інших. Ефективні узагальнені розв’язки задач про дію зосереджених сил і моментів на циліндричні і пологі оболонки побудовано в роботах Ю.П.Артюхіна, В.В.Васильєва, П.М.Величка, А.С.Гольцева, К.Н.Довбні, Ю.П.Жигалка, С.С.Кохманюка, С.Г.Мазура, К.Маркової, В.М.Осадчука, І.Б.Прокопович, Л.М.Сеньків, В.Стівена, А.П.Філіпова, В.К.Хижняка, А.С.Христенка, Ю.А.Шевлякова, В.П.Шевченка, Т.А.Юрченка, У.Г.Янютина та інших. Питання математичного моделювання локальних навантажень за допомогою послідовностей дельтоподібних функцій, питання дослідження похибок використання теорій оболонок для вирішення задач цього класу та питання залежності розв’язків задач від значень параметрів, що характеризують область і густину локальних навантажень, ще недостатньо вивчені у науковій літературі.
Для побудови узагальнених розв’язків некоректно поставлених (у розумінні існування розв’язків Фур’є) крайових задач математичної фізики С.Л.Соболєвим запропоновано послідовнісний підхід, що ґрунтується на використанні дельтоподібних послідовностей функцій. У дисертаційній роботі розвинуто методи послідовнісного подання узагальнених функцій і узагальнених розв’язків крайових задач теорії оболонок з використанням дельтоподібних послідовностей фінітних функцій. Дельтоподібні фінітні функції з заданими властивостями гладкості конструюються за допомогою елементарних функцій так, що відповідні їм послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур’є рівномірно збігаються (в будь-якій області, що не містить особливих точок). Узагальнені розв’язки та функції Гріна крайових задач теорії оболонок подаються у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур’є, рівномірно збіжних з рівномірно збіжними похідними заданих порядків в областях, що не містять точок сингулярності.
Другу важливу область застосувань сингулярних розв’язків задач теорії пружності складають крайові задачі для багатозв’язних тіл та контактні задачі, в основу побудови розв’язків яких покладено метод інтегральних рівнянь. Ґрунтуючись на теорії потенціалів і теорії інтегральних рівнянь в роботах А.Я.Александрова, А.Є.Андрейківа, С.М.Білоцерковного, К.Бреббія, В.В.Божидарника, Ю.В.Верюж-ського, Л.Вроубела, Г.С.Кіта, С.Крауча, М.Г.Кривцуна, В.Д.Купрадзе, А.М.Линь-кова, І.К.Ліфанова, С.Массоннета, Р.Міча, Н.І.Мусхелішвілі, В.В.Панасюка, Г.Я.Попова, В.Л.Рвачова, В.С.Рябенького, Г.Н.Савіна, А.Старфилда, Ж.Теллеса, Н.Я.Тихоненка, Ф.Трікомі, С.Уокера, М.В.Хая та інших розвинуто числові методи розв’язування задач для двозв’язних пружних тіл. Важливою умовою ефективного застосування методу граничних інтегральних рівнянь до розв’язування цих задач є подання в явному вигляді сингулярних розв’язків відповідних вихідних диференціальних рівнянь. Метод граничних інтегральних рівнянь стосовно до задач теорії оболонок успішно використовується в роботах Р.Баттерфілда, П. Бенерджі, А.С.Гольцева, Є.Г.Грицька, К.Н.Довбні, Л.М.Журавчак, З.Т.Назарчука, М.М.Николишина, В.А.Осадчука, М.П.Саврука, М.Й.Теплого, А.Г.Угоднікова, Н.М.Хуторянського, В.А.Цванга, В.П.Шевченка та інших. У роботах В.К.Дзядика, М.Жічковського А.П.Зелінського, В.М.Максимовича, T.Кусами, Й.Міцуі, T.Oками для формулювання інтегральних рівнянь окремих класів крайових задач теорії оболонок використовуються формальні зображення сингулярних ядерних функції рядами Фур’є. Для загального випадку формулювання крайових задач теорії оболонок відповідні інтегральні рівняння зводяться до систем алгебраїчних рівнянь з коефіцієнтами, що зображуються розбіжними рядами. Тому питання модифікації методу Фур’є і методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функцій Гріна (у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур’є) є актуальними у теорії пружності.
Формулювання контактних задач для тонкостінних тіл (обмежених плоскими, циліндричними або сферичними поверхнями) з використанням рівнянь теорії пружності здійснюється, як правило, в межах змішаних крайових задач. Характерним при зведенні контактних задач до інтегральних рівнянь є зображення ядер в явному вигляді. Різносторонні дослідження контактної взаємодії пружних тіл систематизовано у монографіях В.М.Александрова, В.А.Бабешко, І.І.Воровича, Л.А.Галіна, Г.Гладвела, С.С.Голикової, Д.В.Гриліцького, Н.Є.Качаловської, Я.М.Кізими, С.М.Мхитаряна, В.І.Моссаковського, В.В.Панасюка, В.С.Проценка, В.Л.Рвачова, В.М.Ромаліса, В.Б.Рудницького, Г.Т.Сулима, М.Й.Теплого, І.Я.Штаєрмана та інших.
Контактні задачі теорії оболонок формулюються як обернені задачі для рівнянь з частинними похідними; задається одна або більше невідомих функцій розв’язку (найчастіше нормальні переміщення) на частині області, у якій шукається розв’язок. Характерною особливістю цих задач є зображення ядер (функцій Гріна) відповідних інтегральних рівнянь у вигляді розвинень за системами функцій або через спеціальні функції, в окремих випадках, через елементарні функції. Крім того, функції Гріна для однакових задач в межах різних теорій оболонок є навіть якісно різними. Для розв’язування контактних задач теорії оболонок у роботах Е.І.Григолюка, В.Н.Максименка, Г.Я.Попова, А.О.Сяського, В.М.Толкачова, Л.А.Фільштинського та інших використано методи прискорення збіжності рядів з виділенням сингулярних частин функцій Гріна в явному вигляді і зведення задач до інтегральних рівнянь з сингулярними ядрами. Методи інтегральних перетворень і розвинення у ряди ефективно використовується Т.С.Акульшиною. В.С.Гудрамовичем, Є.М.Макеєвим, В.І.Моссаковським, В.М.Тищенком, В.П.Шевченком, Ю.А.Шевляковим при розв’язуванні контактних задач і задач про взаємодію оболонок з підкріплюючими елементами через пружні прошарки (що природно регуляризує побудову розв’язків). Формулювання контактних задач теорії оболонок, а також математичне моделювання взаємодії тонкостінних елементів проаналізовано у роботах В.М.Александрова, М.В.Блоха, В.З.Власова, Г.С.Кіта, Н.И.Леонтьева, О.В.Максимука, С.М.Мхитаряна, Б.Л.Пелеха та його учнів, Г.Я.Попова, В.М.Толкачова та інших. При взаємодії тонкостінних тіл характерною є концентрація контактних напружень у приграничних зонах областей контакту. Значення контактних напружень, знайдені за допомогою різних математичних моделей деформування оболонок, практично збігаються у середній зоні області контакту і відрізняються у приграничних зонах цієї області. При цьому значення контактних напружень у приграничних зонах областей контакту, знайдені за допомогою рівнянь будь-якої з теорій оболонок, є неточними в порівнянні з розв’язками відповідних задач, одержаних за допомогою рівнянь теорії пружності. Однак, оскільки перерозподіл напружень у невеликій області оболонки (згідно з принципом Сен-Венана) не впливає на напружено-деформований стан оболонки в цілому, розв’язки (в широкому розумінні) контактних задач у межах різних теорій оболонок однаково мають як теоретичну, так і практичну цінність. Питання коректності формулювань контактних задач теорії оболонок ще не цілком висвітлені у науковій літературі.
