Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ РІВНЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТВ.В.СІЛКОВМАТЕМАТИКА КУРС ЛЕКЦІЙ (за кредитно-модульною системою організації навчального процесу) Частина І: модулі 1 і 2. Для студентів спеціальності 8.010102 «Початкове навчання». спеціальності 8.010101 «Дошкільне виховання» РІВНЕ - 2006 |
УДК
ББК
С
Р е ц е н з е н т и
1.
2.
Сілков В.В. Математика. Курс лекцій. Частина І.: Методичний посібник для студентів спеціальності 8.010102 «Початкове навчання», 8.010101 «Дошкільне виховання». – Рівне: РДГУ. 2006. - 86 с.
Рекомендовано до друку Вченою радою Рівненського державного гуманітарного університету (протокол № ?? від ?? ________ 2006 р.)
ISBN
УДК
ББК
© В.В.Сілков, 2006.
© назва видавництва, 2006.
МОДУЛЬ 1: «Множини. Відповідності. Відношення.».
Змістовний модуль1.1. «Множини та операції над ними».
ПЛАН.
ЛІТЕРАТУРА
[1] – Курс математики. – К.: Вища школа. 1995. - 392 с. (с. 3-40).
[2] – Кухар В.М., Білий Б.Н. Теоретичні основи початкового курсу математики. – К.: Вища школа, 1980. – 360 с. (с. 11-88).
[3] – Кухар В.М. та ін. Математика. Множини. Логіка. Цілі числа: Практикум. /За заг. ред. В.М.Кухар. – К.: Вища школа, 1989. – 333 с. (с. 5-56).
1. Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин.
Множини прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту: А, В, С,… Об’єкти, з яких складається множина, називають елементами множини. Їх прийнято позначати малими буквами латинського алфавіту: а, в, с, …, х, у або цими ж буквами з індексами. Якщо елемент а належить деякій множині М, то це позначають так: аМ, а якщо елемент в не належить множині А, то це позначають так: вА. Якщо деякі елементи належать множині А, то їх записують у фігурних дужках так: А={а, в, с, d}; В={в1, в2, в3, в4, в5}.
Поняття множини широко використовують при вивченні різноманітних галузей математики. Деякі множини в математиці мають усталені, загальноприйняті позначення. Як відомо, множини можуть складатися із елементів будь-якої природи, зокрема із чисел. Такі множини прийнято називати числовими. Для деяких числових множин введені спеціальні позначення: множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N={1, 2, 3, …, n, …}; множину цілих чисел позначають так: Z={0, ±1, ±2, ±3, … ±n, …}; множину раціональних чисел, яка складається із цілих чисел та додатних і від’ємних дробів прийнято позначати буквою Q; множину дійсних чисел, яка складається із множини раціональних та ірраціональних чисел позначають буквою R.
Задати множину означає: схарактеризувати її елементи так, щоб відносно кожного елемента можна було відразу встановити, належить він цій множині чи ні. Коли ж множина вважається заданою? – коли відносно будь-якого її елементу ми можемо твердити чи належить він множині чи ні. Як можна задати множину? – назвавши всі її елементи, тобто переліком. Задати множину переліком означає назвати чи записати всі її елементи, наприклад: М=1,2,3,4,5. Що для цього слід зробити? – у фігурних дужках написати всі елементи множини, наприклад: А={а, в, с, d}, С={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Чи завжди зручний розглянутий спосіб задання множин? Коли він зручний, а коли не зручний? – коли множина має малу кількість елементів; коли множина має велику кількість елементів.
Множини також можна задавати за допомогою характеристичної властивості, наприклад: А={х/хR і х>0}. Задати множину описом або за допомогою характеристичної властивості означає вказати характеристичну властивість всіх елементів множини, наприклад: множину натуральних чисел, які менші числа , описом задають так: М=ххх. Яким способом завжди можна задати множину? – за допомогою характеристичної властивості. Скінченні множини легко задавати і переліком, і описом. Але частіше користуються способом переліку. Нескінченні множини здебільшого задають описом. Але в окремих випадках задають і переліком, наприклад: Р=х/хх2, М=2, 4, 6, 8, ..., 2n,…}. Таким чином, існують два способи задання множин: описом або за допомогою характеристичної властивості та переліком.
2. Порожня, скінченна, нескінченна та універсальна множини. Підмножина. Власні та невласні підмножини даної множини. Рівні та нерівні множини.
2. У математиці розглядають множини, які не містять жодного елемента. Для їхнього позначення використовують спеціальний символ , а називають їх порожніми множинами. Прикладом порожніх множин можуть бути такі: множина людей на Марсі; множина дійсних коренів рівняння х²+3=0. Нехай кількість елементів деякої множини А виражається натуральним числом. Для позначення цієї кількості використовують символ n(А), який читають так: число елементів множини А, або чисельність множини А, або потужність множини А. За кількістю елементів всі множини можна поділити на три групи: 1) порожні множини; 2) скінченні множини – це такі множини, кількість елементів яких можна позначити натуральним числом n(А). Прикладом скінченних множин можуть бути такі: множина цифр десяткової системи числення; множина студентів групи; 3) нескінченні множини – це такі множини, кількість елементів яких не можна виразити натуральним числом. Прикладами нескінченних множин є наступні: множина натуральних чисел; множина дійсних чисел.
Малюнок 1. Зображення універсальної множини.
Розглянемо дві множини А і В, таких, що кожен елемент множини В є елементом множини А, але в множині А є елементи, яких немає в множині В. У цьому випадку говорять, що множина В є підмножиною множини А. Це позначають так: або АВ, а читають: множина В є підмножиною множини А або В включається в А, або А включає В.
Означення: якщо кожен елемент множини В є елементом множини А, але в множині А є хоча б один елемент, яких немає в множині В, то множину В називають власною підмножиною множини А.
Символічно це записують так: або . Цей запис означає, що множина В включається в А і, що ці множини перебувають у відношенні включення. Підмножини бувають власні і невласні. Кожна скінченна не порожня множина А має дві невласні підмножини: 1) порожню (); 2) саму себе (А).
Розглянемо деяку скінченну множину. Домовимося позначати множину всіх підмножин множини А символом Р(А), а число елементів множини Р(А) через n(Р(А)). Нехай А=2, 5, 7 і запишемо всі підмножини цієї множини. Це будуть: В1=, В2=, В3=, В4=, В5, В6, В7= В8. Підмножини В1, В2, В3, В4, В5 і В6– власні, а В7 і В8 – невласні. Таким чином, Р(А)={, А, {2}, {5}, {7}, {2,5}, {2,7}, {5,7}}. Отже, множина А, яка містила три елемента, має вісім підмножин. В математиці доведено, що число підмножин будь-якої скінченої множини визначається за формулою: n(p(A))=2k, де n(p(A)) – число підмножин множини А, k – число елементів множини А, тобто n(A). Оскільки для множини А k=3, то n(p(A))=2³=8.
У теорії множин розглядаються множини, які складаються з одних і тих самих елементів. Про такі множини говорять, що вони рівні.
Означення 1: дві множини А та В називаються рівними, якщо кожна із них є підмножиною іншої, тобто: якщо АВ і ВА, то А=В.
Означення 2: якщо множини складаються з одних і тих самих елементів, то вони називаються рівними.
Означення 3: якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і, навпаки, кожен елемент множини В є елементом множини А, то такі множини називаються рівними.
Як довести, що множина А дорівнює множині В? – показати, що кожен елемент множини А є елементом множини В, і, навпаки, кожен елемент множини В є елементом множини А, або показати, що кожна множина є підмножиною іншої, або показати, що множини складаються з одних і тих самих елементів.
3. Відношення між множинами (включення, рівності, перерізу) та їх позначення за допомогою кругів Л.Ейлера та діаграм Ейлера-Венна. Потужність множини. Рівнопотужні (еквівалентні) множини. Скінченні, нескінченні та зчисленні множини. Множини потужності континууму.
3. Ми розглянули означення рівності множин. За його допомогою між множинами можна задати відношення рівності. Які ж ще відношення можуть існувати між множинами? Виявляється, що це можуть бути відношення включення, перетину та рівності або тотожності. Для наочного зображення множин та відношень між ними використовуються спеціальні графічні зображення, на яких множини позначаються кругами або овалами. Такі круги прийнято називати кругами Л.Ейлера (див. малюнок 2). Якщо універсальну множину зображати прямокутником, а інші множини – кругами, то таке зображення має назву діаграм Ейлера-Венна (див. малюнок 3). На ньому зображено множину U. Відношення включення зображено на малюнку 4, а відношення перетину – на малюнку 5.
Малюнок 2. Круг Л.Ейлера.
Малюнок 3. Діаграма Ейлера-Венна.
Малюнок 4: Відношення включення.
Малюнок 5: Відношення перетину.
Виконаємо мислено таку побудову: розіб’ємо всі скінченні множини на класи, у кожному з яких містяться лише рівночисельні множини і тільки вони. Термін клас тут вживається як синонім терміна «множина». Спільною властивістю всіх скінченних множин певного класу є кількість елементів або чисельність множини кожного класу, тобто натуральне число, яке є потужністю кожної множини певного класу. Хоча природа елементів кожної множини певного класу може бути різноманітною, але всі множини цього класу об’єднує одна спільна властивість, яку для скінченних множин називають рівночисельністю. Виникає запитання: чи можна аналогічно поставитися до нескінченних множин? Іншими словами, чи існують серед нескінченних множин нерівнопотужні множини. Деякий час вважали, що всі нескінченні множини рівнопотужні між собою. У 70-80-х роках ХІХ століття видатний німецький математики Г.Кантор встановив, що серед нескінченних множин є безліч нерівнопотужних між собою множин і що всі нескінченні множини також можна розбити на класи рівнопотужних множин. У результаті дістали узагальнення поняття натурального числа на випадок нескінченних множин у вигляді поняття кардинального числа.
Означення: потужністю або кардинальним числом певної множини М називають той клас Кα рівнопотужних множин, в якому ця множина знаходиться.
Усім множинам одного класу приписується одна й та сама потужність. Позначивши потужність множини М через n(М), дістанемо n(А)=n(В)↔А~В. Якщо в класі Кα містяться скінченні рівнопотужні множини, то потужністю кожної з них є натуральне число, що вказує на кількість елементів цієї множини. Якщо ж клас Кα містить нескінченні рівнопотужні множини, то потужністю кожної з них є кардинальне число n(М).
Таким чином, серед нескінченних множин є безліч нерівнопотужних між собою множин. Для них можна ввести шкалу потужностей аналогічно тому, як це зроблено для скінченних множин. Найменша нескінченна потужність – це той клас, в якому міститься множина натуральних чисел, тобто потужність множини натуральних чисел. Крім того, використовуючи поняття потужності можна більш чітко розглянути питання про скінченні та нескінченні множини. Враховуючи сказане, приймемо наступні означення.
Означення: множина називається нескінченною, якщо із неї можна виділити деяку підмножину, рівнопотужну даній множині.
Таким чином, множина є скінченною, якщо із неї не можна виділити підмножину еквівалентну даній.
Означення: множина називається зчисленною, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел.
Означення: потужність множини дійсних чисел називають континуумом.
Прикладом зчисленних множин є множина раціональних чисел, множина парних чисел тощо. Для того, щоб перевірити зчисленною чи незчисленною є та чи інша множина, слід спробувати встановити взаємно однозначну відповідність між елементами цієї множини та множиною натуральних чисел.
4. Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
4. Розглянемо дві множини: А={2,3,4} і В={2,4,6}. Утворимо нову множину С={2,3,4,6}. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять хоча б в одну із множин. Множину С, яка складається із елементів, що належать хоча б одній із множин А чи В, називають об’єднанням множин А і В. Її позначають С=А.
Означення: Об’єднанням множин А та В називають третю множину АВ, що складається із елементів, які входять хоча б в одну із множин А чи В.
Символічно наведене означення можна записати так: АВ={х /хА або аВ}. На діаграмі Ейлера-Венна ця множина зображена на малюнку 6.
Малюнок 6: об’єднання множин АВ.
Операція об’єднання може поширюватись на три і більше множин. Вона підкоряється певним законам, серед яких є такі, справедливість яких випливає безпосередньо із означення об’єднання, та такі, які слід доводити. До законів (властивостей) об’єднання, справедливість яких легко обґрунтувати, виходячи із означення об’єднання множин, відносяться:
До законів, які слід доводити одним із можливих способів (міркуваннями або за допомогою діаграм Ейлера-Венна) відноситься переставний або комутативний закон: . Для його доведення використовуємо діаграми Ейлера-Венна. Намалюємо дві однакові діаграми, на лівій із яких зображатимемо ліву частину рівності, а на правій – праву. На лівій діаграмі заштрихуємо множину горизонтальними штрихами, а множину - вертикальними Множина зображається тією частиною універсальної множини, де є або горизонтальні, або вертикальні штрихи. На правій діаграмі множину заштрихуємо вертикальними штрихами, а множину В - горизонтальними. Множина зображається на правій діаграмі тією частиною універсальної множини, де є або вертикальні, або горизонтальні штрихи. Порівнюючи їх, бачимо, що множини і зображаються на них однаковими частинами універсальної множини, а тому можна стверджувати, що . Закон доведено (див. малюнок 7).
АВ ВА
Малюнок 7: доведення переставного закону .
Доведемо сполучний або асоціативний закон ()С=(С) за допомогою міркувань. Оскільки дві множини вважаються рівними, якщо кожен елемент першої множини є елементом другої і, навпаки, кожен елемент другої множини є елементом першої множини, то доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент, що належить лівій частині асоціативного закону, є елементом і правої частини.
1. Нехай х()С. Згідно означення об’єднання множин це означає, що: або 1) х(), або 2) хС, або 3) х і хС. Якщо х, то або 1) х, або 2) х, або 3) х і х. Якщо х, то, переходячи до правої частини закону, на основі означення об’єднання множин можна стверджувати, що х(С). Якщо х, то хС, тобто х(С). Якщо х і х, то х(С). Якщо ж, нарешті, хС, то х(С), а тому х(С). Таким чином ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки елемент у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Перша частина теореми доведена.
2. Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай у(С). Згідно означення об’єднання множин можливі такі випадки: або 1) у, або 2) уС, або 3) у і уС. Якщо у, то у, а тому у()С. Якщо уС, то або 1) у, або б) уС, або в) у і уС. Якщо у, то у тоді у()С. Якщо уС, то у()С. Якщо у і уС, то у()С. Аналогічно легко довести справедливість рівності у випадку, коли у і уС. Оскільки елемент у в правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Другу частину теореми доведено.
Таким чином, кожен елемент лівої частини є елементом правої частини і, навпаки. А тому, ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що ()С=(С). Закон доведено.
Приклад: утворити об’єднання множин А та В, якщо множина А={1,2,3,4,5}, а В=а,в,с. а,в,с.
5. Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.
5. Розглянемо дві множини А= і та утворимо третю множину С=. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять в кожну із множину, тобто із спільних елементів цих множин. Таку множину називають перетином множин А та В і позначають символом АВ=С.
Означення: перетином двох множин А і В називається така третя множина АВ, яка складається із спільних елементів А та В.
Символічно це означення можна записати так: х/х і х. З допомогою діаграм Ейлера-Венна перетин множин А і В зображено на малюнку 8. Означення перетину можна поширити на випадок трьох і будь-якої скінченної кількості множин. Операція перетину множин підкоряється таким законам:
Малюнок 8: перетин множин .
Справедливість законів 1-3 легко обґрунтувати, виходячи із означення операції перетину, а закони 4-7 слід довести, використовуючи міркування чи діаграми Ейлера-Венна. Доведемо асоціативний закон операції перетину ()С=(С), використовуючи діаграми Ейлера-Венна (див. малюнок 9). На лівій діаграмі спочатку заштрихуємо вертикальними лініями множину , а горизонтальними - множину С. Тоді множина ()С зобразиться тією частиною універсальної множини, на якій штрихи накладуться. На правій діаграмі заштрихуємо спочатку вертикальними лініями множину С, а множину А - горизонтальними. Тоді множина (С) зобразиться тією частиною універсальної множини, на якій штрихи накладуться. Порівнюючи ліву та праву діаграми, бачимо, що множини ()С і (С) зображаються однієї й тією ж частиною універсальної множини. А це означає, що рівність ()С=(С) справедлива. Отже, закон доведено.
Малюнок 9: доведення асоціативного закону операції перетину()С=(С) .
Операції об’єднання та перетину множин пов’язані між собою дистрибутивними або розподільними законами. Доведемо один із цих законів, а саме А(ВС)=(АВ)(АС), використовуючи міркування. Оскільки дві множини вважаються рівними тоді, коли кожен елемент першої є елементом другої, і навпаки, кожен елемент другої є елементом першої множини, то доведення складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини рівності належить правій, а в другій – що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Виберемо у лівій частині рівності довільний елемент хєА(ВС). Якщо хА(ВС), то згідно означення операції об’єднання множин можливі два випадки: а) хєА і хВС; б) хА і хєВС, тоді хєВ і хєС; в) хєА і хєВС, тоді хєА, хєВ і хєС.
а) якщо хєА і хВС, то хВ або хС. Тоді, згідно означення операції об’єднання хє(АВ) і хє(АС), а згідно означення операції перетину хє(АВ)(АС), тобто правій частині рівності.
б) якщо хА і хєВС, то хєВ і хєС, а тому хє(АВ) і хє(АС). Отже, хє(АВ)(АС), тобто правій частині рівності.
в) якщо хєА і хєВС, то згідно означення операції перетину хєВ і хєС. Тоді, згідно означення операції об’єднання хє(АВ) і хє(АС), а згідно означення операції перетину хє(АВ)(АС), тобто правій частині рівності.
Таким чином, вибравши у лівій частині рівності довільний елемент, який їй належить, ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки в лівій частині елемент ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Це означає, що (А(ВС))((АВ)(АС)). Перша частина теореми доведена.
Проведемо доведення другої частини: покажемо, що кожен елемент правої частини рівності є елементом лівої. Нехай ує(АВ)(АС). Тоді згідно означення операції перетину множин маємо: ує(АВ) і ує(АС). Тут можливі два випадки: а) уєА і уВ; б) уА і уєВ, а тоді уєС.
а) якщо уєА і уВ, то згідно означення операції об’єднання ує(А(ВС)), тобто лівій частині.
б) якщо уєВ і уєС, то згідно означення операції перетину ує(ВС), а згідно означення операції об’єднання ує(А(ВС)), тобто лівій частині. Таким чином, в обох випадках, якщо елемент належить правій частині, то він належить і лівій.
Оскільки елемент у правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Це означає, що справедливе твердження ((АВ)(АС))(А(ВС)). Другу частину доведено.
Таким чином, у першій частині ми довели, що (А(ВС))((АВ)(АС)), тобто, що кожен елемент лівої частини є елементом правої, а в другій частині – ((АВ)(АС))(А(ВС)), тобто, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Отже, згідно означення рівності множин, маємо А(ВС)=(АВ)(АС), тобто ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що справедливість закону доведено.
Готуючись до екзамену студент має право доводити відповідні закони будь-яким із наведених способів. Для оволодіння способами доведення пропонуємо студентам довести самостійно всі не доведені закони будь-яким із запропонованих двох способів.
6. Операції різниці (віднімання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.
6. Розглянемо дві множини А= і та утворимо третю множину С=13. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять у множину А, але не входять у множину В. Таку множину називають різницею множин А та В і позначають символом А\В=С.
Означення: різницею двох множин А і В називається така третя множина А\В, яка складається із тих і тільки тих елементів множини А, що не належать множині В.
Символічно це означення можна записати так: \х/х і х.
Операцію знаходження різниці двох множин називають відніманням. Якщо ВА, то А\В називається доповненням множини В до множини А. За допомогою кругів Ейлера різницю множин А і В зображено на малюнку 10. Різні випадки різниці множин за допомогою кругів Ейлера можна зобразити так (див. малюнки 11-14).
Малюнок 10: різниця множин А\В.
Малюнок 11: різниця множин А\В. Малюнок 12: різниця множин А\В.
Малюнок 13: різниця множин В\А=. Малюнок 14: різниця множин А\В=А.
За допомогою діаграм Ейлера-Венна легко довести, що операція різниці не підкоряється комутативному закону, тобто, що А\ВВ\А (див. малюнки 15-16).
Малюнок 15: А\В. Малюнок 16: В\А.
7. Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.
7. Із поняттям різниці множин тісно пов’язана операція доповнення даної множини до універсальної. Це важливо, оскільки певні сукупності ми розглядаємо у рамках відповідної універсальної множини U. У таких випадках операція знаходження доповнення множин набуває самостійного значення, хоч вона є окремим випадком операції віднімання множин.
Означення: Доповненням даної множини AU до універсальної множини U називається множина U\A, яка є різницею цих множин, тобто така множина, яка містить усі ті і тільки ті елементи множини U, що не належать множині А.
Доповнення даної множини до універсальної позначають Ā або інколи А'. Символічно прийняте означення можна записати так: Ā={х/хU і х. Графічне зображення множини Ā представлено на діаграмі Ейлера-Венна (див. малюнок 17).
Малюнок 17: доповнення множини А до універсальної множини U: Ā=U\А.
Безпосередньо із означення доповнення випливає справедливість таких законів:
1. Ū=. 2. '= U. 3. А"=А - закон подвійного доповнення.
Операції доповнення, перетину і об’єднання множин пов’язані між собою законами де Моргана:
1. (A)''' - доповнення до обєднання множин А і В дорівнює перетину доповнень цих множин.
2. ()''' - доповнення до перетину множин А і В дорівнює об’єднанню доповнень цих множин.
Довести ці закони можна як міркуваннями, так і за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Доведемо перший закон ()''' за допомогою міркувань. Спочатку доведемо, що кожен елемент лівої частини є елементом правої. Якщо х()', то згідно означення доповнення це означає, що х, а відповідно до означення об’єднання х і х. Тоді згідно означення доповнення хА' і хB', а тому згідно означення операції перетину хА'B', тобто правій частині. Оскільки елемент х у лівій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини належить і правій частині рівності, а тому ()'''. Першу частину доведено.
Доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай у''. Згідно означення перетину множин це означає, що у' і у', а тоді відповідно до означення доповнення це означає, що у і у. Згідно до означення об’єднання у, а тому відповідно до означення доповнення у()', тобто лівій частині. Оскільки елемент у в правій частині ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента правої частини. Отже, кожен елемент правої частини належить і лівій частині рівності, а тому ('')()'. Другу частину доведено.
Таким чином, у першій частині ми довели, що ()''', а у другій, що ('')()'. Згідно означення рівності множин це означає, що ('')=()', тобто закон доведено повністю.
Доведемо другий закон ()''' за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Ліву частину рівності будемо зображати на лівій діаграмі, а праву частину – на правій. На лівій діаграмі множину заштрихуємо вертикальними лініями. Тоді доповнення цієї множини до універсальної, тобто множину ()', заштрихуємо на лівій діаграмі горизонтальними лініями. Отже, елементи, які належать лівій частині рівності, знаходяться у тій частині універсальної множини, на якій є горизонтальна штриховка. На правій діаграмі множину А' заштрихуємо вертикальними лініями, а множину В' – горизонтальними лініями. Тоді на правій діаграмі множина А'' буде зображатися тією частиною універсальної множини, де є хоча б одна штриховка, або вертикальними, або горизонтальними лініями.
Порівнюючи ліву і праву частини діаграми, бачимо, що на лівій діаграмі множина ()' зображається всією універсальною множиною без множини ; на правій діаграмі множина '' також зображається елементами універсальної множини без множини . Таким чином, ліва і права частини рівності, що виражає закон де Моргана, зображається однаковими частинами універсальної множини, а тому він справедливий, тобто правильна рівність ()''' (див. малюнок 18).
Малюнок 18: доведення закону де Моргана ()'''.
8. Поняття розбиття множини на класи (підмножини), що попарно не перетинаються. Розбиття множини на класи за допомогою однієї, двох і трьох властивостей. Класифікації.
