Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа №1.Растяжение стального образца до разрыва. Определение механических характеристик прочности и пластичности |
4 |
Лабораторная работа №2.Определение твердости материала |
10 |
Лабораторная работа №3.Исследование прочностных и пластических свойств материалов при сжатии |
13 |
Лабораторная работа №4.Исследование упругих свойств стали в области справедливости формул растяжения-сжатия |
18 |
Лабораторная работа №5.Исследование особенностей напряженного состояния поляризационно-оптическим методом |
23 |
Лабораторная работа №6.Исследование упругих свойств стали при кручении |
29 |
Лабораторная работа № 7.Испытание стального образца на перерезывание |
31 |
Лабораторная работа № 8.Определение деформации винтовой пружины |
33 |
Лабораторная работа № 9.Исследование напряженного состояния при изгибе стальной балки двутаврового сечения |
36 |
Лабораторная работа № 10.Определение центра изгиба в сечении балки с тонкостенным незамкнутым профилем |
46 |
Лабораторная работа № 11.Исследование границ применимости приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки |
49 |
Лабораторная работа № 12.Определение прогибов гибкой балки на двух опорах, подвергнутой чистому изгибу |
53 |
Лабораторная работа № 13.Изгиб листовой рессоры |
57 |
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТНЫХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
При проектировании конструкций и деталей машин возникает необходимость в выборе материала, а также формы и размеров поперечных сечений элементов. Для решения этих задач нужно располагать сведениями о прочности, пластичности, изотропности материалов и их способности противостоять разрушению при условиях, характерных для условий эксплуатации конструкции.
Для получения количественных оценок указанных свойств необходимо провести исследования материалов в различных условиях. В результате обработки опытов можно получить условные величины, так называемые механические характеристики прочности и пластичности.
Методика проведения испытаний регламентируется требованиями ГОСТ.
РАСТЯЖЕНИЕ СТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА ДО РАЗРЫВА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ
Цель работы: получение диаграммы растяжения и определение механических характеристик прочности и пластичности при статическом разрыве образца малоуглеродистой стали.
Испытанию подвергается стандартный образец цилиндрической формы (рис.1.1) с отношением .
|
Рис.1.1 |
Испытания проводятся на специальной разрывной машине, снабженной записывающим устройством. Машина может работать с небольшой скоростью перемещения захватов, чем обеспечиваются статические условия испытания. На образец через захваты передается продольная растягивающая нагрузка, вызывающая его удлинение. По величине нагрузки и соответствующему ей удлинению делаются выводы о прочностных и деформационных свойствах материала. Параметры процесса автоматически отображаются на диаграмме растяжения образца в осях «нагрузка – перемещение ». При обработке результатов численные значения параметров снимаются с диаграммы с использованием масштабных коэффициентов.
На рис.1.2,а приведена диаграмма растяжения образца малоуглеродистой отожженной стали. На диаграмме видны четыре характерных участка: ОВ – начальный участок, соответствующий упругой стадии работы металла (деформация образца подчиняется закону Гука); СС1 – площадка текучести; С1К – участок упрочнения; КD – участок образования «шейки» на образце. В процессе растяжения на участках ОВ, ВК образец удлиняется по всей своей расчетной длине равномерно. В начале участка КD удлинение образца становится неравномерным, образуется шейка и сопротивление растяжению снижается по кривой КD диаграммы.
|
Рис. 1.2 |
Механические характеристики прочности материала ( - площадь поперечного сечения образца до его растяжения):
; (1.1)
; (1.2)
; (1.3)
при отсутствии на диаграмме растяжения физической площадки текучести принято определять
; (1.4)
. (1.5)
. (1.6)
При определении характеристик прочности соответствующую нагрузку относят во всех случаях к первоначальной площади поперечного сечения образца A0 , хотя по мере растяжения площадь поперечного сечения непрерывно уменьшается. Следовательно, все характеристики прочности – условные напряжения.
При нагрузке, превышающей FТ в материале возникают необратимые пластические деформации, наблюдаемые визуально (на рис.1.2б показано изменение формы образца сравнительно с первоначальной). Участок СК диаграммы соответствует дальнейшим структурным изменениям материала образца, которые приводят к деформационному упрочнению. На участке КD удлинение образца становится неравномерным. Пластические деформации локализуются вблизи образовавшейся шейки.
На рис.1.3 приведены диаграммы условных напряжений (1) и истинных – (2). Значения истинных напряжений постоянно растут вплоть до момента разрыва.
|
Рис. 1.3 |
Рассмотрим диаграмму растяжения образца (рис.1.2а). Если в любой момент, например, в точке E разгрузить образец, то линия разгрузки EM будет параллельна прямой OВ, так как при разгрузке исчезают упругие деформации, подчиняющиеся закону Гука. При дальнейшем нагружении этого образца усилие в нем будет увеличиваться пропорционально его удлинению по прямой ME до величины нагрузки, при которой началась разгрузка образца. В результате разгрузки образца произошло увеличение упругих и прочностных свойств материала. Такое явление повышения упругих и прочностных свойств материала в результате предварительного пластического деформирования носит название наклепа. Пластические свойства материала при наклепе снижаются.
Пластические свойства материала при кратковременных испытаниях на разрыв измеряются двумя механическими характеристиками:
(1.7)
где - длина образца после разрыва, и
, (1.8)
Работа силы, растягивающей образец, определяется интегралом вида , где , или площадью диаграммы растяжения (рис. 1.2а). Полная работа W складывается из двух составляющих: работы, затрачиваемой на упругое деформирование образца , которая возвращается при разгрузке или разрыве в виде механической работы, и работы затрачиваемой на пластическое деформирование . Для подсчета полной работы, затраченной на деформирование образца, определяется площадь фигуры, ограниченной диаграммой, по формуле , в которой произведение выражает площадь параллелограмма, описанного около диаграммы растяжения, -коэффициент заполнения диаграммы, показывающий, какую часть площади параллелограмма занимает диаграмма растяжения. Из опытов установлено, что для малоуглеродистых сталей =0.8÷0.9; в расчете можно принять =0.85.
Для подсчета удельной работы разрыва нужно работу, затраченную на разрыв образца разделить на начальный объем рабочей части образца V0
Выводы.
В результате испытания стального образца получены механические характеристики прочности и пластичности. Сравнив их с данными ГОСТа, можно ориентировочно установить марку стали, из которой был изготовлен опытный образец (таблица 1).
Контрольные вопросы:
Таблица 1.
Механические свойства углеродистой стали обыкновенного качества ГОСТ 380-71 группы А
|
Марка стали |
Временное сопротивление |
Предел текучести |
Относительное удлинение, % |
|
|
Ст 0 |
310 |
- |
23-20 |
19-16 |
|
Ст 1 кп |
310-400 |
- |
35-32 |
30-27 |
Ст 1 пс,Ст 1 сп |
320-420 |
- |
34-31 |
29-26 |
|
Ст 2 кп |
330-420 |
220-190 |
33-30 |
28-25 |
|
Ст 2 пс, Ст 2 сп |
340-440 |
230-200 |
32-29 |
27-24 |
|
Ст 3 кп |
370-470 |
240-200 |
27-24 |
23-20 |
|
Ст 3 пс, Ст 3 сп |
380-490 |
250-210 |
26-23 |
22-19 |
|
Ст 3 Гпс |
380-500 |
250-210 |
26-23 |
22-19 |
|
Ст 4 кп |
410-520 |
260-230 |
25-22 |
21-18 |
|
Ст 4 пс, Ст 4 сп |
420-540 |
270-240 |
24-21 |
20-17 |
|
Ст 5 пс, Ст 5 сп |
500-640 |
290-260 |
20-17 |
17-14 |
|
Ст 5 Гпс |
460-600 |
290-260 |
20-17 |
17-14 |
|
Ст 6 пс, Ст 6 сп |
600 |
320-300 |
15-12 |
13-10 |
Примечания.
Твердость это способность материала сопротивляться проникновению в него другого более твердого тела. Количественно это свойство материала измеряется числом твердости. Для определения твердости материалов, а следовательно, и для определения числа твердости существуют следующие способы, названные, как правило, именами исследователей, предложивших их: по Бринелю, по Роквеллу, по Кубасову, по Шору и по Виккерсу. Почти все они основаны на вдавливании в испытываемый образец механическим способом наконечника той или иной формы – закаленного стального шарика (Бринель, Роквелл), конуса (Кубасов, Роквелл), алмазной пирамиды (Виккерс) – и последующем измерении получившегося отпечатка.