У дисертаційній роботі в основу побудови математичних моделей локальних на-
вантажень, математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл та узагальнених розв’язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл покладено послідовнісний підхід до їх подання. Реалізація цього підходу ґрунтується на наближенні достатньо гладких розв’язків відповідних крайових задач послідовностями частинних сум рядів Фур’є або послідовностями частинних сум степеневих рядів і наближенні сингулярних розв’язків крайових задач слабко збіжними послідовностями функцій або послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур’є. При цьому всі етапи визначення напружено-деформованого стану тіл (побудова математичних моделей та розв’язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл) розглядаються у взаємозв’язку і на однаковому рівні. У межах послідовнісного підходу, обмежуючись скінченими узагальненими частинними сумами рядів (або окремими варіантами), одержуються математичні моделі локальних навантажень, достатньо близькі до реальних, і одержуються розв’язки задач про локальне навантаження тонкостінних тіл, що відповідають реальному їх напружено-деформованому стану. Шляхом граничного переходу у виразах одержаних розв’язків коректно будуються (у класі узагальнених функцій) узагальнені розв’язки та функції Гріна відповідних крайових задач, які використовуються для формулювання інтегральних рівнянь та числових методів розв’язування достатньо широких класів задач теорії оболонок.
У другому розділі систематизовано і строго викладено побудову теорій оболонок, що ґрунтуються на апроксимації шуканих величин крайових задач теорії пружності послідовностями частинних сум рядів Фур’є за поліномами Лежандра, а також розвинуто гіпотетичний метод побудови спрощених математичних моделей деформування оболонок, який ґрунтується на наближенні шуканих величин крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка частинними сумами рядів за введеними малими параметрами.
Викладено два підходи до редукції тривимірних крайових задач теорії пружності для тонкого шару (у розумінні відношення товщини до найменшого радіуса кривини серединної поверхні) до двовимірних, в основі яких лежать відповідно два способи апроксимації функцій послідовностями частинних сум рядів за поліномами Лежандра. Перший підхід приводить до структурно простих рівнянь, які, як правило, використовуються для розрахунку пластин і оболонок, на лицевих поверхнях яких задаються граничні умови першого роду (напруження). В основу другого підходу покладено умовну апроксимацію переміщень і напружень поліномами (додатково реалізується умова неперервності напружень на лицевих поверхнях при наближенні із середини шару). Одержані при цьому двовимірні математичні моделі деформування шару можуть використовуватися для розрахунку покрить і тонких шарів, на лицевих поверхнях яких задаються як напруження, так і переміщення. У межах другого підходу вирази для переміщень точок лицевих поверхонь містять доданки, пропорційні поверхневим навантаженням, що природно регуляризують розв’язки крайових задач з умовами другого роду на лицевих поверхнях шару.
Наведено основні рівняння і співвідношення довільних наближень розв’язків динамічних задач для термопружного стану криволінійного шару, одержаних за першим і другим способами, а також наведено рівняння перших наближень, які є відповідно математичною моделлю і модифікованою математичною моделлю Тимошенка. Зокрема, для модифікованої математичної моделі деформування пологої оболонки маємо: рівняння рівноваги
, (1)
фізичні рівняння
(2)
Тут прийнято позначення - криволінійні координати; - товщина шару і головні кривини серединної поверхні; - пружні сталі; - коефіцієнти лінійного розширення; - поверхневі напруження; - компоненти об’ємної сили і функція температури.
Переміщення і напруження визначаються за формулами
, (3)
Для переміщень точок лицевих поверхонь оболонки маємо такі формули:
(4)
де
Граничні умови крайових задач формуються відносно величин на граничному контурі серединної поверхні.
Для випадку теорії пологих оболонок Тимошенка рівняння рівноваги зберігаються у формі (1), фізичні рівняння мають вигляд (2), однак відсутні
підкреслені доданки, а переміщення і напруження визначаються за формулами:
(5)
(6)
У межах теорій оболонок Тимошенка можуть розглядатися задачі про локальне навантаження тонкостінних елементів для випадку дії об’ємних сил, довільно локалізованих за координатами у серединній поверхні і лінійно розподілених за нормальною координатою. Параметри, що характеризують математичну модель поверхневого локального навантаження, не можуть задаватися довільно, вони повинні визначатися з умов лінійної залежності від товщинної координати розв’язків (напружень і переміщень) відповідних задач теорії пружності.
Розвинуто гіпотетичний метод побудови (у межах теорій оболонок Тимошенка) спрощених математичних моделей деформування оболонок, в основу якого покладено ідею послідовнісного методу –наближення шуканих величин послідовностями частинних сум рядів за введеними малими параметрами. Якщо відомо, що в крайовій задачі теорії оболонок окремі компоненти тензора деформацій (або лінійні комбінації цих компонент), які називаються нехтовно малими величинами, малі в порівнянні з іншими компонентами, то ця задача містить малі параметри неявно і у рівняння задачі можна ввести малі параметри. Спочатку у рівняннях фізичного закону виділяються нехтовно малі деформації і пружні сталі, що є множниками біля цих деформацій (які вважаються великими параметрами), і вводяться допоміжні функції, що дорівнюють добуткам нехтовно малих деформацій і великих параметрів. Потім, заміною великих параметрів через обернені до них величини, вихідну задачу зведено до задачі з малими параметрами. Апроксимуючи шукані величини послідовностями частинних сум рядів за малими параметрами, одержано спрощені математичні моделі деформування оболонок. Вироджені (при нульових значеннях малих параметрів) рівняння, представляють також одну із спрощених математичних моделей деформування оболонок.
Побудовано спрощені математичні моделі деформування оболонок типу Тимошенка, що характеризуються нехтовно малими окремими компонентами тензора деформацій, - теорія оболонок з незмінними по товщині жорсткими поворотами відносно нормалі до серединної поверхні (узагальнення класичної моделі оболонки), - з відсутніми нормальними жорсткими поворотами, - з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і нормальними жорсткими поворотами (спрощення класичної моделі оболонки). У межах кожної із побудованих математичних моделей деформування оболонок проаналізовано ключові рівняння для циліндричної і сферичної оболонок. Показано, що прийняття відповідних гіпотез не змінює типу ключових диференціальних рівнянь вихідної теорії оболонок.
Побудовано модифіковану математичну модель деформування оболонки з відсутніми жорсткими поворотами відносно нормалі до серединної поверхні. Відповідна спрощена модель пологої оболонки ґрунтується на припущенні про нехтовну малість жорсткого повороту відносно нормалі до серединної поверхні, . Виділивши в останніх двох рівняннях (2) доданки, що відповідають жорсткому повороту, і пружні сталі –великі параметри, а також ввівши допоміжні функції, та малі параметри , одержано такі рівняння:
(7)
Вироджені (при і ) рівняння системи (1), (2) з урахуванням перетворень (7) складають одну зі спрощених математичних моделей деформування оболонки. З останніх двох рівнянь (7), внаслідок умов , , отримаємо рівняння , які є умовами потенціальності поля переміщень і поля кутів повороту, , ,. Фізичні рівняння з урахуванням цих перетворень набудуть вигляду
(8)
де.