8. Розглянемо множину студентів педфаку, позначивши її А. Розглянемо на цій множині властивість «бути однокурсником». За допомогою цієї властивості множина А розіб’ється на п’ять підмножин: А1 – множина студентів І курсу; А2 - множина студентів ІІ курсу; А3 – множина студентів ІІІ курсу; А4 – множина студентів ІУ курсу; А5 – множина студентів У курсу. Що характерне для цих множин? - 1) вони не порожні; 2) вони попарно не перетинаються; 3) об’єднання цих підмножин дає нам множину А, тобто А1А2А3А4А5=А. В таких випадках говорять, що ми маємо справу із розбиттям множини на підмножини (класи), що попарно не перетинаються.
Чи можна розбити множину А іншим способом? – так, якщо розглянути ще одну властивість, наприклад, „навчатися на державній формі фінансування”. Скільки підмножин ми при цьому отримаємо? – оскільки кожна із підмножин А1, А2, А3, А4 і А5 розіб’ється в свою чергу ще на п’ять підмножин, то всього за допомогою двох властивостей одержимо десять підмножин: А11 – множина студентів І курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А12 – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А21 – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А22 – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А31 – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А32 – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А41 – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А42 – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування; А52 – множина студентів У курсу, які навчаються на державній формі фінансування; А52 – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування. Що характерне для цих підмножин? - 1) вони також не порожні; 2) вони попарно не перетинаються; 3) вони в об’єднанні дають всю множину А. В таких випадках говорять, що ми маємо справу із розбиттям множини на підмножини (класи), що попарно не перетинаються.
Якщо крім названих двох властивостей розглянути ще одну властивість „проживати у сільській місцевості”, то кожна із отриманих раніше підмножин розіб’ється на дві, а тому ми отримаємо у множині А з допомогою трьох властивостей двадцять підмножин: А111 – множина студентів І курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А112 – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А121 – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А122 – множина студентів І курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А211 – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А212 – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А221 – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А222 – множина студентів ІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А311 – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А312 – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А321 – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А322 – множина студентів ІІІ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А411 – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А412 – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А421 – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А422 – множина студентів ІУ курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А511 – множина студентів У курсу, які навчаються на державній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А512 – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості; А521 – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування і проживають у сільській місцевості; А522 – множина студентів У курсу, які навчаються на платній формі фінансування і не проживають у сільській місцевості. Які ж властивості мають вказані підмножини? – такі ж самі, як і попередніх випадках. Чи може хтось сформувати означення розбиття множини на підмножини, що попарно не перетинаються?
Означення: Система S непорожніх підмножин даної множини М називається розбиттям множини М на підмножини (класи), що попарно не перетинаються, якщо кожний елемент мМ належить одній і тільки одній підмножині з Ѕ, тобто, якщо:
1) кожен елемент з множини Ѕ є підмножиною множини М;
2) кожен елемент з Ѕ є непорожньою множиною;
3) елементи з множини Ѕ попарно не перетинаються;
4) об’єднання всіх елементів з Ѕ утворює множину М, тобто, кожен елемент з множини М належить одній з підмножин розбиття Ѕ.
Поняття розбиття множин на підмножини, що попарно не перетинаються, широко використовуються при проведенні класифікацій. Прикладом класифікацій у математиці може бути поділ кутів на прямі і непрямі, натуральних чисел на парні і непарні тощо. У біології це поділ організмів на живі та неживі, у бібліотекознавстві – різноманітні каталоги. Разом з тим зазначимо, що для правильного проведення класифікації слід дотримуватися вказаних в означенні умов. Якщо хоча б одна із вказаних умов буде порушена, то класифікація стане неправильною.
9. Поняття кортежу та впорядкованої пари. Поняття кортежу довжини n. Рівні пари та кортежі.
9. Що можна сказати про порядок розміщення елементів у множині? – у загальному випадку він не має принципового значення. Але для певних множин він важливий. Перейдемо до розгляду упорядкованих множин. Число 39 можна записати за допомогою двох цифр 3 і 9. Ці цифри слід ставити в певному порядку: спочатку 3, а потім 9. Якщо їх переставити, то одержимо інше число, а саме 93. Говорять, що (3;9) – це впорядкована пара чисел. Впорядкова ну пару чисел х і у будемо записувати таким, чином: (х;у). Число 55 записується за допомогою двох однакових цифр, тобто цифри утворюють впорядковану пару чисел (5;5). Таким чином, у впорядкованих парах елементи можуть повторюватися. Впорядковані пари можна складати не лише із чисел, а також і з елементів будь-яких множин.
Означення: Упорядкованою парою або кортежем довжини 2 називають таку множину з двох елементів а і в, у якій істотним є не тільки самі елементи, але й порядок їх розміщення у множині (а,в).
Елементи впорядкованої пари називаються компонентами або координатами. Впорядковану пару (а,в) ще називають кортежем довжини 2 і позначають а,в. Аналогічно можна визначити поняття впорядкованої трійки або кортежу довжини три, впорядкованої четвірки або кортежу довжини чотири тощо. Як би ви ввели поняття кортежу довжини к? – впорядкована множина, яка містить к елементів, тобто (а1,а2,а3,...,ак). Прикладом впорядкованих трійок можуть бути: (2,1,3), (2,2,3), (1,2,8) тощо.
Означення: Дві пари (а,в) і (с,d) називаються рівними, якщо відповідні компоненти їх рівні, тобто (а,в)=(с,d) тоді і тільки тоді, коли а=с і в=d.
Розглянемо дві множини Х={а,в,с} і У={3,9}. Утворимо із елементів цих множин пари таким чином, щоб перша компонента пари належала множині X. а друга - множині У. Всі пари ут ворять множину: {(а,3), (а,9), (в,3), (в,9), (с,3), (с,9)}. Її називають декартовим (або прямим) добутком множин Х і У і позначають ХУ.
Означення: декартовим добутком множин Х і У називається множина ХУ впорядкованих пар (х;у) таких, що хєХ і уєУ.
Символічно це означення можна записати так: ХУ={(х;у)/хєХ і уєУ}. Якщо множини Х і У співпадають, тобто Х=У, то множина ХХ складається із всіх пар (х;х) таких, що хєХ і називається декартовим квадратом. Вона позначається Х². Аналогічно можна означити декартів добуток трьох, чотирьох і будь-якого скінченного числа множин.
Означення: декартовим добутком множин А1, А2,..., Аn називається множина кортежів (а1, а2, , а3, ...,аn) довжини n таких, що а1А1, а2А2, а3А3, …, аnАn, тобто А1А2А3..Аn={(а1, а2, , а3, ...,аn)/а1А1, а2А2, а3А3, …, аnАn }.
Як же можна задавати декартів добуток множин? – оскільки декартів добуток є множиною, то його можна задавати тими ж способами, що і множини, тобто: 1) переліком всіх пар, що входять до нього, наприклад ХУ={(а,3), (а,9), (в,3), (в,9), (с,3), (с,9)}; 2) описом або за допомогою характеристичної властивості, наприклад: ХУ={(х;у)/хХ і уУ}. Крім того, декартів добуток множин можна задавати ще й такими способами: 3) табличним, коли елементи, які належать декартовому добутку множин розміщують у вигляді таблиці, в якій у стовпчиках розміщені елементи множини X, а в рядках - елементи множини У, а елементи множини ХУ пишуть на перетині відповідних рядків і стовпців (див. малюнок 19); 4) аналітично, тобто за допомогою формули, наприклад: у=5х-7; 5) графічно, коли елементи декартового добутку множин зображаються точками декартової прямокутної системи координат; 6) за допомогою графа (див. малюнок 20).
Розглянемо властивості декартового добутку множин.
1. АВВА – ця нерівність говорить про те, що декартів добуток множин немає властивості комутативності.
2. (АВ)С=(АС)(ВС).
3. А(ВС)=(АВ)( АС).
4. (АВ)С=(АС)(ВС).
5. А(ВС)=(АВ)(АС).
6. (А\В)С=(АС)\(ВС).
7. А(В\С)=(АВ)\(АС).
|
у х |
а |
в |
С |
|
1 |
(1,а) |
(1,в) |
(1,с) |
|
3 |
(3,а) |
(3,в) |
(3,с) |
|
5 |
(5,а) |
(5,в) |
(5,с) |
|
7 |
(7,а) |
(7,в) |
(7,с) |
Таблиця № 1. Табличне задання декартового добутку множин.
а в
с 1 2
3 4 5
6
7
Малюнок 19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.
Властивості 1-7 доводяться за допомогою міркувань. Покажемо це на прикладі останньої властивості. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини, яка складається із впорядкованих пар, належить правій частині. Нехай пара (х;у)А(В\С). Згідно означення декартового добутку це означає, що хА і уВ\С. Якщо уВ\С, то за означенням різниці множин уВ і уС. Оскільки хА і уВ, то за означенням декартового добутку множин (х,у)АВ. Оскільки хА і уС, то (х,у)АС. Якщо (х,у)АВ і (х,у)АС, то згідно з означенням операції різниці множин (х,у)(АВ)\(АС), тобто правій частині. Пару (х,у) у лівій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить лівій частині. Таким чином, множина А(В\С) є підмножиною множини (АВ)\(АС), тобто А(В\С)(АВ)\(АС). Отже, першу частину доведено.
У другій частині доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай пара (а;в)(АВ)\(АС). Згідно означення різниці, (а;в)(АВ) і (а;в)(АС). Звідси аА і вС. Якщо (а;в)(АВ), то за означенням декартового добутку множин аА і вВ. Оскільки вВ і вС, то за означенням різниці множин вВ\С. Якщо аА і вВ\С, то за означенням декартового добутку множин (а;в)А(В\С), тобто лівій частині. Пару (а;в) у правій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить правій частині. Таким чином, множина (АВ)\(АС) є підмножиною множини А(В\С), тобто (АВ)\(АС)А(В\С). Отже, другу частину доведено.
Таким чином, у першій частині ми довели, що (А(В\С))((АВ)\(АС)), а у другій – ((АВ)\(АС))(А(В\С)). Звідси на основі означення рівності множин маємо рівність А(В\С)=(АВ)\(АС), тобто справедливість властивості доведено повністю.
Спробуємо знайти залежність, яка б допомогла шукати число елементів декартового добутку множин, якщо відомо число елементів вихідних множин. Нехай А={1, 2, 3} і В={а, в}. Утворимо множину АВ={(1;а ), (1;в), (2;в), (3;а), (3;в)}. Легко бачити, що n(А)=3, n(В)=2 і n(АВ)=6, тобто n(АВ)=n(А)·n(В). У математиці для загального випадку доведено теорему: „Число елементів декартового добутку множин А1, А2, А3, ... ,Ак, що мають відповідно n1, n2, n3,...,nk елементів дорівнює добутку чисельностей цих множин, тобто n(А1А2А3…Ак)=n(А1)n(А2)n(А3)…n(Ак)=n1,n2,n3, ..., nk”.
Як же визначити число елементів об’єднання двох скінченних множин? Для цього доведеться розглядати два випадки: 1) множини А і В не мають спільних множин, тобто АВ=; 2) множини А і В мають спільні елементи, тобто АВ. У першому випадку використовується формула n(АВ)=n(А)+n(В), а в другому - n(АВ)=n(А)+n(В)–n(АВ). Чи можна поширити ці формули на будь-яке число елементів? – математика дає на це ствердну відповідь, тобто справедлива формула: n(А1А2А3...Ак)=n(А1)+n(А2)+n(А3)+...+n(Ак), коли множини попарно не перетинаються.
МОДУЛЬ 1: «Множини. Відповідності Відношення.».
Змістовний модуль1.2. «Відповідності та відношення.».
ПЛАН.
1. Поняття відповідності між елементами двох множин, бінарні відповідності, їх позначення та способи задання. Множина відправлення та множина прибуття відповідності. Образи і прообрази елементів і множин, їх позначення.
2. Типи відповідностей (порожня, повна, всюди визначена у множині відправлення, сюр’єктивна, інє’ктивна, функціональна відповідність або функція, відображення, бієктивна). Обернені функції та відображення.
3. Бінарні відношення між елементами однієї множини, способи їхнього задання та їх властивості: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, асиметричність, антисиметричність, транзитивність, антитранзитивність.
4. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
ЛІТЕРАТУРА
[1] –с. 3-40; [2] –с. 11-88; [3] –с. 5-56.
1. Поняття відповідності між елементами двох множин, бінарні відповідності, їх позначення та способи задання. Множина відправлення та множина прибуття відповідності. Образи і прообрази елементів і множин, їх позначення.
1. Теорія множин вивчає множини та операції над ними. Розглядаючи це не цікавляться, як правило, природою елементів, із яких складається множина, способом задання множин і порядком розміщення елементів у множині. Разом з тим, математична теорія завжди прагне знайти своє застосування до розв’язування практичних задач. Як же це відбувається з теорією множин? – її застосовують до побудови математичних теорій, до розв’язування практичних завдань, розглядаючи множини, між елементами яких існують ті чи інші відношення. Прикладом таких відношень у повсякденному житті є родинні відношення між людьми, відношення на роботі між колегами, в математиці – це відношення паралельності, подільності, рівності тощо.
Слід зазначити, що поняття відповідності, відношення розуміють майже однозначно. Однак таке розуміння носить інтуїтивний, а не точний характер. Для вивчення різноманітних відношень між математичними об’єктами інтуїтивне поняття «відношення» слід уточнити, але так, щоб воно набуло цілком конкретного математичного змісту і в той же час не втратило своєї інтуїтивної сутності. Розглянемо дві скінченні множини Х={2, 4, 6, 8} і У={2, 3}. Утворимо із елементів цих множин впорядковані пари так, щоб перша компонента пари ділилася націло на другу компоненту. Отже, матимемо таку множину пар А={(2;2), (4;2), (6;2), (8;2), (6;3)}. Утворимо тепер декартів добуток множин Х і У: Х×У={(2;2), (2;3), (4;2), (4;3), (6;2), (6;3), (8;2), (8;3)}. Що можна сказати про множини А і Х×У? – множина А є підмножиною множини Х×У, тобто АХ×У. Враховуючи це, можна ввести таке означення поняття відношення:
Означення: бінарним відношенням, визначеним між елементами множин Х і У, називається будь-яка підмножина декартового добутку цих множин Х і У.
Означення: відповідністю між множинами Х і У називається трійка множин Х, У і GХ×У.
Множину Х називають множиною відправлення або областю визначення відповідності, множину У – множиною прибуття або множиною значень відповідності, а множину впорядкованих пар GХ×У, які перебувають у відповідності, - графіком відповідності. Домовилися відповідності позначати малими буквами грецького алфавіту α, β, γ, δ, ε та ін. Символічний запис α={GХ×У} означає, що задано відповідність між елементами множин Х і У. Якщо елементи пари (х;у) перебувають у відповідності α, то це позначають так: хαу і читають «елемент у відповідає елементу х у відповідності α». Інколи відповідності позначають і великими буквами латинського алфавіту R, S, T, наприклад: хRу, аSв тощо. Слід зазначити, що уже в початкових класах діти знайомляться з відповідностями та відношеннями. Так, молодші школярі розглядають відношення рівності, більше, менше тощо.
Коли ж відповідність вважається заданою та які способи задання відповідностей існують? – тоді, коли відносно будь-якої пари можна сказати належить чи не належить вона відповідності. Оскільки відповідність є підмножиною декартового добутку множин, то цілком логічно припустити, що відповідності можна задати всіма тими способами, якими задавався декартів добуток множин, а саме: 1) переліком всіх пар елементів, які перебувають у цій відповідності; 2) за допомогою характеристичної властивості; 3) таблицею; 4) рівнянням; 5) графіком; 6) графом. Не всі вказані способи задання відповідностей рівнозначні, а найзручнішим буде той, який потрібен саме для конкретної відповідності (пропонуємо виконати завдання № 38 для самостійної роботи!).
Отже, виникає запитання «чи однакові всі відповідності та як виділяти в них різні типи?». Перед тим, як знайти відповіді на ці запитання, розглянемо питання про образи та прообрази елементів у відповідності.
Означення: образом елемента аєА у відповідності αА×В називають множину тих елементів вєВ, для яких (а;в)єα.
Означення: прообразом елемента вєВ у відповідності αА×В називають множину тих елементів аєА, для яких (а;в)єα.
Домовилися образ елемента аєА у відповідності αА×В позначати α(а). Прообраз елемента вєВ при цій же відповідності αА×В будемо позначати так: α-1(а). Нехай відповідність задана графом (див. малюнок № 20).
Малюнок 20. Граф відповідності.
Користуючись малюнком, знайдемо образи і прообрази елементів, які перебувають у відповідності, заданій графом. α(1)={4, 8}, α(2)=Ø, α(3)={2, 4}, α(4)={2, 6, 8}, α(5)={4}, α-1(2)={2, 3, 4}, α-1(4)={2, 4, 5}, α-1(6)= Ø, α-1(8)={1, 4}. Із наведеного прикладу видно, що не всі елементи множини А мають образи у множині В. Так само як і не всі елементи множини В мають прообрази у множині А. враховуючи попереднє зауваження із базових множин А і В можна виділити дві підмножини: 1) підмножину α(А)={в/вєВ і існує таке аєА, що аαв}. Її називають множиною значень відповідності α і позначають α(А)В; 2) підмножину α-1(В)={а/аєА і існує таке вєВ, що аαв}. Цю множину називають областю визначення відповідності α і позначають α-1(В)А. Таким чином, множина значень відповідності α(А) є об’єднанням образів всіх елементів множини А, а область визначення відповідності α-1(В) є об’єднанням прообразів усіх елементів множини В.
2. Типи відповідностей (порожня, повна, всюди визначена у множині відправлення, сюр’єктивна, інє’ктивна, функціональна відповідність або функція, відображення, бієктивна). Обернені функції та відображення.
2. Яке співвідношення може існувати між множинами G і Х×У? – 1) G∩Х×У=Ø; 2) GХ×У; 3) G=Х×У. Виходячи із цих співвідношень можна виділити наступні характерні типи відповідностей:
1) порожня відповідність, при якій G∩Х×У=Ø і α= Ø;
2) повна відповідність, при якій α=Х×У і у графі якої від кожного елемента множини Х йдуть стрілки до кожного елемента множини У;
3) відповідність всюди визначена у множині відправлення Х, тобто така, у якої GХ×У і для якої α-1(У)=Х. Це означає, що всі елементи множини Х мають образи у множині У. На графі такої відповідності із кожного елемента множини Х виходить стрілка до якогось елемента множини У;
4) сюр’єктивна відповідність, тобто відповідність на всю множину прибуття У, причому α(Х)=У. При такій відповідності кожен елемент множини У має прообраз у множині Х. Для графа цієї відповідності характерно те, що із кожного елемента множини Х виходить стрілка і в кожен елемент множини У входить стрілка;
5) інє’ктивна відповідність – це така відповідність αХ×У, у якої прообрази елементів з множини У містять не більше одного елемента з множини Х. На графі такої відповідності в елементи множини У входить не більше однієї (одна або жодної) стрілки;
6) функціональна відповідність або функція, при якій образи елементів з множини Х або порожні, або містять лише один елемент. Граф цієї відповідності характеризується тим, що з кожного елемента множини Х виходить або одна стрілка, або не виходить жодної стрілки, але в елементи множини У може входити більше, ніж одна стрілка;
7) відображення – це всюди визначена функціональна відповідність, коли кожному елементу з множини Х відповідає єдиний елемент у множині У. Такі відповідності, тобто відображення, у свою чергу, поділяють на дві групи: а) відображення множини Х в множину У, коли у множині У є елементи, які не мають прообразів в множині Х. Граф такого відображення характеризується тим, що з всіх елементів множини Х виходять стрілки, але не в кожен елемент множини У входить хоча б одна стрілка; б) відображення множини Х на множину У, коли кожен елемент з множини У має прообраз у множині Х;
8) бієктивна або взаємно однозначна відповідність, яка одночасно всюди визначена, сюр’єктивна, інє’ктивна та функціональна, тобто це ін’єктивне та сюр’єктивне відображення.
У математиці доволі часто доводиться мати справу з оберненими об’єктами (обернені числа, обернені задачі, обернені теореми, обернені функції тощо). Отже, цілком доцільним є введення понять оберненої відповідності та оберненого відображення.
Означення: відповідністю, оберненою до відповідності αХ×У, називається така відповідність α-1, яка є підмножиною декартового добутку множин У×Х і складається з тих і тільки тих пар (у;х), для яких (х;у)єα.
Якщо взяти функціональну відповідність і побудувати для неї обернену, то відповідь на запитання «чи буде одержана відповідність функціональною?» не завжди позитивна.
Означення: відображенням, оберненим до даного відображення f, називається таке відображення f-1, у якого для кожного хєХ і уєУ, якщо f(х)=у, то f-1(у)=х, тобто f-1(f(х))=х.
У математиці доведено теорему, яка дає відповідь на запитання «які відображення мають обернені?».
Теорема: відображення fХ×У має обернене відображення f-1 тоді і тільки тоді, коли відображення f – бієктивне.
Цю теорему приймемо без доведення.
Означення: відображення f називається оборотним, якщо воно має обернене відображення f-1.
3. Бінарні відношення між елементами однієї множини, способи їхнього задання та їх властивості: рефлексивність, антирефлексивність, симетричність, асиметричність, антисиметричність, транзитивність, антитранзитивність.
3. Хоча поняття відповідності та відношення досить близькі, але вони мають суттєві відмінності. Не зупиняючись на цих відмінностях, які не є предметом нашого розгляду, приймемо наступне означення.
Означення: якщо у відповідності f множина відправлення Х співпадає з множиною прибуття У, то таку відповідність будемо називати відношенням між елементами множини Х.
Означення: бінарним відношенням, визначеним у множині Х, називається кожна підмножина декартового квадрату Х×Х=Х2.
Як же можна задавати відношення? – оскільки відношення це відповідність, то його можна задавати тими самими способами, тобто за допомогою переліку, характеристичної властивості, таблиць, графів, графіків, формулою (аналітично). Які ж є типи відношень? – залежно від набору певних властивостей виділяють типи відношень, які ми визначимо за допомогою наступних означень.
Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається рефлексивним, якщо кожний елемент множини Х перебуває у відношенні α сам з собою, тобто аαа.
Символічно наведене означення можна записати так: (хєХ)(аαа). Якщо відношення α рефлексивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість рефлексивності. Прикладами рефлексивних відношень є відношення подільності на множині чисел (а:а), рівності на множині фігур, паралельності на множині площин тощо.
Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається антирефлексивним, якщо не кожен елемент множини Х перебуває у відношенні α сам з собою, тобто аαа.
Символічно наведене означення можна записати так: (хєХ)(аαа). Якщо відношення α антирефлексивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість антирефлексивності. Прикладами антирефлексивних відношень є відношення більше на множині чисел, перпендикулярності на множині прямих тощо.
Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається симетричним, якщо для будь-яких а,вєХ із того, що аαв→вαа.
Символічно наведене означення можна записати так: (а,вєХ)(аαв→вαа). Якщо відношення α симетричне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість симетричності. Прикладами симетричних відношень є відношення дорівнює на множині фігур, перпендикулярності на множині прямих тощо.
Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається асиметричним, якщо для будь-яких а,вєХ із того, що аαв→вαа.
Символічно наведене означення можна записати так: (а,вєХ)(аαв→вαа). Якщо відношення α асиметричне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість асиметричності.
Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається антисиметричним, якщо для будь-яких а,вєХ із того, що (аαв^вαа)→(а=в).
Символічно наведене означення можна записати так:
(а,вєХ)(аαв^вαа)→(а=в). Якщо відношення α антисиметричне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість антисиметричності.
Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається транзитивним, якщо для будь-яких а,в,сєХ із того, що (аαв^вαс)→(аαс).
Символічно наведене означення можна записати так:
(а,в,сєХ)(аαв^вαс)→(аαс). Якщо відношення α транзитивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість транзитивності. Прикладами транзитивних відношень можуть бути: відношення подільності на множині чисел, відношення менше на множині кутів тощо.
Означення: відношення α, визначене у множині Х, називається антитранзитивним, якщо для будь-яких а,в,сєХ із того, що (аαв^вαс)→(аαс).
Символічно наведене означення можна записати так:
(а,в,сєХ)(аαв^вαс)→(аαс). Якщо відношення α антитранзитивне, то говорять, що елементи множини Х мають властивість антитранзитивності.