За число твердости принимают отношение нагрузки, передаваемой через наконечник, к поверхности образовавшегося отпечатка (Бринель, Кубасов, Виккерс), или к глубине проникновения наконечника (Роквелл). Исключение составляет метод Шора, основанный на измерении твердости по высоте отскока бойка, падающего с определенной высоты на поверхность испытываемого материала.
Таким образом, числа твердости – это некоторые условные численные величины, различные при определении по разным методам. Важно то, что эти числа твердости определенным образом связаны с величиной временного сопротивления – одной из важнейших характеристик прочности материала.
Определение твердости материала по способу Бринеля.
Цель работы: определение временного сопротивления стали по числу твердости.
При определении твердости по Бринелю в испытываемый образец вдавливается на специальном прессе силой F закаленный стальной шарик диаметром D. При этом на поверхности образца остается отпечаток в виде лунки диаметром d (рис. 2.1).
Числом твердости по Бринелю называется отношение
где – площадь образовавшейся лунки,
.
|
Рис. 2.1 |
Между числом твердости по Бринелю и временным сопротивлением при разрыве образца из пластичной стали существует соотношение
(МПа).
Испытания проводятся на прессе Бринеля с механическим приводом. Основными характеристиками пресса при проведении испытания являются диаметр шарика D, наибольшая нагрузка на шарик , время выдержки нагрузки t.
Диаметр отпечатка измеряется специальным микроскопом в двух взаимно перпендикулярных направлениях, из которых берется среднее значение. Зная диаметр отпечатка, диаметр шарика и нагрузку, по специальным таблицам (таблица 2), можно найти соответствующее этим данным число твердости по Бринелю.
Вывод: подсчитав по числу твердости временное сопротивление стали, можно сравнить его со значением временного сопротивления, полученным при непосредственном разрыве этого же образца.
Контрольные вопросы:
Таблица 2.
Определение числа твердости по Бринелю
|
Диаметр* отпечатка или , мм |
Число твердости по Бринелю, МПа, при нагрузке F, Н, равной |
||
|
300D2 |
100D2 |
25D2 |
|
|
2,90 2,95 3,00 |
4440 4290 4150 |
- - - |
- - 346 |
|
3,05 3,10 3,15 3,20 3,25 3,30 3,35 6,40 3,45 3,50 |
4010 3880 3750 3630 3520 3410 3310 3210 3110 3020 |
- 1290 1250 1210 1170 1140 1100 1070 1040 1010 |
334 323 313 30,3 293 284 276 267 259 252 |
|
3,55 3,60 3,65 3,70 3,75 3,80 3,85 3,90 3,95 4,00 |
2930 2850 2770 2690 2620 2550 2480 2410 2350 2290 |
977 950 923 897 872 849 826 804 783 763 |
245 237 231 224 218 212 207 201 196 191 |
|
4,10 4,20 4,30 4,40 4,50 |
2170 2070 1970 1870 1790 |
724 688 655 624 595 |
181 172 164 156 149 |
|
4,60 4,70 4,80 4,90 5,00 |
1700 1630 1560 1490 1430 |
568 543 519 496 475 |
142 136 130 124 119 |
D=10мм. Для определения по таблице числа твердости при испытании шариком в 2,5 мм надо умножить на 4.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТНЫХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СЖАТИИ
Цель опытов: сравнительное изучение свойств различных материалов при испытании их на статическое сжатие.
Испытанию на сжатие подвергаются образцы пластичной стали, чугуна, дерева, цементного камня. Образцы древесины, как материала анизотропного, испытываются вдоль, и поперек волокон.
Вид образцов для испытания на сжатие влияет на величины определяемых механических характеристик, поэтому их делают стандартных размеров и формы в соответствии с требованиями ГОСТа.
Испытания проводят на гидравлическом прессе. Пресс имеет устройство для автоматического вычерчивания диаграмм сжатия. Приспособление дает диаграммы малого размера и небольшой точности. Поэтому эти диаграммы обычно используются лишь для качественной иллюстрации процесса сжатия, но не для количественных измерений.
3.1 Исследование на сжатие образца из пластичной стали.
Образец изготавливается в форме цилиндра, высота которого удовлетворяет требованиям: . Перед испытанием измеряется высота – с точностью до 0,1 мм и диаметр – до 0,01 мм.
В процессе сжатия образец расширяется, принимая бочкообразную форму, и даже расплющивается без видимых признаков разрушения (рис. 3.1). В случае недостаточной пластичности материала на боковой поверхности образца могут появиться мелкие трещины, не ведущие, однако, к полному разрушению. Опыты приходится прекратить, не определив разрушающей нагрузки. Примерный вид диаграммы сжатия, получающейся при этом испытании, представлен на рис. 3.2. На диаграмме хорошо заметен участок упругого деформирования образца в соответствии с законом Гука. Можно найти нагрузку и подсчитать предел пропорциональности стали , поделив на первоначальную площадь сечения образца.
Однако обнаружить площадку текучести, подсчитать предел текучести, временное сопротивление в данном опыте невозможно. Объясняется это тем, что при сжатии образца за пределом пропорциональности происходит постоянное увеличение поперечного сечения, поэтому даже для поддержания постоянного напряжения нагрузка все равно должна расти. На участке же упрочнения рост деформаций, как это было показано на примере диаграммы растяжения, сопровождается ростом напряжений, поэтому при сжатии, вызывающем значительное расширение образца, нагрузка на него растет особенно интенсивно и со все возрастающей скоростью.
|
Рис. 3.1 Рис. 3.2 |
3.2 Исследование на сжатие образца из чугуна.
Образец имеет форму цилиндра с размерами . Высота измеряется с точностью до 0,1 мм, диаметр – до 0,01 мм.
В процессе сжатия образец приобретает бочкообразную форму, что свидетельствует о небольших пластических деформациях, а затем внезапно разрушается, о чем можно судить по резкому падению нагрузки. На боковой поверхности образца появляются трещины, ориентированные приблизительно под углом (рис. 3.3).
|
Рис. 3.3 Рис. 3.4 |
Диаграмма сжатия чугуна (рис. 3.4) имеет вид, характерный для хрупких материалов. Протяженность ее вдоль оси мала; единственная из механических характеристик прочности, которую можно в данном случае найти, - это предел прочности .
3.3 Исследование на сжатие дерева вдоль и поперек волокон
Для испытания изготовляются образцы кубической формы стандартных размеров со стороной, равной 4 – 5 см. Перед установкой на прессе размеры образца измеряются с точностью до 0,1 см. Характерный вид образцов до и после испытания показан на рис. 3.5,а,б.
При сжатии вдоль волокон образец деформируется мало, главным образом за счет смятия торцов, и разрушается как хрупкий материал, с образованием продольных трещин и поперечных складок (рис.3.5,а). Хрупкий характер разрушения древесины при сжатии вдоль волокон подтверждает и вид диаграммы сжатия (рис.3.6, кривая 1). В результате испытания определяется предел прочности .
|
Рис. 3.5 Рис. 3.6 |
При сжатии древесины поперек волокон (рис.3.5,б) образец ведет себя как пластичный материал. Он сильно деформируется при весьма малом возрастании нагрузки. При отсутствии сучков в образце, деформации происходят без появления видимых признаков разрушения (трещин). Обычно испытание прекращают при уменьшении высоты образца на 1/3 (рис.3.6, кривая 2) и по нагрузке, отмеченной в этот момент испытания, условно подсчитывают максимальное напряжение: .
Предел прочности при сжатии вдоль волокон, как правило, в 7-9 раз выше, чем напряжение при сжатии поперек волокон. Таким образом, пластические и прочностные свойства древесины вдоль и поперек волокон различны; следовательно, это анизотропный материал. В связи с этим допускаемое напряжение для древесины зависит от того, под каким углом направлено сжимающее усилие по отношению к слоям древесины.
3.4 Исследование на сжатие искусственного цементного камня
Стандартная форма образца – кубик со стороной 70,7 мм, площадь поперечного сечения его близка к 50 см2 . Цементный камень очень хрупкий материал. При установке образца на прессе требуется особенно тщательно отнестись к центрированию нагрузки, т.к. небрежность на этом этапе проведения опыта может существенно исказить результаты.
|
Рис. 3.7 |
Как видно из диаграммы сжатия цементного камня (рис. 3.8), его разрушение происходит практически без заметной остаточной деформации. Характерный вид разрушения образца представлен на рис. 3.7,б.