У межах розглянутої математичної моделі деформування оболонки формулюються перша і мішана граничні задачі. При формулюванні другої граничної задачі граничні тангенціальні переміщення і кут повороту не можуть задаватися довільно, через потенціальність поля переміщень і поля кутів повороту. Сформульовано необхідні і достатні умови застосовності спрощених математичних моделей оболонок, які встановлюють обмеження на тангенціальні переміщення точок границі серединної поверхні.
Математична модель деформування оболонки з відсутніми нормальними жорсткими поворотами задається рівняннями рівноваги (1) і фізичними співвідношеннями (8) з відсутніми підкресленими доданками. Переміщення і напруження задаються формулами (5), (6).
Для задач чистого згину пластинки з відсутніми нормальними жорсткими поворотами система рівнянь (1), (8) зводиться до бігармонічного i гармонічного рівнянь. Ця модель уточнює класичну модель згину пластинки, у межах якої функція прогину є потенціальною функцією поля кутів повороту нормалі до серединної поверхні (). У додатку А сформульовано граничні співвідношення основних крайових задач відносно потенціальних комплексних функцій. Знайдено потенціальні функції для задач згину і кручення нескінченної пластинки з круговим отвором і жорстким включенням.
У третьому розділі у межах побудованих у другому розділі спрощених математичних моделей деформування оболонок сформульовано і доведено основні взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи (стаціонарності потенціальної енергії і стаціонарності додаткової енергії). Варіаційне формулювання задач у межах спрощених теорій оболонок типу Тимошенка є по суті побудовою методом гіпотез співвідношень і рівнянь цих теорій.
Спочатку записано взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи теорії пружності у криволінійних координатах. Апроксимуючи переміщення і напруження криволінійного шару поліномами за товщинною координатою проведено спрощення відповідних функціоналів енергії і сформульовано взаємно двоїсті узагальнені варіаційні принципи теорії оболонок Тимошенка та модифікованої теорії оболонок Тимошенка. Потім з використанням варіаційного формулювання задач теорій оболонок методом множників Лагранжа сформульовано узагальнені варіаційні принципи спрощених теорій оболонок (з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами; з відсутніми нормальними жорсткими поворотами; з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і нормальними жорсткими поворотами).
Зокрема, для випадку першої граничної задачі теорії оболонок Тимошенка введенням в узагальнений функціонал потенціальної енергії умови і відповідного множника Лагранжа одержано функціонал
де
- серединна поверхня оболонки і її границя.
З рівності нулю першої варіації цього функціоналу випливають рівняння і граничні умови першої граничної задачі теорії оболонок типу Тимошенка з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами.
У четвертому розділі сформульовано дельтоподібні послідовності фінітних функцій, які покладено в основу послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень та послідовнісного подання узагальнених розв’язків Фур’є задач теорії оболонок з сингулярними правими частинами рівнянь. Досліджено обмеження на параметри локалізації поверхневих локальних навантажень (дельтоподібних фінітних функцій), що забезпечують у межах теорії оболонок типу Тимошенка достатню точність розв’язків задач про локальне навантаження тонкостінних пружних тіл, а також досліджено похибки застосування теорій оболонок типу Тимошенка та Кірхгофа-Лява до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл.
Спочатку досліджено коректність формулювань (у сенсі існування розв’язків Фур’є) крайових задач теорії оболонок та модифікованої теорії оболонок Тимошенка, що допускають відокремлення змінних, у залежності від вільних членів диференціальних рівнянь. Встановлено умови відносно вільних членів рівнянь, при виконанні яких існують розв’язки Фур’є відповідних крайових задач (у вигляді сум рівномірно збіжних тригонометричних рядів з рівномірно збіжними рядами похідних, що містяться в рівняннях задач). Зокрема, показано, що розв’язки Фур’є крайових задач теорії оболонок типу Тимошенка існують, якщо праві частини рівнянь мають відокремлені змінні і є періодичними функціями з першими похідними, що задовольняють умови Діріхле. Розв’язки Фур’є крайових задач модифікованої теорії оболонок Тимошенка існують, якщо праві частини рівнянь –періодичні функції з відокремленими змінними і мають другі похідні, що задовольняють умови Діріхле.
Потім на основі послідовнісного подання узагальнених функцій, зокрема, дельта-функції, побудовано математичні моделі локальної дії поверхневих навантажень та об’ємних сил, а також розвинуто теоретичні основи узагальненого підсумовування тригонометричних рядів (сформульовано нові методи узагальненого підсумовування рядів) та послідовнісного подання узагальнених (в розумінні слабкої збіжності) розв’язків некоректно поставлених крайових задач теорії оболонок.
Побудовано дельтоподібні послідовності фінітних функції з заданими властивостями гладкості. Вони задаються у вигляді
(9)
де - спадна нескінченно мала послідовність; -абсолютно інтегрована функція, ;.
Розвинення в тригонометричний ряд відповідної періодичної дельтоподібної функції має вигляд
(10)
де . (11)
Наприклад, якщо , або, то відповідно
і.
Досліджено властивості подібних функцій, зокрема, показано, що якщо справджується оцінка, , то - регулярний метод підсумовування рядів і для абсолютно інтегрованої періодичної функції справедлива формула
, (12)
якщо тільки - точка неперервності цієї функції. Тут -нескінченно мала послідовність і - коефіцієнти Фур’є функції . Крім того, якщо і періодична функція має неперервну похідну m - го порядку у точці , то границя похідної m - го порядку від узагальненої частинної суми у формулі (12) в точці дорівнює.
Дельтоподібні фінітні функції (9) при є більш об’єктивними математичними моделями локальної дії навантажень (силової дії, нагріву, взаємодії тощо). Граничною в сенсі слабкої збіжності для дельтоподібної функції є дельта-функція. Використання дельта-функції у задачах прикладної теорії пружності більше продиктовано досконалістю відповідного математичного апарату. Таким чином, поряд з дельта-функцією як математичною моделлю дії фізичних полів розглядаються фінітні дельтоподібні функції (або дельтоподібні послідовності функцій). Визначені інтеграли із змінною верхньою межею від дельтопоподібних функцій є ефективними математичними моделями перехідних процесів. При цьому граничною при для цих інтегралів є функція Хевісайда.
Для випадку моделювання дії фізичних полів, локалізованих вздовж лінії L (чи області S) з заданою густиною , розглядаються як оператори згладжування
(13)
так і відповідні їх граничні елементи
,
де - узагальнена функція, значення якої у точках лінії L збігаються зі значеннями функції , і дорівнюють нулеві в точках області S, що не належать L. При цьому оператори згладжування (13) мають достатньо прості зображення у вигляді рядів і інтегралів Фур’є, які збігаються рівномірно при .
Інтегральні зображення функцій у вигляді (12), (13) в застосуваннях до задач математичної фізики узгоджуються з введеними С.Л.Соболєвим узагальненими розв’язками крайових задач рівнянь з частинними похідними. Узагальненим (у розумінні слабкої збіжності) розв’язком Фур’є некоректно поставленої крайової задачі називається границя послідовності розв’язків крайових задач з однаковими з вихідною задачею диференціальними операторами рівнянь і вільними їх членами - достатньо гладкими функціями, що слабко збігаються до правих частин рівнянь вихідної задачі.
Побудовано функції Гріна крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка і модифікованих теорій оболонок типу Тимошенка у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум подвійних тригонометричних рядів.