Означення: відношення α, визначене у множині Х називається зв’язним, якщо для будь-яких аαв і а≠в випливає, що аαв або вαа.
Прикладом таких відношень є відношення більше, менше на множині чисел.
4. Відношення еквівалентності та порядку, їх властивості. Впорядковані множини. Зв'язок відношення еквівалентності з розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються.
4. Як можна було б згрупувати різні за змістом відношення? – навколо певних наборів властивостей. У математиці відношення між елементами однієї множини поділяють принаймні на три групи: 1) відношення еквівалентності; 2) відношення порядку; 3) функціональні відношення. Розглянемо перші дві групи.
Означення: будь-яке рефлексивне, симетричне та транзитивне відношення f, визначене у множині Х, називається відношенням еквівалентності.
Прикладами відношень еквівалентності є відношення подібності на множині трикутників, паралельності на множині площин, «бути однокурсником» на множині студентів тощо. Як визначити, чи є задане відношення відношенням еквівалентності? – перевірити наявність у нього властивостей, які повинні бути у відношення такого типу. Покажемо це на конкретному прикладі.
Вправа: з’ясувати, чи є відношенням еквівалентності відношення «проживати на одній вулиці», задане на множині людей.
Отже, відношення α:«проживати на одній вулиці», задане на множині людей, є рефлексивним, симетричним і транзитивним, а тому відноситься до відношень типу еквівалентності.
Розглядаючи поняття розбиття множини на підмножини, що попарно не перетинаються, ми з’ясували, що відношення «бути однокурсником» на множині студентів, розбило множину всіх студентів на п’ять підмножин. З’ясуємо властивості цього відношення. Легко бачити, що воно має властивості рефлексивності, симетричності і транзитивності (Чому?), а тому є відношенням типу еквівалентності. Сказане дає підстави припустити, що між розбиттям множини на класи, що попарно не перетинаються, і відношеннями типу еквівалентності існує певний зв'язок. Сутність цього зв’язку розкривається такою теоремою.
Теорема: для того, щоб відношення α дозволяло розбити множину Х на класи, що попарно не перетинаються, необхідно і достатньо, щоб відношення α було відношенням еквівалентності.
Оскільки у формулюванні цієї теореми є слова необхідно і достатньо, то доведення теореми складається із двох частин: 1) із доведення необхідності; 2) із доведення достатності. Цю теорему приймемо без доведення.
Означення: бінарне відношення α, визначене у множині Х, називається відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне, антисиметричне і транзитивне.
Прикладами відношень строгого порядку є: відношення «менше» у множині цілих чисел; відношення «бути старшим» на множині людей; відношення «бути вищим» на множині дерев тощо.
Означення: бінарне відношення α, визначене у множині Х, називається відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.
Прикладами відношень нестрогого порядку є: відношення «більше або дорівнює» у множині раціональних чисел; відношення подільності на множині натуральних чисел тощо.
Означення: відношення порядку в множині Х називається відношенням лінійного порядку, якщо для будь-яких елементів х,уєХ виконується умова хαу٧уαх. Якщо ж відношення не має такої властивості, то його називають відношенням часткового порядку.
Прикладом відношення лінійного порядку є відношення «більше» чи «менше» на множині чисел.
Означення: якщо відношення α в множині Х є відношенням часткового порядку, то множину Х називають частково впорядкованою множиною.
Означення: якщо відношення α в множині Х є відношенням лінійного порядку, то множину Х називають лінійно впорядкованою множиною.
Лінійно впорядковані множини мають ряд властивостей. Нехай а,в,сєХ і множина Х лінійно впорядкована відношенням α. Якщо відомо, що аαв^вαс, то говорять, що елемент в лежить між елементами а і с.
Означення: множина Х, яка лінійно впорядкована відношенням α, називається дискретною, якщо між будь-якими двома її елементами знаходиться лише скінченна множина елементів.
Прикладом дискретних множин є множини натуральних і цілих чисел.
Означення: множина Х, яка лінійно впорядкована відношенням α, називається щільною в собі, якщо для будь-яких двох різних її елементів існує елемент цієї множини, що лежить між ними.
Прикладом щільних в собі множин є множина дійсних чисел.
МОДУЛЬ 1: «Множини. Відповідності Відношення.».
Змістовний модуль1.3. «Елементи комбінаторики».
План.
1. Комбiнаторнi задачі. Правила суми i добутку.
2. Розміщення з повтореннями та без повторень.
3. Перестановки з повтореннями та без повторення.
4. Комбiнацiї та їх властивості.
Література:
[1] – с. 41-51; [2] – с. 54-64; [3] – с. 56-79.
1. Комбiнаторнi задачі. Правила суми i добутку.
1. Розглядаючи множини та операції над ними ми вказували, що порядок розміщення елементів немає значення, але є галузь математики, для якої порядок розміщення елементів множини має суттєве значення. Ця галузь математики називається комбінаторикою та розглядає задачі, пов’язані з розташуванням за певними правилами елементів скінченних множин i відшукання числа способів, якими це можна зробити. Такі задачі називаються комбінаторними. Наприклад: 1) скільки карточок спортлото потрібно купити, щоб точно вгадати 6 номерів? 2) скількома способами можна призначити в групі трьох чергових?; 3) скількома способами можна витягнути з колоди три карти, щоб набрати 21 очко?
Комбінаторика виникла з необхідності створення теорії азартних ігор. Найбільший вклад в її розвиток внесли П.Ферма, Б.Паскаль, Х.Гюйгенс, В.Лейбнiц, Я.Бернуллi. Значний інтерес до комбінаторики поновлюється в 50-х роках XX ст. у зв’язку з бурхливим розвитком кібернетики та дискретної математики i широким використанням електронно-обчислювальної техніки. Дуже широко використовується комбінаторика в теорії оптимального управління.
В комбінаториці є правила, які дозволяють елементарними способами розв’язати значну кількість комбінаторних задач. Розглянемо дві скінченні множини А i В такі, що n(A)=m і n(B)=k, причому АB=Ø. Якщо виконуються ці умови, то кількість елементів множини АВ визначається однозначно, тобто n(АВ)=m+k. Отже має місце таке твердження:
Правило суми: якщо множина А містить m елементів, а множина В - k елементів то множина AB містить m+k елементів.
Досить часто правило суми формулюють так:
Правило суми: якщо деякий елемент x з множини А можна вибрати m способами, а елемент y з множини В - k способами, причому жоден із способів вибору елемента x не співпадає зі способом вибору елемента y, то елемент x або елемент y можна вибрати m + k способами.
Це правило можна поширити на випадок будь-якої скінченної кількості множин. Розглянемо застосування цього правила до розв’язання наступних задач.
Задача 1: на столі є 4 ручки i 3 олівці. Скількома способами можна взяти зі столу один предмет?
Розв’язання:
У цій задачі маємо справу із двома скінченними множинами: А - множина ручок, де n(A)=4, i В - множина олівців, де n(B)=3. Оскільки нам потрібно вибрати один предмет, тобто зробити вибір x чи y (ручка або олівець), то згідно з правилом суми це можна зробити n(A)+n(B)=4+3=7 способами. Правило суми можна було застосувати тому, що множини не перетинаються i вибір ручки не залежить від вибору олівця i навпаки.
Задача 2: із 28 студентів групи: 15 - займається в секції волейболу, 12 – в секції футболу, 7 - займається в обох секціях. Скільки студентів займається в інших секціях.
Розв’язання:
У цій задачі мова йде про такі множини: А - множина студентів групи, де n(A)=28, В - множина студентів, які займаються волейболом, де n(B)=15, С - множина студентів, які займаються футболом, де n(C)=12, D - множина студентів, які займаються футболом i волейболом, де n(D=ВС)=7, K - множина студентів, які займаються в інших секціях, де n(K) потрібно знайти. На кругах Ейлера ці множини зобразяться так (див. малюнок № 21):
Малюнок № 21. Розв’язання задачі 2.
Отже, n(A)=n(B)+n(C)+n(K)-n(BC), 28=15+12+n(K)-7, n(K)=8 - кількість студентів, які займаються в інших секціях.
Інше правило комбінаторики відноситься до підрахунку числа кортежів, які можна утворити із елементів даних скінченних множин. Розглянемо дві скінченні множини А і В такі, що n(A)=m і n(B)=k. Утворимо множину А×В та знайдемо число її елементів, тобто n(А×В). Розглядаючи декартів добуток множин, ми з’ясували, що n(А×В)=n(А)•n(В)=m•k. Таким чином, можна сформулювати наступне правило.
Правило добутку: якщо елемент x із множини А можна вибрати m способами, а елемент y із множини B - k способами, то пару (x,y)єА×В можна вибрати m•k способами.
Символічно це правило можна записати так: n(А×В)=n(А)•n(В)=m•k. Його можна поширити на випадок будь-якої скінченної кількості множин. Покажемо застосування правила добутку на наступній задачі.
Задача: скільки трицифрових чисел можна записати, використовуючи цифри 1,2,3,4,5?
Розв’язання:
У цій задачі мова йде про п’ятиелементну множину А={1,2,3,4,5}, із елементів якої треба вибрати трьохелементні підмножини. Кожне трицифрове число являє собою впорядковану трійку цифр або впорядкований кортеж довжини три, наприклад: 111, 112, 121 тощо. Отже, для того, щоб скористатися правилом добутку, потрібно розглянути декартовий добуток трьох множин А×А×А. Оскільки, згідно з правилом добутку n(A×A×A)=n(A)×n(A)×n(A), то число трицифрових чисел, які можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, 5 дорівнює 125. Отже, із цифр 1, 2, 3, 4, 5 можна утворити 125 трицифрових чисел.
2. Розміщення з повтореннями та без повторень.
2. В останній задачі попереднього пункту ми утворювали впорядковані кортежі довжини три із елементів скінченної п’ятиелементної множини, причому деякі елементи повторювались 2 або 3 рази. Наприклад 112 i 111. В комбінаториці такі кортежі називають розміщеннями з повтореннями із заданих n елементів по k елементів. Число розміщень з повтореннями позначається так: Ãnk. Цей символічний запис читають: число розміщень з повтореннями із n елементів по k. Для визначення числа розміщень з повтореннями приймемо наступні означення та доведемо теорему.
Означення: розміщеннями з повтореннями із елементів n - елементної множини Х по k елементів називають кортежі довжини k, утворені із елементів цієї множини Х i компоненти яких повторюються.
Теорема 1: число розміщень з повтореннями із даних n елементів по k елементів обчислюється за формулою Ãnk=nk.
Доведення:
Розглянемо скінченну множину Х таку, що n(Х)=n. Щоб утворити кортеж довжини k із елементів цієї множини Х, потрібно розглянути декартовий добуток множини Х саму на себе Х×Х×Х×...×Х, який містить k
k
елементів, бо кожен кортеж довжини k є елементом декартового добутку. Згідно з правилом добутку число елементів цієї множини Х×Х×Х×...×Х
k
дорівнює n(Х×Х×Х×...×Х)=n(Х)×n(Х)×n(Х)×...×n(Х)=n•n•n•...•n=nk. Теорему
k k k
доведено.
Застосування доведеної теореми проілюструємо на прикладі наступної задачі, подібну до якої ми раніше розв’язали, використовуючи правило добутку.
Задача: скільки п’ятицифрових чисел можна утворити із цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Розв’язання.
Оскільки в задачі нічого не говориться про те повторюються чи не повторюються цифри в записі чисел, то будемо вважати, що вони повторюються. Отже, в задачі є п’ятиелементна множина Х={1,2,3,4,5}, де n(Х)=5. Із елементів цієї множини потрібно утворювати впорядковані кортежі довжиною 5, бо нам потрібні п’ятицифрові числа, а, оскільки, цифри можуть повторюватися, то мова йде про розміщення з повтореннями. Отже, будемо використовувати формулу для обчислення числа розміщень з повтореннями, тобто Ãnk=nk. У нашому випадку n(Х)=5, k=5, а тому Ã55=55=3125. Таким чином, число розміщень з повтореннями із 5 елементів по 5 елементів дорівнює 3125.
У комбінаториці крім розміщень з повтореннями розглядаються розміщення без повторень. Для того, щоб навчитися їх обчислювати введемо означення та доведемо відповідну теорему.
Означення: розміщенням із даних n елементів скінченної множини Х по k елементів називаються впорядковані кортежі довжини k, утворені із елементів множини Х, компоненти яких не повторюються.
Число розміщень без повторень символічно позначається Аnk i читається: число розміщень із даних n елементів по k елементів або А із n по k.
Теорема: Число розміщень з n елементів по k дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел із яких найбільшим є n.
Символічно сформульована теорема запишеться так: Аnk=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/(n-k)!
Доведення.
Розглянемо скінченну множину Х таку, що n(Х)=n. Будемо утворювати із елементів цієї множини кортежі довжиною k, де k≤n. Оскільки в множині Х є n елементів, то перший компонент кортежу можна вибрати n способами, другий – n-1 способом, третій - n-2 способами, і нарешті k-й – n-(k-1)=n-k+1 – способом. Згідно правила добутку число Аnk таких кортежів довжини k буде дорівнювати n(n-1)(n-2)...(n-k+1). Отже, Аnk=n(n-1)(n-2)...(n-k+1). Теорему доведено.
У математиці добуток всіх послідовних чисел від 1 до деякого числа k прийнято позначати спеціальним символом k! та називати k-факторіал. Наприклад: 3!=1•2•3=6; 5!=1•2•3•4•5=120; 7!=1•2•3•4•5•6•7=5040; k!=1•2•3•...•k. У математиці прийнято вважати, що 0!=1 i 1!=1. Використовуючи ці позначення, спробуємо перетворити формулу для знаходження числа розміщень. У формулі Аnk є добуток всіх натуральних чисел від n до n-k+1, але немає добутку від 1 до n-k. Щоб одержати цей добуток i не змінити значення формули, домножимо й поділимо вираз у правій частині формули на добуток послідовних натуральних чисел від 1 до n-k. Аnk=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1)(n-k)•(n-k-1)•…3•2•1)/((n-k)•(n-k-1)•…3•2•1)= n!/(n-k)!. Це зроблено тому, що в чисельнику є добуток всіх послідовних чисел від 1 до n. Отже, чисельник можна записати як n!. У знаменнику є добуток всіх послідовних натуральних чисел від 1 до n-k, то запишемо його з використанням факторіалу, тобто (n-k)!.
Покажемо застосування виведених формул для обчислення числа розміщень на прикладі наступної задачі.
Задача: скільки двозначних чисел можна записати за допомогою цифр 2, 4, 5, 6, 7 так, щоб цифри не повторювалися?
Розв’язання.
У задачі йдеться про п’ятиелементну множину {2, 4, 5, 6, 7}, із якої слід вибирати кортежі довжини два так, щоб елементи, тобто цифри, не повторювалися. Отже, необхідно обчислити число розміщень без повторень із п’яти елементів по два елемента. Використаємо формулу Аnk=n(n-1)(n-2)...(n-k+1), в якій n=5, k=2. Обчислюємо А52;=5•(5-1)=5•4=20. Таким чином, за допомогою цифр 2, 4, 5, 6, 7 можна записати 20 двозначних чисел так, щоб вони не повторювалися.
3. Перестановки з повтореннями та без повторення.
3. Розглянемо множину M={a1,a2,a3,...,an}. Розглянемо над цією множиною кортеж довжини k, де k=k1+k2+k3+...+kn, причому елемент a1 - повторюється k1 раз; елемент a2 повторюється k2 раз; елемент a3 - k3 раз; нарешті, елемент an - kn разів. У комбінаториці такі кортежі називають перестановками з повтореннями, а їх число позначають символом Pk1,k2,k3,…kn i читають: число перестановок з повтореннями, в якій перший елемент повторюється k1 раз, другий - k2, третій - k3, n-ий - kn раз.
Означення: будь-який кортеж довжини k, де k=k1+k2+k3+...+kn над даною n елементною множиною М, в якому елемент a1 - повторюється k1 раз, елемент a2 повторюється k2 раз, елемент a3 - k3 раз, … елемент an - kn разів називається перестановкою довжини k (k=k1+k2+k3+...+kn) з повтореннями.
Числом перестановок з перетвореннями обчислюють за формулою: Pk1,k2,k3,…kn =( k1+k2+k3+...+kn)!/(k1!k2!k3!...kn!). Застосування цієї формули покажемо на прикладі наступної задачі.
Задача: скільки чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщо 1 - повторюється три рази, 2 - два, 3 - оди раз.
Розв’язання.
У цій задачі є трьохелементна множина М={1, 2, 3}. Із елементів цієї множини потрібно утворити кортеж довжини k, що дорівнює k1+k2+k3, де k1=3, k2=2, k3=1. Отже, k=3+2+1=6, тобто треба утворювати кортежі довжини 6. Це означає, що нам потрібно обчислити число перестановок з повтореннями, в яких перший елемент повторюється три рази, другий - два рази, третій - один. Таким чином, Р3,2,1=(3+2+1)!/(3!•2!•1!)=6!/(3!•2!•1!)=(1•2•3•4•5•6)/(1•2•3•1•2•1)=720:12=60. Отже, за допомогою цифр 1, 2, 3 можна записати 60 шестицифрових чисел, в яких цифра 1 буде повторюватися цифра 2 - два рази, цифра 3 - один раз.
У комбінаториці розглядаються такою перестановки без повторень. Введемо відповідне означення та виведемо формулу для обчислення їх числа.
Означення: перестановкою без повторень з даних n елементів даної n елементної множини М називають розміщення без повторень із даних n елементів по n елементів.
Як відомо, розміщення - це впорядкована підмножина, а тому одне розміщення без повторень вiдрiзняється від іншого або складом елементів, або порядком їх розташування, а перестановка із даних елементів відрізняється від іншої лише порядком розташування елементів. Число перестановок без повторень позначатимемо Рn, а цей запис читають: число перестановок з n елементів.
Теорема: число перестановок із даних n елементів обчислюють за формулою: Рn=n!=1•2•3•...•n.
Доведення.
Згідно із означенням перестановок без повторень Рn=Ann. За формулою Ann=n!/(n-k)!. Отже, Рn= Ann=n!/(n-n)!=n!/0!=n!/1=n! Формула доведена.
Задача: скільки п’ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 1, 3, 5, 7, 9 якщо жодна із цифр не повторюється.
Розв’язання.
У задачі є п’ятиелементна множина М={1, 3, 5, 7, 9}. Із елементів цієї множини потрібно утворювати п’ятицифрові числа, причому жодна з цифр не повторюється, а оскільки одне п’ятицифрове число від іншого, утвореного з тих самих цифр буде відрізнятися навіть при переставлянні двох цифр, то нам слід утворювати перестановки без повторень із п’яти елементів. Отже у формулі: Рn=n!, n=5. Р5=5!=1•2•3•4•5=120. За допомогою п’яти цифр запишемо 120 чисел.
4. Комбiнацiї та їх властивості.
4. Розглянемо множину М={a1, a2, a3,...,an}, де n(М)=n, i з’ясуємо, скільки k-елементних підмножин, де k≤n можна вибрати в цій множині М. Оскільки не вказано, що ці підмножини впорядковані, то одна підмножина повинна відрізнятися від другої принаймні одним елементом, а порядок розміщення елементів не має значення. В комбінаториці такі підмножини називаються комбінаціями із даних n елементів по k елементів, а їх число позначають символом Сnk. Цей символічний запис читають так: число комбінацій із n елементів по k елементів.
Означення: будь-яка k елементна підмножина АМ даної n елементної множини М називається комбінацією із n елементів по k.
Із наведеного означення випливає, що комбінація – це множина, а тому одна комбінація від іншої відрізняється або принаймні одним елементом, або складом елементів. Одне розміщення із елементів множини М вiдрiзняється від іншого розміщення із елементів цієї ж множини або принаймні одним елементом, або складом елементів, або порядком їх розташування. Одна перестановка відрізнялася від іншої перестановки елементів цієї ж множини М порядком розташування елементів. Виведемо формулу для обчислення числа комбінацій.
Теорема: число комбінацій із даних n елементів по k елементів (k≤n) дорівнює дробові, чисельник якого дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел, із яких найбільшим є n, а знаменник дорівнює добутку перших k натуральних чисел.
Символічно формула для обчислення числа комбінацій із даних n елементів по k елементів запишеться так: Сnk=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1))/(1•2•3•...•k)=n!/((n-k)!k!).
Доведення.
Виберемо в множині М={a1, a2, a3,...,an} деяку k елементну підмножину А, де k≤n. Оскільки множина А містить k елементів, то із елементів цієї множини можна утворити k! перестановок. Як відомо i розміщення, i комбiнацiї являють собою підмножини даної множини, тільки розміщення - це впорядковані підмножини. Тоді розміщень із даних k елементів можна утворити більше в стільки разів, скільки можна утворити перестановок із даних k елементів. Число розміщень позначається Аnk, число комбінацій Сnk, число перестановок Рn. Отже, Аnk=Сnk•Рn. Звідси Сnk=Аnk/Рn. Підставляючи значення числа розміщень і перестановок, одержимо дві формули для обчислення числа комбінацій із даних n е лементів по k елементів: 1) Сnk=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1))/(1•2•3•...•k); 2) Сnk=n!/((n-k)!•k!). Теорему доведено.
Задача: скільки грошей потрібно витратити, щоб закупити таку кiлькiсть карточок спортлото 6 із 49, щоб, перебравши всі можливі комбiнацiї, точно вгадати 6 номерів.
Розв’язання.
У задачі мова йде про 49 елементну множину, із якої треба вибрати шестиелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення, а тому нам потрібно обчислити число комбінацій із 49 елементів по 6, тобто С496=(49•(49-1)•(49-2)•(49-3)•(49-4)•(49-5))/(1•2•3•4•5•6)=(49•48•47•46•45•44)/(1•2•3•4•5•6)=13983816. Щоб визначити необхідну кількість грошей, слід 13983816 помножити на ціну однієї карточки.
Для того, щоб спростити обчислення числа комбінацій, використовують властивості комбінацій, які спрощують ці обчислення.
Властивість 1: якщо 0<k≤n, то Сnk=Сnn-k.
Доведення.
Для доведення цієї властивості використаємо формулу Сnk=n!/((n-k)!•k!) i покажемо, що права частина властивості дорівнює лівій. Сnn-k=n!/((n-k)!•(n-(n-k))!)=n!/((n-k)!•(n-n+k)!)=n!/((n-k)!•k!)=Сnk. Властивість доведено.
Цією формулою зручно користуватися, коли верхнє число більше половини нижнього, наприклад: С10080=С100100-80=С10020. Покажемо це на наступному прикладі: обчислити С10096=С100100-96=С1004=(100•99•98•97)/(1•2•3•4)=3921225.
Властивість 2: якщо 0<k≤n, то для будь-яких k i n Сnk=Сn-1k+Сn-1k-1.
Доведення.
Для доведення цієї властивості використаємо формулу для обчислення числа комбінацій i покажемо, що права частина рівності дорівнює лівій. Сn-1k+Сn-1k-1=((n-1))!/(k!•(n-k-1)!)+((n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!). Зведемо ці два дроби до спільного знаменника, враховуючи, що (n-k)!=1•2•3•...•(n-k-1)•(n-k) i (n-k-1)!=1•2•3•...•(n-k-1). Верхній i нижній факторіали вiдрiзняються лише тільки одним множником - (n-k), так само k! i (k-1)! вiдрiзняються лише одним множником k, а тому спільним знаменником для двох дробів буде k!•(n-k)!, тоді маємо: Сn-1k+Сn-1k-1=((n-1)!•k+(n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!•k)=((n-1)!(k+n-k))/(k!•(n-k)!)=((n-1)!•n)/(k!•(n-k)!)=n!/(k!•(n-k)!=Сnk. Властивість доведено.
