Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Ярославский государственный университет
им. П.Г.Демидова
Физический факультет
Кафедра общей и экспериментальной физики
М.Н.Преображенский
Ф И З И К А
Ярославль 2011
ВВЕДЕНИЕ
Физика и ее место среди других наук. Методы познания в науке
Среди естественных наук, т.е. наук изучающих природу, можно выделить три: физику, химию и биологию. Физика изучает явления неорганического мира. Состав веществ, как правило, не меняется. Химия рассматривает превращения в неорганическом мире, а также и органические соединения. Биология занимается изучением живого мира.
Естественно, что в настоящее время это деление становится все более и более условным и провести четкие границы нельзя. Появляются новые науки на стыке выше перечисленных: физхимия, биохимия, биофизика.
Физика играет в этом ряду особую роль. Основные законы, введенные в физике – законы сохранения энергии, импульса, заряда – имеют всеобщий характер и действуют как в живой, так и в неживой материи. Физику в этом отношении можно рассматривать как основу всех наук. Химия занимается более сложными формами движения материи, а биология изучает наиболее сложные проявления материи. Высшие формы движения материи включают в себя формы низшего порядка, но помимо того в них появляется что-то принципиально новое.
Основные законы физики, смысл которых мы хорошо понимаем, как правило, отличаются изяществом и простотой, например . Все они были открыты в итоге кропотливой, искусной экспериментальной работы. Основной метод исследования в физике это опыт, т.е. наблюдение исследуемого явления в строго контролируемых условиях, позволяющих воспроизвести его каждый раз при повторении. На первых стадиях открытия новых законов привлекаются гипотезы – это научные предположения, выдвигаемое для объяснения какого-либо экспериментального факта. Гипотеза прошедшая всестороннюю проверку и подтверждение, превращается в закон, а ряд объединенных законов в теорию. Теория представляет систему основных идей и закономерностей развития природы. Так, например теория электромагнитных волн Максвелла включает в себя законы электромагнитной индукции Фарадея, теорему Гаусса для электрических и магнитных зарядов и закон Ампера.
Построение классической физики было завершено в начале ХХ столетия и многим казалось, что они могут объяснить очень многое. Однако были два явления, которые классическая физика объяснить не смогла. Во-первых, это тепловое излучение абсолютно черного тела и, во-вторых, противоречивое поведение эфира. Первую проблему решила квантовая механика. Впервые М. Планк ввел представление об излучении света порциями-квантами. Решение второй проблемы привело к созданию А. Эйнштейном общей теории относительности, основным постулатом которой было постоянство скорости света.
Однако развитие теории относительности и квантовой механики не умаляют роли классической или общей физики. Их законы носят более общий характер, но они переходят в законы классической физики при соответствующих предельных переходах.
Пространственная область, изучением которой занимается физика лежит от самых малых величин – 10-8 см (размер атома) до самых огромных 1080 см (размер Вселенной).
В программу предмета «Физика» входят следующие разделы:
механика;
колебания и волны;
молекулярная физика и термодинамика;
электричество и магнетизм;
оптика;
основы атомной, ядерной и квантовой физики.
Часть I. МЕХАНИКА
Глава 1. КИНЕМАТИКА
1.1. Общие понятия
Кинематика занимается описанием законов движения, не касаясь причин вызывающих это движение.
Механическим движением является перемещение тела относительно других тел. Простейшие виды движения это поступательное и вращательное движения. В первом случае прямая, соединяющая две любые точки тела перемещается параллельно самой себе, а во втором – все точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой – оси вращения.
Движение всегда должно происходить относительно других тел, т.е. не имеет смысла говорить о движении в пространстве, где нет других тел. Кроме этого движение происходит во времени. Для описания движения необходимо ввести понятие системы отсчета. Система отсчета – совокупность неподвижных друг относительно друга тел, относительно которых рассматривается движение и отсчитывающих время часов. Систем отсчета может существовать бесконечное множество и движение в каждой из них может иметь различный характер.
Для более детального описания движения с каждой системой отсчета необходимо связать систему координат, например декартову: три взаимно перпендикулярных направления и соответствующий масштаб для измерения расстояний. Поскольку мы коснулись проблемы измерений, рассмотрим ее немного подробнее. Измерить какую-либо физическую величину – значит сравнить ее с выбранным заранее эталоном. В принципе эталон можно выбрать для каждой величины, но очевидно, что различные величины связаны между собой определенными соотношениями или законами. Минимальный набор эталонов, при помощи которого можно представить любую другую величину (всего их 7) называют системой единиц. Системы, включающие в себя в качестве минимального набора таких величин единицы длины, массы и времени называются абсолютными. В настоящее время в физике принята международная система единиц СИ, где в качестве единицы длины взят метр, массы – килограмм, времени – секунда. Размерности длины, массы, времени обозначаются соответственно буквами L, M, T. Размерности других физических величин записываются через них, например, следующим образом: [V] = L/T = LT-1, [F] = ML/T2 = MLT-2 и т.д.
Для упрощения описания ряда процессов использууются некоторые физические абстракции, такие как материальная точка – это точка где сконцентрирована вся масса тела, а размеры ее пренебрежимо малы по сравнению с другими размерами системы, абсолютно твердое тело – тело, расстояние между любыми точками которого не меняется и.т.д. Описать движение тела – это значит, в каждый момент времени определить координаты каждой его точки и ее скорость.
1.2. Векторные величины. Действия над векторами
Очень многие величины в физике являются векторами. Вектором называется величина, характеризующаяся численным значением (модулем) и направлением; сложение векторов происходит по правилу параллелограмма. Обозначаются вектора в печатных изданиях жирными, как правило, латинскими буквами (a, b, c, F, G …) или над буквой ставится стрелка . Численное значение вектора называется его модулем и характеризует длину отрезка: а = а.
Рис. 1.1
Умножение вектора на число. Произведением вектора а на число является вектор b, модуль которого b=a, а направление совпадает с направлением вектора а, если больше нуля и противоположно, если меньше нуля. Все сказанное пояснено на рис. 1.1, а. Нетрудно заметить, что умножение на –1 изменяет направление вектора на противоположное.
Из правила умножения вектора на число следует, что для любй вектор можно представить, как:
а = аea , (1.1)
где а – модуль вектора а, а ea – вектор с модулем равным 1 и по направлению совпадающий с вектором а. Называется он единичным вектором или ортом вектора а. Для единичного вектора соответственно можно записать:
ea = а/а. (1.2)
Единичные вектора или орты можно сопоставлять не только векторам, но и любым направлениям, например осям координат – ex, ey, ez, нормали к поверхности – en (или n), касательной к кривой – e.(или ).
Сложение и вычитание векторов. Как уже говорилось в определении, векторы складываются по правилу параллелограмма (рис. 1.1, б), однако из этого рисунка видно, что для сложения двух векторов a и b можно отложить второй вектор из конца первого. Вектор суммы с тогда будет направлен из начала первого вектора в конец второго. Особенно удобно пользоваться этим правилом при сложении более чем двух векторов (рис. 1.2, в).
Два вектора считаются равными друг другу, если равны их абсолютные значения, а направления совпадают. Легко показать, что a+ba+b. При работе с векторами, их можно параллельно переносить из одной точки в другую, сохраняя при этом их длину.
Разность двух векторов a и b просто получить, если к вектору а прибавить вектор b, умноженный на (–1), рис 2, г:
a – b = a + (–1)b. (1.3)
Аналогично модулю суммы, модуль разности векторов не равен разности модулей векторов.
Проекция вектора на направление. Направление, в отличие от вектора не имеет численного значения, а задает только направление. Обозначается обычно буквами l, m, n … Проекция вектора а на направление l это число:
аl = асos . (1.4)
Проекция вектора на направление может быть больше нуля, если угол находится в пределах от 0 до 90, равна нулю, если угол равен 90 и отрицательна, если угол находится в пределах от 90 до 180 (рис. 1.2).
a
al > 0 al = 0 al < 0 l
Рис. 1.2.
Представление вектора через его проекции на оси координат. Если рассмотреть проекции произвольного вектора а на оси координат (рис. 1.3, а), то очевидно, что он может быть записан следующим образом:
a = axex+ ayey+ azez, (1.5)
где ex,ey иez – единичные вектора соответствующих координатных осей.
а б в
Рис. 1.3.
Особо следует выделить так называемый радиус-вектор – это вектор, проведенный в произвольную точку пространства Р из начала координат
(рис. 1.3, б). Он запишется следующим образом:
r = xex+ yey+ zez. (1.6)
Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произведением векторов a и b является число
с = ab сos = аb b = a ba , (1.7)
где – угол меду направлениями векторов. Здесь учтено, что aсos = аb, и
b сos = ba Так же, как и проекция вектора на направление, скалярное произведение может быть больше нуля, меньше нуля или равно нулю в зависимости от значения угла .
Векторное произведение двух векторов. Векторным произведением векторов a и b является вектор с, модуль которого
с = ab sin, (1.8)
а направлен он перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора a и b в сторону, определяемую правилом буравчика при вращении его от вектора a к вектору b, рис. 1.3, в. Векторное произведение можно записать следующим образом:
c = n a b sin, (1.9)
где n – единичный вектор, направленный по нормали к поверхности в направлении, определяемом, как было сказано выше.
1.3. Производная
Производная функции. Пусть задана некоторая произвольная функция Y = f(х), рис. 1.4, а.
Производной функции df(x)/dx или f является предел, к которому стремится отношение приращения функции f(x)=f(x+x)–f(x) к приращению аргумента x при x стремящемся к нулю:
df(x)/dx = f = lim (f(x+x) – f(x))/x = lim f/x. (1.10)
x0 x0
Из геометрических построений очевидно, что производная равна тангенсу угла наклона касательной в рассматриваемой точке, рис. 1.4, б: f/х это тангенс угла . При стремлении х к нулю точка А будет стремится к точке О, а угол будет стремится к углу касательной.