Знайдено точний (за допомогою рівнянь теорії пружності) і наближений (за допомогою рівнянь модифікованої теорії оболонок Тимошенка) розв’язки задачі про локальне поверхневе навантаження плоского шару товщини 2h. На поверхні задаються напруження , , , а поверхня знаходиться в ідеальному контакті з жорсткою основою. Граничні умови відповідають затуханню деформованого стану шару при наближенні до бокових поверхонь. На рис.1 побудовано графіки нормальних (криві 1, 2) і дотичних (криві 3, 4) напружень на поверхні контакту в залежності від координати для випадку плоскої задачі , , і (криві 1 і 3 відповідають наближеному розв’язку задачі, криві 2 і 4 відповідають розв’язку задачі, одержаному за допомогою рівнянь теорії пружності). Використання рівнянь теорії оболонок приводить до незначних (практично допустимих) похибок, якщо локальна силова дія моделюється достатньо гладкою дельтоподібною функцією і діаметр області локалізації більший, ніж товщина шару. Якщо діаметр області локалізації поверхневого навантаження менший, ніж товщина шару, то переміщення і напруження, знайдені за допомогою рівнянь теорії оболонок, близькі до точних лише у точках шару, що лежать поза симетричним розширенням області локалізації, діаметр якого дорівнює товщині шару.
Побудовано математичну модель деформування тонкого трансверсально-ізотропного покриття (шару), що знаходиться під дією силового поля і нагрівається джерелами тепла, локалізованими за координатами у серединній поверхні і лінійно залежними від товщинної координати. Для покриття використано математичну модель модифікованої теорії оболонок типу Тимошенка (з відсутніми нормальними жорсткими поворотами). Локальна дія температурного поля задається добутком несиметричних дельтоподібних функцій за часовою координатою і симетричних дельтоподібних фінітних функцій за лінійними координатами. Ефективність моделі ілюструється на прикладі задачі про імпульсний нагрів джерелами тепла покриття (шару), нанесеного на абсолютно тверде тіло. Джерело тепла локалізовано у співмірній з товщиною покриття області . Температурне поле приймається сталим по товщині покриття і визначається з такої задачі теплопровідності:
де ;
L - контур серединної поверхні покриття ; і - коефіцієнти тепловіддачі, теплопровідності, температуропроводності і температура середовища; I - інтенсивність джерела. Побудовано графіки розподілу максимальних нормальних і тангенціальних напружень у покритті.
Також знайдено розв’язки задачі про локальне навантаження нормальними напруженнями шарнірно закріпленої циліндричної панелі , Досліджено числові розв’язки задачі, одержані за допомогою рівнянь теорії оболонок Тимошенка (А), класичної теорії оболонок (Б) і теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами (В). На рис. 2 наведено графіки функції вздовж лінії для різних значень параметра h/R=0,1 (рис.2 а), h/R=0,05 (рис.2 b), і таких значень інших параметрів:, ,.
Числові розв’язки задачі, одержані за теоріями А (крива 1) і В (крива 3), не значно відрізняються для оболонки середньої товщини (або оболонки з низькою зсувною жорсткістю), а розв’язки, одержані за теоріями А (крива 1) і Б (крива 2), ближчі між собою для тонкої ізотропної оболонки.
Для випадку сферичної оболонки, умов шарнірного закріплення і потенційності поля зовнішніх тангенціальних сил та моментів, числові розв’язки, одержані за теоріями А і В, збігаються.
У Додатку Б сформульовано узагальнені методи підсумовування рядів і їх зв’язок з дельтоподібними послідовностями функцій, а також наведено основні базові функції дельтоподібних послідовностей функцій.
У п’ятому розділі розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання функції Гріна (у вигляді границі послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур’є) стосовно до динамічних задач теорії пологих оболонок. Розглядаються задачі про власні та вимушені коливання трансверсально-ізотропних пологих оболонок з отворами, масивними включеннями та вирізами, а також задачі про коливання кусково-однорідних оболонок. В основу досліджень напружено-деформованого стану оболонок покладено рівняння теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами, оскільки гіпотеза про нехтовну малість жорстких поворотів (відносно нормалі до серединної поверхні) співмірна з гіпотезою (прийнятою в теорії оболонок і у даній роботі) про переважаючий вплив на основні форми та частоти коливань інерційності елемента оболонки в напрямі нормалі до серединної поверхні в порівнянні з інерційністю в тангенціальних напрямах і кутовою інерційністю. Вихідна система рівнянь спрощеної теорії оболонок зводиться до системи трьох ключових рівнянь відносно прогину і двох потенціалів поля тангенціальних до серединної поверхні переміщень і кутів повороту нормалі, а відповідні крайові задачі для випадку однозв’язної границі серединної поверхні оболонок зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь.
Проаналізовано алгоритм побудови числового розв’язку задачі про усталені коливання прямокутної мембрани з отвором (зсувні коливання пластини з отвором)
(16)
де ; ; L - границя області; - внутрішня одинична нормаль до L; - задана функція (амплітуда вимушуючої сили); - приведена частота коливань.
Функція Гріна рівняння Гельмгольца у прямокутнику визначається як границя розв’язку задачі
(17)
де (18)
дельтоподібна функція;; - послідовності функцій, що визначаються за формулами (15); ; ; - інтенсивність джерела, прикладеного у точці . Функцію Гріна задаємо у вигляді
(19)
де.
Функція Гріна у термінах послідовнісного подання записується ще так:
або
(20)
де - нескінченно мала послідовність,.
Дельтоподібна функція (18) і розв’язок при , внаслідок оцінки зображуються рівномірно збіжними рядами. Гранична функція у співвідношеннях (19) і (20) існує в усіх точках прямокутника, крім точки.
Розв’язок задачі (16) і відповідне граничне інтегральне рівняння сформульованої задачі записується через функцію Гріна у вигляді
(21)
де
Наближений розв’язок інтегрального рівняння (21) шукається методом колокацій. Крива L наближається ламаною лінією , складеною з прямолінійних відрізків кожний з яких задається середньою точкою , довжиною 2lr і нормальним вектором. Густина приймається сталою на всіх відрізках , , , а границя суми ряду апроксимується послідовністю узагальнених частинних сум цього ряду. Коефіцієнти Pr мають зміст рівнодійних “фіктивних” сил, прикладених до граничних елементів. Обчисливши інтеграли в рівнянні (21) (після проведення відповідних спрощень) та мінімізувавши нев’язку наближеного розв’язку в контрольних точках , якими є середини граничних елементів, одержано систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів
(22)
де
За знайденими звідси значеннями величин Pr наближений розв’язок задачі шукається за відповідними дискретними аналогами інтегрального зображення розв’язку задачі.
Сформульована також спрощена числова схема (з фіктивним контуром) розв’язування задачі (16), за якою межова умова на контурі L замінюється аналогічною умовою на контурі , що знаходиться в області D на відстані від L. При цьому одержується система алгебраїчних рівнянь, що в порівнянні з системою (22) не містить діагональних членів . Показано, що наближені розв’язки задач, одержані за двома числовими схемами, практично збігаються.
Встановлено залежність наближених розв’язків задач від параметрів дискретизації інтегральних рівнянь і параметрів узагальненого підсумовування рядів. Показано, що для задач про коливання квадратної мембрани з отвором, діаметр якої дорівнює половині її сторони, достатньо точні для практики результати (з похибкою не більшою 5%) одержуються при і K>300.
Розроблено також числові схеми розв’язування крайових задач для рівняння Гельмгольца в полігональних областях.