Единственная механическая характеристика, которую можно определить в результате испытания – это предел прочности . Форма разрушения в виде двух усеченных пирамид, соединенных меньшими основаниями в средней части высоты образца, объясняется действием сил трения, возникающих по плоскости соприкосновения образца с плитами пресса. Силы трения препятствуют равномерному расширению образца. Справедливость этого утверждения подтверждает опыт на сжатие того же образца, но с использованием парафиновой смазки, уменьшающей трение в плоскостях соприкосновения с плитами пресса. В этом случае разрушение происходит так, как показано на рис.3.7.в. Образование продольных трещин свидетельствует о том, что разрушение происходит от нарушения сопротивления отрыву при поперечном расширении образца.
Сравнивая между собой результаты опытов на сжатие различных материалов, можно сделать общий вывод о том, какие из них были хрупкими, пластичными, изотропными, анизотропными, почему им даны такие оценки.
Испытания на сжатие распространены значительно меньше, чем испытания на разрыв. Это объясняется трудностями получения в образце малой высоты однородного напряженного состояния сжатия. Использовать же образцы, более чем в два раза превышающие поперечный размер, нежелательно, т.к. в этих условиях не исключено наложение на центральное сжатие деформации изгиба из-за потери устойчивости образца.
|
Рис.3.8 |
Кроме того, проведенные испытания показывают, что из испытаний на сжатие извлекается значительно меньше информации, чем на растяжение. Особенно это относится к результатам испытания пластических материалов, в частности стали, для которой при сжатии из всех механических характеристик прочности и пластичности удалось определить только предел пропорциональности. Однако для хрупких материалов, которые имеют, как правило, различную прочность на растяжение и сжатие и которые обычно работают в конструкциях именно на сжатие, испытание образцов на сжатие совершенно необходимо.
Контрольные вопросы:
ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГИХ СВОЙСТВ СТАЛИ В ОБЛАСТИ СПРАВЕДЛИВОСТИ ФОРМУЛ РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ
Цель работы: проверка справедливости закона Гука при растяжении и определение упругих постоянных стали – коэффициента Пуассона и модуля продольной упругости.
Из опытов на растяжение и сжатие образцов различных материалов известно, что до определенного напряжения они ведут себя упруго, т.е. при разгрузке полностью восстанавливают свои первоначальные форму и размеры. В конструкционных материалах упругие деформации так малы, что для их измерения необходимо применять специальные приборы, называемые тензометрами, которые измеряют деформации с увеличением в 900 1200 раз. Упругие деформации в большинстве конструкционных материалов можно считать линейно зависящими от напряжения. Так, при осевом растяжении или сжатии . Коэффициент пропорциональности Е в этой зависимости для каждого материала имеет постоянное значение. Величина Е называется модулем продольной упругости или модулем Юнга.
При растяжении или сжатии образца деформации происходят не только в продольном направлении, но и в поперечном. Опытным путем установлено, что соотношение между относительными поперечными и относительными продольными деформациями в пределах пропорциональности есть величина постоянная для каждого материала:
.
Эта величина называется коэффициентом Пуассона. Знак минус в этой зависимости объясняется тем, что деформации и всегда противоположны по знаку. Например, при растяжении продольная деформация (удлинение) положительна, а поперечная (сжатие) – отрицательна.
Итак, модуль продольной упругости и коэффициент Пуассона – это постоянные, характеризующие упругие свойства материала.
Для определения упругих постоянных стальной образец подвергается растяжению и проводится измерение упругих деформаций в продольном и поперечном направлениях.
Измерение линейных упругих деформаций производится с помощью рычажных тензометров. Схема прибора показана на рис.4.1.
|
Рис. 4.1 |
Прибор крепится к образцу С. Расстояние между нижним ребром подвижной призмы и острием неподвижного ножа называется базой прибора. Рычаг жестко соединен с опорной призмой и шарнирно связан тягой с показывающей стрелкой, один конец которой закреплен неподвижно, а другой перемещается по зеркальной шкале.
При изменении длины образца на базе на величину произойдет поворот призмы , и соединенный с ней рычаг с помощью тяги переместит стрелку на величину . Разность отсчетов пропорциональна удлинению . Коэффициент увеличения прибора К измеряется соотношением плеч в рычажной системе прибора и равен
.
Обычно К=900÷1200. Зная коэффициент увеличения прибора К, можно найти деформацию .
Таким образом, характеристиками тензометра являются база прибора и коэффициент увеличения К.
С учетом удобства размещения измерительных приборов, экспериментальный образец изготовлен в форме сравнительно тонкой, но достаточно широкой и длинной пластины (рис.4.2).
Ее поперечные размеры должны быть измерены перед испытанием с точностью до 0,1 мм. Тензометры для измерения продольных и поперечных деформаций устанавливаются попарно с противоположных сторон образца – пластины. Такое размещение тензометров позволяет, во-первых, обнаружить неточности центрирования образца и, по возможности, их устранить; а, во-вторых, привести показания приборов к оси образца и, таким образом, исключить ошибку в показаниях, связанную с эксцентриситетом приложения нагрузки.
|
Рис. 4.2 |
Чтобы проверить справедливость закона Гука в условиях осевого растяжения, необходимо убедится в существовании линейной зависимости упругих продольных и поперечных деформаций от нагрузки, приложенной к образцу. Поэтому нагружение будем проводить равными ступенями. Число ступеней должно быть не слишком мало, так как иначе трудно сделать надежный вывод о закономерности, связывающей и F. Оптимальное число ступеней нагрузки .
Прежде всего необходимо проанализировать полученную в опыте зависимость между нагрузкой F и деформациями образца. Проще всего, а главное нагляднее, это можно сделать, построив по экспериментальным данным график . Абсолютное значение продольной деформации образца от изменения нагрузки на равно приращению показаний по двум тензометрам, деленному на два и на коэффициент увеличения:
.
При этом относительная продольная деформация от одной ступени нагрузки равна .
Абсолютное значение продольной деформации, после п ступеней нагрузки, равно:
а относительная деформация
,
где К1 и - коэффициент увеличения и база тензометров, измеряющих продольную деформацию.
Для абсолютных и относительных значений поперечных деформаций получаем аналогичные зависимости:
, ;
, ,
где К2 и - коэффициент увеличения и база тензометров, измеряющих поперечные деформации.
Таким образом, продольные и поперечные деформации в процессе опыта пропорциональны величинам и соответственно. По данным опыта построим экспериментальный график, выражающий зависимость между F и , причем будет увеличено в 2К раз (рис. 4.3).
|
Рис. 4.3 |
Если экспериментальные точки на графиках хорошо согласуются с прямолинейными зависимостями, можно сделать вывод о том, что закон Гука как для продольных, так и для поперечных деформаций справедлив.
В таком случае для подсчета модуля упругости можно воспользоваться законом Гука в форме
,
где - приращение напряжения на одной ступени нагрузки ,
- среднее значение относительной продольной деформации от одной ступени нагрузки,
.
Для подсчета коэффициента Пуассона найдем среднее значение относительной поперечной деформации от одной ступени нагрузки
.
Тогда коэффициент Пуассона
.
Из наблюдения, что график для продольных и поперечных деформаций может быть интерпретирован двумя пересекающимися прямыми, следует заключение о постоянстве коэффициента Пуассона в пределах пропорциональности.
В выводах необходимо дать оценку, подтверждается ли в проведенном опыте закон Гука для продольных и поперечных деформаций, постоянен ли коэффициент Пуассона в пределах пропорциональности. В заключении рекомендуется сопоставить опытные значения Е и с табличными.
Контрольные вопросы.
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Цель работы: ознакомление с поляризационно-оптическим методом исследования напряженного состояния; наблюдение концентрации напряжений вблизи отверстий, мест приложения нагрузки, резкого изменения размеров поперечного сечения на примере осевого растяжения (сжатия) моделей; сравнение коэффициента концентрации напряжений при разной форме отверстий; иллюстрация принципа Сен-Венана.
Основы поляризационно-оптического метода
Поляризационно-оптический метод исследования напряжения является одним из наиболее наглядных экспериментальных методов. В нем по интерференционной картине, возникающей в модели под нагрузкой, можно судить о величинах напряжений и деформаций. Модели изготавливаются из специальных прозрачных оптически активных материалов. Примерами таких материалов являются: стекло, целлулоид, бакелит, желатин, оргстекло, эпоксидные, полиэфирные и др. смолы.
Оптическая активность изотропных материалов заключается в возникновении в них под нагрузкой искусственной анизотропии или искусственного двойного лучепреломления.
Рассмотрим процесс исследования модели, находящейся в плоском напряженном состоянии, с помощью поляризационно-оптического метода.
Схема поляризационной установки представлена на рис.5.1:
|
Рис.5.1 |
Выходящий из поляризатора плоскополяризованный свет дает в каждой точке напряженной модели начало двум когерентным волнам.