В большинстве случаев в физике имеют дело с величинами, изменяющимися со временем. В этом случае производная по времени имеет специальное обозначение в виде точки над обозначением величины, например V будет обозначать производную от скорости по времени.
Если берется производная от производной, то она называется второй производной от исходной величины, например, d(df/dt)/dt = d2f/dt2 = f.
Производная вектора. Очевидно, что если вектор записан через его проекции на оси координат (1.5), то его производная будет:
a = axex+ ayey+ azez, (1.11)
поскольку единичные вектора по осям координат не изменяются. В тоже время, как отмечалось ранее, любой вектор можно записать через его единичный вектор (1.1): а = аea. Поскольку от времени в общем случае могут зависеть как модуль а – а(t), так и направление а – ea(t), то для производной вектора нужно написать:
a(t) = а(t)ea(t) + а(t)ea(t). (1.12)
В этом выражении первое слагаемое представляет собой производную модуля вектора a умноженную на единичный вектор ea и направлено так же, как а. Второе же слагаемое равно модулю вектора а, умноженному на производную единичного вектора в рассматриваемый момент времени.
Очевидно, что единичный вектор может изменяться только по направлению, то есть только поворачиваться. Если за промежуток времени tединичный вектор ea(t) повернется на угол , рис. 1.5. При малом угле модуль вектора ea будет примерно равен углу, причем, чем меньше угол, тем точнее будет выполняться равенство ea . Таким образом, вектор ea можно записать через его единичный вектор:
ea ee. (1.13)
При 0 единичный вектор ee будет стремится к направлению перпендикулярному ea(t) то есть e. Производная вектора ea(t) согласно определению равна:
dea(t)/dt = lim ea/dt = (lim /dt)e = (d/dt) e = e (1.14)
t 0 t 0
Величина = d/dt является угловой скоростью вращения вектора а, вектор e лежит в плоскости, в которой происходит вращение и направлен в сторону вращения.
1.4. Траектория, путь, перемещение, скорость
В декартовой системе координат положение тела в каждый момент времени определяется тремя координатами x, y, z или радиус-вектором r . Число независимых координат, полностью определяющих положение тела, называется числим степеней свободы. Для материальной точки оно равно трем. Таким образом, для материальной точки в общем случае задача кинематики сводится к определению x(t), y(t) и z(t) или r(t).
При своем движении материальная точка движется вдоль некоторой линии, называемой траекторией, рис. 1.6. По виду траектории можно выделить два частных случая движения: прямолинейное движение и движение по окружности определенного радиуса. В общем случае криволинейного движения в каждый момент времени можно считать, что движение происходит по окружности, касательной к траектории в данной точке. Расстояние, пройденное точкой по траектории, называется путь (s). Путь это скалярная величина.
Перемещением называется вектор r, проведенный из начальной точки пути, например точки 1 на рис. 1 в точку 2. Очевидно, что
r= r2 – r1 = r(t + t) – r(t ) (1.15)
для малых перемещений. Величина
Vср = s/t (1.16)
носит название средней скорости, которая равна пути, деленному на время, за которое этот путь пройден.
Мгновенная скорость в физике является вектором и определяется как
V = lim r/t = dr/dt, (1.17)
t 0
то есть, является производной по времени от радиус-вектора материальной точки. Можно показать, что для модуля скорости справедливо равенство:
V = ds/dt. (1.18)
Для малого перемещения, исходя из (1.15.) можно записать: dr = Vdt.
Вектор скорости можно записать через его проекции на оси координат:
V = Vxex + Vyey + Vzez = dr/dt = (dx/dt)ex + (dy/dt)ey + (dz/dt)ez. (1.19)
То есть проекции вектора скорости на оси координат равны производным по времени соответствующих координат. Модуль скорости
. (1.20)
Таким образом, если известен закон изменения координат, в каждый момент времени мы можем определить значение скорости точки.
С другой стороны, зная значение скорости материальной точки в каждый момент времени, можно найти пройденный путь. Разобьем промежуток времени, за который надо определить пройденный путь на N
Рис. 1.7 . Рис. 1.8.
равных промежутков t = (t2 – t1)/N (рис. 1.7). Весь путь сложится из путей, пройденных на отдельных участках:
N
s = s1 + s2 + s3 + … sN = si . (1.21)
i=1
Для пути на каждом участке можно написать si Viti и тогда (1.21) примет вид:
N
s Viti , (1.22)
i=1
или устремив N к , (или t к 0) получим точное равенство:
N t2
s = lim Viti = V(t)dt. (1.23)
i=1 t1
Полученное выражение является определенным интегралом от функции V(t) взятым на интервале от t1 до t2. Из рис. 1.7 видно, что пройденный путь (интеграл от скорости) численно равен площади под кривой. Пользуясь (11), можно определить среднее значение скорости за промежуток времени от t1 до t2:
t2
<V> = s/(t2 – t1) = V(t)dt/(t2 – t1). (1.24)
t1
Аналогичным образом находятся средние значения любых функций.
1.5. Ускорение
Скорость материальной точки, также как и ее положение, может изменяться во времени как по величине, так и по направлению. Скорость изменения любой физической величины характеризуется производной. Скорость изменения скорости называется ускорением, которое будем обозначать буквой а. Таким образом, ускорение будет равно производной скорости по времени:
a = lim V/t = dV/dt = d2r/dt2 . (1.25)
t 0
В последнем равенстве учтено, что скорость является производной радиус-вектора, т.е. ускорение является второй производной r по времени. Как видно, ускорение играет по отношению к скорости туже роль, что скорость по отношению к радиус-вектору.
Для проекций ускорения на оси координат можно записать:
ax = dVx/dt = d2x/dt2, ay = dVy/dt = d2y/dt2 , az = dVz/dt = d2z/dt2,. (1.26)
а само ускорение и его модуль будут:
а = аxex + аyey + аzez , . (1.27)
Ускорение можно представить и другим способом. Как отмечалось ранее, любой вектор можно представит через его единичный вектор, умноженный на модуль. Поскольку направление скорости совпадает с направлением касательной к траектории V = Vev = V. Тогда для ускорения получим:
a = dV/dt = d(V)/dt = (dV/dt) + V(d/dt) = a + an, (1.28)
где a = (dV/dt) – тангенциальное ускорение, которое направлено по касательной к траектории и по величине ранво скорости изменения модуля скорости, а an = V (d/dt) – нормальное ускорение. Как было показано ранее, производная единичного вектора – это вектор, направленный перпендикулярно (нормально) к исходному и по модулю равный скорости его вращения d/dt.
d/dt = (d/dt) e = (d/dt) en (1.29)
Найдем теперь модуль an. Согласно (1.29) и учитывая, что d можно выразить через радиус окружности, касательной в данной точке к траектории и скорость: d = ds/R = Vdt/R (Рис. 1.8)
an= V d/dt = V (Vdt/R)/dt = V2/R. (1.30)
Модуль полного ускорения в этом случае запишется:
(1.31)
Необходимо отметить, что нормальное ускорение согласно (1.30) при одинаковом модуле скорости будет тем больше, чем меньше радиус окружности касательной к траектории в данной точке. При равномерном движении по окружности нормальное ускорение будет направлено к центру окружности. Ускоренное движение по прямой будет иметь только тангенциальную составляющую.
По аналогии с перемещением и скоростью можно записать:
t2
V12 = a(t)dt (1.32)
t1
1.6. Кинематика вращательного движения
Для придания общности физическим законам, связанным с вращательным движением, поворот на некоторый угол изображают в виде отрезка, направленного по правилу буравчика вдоль оси вращения и имеющего длину равную . Подобные величины носят название псевдовекторных величин (в отличие от векторов они не складываются по правилу параллелограмма).
Величина
= lim /t = d/dt (1.33)
t0
называется угловой скоростью материальной точки, направлена вдоль оси вращения, а ее направление определяется направлением вращения по
правилу буравчика и она также является псевдо-вектором (рис. 1.9). Модуль угловой скорости, как следует из (1.33.) равен d/dt. Вращение с постоянной скоростью называется равномерным, в этом случае = d/dt = const, = t.
Угловая скорость показывает на какой угол совершается поворот в единицу времени. Такое движение можно характеризовать временем, за которое совершается один полный оборот – Т, называется периодом вращения и частотой – v – показывающей сколько оборотов совершается в единицу времени:
v = 1/Т, = 2/Т = 2v. (1.34)
Угловая скорость может меняться как за счет изменения скорости вращения, так и за счет изменения поворота оси вращения. Изменение угловой скорости характеризуется величиной, которую называют угловым ускорением:
= lim /t = d/dt (1.35)
t 0
Угловое ускорение тоже является псевдовектором (рис 1.9, б).
Для вращающегося тела все точки имеют одну и туже угловую скорость и угловое ускорение. Линейные же скорости и ускорения для различных точек зависят от расстояния R данной точки до оси вращения:
V = R, a = R. (1.36)
Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. Общие понятия
Кинематика давала описание движения тел, не затрагивая вопроса о причине вызывающей это движение.
В отличие от этого динамика изучает движение тел в связи с теми причинами (взаимодействиями между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения.
В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г.
Законы Ньютона (как и все остальные фундаментальные физические законы) возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают. Многие физики XIX столетия были убеждены, что объяснить любое физическое явление означает свести его к механическому процессу, подчиняющемуся законам Ньютона. Однако с развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики. Эти факты получили свое объяснение в новых теориях: специальной теории относительности и квантовой механике.
В специальной теории относительности (Эйнштейн, 1905 г.) подверглись радикальному пересмотру ньютоновские представления о пространстве и времени. Этот пересмотр привел к созданию «механики больших скоростей» или, как ее называют, релятивистской механики. Уравнения релятивистской механики в пределе (для скоростей, малых по сравнению со скоростью света) переходят в уравнения классической механики. Таким образом, классическая механика вошла в релятивистскую как ее частный случай движений, происходящих со скоростями значительно меньших скорости света. Таким образом, классическая механика, основывающаяся на законах Ньютона, является механикой тел больших (по сравнению с массой атомов) и масс, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света) скоростями.