Метод граничних інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного підходу до подання функцій Гріна розвивається стосовно до нестаціонарних задач теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами і класичної теорії оболонок. Для першого випадку основні рівняння такі:
(23)
де ; - густина матеріалу.
Переміщення і напруження в оболонці визначаються за такими формулами:
Побудовано функцію Гріна крайової задачі про усталені коливання шарнірно опертої оболонки, прямокутної у плані,
(24)
де - матриця третього порядку, елементами якої є коефіцієнти Фур’є шуканих функцій системи (23); інтенсивності сил і моменту, орієнтованих за одиничним вектором.
Функція Гріна є граничною функцією розв’язку системи рівнянь (23) з правими частинами у формі
(25)
і виконанні відповідних однорідних умовах на границі прямокутника . Тут - періодичні дельтоподібні функції (18).
Частинні суми рядів у формулах (24) і формули (25) мають самостійний інтерес, тому що описують відповідно розв’язок задачі про локальне навантаження оболонки та локальну дію довільно розподілених у квадраті нормальних і тангенціальних до серединної поверхні приведених сил і моментів.
На основі співвідношень (24) сформульовано інтегральні рівняння задач про усталені коливання оболонок і пластин з отворами. Розглядаються оболонки з шарнірно опертими зовнішніми краями (по контуру прямокутника) і довільно навантаженими або підкріпленими внутрішніми краями отворів. На краях отворів задаються три з шести величин - нормальні компоненти векторів переміщення в серединній поверхні, кута повороту, мембранної сили та моменту, а також прогин і зрізуюча сила. Задачі зводяться до розв’язування системи трьох інтегральних рівнянь відносно трьох невідомих густин, розподілених вздовж внутрішнього контура.
Зведення інтегральних рівнянь до системи алгебраїчних рівнянь проводиться за схемою, аналогічною з задачею (16).
Побудовано алгоритми числового розв’язування задач про усталені коливання пластин і оболонок, прямокутних у плані, з отворами, вирізами та масивними включенням, а також задач про усталені коливання кусково-однорідних оболонок та пластин. Досліджено напруження та власні частоти коливань прямокутної пластини з вільними від навантажень або підкріпленими отворами, прямокутної пластини з симетрично розміщеним масивним включенням і прямокутної пластини з симетричними круговими вирізами. Показано, що значення власних частот коливань прямокутної пластини з круговим отвором близькі до значень відповідних частот, одержаних методом скінчених елементів і методом Рітца.
Досліджено також основні частоти коливань квадратної пластинки, складеної із двох ізотропних пластин. На рис. 3 наведено графіки частот у залежності від відношення густин окремих частин пластини для трьох значень параметра l/l (криві 1, 2 і 3 відповідають l/l = 0,5, l/l=0,4, l/l= 0,3). Різке зменшення значень основних частот спостерігається при незначному збільшенні густини однієї з частин пластини. Значення частот (при незмінній її масі) суттєво залежить також від характеру розподілу густини матеріалу пластини. Наприклад, для однорідної квадратної пластини, що має однакову з кусково-однорідною пластиною масу, маємо при l/l= 0,3 і d=4. У той час як приведена частота неоднорідної пластини при цих значеннях параметрів дорівнює .
Шостий розділ присвячений розробці методики дослідження контактних напру-жень при взаємодії тонкостінних елементів з абсолютно жорсткими і пружними тілами. В основу побудови узагальнених розв’язків контактних задач теорії оболонок Кірхгофа-Лява і різних варіантів теорій оболонок типу Тимошенка покладено послідовнісне подання функцій Гріна і метод інтегральних рівнянь. Розглядаються задачі про взаємодію оболонок з жорсткими тілами і взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно- і нелінійно-пружні проміжні шари.
Для опису напружено-деформованого стану проміжного шару побудовано математичну модель нелінійно-пружного шару, що узагальнює відомі моделі для випадку обмеження поперечного деформування шару. Приймається гіпотеза про незалежність нормальних напружень від товщинної координати і нехтується дотичними напруженнями в шарі. Залежність нормальних контактних напружень , , від поперечних деформацій задається у вигляді
(26)
де ; - приведені коефіцієнти пружності;
- переміщення внутрішньої і зовнішньої поверхонь; - товщина; - оператор Лапласа за координатами серединної поверхні; - граничні мінімальне (при стиску) і максимальне (при розтягу) значення поперечної деформації прокладки.
Контактні задачі теорії оболонок про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через нелінійно-пружний шар формулюються для випадку щільного прилягання оболонки і шару та відсутності дотичних напружень в області контакту . Контактні умови формулюються відносно переміщень. Прогин оболонки зображується через невідомі контактні напруження у вигляді інтегралів, ядерні функції яких задаються послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур’є з граничною функцією Гріна типу (24). При цьому вираз прогину при скінченій довжині відрізків рядів (скінченому досить великому ) описує прогин оболонки при дії контактних напружень в області (розширенні області S), границя якої знаходиться на відстані від границі області . Підставивши одержаний вираз прогину оболонки в умови контакту (умови рівності переміщень точок внутрішньої поверхні проміжного шару і прогину оболонки в області) і використавши залежність (26), яка розглядається для випадку h =h =1 і рівності нулю другого доданка, , одержано нелінійне інтегральне рівняння відносно контактних напружень,
(27)
де ; - функція Гріна; - прогин оболонки, що відповідає заданому навантаженню; - переміщення точок зовнішньої поверхні проміжного шару.
Числовий розв’язок рівняння (27) будується методом колокацій. Область S апроксимується системою прямокутників , з центрами в точках і сторонами довжини паралельними до осей координат. На кожному з прямокутників приймається, що контактні напруження є сталими,
Дискретизація інтегрального рівнянні (27) і мінімізація нев’язки наближеного розв’язку в N контрольних точках –серединах прямокутників , приводить до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь. Стійкий числовий розв’язок цієї системи будується методом простої ітерації при умові .
Для випадку задачі про взаємодію оболонки з жорстким тілом через проміжний шар вздовж смуги S постійної ширини з серединною лінією L спочатку задається закон розподілу контактного напруження по ширині смуги (наприклад, близький до рівномірного) і рівняння (27) зводиться до інтегрального рівняння відносно усередненого контактного напруження вздовж лінії L, а потім будується числовий розв’язок цього рівняння.
Побудовано розв’язок задачі про взаємодію циліндричного резервуара, заповненого рідиною, з двома жорсткими опорами через проміжний шар. Досліджено залежність контактних напружень від приведеної жорсткості проміжного шару; побудовано графіки розподілу контактних напружень.
Побудовано і досліджено розв’язки задач про взаємодію абсолютно жорстких гладких штампів постійної кривини з циліндричною оболонкою з вздовж смуги. Показано, що значення контактних напружень, знайдені за допомогою різних теорій оболонок, відрізняються тільки у приграничній зоні області контакту, співмірній з товщиною оболонки. Тому оптимальним при побудові числових розв’язків контактних задач є розбиття області контакту на відрізки, довжини яких співмірні з товщиною оболонки.