Плоскости колебаний волн совпадает с плоскостями главных напряжений в модели, а скорости их распространения различны и зависят от величин главных напряжений и оптической активности материала. Из-за различной скорости распространения волн на пути, равном толщине модели t, накапливается некоторая разность хода волн δ. Анализатор представляет из себя точно такой же поляроид, как и поляризатор, но пропускающий световые волны, плоскость колебаний которых перпендикулярна плоскости колебаний волн, выходящих из поляризатора. При отсутствии модели свет через систему поляризатор - анализатор не проходит. Анализатор служит для получения интерференционной картины и оценки величины δ. Он приводит составляющие обоих колебаний к одной плоскости, благодаря чему они, имея разность хода δ, могут интерферировать. При употреблении источника белого света на экране наблюдается цветная интерференционная картина, а при употреблении источника монохроматического света – черно–белая. В последнем случае интенсивность света I, вышедшего из анализатора, определяется зависимостью
, (5.1)
где А – амплитуда колебаний поляризованного луча; - угол между плоскостью поляризации и направлением одного из главных напряжений; δ разность хода волн; - длина волны источника света.
Из формулы (5.1) ясно, что гашение света (черные полосы) происходит в тех точках модели, где разность хода δ равна четному числу полуволн, а максимальная интенсивность (белые полосы) будет достигнута в тех точках, где разность хода равна нечетному числу полуволн. Полосы такого рода носят название изохром.
, (5.2)
где с – оптическая постоянная
Непосредственно из зависимости (5.2) устанавливаем что изохромы представляют собой геометрическое место точек одинаковой величины разности главных напряжений. А так как , можно сказать, что изохромы – это геометрическое место точек максимальных касательных напряжений. Согласно зависимости (5.1), гашение света может произойти и в том случае, когда или . Полосы, наблюдаемые в этом случае, носят название изоклин. Они характеризуют собой геометрическое место точек одинакового угла наклона главных напряжений.
При синхронном повороте поляризатора и анализатора можно получить изоклины, соответствующие различным углам наклона главных напряжений. Этот угол носит название параметра изоклины. Так как на свободном от нагрузки контуре модели существует только одно главное напряжение, которое направлено по касательной к контуру, параметр изоклины, входящей на свободный контур, определяется углом наклона касательной к контуру в этой точке.
Зарисовывая на экране изоклины различных параметров (обычно с интервалом 5÷10 градусов), получают целое семейство изоклин, которое используется для построения траекторий главных напряжений (изостат). Для этого на каждой изоклине наносятся штрихи под углом к оси абсцисс, равным параметру соответствующей изоклины. В образовавшиеся ломанные вписывают плавные кривые, являющиеся траекториями главных напряжений.
Изохромы наблюдаются при плоской и круговой поляризации света, изоклины же только при плоской поляризации.
Непосредственное измерение разности хода волн может осуществляться несколькими методами:
. (5.3)
Величина называется ценой полосы модели. Значение , соответствующее толщине модели в 1 см, называется ценой материала и обозначается ,
. (5.4)
С учетом (5.4) уравнение (5.3) можно переписать в виде:
. (5.5)
Порядок полосы можно определить, наблюдая последовательность появления полос в процессе нагружения модели. Цена полосы определяется на тарированных образцах.
Метод полос отличается простотой и достаточной точностью. Недостатком его является то, что он может быть применен в основном к моделям из материалов с высокой оптической активностью.
Зная разность главных напряжений и их сумму, легко найти каждое напряжение в отдельности.
Особенности работы растянутых (сжатых) стержней с отверстиями и выточками (концентрация напряжений).
Теоретическое и экспериментальное изучение работы растянутых (сжатых) стержней с различного рода ослаблениями поперечных сечений показывает, что вблизи этих ослаблений возникает резкая неравномерность в распределении напряжений, характеризующаяся существенным повышением их значений (рис. 5.2,а). С этим нельзя не считаться при расчете и проектировании конструкций, в состав которых входят стержни с ослаблениями.
Условное напряжение, определяемое, как отношения усилия N в стержне к фактической площади его поперечного сечения в месте ослабления назовем номинальным:
, (5.6)
где определяется как разность между площадью поперечного сечения стержня без учета ослабления и площадью ослабления
. (5.7)
|
Рис. 5.2,а Рис. 5.2,б |
Основной характеристикой неравномерности распределения напряжений в зоне ослабления сечения является коэффициент концентрации напряжений , представляющий собою отношение максимального напряжения в зоне очага концентрации к номинальному:
(5.8)
Если значение легко может быть получено теоретически, то определение величины (особенно в случае ослаблений сложной конфигурации) проще всего осуществить с помощью описанного выше поляризационно-оптического метода. Обработка результатов эксперимента в этом случае очень проста, потому что нет необходимости в разделении главных напряжений, так, как заранее известно, что главное напряжение, действующие по нормали к свободному контору, равно нулю.
Принцип Сен-Венана
Значительная концентрация напряжений наблюдается и в месте приложения внешней нагрузки. По мере удаления от этого места напряжения, затухая, выравниваются (рис. 5.2,б). При учете этого обстоятельства руководствуются принципом Сен-Венана (французский ученый–механик). Согласно этому принципу на некотором расстоянии от места приложения нагрузки, распределение напряжений практически не зависит от характера приложения нагрузки, а только от ее равнодействующей.
Особенности приложения нагрузки к растянутому (сжатому) стержню (не тонкостенному) проявляются, как правило, на расстоянии, не превосходящем генерального размера поперечного сечения.
Результаты опыта.
Ознакомление с поляризационно-оптическим методом проводится с применением проекционно-поляризационной установки (ППУ), принцип действия которой изложен ранее (рис.5.1)
Зарисовываются схемы исследуемых образцов и картины полос изохром для двух – трех образцов (по указанию преподавателя) (рис.5.3,а).
Образец, изображенный на рис.5.3,б служит для иллюстрации принципа Сен-Венана.
Выводы. На основании полученных картин изохром устанавливаются наиболее опасные виды ослаблений (поперечная щель, треугольное отверстие, ступенчатый переход от одного сечения к другому), наблюдается положительный эффект от придания плавного перехода от сечения к сечению, выделяются зоны, в которых предположение о равномерном распределении напряжений является несправедливым.
|
Рис. 5.3,а |
Рис. 5.3,б |
На примере исследования образца на рис.5.3,б устанавливается справедливость принципа Сен-Венана.
Контрольные вопросы.
Цель работы: определение модуля упругости при сдвиге, проверка на опыте закона Гука при кручении.
Для испытания образцов на кручение применяются машины, на которых можно создать и измерить крутящий момент в испытываемом образце.
В опыте используется стальной образец круглого поперечного сечения диаметром d = 15÷20 мм и расчетной длиной l (см. рис. 6.1). Согласно стандарту, она равна десяти диаметрам l = 10d.
|
Рис. 6.1 |
В ходе эксперимента определяется угол закручивания образца на расчетной длине l. Для этого определяются углы поворота в сечениях А и В. Способы их определения могут быть различны.
Выполнение опыта
Эксперимент начинают с измерения диаметра образца, определения расчетной длины l, подсчета момента инерции Iр и момента сопротивления Wр. Размеры образца, его геометрические характеристики и данные о материале заносятся в журнал лабораторных работ.
Крутящий момент в процессе загружения увеличиваем равными ступенями на величину .
Приращение отсчетов ΔА и ΔВ есть углы поворотов соответствующих сечений, увеличенные в К раз. Разность приращений (ΔА-ΔВ) есть угол закручивания образца на длине l, от приращения крутящего момента ΔМкр, увеличенный в К раз. Коэффициент увеличения К зависит от способа определения углов поворота. Величина угла закручивания определяется по формуле
(6.1)
Принятая методика выполнения эксперимента, а именно последовательное загружение образца ступенями, равными ΔМкр, дает возможность проверить на опыте справедливость закона Гука при кручении. Если угол закручивания по мере нарастания крутящего момента изменяется линейно, то можно сказать – материал образца подчиняется закону Гука.
На основании произведенных в процессе опыта измерений строится диаграмма кручения в системе осей .(рис.6.2).
|
Рис. 6.2 |
Величину модуля сдвига G можно вычислить по формуле:
(6.2)
Величины , входящие в формулу (6.2), известны. Угол закручивания определяется из опыта.
Из формулы (6.2) находим модуль сдвига
(6.3)
Модуль сдвига можно определить и теоретически, пользуясь формулой:
, (6.4)
выведенной при изучении теории чистого сдвига. Эта формула примечательна тем, что связывает все упругие постоянные материала - модуль Юнга Е, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона .
В выводах необходимо отразить, справедлив ли закон Гука при кручении. Сравнить значения модуля упругости, найденные опытным путем и теоретически.
Контрольные вопросы:
ИСПЫТАНИЕ СТАЛЬНОГО ОБРАЗЦА НА ПЕРЕРЕЗЫВАНИЕ
Цель работы: определение предела прочности стали на срез и сравнение его с пределом прочности на разрыв.
В опыте испытывается стальной образец круглого поперечного сечения, изготовленный из малоуглеродистой стали.
Перед испытанием образец измеряется и закладывается в приспособление, изображенное на рис. 7.1. Принцип действия приспособления понятен из рисунка.
|
Рис. 7.1 |
Нагрузка растет статически до максимальной величины (разрушающая нагрузка), которая фиксируется на шкале динамометра машины.
Определив разрушающую силу и зная площадь среза , равную удвоенной площади поперечного сечения образца, можно подсчитать предел прочности на срез по формуле
(7.1)
Предел прочности на разрыв определяется косвенным путем посредством числа твердости по Бринеллю () по эмпирическому соотношению для малоуглеродистой стали
(7.2)
Для определения числа твердости перед испытанием на срез на торце образца делается лунка с помощью пресса Бринеля (см. лабораторную работу № 2).
Определив предел прочности на срез и на разрыв, можно найти их отношение
(7,3)
Результаты опыта.
Полученные из опыта пределы прочности стали при срезе и разрыве отличны по величине, а отношение (7.3) для данного материала достаточно стабильно (если испытать серию образцов).
Величина коэффициента α может быть определена и теоретически по формуле
(7.4)
где
В соответствии с энергетической теорией прочности, применительно к состоянию чистого сдвига,
,
Очевидно, величина окажется больше . Одной из причин тому является наличие остаточных деформаций при определении , что вызывает перераспределение напряжений, тогда как определяется исходя из условия, что элемент объема деформируется упруго.
В выводах нужно сформулировать понятие о напряженном состоянии чистого сдвига, указать, какие виды деформаций возникают вблизи места среза образца, объяснить причины различия в величинах коэффициентов и .
Контрольные вопросы:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ВИНТОВОЙ ПРУЖИНЫ
Цель рабты: экспериментальная проверка формулы для определения деформации винтовой пружины с малым шагом витков.
Постановка эксперимента.
Схема установки изображена на рис.8.1
|
Рис. 8.1 |
На опорную плиту (с отверстием), закрепленную на станине, ставится пружина. На пружине размещается диск, тоже c отверстием. Через пружину и отверстия в плите и диске пропускается стержень с крюком на одном конце и нарезкой для несквозной гайки на другом. На верхний конец стержня навинчивается гайка, через которую (посредством диска, стержня и поддона ) к пружине прикладывается нагрузка. Она равна весу гирь, положенных на поддон, и весу системы, через которую груз действует на пружину.
Для измерения осадки пружины применяется индикатор – прибор, предназначенный для измерения линейных перемещений. Он закрепляется на станине с помощью специального штатива и располагается так, чтобы шток индикатора опирался на плоский торец несквозной гайки. Этим прибором можно измерить перемещение в пределах от 0 до 10 мм.
Проведение эксперимента
До начала загружения, штангенциркулем измеряется (с точностью до 0,1 мм) наружный диаметр D пружины и диаметр стержня d, из которого она изготовлена.
Кроме геометрических размеров пружины, нужно знать число витков n и модуль сдвига G.
Опыт начинают с загружения пружины небольшой нагрузкой, которая могла бы ликвидировать зазоры между соприкасающимися поверхностями. Если в опыте используется установка, изображенная на рис.8.1, то начальной нагрузкой F0 может быть груз, равный весу системы (гайки, диска, стержня, поддона). При этой нагрузке берется первый отсчет по индикатору. Далее груз на поддоне увеличивают равными ступенями .
Такое нагружение позволяет проверить на опыте справедливость закона Гука для пружины.
Примерно одинаковая величина осадки пружины от равных приращений нагрузки на величину , говорит о том, что между и наблюдается линейная зависимость, т.е. опытом подтверждается справедливость закона Гука. Величина осадки пружины λ от приращения нагрузки на , может быть вычислена теоретически по формуле:
(8.1)
где
Эта формула выведена с учетом действия только крутящего момента. В действительности же, кроме крутящего момента, в сечении стержня пружины возникает изгибающий момент, поперечная сила и продольная сила.
Сравнивая величины осадки пружины, полученные опытным путем и аналитически, можно оценить влияние параметров, не учтенных при выводе формулы, на деформацию пружины. Осадка пружины λ должна находится в линейной зависимости от нагрузки F. Чтобы подтвердить выше сказанное, нужно по величинам измеренных на опыте деформаций пружины построить диаграмму сжатия пружины в ортогональной системе координат λ - F (рис 8.2).
Кроме определения деформации пружины, в ходе опыта нужно определить максимальные касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении витка пружины. Они вычисляются по формуле:
(8.2)
где , а .Зная величины напряжений от поперечной силы, от крутящего момента и суммарные напряжения , нужно построить соответствующие эпюры напряжений (рис.8.3).
|
Рис. 8.2 |
|
Рис. 8.3 |
В выводах необходимо отметить: подтверждается ли закон Гука для пружины на опыте, в какой точке сечения пружины возникают наибольшие касательные напряжения (с учетом поперечной силы), можно ли в данном случае использовать приближенную формулу для вычисления наибольших касательных напряжений.
Контрольные вопросы.
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ СТАЛЬНОЙ БАЛКИ ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ
Цель работы: изучение закона распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки и определение величин и направлений главных напряжений в одной из точек.
Из теории плоского поперечного изгиба известно, что в сечении балки, перпендикулярном к ее оси, возникают нормальные и касательные напряжения, которые подсчитываются по формулам
и (9.1)
Первая из приведенных формул выводилась для случая чистого изгиба, когда в сечении стержня действует только изгибающий момент, а поперечная сила отсутствует и, следовательно, . Кроме того, в качестве исходных предпосылок были приняты следующие гипотезы:
|
Рис. 9.1 |
Последнее допущение положено в основу вывода всех формул для определения напряжений в теории сопротивления материалов.
Первые две гипотезы, со ссылкой на результаты экспериментальных наблюдений над изгибаемыми балками, принимаются именно в теории изгиба.
Как показывают более строгие исследования методами теории упругости, в случае чистого изгиба принятые допущения (гипотезы) согласуются с истиной. Однако теория изгиба в сопротивлении материалов не останавливается на приведенных выше гипотезах: в ней, опять же со ссылкой на экспериментальные и теоретические исследования, утверждается, что формулу , выведенную для случая чистого изгиба, можно без существенной погрешности использовать при подсчете нормальных напряжений при поперечном изгибе, когда поперечная сила не равна нулю. Однако оказывается, что ни первая, ни вторая гипотезы, строго говоря, не верны. Сечения балки при поперечном изгибе, когда , не остаются плоскими и продольные волокна давят друг на друга, т.е. (рис.9. 2).
|
Рис. 9.2 |
При выводе формулы Журавского для определения касательного напряжения в случае поперечного изгиба используется зависимость и, следовательно, принимаются все связанные с ней и перечисленные выше допущения. Кроме того дополнительно предполагается, что касательные напряжения по ширине сечения распределены равномерно.
Таким образом, приведенные вначале теоретические формулы (9.1) для определения нормального и касательного напряжений при изгибе балки опираются на ряд допущений и приближений, справедливость которых подтверждается экспериментально.
Далее, согласно теории изгиба, элемент, вырезанный из боковой поверхности балки, испытывает в общем случае плоское напряженное состояние такого вида, как это показано на рис.9.3.
|
Рис. 9.3 |
При этом и подсчитываются по формулам (9.1), нормальные напряжения на площадках, параллельных продольной оси балки, согласно гипотезе (2) приняты равными нулю. Тогда главные напряжения в данной точке балки и их ориентация определяются зависимостями:
, .
Очевидно, что на величину и направление теоретически найденных главных напряжений оказывают влияние все те допущения, о которых говорилось выше.
Сравнение опытных данных с теоретическими позволит дать оценку достоверности принятых в теории гипотез и допущений.