2.2. Виды взаимодействия и сил в природе
Как было отмечено, динамика изучает движение тел в связи с причинами (взаимодействиями) их вызывающими. Таким образом, в первую очередь необходимо познакомиться с этими взаимодействиями, которые могут вызвать движение.
В настоящее время считается, что в природе существует четыре вида фундаментальных взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. Фундаментальными называют взаимодействия, которые не могут быть сведены к другим, более простым видам взаимодействия.
Все процессы и явления в природе происходят в результате этих взаимодействий.
Гравитационное взаимодействие универсально: в нем участвуют все тела и элементарные частицы.
В электромагнитном взаимодействии участвуют только заряженные частицы.
Слабое взаимодействие присуще всем частицам, кроме фотона, оно отвечает за распад ядер.
Сильное взаимодействие определяет связи только между адронами, оно отвечает за устойчивость ядра.
В таблице они расположены в порядке увеличения их относительной интенсивности. Там же указаны их радиусы действия и частицы в них участвующие
|
Вид |
Взаимодействующие частицы |
Радиус |
Относительная интенсивность |
|
Гравитационное |
Все |
|
1 |
|
Слабое |
Все, кроме фотона |
10-17 |
1032 |
|
Электромагнитное |
Заряженные частицы |
|
1036 |
|
Сильное |
Адроны |
10-15 |
1038 |
Сильное и слабое взаимодействия являются короткодействующими. Их интенсивность быстро убывает при увеличении расстояния между частицами.
Электромагнитное и гравитационное взаимодействия являются дальнодействующими. Такие взаимодействия медленно убывают при увеличении расстояния между частицами и не имеют конечного радиуса действия.
Мерой воздействия на тело является сила.
В рамках классической механики имеют дело с гравитационными и электромагнитными взаимодействиями и силами. Другие силы: упругие силы и силы трения определяются характером взаимодействия между молекулами вещества. Силы взаимодействия между молекулами имеют электромагнитное происхождение. Следовательно, упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными.
2.3. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Системы, в которых этот закон выполняется, носят название инерциальных. Сам закон называют иногда законом инерции.
Таким образом, первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно, очевидно, будет двигаться с ускорением. Система отсчета, в которой первый закон Ньютона не выполняется, называется неинерциальной системой отсчета. Инерциальных систем существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью), будет также инерциальной.
С большой степенью точности инерциальной системой можно считать гелиоцентрическую систему отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды.
Земля движется относительно Солнца и звезд по криволинейной траектории, имеющей форму эллипса. Криволинейное движение всегда происходит с некоторым ускорением. Кроме того, Земля совершает вращение вокруг своей оси. По этим причинам система отсчета, связанная с земной поверхностью, движется с ускорением относительно гелиоцентрической системы отсчета и не является инерциальной. Однако ускорение такой системы настолько мало, что в большом числе случаев ее можно считать практически инерциальной. Но иногда неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, оказывает существенное влияние на характер рассматриваемых относительно нее механических явлений. К таким случаям относится возникновение сил Кориолиса, циклонов и антициклонов и.т.д.
2.4. Масса и импульс тела
Проведем мысленно следующий эксперимент. Одинаковым воздействием подействуем на два разных тела. Окажется, что после прекращения воздействия тела будут иметь разные скорости, рис. 2.1. Свойство тел «противится» попыткам изменить его состояние движения называется инертностью и количественно характеризуется величиной, называемой массой.
Рис. 2.1.
Чтобы определить массу некоторого тела, нужно сравнить ее с массой тела, принятого за эталон массы. Можно также сравнить массу данного тела с массой некоторого тела с уже известной массой (определенной путем сравнения с эталоном). Операцию сравнения масс m1 и m2 двух материальных точек (частиц) можно осуществить на основании описанного опыта.
Пусть первое тело с массой m1 в результате воздействия приобрело скорость V1, а второе тело с массой m2 – скорость V2 (до воздействия скорости были равны нулю). Опыт дает, что m1V1 = m2V2, или, учитывая, что начальные скорости были равны, можно записать:
m1V1 = m2V2. (2.1)
В классической механике масса тела предполагается постоянной величиной, не зависящей от скорости тела. Воспользовавшись постоянством массы, равенство (3) можно представить следующим образом:
(m1V1) = (m2V2). (2.2)
В различные физические законы и уравнения часто входит именно произведение массы и скорости, поэтому данная величина получила специальное название – импульс и обозначение – р. Импульс, как и скорость, – вектор:
р = mV. (2.3)
Данное определение справедливо для материальных точек (частиц) и протяженных тел, движущихся поступательно.
В некоторых изданиях пользуются устаревшим названием импульса – количество движения тела.
2.5. Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона гласит, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе F:
dp/dt = F. (2.4)
Заменив в уравнении (6) р на mV получим:
d(mV)/dt = m (dV/dt) = m(d2r)/dt2 = F. (2.5)
Таким образом, зная силу, действующую на тело, можно определить характер его движения r(t). Поэтому второй закон Ньютона в виде (2.5) называют уравнением движения.
Если в (2.5) заменить dV/dt на ускорение тела а, получится еще один вид закона:
d(mV)/dt = mа = F, (2.6)
или словами: произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе.
В частном случае, когда F = 0 (т. е. при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел), ускорение, как следует из (2.6), также равно нулю. Этот вывод совпадает с утверждением первого закона Ньютона. Поэтому первый закон входит во второй как его частный случай. Несмотря на это, первый закон формулируется независимо от второго, так как в нем, кроме того, заключается постулат о существовании инерциальных систем отсчета.
2.6. Третий закон Ньютона
Всякое действие тел друг на друга в природе носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой F12 то и тело 2 в свою очередь действует на тело 1 с силой F21. Третий закон Ньютона при этом утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению. Используя приведенные выше обозначения сил, содержание третьего закона можно представить в виде равенства:
F12 = – F21. (2.7)
Из третьего закона Ньютона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу, можно сопоставить равную ей по величине и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу, взаимодействующему с данным.
На рис. 2.2 в качестве примера приведены гравитационные силы, действующие между двумя телами массами m1 и m2, находящимися на расстоянии r друг от друга.
2.7. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея
Преобразования Галилея связывают значения координат и скоростей материальной точки в двух системах отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью V0. Одну из этих систем, обозначенную на
рис. 2.3 буквой К, будем считать неподвижной. Тогда вторая система К будет двигаться прямолинейно и равномерно относительно К. Выберем координатные оси x, y, z системы K и оси x, y, и z системы К так, чтобы оси x и x, совпадали, а оси y, и y, а также z и z были параллельны друг другу. Найдем связь между координатами x, y, z некоторой точки Р в системе К и координатами x, y, и z той же точки в системе К. Если начать отсчет времени
с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как видно из рис. 3, x = x +V0t, y = y, z = z. Добавив к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течет одинаковым образом, то есть t = t, получим совокупность четырех уравнений:
x = x +V0t, y = y, z = z, t = t, (2.8)
называемых преобразованиями Галилея для координат и времени.
Первое и последнее из соотношений (10) оказываются справедливыми лишь при значениях V0 , малых по сравнению со скоростью света в вакууме, которую мы будем обозначать буквой С (V0<<C). При V0 сравнимых c C преобразования Галилея должны быть заменены более общими преобразованиями Лоренца. Продифференцировав соотношения (2.8) по времени, найдем связь между скоростями точки P по отношению к системам отсчета K и K:
dx/dt = dx/dt + V0 или Vx = Vx + V0,
dy/dt = dy/dt или Vy = Vy , (2.9)
dz/dt = dz/dt или Vz = Vz .
Три скалярных соотношения (2.9) эквивалентны следующему соотношению между вектором скорости V по отношению к системе K и вектором скорости V по отношению к системе K.
V = V + V0 (2.10)
Формулы (2.9) и (2.10) дают правило сложения скоростей в классической механике. Следует иметь в виду, что соотношение (2.10), как и любое другое векторное соотношение, остается справедливым при произвольном выборе взаимных направлений координатных осей систем K и K. Соотношения же (2.9) выполняются только при выборе осей, показанном на рис. 2.3.
Как уже отмечалось, любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы с постоянной скоростью, будет также инерциальной. Теперь мы имеем возможность доказать это утверждение. Для этого продифференцируем по времени соотношение (2.10). Учтя, что V0 постоянна, получим:
dV/dt = dV/dt или a = a. (2.11)
Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому если одна из этих систем инерциальна (это значит, что при отсутствии сил a = 0), то и остальные будут инерциальными (a также равно нулю).
Сила F, действующая на частицу в системе К, совпадает с силой F, действующей на частицу в системе К: F = F. Это следует из того, что сила зависит от расстояний между данной частицей и действующими на нее частицами (и, возможно, от относительных скоростей частиц), а эти расстояния (и скорости) полагаются в ньютоновской механике одинаковыми во всех инерциальных системах. Масса также одинакова во всех системах.
Из всего сказанного следует вывод, что уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны: ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Находясь, например, в вагоне поезда, движущегося без толчков прямолинейно и равномерно, мы, не выглянув в окно, не сможем определить, движется вагон или покоится. Свободное падение тел, движение брошенных нами тел и все другие механические процессы будут в этом случае происходить так же, как и в случае, если бы вагон был неподвижен. Указанные обстоятельства были выяснены еще Галилеем. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно, носит название принципа относительности Галилея.
8. Упругие силы
Как уже отмечалось, силы упругости сводятся к электромагнитным фундаментальным взаимодействиям. Под действием приложенных к телу сил оно деформируется, то есть изменяет свои размеры и форму. При этом изменяется расстояния между атомами. В результате возникают дополнительные силы притяжения или отталкивания между ними. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого конкретного материала предел.
0 Fx х
Fx 0 х
а
б 0 х
Рис. 2.4.