Остання доведена теорема лежить в основі побудови, так званого, трикутника Паскаля, який дає можливість обчислювати значення Сnk, знаючи Сn-1k і Сn-1k-1. Цей трикутник представлено у наступній таблиці №2.
|
С00=1 |
||||||||
|
С10=1 |
С11=1=1 |
|||||||
|
С20=1 |
С21=2 |
С22=1 |
||||||
|
С30=1 |
С31=3 |
С32=3 |
С33=1 |
|||||
|
С40=1 |
С41=4 |
С42=6 |
С43=4 |
С44=1 |
||||
|
С50=1 |
С51=5 |
С52=10 |
С53=10 |
С54=5 |
С55=1 |
|||
|
С60=1 |
С61=6 |
С62=15 |
С63=20 |
С64=15 |
С65=6 |
С66=1 |
||
|
С70=1 |
С71=7 |
С72=21 |
С73=35 |
С74=35 |
С75=21 |
С76=7 |
С77=1 |
|
|
С80=1 |
С81=8 |
С82=28 |
С83=56 |
С84=70 |
С85=56 |
С86=28 |
С87=8 |
С88=1 |
Таблиця № 2. Трикутник Паскаля.
В цій таблиці у крайніх лівих і правих стовпцях стоять одиниці. У першому рядку записано С00=1, у другому - С00=1 і С00=1, у третьому – ліворуч С20=1, а праворуч С21=1, а тоді, щоб обчислити С21, необхідно додати числа, які стоять у попередньому рядку. Отже, С21=1+1=2. Аналогічно можна обчислювати інші значення числа комбінацій, наприклад С53= С42+С43=6+4=10. Напрямок руху можна показати стрілками.
Запитання для самоконтролю та завдання для самостійної роботи студентів за модулем 1.
1. Чому не можна дати означення поняттю „множина”?
2. Як позначають множини?
3. Як називають предмети з яких складаються множини і як їх позначають?
4. Чому множина відноситься до неозначуваних понять?
5. Як позначають множини?
6. Як називають об’єкти множин? Як вони позначаються?
7. Які існують способи задання множин?
8. Задайте переліком п’ять множин.
9. Задайте п’ять множин за допомогою характеристичної властивості.
10. Записати десять довільних множин.
11. Записати десять порожніх множин.
12. Яка множина називається підмножиною даної множини? Як це записати?
13. На які дві групи поділяються підмножини?
14. Які існують відношення між множинами? Як вони зображаються?
15. Які дві множини називаються рівними? Як це довести?
16. За якою формулою знаходиться число підмножин даної множини?
17. Що називається геометричною фігурою, колом, відрізком?
18. Чи можуть елементами множин бути множини?
19. Задайте п’ять множин і вкажіть до кожної із них підмножину.
20. Записати всі підмножини множини А={1, 2, 3, 4, 5}.
21. Задайте дві множини і утворіть їх об’єднання.
22. Утворити об’єднання множин А та В, якщо: а) А={1,2,3,4,5}, а В=а,в,с; б) А={1, 3, 5, 7}, а В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
23. Задайте дві множини і утворіть їх перетин.
24. Утворіть перетин множин А={1, 2, 3, 4, 5} і В={1, 2, 4, 6,}.
25. Задайте чотири множини і утворіть їх перетини.
26. Довести А В = В А.
27. Доведіть закони операцій об’єднання і перетину за допомогою діаграм Ейлера-Венна чи міркуваннями.
28. Знайти різницю множин: а) А=а, в, с, d, t, В= а, в, t; б) А=m,n,p,k,l}, В=а, в, с, k,l}; в) Z \ N; г) А=х/х=2 n, nN}, В=х /х=5n, n N}.
29. Довести кожен закон операцій над множинами одним із способів (міркуваннями чи за допомогою діаграм Ейлера-Венна).
30. Навести по 5 прикладів класифікацій із математики та навколишнього життя.
31. Розбити множину натуральних чисел на дві підмножини, що попарно не перетинаються.
32. Що таке впорядкована пара? Як вона позначається? Як називаються елементи, із яких складаються пари? Які пари називаються рівними?
33. Запишіть приклади впорядкованих пар, трійок.
34. Що називається кортежем довжини к? Як їх позначають? Які кортежі називаються рівними?
35. Що називається декартовим добутком множин Х і У? Як він позначається? Як його можна задавати?
36. Утворити ХХ, якщо Х={а,в,с}.
37. Довести самостійно властивості 3-6, які пов’язують операції об’єднання, перетину, різниці та декартового добутку множин.
38. Виберіть дві скінченні множини, утворіть декартів добуток цих множин, задайте відношення між елементами цих множин кожним із шести відомих Вам способів.
39. Побудуйте граф відношення «менше» на множині Х={2, 3, 6, 7, 8} та з’ясуйте особливості цього графа.
40. Побудуйте граф відношення «≥» між елементами множини Х та з’ясуйте його особливості.
МОДУЛЬ 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.».
Змістовний модуль 2.1. «Поняття.».
ПЛАН.
1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.
2. Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).
3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
Література.
[1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.
1. Поняття як форма мислення, зміст і обсяг поняття та зв'язок між ними.
1. Як в школі, так і в інституті, доводиться вивчати навчальні предмети. Основними структурними компонентами будь-якого навчального предмету є такі: 1) основи, під якими розуміють вихідні наукові положення, на яких ґрунтується навчальний предмет (число, функція); 2) поняття та їх системи, відношення між ними; 3) ідеї, які виражені в навчальному тексті, в історичних фактах, задачах; 4) методи, за допомогою яких досліджується, пізнається, засвоюється учнями навчальний предмет.
Поняття – це форма мислення, яка відображає предмети і явища в їх істотних ознаках. Під ознакою поняття розуміють те, в чому предмети або явища схожі один з одним, або чим вони один від одного відрізняються. Ознаку предмета чи явища складають будь-які сторони, стани, які характеризують предмет, виділяючи його серед інших, допомагаючи розпізнавати його серед інших. Отже, ознаками поняття можуть бути властивості як наявні, так і відсутні. Кожен предмет чи явище може мати множину ознак. Всі ознаки будь-якого поняття можна поділити на такі групи: 1) одиничні або індивідуальні ознаки, які характеризують саме даний предмет, наприклад, стіл може бути білим або круглим; 2) загальні ознаки, які належать певній групі предметів, наприклад, столи можуть бути дерев’яними або скляними, або пластмасовими, або чорними; 3) істотні ознаки, які з необхідністю належать цьому поняттю, виражають його внутрішню природу, його суть, і без наявності яких поняття перестає бути цим поняттям, наприклад, стіл не існує без кришки, без двох ніжок, а трикутник не існує без трьох кутів, трьох сторін, трьох вершин; 4) неістотні ознаки, які можуть належати або не належати даному поняттю, і які не виражають суті цього поняття, наприклад, немає значення, чи стіл пластмасовий, чи залізний. Вирішальне значення для будь-якого поняття мають саме істотні ознаки. Саме тому, навчаючи дітей, потрібно формувати в них саме істотні ознаки поняття, які можуть бути як загальними, так і одиничними.
Як відомо, формами чуттєвого пізнання є сприймання та уявлення. Поняття відрізняється від форм чуттєвого пізнання тим, що сприймання та уявлення існують у свідомості людини у вигляді наочних образів окремих предметів, а поняття позбавлені наочності. Отже, поняття – це форма наукового пізнання, що відбиває істотне у виучуваних об’єктах та явищах і закріплюється спеціальними термінами (словами). Наприклад: “дерево”, “коло”, “трикутник” тощо. У математиці досить часто поняття позначаються не тільки термінами, але й спеціальними значками, наприклад: функція - , трикутник - ∆, не дорівнює - ≠, дорівнює - ═, менше або дорівнює - ≤, більше або дорівнює - ≥, інтеграл - ∫, відсотки - % тощо. Таким чином, відображаючи істотне, поняття, з одного боку, не містять всього багатства індивідуальних ознак, а тому в порівнянні з формами чуттєвого пізнання, вони далі відстоять від дійсності (дерево – високе і низьке). З іншого боку, поняття ближче до дійсності, бо воно дозволяє глибше проникати в сутність оточуючої дійсності.
Досвід розвитку людства показав, що для утворення поняття необхідно виділити його істотні ознаки, але вони не лежать на поверхні. Саме тому поняття в історії людства формується протягом значного проміжку часу. В науці для утворення поняття використовують логічні прийоми: порівняння, аналіз, синтез, абстрагування, узагальнення, конкретизація, аналогії. Будь-яке поняття пов’язане із змістом та обсягом.
Означення: змістом поняття називається множина його істотних ознак, які мають всі елементи множини предметів, що належать до цього поняття.
Наприклад, змістом поняття “трикутник” є множина, яка складається з трьох елементів: мати три кути, мати три сторони, мати три вершини.
Означення: обсягом поняття називають множину предметів, яка характеризується цим поняттям.
Наприклад, обсягом поняття “трикутник” є множина всіх трикутників.
Виявляється, що між змістом і обсягом поняття існує взаємозв’язок. Збільшення обсягу поняття веде до зменшення його змісту, а збільшення змісту поняття веде до зменшення його обсягу. Проілюструємо цей зв'язок на прикладі поняття «паралелограм». Як відомо, паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Змістом цього поняття є такі істотні ознаки: а) бути чотирикутником; б) мати паралельні протилежні сторони. Обсягом цього поняття є множина всіх паралелограмів. Якщо ми збільшимо зміст цього поняття, тобто додамо ще одну істотну ознаку (наприклад, мати всі рівні сторони), то при цьому обсяг поняття зменшиться і буде складати множину ромбів. Якщо ми додамо ще одну ознаку (наприклад, мати прямий кут), то обсяг ще зменшиться і буде являти множину квадратів.
Якщо ж розширювати обсяг поняття, то це призведе до зменшення змісту. Так, наприклад, якщо відкинути вимоги мати три рівні сторони у множині трикутників, тобто зменшити зміст, то ми отримаємо множину рівнобедрених трикутників, яка включає в себе множину рівносторонніх трикутників. Таким чином, зміст та обсяг поняття пов’язані між собою законом обернено пропорційного відношення: збільшення обсягу веде до зменшення змісту і, навпаки, зменшення обсягу веде до збільшення змісту.
Поняття можуть мати деякі спільні ознаки, що дозволяє співставляти одні поняття з іншими. В цьому випадку поняття називають порівнюваними. Порівнювані поняття можна знайти в логічних відношеннях. Виділяють, по-перше, відношення тотожності, коли обсяги понять співпадають, але вони мають різні змісти, наприклад, квадрат – це прямокутник, у якого сторони рівні та квадрат – це ромб, у якого один кут прямий. Обсягом обох цих понять є множина квадратів, а змістом в першому випадку є такі ознаки: бути прямокутником і мати всі рівні сторони, у другому випадку змістом поняття квадрат є вже такі ознаки: бути ромбом і мати прямий кут.
Наступним відношенням, в яких можуть бути поняття, є відношення часткового збігу або перетину, яке характеризується тим, що частина обсягу одного поняття є частиною обсягу іншого поняття і, навпаки. Так у відношеннях часткового збігу знаходяться поняття прямокутника і ромба (див. наступну діаграму № 1).
Діаграма № 1. Відношення часткового збігу між поняттями.
Діаграма № 2: відношення підпорядкування між поняттями.
Третім відношенням, в якому можуть знаходитися поняття, є відношення підпорядкування, яке характеризується тим, що обсяг одного поняття є частиною обсягу іншого поняття. Так, у відношенні підпорядкування знаходяться поняття чотирикутник і трапеція, чотирикутник і паралелограм, паралелограм і квадрат (наприклад, кожен квадрат є паралелограмом, але не кожен паралелограм є квадратом). Поняття, яке має більший обсяг, називається підпорядковуючим поняттям, а поняття, що має менший обсяг, – підпорядкованим. Якщо у відношенні підпорядкування знаходяться два загальних поняття, то підпорядковуюче поняття називають родовим поняттям або родом, а підпорядковане поняття називають видовим поняттям або видом. Так, паралелограм є родовим поняттям, а поняття квадрата – видовим. Співвідношення між цими поняття представлене на діаграмі № 2.
2. Означувані та неозначувані поняття. Способи означення математичних понять, їх види (через найближчий рід і видову відмінність (видову ознаку), генетичні, індуктивні, або рекурсивні). Види означень понять початкового курсу математики. Структура визначення через рід та видову відмінність (видову ознаку).
2. У багатьох науках, зокрема в математиці, створення нового поняття розпочинається чи завершується введенням його означення. Означення - це логічна операція, яка розкриває зміст поняття. Означення поняття дає можливість розпізнавати даний об’єкт чи явище та відносити чи не відносити його до даного поняття. В науці існують різні види та способи означення понять, серед яких можна виділити принаймні наступні:
1) явні означення, які мають форму рівності або співпадання двох понять, наприклад: квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні, або ромб, у якого всі кути прямі;
б) неявні означення, які не мають форми співпадання двох понять, наприклад: коло – це межа круга;
в) генетичні означення, які розкривають способи побудови або утворення поняття, наприклад: циліндром називається геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін;
г) індуктивні (рекурентні) означення, наприклад: арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, більший від попереднього на одне й теж саме, стале для даної послідовності, число;
д) означення через абстракцію, в якому властивості множин розкриваються через відношення рівності між ними. При таких означеннях використовується поняття розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються, та перехід від даної множини Х до фактор-множини. Прикладом такого означення є означення натурального числа в теоретико-множинній або кількісні теорії: натуральним числом називається спільна властивість класу скінченних еквівалентних між собою множин.
У курсі математики початкової школи зустрічаються, в основному, неявні означення, серед яких можна виділити такі:
1) контекстуальні означення, в яких зміст нового поняття розкривається за допомогою частини тексту, тобто через контекст, через аналіз конкретної ситуації, що описує зміст поняття, що вводиться. Наприклад: 3+х=9. 2, 3, 6, 7, х – невідоме число, яке потрібно знайти. Яке з цих чисел потрібно підставити замість х, щоб рівність була правильною? Це число 6. В цьому контексті неявно формується поняття рівняння та його кореня;
2) остенсивні означення, які використовуються для введення термінів шляхом демонстрації об’єктів, які цим терміном позначаються. Наприклад: 9•4=36, 2•8=16 – це рівності.
Слід відзначити, що до означення понять ставлять певні вимоги, серед яких назвемо найважливіші:
1) означувані поняття та поняття, через які вони означаються, повинні бути сумірними, тобто обсяг означуваних понять повинен бути частиною обсягу поняття, через яке воно означається: поняття повинні знаходитися у відношенні часткового збігу або підпорядкування;
2) означення не повинні містити зачарованого кола, коли поняття визначається через саме себе, наприклад: маслом називається масло, паралелограмом називається такий паралелограм …;
3) в означенні слід вказати всі властивості, які дозволяють однозначно виділити об’єкти, що належать цьому поняттю;
4) в змісті поняття не повинно знаходитись надлишкових ознак. Так, наприклад, у школі прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі. Вимога всі кути прямі є надлишковою, бо достатньо вказати, що прямокутником називають паралелограм, у якого один кут прямий. Адже тоді можна було б довести, що всі кути прямокутника прямі.
Одним із видів явних означень є так зване означення через найближчий рід та видову відмінність. У такому означенні ототожнюється два поняття: 1) це означуване поняття; 2) – це поняття, через яке воно означається. Наприклад: ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. В цьому означенні ототожнюється поняття ромба і паралелограма, у якого всі сторони рівні. Якщо розглянути структуру цього означення, то вона складається з таких структурних елементів: по-перше, з означуваного поняття, тобто ромба; по-друге, вказується поняття, яке називають визначальним або родовим поняттям, тобто паралелограм; по-третє, вказується властивість, яка відрізняє нове поняття від визначального, тобто властивість “мати рівні сторони”. Поняття паралелограма є родовим поняттям по відношенню до поняття “ромб“. Властивість “мати рівні сторони“ є видовою ознакою, а поняття “ромб“ є видовим поняттям. Структуру такого означення можна представити у вигляді схеми (див. схему № 1).
= +
ромб
Схема № 1. Структура означення через найближчий рід та видову відмінність.
3. Аксіоми. Теореми. Ознаки.
3. У математиці доволі часто доводиться формулювати, а потім і доводити, певні твердження. Серед них виділяють принаймні дві групи тверджень. До першої відносять аксіоми, під якими розуміють твердження, справедливість яких приймається без доведення. Як правило, аксіоми використовуються при побудові математичних теорій. При цьому використовують не одну, а цілу систему аксіом, яка повинна задовольняти певні вимоги (повнота, несуперечливість, незалежність). Більш детально з аксіомами та вимогами до системи аксіом ми будемо знайомитися при подальшому вивченні курсу математики у внз. Так, із шкільного курсу геометрії відомо про систему аксіом геометрії, яка містить п’ять груп аксіом. Не можна стверджувати, що аксіоми не потребують доведення в силу своєї очевидності. Наприклад, історія розвитку геометрії дає підстави твердити, що протягом кількох століть вчені не припиняли спроб довести аксіому паралельності, тобто її істинність була далеко неочевидною. Так само, далеко неочевидними є значна частина аксіом, які використовуються при побудові інших математичних теорій. Таким чином, аксіома – це твердження, яке приймається без доведення, але його справедливість перевірена багатовіковим досвідом людства, причому воно весь час виявлялося істинним.
Другу групу складають твердження, які прийнято називати теоремами. Кожна теорема потребує доведення. Існують різні види теорем. Так, теореми існування доводяться для того, щоб показати, що певний математичний об’єкт існує. Теореми єдиності засвідчують однозначність того чи іншого математичного об’єкту, наприклад теореми про єдиність (однозначність) арифметичних операцій, без яких не можна було одержувати однакові результати цих операцій. Теореми, які називають ознаками, дають можливість відносити той чи інший об’єкт до певного класу або робити висновки, не виконуючи певних дій. Так, наприклад, говорять про ознаки паралельності прямих, про ознаки паралелограма, про ознаки подільності чисел тощо.
МОДУЛЬ 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.».
Змістовний модуль 2.2. «Висловлення та предикати.».
ПЛАН.
1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.
2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.
3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.
4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.
5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.
6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.
7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.
8. Логічні формули. Порядок виконання логічних операцій у формулах. Рівносильні формули. Тотожньо істинні формули (логічні закони).
Література.
[1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.
1. Поняття висловлення, їх види (елементарні, складені, рівносильні) та позначення.
1. Як люди передають свої судження в повсякденному житті? - усно чи письмово за допомогою речень. Які речення ви знаєте? - окличні, запитальні, стверджувальні. Чому стверджувальні речення займають особливе місце у спілкуванні між людьми? - бо вони містять певну інформацію і відносно них можна стверджувати істинні вони чи хибні. Наведіть приклади стверджувальних речень! З'ясуйте істинні вони чи хибні? - такі речення називають висловленнями. Вони є об'єктом вивчення математичної логіки галузі математики, яку називають математичною логікою. Чи є запитальні і окличні речення висловленнями? – ні, бо про них не можна сказати, що вони істинні або хибні.
Як же позначають висловлення? – малими буквами латинського алфавіту. Прикладом висловлень можуть бути такі: а=„Київ – столиця України”, в=„Іваненко – студент”. У математичній логіці висловлення розглядають лише з точки зору їх істинності чи хибності, абстрагуючись від конкретного їх змісту. А де розглядаються висловлення з точки зору їх змісту? – у мові. Отже, висловлення є своєрідною величиною, яка може приймати два значення – „істинне” або „хибне”. Якщо висловлення „а” істинне, то це позначають так а=1, а якщо хибне - то в=0.
Які б висловлення ви назвали простими? – ті, з яких не можна виділити більш простих висловлень. Які висловлення називаються складеними? - ті, із яких можна виділити принаймні два простих висловлення.
Означення: два складених висловлення називаються рівносильними, якщо вони одночасно істинні або одночасно хибні при будь-яких припущеннях про істинність висловлень, що входять до нього.
Символічно це позначають так: ав.
2. Поняття предиката, його позначення та область визначення. Поняття кванторів існування та загальності, їх позначення та зв'язок між ними.
2. Чим відрізняється математична мова від звичайної? – наявністю змінних. Що станеться, якщо у висловлення ввести змінну? – воно буде мати вигляд речення зі змінною, про яке ми не зможемо сказати істинне воно чи хибне, наприклад, „х - студент”. Як з нього зробити висловлення? – підставити замість змінної х прізвище. Отже, в математичній логіці є речення, які містять змінну, заміна якої назвою деякого об'єкта перетворює його у висловлення. Їх прийнято називати предикатами з однією змінною. Термін «предикат» латинського походження, а тому його дослівний переклад з латинської мови означає присудок.
А чи можуть бути предикати з кількома змінними? – так. Чим можна замінити змінну в предикаті? – назвою конкретного предмета. А чи всяке значення може набувати змінна? – ні, таким чином, для кожного предиката слід вказати множину значень змінної. Цю множину називають областю визначення предиката. Залежно від кількості змінних предикати називають і позначають по-різному. Так, предикати, які містять одну змінну, прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту та називати одномісними предикатами. Наприклад: А(х), В(х) тощо, а область його визначення в загальному випадку позначають Х. А(х): «х - студент», де х Х. Символічний запис А(х), хХ читають так: на множині Х задано предикат А(х)”. Якщо х=а, то висловлення, яке отримуємо з предиката А(х) при заміні х на а, позначають А(а). Крім предикатів, що містять одну змінну, розглядають предикати, які містять дві, три, чотири або будь-яке скінченне число змінних. Їх позначають відповідно А(х;у), В(х;у;z), С(х;у;z;v), D(х1, х2, х3,…,хn). Що ж характеризують предикати? – одномісні предикати характеризують властивості об'єктів, а двомісні, тримісні тощо – відношення між об’єктами. Прикладами предикатів будуть рівняння, нерівності. Наприклад: „ху”, „х=у”, ”ху”, 2х+3у=7. Як із двохмісного предиката одержати висловлення? – замінити назвами конкретних предметів вже дві змінних. Аналогічно можна одержувати висловлення із тримісних, чотиримісних тощо предикатів.
Яких значень може набувати предикат після того, як замість змінної підставлено назву конкретного об’єкту? – 0 або 1. На які дві підмножини можна поділити область визначення Х предиката А(х)? - 1) на множину істинності, до якої входять всі ті хєХ, при підстановці яких у предикат він перетворюється в істинне висловлення. Її позначають ТА; 2) на множину хибності предиката, яка містить ті значення хєХ, при підстановці яких у предикат ми отримуємо хибне висловлення. А чи можуть предикати набувати однакові значення істинності при певних значеннях змінної? – відповідь на це запитання дає наступне означення.
Означення: Два предиката А(х) і В(х) називаються рівносильними або еквівалентними, якщо вони визначені на одній множині Х і мають однакові множини істинності.
Символічно це записують так: (А(х)~В(х), хХ)↔(ТА=ТВ).
Ми вже зазначали, що для одержання висловлення із предиката, слід замінити змінну (чи змінні) назвою конкретного предмета. Таку операцію перетворення предиката у висловлення прийнято називати операцією підстановки предметної змінної. А чи є інші операції для перетворення предиката у висловлення? – виявляється, що є, але для цього спочатку введемо два нових поняття.
У повсякденному житті та мові, в математиці досить часто зустрічаються слова чи словосполучення: «існує такий (така, таке, такі)», «є такий (така, таке, такі)». У математичній логіці існують операції над предикатами, які певним чином відповідають цим словам чи словосполученням. З’ясуємо їхню сутність. Розглянемо на множині Х предикат А(х). Нехай властивість А мають деякі хХ. За допомогою висловлювання: „існує таке х, що має властивість А(х)” ми із предиката можемо одержати істинне або хибне висловлення. Наприклад, для предиката А(х):«х - місто» з допомогою слова «існує» ми отримуємо висловлення: «існує таке х, що є містом». Отже, маємо істинне висловлення. Вираз „існує х таке, що...” називається квантором існування і позначається символом (хєХ). Символічний запис (хєХ)А(х) читають так: „Існує х таке, що має властивість А(х)”. Дописування спереду до предиката квантора існування називається операцією навішування квантора або операцією зв'язування квантором, або операцією квантифікації. Таким чином, ці операції дозволяють одержувати із предиката істинні чи хибні висловлення. Змінна, яка зв'язується квантором, називається зв'язаною змінною. Отже, для перетворення предиката у висловлення можна використовувати дві операції: а) операцію підстановки предметної змінної; б) операцію навішування квантора. Зрозуміло, що у двомісному, тримісному тощо предикаті слід використати цю операцію стільки разів, скільки є у ньому змінних, тобто навісити квантор два, три тощо разів.