Розглядаються також задачі про взаємодію без відшарування циліндричної оболонки з підкріплюючими жорсткими елементами змінної кривини. Досліджено розв’язок задачі про підкріплення (вздовж смуги ширини ) шарнірно закріпленої замкнутої циліндричної оболонки (довжини ) жорстким бандажем, що має форму овалу з радіусами симетричних дуг . На рис. 4 наведені графіки розподілу контактного тиску вздовж напрямної для таких значень параметрів: , де K –довжина відрізків частинних сум рядів; -параметр, що характеризує зміну довжини напрямної оболонки вздовж кромки бандажа. Показано, що різка зміна кривини кромки бандажа, навіть при неперервній зміні дотичної, спричиняє значну концентрацію контактних напружень при переході через точки зміни кривини. Криві 1, 2, 3, 4 відповідають значенням 0, 1/2, 1/3, 1/4 параметра , де .
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вирішено наукову проблему розвитку методів послідовнісного подання математичних моделей локальних навантажень та математичних моделей деформування тонкостінних пружних тіл, а також розвитку методу Фур’є та методу інтегральних рівнянь з використанням послідовнісного подання узагальнених розв’язків стосовно задач про локальну силову дію та тепловий нагрів тонкостінних пружних тіл, контактних задач теорії оболонок, задач про власні та вимушені коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з вирізами, отворами та включеннями.
Отримано наступні наукові та практичні результати:
1. Сформульовано послідовнісний підхід до побудови математичних моделей механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях, в основі якого лежить послідовнісне подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних елементів (теорій оболонок) та математичних моделей взаємодії з середовищем, а також послідовнісний підхід до побудови узагальнених розв’язків відповідних крайових задач. Практичною реалізацією підходу є наближення достатньо диференційованих розв’язків крайових задач послідовностями частинних сум рядів Фур’є (або послідовностями частинних сум степеневих рядів) і наближення узагальнених розв’язків крайових задач послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур’є (або слабко збіжними послідовностями функцій).
2. Систематизовано і строго викладено характерні в теорії пружності два методи редукції тривимірних задач для криволінійного шару до двовимірних, що ґрунтуються на апроксимації розв’язків послідовностями частинних сум рядів Фур’є за системою поліномів Лежандра від товщинної координати. Наведено рівняння для довільних наближень розв’язку, одержаних за першим і другим способами апроксимації, а також рівняння перших наближень, що відповідають математичній моделі деформування оболонки Тимошенка (для випадку умов першого роду на лицевих поверхнях) та модифікованій математичній моделі деформування оболонки Тимошенка (для випадку умов другого роду та змішаних умов на лицевих поверхнях).
3. Розвинуто у межах теорій оболонок Тимошенка метод послідовнісного подання математичних моделей деформування тонкостінних елементів, що ґрунтується на наближенні шуканих величин послідовностями частинних сум в ряди за введеними малими параметрами та побудовано спрощені математичні моделі деформування оболонок з незмінними по товщині нормальними жорсткими поворотами; - з відсутніми нормальними жорсткими поворотами; - з відсутніми поперечними зсувними деформаціями і нормальними жорсткими поворотами. Сформульовано інтегральні умови застосовності спрощених теорій оболонок.
. Поширено математичний апарат методу потенціальних комплексних функцій на граничні задачі згину пластинки з відсутніми нормальними жорсткими поворотами (ключовими для якої є бігармонічне і гармонічне рівняння). Знайдено потенціальні комплексні функції для задач згину і кручення нескінченних пластин з отворами та жорсткими круговими включеннями.
5. За допомогою варіаційних методів доведено коректність побудови послідовнісним методом спрощених теорій оболонок типу Тимошенка. Методом множників Лагранжа сформульовано узагальнені варіаційні принципи спрощених теорій оболонок типу Тимошенка, що відповідає побудові методом гіпотез співвідношень і рівнянь цих теорій.
6. Досліджено умови існування розв’язків Фур’є (у вигляді сум рівномірно збіжних тригонометричних рядів з рівномірно збіжними рядами похідних, що містяться у рівняннях) крайових задач теорій оболонок типу Тимошенка в залежності від властивостей вільних членів диференціальних рівнянь і на цій основі розвинуто теоретичні основи послідовнісного подання узагальнених розв’язків крайових задач.
. Побудовано подібні фінітні функції з наперед заданими властивостями гладкості і відповідні їм подібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур’є і на цій основі побудовано функції Гріна крайових задач теорії пологих оболонок у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур’є.
8. Показано, що подібні фінітні функції є ефективними математичними моделями локальних поверхневих навантажень тонкостінних тіл, а також досліджено вплив параметрів, що характеризують гладкість густин локальних поверхневих навантажень і параметрів області локалізації, на розподіл напружень у шарі. Використання рівнянь модифікованої теорії оболонок Тимошенка для визначення напружено-деформованого стану шару при локальних поверхневих навантаженнях забезпечує достатню точність, якщо навантаження моделюється гладкою дельтоподібною фінітною функцією з діаметром області локалізації більшим ніж товщина шару.
. Побудовано математичну модель деформування тонкого криволінійного шару (покриття) при локально-імпульсному нагріві, в основу якої покладено послідовнісний підхід до моделювання навантажень і рівняння модифікованої теорії оболонок Тимошенка для випадку нехтування нормальними жорсткими поворотами.
10. Проведено теоретичний і числовий аналіз розв’язків задачі про локальне навантаження шарнірно опертої оболонки, прямокутної в плані, одержаних за допомогою рівнянь теорії оболонок Тимошенка, рівнянь класичної теорії оболонок Кірхгофа-Лява і спрощених рівнянь теорії оболонок типу Тимошенка, в основу спрощення яких покладено гіпотези про нехтовну малість нормальних жорстких поворотів. Показано, що деформований стан шарнірно закріпленої пологої оболонки за умов потенціальності поля зовнішніх тангенціальних сил та моментів і близькості кривин () характеризується нехтовно малими жорсткими поворотами відносно нормалі до серединної поверхні. Для випадку оболонки з різними головними кривинами жорсткий поворот відносно нормалі до серединної поверхні не змінюється по товщині оболонки і хоч не дорівнює нулеві, однак, як показує числовий аналіз, не суттєво впливає на напружено-деформований стан оболонки.
. Розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь стосовно динамічних задач теорії пологих оболонок типу Тимошенка, що ґрунтується на зображенні функцій Гріна у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур’є. При цьому крайові задачі для випадку однозв’язної границі серединної поверхні оболонки зводяться до системи трьох інтегральних рівнянь.
12. Розроблені числові схеми розв’язування граничних інтегральних рівнянь од-наково ефективні у застосуваннях до крайових задач як теорій оболонок типу Тимошенка, так і теорії оболонок Кірхгофа-Лява. Досліджено власні коливання шарнірно опертих прямокутних оболонок з підкріпленими або вільними від навантажень круговим і прямокутним отворами, а також оболонок з вирізами. Показано, що числові розв’язки задач про власні та вимушені коливання прямокутної пластинки з вільним від навантажень круговим отвором близькі до відомих розв’язків відповідних задач, одержаних методом скінчених елементів та методом Рітца.
Побудовано числові схеми розв’язання та знайдено розв’язки задач про власні та вимушені коливання оболонки з масивними включеннями.
. Розроблено методику побудови розв’язків задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних пластин та оболонок. Досліджено власні коливання неоднорідної пластинки, складеної з двох однорідних частин, в залежності від густин її частин.
14. Розроблено методику розв’язування методом інтегральних рівнянь контактних задач теорії оболонок, що ґрунтується на послідовнісному зображенні функції Гріна. Вона полягає у - побудові сингулярних розв’язків вихідних систем рівнянь у вигляді границь послідовностей узагальнених частинних сум рядів Фур’є; - формулюванні інтегральних рівнянь; - побудові дискретних аналогів інтегральних рівнянь, що ґрунтуються на лінійній дискретизації області контакту і апроксимації функцій послідовностями узагальнених частинних сум рядів Фур’є. У межах послідовнісного подання узагальнених розв’язків контактних задач одержано наближені їх розв’язки, які узгоджуються з відповідними гіпотезами теорій оболонок.