2.8.1. Деформация растяжения – сжатия
Возьмем пружину, имеющую в недеформированном состоянии длину l, и приложим к ее концам равные по величине, противоположно направленные силы F1 и F2 (рис.2.4, а). Под действием этих сил пружина растянется на некоторую величину l, после чего наступит равновесие. В состоянии равновесия внешние силы F1 и F2 будут уравновешены упругими силами, возникшими в пружине в результате деформации. Опыт дает, что при небольших деформациях удлинение пружины l оказывается пропорциональным растягивающей силе, а соответственно упругая сила оказывается пропорциональной удлинению пружины:
F = kl (2.12)
Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом жесткости пружины.
Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука.
Упругие натяжения возникают во всей пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой, определяемой формулой (2.12). Поэтому, если разрезать пружину пополам, та же по величине упругая сила будет возникать в каждой из половин при в два раза меньшем удлинении. Отсюда заключаем, что при заданных материале пружины и размерах витка величина упругой силы определяется не абсолютным удлинением пружины l, а относительным удлинением l/l при сжатии пружины также возникают упругие натяжения, но другого знака. Обобщим формулу (1) следующим образом. Закрепим один конец пружины неподвижно (рис. 2.4, б), а удлинение пружины будем рассматривать как координату х другого конца, отсчитываемую от его положения, отвечающего недеформированной пружине. При растяжении х будет положительным, а при сжатии – отрицательным. Кроме того, обозначим проекцию упругой силы Fynp на ось х через Fx. Тогда можно написать, что
Fx = – kx. (2.13)
При этом проекция упругой силы на ось х и координата х всегда имеют разные знаки.
Однородные стержни ведут себя при одностороннем растяжении или сжатии подобно пружине. Если один конец стержня закрепить, а к другому приложить силу F, действие ее равномерно распределено по всему сечению и длина стержня l0 получит положительное (при растяжении) либо отрицательное (при сжатии) приращение l, рис. 2.5. Изменение длины стержня сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров стержня.
Рис. 2.5. Рис. 2.6.
В качестве величины, характеризующей деформацию стержня, естественно взять относительное изменение его длины:
= l/l0. (2.14)
Опыт дает, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади S поперечного сечения стержня:
= F/S, (2.15)
где – коэффициент пропорциональности.
Величина, равная отношению силы к величине площади S поверхности, на которую действует сила, называется напряжением. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела и весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным или сдвиговым. Нормальное напряжение принято обозначать буквой , тангенциальное – буквой .
Соотношение (2.15) при этом примет вид:
= F/S = = /Е. (2.16)
В соотношении (5) использована характеристика упругих свойств материала 1/ = Е, которая называется модулем Юнга. Измеряется эта величина в паскалях (1 Па=1 Н/1 м2). Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице, то есть длина изменяется в два раза. Практически материалы разрушаются при значительно меньших деформациях.
2.8.2. Деформация сдвига
Пример деформации сдвига изображен на рис. 2.6. Рассмотрим однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда. Если одну его грань закрепить, а к противоположной приложить силу F, данная сила создаст в любом сечении тела тангенциальное напряжение = F/S (S – площадь грани, к которой приложена сила). Такая же по величине сила будет передаваться на закрепленное основание. Под действием этого напряжения тело деформируется так, что грани сместятся друг относительно друга на расстояние а, и каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних слоев. Если высота недеформированного тела была b, то деформацию сдвига можно характеризовать величиной
= a/b = tg , (2.17)
называемой относительным сдвигом. При упругих деформациях угол очень мал, поэтому можно считать = tg . Закон Гука имеет вид:
= /G, (2.18)
где G – называется модулем сдвига и характеризует механические свойства материала. Численно он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равен 45.
2.9. Силы трения
Силы трения появляются при перемещении или попытке перемещения соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга. В последнем случае она называется силой трения покоя. Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним. Трение между частями одного и того же тела (например, жидкости или газа) носит название внутреннего трения.
Силу трения, возникающую при движении твердого тела относительно жидкой или газообразной среды, следует отнести к силам внутреннего трения, поскольку в этом случае слои среды, непосредственно соприкасающиеся с телом, вовлекаются им в движение с той же скоростью, какую имеет тело.
Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки, например смазки между ними, называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким (или жидким).
Применительно к сухому трению различают трения скольжения и трение качения.
Силы трения направлены по касательной к трущимся поверхностям (или слоям), причем так, что они противодействуют относительному смещению этих поверхностей (слоев). Если, например, два слоя жидкости скользят друг относительно друга, двигаясь с различной скоростью, то сила, приложенная к более быстро движущемуся слою, направлена в сторону, противоположную движению, а сила, действующая на слой, движущийся медленнее, направлена в сторону движения слоя.
Рассмотрим движение тела относительно неподвижного осно-вания (рис. 2.7). Тело прижимается к основанию с силой Fn, направленной по нормали к поверхности соприкосновения тел. Она называется силой нормаль-ного давления и может быть обусловлена весом тела или другими причинами. Если при-
ложить к телу внешнюю силу F, то окажется, существует некоторое минимальное значение F0 этой силы, при котором тело удается сдвинуть с места. Значение F0 зависит от вида соприкасающихся материалов, состояния их поверхностей и величины нормального давления. При значениях внешней силы меньше F0 тело остается в покое. По второму закону Ньютона это возможно в том случае, если сила F уравновешивается равной ей по величине и противоположно направленной силой, которая и есть сила трения покоя Fтр.п., она свегда принимает значение, равное величине внешней силы F.
Отметим, что в соответствии с третьим законом Ньютона, на основание также действует сила трения Fтр. (рис. 2.7), равная по величине силе Fтр, но имеющая противоположное ей направление.
Если внешняя сила F превзойдет по модулю F0, тело начинает скользить, причем его ускорение определяется результирующей двух сил: внешней F и силы трения скольжения Fтр, величина которой в той или иной мере зависит от скорости скольжения. Характер этой зависимости определяется природой и состоянием трущихся поверхностей, примерный вид ее показан на рис. 2.8. График охватывает как случай покоя, так и случай скольжения.
Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными величине силы нормального давле ния, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:
Fтр = Fn, (2.19)
где – безразмерный коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения. Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей, в частности от их шероховатости.
Силы трения играют очень большую роль в природе. В нашей повседневной жизни трение нередко оказывается полезным. Так при их уменьшении во время гололедицы, пешеходы и транспорт испытывают значительные затруднения в передвижении.
Во многих случаях роль трения крайне отрицательна, и приходится принимать меры к тому, чтобы по возможности его ослабить. Так обстоит, например, дело с трением в подшипниках и.т.д.
Наиболее радикальным способом уменьшения сил трения является замена трения скольжения трением качения, которое возникает, например, между цилиндрическим или шарообразным телом и поверхностью, по которой оно катится. Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим.
В отличие от сухого, вязкое трение характеризуется тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью. Поэтому, как бы ни была мала внешняя сила, она может сообщить относительную скорость слоям вязкой среды. Законы, которым подчиняются силы трения между слоями среды, будут рассмотрены в главе, посвященной механике жидкостей. Примерный график зависимость этой силы от скорости показана на рис. 2.9. При небольших скоростях сила растет линейно со скоростью, при больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный, то есть сила начинает расти пропорционально квадрату скорости.
2.10. Сила тяжести. Вес тела
Согласно закону всемирного тяготения все тела притягиваются между собой. Если рассматривать тело у поверхности Земли, то Землю нельзя считать материальной точкой и закон будет выполняться для тела и каждого достаточно малого «кусочка» Земли. Можно показать, что после суммирования для силы притяжения тела массы m к земле массы М и радиуса R получится:
Fg = (GmМ)/RЗ2 = mg, (2.20)
где g – ускорение свободного падения тел (g = (G М)/RЗ2). Сила Fg называется силой тяжести. Под действием этой силы все тала, предоставленные сами себе (свободные), будут двигаться с постоянным ускорением a = g. Когда тело покоится относительно поверхности Земли, сила F должна уравновешивается силой реакции опоры или подвеса, удерживающих это тело от падения, рис. 2.10,
(Fr = Fg). По третьему закону Ньютона тело в этом случае действует на подвес или опору с силой G, равной Fr , то есть с силой
G = Fg = mg. (2.21)
Сила G, с которой тело действует на подвес или опору, называется весом тела. Заметим, что силой противодействия силе тяжести по третьему закону Ньютона будет сила F = – mg с которой тело притягивает Землю.
Вес тела равен mg лишь в том случае, если тело и опора (или подвес) неподвижны (двигаются с постоянной скоростью) относительно Земли. В случае их движения с некоторым ускорением а вес G не будет равен mg. Это можно пояснить на следующем примере. Пусть подвес в виде укрепленной на рамке пружины движется вместе с телом с ускорением а (рис. 2.11). Уравнение движения тела в этом случае будет иметь вид:
Fg + Fr = ma, (2.22.)
где Fr, – реакция подвеса, то есть сила, с которой пружина действует на тело. По третьему закону Ньютона тело действует на пружину с силой, равной – Fr, которая по определению представляет собой вес тела G в этих условиях. Заменив в (2.22) реакцию Fr силой – G, а силу тяжести Fg – произведением mg, получим:
G = m(g –a). (2.23)
Формула (2.23) определяет вес тела в общем случае.
Предположим, что тело и подвес движутся в вертикальном направлении (рис. 2.11, а). Запишем проекцию (2.23) на направление Х:
G = m(g –a) или G = m(g +a). (2.24)
В этом выражении знак «+» соответствует ускорению, направленному вверх, знак «–» соответствует направлению ускорения вниз.
Из (2.24) вытекает, что по модулю вес G может быть как больше, так и меньше, чем сила тяжести Fg = mg. Так при свободном падении а = g и сила G, с которой тело действует на подвес, равна нулю (состояние невесомости). Космический корабль, летящий вокруг Земли движется как при свободном падении, с ускорением g, вследствие чего тела внутри корабля находятся в состоянии невесомости – они не оказывают давления на соприкасающиеся с ними тела.