Означення: квантором існування називається така операція , яка кожному одномісному предикату А(х), визначеному на множині Х, ставить у відповідність одне і тільки одне висловлення (хєХ)А(х), яке буде істинним тоді і тільки тоді, коли існує хоча б одне аєХ таке, що А(а)=1.
У повсякденному житті та мові, в математиці досить часто зустрічаються слова чи словосполучення: «всі», «будь-який», «для всіх», «для кожного» тощо. У математичній логіці існують операції над предикатами, які певним чином відповідають цим словам чи словосполученням. З’ясуємо їхню сутність. Розглянемо на множині Х предикат А(х). Нехай властивість А(х) мають всі хєХ. Тоді за допомогою виразу „для всіх х” ми перетворимо предикат А(х) у висловлення. Вираз „для всіх х...” називається квантором загальності і позначається так (хєХ). Символічний запис (хєХ)А(х) читають так: для всіх (для любого) хєХ справедлива властивість А.
Означення: квантором загальності називається така операція , яка кожному одномісному предикату А(х), визначеному на множині Х, ставить у відповідність одне і тільки одне висловлення (хєХ)А(х), яке буде істинним тоді і тільки тоді, коли для кожного аєХ маємо А(а)=1.
Так само, як і у випадку з квантором існування, дописування спереду до предиката квантора загальності називається операцією навішування квантора або операцією зв'язування квантором, або операцією квантифікації. Таким чином, ці операції дозволяють одержувати із предиката істинні чи хибні висловлення. Змінна, яка зв'язується квантором, називається зв'язаною змінною. Отже, для перетворення предиката у висловлення можна використовувати три операції: а) операцію підстановки предметної змінної; б) операцію навішування квантора існування; в) операцію навішування квантора загальності. Зрозуміло, що у двомісному, тримісному тощо предикаті слід використати ці операції стільки разів, скільки є у ньому змінних, тобто навісити квантор два, три тощо разів.
Виявляється, що між кванторами існування та загальності є певний зв'язок. Для виявлення його сутності розглянемо предикат А(х;у):„х║у” на множині прямих Х. Утворимо за допомогою кванторів існування та загальності наступні висловлення: 1) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «для кожної прямої х і для кожної прямої у в множині прямих Х маємо х║у». Це висловлення хибне; 2) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «для кожної прямої у і для кожної прямої х в множині прямих Х маємо х║у». Це висловлення хибне; 3) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «існує пряма х і існує пряма у в множині прямих Х, що х║у». Це висловлення істинне; 4) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «існує пряма у і існує пряма х в множині прямих Х, що х║у». Це висловлення також істинне; 5) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «існує така пряма х, що для кожної прямої у із множини прямих Х, маємо х║у». Це висловлення хибне; 6) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «для всякої прямої у в множині прямих Х існує пряма х така, що х║у». Це висловлення істинне; 7) (хєХ)(уєХ)А(х;у): «для всякої прямої х в множині прямих Х існує пряма х така, що х║у». Це висловлення істинне; 8) (уєХ)(хєХ)А(х;у): «існує пряма у в множині прямих Х, така, що для всякої прямої х маємо, що х║у». Це висловлення істинне.
Розглянутий приклад засвідчує, що переставляння місцями однойменних кванторів не призводить до утворення нового висловлення. Разом з тим, переставляння місцями різнойменних кванторів може призводити до утворення відмінного не тільки за змістом, а й за значенням істинності висловлення. Усе сказане нами про застосування кванторів до двомісних предикатів переноситься на випадок предикатів довільної розмірності.
3. Операція заперечення над висловленнями та предикатами. Таблиці істинності. Основні властивості (закони) операції заперечення.
3. У звичайній мові для утворення речення, зміст якого є протилежним до даного, використовують частку «не» або словосполучення «неправильно, що…». Так само досить часто вони використовуються у математичних твердженнях. Цій частці чи словосполученню у математичній логіці певним чином відповідає операція заперечення, сутність якої розкриємо спочатку на такому прикладі. Розглянемо висловлення: а=„Річка Устя – притока Горині”. Це висловлення є істинним. Утворимо хибне висловлення: „річка Устя - не притока Горині” або «неправильно, що річка Устя - притока Горині». Одержане висловлення по відношенню до даного називають запереченням висловлення „а” і позначають символом „ā”. Символічний запис ā можна прочитати так: „заперечення висловлення а”, „не-а”, „неправильно, що а”. Введемо математичне означення цього поняття.
Означення: запереченням даного висловлення „а” називають таке нове висловлення „ā”, яке істинне тоді, коли висловлення а хибне, і хибне тоді – коли висловлення а істинне.
Операцію заперечення можна задати за допомогою таблиці, яку в математичній логіці називають таблицею істинності (див. таблицю № 22). Таким чином, щоб отримати із даного висловлення його заперечення слід поставити перед висловленням слово „неправильно” чи поставити перед присудком частку „не”. Отже, операція заперечення досить адекватно передає зміст вживання частки „не” в практиці розмовної і писемної мови.
|
а |
ā |
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
Таблиця № 22. Таблиця істинності заперечення висловлення.
А чи можна так само утворити заперечення предиката? – покажемо це на такому прикладі. Розглянемо предикат: А(х)=„х – просте число”, хN. Утворимо його заперечення: „неправильно, що х – просте число”. Наведемо означення цього поняття.
Означення: запереченням даного предиката А(х) називають такий новий предикат Ā(х), який визначений на тій самій множині Х і який істинний при всіх таких хХ, при яких предикат А(х) істинний, а хибний при всіх тих хєХ, при яких предикат А(х) істинний.
Досить важливим для математичної логіки є питання про визначення множини істинності предикатів. З’ясуємо це питання по відношенню до даного предиката А(х) і його заперечення Ā(х). Нехай Х – це область визначення предиката А(х). Позначимо через ТА множину істинності предиката А(х), а через ТА – множину істинності предиката Ā(х). Чим буде множина ТА по відношенню до множини ТА? – доповненням множини ТА до множини Х, тобто, знаючи множину істинності ТА предиката А(х), можна легко знайти множину істинності ТА заперечення даного предиката. Отже, справедлива наступна рівність: ТА=ŤА. За допомогою діаграм Ейлера-Венна це можна зобразити так (див. таблицю № 23):
Таблиця № 23. Множина істинності ТА заперечення даного предиката Ā(х).
Операція заперечення висловлень та заперечення предикатів підкоряються закону подвійного заперечення (див. таблицю № 24). У справедливості першого із них легко переконатися, побудувавши таблицю істинності. Справедливість другого ілюструється на діаграмі Ейлера-Венна. Пропонуємо студентам переконатися в цьому самостійно, виконавши відповідні завдання для самостійної роботи.
|
Закон подвійного заперечення для висловлень. |
Закон подвійного заперечення для предикатів. |
|
ā=а. |
Ā(х)=А(х). |
Таблиця № 24. Закон подвійного заперечення.
4. Операція кон’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції кон’юнкції.
4.1. Операція кон'юнкції висловлень.
4.1. За допомогою яких слів в мові з одних простих речень можна утворювати складні? – не, і, або, якщо,… то, тоді і тільки тоді, необхідно і достатньо тощо. Як же в математичній логіці із простих висловлень буде утворювати складені? – за допомогою певних операцій (одну із яких, заперечення ми вже розглянули), які певним чином відповідатимуть названим словам або словосполученням. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 - просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „і” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте і парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають кон'юнкцією (грецьк. сonjunctio” - зв'язок, союз) даних висловлень і позначають так: аb. Символічний запис аb читають так: „а і b”, або „а в кон'юнкції з b”, або „кон'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.
Означення: кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинні обидва висловлення а і b.
Інколи означення формулюють і так: «кон'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне із висловлень а і b». Легко довести, що обидва ці означення рівносильні. Крім цього, означення кон'юнкції двох висловлень можна задати за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 25).
|
а |
в |
ав |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Таблиця № 25. Таблиця істинності для операції кон’юнкції.
Яку операцію над числами нагадує нам означення кон’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – операцію множення чисел. Саме тому операцію кон'юнкції називають логічним множенням. Означення операції кон'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: кон’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне з висловлень а, b і с, тобто аbс=(аb)с. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо кон’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.
Безпосередньо із означення кон’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) а1=а; 2) а0=0; 3) аа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція кон’юнкції висловлень підкоряється комутативному (переставному) ав=ва та асоціативному (сполучному) законам (ав)с=а(вс), які потребують доведення. Ці закони доводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі асоціативного закону операції кон’юнкції (див. таблицю № 26). Для того, щоб визначити кількість стовпців, слід підрахувати кількість елементарних і складених висловлень у лівій та правій частинах формули. Отже, маємо три елементарних висловлення (а, в, с) та чотири складених висловлення (ав, (ав)с, вс, а(вс)), тобто всього буде сім стовпців. Кількість рядків обчислюється за формулою 2ⁿ+1, де n – це кількість елементарних висловлень. Оскільки у формулі n=3, то рядків буде 2³+1=9. Для заповнення трьох перших стовпців зазначимо, що в них слід записати всі можливі варіанти наборів значень істинності елементарних висловлень а, в, с. У другому рядку перших трьох стовпців записуємо нулі, в наступних трьох – по два нулі й одній одиниці. У 6-8 рядках перших трьох стовпців запишемо по одному нулю та по дві одиниці. І, нарешті, в останньому запишемо три одиниці. Інших варіантів наборів значень істинності немає. Для заповнення четвертого стовпця виконаємо кон’юнкцію першого і другого стовпців, а для заповнення п’ятого стовпця – кон’юнкцію третього і четвертого стовпців. Аналогічно заповнюємо шостий і сьомий стовпці.
|
а |
в |
С |
ав |
(ав)с |
вс |
а(вс) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Таблиця № 26. Доведення асоціативного закону операції кон’юнкції.
Таким чином, щоб переконатися у справедливості асоціативного закону операції кон’юнкції, слід порівняти значення, які містяться у стовпцях, що визначають ліву й праву частині рівності (аb)с=а(bс). Порівнюючи значення п’ятого і сьомого стовпців, бачимо, що вони приймають однакові значення при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень, що входять до їх складу. Отже, права і ліва частина формули (аb)с=а(bс) набуває однакових значень істинності при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень. Це означає, що закон справедливий. Доведення комутативного закону пропонуємо провести самостійно (див. завдання для самостійної роботи студентів).
4.2. Операція кон'юнкції предикатів.
4.2. Як відомо, для одержання висловлення із предиката необхідно замінити змінну (змінні) назвою конкретного предмета, тобто використати спосіб підстановки, або використати операцію навішуванням квантора. А чи можна над предикатами виконувати й інші операції? - так, бо їх можна перетворити у висловлення. Всі предикати також поділяються на прості або елементарні та на складені. Для того, щоб визначити операцію кон’юнкції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „х – склав всі екзамени і набрав прохідний бал” - кон'юнкцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.
Означення: кон'юнкцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на множині Х і який істинний при всіх тих хХ, при яких одночасно істинні обидва предикати.
При оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності. Знайдемо множину істинності предиката А(х)В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через ТА, а множину істинності предиката В(х) – через ТВ. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)В(х), тобто ТАВ, на діаграмі Ейлера-Венна заштрихуємо множину істинності предиката А(х) горизонтальними штрихами, а множину істинності предиката В(х) – вертикальними штрихами. Тоді множина істинності предиката А(х)В(х) буде зображатися тією частиною множини Х, на якій штрихи накладаються (див. таблицю № 3).
Таблиця № 3. Множина істинності кон’юнкції предикатів ТАВ = ТАТВ.
Таким чином, множина істинності предиката А(х)В(х) є перерізом множин істинності предикатів А(х) і В(х), тобто справедлива рівність ТАВ=ТАТВ. Операція кон’юнкції предикатів підкоряється тим же самим законам, що і операція кон’юнкції висловлень. Пропонуємо студентам записати відповідні закони самостійно.
5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.
5.1. Операція диз’юнкції над висловленнями.
5.1. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „або” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте або парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають диз'юнкцією (грецьк. disjunction - роз'єднання, розрізнення) даних висловлень і позначають так: аb. Символічний запис аb читають так: „а або b”, або „а в диз'юнкції з b”, або „диз'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.
Означення: диз'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке хибне тоді і тільки тоді коли хибні обидва висловлення.
Крім наведеного означення операцію диз’юнкції можна задати з допомогою іншого означення чи таблиці істинності (див. таблицю № 4).
|
а |
в |
ав |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Таблиця № 4. Таблиця істинності для операції диз’юнкції.
Означення: диз'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне хоча б одне із висловлень а і b.
Яку операцію над числами нагадує нам означення диз’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – певним чином операцію додавання чисел. Саме тому операцію диз'юнкції називають логічним додаванням. Означення операції диз'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: диз’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне кожне з висловлень а, b і с, тобто аbс=(аb) с. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо диз’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.
Безпосередньо із означення диз’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) а1=1; 2) а0=а; 3) аа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція диз’юнкції висловлень підкоряється таким законам:
3. ав=ва –комутативний (переставний) закон.
4. (ав)с=а(вс) – асоціативний (сполучний) закон.
5. а(вс)=(ав)(ас) – дистрибутивний (розподільний) закон операції кон’юнкції відносно диз’юнкції.
6. а(вс)=(ав)(ас) – дистрибутивний (розподільний) закон операції диз’юнкції відносно кон’юнкції (п’ятий та шостий закони пов’язують операції кон’юнкції та диз’юнкції).
7. ав=āв.
8. ав=āв - закони де Моргана, які пов’язують операції заперечення, кон’юнкції та диз’юнкції.
Закони 3-8 потребують доведення. Його проводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі останнього закону де Моргана (див. таблицю № 5). Кількість стовпців таблиці істинності дорівнює 7, а кількість рядків – 2²+1=5 (як це визначили?). Заповнення стовпців виконаємо аналогічно до того, як це робилося при побудові таблиці істинності у попередньому пункті.
|
а |
В |
Ā |
в |
ав |
ав |
āв |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Таблиця № 5. Доведення закону де Моргана.
5.2. Диз'юнкція двох предикатів.
5.2. Для того, щоб визначити операцію диз’юнкції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „х – склав всі екзамени або набрав прохідний бал” - диз'юнкцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.
Означення: диз'юнкцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на множині Х і який хибний при всіх тих хХ, при яких одночасно хибні обидва предикати.
При оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності. Знайдемо множину істинності предиката А(х)В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через ТА, а множину істинності предиката В(х) – через ТВ. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)В(х), тобто ТАВ, на діаграмі Ейлера-Венна зафарбуємо спочатку множину істинності предиката А(х), а потім - множину істинності предиката В(х). Тоді множина істинності предиката А(х)В(х) буде зображатися тією частиною множини Х, яка зафарбована (див. таблицю №6).
Таким чином, множина істинності предиката А(х)В(х) є об’єднанням множин істинності предикатів А(х) і В(х), тобто справедлива рівність ТАВ=ТАТВ. Операція диз’юнкції предикатів підкоряється тим же самим законам, що і операція диз’юнкції висловлень. Пропонуємо студентам записати відповідні закони самостійно.
Таблиця № 6. Множина істинності диз’юнкції предикатів ТАВ=ТАТВ.
6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.
6.1. Операція імплікації висловлень.
6.1. Ми вже розглянули три операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали частка не чи сполучники: і, або. У математиці досить часто використовуються словосполучення «якщо …, то …», слова «випливає», «слідує» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «якщо …, то …» або слова «слідує» нове висловлення: „якщо число 2 – просте, то воно парне” або «із того, що число 2 – просте, слідує (випливає), що воно парне». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають імплікацією (грецьк. Implico – тісно зв'язую) даних висловлень і позначають так: а→b або аb. Символічний запис а→b або аb читають так: „якщо а, то b”, або „з а слідує (випливає) b”, або „імплікація а і b”, або „а імплікує в b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.
Означення: імплікацією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а→b, яке хибне тоді і тільки тоді, коли висловлення а істинне, а висловлення b – хибне, і істинне в усіх інших випадках.
За допомогою таблиці істинності операцію імплікації можна задати так (див. таблицю №7).
|
а |
в |
а→b |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Таблиця № 7. Таблиця істинності для операції імплікації висловлень.
В імплікації а→b висловлення а називають або умовою, або посилкою, або основою імплікації, а висловлення b – висновком або наслідком імплікації. Зв'язок між операцією імплікації та операціями заперечення та диз'юнкції задається за допомогою такої формули: а→b=āв. Доведемо її за допомогою таблиці істинності (див. таблицю №8). Порівнюючи 3 і 5 стовпчики, бачимо, що вони набувають однакових значень істинності при будь-яких наборах значень істинності висловлень а і b.
|
а |
в |
а→b |
а |
ав |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Таблиця № 8: доведення формули а→b=āв.
Розглянемо імплікацію: а→b=„якщо число закінчується на 0, то воно ділиться на 5”.Домовимося називати її даною або прямою імплікацією. Переставивши місцями умову та висновок, одержимо нову імплікацію b→а=„якщо число ділиться на 5, то воно закінчується нулем”. Така імплікація називається оберненою до даної. Замінимо в даній імплікації а→b умову і висновок їх запереченнями. Отримаємо нову імплікаціюā→b=„якщо число не закінчується на 0, то воно не ділиться на 5”, яку називають імплікацією, протилежною до даної. Поміняємо в останній імплікації місцями умову та висновок. Тоді одержимо імплікаціюв→ā=„якщо число не ділиться на 5, то воно не закінчується нулем”. Цю імплікацію називають імплікацією протилежною до оберненої або оберненою до протилежної. Таким чином, маємо чотири види імплікації: 1) а→b – пряма; 2) b→а – обернена до даної; 3) ā→b - протилежна до прямої; 4)b→ā - протилежна до оберненої або обернена до протилежної. Виникає запитання: як ці види імплікацій пов’язані між собою? Для виявлення зв'язку між імплікаціями побудуємо таблицю істинності (див. таблицю №9).
|
а |
в |
а |
b |
а →b |
b→а |
а→b |
b →а |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Таблиця № 9. Доведення рівносильності різних видів імплікацій.
Аналізуючи побудовану таблицю, бачимо, що значення 5-го і 8-го стовпців приймають однакові значення істинності при всіх наборах значень істинності висловлень, що до них входять. Саме тому можна твердити, що справедливі такі рівності: а→b=b→а та b→а=а→b. Таким чином, маємо дві пари рівносильних між собою імплікацій а→b=b→а та b→а=а→b. Це дає змогу визначати істинність не всіх чотирьох імплікацій, а лише двох (по одній із кожної пари), бо істинність двох інших випливатиме із рівносильності пар імплікацій.
6.2. Операція імплікації предикатів.
6.2. Для того, щоб визначити операцію імплікації предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „якщо х – склав всі екзамени, то він набрав прохідний бал” – імплікацією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.
Означення: імплікацією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на тій самій множині Х і який хибний при всіх тих хХ, при яких предикат А(х) – істинний, а предикат В(х) – хибний.
Оскільки при оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності, то знайдемо множину істинності предиката А(х)→В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через ТА, а множину істинності предиката В(х) – через ТВ. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)→В(х), тобто ТА→В, можна використати міркування або діаграми Ейлера-Венна. Зазначимо, що міркуваннями множину істинності ТАВ можна знайти, використавши рівність А(х) В(х)=Ā(х)В(х). Отже, маємо: ТАВ =ТАТВ=ТАТВ.
Відомо, що предикат А(х)В(х) буде хибним для тих значень хєХ, для яких предикат А(х) істинний, а предикат В(х) – хибний, тобто на множині ТАТВ =ТАТВ = ТА ТВ. Отже, множиною істинності предиката А(х)В(х) – є об'єднання множини істинності предиката В(х) і доповнення до множини істинності предиката А(х) (див. таблицю №10).
Таблиця № 10. Зображення множини істинності імплікації ТАВ=ТАТВ.
Чи розглядають імплікації в шкільному курсі математики? – так, але найчастіше розглядаються імплікації, які істинні при всіх хХ. Прикладами таких предикатів можуть бути такі: „Якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5”; „Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом”.
7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.
7.1. Операція еквіваленції висловлень.
7.1. Ми вже розглянули чотири операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали: частка не; сполучники і, або; слова чи словосполучення «якщо…, то…», «випливає», «слідує», «імплікує». У математиці досить часто використовуються словосполучення «тоді і тільки тоді», «необхідно і достатньо», слова «рівносильно», «еквівалентно» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «тоді і тільки тоді» або «необхідно і достатньо» нові висловлення: „число 2 просте тоді і тільки тоді, коли воно парне” або «для того, щоб число 2 було простим, необхідно і достатньо, щоб воно було парним». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають еквіваленцією даних висловлень і позначають так: а↔b або аb. Символічний запис а↔b або аb читають так: „а рівносильно b”, або „а еквівалентно b”, або „еквіваленція висловлень а і b”, або „для а необхідно і достатньо b”, або „а тоді і тільки тоді, коли b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.
Означення: еквіваленцією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а↔b, яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення істинності висловлень а і b співпадають (або коли вони одночасно істинні або одночасно хибні).
За допомогою таблиці істинності операцію еквіваленції можна задати так (див. таблицю №11). Зв'язок між операціями еквіваленції, імплікації, кон’юнкції, заперечення та диз'юнкції виражається за допомогою таких формул: 1) а↔b=(а→b)(b→а); 2) а↔b=(āb)(bа). Другу формулу легко одержати із першої, якщо врахувати формулу: а→b=āb.
|
а |
b |
a↔b |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Таблиця № 11. Таблиця істинності еквіваленції висловлень.
7.2. Операція еквіваленції предикатів.
7.2. Для того, щоб визначити операцію еквіваленції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів два предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „для того, щоб х – склав всі екзамени, необхідно і достатньо, щоб він набрав прохідний бал” – еквіваленцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.
Означення: еквіваленцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)↔В(х), який визначений на тій самій множині Х і який істинний при всіх тих хХ, при яких значення істинності предикатів А(х) і В(х) співпадають.
Оскільки при оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності, то знайдемо множину істинності предиката А(х)↔В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через ТА, а множину істинності предиката В(х) – через ТВ. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)↔В(х), тобто ТА↔В, можна використати міркування або діаграми Ейлера-Венна. Зазначимо, що міркуваннями множину істинності ТА↔В можна знайти, використавши рівність А(х)↔В(х)=((Ā(х)В(х))(В(х)А(х))). Отже, маємо: ТА↔В=(ТАТВ)(ТВТА). Оскільки відомо, що предикат А(х)↔В(х) буде істинним для тих значень хєХ, для яких предикати А(х) і В(х) одночасно істинні або хибні, тобто на множинах ТАТВ і ТАТв. Отже, множиною істинності предиката А(х)↔В(х) – є об'єднання цих множин, тобто ТА↔В=(ТАТВ)(ТАТв) (див. таблицю №12).
Таблиця № 12. Множина істинності еквіваленції предикатів.
8. Логічні формули. Порядок виконання логічних операцій у формулах. Рівносильні формули. Тотожньо істинні формули (логічні закони). Відношення логічного слідування та рівносильності на множині предикатів.
8. Із шкільного курсу математики відомо, що вирази отримують за допомогою цифр, букв, знаків арифметичних дій та дужок. Аналогічно можна отримувати вирази або формули у математичній логіці. Для того, щоб однозначно розуміти відповідні формули та в однаковому порядку виконувати дії над висловленнями та предикатами, виробили наступні правила виконання операцій: заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація та еквіваленція:
1) порядок виконання логічних операцій регулюють дужками, починаючи виконання з операції, яка стоїть у самих внутрішніх дужках;
2) вираз, якій міститься під знаком операції заперечення, в дужки не береться, але його вважають таким, що знаходиться в дужках, а тому обчислюють окремо;
3) якщо у формулі немає дужок, то порядок виконання логічних операцій такий: а) заперечення; б) кон’юнкція; в) диз’юнкція; г) імплікація; д) еквіваленція. Застосування вказаних правил проілюструємо на наступній вправі.
Вправа: спростити вираз (abcd)(abcd)(abc)(ab)ā=(abc)(dd)(abc)(ab)ā=(abc)1(abc)(ab)ā=(abc)(abc)(ab)ā=(ab)(сс)(ab)ā=(ab)1(ab)ā=(ab)(ab)ā=a(b b)ā=a1ā=aā=0.