В качестве объекта исследования избрана стальная балка двутаврового сечения (рис.9.4). Ожидаемый вид эпюры нормальных напряжений в сечении – линейный, поэтому в опыте рекомендуется измерение производить не менее чем в 5 точках по высоте сечения.
|
Рис. 9.4,а |
Рис. 9.4,б |
Для экспериментального определения величины и направления главных напряжений необходимо воспользоваться по крайней мере тремя измерениями упругих деформаций в заданной точке плоско напряженной стенки балки (рис.9.4,а, точка Б).
Желая исключить погрешности, связанные с возможной некоторой асимметрией нагружения балки, необходимо все измерения упругих деформаций дублировать, производя их в точках, симметрично расположенных относительно плоскости загружения (рис.9.4,б). Все эти рассуждения приводят к выводу, что в данном опыте необходимо произвести установку и снимать показания с 16 тензометрических приборов или датчиков. Учитывая это, по-видимому, целесообразно избрать для измерения упругих деформаций и напряжений электрические тензодатчики омического сопротивления, снабженные общим для них мостовым измерительным устройством.
Электрический тензодатчик (рис.9.5) представляет собой проволоку, обычно константановую (сплав 60% Си и 40% Ni) или манганиновую (84% Си, 4% Ni, 12% Мп), диаметром 0,015÷0,030 мм, уложенную параллельными петлями и наклеенную для сохранения формы и электроизоляции на тонкую бумагу.
|
Рис. 9.5 |
Обычно база датчиков (рис.9.5, размер ) равна 20 или 10 мм. Применяются датчики и с меньшей базой – 5 и даже 2 мм. Датчик наклеивается на поверхность испытываемой детали таким образом, чтобы направление его базы совпало с направлением искомой линейной деформации. При деформации детали вместе с ней деформируется и датчик, в результате чего изменяется его омическое сопротивление. Изменение сопротивления датчика регистрируется с помощью специальной чувствительной аппаратуры.
В области малых деформаций существует линейная зависимость между относительным изменением сопротивления датчика и относительной деформацией проволоки , а, следовательно, и исследуемой детали. Эту зависимость можно представить так:
,
где и - начальное омическое сопротивление датчика и его абсолютное приращение; - коэффициент тензочувствительности датчика (для константана ).
Для регистрации и измерения малых изменений омического сопротивления тензодатчиков при их деформации вместе с деталью применяют специальную аппаратуру, основанную на использовании мостика Уитстона. Принципиальная схема измерительного моста представлена на рис.9.6.
|
Рис. 9.6 |
Измеряющий тензодатчик 1, наклеенный на деталь, включается в одно из плеч мостика; другой такой же тензодатчик 2, называемый компенсационным, включается в другое плечо моста. Компенсационный датчик наклеивается на брусок из того же материала, что и исследуемая деталь, и располагается рядом с ней, в тех же температурных условиях, но нагружению не подвергается. Назначение компенсационного датчика – исключить влияние на равновесие моста всех тех факторов (прежде всего температуры), которые могут изменить сопротивление измеряющего датчика 1, кроме деформации исследуемой детали. Переменные сопротивления 3, 4 служат для уравновешивания моста перед испытанием.
При деформации детали вместе с датчиком 1 мостик Уитстона разбалансируется и чувствительный гальванометр 5 или другой специальный прибор зафиксирует отклонение стрелки, пропорциональное измеряемой деформации:
,
где
Наряду с одиночными датчиками, при необходимости исследовать напряженно – деформированное состояние в некоторой точке детали, применяются розетки из трех датчиков, расположенных на общей бумажной основе (рис.9.7). Розетка может быть создана и путем соответствующей наклейки отдельных датчиков на поверхность детали.
Электротензодатчики имеют ряд неоспоримых преимуществ перед тензометрами других конструкций (рычажными, зеркальными, часового типа и др.). Они безынерционны, поэтому могут применяться при исследовании деформаций при быстро протекающих динамических процессах (удар, колебания и т.п.). Они малогабаритны, просты по устройству, легко могут быть наклеены в самых труднодоступных точках работающей детали, в то время как измеряющая аппаратура может быть расположена на значительном расстоянии, в удобном для наблюдения месте. С помощью специальной тензостанции одновременно можно регистрировать показания большого числа датчиков.
|
Рис. 9.7 |
При проведении исследования нас будут интересовать только упругие деформации балки, т.е. напряжения в опасном сечении не должны превышать допускаемого значения или, в крайнем случае, предела пропорциональности . Если принять во внимание, что загружается балка в середине пролета и, следовательно, , то из зависимости , или , найдем или .
Нагружение исследуемой двутавровой балки производится на гидравлическом прессе. Выбор пресса определяется только габаритами балки.
К началу опыта балка с наклеенными датчиками установлена на прессе.
Нагрузка, при которой берутся первые показания тензодатчиков, равна ; затем она увеличивается равными ступенями по до некоторого значения .
На каждой ступени нагружения снимаются показания тензодатчиков в пяти точках сечения m-n и показания трех датчиков, установленных в точке Б. Разности показаний, последующих и предшествующих, позволяют судить об изменении деформации или напряжения в исследуемой точке в направлении продольной оси датчика при изменении нагрузки на 1.
Увеличение нагрузки несколькими равными ступенями позволяет проверить справедливость закона Гука. Равным приращениям нагрузки теоретически должны соответствовать равные приращения показаний тензодатчиков, пропорциональные относительной линейной деформации .
Средние значения напряжений в сечении m-n в точках 1-5 от изменения нагрузки на ,полученные при испытании подсчитываются по формуле
,
где k1 – цена деления шкалы измерительного прибора в единицах напряжения.
Средние значения относительных деформаций, измеренных в точке Б в направлениях от изменения нагрузки на , определяются аналогично:
,
где , а k2 – цена деления шкалы прибора в единицах относительной деформации.
По найденным опытным путем с помощью розетки из трех тензодатчиков значениям надо найти величину и направление главных деформаций и напряжений. Выведем для этого необходимые расчетные формулы.
По известной из теории деформированного состояния зависимости можно написать:
(9.2)
где и - главные деформации.
При этом
(9.3)
Решая систему трех уравнений (9.2) относительно , и с учетом (9.3), нетрудно найти
(9.4)
В процессе вывода использовался рисунок 9.8, на котором угол отложен по ходу часовой стрелки от направления . Следовательно, положительное значение угла , полученное из последнего выражения в (9.4), надо отсчитать от по часовой стрелке.
|
Рис. 9.8 |
Таким образом, по зависимости (9.4), основываясь на измерениях трех тензодатчиков в розетке, можно найти направление и величину главных деформаций и . Главные напряжения можно выразить через главные деформации из зависимостей обобщенного закона Гука применительно к плоскому напряженному состоянию:
(9.5)
Умножив вторую строку на ν и сложив с первой, получим
,
откуда найдем . Выражение можно получить аналогично.
(9.6)
Как видно из рис. 9.8, угол между осью балки z и направлением одного из главных напряжений выразится зависимостью
.
Теоретические расчеты
Для теоретического определения напряжений в сечении "m-n" и в точке Б исследуемой балки необходимо прежде всего построить эпюры изгибающего момента М и поперечной силы Q.
Нормальные напряжения в точках 1-5 сечения "m-n" определяются зависимостью
где
В точке Б на площадке, перпендикулярной оси балки, подсчитываются и :
, ,
где и - изгибающий момент и поперечная сила в сечении балки, в котором расположена точка Б. Напряжения, действующие на площадках элемента, вырезанного в окрестности точки Б, показаны на рис.9.9.
Величину главных напряжений в точке Б найдем по формуле:
.
Их ориентация по отношению к оси балки определяется зависимостью
,
где положительное значение откладывается против хода часовой стрелки от оси балки z.
|
Рис. 9.9 |
Сравнение результатов
Значение нормальных напряжений в пяти точках сечения балки, найденные экспериментально и подсчитанные теоретически, выписываются в сводную таблицу. Туда же заносятся определенные экспериментально и подсчитанные теоретически значения главных напряжений в точке Б и угла наклона одной из главных площадок по отношению к продольной оси балки.
Подсчитывается в процентах расхождение между теоретическими и экспериментальными значениями напряжений (при ), , и угла . Строится теоретическая эпюра в сечении "m-n" и на нее накладывается экспериментальная.
Выводы должны содержать оценку того, насколько хорошо согласуются экспериментальные наблюдения с гипотезой плоских сечений, подтвердится ли закон Гука, удовлетворительно ли согласуются теоретические и опытные значения напряжений в сечении "m-n", главные напряжения и их ориентация в точке Б балки.
Контрольные вопросы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА В СЕЧЕНИИ БАЛКИ С ТОНКОСТЕННЫМ НЕЗАМКНУТЫМ ПРОФИЛЕМ
Цель работы: экспериментально убедиться в существовании центра изгиба, найти его положение и сравнить с теоретическим.