Следует помнить, что эти силы: тяжести Fg и вес G приложены к разным телам: Fg приложена к самому телу, G приложена к подвесу или опоре, ограничивающим свободное движение тела в поле сил земного тяготения. Кроме того, сила Fg всегда равна mg (по третьему закону Ньютона равна и противоположна ей сила – mg c которой тело притягивает к себе Землю), независимо от того, движется тело или покоится, сила же веса G зависит от ускорения, с которым движутся опора и тело.
Соотношение (2.23) между массой и весом тела дает способ сравнения масс тел путем взвешивания. Отношение весов тел, определенных в одинаковых условиях (обычно при а = 0) в одной и той же точке земной поверхности, равно отношению масс этих тел:
G1 : G2 : G3 … = m1 : m2 : m3 … (2.25)
Ускорение свободного падения g и сила тяжести Fg зависят от широты местности. Кроме того, они зависят от высоты над уровнем моря (h), поскольку в (2.20) к радиусу Земли будет добавляться высота h.
2.11. Тело на наклонной плоскости
Для того чтобы составить уравнение движения тела, нужно прежде всего установить, какие силы действуют на рассматриваемое тело. При этом необходимо выяснить, действие каких других тел на данное тело следует принять во внимание. Так, например, для тела, на наклонной плоскости (рис. 8), существенно воздействие со стороны Земли (оно характеризуется силой тяжести Fg = mg) и воздействием со стороны плоскости (силой реакции Fr).
а б
Рис. 2.12.
Все силы нужно характеризовать по «источнику», вызвавшему появление силы. Это означает, что за каждой силой нужно видеть тело, воздействием которого обусловлена сила. Как видно из рис. 2.12, а, силу реакции Fr удобно разложить на две составляющие – силу нормального давления Fn и силу трения Fтр. Это, в частности, полезно в связи с тем, что сила трения пропорциональна модулю силы Fn (2.19). Определив силы, действующие на тело, составляют уравнение движения. В данном случае оно имеет вид:
ma = mg + Fr = mg + Fn + Fтр (2.26)
Чтобы производить дальнейшие вычисления, нужно перейти от векторов к их проекциям на соответствующим образом выбранные направления. В данном случае это поверхность наклонной плоскости и нормаль к ней.
Запишем проекции векторов, входящие в уравнение (2.26), на направление х, указанное на рис. 2.12. Проекция вектора ах = а, проекция вектора (Fg)х = mgsin, проекция (Fr)х = Fтр = Fn = mgcos. Следовательно, окончательно приходим к уравнению:
ma = mg sin – mg cos , (2.27)
из которого легко найти ускорение а. Приравняв ускорение к нулю, можно определить момент начала движения (угол, при котором движение начинается).
ma = 0 = mg sin – mg cos , откуда tg = (2.28)
При меньших углах сила трения и проекция (Fg)х равны, а Fr совпадает с Fn (рис. 2.12, б).
В более сложных случаях приходится проектировать векторы на несколько направлений и решать получившуюся систему алгебраических или дифференциальных уравнений.
Глава 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
3.1. Сохраняющиеся величины
Пользуясь законами Ньютона можно полностью описать движение материальной точки, если известны силы, действующие на нее и ее начальное положение. Однако часто бывает, что точное решение уравнений движения оказывается крайне сложным. В этих случаях удобнее пользоваться более общими законами – законами сохранения. С помощью законов сохранения можно и без решения уравнений движения получить ряд важных данных о протекании механических явлений. Законы сохранения не зависят от характера действующих сил, поэтому с их помощью можно получить ряд важных сведений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы оказываются неизвестными.
Рассматриваемые тела (или тело) будем называть механической системой. Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой (внутренние силы) так и с телами, не принадлежащими данной систем (внешние силы). В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.
Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей образующих систему частиц, которые сохраняют при движении постоянные значения, то есть сохраняются.
Наиболее важными из них являются энергия, импульс и момент импульса.
Законы сохранения этих величин для замкнутых систем тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.
В основе сохранения энергии лежит однородность времени, то есть равнозначность всех моментов времени. Равнозначность следует понимать в том смысле, что замена момента времени t1 моментом t2 без изменения значений координат и скоростей частиц не изменяет механические свойства системы.
В основе сохранения импульса лежит однородность пространства, то есть одинаковость свойств пространства во всех точках. Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механические свойства.
Наконец, в основе сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, то есть одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Одинаковость следует понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы как целого не отражается на ее механических свойствах.
Законы сохранения можно получить исходя из уравнений Ньютона. Однако следует иметь в виду, что законы сохранения обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона. Подчеркнем, что законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются точными законами, строго выполняющимися также и в релятивистской области.
3.2. Кинетическая энергия
Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы. Уравнение движения для нее (второй закон Ньютона):
mdV/dt = F, (3.1)
где F – результирующая сил, действующих на частицу. Умножив левую часть уравнения (3.1) на Vdt, а правую – на ds (перемещение частицы ds = Vdt), получим:
mV(dV/dt)dt= mVdV = md(V2/2) = d(mV2/2) = Fds. (3.2)
Если система замкнута, то есть F=0, то d(mV2/2) = 0, а величина (mV2/2) остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы и обозначается Ек (или Т).
Ек = mV2/2 (3.3)
В случае изолированной системы кинетическая энергия частицы сохраняется. Кинетическую энергию частицы можно записать через ее импульс (р = mV):
Ек = mV2/2 = m mV2/2m = m2V2/2m = p2/2m (3.4)
Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно (3.2) приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds (ds – перемещение частицы за время dt). Величина Fds называется работой, совершаемой силой F на пути ds. В общем случае обозначается буквой А, в данном случае – на пути ds – dA:
dA = Fds. (3.5)
Таким образом, работа характеризует изменение энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу.
Найдем приращение кинетической энергии (3.2) на некотором участке пути от точки 1 до точки 2:
2 2
d(mV2/2) = (mV22)/2 – (mV12)/2 = Ек2 – Ек1 = Fds. (3.6)
1 1
Левая часть уравнения представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1 (приращение кинетической энергии на пути 1 2). Правая часть уравнения (3.6):
2
А = Fds (3.7)
1
есть работа силы F на пути 1 2. Для определенности иногда будем обозначать эту работу как А12 (перемещение из точки 1 в точку 2)
Итак, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:
А12 = Ек2 – Ек1. (3.8)
Из (3.8) следует, что энергия имеет такую же размерность как и работа.
3.3. Работа
Рассмотрим величину, называемую работой, более подробно. Выражение (3.5) является скалярным произведением и может быть записано в виде:
dA = Fds = Fds cos = F ds = dsF, (3.9)
где – угол между направлением силы и перемещения частицы, Fs – проекция силы на направление перемещения, dsF – проекция перемещения на направление силы. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cos >0), работа положительна. Если угол – тупой (cos <0), работа отрицательна. При = /2 работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз даже по горизонтальному пути, несущий затрачивает много усилий, то есть в обычном понимании «совершает работу». Однако работа как механическая (физическая) величина в этих случаях равна нулю.
Рассмотрим график проекции силы F на направление перемещения s как функцию положения частицы на траектории, рис. 3.1. Из рисунка видно, что элементарная работа dA = Fsds численно равна площади выделенной полоски, а работа А на пути 1 2 будет численно равна площади под кривой Fs(s) между точками 1 и 2.
Эту закономерность можно применить для нахождения работы, совершаемой при деформации пружины, подчиняющейся закону Гука.
Начнем с растяжения пружины. При медленном растяжении внешняя сила Fвн, растягивающая пружину равна и противоположна упругой силе пружины Fупр и если ось х направить по оси пружины (рис. 3.2), будет выполняться:
Fх вн = – Fх упр = kx, (3.10)
где х – удлинение пружины, k – ее жесткость. Из рисунка видно, что работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение х, равна площади затененного треугольника:
А = (kх2)/2. (3.11)
При сжатии пружины на величину х совершается такая же по величине и знаку работа, как и при растяжении на величину х. Проекция силы Fх вн в этом случае отрицательна, значения dx – тоже отрицательно, вследствие чего их произведение положительно.
Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за время dt совершается работа dA, то мощность будет:
P = dA/dt = (Fds)/dt = (FVdt)/dt = FV. (3.12)
В системе СИ единицей работы является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 Н на пути в 1 м. Единицей мощности является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с).
3.4. Консервативные силы. Потенциальная энергия
Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица находится в поле сил. Так, например, частица вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести: в каждой точке пространства на нее действует сила Fg=mg (например, если принять на рис. 3.3 F = Fg= mg).
Если во всех точках поля силы, действующие на частицу, одинаковы по величине и направлению (F = const), поле называется однородным.
В качестве второго примера рассмотрим заряженную частицу q, находящуюся в электрическом поле, возбуждаемом неподвижным точечным зарядом Q. Это поле характерно тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный заряд Q, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра: F = F(r). Поле сил, обладающее такими свойствами, называется центральным.
Поле, остающееся постоянным во времени, называют стационарным. Так, например, поле сил тяжести Земли будет являться однородным и стационарным.
Для стационарного поля может оказаться, что работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути, по которому перемещалась частица. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными. Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю. Чтобы доказать это, разобьем
Рис. 3.3. . Рис. 3.4.
переходит из произвольной точки 1 в произвольную точку 2 и путь II, по которому тело переходит из точки 2 в точку 1. (рис. 3.3). Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков:
А = (А12)I + (А21)II. (3.13
Очевидно, что работы (А12)II и (А21)II.отличаются только знаком, поскольку изменение направления движения на обратное приводит к замене ds на –ds, вследствие чего значение интеграла Fds изменяет знак на обратный. Таким образом, равенство (3.13) можно записать в виде:
А = (А12)I – (А12)II. (3.14)
и, поскольку работа не зависит от пути, (А12)I = (А12)II. мы приходим к выводу, что А = 0. Из равенства нулю работы на замкнутом пути легко получить, что работа не зависит от пути. Это можно сделать, обратив ход проведенных выше рассуждений. Таким образом, консервативные силы можно определить двумя способами: во-первых, как силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое или, во-вторых, как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.