Побудуємо таблицю істинності для двох формул: a↔b і a→b.
Аналіз таблиці №13 дозволяє зробити висновок про те, що формула a→b набуває значення 1 при тих значеннях логічних змінних, при яких формула a↔b також набуває значення 1. В цьому випадку говорять, що формула a→b логічно випливає з формули a↔b. Символічно це позначають так a↔b╞a→b, а читають цей запис наступним чином: формула a→b логічно випливає з формули a↔b.
|
а |
b |
a↔b |
a→b |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Таблиця № 13.
Означення: формула b називається логічним наслідком формули а (або формула b логічно випливає з формули а), якщо формула b набуває значення 1 при всіх тих наборах значень логічних змінних, при яких формула а також набуває значення 1.
Нехай на множині Х задано предикати А(х) і В(х) такі, що їх множини істинності ТА і ТВ знаходяться у відношенні ТАТВ. З’ясуємо, якою буде імплікація А(х)→В(х) при певних значеннях хєХ. Виберемо довільне аєХ. При цьому можливі два випадки: 1) аєТА. Тоді аєТВ, а тому А(а)=1 і В(а)=1, тобто А(а)→В(а)=1→1=1; 2) аєТА. Тоді А(а)=0, а імплікація А(а)→В(а)=0→В(а)=1. В таких випадках також говорять, предикат В(х) логічно випливає або логічно слідує із предиката А(х). Символічно це позначають так: А(х)╞ В(х).
Означення: якщо предикати А(х) і В(х) задані на одній множині Х, то кажуть, що предикат А(х) логічно випливає із предиката В(х), тоді і тільки тоді, коли ТАТВ.
Означення: якщо імплікація А(х)→В(х)=1 при всіх хєХ, то говорять, що предикат В(х) логічно слідує з предиката А(х).
Про такі предикати говорять, що вони знаходяться у відношення логічного слідування. Як же визначити чи знаходяться предикати у відношенні логічного слідкування? – слід дотримуватися такого алгоритму: 1) з’ясувати, чи на одній множині задані обидва предикати; 2) знайти множини істинності кожного з предикатів; 3) виявити співвідношення між множинами істинності предикатів; 4) якщо одна з множин істинності є підмножиною іншої, то зробити висновок про відношення логічного слідування між предикатами. Проілюструємо сказане на наступному прикладі.
Вправа: з’ясувати, чи знаходяться предикати А(х): «натуральне число х ділиться на 4» і В(х): «натуральне число х- парне» у відношенні логічного слідування.
Розв’язування:
В обох предикатах мова йде про натуральні числа, а тому областю визначення предикатів є множина натуральних чисел. Отже, предикати задані на одній множині. Знайдемо множини істинності предикатів. ТА={4, 8, 12, 16, …, 4n, …}. ТВ={2, 4, 6, 8, …, 2n, …}. Звідси легко бачити, що ТАТВ. Таким чином, А(х)╞ В(х). Предикат А(х)→В(х) можна прочитати так: із того, що натуральне число ділиться націло на 4, логічно слідує, що натуральне число парне. До розв’язування цієї вправи можна підійти по-іншому. Утворимо імплікацію заданих предикатів А(х)→В(х). Легко бачити, що вона істинна. Отже, відповідно до другого означення можна твердити, що А(х)╞ В(х).
Розглядаючи предикати, ми не цікавилися питанням про те, яке співвідношення може існувати між областю визначення предиката і множиною його істинності. Виявляється, що при співпаданні цих множин приходимо до поняття рівносильності предикатів.
Означення: два предикати А(х) і В(х), які задані на множині Х, називаються рівносильними, якщо еквіваленція цих предикатів А(х)↔В(х) істинна при всіх хєХ (тобто, коли Х=ТА↔В).
Символічно це записують так: А(х)≡В(х). Щоб перевірити, чи рівносильні предикати слід з’ясувати наступне: 1) чи задані предикати на одній множині; 2) утворити еквіваленцію заданих простих предикатів; 3) знайти множину істинності еквіваленції; 4) порівняти область визначення та множину істинності; 5) якщо вони співпадають, то зробити висновок про те, що предикати знаходяться у відношенні рівносильності.
Вправа: з’ясувати, чи рівносильні предикати А(х): «натуральне число х ділиться націло на 5» і В(х): «десятковий запис натурального числа х закінчується на 0 чи 5».
Розв’язання:
Легко бачити, що предикати задані на одній множині натуральних чисел. Утворимо еквіваленцію А(х)↔В(х): «натуральне число х ділиться націло на 5 тоді і тільки тоді, коли його десятковий запис закінчується цифрами 0 чи 5». Отже, А(х)↔В(х)=1 при всіх хєХ, а тоді ТА↔В=Х. Таким чином, А(х)≡В(х).
Розглянемо деяку імплікацію А(х)→В(х), де хєХ. Нехай вона істинна при всіх хєХ. Якщо такі умови виконуються, то предикат А(х) називають достатньою умовою для предиката В(х), а предикат В(х) – необхідною умовою для предиката А(х). Якщо одночасно А(х)→В(х)=1 і В(х)→А(х)=1 при всіх хєХ, то кожен із предикатів називають необхідною і достатньою умовою для іншого. Теореми, які сформульовані у термінах необхідно і достатньо, називають ознаками. Прикладом ознак є ознаки подільності чисел, ознаки паралелограма, паралельності прямих і площин тощо.
Логічні операції над висловленнями (, , →, ↔, ) до певної міри відповідали сполучникам, словосполученням, частці „не”. Квантор існування можна розглядати як узагальнення диз'юнкції. Дійсно, нехай Х=а1, а2, а3,...ак Р(х), де хХ, тоді висловлення... (х)Р(х) рівносильне диз'юнкції Р(а1)Р(а2)...Р(ак). Квантор загальності можна розглядати, як узагальнення операції кон'юнкції. Дійсно, якщо Р(х), де хХ=а1, а2, а3,..., ак, то висловлення (х)Р(х) рівносильне кон'юнкції Р(а1) Р(а2)... Р(ак). Не важко здогадатися, що операції об’єднання в алгебрі множин відповідає операція диз’юнкції із алгебри висловлень, операції перетину – операція кон’юнкції, операції доповнення – операція заперечення. Ми з Вами розглянули основні операції алгебри висловлень та їх основні властивості (ав=ва, ав=ва, а(вс)=(ав)с, а(вс)=(ав)с, а(вс)=(ав)(ас), а(вс)=(ав)(ас), а0=0а=а, а0=0а=0, а1=1а=1, а1=1а=а, аа=а, аа=а тощо). Побудувавши таблиці істинності можна довести справедливість наступних законів:
1. аа=1 – закон виключеного третього.
2. а а = 0 – закони несуперечливості
а а = 1
Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 2.2.
1. Запишіть довільне висловлення та утворіть його заперечення двома способами.
2. Довести справедливість закону подвійного заперечення висловлень, побудувавши таблицю істинності.
3. Довести справедливість закону подвійного заперечення предикатів, побудувавши таблицю істинності.
4. Довести, побудувавши таблицю істинності, комутативний закон операції кон’юнкції, а саме: ав=ва.
5. Записати закони операції кон’юнкції предикатів, використавши закони операції кон’юнкції висловлень.
6. Самостійно довести, побудувавши таблиці істинності, комунікативний, асоціативний, два дистрибутивні та перший закон де Моргана.
7. Записати самостійно закони, яким підкоряється операція диз’юнкції предикатів.
8. Пропонуємо студентам довести обидві формули (1) а↔b=(а→b)(b→а); 2) а↔b=(āb)(bа)), побудувавши таблиці істинності (див. завдання для самостійної роботи).
9. Довести самостійно, побудувавши таблицю істинності, закон виключеного третього та закони несуперечливості.
МОДУЛЬ 2: «Висловлення. Предикати. Теореми.».
Змістовний модуль 2.3. «Теореми.».
ПЛАН.
1. Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.
2. Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо).
3. Необхідні та достатні умови.
4. Поняття міркування, правильні та неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань з допомогою кругів Л.Ейлера.
5*. Алгоритми. Основні властивості алгоритмів. Приклади алгоритмів, що використовуються в курсі математики початкової школи.
Література.
[1] – с. 51-92. [2] – с. 3-11, 96-126. [3] – с. 79-168.
1. Поняття теореми, її будова. Види теорем (дана, обернена, протилежна, обернена до протилежної, спряжені теореми) та зв'язок між ними.
1. Вивчення будь-якого розділу математики супроводжується доведенням тверджень, серед яких істотну роль відіграють теореми, тобто твердження, в справедливості яких потрібно переконатися шляхом доведення. В шкільному курсі математики вивчаються теореми, які мають різноманітну форму запису. Для того, щоб успішно формувати у школярів уявлення про теорему та способи її доведення, необхідно знати форми запису, будову та види теорем. Ці знання ґрунтуються на поняттях висловлення та операцій над ними, предикатів та кванторів. Якщо проаналізувати більшість теорем, то можна помітити, що вони складаються з таких структурних компонентів: 1) пояснювальна частина, в якій роз’яснюється, для яких об’єктів доводиться теорема; 2) умова теореми, в якій вказується на ті поняття, що використовуються в теоремі, та яка може мати різноманітну структуру (бути простим висловленням; бути кон’юнкцією, диз’юнкцією, запереченням тощо кількох висловлень); 3) висновок теореми. Дуже часто теореми формулюють в імплікативній формі, коли пояснювальна частина символічно зображається у формі квантора загальності чи існування, а умова і висновок – у вигляді предикатів. Зазначимо, що при словесному формулюванні теореми, її пояснювальна частина не завжди формулюється явно, але її можна виділити. Наприклад, у формулюванні теореми «якщо точка лежить на перпендикулярі до середини відрізка, то вона рівновіддалена від кінців цього відрізка» пояснювальна частина «кожна точка перпендикуляра до середини відрізка» не сформульована явно.
Як правило, в теоремі присутні як мінімум два предикати, один із яких виражає умову теореми, а інший – висновок. Предикати, які виражають умову чи висновок, можуть бути складеними. Пояснювальна частина теореми символічно може записуватися у вигляді кванторів існування чи загальності. Проілюструємо це на прикладі такої теореми «для будь-яких дійсних чисел а, b, с, якщо ав і bс , то ас». У цій теоремі пояснювальна частина буде такою «для будь-яких дійсних чисел», а тому символічно її можна записати так: (а,b,сєR). Умовою теореми буде кон’юнкція предикатів (аbbс), а висновком теореми – предикат ас. Отже, символічно теорема запишеться так: (а,b,сєR)((аbbс)→(ас)). Таким чином, умова теореми є складеним предикатом (кон’юнкцією двох предикатів), а висновок теореми є простий предикат. У пояснювальній частині можуть бути одночасно представлені квантори існування і загальності. Наприклад: для будь–яких двох дійсних чисел a та b існує єдине число с, таке, що а-в=с.
Оскільки практично кожну теорему можна представити у вигляді імплікації двох предикатів, то, пригадуючи операцію імплікації предикатів, зазначимо, що є чотири види імплікацій. Саме тому можна твердити, що можна виділити чотири види теорем: 1) дана або пряма теорема, яку символічно можна записати так: А(х)→В(х); 2) обернена теорема, яку символічно можна записати так: В(х)→А(х); 3) протилежна теорема, яку символічно записують так: А(х)→В(х); 4) протилежна до оберненої або обернена до протилежної, яку символічно записують так: В(х)→А(х).
Розглядаючи імплікацію висловлень і предикатів, за допомогою побудови таблиці істинності ми довели, що серед чотирьох видів імплікацій є дві пари рівносильних, а саме: 1) (А(х)→В(х))≡(В(х)→А(х)); 2) (В(х)→А(х))≡(А(х)→В(х)). Із цих рівностей випливає, що не потрібно доводити всі чотири теореми, а слід довести лише дві, тобто по одній з кожної пари. Причому в математиці доводять з кожної пари ту теорему, яку легше довести.
Розглянемо способи утворення вказаних видів теорем на прикладі наступної «якщо один із співмножників добутку дорівнює нулю, то добуток дорівнює нулю» - дана теорема, яка істинна. Щоб утворити теорему, обернену до даної поміняємо місцями умову і висновок. Одержимо теорему «якщо добуток двох співмножників дорівнює нулю, то один із співмножників добутку дорівнює нулю» - обернена теорема, яка хибна, бо нулю можуть дорівнювати обидва співмножники. Щоб сформулювати протилежна теорему, слід заперечити умову та висновок даної теореми. В цьому випадку отримуємо «якщо жоден із співмножників не дорівнює нулю, то добуток не дорівнює нулю» - протилежна теорема, яка істинна. Сформулюємо четверту теорему «якщо добуток не дорівнює нулю, то жоден із співмножників не дорівнює нулю» - протилежна до оберненої чи обернена до протилежної, яка істинна.
2. Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо).
2. Спочатку зазначимо, що довести теорему – це означає встановити логічним шляхом, що завжди, коли виконується властивість А(х) буде виконуватись і властивість В(х). Доведення теорем в математиці проводиться за правилом логіки без будь-яких посилань на наочність та досвід. У математиці існують різні способи доведення теорем, які класифікують по-різному. Серед різних способів доведення теорем зупинимося на характеристиці тих, які найчастіше зустрічаються в шкільному курсі математики. У першу чергу вкажемо на дедуктивний спосіб доведення теорем, сутність якого полягає в тому, що виходячи з умови теореми і використовуючи доведені раніше теореми, ми будуємо ланцюжок міркувань, який дозволяє нам переконатися в справедливості висновків теорем. Покажемо це на прикладі такої теореми «Сума внутрішніх кутів довільного трикутника дорівнює 180°».
Доведення: беремо довільний трикутник (див. малюнок №27) і проводимо через його вершину пряму, паралельну протилежній стороні (це можна зробити, оскільки доведено, що через точку, поза прямою можна провести пряму, паралельну даній). <1+<2+<3=180°, як сума кутів, які утворюють розгорнутий кут. <1=<4 – як внутрішні різносторонні при паралельних прямих та січній. Аналогічно <3=<5. Тоді рівність <1+<2+<3=180° перетвориться у рівність <4+<2+<5=180°. Отже, сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. Теорему доведено.
Малюнок № 27.
Сутність індуктивних доведень полягає в тому, що на основі розглянутих кількох окремих випадків ми робимо загальний висновок. Для того, щоб не розглядати всі часткові випадки, в математиці є метод доведення, який називається методом математичної індукції. Він складається з таких етапів: а) перевіряємо твердження для n=1; б) припускаємо істинність твердження при n=k; в) виходячи з припущення пробуємо довести істинність твердження при n=k+1. Тоді дане твердження буде справедливим для будь-якого натурального числа. Проілюструємо сказане на такому прикладі: довести, що добуток двох послідовних натуральних чисел ділиться націло на 2.
Доведення:
1. Перевіримо справедливість твердження для будь-якої пари послідовних натуральних чисел. Дійсно, добуток 1•2=2, а 2 кратне 2. Отже, для n=1 і n=2 твердження справедливе.
2. Припустимо, що твердження справедливе для будь-якої пари послідовних натуральних чисел n і n+1, тобто n(n+1)2.
3. Спробуємо довести справедливість твердження для n=k+1. Утворимо добуток (n+1)(n+2) і розкриємо другу дужку. Отримуємо (n+1)n+2(n+1). У цій сумі перший доданок (n+1)n ділиться націло на 2 згідно припущення, а другий доданок 2(n+1) ділиться націло на 2 згідно теореми про подільність добутку. Таким чином, кожен доданок суми ділиться на 2, а тому і сума (n+1)n+2(n+1)=(n+1)(n+2) поділиться націло на 2. Отже, теорему доведено.
Наступним способом доведень є спосіб доведення від супротивного, сутність якого полягає в тому, що ми заперечуємо висновок теореми і пробуємо це довести. В результаті ми приходимо до суперечності із умовою теореми або з доведеним раніше твердженням. Найбільш часто цей спосіб доведення використовують при доведенні теорем єдиності. Покажемо це на такому прикладі: якщо різниця двох дійсних чисел існує, то вона єдина.
Доведення: нехай нам дано два дійсних числа а,вєR. Згідно означення різниці число а-в=сєR. Припустимо, що різниця двох дійсних чисел не єдина. Нехай існують дві різних різниці, тобто: а-b=с1 і а-b=с2, причому с1≠с2. Звідси маємо а=b+с1 і а=b+с2, тобто b+с1=b+с2, а тепер с1=с2, що суперечить вибору чисел с1 і с2. Ця суперечність говорить, що наше припущення про неєдиність різниці було хибним. Таким чином, якщо різниця існує, то вона єдина. Теорему доведено.
3. Необхідні та достатні умови.
3. Розглядаючи імплікацію предикатів, ми зазначали: якщо (хєХ)(А(х)→В(х))=1, то предикат В(х) називають необхідною умовою для істинності предикати А(х), а предикат А(х) називають достатньою умовою для істинності предиката В(х). Якщо ж (хєХ)(В(х)→А(х))=1, то предикат А(х) - необхідна умова для істинності предиката В(х), а предикат В(х) буде достатньою умовою для істинності предиката А(х). Якщо ж (хєХ)(А(х)→В(х))=1 і (хєХ)(В(х)→А(х))=1, то кожен із предикатів є необхідною і достатньою умовою для істинності іншого.
Будь-яку теорему можна сформулювати з використанням слів “необхідно”, “достатньо” чи “необхідно і достатньо”. Покажемо це на прикладі наступної теореми “якщо в чотирикутнику сторони попарно паралельні, то цей чотирикутник паралелограм”. У цій теоремі ми маємо два предикати: А(х): “у чотирикутнику х протилежні сторони попарно паралельні” і “В(х): “чотирикутник х – паралелограм”. Розглянемо імплікацію предикатів А(х)→В(х). Легко переконатися, що вона завжди істинна. Аналогічно імплікація В(х)→А(х)=1. Тоді кожний із предикатів є необхідною і достатньою умовою для іншого, а тому теорему сформулюємо так: “для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його протилежні сторони були парно паралельні”. Як відомо, теореми, в яких використовують слова “необхідно і достатньо” називають ознаками, бо вони дозволяють з’ясувати, чи відносяться дані об’єкти до певного класу (наприклад, ознаки подільності, ознаки перпендикулярності тощо).
4. Поняття міркування, правильні та неправильні міркування. Перевірка правильності міркувань з допомогою кругів Л.Ейлера.
4. У своїй практичній діяльності людина спирається на закони природи та суспільства. Знання про них вона одержує, в основному, трьома способами: 1) спостерігаючи явища та речі в природних умовах і накопичуючи завдяки цьому відомості про оточуючий світ; 2) проводячи експерименти у штучностворених нею умовах; 3) міркуючи та одержуючи в результаті цих міркувань нові знання із відомих раніше. Вказані три способи є джерелами науки. Співвідношення трьох основних джерел в різних науках різне. У зв’язку з цим прийнято розрізняти описові, дослідні (експериментальні або емпіричні) та дедуктивні науки. До описових наук відносять комплекс географічних наук, зоологію, до експериментальних – фізику, хімію, до дедуктивних – математику, логіку.
Зазначимо, що такий поділ на вказані види наук досить відносний, бо в ході їх розвитку співвідношення між спостереженнями, експериментом і міркуваннями змінюється. У наш час спостерігається проникнення логічних і математичних методів в розділи наук, які вважалися у недалекому минулому описовими, наприклад, в біологію, економіку, лінгвістику тощо. У дедуктивних науках основним методом досліджень вважається виведення наслідків із невеликої кількості вихідних положень. Вони, як правило, є результатом досвіду та спостережень. Зміст і форма дедуктивних наук характеризується, головним чином, тим багатством наслідків, які можна та які одержані за допомогою міркувань.
Будь-яке міркування складається із ланцюжка висловлень, які випливають один з одного за певними правилами. Вміння міркувати, правильно обґрунтовувати свої висновки необхідне людині будь-якої професії. Людина вчиться міркувати, починаючи з того моменту, коли вона починає говорити. Разом з тим, цілеспрямоване навчання логіці міркувань починається в школі. Вже при вивченні курсу математики початкових класів учні розвивають уміння аналізувати, порівнювати, класифікувати, обґрунтовувати найпростіші твердження тощо. Саме тому вчитель початкових класів повинен бути обізнаним з наукою про закони і форми мислення, про загальні схеми міркувань. Основні типи суджень і умовиводів, що лежать в основі міркувань, розглядаються в класичній логіці, засновником якої вважається філософ стародавньої Греції Аристотель (384-422 рр. до н. е.).
В основі обґрунтування та доведення лежать міркування, під якими розуміють логічну операцію, в результаті якої із одного або декількох взаємопов’язаних за змістом речень одержують речення, що містить нове по відношенню до вихідних знання. Якщо проаналізувати структуру міркування, то можна помітити, що будь-яке з них складається із умови (або посилок) та висновку. Розглянемо міркування: якщо число просте, то воно має два дільники. В ньому посилкою є “якщо число просте”, а висновком - “то воно має два дільники”. Всі міркування можна поділити на дві великі групи: 1) дедуктивні міркування, в яких між посилкою і висновком має місце відношення слідування; 2) індуктивні міркування, в яких на підставі того, що деякі об’єкти множини мають певні властивості, робиться висновок про те, що цю властивість мають всі об’єкти цієї множини. Прикладом дедуктивного міркування може бути таке “якщо число кратне 8, то воно кратне 2“, а індуктивного - “2 кратне 2, бо закінчується 2, 4 кратне 4 бо закінчується 4. Отже, всі числа, які закінчуються на 2 і 4 діляться на 2”. Якщо дедуктивні міркування будуються за правилами логіки, то ми повинні з правильної посилки одержати правильний висновок. Для індуктивних міркувань цього сказати не можна.
Процес мислення має надзвичайно складний характер і відбувається у переплетінні тисячоліттями відшліфованих строгих форм утворення умовиводів, поки що не вивчених інтуїтивних уявлень і творчих актів, певних емоційних сторін діяльності вищої нервової системи людини тощо. Проте, ще стародавні мислителі відзначали, що істотна частина наших умовиводів робиться за певними стандартними схемами, які не залежать від того конкретного матеріалу, що ми ними оперуємо. Внаслідок вивчення цього процесу людського мислення виникла наука, яка одержала назву «формальна логіка». Вона займається вивченням способів утворення правильних висновків, виходячи з певних зв’язків між формою, структурою посилок або умов, а не з їхнього конкретного змісту.
Розглянемо кілька міркувань та з’ясуємо, як вони побудовані: 1) «якщо всі птахи - тварини і всі горобці - птахи, то всі горобці - тварини»; 2) «якщо всі птахи – тварини і всі квіти – птахи, то всі квіти - тварини»; 3) «якщо деякі французи – блондини і дехто з курців – французи, то деякі курці - блондини»; 4) «якщо деякі опуклі фігури – круги і деякі опуклі фігури – многокутники, то деякі многокутники - круги». Кожне з наведених міркувань складається з трьох висловлень. У перших двох прикладах у першому висловленні стверджується, що всі предмети деякого класу мають деяку властивість, яка є істотною для всіх предметів цього класу, а у другому висловленні стверджується, що всі предмети цього ж класу є частковим випадком більш загального поняття. У третьому та четвертому прикладах у першому висловлення стверджується, що деякі предмети мають певну властивість, яка є істотною для всіх предметів цього класу, а в другому висловленні цих прикладів стверджується, що деякі предмети є частковим випадком більш загального поняття. На цій основі робиться висновок про те, що відзначена властивість належить або всім, або деяким поняттям. Загальну форму цього міркування для перших двох прикладів можна представити так: «якщо всі предмети класу А мають властивість α і обсяг класу В є частиною обсягу класу А, то всі об’єкти класу В мають властивість α». Загальну форму цього міркування для двох останніх прикладів можна представити так: «якщо деякі предмети класу А мають властивість α і обсяг класу В є частиною обсягу класу А, то деякі об’єкти класу В мають властивість α». Міркування такого вигляду називають силогізмами. Форма міркування вважається правильною, якщо при істинності вихідних тверджень, вона завжди приводить до правильних висновків. Цілком зрозуміло, що при хибності вихідних тверджень навіть за допомогою правильного за формою міркування, можна прийти до хибного висновку.