15. Побудовано математичну модель нелінійно пружного проміжного шару, що узагальнює відомі математичні моделі на випадок обмеження поперечного деформування шару. Сформульовано задачі про взаємодію пологих оболонок з жорсткими тілами через лінійно- та нелінійно-пружні шари і побудовано розв’язок задачі про взаємодію циліндричного резервуара з опорами через нелінійно-пружний шар.
. Запропоновано нові формулювання і побудовано розв’язки контактних задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами і задач про підкріплення оболонок. Розглянуто задачі про взаємодію оболонок з жорсткими елементами змінної кривини і досліджено розподіл контактних напружень при підкріпленні циліндричної оболонки жорстким бандажем овальної форми.
17. Розглянуті у дисертаційній роботі крайові задачі і відповідні їм інтегральні рівняння є типовими для інших галузей математичної фізики. Тому розвинуті методи послідовнісного підходу до побудови узагальнених функцій і математичних моделей локальних збурень фізичних полів, узагальнені методи підсумовування рядів, модифікації методу Фур’є та методу інтегральних рівнянь стосовно крайових задач мають значно ширшу область застосування. Вони ефективно можуть бути використані для розв’язування задач гідродинаміки, термодинаміки, в’язкопружності, дифракції та інших наук.
РОБОТИ, У ЯКИХ ОПУБЛІКОВАНІ ОСНОВНІ
ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Контактные задачи теории упругих
анизотропных оболочек. –К: Наук. думка, 1980. –с.
. Рівняння математичної фізики. Узагальнені розв’язки крайових задач: Навч. посібник / Рудавський Ю.К., Костробій П.П., Сухорольський М.А., Зашкільняк І.М., Колісник В.М., Микитюк О.А., Мусій Р.С. –Львів: Національний ун-т „Львівська політехніка”, 2002. –с.
3. Сухорольский М.А. Про штучне введення малих параметрів у задачах теорії
пружності // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Диф. рівняння і їх застосування. –. - № 242. –С. 93–.
4. Сухорольський М.А. Про підсумовування тригонометричних рядів // Вісн.
держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Диф. рівняння та їх застосування. - 1992.
- № 261. - С. 140–.
. Сухорольський М.А. Спрощені математичні моделі напруженого стану тонкого шару // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикл. математика. – 1997.
- № 320. –С 140–.
. Сухорольський М.А. Про порядок локального наближення функцій тригонометричними поліномами –частинними сумами операторів усереднення // Укр. мат. журн. –. - № 5. –С. 706–.
. Сухорольський М.А. Редукція тривимірної задачі теорії пружності для криволінійного шару до двовимірної // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикл. математика. –. - № 346. –С. 115–.
. Сухорольський М.А. Підсумовування за Ейлером степеневих і тригонометричних рядів // Мат. методи і фіз.-мат. поля. –. –Т. 42, № 3. –С. 106–.
. Сухорольський М.А. Узагальнений розв’язок динамічної задачі для оболонки Тимошенка // Вісн. Львів. ун-ту. Серія механіко-математична. –. –Вип. 57.
- С. 162–.
10. Сухорольський М.А. Тонке покриття під локальним навантаженням // Фіз.-хім. механіка матеріалів. –. –Т. 36, № 6. - С. 33-38.
. Сухорольський М.А. Метод граничних елементів розв’язування динамічних задач для оболонки з отвором // Машинознавство. -2000. - № 3. - С. 27–.
. Сухорольський М.А. Неявні малі параметри в граничних задачах теорії оболонок // Мат. методи і фіз.-мех. поля. –. –Т. 42. -№3. –С. 126–.
. Сухорольський М.А. Узагальнені граничні інтегральні рівняння в теорії обо-
лонок Тимошенка // Мат. методи і фіз.-мех. поля. –. –Т. 42, № 4. –С. 40-46.
. Сухорольський М.А. Згинні коливання прямокутної ортотропної пластинки з масивним включенням // Машинознавство. - 2001. - № 1. - С. 8-12.
. Сухорольський М.А., Колісник В.М. Про представлення дельтоподібних послідовностей // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Диф. рівняння та їх застосування. –. - № 269. - С. 188-192.
. Сухорольский М.А., Костенко И. С. Секвенциальное представление решений контактных задач теории оболочек // Теорет. и прикл. механика. –. –Вып. 36.
–С. 108-115.
. Сухорольський М.А., Костенко І.С., Микитюк О.А., Зашкільняк І. М. Послі-
довнісний підхід до моделювання локальних збурень фізичних полів // Вісн.
Запорізького держ. ун-ту. –. - №1. –С. 106-110.
. Бурак Я.Й., Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А. Узагальнені розв’язки Фур’є крайових задач теорії оболонок // Мат. методи і фіз.-мех. поля. –. –Т. 44, №4. –С. 57-62.
Бурак Я.Й., Сухорольський М.А. Взаємодія пружної оболонки і жорсткого тіла через нелінійно-пружний шар // Машинознавство. –. - № 11. –С. 10-13.
. Бурак Я.Й., Сухорольський М.А. Коливання кусково –однорідних оболонок і пластин // Машинознавство. –. -№ 12. –С. 3-8.
. Зашкильняк И.М., Костенко И. С., Сухорольский М.А. Исследование изгибных колебаний прямоугольной ортотропной пластины с отверстием методом
граничных элементов // Теорет. и прикл. механика. –. –Вып. 34. - С. 152–.
. Колесник В.М., Сухорольский М.А. О взаимосвязи перемещения и внешнего
усилия для одного класса контактных задач теории пластин // Вестн. Львов. политехн. ин-та. Диф. уравнения и их приложения. –. - № 202. –С. 54–.
. Мартинович Т.Л., Сухорольський М.А. Комплексні функції напружень для задач згину пластинок тимошенківського типу // Крайові задачі термомеханіки. Частина 2. –К.: Ін-т математики НАН України, 1996. - С. 18–.
. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Про один підхід до побудови теорії оболонок з врахуванням граничних умов на поверхнях // Доп. АН УРСР. Сер. А. –. -№ 5. –С. 444–.
. Пелех Б.Л., Сухорольський М.А. Про один метод апроксимації функції і її першої похідної поліномами Лежандра та його застосування // Доп. АН УРСР. Серія А. - 1980. -№ 3. –C. 25–.
. Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А., Микитюк О.А. Метод Фур’є стосовно до динамічних задач для оболонок з отворами // Машинознавство. –. - № 1. –С. 15-19.
. Рудавський Ю.К., Сухорольський М.А., Микитюк О.А., Колісник В.М. Поперечні коливання пологої оболонки постійної кривини з жорстким включенням // Вісн. держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикл. математика. –. - № 337. –С. 389–.
. Шопа В.М., Сухорольский М.А. Про один клас контактних задач теорії оболонок // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1987. - № 9. - С. 41–.
. Шопа В.М., Сухорольский М.А., Полевой Б.Н. Математическая модель нелинейной механической системы с упорами // Прикл. механика. –. - Т. 26, № 4.
- С. 109–.
Анотація. Сухорольський М.А. Математичні моделі та методи механіки тонкостінних пружних тіл при локальних навантаженнях. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 –механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригала НАН України, Львів, 2003.