В качестве примера докажем, что сила тяжести является консервативной. Эта сила в любой точке имеет одинаковую величину и одинаковое направление – вниз по вертикали (рис. 3.4.). Поэтому, независимо от того, по какому пути движется частица, работа А12 работу можно вычислить согласно (3.7):
2 2 2 h2
А12 = Fds = Fds = FdsF = –Fdh = –mg(h2 – h1) = mg(h1 – h2). (3.15)
1 1 1 h1
Здесь было учтено, что dsF = dscos = –dh. Последнее выражение, очевидно, не зависит от пути, отсюда следует, что сила тяжести консервативна. Очевидно, что такой же результат будет для всякого стационарного однородного поля.
В тоже время ясно, что силы трения не являются консервативными:
dА = Fds = FVdt = – FVdt = – Fs < 0, (3.16)
то есть, элементарная работа будет отрицательной и, следовательно, работа на любом замкнутом пути также будет отрицательна.
Отметим, что поле консервативных сил является частным случаем потенциального силового поля. Поле сил называется потенциальным, если его можно описать с помощью некоторой функции U(x,y,z), называемой потенциальной энергией.
3.5. Потенциальная энергия во внешнем поле сил тяжести Земли
В случае, когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, каждой точке поля можно сопоставить значение некоторой функции ЕП(х,у,z) такой, что разность значений этой функции в точках 1 и 2 будет определять работу сил при переходе частицы из первой точки во вторую:
А12 = ЕП1 – ЕП2. (3.17)
Это сопоставление можно осуществить следующим образом. Некоторой исходной точке 0 припишем произвольное значение функции, равное ЕП0. Для любой другой произвольной точки 1 примем:
ЕП1 = Е0 + А10, (3.18)
где А10 – работа, совершаемая над частицей консервативными силами при перемещении частицы из точки 1 в точку 0. Поскольку работа не зависит от пути, определенное таким способом значение функции ЕП будет однозначным. Введенная таким образом функция ЕП имеет размерность работы (или энергии) и носит название потенциальной энергии.
Запишем аналогично потенциальную энергию для какой-либо точки 2:
ЕП2 = ЕП0 + А20. (3.19)
Если взять разность (3.19) и (3.18), и учитывая, что А20 = – А02, получим:
ЕП1 – ЕП2 = А10 – А20 = А10 + А02 = А12, (3.20)
поскольку А10 + А02 представляет работу по перемещению частицы из точки 1 в точку 2 через точку 0, но эта работа для консервативной силы не зависит от пути, поэтому можно записать просто А12.
Таким образом, с помощью функции ЕП можно определять работу, совершаемую над частицей консервативными силами на любом пути, начинающемся в произвольной точке 1 и заканчивающемся в точке 2.
Итак мы показали, что если на частицу действуют только консервативные силы, работа, совершаемая над частицей на пути 1 – 2 может быть представлена в виде А12 = ЕП1 – ЕП2 (3.18). С другой стороны, как было показано ранее (3.8) эта работа идет на приращение кинетической энергии частицы А12 = ЕК2 – ЕК1. Сопоставляя эти два выражения, для А12 приходим к равенству
ЕП1 – ЕП2 = ЕК2 – ЕК1 или ЕК1 + ЕП1 = ЕК2 + ЕП2 . (3.21)
Полученный результат означает, что величина Е
Е = ЕК1 + ЕП1 (3.22)
для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной, то есть является сохраняющейся величиной. Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы.
Поскольку в соответствии с (3.18) работа, совершаемая над частицей консервативными силами, равна убыли потенциальной энергии частицы, можно сказать, что работа совершается за счет запаса потенциальной энергии.
Из (3.18) также вытекает, что потенциальная энергия оказывается определенной с точностью до некоторой аддитивной постоянной ЕП0. Однако это обстоятельство не имеет принципиального значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений ЕП в двух точках, либо производная функции ЕП по координатам. Практически принимают за нуль потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении, а энергию в других положениях рассматривают по отношению к этой энергии.
Зная вид функции ЕП(x, y, z) можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Рассмотрим перемещение частицы параллельно оси х на dx. Такое перемещение сопровождается совершением над частицей работы, равной dA = F ds = FXdx (компоненты перемещения dy и dz равны нулю). Согласно (3.18) эта работа может быть представлена как убыль потенциальной энергии: dA = – dEП. Приравняв оба выражения для работы, получим, что
FXdx = – dEП или FX = –dEП/dx, (y, z = const). (3.23)
Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функции ЕП(x, y, z), вычисленную в предположении, что переменные y и z остаются неизменными, а изменяется лишь переменная х. Подобные производные называются частными и обозначаются, в отличие от обычных производных функций одной переменной, символом EП/x. Следовательно, проекция силы на ось х равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной х. Аналогично рассуждая можно получить значения проекций сил на оси y и z:
FХ = –EП/x, FY = –EП/y, FZ = –EП/z. (3.23)
Общее выражение для силы будет иметь вид:
F = Fxex + Fyey + Fzez = –(EП/x ex + EП/y ey + EП/z.ez). (3.24)
Вектор, имеющий компоненты /x, /y, /z, называется градиентом и показывает направление наибольшего изменения скалярной функции , обозначается grad :
grad = (/x) ex + (/y) ey + (/z)ez. (3.25)
Таким образом, для силы можно записать:
F = –grad EП. (3.26)
В общем случае конкретный вид функции ЕП(x, y, z) зависит от характера силового поля. Ранее было показано (16), что для поля сил тяжести Земли работа не зависит от пути и выражается уравнением А = mg(h1 – h2). Сопоставляя это выражение с (18): А12 = ЕП1 – ЕП2, можно сделать заключение, что потенциальная энергия поля силы тяжести Земли будет
ЕП = mgh, (3.27)
где h отсчитывается от произвольного уровня.
Начало отсчета потенциальной энергии можно выбирать произвольно. Поэтому ЕП может иметь отрицательные значения. Если, например, принять за нуль потенциальную энергию частицы, находящейся на поверхности Земли, то потенциальная энергия частицы, лежащей на дне ямы глубины Н будет равна
ЕП = –mgН. Отметим, что кинетическая энергия не может быть отрицательной.
Закон сохранения полной механической энергии частицы (3.22) можно распространить на систему частиц: полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной.
Можно также показать, что полная механическая энергия замкнутой системы, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.
3.6. Потенциальная энергия упругой деформации
Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело. В этом случае потенциальная энергия будет зависеть от степени деформации. Согласно (3.11) для деформации пружины с коэффициентом жесткости k на величину х необходимо совершить работу А = (kх2)/2. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины, которая в соответствии с (3.18) (при условии, что потенциальная энергия недеформированной пружины ЕП0 = 0) может быть представлена как
ЕП = (kх2)/2. (3.28)
3.7. Условия равновесия механической системы
Рассмотрим материальную точку, имеющую одну степень свободы, то есть положение, которой определяется одной координатой, например х. Примером такой системы может быть шарик, который свободно без трения перемещается по изогнутой в вертикальной плоскости проволоке (рис. 3.5, а) или закрепленный на пружине шарик, без трения скользящий по горизонтальной направляющей (рис. 3.6, а). Графики потенциальной энергии для этих случаев приведены соответственно на рис. 3.5, б и 3.6, б.
Поскольку трение в обоих случаях отсутствует, результирующая сил, действующих на шарик, будет направлена перпендикулярно скорости и работы совершать не будет. Закон сохранения энергии будет иметь вид:
Е = ЕП + ЕК = const. (3.29)
Из уравнения следует, что кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии. Значит, если шарик находится в состоянии с минимальной потенциальной энергией и его скорость при этом равна нулю без внешнего воздействия в движение он придти не может, то есть будет находиться в состоянии равновесия. На рис. 3.5 и 3.6 это соответственно точки х = х1 и х = 0. Условие минимума потенциальной энергии имеет вид dЕП/dx = 0. В соответствии с (3.23) это значит, что FХ = 0. Таким образом, в положении равновесия действующая на шарик сила равна нулю. На рис. 3.5 этому условию удовлетворяет также положение х = х2 , однако слева и справа от него на шарик будут действовать силы, стремящиеся удалить шарик от этой точки (FХ = –dEП/dx). В точке х = х1 силы действующие на шарик стремятся вернуть его в исходное положение.
Зная вид потенциальной энергии и значение полной энергии тела можно сделать некоторые заключения о возможном характере его движения. Так если полная энергия тела имеет значение Е1, указанное на рис. 3.5, его движение может происходить на отрезке от х3 до х4 или от х5 до бесконечности. В области от х < x3 и от х4 до х5 частица попасть не может, так как там ее потенциальная энергия там должна быть больше ее полной энергии. Область от х4 <х < х5 носит название потенциального барьера, а от х3 до х4 – потенциальной ямы. При значении полной энергии больше ЕП0 движение по оси х не ограничено.
3.8. Закон сохранения импульса
Рассмотрим теперь систему, состоящую из N взаимодействующих частиц, на каждую из которых, кроме того, может действовать внешняя сила. Внутреннюю силу, действующие на i – тую частицу со стороны k – той частицы обозначим Fik, а суммарную внешнюю силу – Fi.Тогда система уравнений, записанная для всех частиц согласно второму закону Ньютона будет иметь вид:
N
dP1/dt = F12 + F13 +...+ Flk +...+ F1N + F1= F1k + F1
k = 2
N
dP2/dt = F21 + F23 +...+ F2k +...+ F2N + F2= F2k + F2
k = 1, k 2
………………………………………………………….. (3.30)
N
dPi/dt = Fi1 + Fi2 +...+ Fik +...+ FiN + Fi= Fik + Fi
k = 1, k i
……………………………………………………………...