В теории изгиба стержней при выводе формул нормальных и касательных напряжений предполагалось, что сечение стержня симметрично и внешняя нагрузка прикладывается к центральной оси стержня в плоскости его симметрии. При этих условиях в стержне действительно возникает только деформация плоского изгиба. Как показано в теории, картина несколько меняется, если поперечное сечение стержня имеет форму тонкостенного профиля, несимметричного относительно плоскости приложения внешней нагрузки. В этом случае в поперечном сечении возникают касательные напряжения, как бы обтекающие контур сечения, и создающие относительно центра тяжести сечения С момент касательных усилий (рис.10.1).
|
Рис. 10.1 |
В связи с этим введено новое понятие – центра изгиба. Центр изгиба А – точка в плоскости сечения стержня, относительно которой главный момент всех касательных усилий в поперечном сечении равен нулю (рис. 10.1). Заметим, что в сечениях с одной осью симметрии, центр изгиба А расположен обязательно на этой оси. В сечении же с двумя осями симметрии – центр изгиба лежит на их пересечении, т.е. его положение совпадает в этом случае с центром тяжести сечения.
Если линия действия внешней нагрузки проходит через центр изгиба, то касательные усилия (согласно определению) и внешняя нагрузка относительно точки А дадут в плоскости сечения момент, равный нулю. Следовательно, кручения не возникнет, и стержень будет испытывать только плоский изгиб.
На основании этого сделано обобщение: деформация плоского изгиба наблюдается, когда внешняя нагрузка приложена к стержню в плоскости, проходящей вдоль стержня через центры изгибов сечений параллельно одной из главных центральных осей инерции поперечного сечения (на рис.10.1 это направление отмечено линией, проходящей через центр изгиба А).
Постановка опыта
Опыт проводится на консольной балке, сечение которой представляет собой швеллер. На свободном конце швеллера имеется приспособление, позволяющее перемещать положение точки приложения внешней нагрузки по горизонтали, и другое приспособление, позволяющее обнаружить появление поворота торцевого, свободного сечения балки в случае возникновения кручения. Приспособление для загружения (рис.10.2) представляет собой планку с мерной линейкой, жестко закрепленную на свободном конце швеллера перпендикулярно к его стенке. Параллельно планке по стержню скользит ползунок с поддоном для установки грузов. С помощью стрелки на ползунке по мерной линейке можно отмечать положение точки приложения груза по отношению к стенке швеллера.
|
а) |
б) |
|
Рис. 10.2 |
Для выявления поворота поперечного сечения свободного конца швеллера относительно продольной оси стержня используется следующее приспособление. Это два индикатора, закрепленные на станине установки (рис.10.2,а). Ножки индикаторов упираются в опорные площадки на консолях, жестко соединенных со стенкой свободного конца швеллера. О повороте сечения швеллера можно судить по разности между показаниями левого и правого индикаторов.
Если разность показаний правого больше, чем левого, то имеет место поворот по часовой стрелке. Если разность показаний левого индикатора больше, чем правого, то сечение поворачивается против часовой стрелки. Если разности показаний слева и справа одинаковы, то это означает, что поворота сечения нет.
Проведение опыта
Сначала расположим поддон для грузов так, чтобы он находился на вертикали центра тяжести сечения швеллера, и начинаем загружение. наблюдая при этом за поворотами поперечного сечения швеллера относительно оси стержня. В ходе опыта наблюдается заметный поворот сечения. Следовательно, когда нагрузку приложим в центре тяжести, то происходит и изгиб стержня, и его закручивание.
После этого начнем смещать ползунок (рис.10.2) во внешнюю сторону от стенки швеллера и повторять загружение до тех пор, пока разности показаний правого и левого индикаторов не будут одинаковы. При этом точка приложения нагрузки будет соответствовать положению центра изгиба, и по мерной линейке (рис.10.2) можно найти опытное значение величины хА - расстояние от оси стенки швеллера до центра изгиба.
Теоретические расчеты
По известным геометрическим размерам швеллера и полученной в теории формуле рассчитывается теоретическое значение расстояния от центра изгиба до оси стенки швеллера
Необходимо сравнить значения xA, найденные экспериментально и теоретически, оценить расхождение между ними в процентах.
В выводах надо не только отметить степень согласования между экспериментальными и теоретическими значениями хА , но и указать, как необходимо прикладывать нагрузку к несимметричным тонкостенным профилям, чтобы в них происходил только плоский изгиб и исключалось кручение.
Контрольные вопросы.
ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЦ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ
Цель работы: экспериментальная оценка границ применимости приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси к балке сравнительно малой жесткости.
Исходные положения.
В процессе вывода формулы для нормальных напряжений при изгибе была получена зависимость кривизны упруго деформированной оси балки от изгибающего момента и жесткости :
(11.1)
Вывод производился для случая чистого изгиба, когда , кроме того были приняты гипотеза плоских сечений и гипотеза о том, что продольные волокна не давят друг на друга.
Точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки можно записать
, (11.2)
в него заложены те же предпосылки, что и в (11.1). Учитывая, что квадрат при относительно небольших прогибах есть величина малая по сравнению с единицей, то пренебрегая ею, получим приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
или (11.3)
Таким образом, уравнение (11.3) получено на основе ряда допущений. Среди них наиболее существенны два: пренебрежение влиянием на величину прогибов поперечной силы Q и наложение ограничений на величину определяемых прогибов. В настоящей работе нас интересуют именно последние ограничения.
Прежде чем перейти к конкретным опытам, рассмотрим один важный в данном случае вопрос: как влияет отношение на возможную величину наибольшего относительного прогиба, т.е. на величину ?
При изгибе стержня возникают напряжения и появляются перемещения, в частности прогибы. С увеличением прогибов напряжения возрастают. При всех условиях прочность балки не должна быть нарушена, а это означает, что должно выполняться условие , где ( - опасное для материла напряжение, к – коэффициент запаса прочности, к>1).
При изгибе, исходя из гипотезы плоских сечений, имеем , т.е. относительная деформация волокон балки возрастает с увеличением у – расстояния от нейтрального слоя до волокна балки и с увеличением - кривизны стержня.
Принимая гипотезу о том, что волокна друг на друга не давят, получаем зависимость для в виде
,
при этом (для балки, имеющей две оси симметрии в поперечном сечении). Учитывая, что , имеем . Значит, чем больше высота балки, тем меньше для нее предельно допускаемое значение кривизны , а, следовательно, и значения . Так как напряжения в балке зависят от изгибающего момента, а он в свою очередь связан с размерами балки по длине, значение при определенной кривизне стержня тоже зависит от длины стержня. Высказанную выше мысль лучше сформулировать так: чем больше относительная высота балки , тем меньше для нее допускаемое по условию прочности значение относительного прогиба .
Отсюда следует практический вывод: если мы будем исследовать балки с малым отношением , т.е. достаточно гибкие, и получим удовлетворительные результаты при применении приближенного дифференциального уравнения вплоть до предельного по условию прочности значения , то сможем утверждать, что для менее гибких балок приближенное дифференциальное уравнение должно давать так же удовлетворительные результаты.
Определение прогибов балки, заделанной одним концом.
Постановка опыта
Исследуется балка в виде консоли (рис.11.1), прямоугольного поперечного сечения с размерами и . Загружение производится на расстоянии от заделки, а прогиб определяется по промежуткам между наколами, делаемыми на щитке с миллиметровкой. Расстояние от F до конца иглы равно с. Относительная жесткость балки достаточно мала , а следовательно, податливость велика.
|
Рис. 11.1 |
Чтобы установить максимальную нагрузку для этой балки по условию прочности, запишем:
, или
Отсюда , или
Выберем так, чтобы оно было более , но не превышало : ,
назначив (желательно целое число), найдем , которое будет соответствовать этой нагрузке: . Нагрузка прикладывается равными ступенями от нуля до .
Проведение опыта
Последовательность выполнения опыта следующая.
На щитке (рис.11.1) устанавливается и выравнивается по отвесу листок миллиметровки. Делаются все необходимые измерения размеров балки: по длине – с точностью до 1 мм, поперечное сечение – с точностью до 0,1 мм.
Без нагрузки делается первый накол на миллиметровке. Затем нагрузка увеличивается равными ступенями, и каждый раз аккуратно делается новый накол на миллиметровке. Так продолжается до нагрузки . После этого производится полная разгрузка балки. Необходимо проверить, приходится ли игла, расположенная на балке, против первого накола. Это свидетельствует о том, что в процессе опыта миллиметровка не была сбита, и деформации в балке были только упругие. Если игла не возвратилась к первоначальной точке накола, то опыт необходимо повторить.