Сформульовано послідовнісний підхід до визначення напружено-деформованого стану локально навантажених тонкостінних пружних тіл (пластин, оболонок, шарів, покрить), який включає послідовнісне подання математичних моделей локальних навантажень, математичних моделей деформування тонкостінних тіл та узагальнених розв’язків відповідних крайових задач. Розвинуто метод послідовнісного подання двовимірних математичних моделей деформування тонкостінних тіл і на цій основі побудовано теорії оболонок з відсутніми нормальними жорсткими поворотами. Побудовано дельтоподібні фінітні функції з заданими властивостями гладкості та відповідні їм дельтоподібні послідовності узагальнених частинних сум рядів Фур’є. На цій основі сформульовано математичні моделі локальних навантажень і побудовано узагальнені розв’язки крайових задач теорії оболонок з сингулярними вільними членами рівнянь. Розвинуто метод інтегральних рівнянь стосовно до крайових та контактних задач теорії оболонок, що ґрунтується на послідовнісному поданні функцій Гріна. Побудовано розв’язки задач про вимушені та власні коливання кусково-однорідних оболонок, оболонок з отворами, вирізами та масивними включеннями. Побудовано узагальнені розв’язки контактних задач про взаємодію оболонок з жорсткими тілами через лінійно та нелінійно-пружні шари.
Ключові слова: тонкостінне тіло, оболонки з отворами, кусково-однорідні оболонки, контактні задачі, узагальнений розв’язок, метод інтегральних рівнянь, послідовнісний підхід, дельтоподібна послідовність, узагальнена сума ряду.
Abstract. Sukhorolsky M.A.
Mathematical Models and Methods in Mechanics of Thin-Walled Elastic Bodies under Local Loadings. –Manuscript.
A thesis for the Doctor Degree in Physics and mathematics (speciality 01.02.04 –Mechanics of Deformable Solids). - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2003.
The sequential approach to defining stress-strained states of locally loaded thin-walled
bodies (plates, shells, layers, coverings) has been formulated. It includes sequential representation of mathematical models of local loadings and thin-walled bodies deforming, as well as generalized solutions to corresponding boundary problems. The method of sequential representation of mathematical models of shell deforming is developed and the theory of shells, in which normal rigid turnings are neglected, is constructed. Delta-like finite functions with the given properties of smoothness and corresponding to them delta-like sequences of generalized partial sums of Fourier series are also constructed. On this basis mathematical models of local loadings are formulated and generalized solutions to boundary problems of the theory of shells with the singular right parts of equations are constructed. The method of integral equations applicable to the boundary and contact problems of the theory of shells, based on the sequential representation of Green functions, has been developed. The solution of problems on forced and proper oscillations of piece-homogeneous shells and those with holes, cuts and massive inclusions are constructed. Generalized solutions of contact problems on shell interaction with rigid bodies through linear and non-linear elastic layers are constructed.
Key words: thin-walled body, shells with holes, piece-homogeneous shells, contact problem, generalized solution, method of integral equations, sequential approach, delta-like sequence, generalized sums of series.
Аннотация. Сухорольский М.А. Математические модели и методы механики тонкостенных упругих тел при локальных нагружениях. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 –механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2003.
Развит последовательностный подход к определению напряженно-деформированного состояния локально нагруженных тонкостенных тел (пластин, оболочек, слоев, покрытий). В его основу положены последовательностные представления математических моделей локальной нагрузки, математических моделей деформирования тонкостенных тел и обобщенных решений соответствующих краевых задач.
Систематизированы и строго изложены два способа редукции трехмерных задач теории упругости для тонкостенного тела к двумерным, в основу которых положено приближение искомых величин последовательностями частичных сумм рядов по полиномам Лежандра от толщиной координаты. Уравнения первых приближений решений трехмерных задач соответствуют теории оболочек Тимошенко и модифицированной теории оболочек Тимошенко, которые соответственно используются для решения краевых задач с условиями первого рода и второго рода на лицевых поверхностях тонкостенных тел (оболочек). С целью упрощения двумерных математических моделей деформирования тонкостенных тел развит метод приближения искомых величин краевых задач теорий оболочек Тимошенко последовательностями частичных сумм рядов по степеням введенных малых параметров и построены теории оболочек, в которых пренебрегается нормальными (к срединной поверхности оболочки) жесткими поворотами. При этом вместо двух тангенциальных перемещений и двух улов поворота нормали вводятся соответствующие им потенциальные функции. В рамках этих теорий сформулированы взаимно двойственные вариационные принципы.
Построены дельтообразные финитные функции с заданными свойствами гладкости и соответствующие им дельтообразные последовательности обобщенных частичных сумм рядов Фурье. На этой основе развит математический аппарат последовательностного представления математических моделей локальных нагрузок и обобщенных решений задач о локальном нагружении пологой оболочки и тонкого слоя. Построены численные решения задачи о локальном поверхностном нагружении плоского слоя с использованием уравнения теории упругости и уравнения модифицированной теории оболочек Тимошенко. Исследовано влияние параметров математических моделей локальной нагрузки на точность определения напряжений в слое при использовании уравнений теории оболочек. Построена двумерная математическая модель деформирования тонкого покрытия (слоя), находящегося под локально-импульсным температурным и силовым воздействиями. Исследованы также перемещения цилиндрической панели, локально нагруженной объемными силами, с использованием уравнений различных теорий оболочек.
Развит метод интегральных уравнений применительно к краевым и контактным задачам теории оболочек, основанный на представлении функций Грина в виде пределов последовательностей обобщенных частичных сумм тригонометрических рядов Фурье. Подробно изложено решение методом граничных уравнений краевых задач для уравнения Гельмгольца, а также исследована устойчивость и сходимость численных решений задач колебания полигональной мембраны и прямоугольной мембраны с отверстием. Алгоритмы численного решения этих задач легко обобщаются на задачи различных теорий оболочек. В рамках теорий оболочек типа Тимошенко сформулированы интегральные уравнения и построены решения задач о собственных и вынужденных колебаниях кусочно-однородных оболочек, оболочек с отверстиями, вырезами и массивными включениями.
Рассмотрены также контактные задачи о взаимодействии оболочек с жесткими телами через линейно- и нелинейно-упругие слои. Построена математическая модель нелинейно-упругого слоя, обобщающая известные модели на случай ограничения поперечной деформации слоя. Вследствие последовательностного представления функций Грина среди соответствующих вариант, образующих обобщенные решения контактных задач, выделены те из них, которые не противоречат принятым в теории оболочек гипотезам. Исследованы контактные напряжения при взаимодействии цилиндрических резервуаров с опорами, а также контактные напряжения при подкреплении цилиндрической оболочки бандажом овальной формы.
Диссертация состоит из введения, шести разделов, выводов, списка литературы и двух приложений.
Ключевые слова: тонкостенное тело, оболочки c отверстиями, кусочно-однородные оболочки, контактные задачи, обобщенное решение, метод интегральных уравнений, последовательностный подход, дельтаобразная последовательность, обобщенная сумма ряда.
Підписано до друку 09.07.2003 р.
Формат 60х90 1/16. Папір офсетний.
Друк на різографі. Умовн. друк. арк. 2,3. Обл.-видав. арк. 1,5.
Тираж 100 прим. Зам. 30527.
Поліграфічний центр
Видавництва Національного університету „Львівська політехніка”
Вул. Ф.Колесси, 2, 79000. Львів