Якщо проаналізувати наведені приклади з точки зору їх істинності, то одержимо таке: 1) у першому прикладі з двох правильних висловлень ми одержуємо істинний висновок; 2) хибність висновку другого прикладу відбулася не від хибності схеми, а від хибності однієї з посилок; 3) у третьому прикладі, незважаючи на істинність всіх висловлень, ми одержуємо логічну помилку у висновку; 4) четвертий приклад є ілюстрацією до третього. Таким чином, логічні висновки повинні робитися за певною схемою, а правильними вважаються лише ті схеми, які з істинних посилок завжди приводять до істинних висновків.
В аристотелівській логіці розглядаються чотири види так званих категоричних судження: 1) загально стверджувальне судження – А=«Всі S суть P»; 2) загальнозаперечувальне судження – Е=«Всяке S не є P»; 3) частково стверджувальне судження – І=«Деякі S суть P»; 4) частковозаперечувальне судження – О=«Деякі S не суть P». Їх прийнято класифікувати, по-перше, «по якості»: А, І – стверджувальні судження; Е, О – заперечувальні судження; по-друге, «по кількості»: А, Е – загальні судження; І, О – часткові судження. Розглянемо всі чотири види суджень з точки зору теорії предикатів.
Для запису загально стверджувального судження А=«Всі S суть P» використаємо квантор загальності, предикати S(х) і P(х) та імплікацію предикатів S(х)→P(х). Тоді символічний запис цього судження буде мати вигляд (хєХ)(S(х)→P(х)) та читатиметься так: «для всіх хєХ, якщо х має властивість S, то х має властивість Р». Прикладом таких тверджень є «всі риби - тварини», «всі люди - смертні», «всі квадрати – прямокутники» тощо.
Для запису загальнозаперечувальне судження Е=«Всяке S не є P» використаємо квантор загальності, предикат S(х), заперечення предикату P(х) та імплікацію предикатів S(х)→P(х). Тоді символічний запис цього судження буде мати вигляд (хєХ)(S(х)→P(х)) та читатиметься так: «для всіх хєХ, якщо х має властивість S, то х немає властивості Р». Прикладом таких тверджень є «всі риби не є птахами», «будь-які камені не є тваринами», «будь-які трикутники не є квадратами» тощо.
Для запису частково стверджувального судження І=«Деякі S суть P» використаємо квантор існування, предикати S(х) і P(х) та кон’юнкцію предикатів S(х)P(х). Тоді символічний запис цього судження буде мати вигляд (хєХ)(S(х)P(х)) та читатиметься так: «існує таке хєХ, який має властивість S і також має властивість Р». Прикладом таких тверджень є «деякі люди палять», «деякі швейцарці говорять французькою», «деякі прості числа - парні» тощо.
Для запису частковозаперечувального судження О=«Деякі S не суть P» використаємо квантор існування, предикат S(х), заперечення предикату P(х) та кон’юнкцію предикатів S(х)P(х). Тоді символічний запис цього судження буде мати вигляд (хєХ)(S(х)P(х)) та читатиметься так: «існує таке хєХ, який має властивість S і також немає властивості Р». Прикладом таких тверджень є «деякі тварини не дихають легенями», «деякі гриби не їстівні», «деякі трикутники не рівнобедрені» тощо.
На основі наведених суджень можна легко побачити деякі співвідношення між ними, які детально вивчалися в аристотелівській логіці. Наприклад, загальностверджувальне судження А і частковозаперечувальне судження О є запереченнями один одного. Аналогічно загальнозаперечувальне судження Е і частково стверджувальне судження І є запереченнями один одного. У традиційній логіці говорять, що загальностверджувальне судження А і частковозаперечувальне судження О (загальнозаперечувальне судження Е і частковостверджувальне судження І) знаходяться у відношенні протиріччя один до одного. Таким чином, аристотелівські силогізми являють собою схеми логічних виводів, які складаються з трьох суджень одного з названих чотирьох видів А, Е, І, О. Наведемо приклади силогізмів, які є досить поширеними (див. таблицю №14).
|
Силогізм Barbara |
Силогізм Darii |
|
|
«Всі М суть Р» «Всі S суть М» «Всі S суть Р» |
«Всі М суть Р» «Деякі S суть М» «Деякі S суть Р» |
«Деякі М суть Р» «Деякі S суть М» «Деякі S суть Р» |
|
Риска після другого висловлення означає, що висновок є логічним наслідком посилок. |
Риска після другого висловлення означає, що висновок є логічним наслідком посилок. |
Риска після другого висловлення означає, що висновок є логічним наслідком посилок. |
|
Всі висловлення цього силогізму є загальностверджувальними. |
У даній схемі перша посилка є загальностверджувальним висловленням, а друга посилка і наслідок – частковостверджувальні. |
У даній схемі всі три судження є частковостверджувальними. |
Таблиця № 14. Приклади силогізмів.
Вважають, що в основі кожного дедуктивного міркування лежить певне правило виводу, серед яких ми виділимо такі:
1. Правило заключення, яке символічно запишеться так: (хєХ)(А(х)В(х)А())В(). У цьому записі вираз (хєХ)(А(х)В(х)А()) являє собою умову (посилку) міркування, яка представлена кон’юнкцією загальної та часткової посилки. У свою чергу вираз В() - це заключення або висновок міркування. Крім цього, А() - це часткова посилка, яка являє собою висловлення, одержане із предиката А(х) після підстановки замість змінної х конкретного значення, а В() – це висловлення, одержане із предиката В(х) після підстановки замість змінної х конкретного значення.
2. Правило заперечення, яке символічно запишеться так: (хєХ)(А(х)В(х)В())А(). У цьому записі вираз (хєХ)(А(х)В(х)В()) являє собою умову (посилку) міркування, яка представлена кон’юнкцією загальної та часткової посилки. У свою чергу вираз В() - це часткова посилка, яка являє собою висловлення, одержане із предиката В(х) після підстановки замість змінної х конкретного значення, а А() – це заключення або висновок міркування. Крім цього, А() - це висловлення, одержане із предиката А(х) після підстановки замість змінної х конкретного значення.
3. Правило силогізму, яке символічно записується так: (хєХ)((А(х)→В(х)В(х)→С(х))→(А(х)→С(х))). Це правило виводу складається із двох загальних посилок (хєХ)((А(х)→В(х))(В(х)→С(х))), кон’юнкція яких задає нам умову міркування. Імплікація А(х)→С(х) є загальним висновком міркування.
Якщо множини істинності предикатів А(х), В(х) і С(х) зображати кругами Ейлера, то правильність міркувань можна перевірити за допомогою діаграм Ейлера-Венна. Для представлених у таблиці № 15 силогізмів будемо мати такі діаграми Ейлера-Венна (див. діаграми №№ 3-5).
Діаграма № 3: перевірка правильності силогізму Barbara за допомогою кругів Ейлера.
Діаграма № 4: перевірка правильності силогізму Darii за допомогою кругів Ейлера.
Діаграма № 5: перевірка правильності силогізму, який містить частково стверджувальні судження за допомогою кругів Ейлера.
Вправа: перевірити правильність міркування ((А(х)→В(х))(В(х)→С(х)))→(А(х)→С(х)), використовуючи круги Ейлера, якщо А(х): “натуральне число х кратне 16”, В(х): “натуральне число х кратне 8”, С(х): “натуральне число х кратне 4”.
Розв’язання:
Позначимо через А множину чисел, кратних 16, через В – множину чисел, кратних 8, і через С множину чисел, кратних 4. Тоді відношення між цими множинами за допомогою кругів Ейлера зобразиться так (див. діаграму № 6).
Із наведеної діаграми видно: із того, що число х кратне 16 випливає, що число х кратне 8, а із того, що число х кратне 8 випливає, що воно кратне 4. Таким чином, використовуючи правило силогізму, ми також можемо переконатися у правильності вказаного міркування.
Діаграма № 6: перевірка правильності міркувань за допомогою кругів Ейлера.
5*. Алгоритми. Основні властивості алгоритмів. Приклади алгоритмів, що використовуються в курсі математики початкової школи.
5*. Поняття алгоритму зустрічається як в математиці, так і в повсякденному житті. Точне визначення алгоритму в математиці не в усьому співпадає з інтуїтивним розумінням цього поняття в практичній діяльності людей. Термін алгоритм увійшов у активний словниковий запас людей завдяки значному застосуванню електронно–обчислювальної техніки в сучасному виробництві. Поняття алгоритму є одним із основних понять математики та інформатики. Ще задовго до використання інформатики в математиці застосовувалися різні алгоритми (або алгорифми). Зокрема, алгоритм письмового додавання, віднімання, множення, ділення, розкладу числа на прості множники, алгоритм Евкліда для знаходження НСД тощо.
Під алгоритмом розуміють точні вказівки щодо виконання у певному порядку деякої серії операцій для розв’язування задач певного типу. Наприклад: для рівняння ах=b маємо: 1. Якщо а≠0, то х=b:а. 2. Якщо а=0 і b≠0, то рівняння розв’язку немає. 3. Якщо а=b=0, то рівняння 0х=0 має безліч розв’язків, тобто х - будь-яке дійсне число.
Застосування алгоритму через скінченне число кроків приводить до розв’язання кожної задачі даного типу. Спільним для всіх алгоритмів є його характерні ознаки, до яких відносимо:
Алгоритми, за якими розв’язування поставлених задач зводиться до чотирьох арифметичних дій, називають числовими алгоритмами.
У теорії алгоритмів виділяють такі основні їх властивості:
1. Визначеність алгоритму, тобто алгоритм повинен бути записаним так, щоб не можна було неоднозначно тлумачити його вказівки.
2. Масовість алгоритму, тобто застосовність алгоритму до всіх задач одного типу.
3. Результативність алгоритму, тобто алгоритм повинен бути таким, щоб через певне число кроків, діючи за вказівками алгоритму, можна було б одержати розв’язок потрібної задачі даного типу.
4. Формальність алгоритму, тобто алгоритм повинен бути таким, щоб діючи за його вказівками, можна було б правильно виконати весь алгоритм.
Із курсу інформатики відомо, що існують такі способи описання алгоритму: а) словесний; б) табличний; в) графічний. Коли описують алгоритм, то ставлять певні вимоги, серед яких ми виділимо: точність, лаконічність, зрозумілість. Із курсу інформатики відомі декілька видів алгоритмів, серед яких ми виділимо: 1) лінійні алгоритми; 2) алгоритми з розгалуженнями; 3) циклічні алгоритми.
Означення: алгоритм називається лінійним, якщо в ньому дії виконуються послідовно одна за одною.
Означення: алгоритмом із розгалуженням називається алгоритм, в якому послідовність виконання операцій залежить від певних умов.
Означення: циклічним називається алгоритм, в якому група вказівок повторюється декілька разів.
В інформатиці сукупність засобів і правил запису алгоритмів називають алгоритмічною мовою.
Означення: програмою називають алгоритм, записаний на зрозумілій машині мові.
Означення: програмою називають послідовність команд, які повністю описують певний обчислювальний процес. Кожна команда описує певну частину обчислювального процесу.
Процес підготовки математичної задачі для її розв’язування на ЕОМ після вибору числового методу розв’язування називають програмуванням. В інформатиці виділяють такі етапи програмування: а) побудова алгоритму; б) розміщення в запам’ятовуючих пристроях машини вихідних даних, команд, допоміжних чисел, а також проміжних і кінцевих результатів; в) складання команд; г) перевірка і уточнення команд або програми.
Як в повсякденному житті, так і в математиці зустрічається дуже багато алгоритмів. Алгоритми зустрічаються вже в курсі математики початкової школи. Як правило, термін “алгоритми” для запам’ятовування молодшими школярами не вводиться. До алгоритмів, з якими зустрічаються неявно учні початкових класів в курсі математики можна віднести такі: 1) найрізноманітніші алгоритми усних та письмових обчислень; 2) алгоритми побудови геометричних фігур; 3) алгоритми розв’язування деяких типів задач; 4) алгоритми обчислення числових значень виразів із змінною при заданих значеннях букви. Досить часто вказані алгоритми даються учням у вигляді вказівок, які одержали назву алгоритмічних приписів. Наприклад, алгоритм множення двоцифрового числа на одноцифрове матиме такий вигляд: 1. Розклади перший множник на суму розрядних доданків: 23=20+3. 2. Помнож перший доданок на 4. 3. Помнож другий доданок на 4. 4. До 2 додай 3. 5. Запиши результат.
Алгоритм письмового ділення багатоцифрового числа на одноцифрове матиме такий вигляд: 1. Утвори перше неповне ділене. 2. Визнач кількість цифр у частці. 3. Поділи перше неповне ділене на дільник. 4. Запиши першу цифру частки. 5. Перевір першу цифру частки. 6. Перевір, чи правильно знайшли першу цифру частки. 7. Утвори друге неповне ділене. 8. Знайди другу цифру частки. 9. Перевір другу цифру частки. 10. Перевір, чи правильно знайдено другу цифру частки. 11. Утвори третє неповне ділене. 12. Знайди третю цифру частки. 13. Перевір третю цифру частки. 14. Закінчи обчислення.
Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за змістовним модулем 2.3.
1. Скласти лінійний алгоритм обчислення площі трапеції з основами 15 і 17, та висотою 11 см.
2. Описати алгоритм обчислення функції y = x – 4 (для значень x = 1,2,3,4,5).
Розподіл годин по семестрах для спеціальності 8.010102- початкове навчання.
|
Форма навчання: денна. Спеціальність: початкове навчання (з усіма додатковими спеціальностями). Кваліфікаційний рівень: бакалавр. Термін навчання: 4 роки. |
||||||||||||||||
|
Курс |
Семестр |
Лекції (годин) |
Практично-семінарські (годин) |
Лабораторних (годин) |
Індивідуальна робота (годин) |
Всього |
Самостійна робота (годин) |
Контроль |
Кредитів |
|||||||
|
Контрольні роботи |
Колоквіуми |
Екзамени |
Заліки |
Курсові |
ІНДЗ |
Кваліфікаційний іспит |
Державний екзамен |
|||||||||
|
1 |
1 |
20 |
26 |
- |
4 |
50 |
46 |
3 |
1 |
+ |
- |
- |
+ |
- |
10 |
|
|
1 |
2 |
24 |
28 |
- |
5 |
57 |
46 |
3 |
1 |
+ |
- |
- |
+ |
- |
10 |
|
|
2 |
3 |
20 |
26 |
- |
7 |
53 |
46 |
3 |
1 |
+ |
- |
- |
+ |
- |
10 |
|
|
Всього: |
64 |
80 |
- |
16 |
160 |
138 |
9 |
3 |
3 |
- |
- |
+ |
- |
10 |
Розподіл годин по семестрах для спеціальності 8.010101- дошкільне виховання, початкове навчання .
|
Курс |
Семестр |
Лекції (годин) |
Практично-семінарські (годин) |
Лабораторних (годин) |
Індивідуальна робота (годин) |
Всього |
Самостійна робота (годин) |
Контроль |
Кредитів |
|||||||
|
Контрольні роботи |
Колоквіуми |
Екзамени |
Заліки |
Курсові |
ІНДЗ |
Кваліфікаційний іспит |
Державний екзамен |
|||||||||
|
1 |
1 |
14 |
20 |
- |
4 |
38 |
18 |
3 |
1 |
- |
+ |
- |
+ |
- |
10 |
|
|
1 |
2 |
16 |
22 |
- |
4 |
42 |
18 |
3 |
2 |
+ |
- |
- |
+ |
- |
10 |
|
|
Всього: |
30 |
42 |
- |
8 |
80 |
36 |
6 |
3 |
1 |
1 |
- |
+ |
- |
10 |
Структура залікового кредиту курсу для спеціальності 8.010102 – початкове навчання.
|
Модулі, змістовні модулі, теми. |
Кількість годин, відведених на: |
|||
|
Лекції |
Практичні заняття |
Індивідуальна робота |
Самостійна робота |
|
|
І семестр |
||||
|
Модуль І (М1). «Множини, відповідності й відношення». |
||||
|
Змістовний модуль 1.1. (ЗМ11): «Множини та операції над ними». |
6 |
8 |
- |
8 |
|
Змістовний модуль 1.2. (ЗМ12): «Відповідності та відношення». |
3 |
6 |
1 |
8 |
|
Змістовний модуль 1.3. (ЗМ13): «Елементи комбінаторики». |
3 |
4 |
1 |
8 |
|
Всього годин на модуль: |
12 |
18 |
2 |
24 |
|
Модуль 2. «Висловлення. Предикати. Теореми». |
||||
|
Змістовний модуль 2.1. (ЗМ21): «Поняття». |
1 |
- |
- |
6 |
|
Змістовний модуль 2.2. (ЗМ22): «Висловлення та предикати». |
6 |
6 |
2 |
8 |
|
Змістовний модуль 2.3. (ЗМ23): «Теореми». |
1 |
2 |
- |
8 |
|
Всього годин на модуль: |
8 |
8 |
2 |
22 |
|
Всього годин за семестр: |
20 |
26 |
4 |
46 |
Структура залікового кредиту курсу для спеціальності 8.010101 – дошкільне виховання, початкове навчання.
|
Модулі, змістовні модулі, теми. |
Кількість годин, відведених на: |
|||
|
Лекції |
Практичні заняття |
Індивідуальна робота |
Самостійна робота |
|
|
1 семестр. |
||||
|
Модуль І (М1). «Множини, відповідності й відношення». |
||||
|
Змістовий модуль І.1. (ЗМ11). «Множини та операції над ними». |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
Змістовний модуль 1.2. (ЗМ12): «Відповідності та відношення». |
2 |
2 |
2 |
1 |
|
Змістовний модуль 1.3. (ЗМ13): «Елементи комбінаторики». |
- |
- |
- |
- |
|
Всього годин на модуль: |
4 |
5 |
4 |
2 |
|
Модуль 2. «Висловлення. Предикати. Теореми». |
||||
|
Змістовний модуль 2.1. (ЗМ21): «Поняття». |
1 |
1 |
1 |
- |
|
Змістовний модуль 2.2. (ЗМ22): «Висловлення та предикати». |
2 |
4 |
2 |
1 |
|
Змістовний модуль 2.3. (ЗМ23): «Теореми». |
1 |
1 |
1 |
- |
|
Всього годин на модуль: |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
Модуль 3. «Різні підходи до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел.». |
||||
|
Змістовний модуль 3.1. (ЗМ31): «Теоретико-множинний підхід до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел». |
1 |
1 |
1 |
- |
|
Змістовний модуль 3.2. (ЗМ32): «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел». |
1 |
1 |
2 |
- |
|
Змістовний модуль 3.3. (ЗМ33): «Натуральне число як результат вимірювання величини». |
1 |
1 |
2 |
- |
|
Всього годин за модуль: |
3 |
3 |
5 |
- |
|
Модуль 4. «Системи числення. Подільність чисел.». |
||||
|
Змістовний модуль 4.1. (ЗМ41): «Системи числення». |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
Змістовний модуль 4.2. (ЗМ42): «Подільність цілих невід’ємних чисел». |
2 |
4 |
2 |
1 |
|
Всього годин за модуль: |
3 |
6 |
4 |
2 |
|
Всього годин за семестр: |
14 |
20 |
17 |
5 |
Теми практичних занять для спеціальності 8.010102 –початкове навчання.
|
№ п/п |
Назва теми заняття |
Кількість годин |
|
1 семестр |
||
|
1. |
Множини. Відношення між множинами. |
2 |
|
2. |
Властивості об'єднання, перерізу, різниці, доповнення множин. |
2 |
|
3. |
Декартів добуток множин і його властивості. |
2 |
|
4. |
Розбиття множини на підмножини. Класифікація. Розбиття на класи за однією, двома, трьома ознаками. |
2 |
|
5. |
Відповідності та відношення. Потужність множин. Рівнопотужні множини. |
2 |
|
6. |
Відношення, їх властивості. Відношення еквівалентності та порядку. |
2 |
|
7. |
Відображення, їх види. Функції. |
2 |
|
8. |
Комбінаторні задачі. правила суми та добутку. Комбінації та їх властивості. |
2 |
|
9. |
Розміщення та перестановки. Розв'язування вправ і задач. |
2 |
|
10. |
Висловлення та дії над ними. |
2 |
|
11. |
Висловлювальна форма. Предикати та дії над ними. Операція навішування квантора. |
2 |
|
12. |
Математичні твердження та поняття. Способи означення понять. Необхідні та достатні умови. |
2 |
|
13. |
Будова і види теорем. Міркування та доведення. |
2 |
|
Контрольна робота № 1. “Множини та операції над ними. Декартів добуток множин.” |
с/р |
|
|
Контрольна робота № 2. “Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики. ”. |
с/р |
|
|
Контрольна робота № 3. “Висловлення та предикати, дії над ними. Теореми.”. |
с/р |
|
|
Всього годин у 1 семестрі: |
26 |
Теми практичних занять для спеціальності 8.010101 – дошкільне виховання, початкове навчання.
|
№ п/п |
Назва теми заняття |
Кількість годин |
|
1 семестр |
||
|
1. |
Множини та дії над ним. |
2 |
|
2. |
Відношення між множинами. |
1 |
|
3. |
Властивості дій над множинами. Декартів добуток множин. |
2 |
|
4. |
Розбиття на класи. Класифікації. |
1 |
|
5. |
Відповідності та відношення. Відношення порядку та еквівалентності. |
2 |
|
6. |
Поняття та відношення між ними. |
1 |
|
7. |
Висловлення та предикати і дії над ними. |
2 |
|
8. |
Властивості дій. |
1 |
|
9. |
Умова логічного слідування. Необхідні і достатні умови. |
1 |
|
10 |
Будова і види теорем. Квантори та їх використання. |
1 |
|
11. |
Теоретико-множинне трактування числа і арифметичних дій. |
2 |
|
12. |
Аксіоматичне означення числа. Метод математичної індукції. |
1 |
|
13. |
Аксіоматичне означення арифметичних дій. Властивості дій. Побудова таблиць додавання і множення. |
1 |
|
14. |
Вимірювання довжини відрізків. Число як міра відрізка. Відношення між числами, які є мірами довжини. |
1 |
|
15. |
Запис чисел в різних недесяткових позиційних системах числення. Виконання дій. |
1 |
|
Всього годин у 1 семестрі: |
20 |
Завдання для самостійної роботи для спеціальності 8.010102 – початкове навчання.
|
№ п/п |
Назва теми занять |
Кількість годин |
|
1. |
Відношення між множинами. |
2 |
|
2. |
Властивості дій над множинами. |
2 |
|
3. |
Декартів добуток множин і його властивості. |
2 |
|
4. |
Розбиття множини на підмножини. Класифікація. Розбиття на класи за однією, двома, трьома ознаками. |
2 |
|
5. |
Відповідності та відношення. Потужність множин. Рівнопотужні множини. |
2 |
|
6. |
Відношення, їх властивості. Відношення еквівалентності та порядку. |
2 |
|
7. |
Відображення, їх види. Функції. |
2 |
|
8. |
Комбінаторні задачі. правила суми та добутку. |
2 |
|
9. |
Комбінації та їх властивості. |
2 |
|
10. |
Розміщення з повтореннями та без повторень. Розв'язування вправ і задач. |
3 |
|
11. |
Перестановки з повтореннями та без повторень. Розв'язування вправ і задач. |
3 |
|
12. |
Висловлення та дії над ними. |
2 |
|
13. |
Операції над висловленнями та властивості операцій над ними. |
2 |
|
14. |
Висловлювальна форма. Операції навішування квантора. |
2 |
|
15. |
Предикати та дії над ними. |
2 |
|
16. |
Математичні твердження та поняття. Способи означення понять. |
2 |
|
17. |
Поняття початкового курсу математики. |
2 |
|
18. |
Необхідні і достатні умови. Умова логічного слідування. |
2 |
|
19. |
Будова і види теорем. |
2 |
|
20. |
Способи доведення теорем. |
2 |
|
21. |
Правильні та неправильні міркування. Міркування та доведення. |
2 |
|
Всього годин за 1 семестр: |
46 |
Завдання для самостійної роботи для спеціальності 8.010101 – дошкільне виховання, початкове навчання.
|
№ п/п |
Назва теми занять |
Кількість годин |
|
1. |
Множини та дії над ними. Відношення між множинами. |
2 |
|
2. |
Властивості дій над множинами. |
2 |
|
3. |
Декартів добуток множин і його властивості. |
2 |
|
4. |
Розбиття множини на підмножини. Класифікація. Розбиття на класи за однією, двома, трьома ознаками. |
2 |
|
5. |
Відповідності та відношення, їх властивості. Рівнопотужні множини. |
2 |
|
6. |
Відношення еквівалентності і порядку. |
2 |
|
7. |
Висловлення та дії над ними. |
2 |
|
8. |
Властивості операцій над висловленнями. |
2 |
|
9. |
Предикати та дії над ними. |
2 |
|
10. |
Необхідні і достатні умови. Умова логічного слідування. |
2 |
|
11. |
Математичні твердження та поняття. Способи означення понять. |
2 |
|
12. |
Поняття початкового курсу математики. |
2 |
|
13. |
Теореми. Будова і види теорем. Міркування та доведення. |
2 |
|
14. |
Теоретико-множинний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел. |
2 |
|
15. |
Теоретико-множинне тлумачення арифметичних дій та їх властивостей. Методика побудови таблиць додавання та множення. |
2 |
|
16. |
Аксіоматичне означення арифметичних дій. Метод математичної індукції. Ділення з остачею. |
2 |
|
17. |
Натуральне число як міра величини. Арифметичні дії над числами, що є мірами довжини відрізка. Величини в початковому курсі математики. |
2 |
|
18. |
Системи числення. Дії у різних позиційних системах числення. Перехід від однієї системи до іншої. |
2 |
|
19. |
Відношення подільності та його властивості. Теореми про подільність. Ознаки подільності. |
2 |
|
20. |
НСД і НСК, їх властивості. Знаходження НСД і НСК. |
2 |
|
21. |
Цілі, раціональні, дійсні числа та дії над ними. |
2 |
|
Всього годин за 1 семестр: |
42 |
Навчальний проект для спеціальності 8.010102 – початкове навчання.