Результаты опыта
По миллиметровке измеряется расстояние от первой точки до каждой из последующих. Эти величины дают прогибы конца консоли от соответствующей нагрузки. Результаты измерений заносятся в таблицу.
Теоретические подсчеты
Для схемы балки, изображенной на рис.11.1, необходимо подсчитать прогиб конца консоли в функции от F. Используем для решения этой задачи метод начальных параметров. Расположим начало координат в заделке (рис.11.2).
|
Рис. 11.2 |
При , , , , ,
При ,
.
Учитывая малость величины с по сравнению , вторым слагаемым в квадратной скобке можно пренебречь:
,
где .
После подсчета коэффициента B можно заполнить таблицу теоретических значений .
По табличным данным следует построить графики изменения , , в функции от F. Здесь δ – расхождение в процентах между и ;
.
В выводах необходимо оценить возможность применения приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси при определении прогибов применительно к балкам исследованной и большей жесткости во всем диапазоне упругих деформаций.
Контрольные вопросы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ ГИБКОЙ БАЛКИ НА ДВУХ ОПОРАХ, ПОДВЕРГНУТОЙ ЧИСТОМУ ИЗГИБУ
Цель работы: экспериментальная оценка границ применимости приближенного и точного дифференциального уравнения изогнутой оси к балке большой гибкости.
Постановка опыта
Схема балки представлена на рис.12.1.
|
Рис. 12.1 |
Исследованию подлежат прогибы на участке между опорами, на котором балка подвергается чистому изгибу. Сама балка сделана из стальной линейки толщиной приблизительно 1 мм. Отношение высоты балки к пролету составляет , что указывает на малую жесткость и большую податливость балки.
Как можно видеть из рис.12.1, при большой податливости балки, больших углах поворота на опорах, плечо силы F, первоначально равное a, не остается постоянным, оно убывает с ростом деформации. Изгибающий момент на участке балки , первоначально равный , перестает быть линейной функцией от нагрузки F.
Для устранения этого недостатка видоизменена загружающая часть балки. Консоли a сделаны жесткими (рис.12.2). На них укреплены изогнутые по дуге окружности с радиусом a сегменты. Поддоны для грузов подвешиваются с помощью тросиков, закрепленных в самой верхней точке сегментов. При нагружении такой системы будет происходить изгиб балки, поворот консоли с сегментами, но плечо груза F относительно опор остается неизменным, равным a. Учитывая малую жесткость балки, для уравновешивания утяжеленных консолей сделаны специальные контргрузы.
|
Рис. 12.2 |
В середине пролета установлена шкала, по которой берутся отсчеты для определения прогиба в процессе загружения балки.
Чтобы установить максимальную нагрузку для этой балки, воспользуемся условием прочности и, приняв и подобно тому, как это делалось предыдущем опыте, подсчитаем
; .
Назначим так, чтобы .
Проведение опыта
Последовательность выполнения опыта проста. Нагрузка на поддонах увеличивается ступенями. По шкале (см. рис.12.2) определяется прогиб в середине пролета. Процесс продолжается до тех пор, пока нагрузка на поддонах не достигает .
Однако проведение опыта требует особой тщательности и аккуратности. Ввиду большой гибкости балки в ходе опыта наблюдаются большие перемещения подвижной опоры балки. Небольшие перекосы, случайные препятствия, силы трения в системе могут заметно сказаться на результатах опыта и внести дополнительную погрешность в измеряемую величину прогиба. Поэтому как перед опытом, так и на каждой ступени нагрузки, следует проверить, не препятствует ли что-либо деформации балки. Достигается эта проверка легким колебанием системы около положения равновесия после каждого изменения нагрузки.
Прогибы, найденные на каждой новой ступени нагрузки, записываются в журнал наблюдений.
Теоретическое определение прогибов
Сначала определим прогибы с помощью приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси.
Применим метод начальных параметров. Расчетную схему балки примем в виде балки с шарнирными опорами по концам (рис.12.3).
|
Рис. 12.3 |
Действие отброшенных консолей с нагрузкой заменим на каждой опоре сосредоточенным моментом и силой F. Реакция опор балки в этом случае будет равна F.
Граничные условия: , , , , , .
Тогда ;
; ; отсюда .
Таким образом, ,
при ; , где .
Подсчитав по исходным данным коэффициент С, можно заполнить таблицу результатов теоретических расчетов по приближенному дифференциальному уравнению.
Определение прогибов с помощью точного уравнения
изогнутой оси балки.
В данной частной задаче, учитывая условия чистого изгиба, можно без больших математических затруднений найти точное значение теоретических прогибов в исследуемой балке . Для этого воспользуемся зависимостью (11.1) из предыдущей лабораторной работы:
.
Так как по всей длине балки, приходим к выводу, что балка изгибается по окружности радиусом : . Тогда из рис.12.4 нетрудно найти
;
где ; .
Значения при различных значениях F так же записываются в таблицу.
|
Рис. 12.4 |
По данным сводной таблицы строятся графики изменения , , в функции от F.
Выводы: на основе анализа графиков и данных сводной таблицы необходимо дать оценку возможности применения приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси применительно к балкам исследованной и большей жесткости во всем диапазоне упругих деформаций.
Контрольные вопросы.
ИЗГИБ ЛИСТОВОЙ РЕССОРЫ
Цель работы: оценить точность определения прогибов в рессоре с помощью приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси.
Рессора – это балка переменной жесткости. Она значительно более гибкая, чем равнопрочная ей балка постоянной по длине жесткости. Именно по этой причине рессора применяется для смягчения динамических воздействий (толчков, ударов), передаваемых через нее.
|
Рис. 13.1 |
Рессора является балкой равного сопротивления, во всех ее поперечных сечениях наибольшие нормальные напряжения остаются одинаковыми
.
Такой эффект достигается тем, что одновременно с изменением изгибающего момента (рис.13.1,б) по длине балки меняется и ширина поперечного сечения (рис.13.1,в):
.
Толщина листа рессоры . Учитывая это,
,
где - момент инерции прямоугольного сечения относительно нейтральной оси в середине балки при .
Однако рессору было бы неудобно делать в виде ромбовидной в плане полосы (рис.13.1, в), поэтому этот ромб рассекают на продольные полосы, которые складывают друг друга и скрепляют хомутом (рис.13.1, г). Если пренебречь силами трения между листами, то можно считать, что эта конструкция работает на изгиб так же, как и ромб, изображенный на рис.13.1, в.
Таким образом, при расчете прогиба рессоры в середине пролета с помощью приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси не учитываются не только те факторы, которые перечислены в лабораторной работе № 11, но еще и силы трения между листами рессоры.
Постановка и проведение опыта
Для выполнения опыта на прессе устанавливается рессора. Нагрузка прикладывается к середине пролета и в этом же сечении, внизу, устанавливается индикатор часового типа для измерения прогибов рессоры. После этого для обжатия рессоры прикладывается начальная нагрузка F0, берется начальный отсчет по индикатору, затем нагрузка увеличивается одной или двумя ступенями, берутся новые отсчеты по индикатору и определяется прогиб рессоры - .
Теоретическое определение прогиба рессоры
Определить прогибы в рессоре по методу начальных параметров нельзя, так как этот метод пригоден только при . Поэтому используем прямое интегрирование приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси балки , где функцией от являются не только изгибающий момент и прогиб , но и момент инерции :
; .
Тогда
.
Интегрируя это выражение, получим
,
.
Граничные условия:
Из первого граничного условия находим ; из второго – найдем .
Следовательно,
.
Отсюда
при , .
По этой зависимости и подсчитывается теоретическое значение прогиба рессоры.
Равнопрочная с рессорой балка постоянной жесткости должна была бы по всей длине сохранить постоянную ширину . Можно подсчитать (это предлагается студентам проделать самостоятельно), что в этом случае
.
Таким образом, убеждаемся, что прогиб в рессоре в 1,5 раза больше, чем в равнопрочной балке постоянного по длине сечения.
Выводы: сравнивая значения прогиба рессоры, найденные опытным и теоретическим путем, нужно дать оценку допущениям, положенным в основу теоретическим зависимостям.
Контрольные вопросы.
1 Сходственные тензодатчики, наклеиваемые на балку с двух сторон (рис.9.4), соединяются попарно последовательно. Поэтому разности показаний прибора в каждой из точек, где проводятся измерения, получаются осредненными между показаниями левого и правого датчиков.
PAGE 57