(індивідуальні навчально-дослідні завдання)
|
№ п/п |
Назва (коротка характеристика змісту і вимог до виконання) |
Кількість годин |
|
Тематика рефератів. |
||
|
Зміст, завдання, та теоретико-методичне обґрунтування наступних питань. |
||
|
І семестр |
||
|
1. |
Множини та їх використання в курсі математики початкових класів. |
1 |
|
2. |
Висловлення та їх використання в курсі математики початкових класів. |
1 |
|
3. |
Предикати та їх використання в курсі математики початкових класів. |
1 |
|
4. |
Математичні твердження та їх використання в курсі математики початкових класів. |
1 |
|
Всього годин за І семестр: |
4 |
Розподіл балів за видами занять для спеціальності 8.010101 - початкове навчання.
|
№ п/п |
Зміст перевірки |
Максимальна кількість балів |
|
І семестр |
||
|
Модуль І (М1). «Множини, відповідності й відношення». |
||
|
1. |
ЗМ11: «Множини та операції над ними». |
5 |
|
2. |
ЗМ12: «Відповідності та відношення». |
5 |
|
3. |
ЗМ13: «Елементи комбінаторики». |
5 |
|
Модуль 2. «Висловлення. Предикати. Теореми». |
||
|
4. |
ЗМ21: «Поняття». |
3 |
|
5. |
ЗМ22: «Висловлення та предикати». |
9 |
|
6. |
ЗМ23: «Теореми». |
3 |
|
7. |
Контрольна робота № 1. “Множини та операції над ними. Декартів добуток множин.”. |
10 |
|
8. |
Контрольна робота № 2. “Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики. ”. |
10 |
|
9. |
Контрольна робота № 3. “Висловлення та предикати, дії над ними. Теореми.”. |
10 |
|
10. |
КОЛОКВІУМ № 1: “Множини. Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики”. |
15 |
|
11. |
Довгострокове завдання № 1. Множини та їх використання в курсі математики початкових класів. |
3 |
|
12. |
Довгострокове завдання № 2. Висловлення та їх використання в курсі математики початкових класів. |
3 |
|
13. |
Довгострокове завдання № 3. Предикати та їх використання в курсі математики початкових класів. |
3 |
|
14. |
Довгострокове завдання № 4. Математичні твердження та їх використання в курсі математики початкових класів. |
3 |
|
15. |
Своєчасне та якісне виконання домашніх завдань: |
13 |
|
Всього балів за І семестр: |
100 |
Навчальний проект для спеціальності 8.010101 – дошкільне виховання, початкове навчання (індивідуальні навчально-дослідні завдання).
|
№ п/п |
Назва (коротка характеристика змісту і вимог до виконання) |
Кількість годин |
|
Тематика рефератів. |
||
|
Зміст, завдання, та теоретико-методичне обґрунтування наступних питань. |
||
|
І семестр |
||
|
1. |
Множини та їх використання в курсі математики початкових класів. |
1 |
|
2. |
Висловлення, предикати і математичні твердження та їх використання в курсі математики початкових класів. |
1 |
|
3. |
Кількісні, порядкові та натуральні числа як результат вимірювання величин в курсі математики початкових класів. |
1 |
|
4. |
Системи числення та теорія подільності в курсі математики початкових класів. Дроби в курсі математики І-ІУ класів. |
1 |
|
Всього годин за І семестр: |
4 |
Розподіл балів за видами занять для спеціальності 8.010102- дошкільне виховання, початкове навчання.
|
№ п/п |
Зміст перевірки |
Максимальна кількість балів |
|
І семестр |
||
|
Модуль І. «Множини, відповідності й відношення». |
||
|
1. |
ЗМ11. «Множини та операції над ними». |
4 |
|
2. |
ЗМ12. «Відповідності та відношення». |
3 |
|
3. |
ЗМ13. «Елементи комбінаторики». |
3 |
|
4. |
КОЛОКВІУМ 1: “Множини. Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики”. |
14 |
|
5. |
Контрольна робота № 1. “Множини та операції над ними. Декартів добуток множин.”. |
8 |
|
6. |
Контрольна робота № 2. “Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики. ”. |
8 |
|
7. |
Контрольна робота № 3. “Висловлення та предикати, дії над ними. Теореми.”. |
8 |
|
Модуль 2. «Висловлення. Предикати. Теореми». |
||
|
8. |
ЗМ21. «Поняття». |
2 |
|
9. |
ЗМ22. «Висловлення та предикати». |
3 |
|
10. |
ЗМ23. «Теореми». |
2 |
|
Модуль 3. «Різні підходи до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел.». |
||
|
11. |
ЗМ31. «Теоретико-множинний підхід до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел». |
5 |
|
12. |
ЗМ32. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел». |
2 |
|
13. |
ЗМ33. «Натуральне число як результат вимірювання величини». |
2 |
|
14. |
КОЛОКВІУМ 2: “Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел”. |
14 |
|
15. |
Довгострокове завдання № 1. Множини та їх використання в курсі математики початкових класів. |
3 |
|
16. |
Довгострокове завдання № 2. Висловлення, предикати і математичні твердження та їх використання в курсі математики початкових класів. |
3 |
|
17. |
Довгострокове завдання № 3. Кількісні, порядкові та натуральні числа як результат вимірювання величин в курсі математики початкових класів. |
3 |
|
18. |
Довгострокове завдання № 4. Системи числення та теорія подільності в курсі математики початкових класів. Дроби в курсі математики І-ІУ класів. |
3 |
|
19. |
Своєчасне та якісне виконання домашніх завдань: |
10 |
|
Всього балів за І семестр: |
100 |
Поточний контроль знань студентів реалізується наступними способами:
Максимальна кількість балів, яку студент може отримати при поточному контролі, складається із балів, що отримані за змістовні модулі. Студент не має права перескладати (або відпрацьовувати) завдання поточного контролю (якщо немає поважних для цього причин).
|
Європейська оцінка |
Зміст |
Кількість балів |
|
А |
Відмінне виконання всіх завдань з різними невеликими погрішностями |
5 |
|
В |
Дуже добре, але є невеличкі погрішності |
4 |
|
С |
Добре, але одне із завдань має помилку |
3 |
|
D,E |
Задовільно, тобто в цілому є розуміння матеріалу, але зроблено далеко не все |
2 |
|
FX,F |
Незадовільно (або був відсутнім) |
0 |
Підсумковий контроль у першому семестрі для спеціальності 8.010102 – початкове навчання включає в себе:
Підсумковий контроль у першому семестрі для спеціальності 8.010101 – дошкільне виховання, початкове навчання включає в себе:
Кожна контрольна робота, кожен колоквіум і кожне довгострокове завдання оцінюється відповідною кількістю балів. Таким чином, максимальна кількість балів, яку студент може отримати в кінці семестру, дорівнює 100.
В РДГУ прийнята наступна шкала:
|
Кількість Балів |
Оцінка |
Європейська оцінка |
|
90-100 |
Відмінно |
А |
|
81-89 |
дуже добре |
В |
|
75-80 |
Добре |
С |
|
68-74 |
Задовільно |
D |
|
60-67 |
Достатньо |
E |
|
40-59 |
Незадовільно з можливістю повторного складання |
FX |
|
1-39 |
Незадовільно з обов’язковим повторним курсом |
F |
Якщо у семестрі студент складає залік, то він повинен отримати одну з оцінок А– Е, що відповідає 60-100 балам. При оцінці FX (40-59 балів) він повинен пройти додаткову перевірку (контрольну роботу або тестову перевірку). Якщо його оцінка – F (1-39 балів), то він повинен повторно пройти навчання за програмою цього семестру.
Пільги та штрафні санкції
Розподіл балів, що присвоюються студентам спеціальності 8.010102 – початкове навчання.
|
І семестр |
||||||||||||||
|
Модуль 1 |
Модуль 2 |
КР №1 |
КР №2 |
КР №3 |
Кол. № 1 |
ДЗ №1 |
ДЗ №2 |
ДЗ №3 |
ДЗ №4 |
Дом. завд. |
||||
|
ЗМ11 |
ЗМ12 |
ЗМ13 |
ЗМ21 |
ЗМ22 |
ЗМ23 |
10 |
10 |
10 |
15 |
3 |
3 |
3 |
3 |
13 |
|
5 |
5 |
5 |
3 |
9 |
3 |
Розподіл балів, що присвоюються студентам спеціальності 8.010101 – дошкільне виховання, початкове навчання.
|
І семестр |
||||||||||||||||||
|
Модуль 1 |
Модуль 2 |
Модуль 3 |
Кол. №1 |
Кол. №2 |
КР №1 |
КР №2 |
КР №3 |
ДЗ №1 |
ДЗ №2 |
ДЗ №3 |
ДЗ №4 |
Дом. завд. |
||||||
|
ЗМ11 |
ЗМ12 |
ЗМ13 |
ЗМ21 |
ЗМ22 |
ЗМ23 |
ЗМ31 |
ЗМ32 |
ЗМ33 |
||||||||||
|
4 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
5 |
2 |
2 |
14 |
14 |
8 |
8 |
8 |
3 |
3 |
3 |
3 |
10 |
Робочі навчальні плани з математики.
|
Спеціальність: початкове навчання Кваліфікаційний рівень: бакалавр Термін навчання: 4 роки |
|||
|
ТЕМАТИКА ЗАНЯТЬ |
|||
|
Теми лекції |
Кількість годин |
Теми практичних занять |
Кількість годин |
|
І СЕМЕСТР: лекцій – 20 год. Модуль І. «Множини, відповідності й відношення». ЗМ11. «Множини та операції над ними». ЗМ12. «Відповідності та відношення». ЗМ13. «Елементи комбінаторики». Модуль ІІ. «Висловлення. Предикати. Теореми». ЗМ21. «Поняття». ЗМ22. «Висловлення та предикати». ЗМ23. «Теореми». КОЛОКВІУМ “Множини. Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики”. Контрольна робота № 1. “Множини та операції над ними. Декартів добуток множин.” Контрольна робота № 2. “Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики. ”. Контрольна робота № 3. “Висловлення та предикати, дії над ними. Теореми.”. |
6 3 3 1 6 1 с/р с|р с/р с/р |
І СЕМЕСТР – 26 год. 1. Множини. Відношення між множинами. 2. Властивості об'єднання, перерізу, різниці, доповнення множин. 3. Декартів добуток множин і його властивості. 4. Розбиття множини на підмножини. Класифікація. Розбиття на класи за однією, двома, трьома ознаками. 5. Відповідності та відношення. Потужність множин. Рівнопотужні множини. 6. Відношення, їх властивості. Відношення еквівалентності та порядку. 7. Відображення, їх види. Функції. 8. Комбінаторні задачі. правила суми та добутку. Комбінації та їх властивості. 9. Розміщення та перестановки. Розв'язування вправ і задач. 10. Висловлення та дії над ними. 11. Висловлювальна форма. Предикати та дії над ними. Операція навішування квантора. 12. Математичні твердження та поняття. Способи означення понять. Необхідні та достатні умови. 13. Будова і види теорем. Міркування та доведення. |
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |
|
ІІ СЕМЕСТР: лекцій – 24 години. Модуль ІІІ. «Різні підходи до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел.». ЗМ31. «Теоретико-множинний підхід до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел». ЗМ32. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел». ЗМ33. «Натуральне число як результат вимірювання величини». Модуль ІУ. «Системи числення. Подільність чисел.». ЗМ41. «Системи числення». ЗМ42. «Подільність цілих невід’ємних чисел». Модуль У. «Розширення поняття про число.». ЗМ51. «Цілі числа». ЗМ52. «Раціональні числа». ЗМ53. «Дійсні числа». КОЛОКВІУМ “Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел”. Контрольна робота № 1. “Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. ММІ. Відношення подільності.” Контрольна робота № 2. “НСД і НСК. Дії над звичайними дробами.”. Контрольна робота № 3. “Дії над десятковими дробами. Періодичні дроби.”. |
3 2 2 3 4 2 6 2 с/р |
ІІ СЕМЕСТР – 28 годин. 1. Теоретико-множинний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел. 2. Теоретико-множинне тлумачення арифметичних дій та їх властивостей. 3. Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел. Метод математичної індукції. Аксіоматичне означення арифметичних дій. Ділення з остачею. 4. Натуральне число як міра величини. Арифметичні дії над числами, що є мірами довжини відрізка. Властивості множини цілих невід’ємних чисел. 5. Системи числення. Дії у різних позиційних системах числення. Перехід від однієї системи до іншої. 6. Відношення подільності та його властивості. Теореми про подільність. Ознаки подільності. 7. НСД і НСК, їх властивості. Ознаки подільності на складені числа. 8. Означення і властивості простих і складених чисел. Решето Ератосфена. Канонічна форма запису натурального числа. 9. Основна теорема арифметики. Знаходження НСД і НСК. 10. Цілі числа. Раціональні числа. 11. Дії над раціональними числами. Відношення порядку на множині раціональних чисел. 12. Дії над десятковими дробами. Розв'язування задач на проценти. 13. Перетворення звичайних дробів у десяткові та періодичних дробів у звичайні. 14. Дії над ірраціональними числами. Округлення чисел. |
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |
|
ІІІ СЕМЕСТР: лекцій – 20 годин. Модуль УІ. «Вирази. Рівняння. Нерівності. Функції.». ЗМ61. «Вирази». ЗМ62. «Рівняння, їх системи та сукупності». ЗМ63. «Нерівності, їх системи та сукупності». ЗМ64. «Функції». Модуль УІІ. «Елементи геометрії. Величини.». ЗМ71. «Геометричні побудови на площині». ЗМ72. «Многогранники та тіла обертання». ЗМ73. «Величини та їх вимірювання». КОЛОКВІУМ “Вирази. Рівняння. Нерівності. Функції.” Контрольна робота № 1. “Вирази. Рівняння та їх системи.”. Контрольна робота № 2. “Нерівності та їх системи. Функції.”. Контрольна робота № 3. “Геометричні побудови. Многогранники. Величини.”. |
2 4 3 4 2 2 3 с/р |
ІІІ СЕМЕСТР – 26 годин. 1. Числові та буквені вирази. Знаходження області визначення виразів зі змінною. 2. Тотожні перетворення виразів. Тотожності. Числові рівності та нерівності. 3. Рівняння та нерівності з однією змінною. 4. Системи та сукупності рівнянь з двома змінними. Алгебраїчні способи їх розв'язування. 5. Рівняння з двома змінними. Рівняння прямої і кола. Графічний спосіб розв'язування рівнянь та систем рівнянь з двома змінними. 6. Система та сукупності нерівностей з однією змінною. Графічний спосіб розв'язування нерівностей, систем та сукупностей нерівностей з двома змінними. 7. Застосування рівнянь та їх систем до розв'язування текстових задач. 8. Числові функції. Графіки функцій. 9. Пряма та обернена пропорційність. Лінійна функція. Їх властивості та побудова графіків. 10. Побудова геометричних фігур за допомогою циркуля та лінійки. 11. Довжина та її властивості. 12. Площа та її властивості. Розв'язування задач. 13. Об'єм та його властивості. Розв'язування задач. |
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |
|
Спеціальність: дошкільне виховання, початкове навчання Кваліфікаційний рівень: бакалавр Термін навчання: 4 роки |
|||
|
ТЕМАТИКА ЗАНЯТЬ |
|||
|
Кількість годин |
Кількість годин |
||
|
Теми лекції |
Теми практичних занять |
||
|
І СЕМЕСТР: лекцій – 14 год. Модуль І. «Множини, відповідності й відношення». ЗМ11. «Множини та операції над ними». ЗМ12. «Відповідності та відношення». ЗМ13. «Елементи комбінаторики». КОЛОКВІУМ 1: “Множини. Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики”. Контрольна робота № 1. “Множини та операції над ними. Декартів добуток множин.” Контрольна робота № 2. “Відповідності. Відношення. Елементи комбінаторики. ”. Контрольна робота № 3. “Висловлення та предикати, дії над ними. Теореми.”. Модуль ІІ. «Висловлення. Предикати. Теореми». ЗМ21. «Поняття». ЗМ22. «Висловлення та предикати». ЗМ23. «Теореми». Модуль ІІІ. «Різні підходи до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел.». ЗМ31. «Теоретико-множинний підхід до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел». ЗМ32. «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел». ЗМ33. «Натуральне число як результат вимірювання величини». КОЛОКВІУМ 2: “Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел”. |
2 2 2 с/р с/р c/р с/р 1 2 1 2 1 1 с/р |
І СЕМЕСТР – 24 год. 1.Множини. Відношення між множинами. Властивості об'єднання, перерізу, різниці, доповнення множин. 2. Декартів добуток множин і його властивості. Розбиття множини на підмножини. Класифікація. Розбиття на класи за однією, двома, трьома ознаками. 3. Відповідності та відношення. Потужність множин. Рівнопотужні множини. 4. Відношення, їх властивості. Відношення еквівалентності та порядку. 5. Комбінаторні задачі. правила суми та добутку. Комбінації та їх властивості. Розміщення та перестановки. 6. Висловлення та дії над ними. 7. Висловлювальна форма. Предикати та дії над ними. Операція навішування квантора. 8. Математичні твердження та поняття. Способи означення понять. Необхідні та достатні умови. 9. Будова і види теорем. Міркування та доведення. 10. Теоретико-множинний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел. Теоретико-множинне тлумачення арифметичних дій та їх властивостей. 11. Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел. Метод математичної індукції. Аксіоматичне означення арифметичних дій. Ділення з остачею. 12. Натуральне число як міра величини. Арифметичні дії над числами, що є мірами довжини відрізка. Властивості множини цілих невід’ємних чисел. |
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 |
ПРОГРАМА ДЕРЖАВНОГО ЕКЗАМЕНУ “МАТЕМАТИКА З МЕТОДИКОЮ ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ У ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ”
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
Державний екзамен з математики та методики її викладання у початкових класах є підсумковою формою перевірки готовності випускників до роботи вчителем початкової школи. Він носить комплексний характер і розглядається як єдиний державний екзамен, на якому виставляється єдина оцінка. Цей екзамен є засобом перевірки теоретичної та практичної підготовки випускників до навчання математики молодших школярів. На екзамен з курсу математики виносяться питання, які є теоретичним обґрунтуванням початкового курсу математики, а із курсу методики викладання математики – лише теоретико-методичні основи навчання учнів конкретним темам. Загальні питання методики навчання математики можуть використовуватися при висвітленні теоретико-методичних основ вивчення конкретних питань.
На екзамені випускники повинні продемонструвати розуміння трактування основних понять початкового курсу математики: натуральне число, операції над цілими невід’ємними числами та їх властивості, величини, їх властивості та вимірювання, а також розуміння загальних понять математики: множина відношення, рівняння, нерівність, вираз, геометрична фігура тощо. Вони повинні знати цілі та зміст початкового курсу математики, методи, різні організаційні форми і засоби навчання математики молодших школярів, тенденції подальшого розвитку методики математики, результати найважливіших сучасних методичних досліджень в галузі методики навчання математики. Свої відповіді випускники повинні ілюструвати конкретними прикладами, власними спостереженнями, спираючись на висвітлені у методичній літературі різні підходи до розв’язання цього питання та досвід роботи вчителів-новаторів. Відповідь повинна показати зрілість оціночних суджень, критичність аналізу різних методичних положень. На державному екзамені перевіряються практичні уміння встановлювати мету, математичний і методичний зміст використовуваних завдань із підручників математики для початкових класів, застосовувати теоретичні знання до розв'язування практичних питань, уміння розв'язувати задачі та безпомилково виконувати обчислення, грамотно, логічно і доказово викладати сутність питання, користуючись науковою термінологією та символікою.
Білети для державного екзамену повинні включати три питання: перше із курсу математики, друге із курсу методики викладання математики у початкових класах, третє – це практичне завдання, в якому потрібно описати методику роботи з учнями із запропонованою вправою. При підготовці до державного екзамену студенти-випускники повинні бути ознайомлені з його програмою, вимогами до відповідей, правилами поведінки та своїми обов’язками і правами на ньому.
На екзамені випускники за рішенням Державної екзаменаційної комісії мають право користуватися програмою даного державного екзамену, програмою з математики для спеціальності “Початкове навчання”, програмою з методики викладання математики для спеціальності “Початкове навчання”, типовою та регіональною програмою з математики для початкових класів різних типів шкіл, стабільними та експериментальними підручниками з математики для початкових класів, дидактичними матеріалами та наочними посібниками до уроків математики у початкових класах.
ПРОГРАМА ДЕРЖАВНОГО ЕКЗАМЕНУ З МАТЕМАТИКИ
ПРОГРАМА ДЕРЖАВНОГО ЕКЗАМЕНУ З МЕТОДИКИ ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ У ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ДО КУРСУ МАТЕМАТИКИ
ОСНОВНА ЛІТЕРАТУРА
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
МЕТОДИЧНІ ПОСІБНИКИ
Навчальне видання
Сілков В.В. Математика. Курс лекцій. Ч.І. //Методичні вказівки до вивчення курсу математики. Для студентів спец. № 8.01.01.02 “Початкове навчання”, № 8.01.01.01 “Дошкільне виховання, початкове навчання”. – Рівне, РДГУ, 2006. – 86 с.
Відповідальний редактор: проф. В.В.Сілков
Відповідальний за випуск: проф. В.В.Сілков
Технічний редактор: Л.Б. Момотюк
Комп’ютерна верстка: Л.Б.Момотюк
Підписано до друку . . 2006р.
Формат 60х84 1/16. Папір друкарський.
Умовн. друк. арк.
Тираж 100 примірників
Інформаційно-видавничий відділ
Рівненського державного гуманітарного університету
33028, м. Рівне, вул. С.Бандери 12
B
В
К
ВС
B
U
В
U
U
U
А
А
U
А
U
В
А
В
А
U
U
В
ТАВ
Х
В
А
(ромб)
видове поняття
Паралелограм
(родове поняття)
B
U
U
B
U
А
(мати рівні сторони)
ТВ
ТА
Квадрат
Паралелограм
. 2
. 4
. 6
. 8
и
В
А
А
В
А
U
U
А
С
С
А
В
В
U
U
В
А
В
А
ТВ
ТА
Х
ТВ
ТА
Х
ТА
Х
ТВ
ТА
Х
А
В
В
С
Прямокутник
Квадрат Ромб
4
5
3
2
1
М
Р
M
S
Р
S
Р
М
S
S
М
Р
В
С
А