N
dPN/dt = FN1 + FN3 +...+ FNk +...+ FNN-1 + F2N= FNk + FN.
k = 1, k N
Сложим вместе эти N уравнений. Вследствие того, что для любой пары внутренних сил, в соответствии с третьим законом Ньютона будет выполняться условие Fik + Fki = 0, справа останутся только внешние силы. Таким образом, мы приходим к соотношению
N
d/dt(P1 + P2 + … + Pk … + PN) = F1 + F2 + … + Fk + …. + FN = Fi (3.31)
I = 1
Сумма импульсов частиц, образующих механическую систему, называется импульсом системы. Обозначив этот импульс P, получим, что
N N
P = Pi = miVi (3.32)
I = 1 I = 1
Из (3.31) и (3.32) следует, что при условии Fi = 0 импульс системы не меняется. Таким образом для замкнутой системы можно сформулировать закона сохранения импульса в следующем виде: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
Отметим, что импульс остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что внешние силы в сумме дают нуль. В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление равна нулю, сохраняется составляющая импульса в этом направлении.
Точка С положение которой задается радиусом-вектором RС, определяемым следующим образом:
RC = (m1r1 + m2r2 + …. + mNrN)/(m1 + m2 + …. + mN) (3.33)
называется центром масс (или центром инерции) системы.
Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.
Если импульс системы частиц представить в виде произведения суммарной массы частиц на скорость центра масс системы:
P = mVC , (3.34)
то скорость центра масс получается путем дифференцирования радиуса-вектора (33) по времени:
VC = dRC/dt. (3.35)
Для замкнутой системы Р = mVC = const. Следовательно, центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.
Система отсчета, в которой центр масс покоится, называется системой центра масс. Эта система, очевидно, инерциальная. Система отсчета, связанная с измерительными приборами, называется лабораторной системой.
3.9. Соударение двух тел
При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.
Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями – сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.
Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней.
Рассмотрим наиболее простой случай – абсолютно неупругий удар двух частиц (материальных точек), образующих замкнутую систему. Пусть массы частиц равны m1 и m2, а скорости до удара V10 и V20. В силу закона сохранения суммарный импульс частиц после удара должен быть таким же, как и до удара:
m1Vl0 + m2V20 = mlV+m2V = (m1 + m2)V, (3.36)
где V – скорость обеих частиц после удара. Из (36) следует, что
V =( m1Vl0 + m2V20)/(m1 + m2). (3.37)
Для практических расчетов нужно спроектировать соотношение (3.37) на соответствующим образом выбранные направления.
Для совершенно упругого удара будут соблюдаться как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии:
m1V10 + m2V20 = m1V1 + m2V2 , (3.38)
(m1V102)/2 + (m2V202)/2 = (m1V12)/2 + (m2V22)/2. (3.39)
Глава 4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. Кинематика твердого тела
Твердым телом (абсолютно твердым телом) называют тело, деформациями которого можно пренебречь. Другими словами расстояние между любыми двумя точками твердого тела не меняется.
Движение твердого тела может быть поступательным и вращательным.
При поступательном движении твердого тела прямая, соединяющая любые две точки тела, остается параллельна себе, рис.4.1, а. Очевидно, что в этом случае все точки тела за одинаковые промежутки времени получат одинаковые по величине и направлению перемещения. Таким образом, скорости и ускорения всех точек будут одинаковы. В этом случае, что бы полностью охарактеризовать движение твердого тела достаточно определить закон движения одной точки, например центра масс.
При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, которая называется осью вращения (рис. 4.1, б), и в общем случае может проходить через тело или находиться вне его. Для описания вращательного движения необходимо задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость (для всех точек тела они одинаковы) в каждый момент времени.
Рис. 4.1. Рис. 4.2.
Любое произвольное плоское движение твердого тела можно представить как суперпозицию двух вышеперечисленных. Например перемещение тела из положения 1 в положение 2, рис. 4.2 можно представить как поворот вокруг оси О в положение 1 на угол и перемещение в положение 2 или поворот вокруг оси О в положение 1 с последующим перемещением в положение 2. Таких способов может быть бесконечное множество, однако угол поворота во всех случаях будет одинаков и равен .
Рис. 4.3 . Рис. 4.4.
Таким образом, элементарное перемещение можно записать:
ds = dsп + dsвр (4.1)
Для скорости получим:
V = ds/dt = dsп/dt + dsвр/dt = Vп + Vвр = Vп + [r], (4.2)
где Vп – одинакова для всех точек, а Vвр – зависит от расстояния до оси вращения. Здесь учтено, что связь скорости вращательного движения с угловой аналогична рассмотренной ранее.
Представление сложного движения тела можно осуществить множеством способов. Например качение цилиндра по плоскости можно рассматривать как поступательное движение центра О со скоростью V0 и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр с угловой скоростью . Или как одно только вращательное движение с той же угловой скоростью вокруг оси О, рис. 4.3. Точка О является мгновенной осью вращения тела и положение ее в данном случае меняется со временем.
2. Кинетическая энергия при вращательном движении.
Момент инерции тела
Рассмотрим некоторое тело массы m, вращающееся вокруг неподвижной оси О-O. Мысленно разделим его на точечные массы (частицы) mi, каждая из которых находится на некотором расстоянии ri от оси вращения, рис. 4.4. Если угловая скорость всех точек одинакова и равна , то линейные скорости их будут зависеть от расстояния до оси вращения Vi = ri, и для кинетической энергии каждой частицы можно записать:
Eкi = (mi Vi2)/2 = (mi ( ri)2)/2 = (()2/2) miri2 . (4.3)
Для определения полной кинетической энергии тела надо выражение (3) просуммировать по всем точкам:
Eк = Eкi = (miVi2)/2 = (()2/2) miri2 = (2/2) miri2 (4.4)
Сумма miri2 играет в динамике вращательного движения твердых тел ту же роль, что масса в динамике материальной точки, поэтом она имеет свое название – момент инерции тела относительно данной оси вращения – и свое обозначение:
I = miri2. (4.5)
Или более точно, при переходе к пределу при разделении тела на число точек:
I =r2dv, (4.6)
V
где – плотность тела, dv – элемент объема, а интегрирование ведется по всему объему тела.
Моменты инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через ось симметрии приведены в таблице (R – радиусы кольца, диска и шара,
l – дина стержня).
|
Кольцо |
Диск |
Шар |
|
|
mR2 |
(mR2)/2 |
(2mR2)/5 |
(ml2)/12 |
Для любой другой оси, параллельной данной, будет выполняться теорема Штейнера:
Ia = I0 + ma2, (4.7)
где а – расстояние до этой оси от оси, проходящей через центр.
4.3. Основной закон динамики вращательного движения. Момент силы
Запишем второй закон Ньютона для элемента массы mi вращающегося с угловым ускорением тела, рис. 5.
miai = Fi, (4.8)
где ai – ускорение данного элемента тела, зависящее от расстояния до оси вращения (ai = ri), а Fi – суммарная сила, действующая на данный элемент тела. Умножим векторно «слева» данное уравнение на радиус вектор ri рассматриваемого элемента:
mi [riai] = [riFi] = Ni. (4.9)
Рис. 4.5. Рис. 4.6.
Величина N, стоящая справа, называется моментом силы относительно оси вращения, которую условно назовем осью Z. Векторное произведение [rF] можно записать:
[rF] = n rF sin = n F l, (4.10)
где – угол между направлением силы F и радиус вектором r, n – направление нормали к плоскости, в которой лежат вектора r и F. Величина l = r sin называется плечом силы относительно оси Z и является кратчайшим расстоянием (перпендикуляром) от оси до направления действия силы, рис. 4.6 (ось Z на рисунке направлена перпендикулярно плоскости листа вверх).
Далее запишем проекции левой и правой частей уравнения (4.9) на ось Z и просуммируем по всем частицам тела учитывая, что ai = ri:
mi ri2 = mi ri2 = I = Ni = N, (4.11)
где N – суммарный момент всех действующих на тело сил, а I – момент инерции тела (4.5, 4.6).
Уравнение:
I = N (4.12)
называется основным уравнением динамики твердого тела. Из него, в частности следует, что если на тело не действуют внешние силы или суммарный момент их равен нулю, то I = 0 и, поскольку = d/dt,
I = const, (4.13)
что является частным случаем закона сохранения момента импульса тела.
Отметим, что момент инерции человека, стоящего с прижатыми к телу руками примерно 1,2 кг·м2, в стойке «арабеск» (ласточка) – 8 кг·м2, а в горизонтальном положении – 17 кг·м2. Этим на основании (4.13) объясняется изменение скорости вращения фигуристов и гимнастов при изменении позы.
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем данное тело движется с одинаковым ускорением а. Любая неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальных систем с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела в неинерциальной системе отсчета а будет отлично от а. Обозначим разность ускорений тела в инерциальной и неинерциальной системах аin:
а – а = аin. (5.1)
Для поступательно движущейся неинерциальной системы аin одинаково для всех точек пространства и представляет собой ускорение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальных систем. Для вращающейся неинерциальной системы аin в разных точках пространства будет различным, и зависеть от расстояния до оси вращения относительно неинерциальной системы отсчета. Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна F. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой инерциальной системы отсчета равно
аm = F или а = F/m. (5.2)
Ускорение же тела относительно некоторой неинерциальной системы можно в соответствии с (1) представить в виде
а = а – а = F/m – аin (5.3)
Отсюда следует, что даже при F = 0 тело будет двигаться по отношению к неинерциальной системе отсчета с ускорением аin, то есть так, как если бы на него действовала сила, равная Fin = – mаin. Это означает, что при описании движения в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, добавить силы, равные произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета аin, которые называются силами инерции:
Fin = – m(а – а) = – mаin. (5.4)
Уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета тогда будет иметь вид:
mа = F + Fin. (5.5)
Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик (рис. 5.1). Пока тележка покоится или движется без ускорения, нить расположена вертикально и сила тяжести mg уравновешивается реакцией нити Fr. Если теперь привести тележку в прямолинейное движение с ускорением а = аin, нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая сил mg и Fr,. сообщала шарику ускорение, равное аin:
mаin = mg + Fr. (5.6)
Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что результирующая сил mg и Fr отлична от нуля. Отсутствие ускорения шарика по отношению к этой системе отсчета можно формально объяснить тем, что, кроме сил mg и Fr, равных в сумме mаin, на шарик действует сила инерции Fin = – mаin. В конечном случае получится тоже уравнение (5.6).
ma = mg + Fr.+ Fin = mg + Fr. – mаin = 0, (5.7)
Рис. 5.1. Рис.5. 2. Рис 5.3.
Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.
Однако следует понимать, что силы инерции нельзя ставить в один ряд с силами, вызванными фундаментальными взаимодействиями, например гравитационными и электромагнитными силами, или силами упругими и трения. Все эти силы обусловлены воздействием на тело со стороны других тел. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления.
Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной системе отсчета. Однако практически часто представляет интерес как раз движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета, например, по отношению к земной поверхности. Использование сил инерции дает возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе.
Характерным свойством сил инерции является их пропорциональность массе тела. Благодаря этому свойству силы инерции оказываются аналогичными силам тяготения. Представим себе, что мы находимся в удаленной от всех внешних тел закрытой кабине, которая движется с ускорением g в направлении, которое мы назовем «верхом» (рис. 5.3). Тогда все тела, находящиеся внутри кабины, будут вести себя так, как если бы на них действовала сила инерции Fin = – mg. В частности, пружина, к концу которой подвешено тело массы m, растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции – mg. Однако такие же явления наблюдались бы и в том случае, если бы кабина была неподвижной и находилась вблизи поверхности Земли. Не имея возможности «выглянуть» за пределы кабины, никакими опытами, проводимыми внутри кабины, мы не смогли бы установить, чем обусловлена сила – mg – ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли. На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и тяготения (в однородном гравитационном поле). Эта эквивалентность лежит в основе общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна.
5.3. Центробежная сила инерции
Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси z с угловой скоростью (рис. 5.4, а). Вместе с диском вращается надетый на спицу шарик, соединенный с центром диска пружиной. Шарик занимает на спице такое положение, при котором сила натяжения пружины F оказывается равной произведению массы шарика m на его ускорение an =2R (R – расстояние от шарика до центра диска, см. (1.30):
F = m2R. (5.8)
Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик покоится, Это можно формально объяснить тем, что, кроме силы (5.6), на шарик действует сила инерции, равная (5.4), но противоположно направленная ускорению an вдоль радиуса от центра диска Fin = m2R..
а б
Рис. 5.4 . Рис. 5.5.
Силу инерции, возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции. Эта сила действует на тело во вращающейся системе отсчета, независимо от того, покоится тело в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движется относительно нее.
При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции. Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел g обусловлено действием силы тяжести, с которой тело притягивается Землей, и силы центробежной, рис. 5.4, б. Результирующая сил и будет силой тяжести mg.
Отличие силы тяжести от силы притяжения к Земле невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем сила притяжения к Земле. Так, для массы в 1 кг наибольшее значение центробежной силы, наблюдаемое на экваторе, равно 0,035 Н, в то время как сила притяжения равна приблизительно 9,8 Н, т. е. почти в 300 раз больше.
5.4. Сила Кориолиса
При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции.
Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следующем примере. Возьмем горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на диске радиальную прямую ОА (рис. 5.5). Запустим в направлении от центра диска шарик со скоростью v. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость относительно диска v будет изменять свое направление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила FК, перпендикулярная к скорости v. Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направляющую, например, в виде ребра. При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой Fr. Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью. Это можно формально объяснить тем, что сила Fr уравновешивается приложенной к шарику силой инерции FK, перпендикулярной к скорости v. Сила FК и есть Кориолисова сила инерции. Можно показать, что модуль ее равен 2mv, а для силы или в общем случае справедливо выражение:
F = 2m[v]. (5.9)
При v = 0 эта сила, в отличие от силы центробежной, отсутствует.
1. Специальная теория относительности (релятивистская механика)
В Ньютоновской механике считалось, что существуют абсолютное пространство и абсолютное время. В этом случае справедливы очевидные преобразования Галилея и вытекающий из них принцип относительности Галилея для инерциальных систем отсчета (2.8), (2.10), (2.11):
x = x + v0t, y = y, z = z; t = t; v = v + v0; a = a.
Последнее равенство формулируется как принцип относительности Галилея: все законы механики справедливы для любой инерциальной системы отсчета, и ни какими опытами нельзя определить покоится данная система или движется с постоянной скоростью. Очевидным кажется и утверждение, что время во всех системах, которые движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно течет одинаково, а тела сохраняют свои размеры постоянными.
В то же время с момента основания волновой теории света утвердилось представление, что свет распространяется в некоторой среде называемой эфиром, который заполняет все пространство. Если эфир представляет некую среду, можно было надеяться обнаружить движение источников или приемников света по отношению к этой среде. Обнаружение движения тел относительно эфира привело бы к появлению абсолютной системы отсчета, по отношению к которой можно было бы рассматривать движение других систем. А раз так, то обнаружение эфира сделало бы возможным выделение этой абсолютной системы. Развитая к концу девятнадцатого века Максвеллом теория электромагнитных волн предсказывала, что они распространяются с вполне определенной скоростью – скоростью света – с. Сразу же возникало два вопроса: в какой системе отсчета это справедливо и будет ли с зависеть от скорости источника и приемника.
Ответы на эти вопросы был получен в результате ряда наблюдений и экспериментов.
Наблюдение за поведением двойных звезд, вращающихся с большой скоростью вокруг своего центра масс, показали, что скорость света не зависит от направления движения источника, рис. 6.1.
с – v
с + v
Рис. 6.1.
В тоже время на основании опытов Майкельсона-Морли было установлено, что носитель световых волн (эфир) в природе отсутствует. Идея опыта Майкельсона заключалась в том, что если бы эфир существовал, то скорость света в системе наблюдения интерференции при ее движении зависела бы от направления распространения света по отношению к эфиру.
Анализируя все эти факты, Эйнштейн в 1905 году развил специальную теорию относительности (СТО), в основе которой лежат два принципа.
Первый – это распространение принципа относительности Галилея на все законы природы, включая теорию Максвелла, а также химические и биологические процессы: все физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, в силу чего, нельзя выделить какую либо абсолютную.
Второй принцип – постоянства скорости света в вакууме: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета во всех направлениях и не зависит от скорости источника и приемника света.
В классической механике Ньютона описание взаимодействия тел предполагает мгновенное распространение взаимодействия. В действительности существует максимальная конечная скорость с распространения взаимодействия, причем в природе невозможно взаимодействие со скоростью большей с. с – универсальная постоянная, одинакова во всех инерциальных системах, она равна скорости света в вакууме (примерно 300 000 км/с).
Представим теперь себе один мысленный эксперимент. В первой инерциальной системе отсчета, движущейся относительно второй со скоростью v, свет от источника до приемника распространяется за время t = y/c. Если теперь рассматривать это явление со стороны наблюдателя во второй системе, то это время составит t = t/1 – , где = v2/c2, рис 6.2. То, что время, измеренное в одной системе отчета, отличается от времени в другой, противоречит всему нашему повседневному опыту.
Рассмотрим еще один пример. В системе, движущейся относительно наблюдателя Н со скоростью v, источник И излучает короткий импульс света, рис. 6.3. Два приемника П1 и П2, находящиеся на равных расстояниях от И в той же системе отсчета, зафиксируют приход света одновременно.
Наблюдатель же Н увидит, что свет к источнику П1 придет раньше, чем к приемнику П2.
Подчеркнем еще раз, что из принципов СТО следует, что время протекает различно в разных системах отсчета, и утверждение о промежутке времени между двумя событиями имеет смысл только при указании системы отсчета. Два события одновременные в одной системе могут быть зафиксированы в разное время в другой. В то же время при этом не нарушается последовательность между событиями, имеющими причинно-следственную связь.
Постоянство скорости света приводит к тому, что пространство и время образуют единое пространство-время. Любое событие в нем характеризуется местом, где оно произошло и временем, когда оно произошло. Это можно представить как точку в четырехмерном пространстве с координатами x, y, z и ct. Всякой частице, даже неподвижной, в этом пространстве соответствует линия, называемая мировой линией. Квадрат расстояния между точками носит название интервала, для которого справедливо соотношение s2 = сt2 – x2 – y2 – z2 .
Из принципов СТО следуют также преобразования координат и времени, которые называются преобразованиями Лоренца.
(6.1)
Из преобразований Лоренца следует релятивистское сокращение отрезков. Если, например, вначале у двух наблюдателей имелись идентичные стержни длиной l и если затем наблюдатель В начинает двигаться со скоростью v по отношению к наблюдателю А, то для А длина стержня В станет равной:
, (6.2)
аналогично для наблюдателя В.
Промежутки времени между событиями также будут различны в различных системах (релятивистское сокращение времени):
(6.3)
На этой основе широкую известность получил парадокс близнецов Парадокс заключается в том, что если на космического путешественника смотреть с Земли, то для него время течет медленнее и он вернется домой моложе своего брата, находящегося на земле. Хотя ему все будет казаться наоборот.
Парадокс устраняется, если учесть, что задача несимметрична по своей природе. Близнец, оставшийся на Земле все время остается в одной и той же инерциальной системе отсчета, тогда как его брат переходит из одной системы отсчета к другой два раза.
Из преобразований Лоренца следует ряд законов.
Релятивистский закон сложения скоростей:
(6.4)
Масса движущегося тела m зависит от его скорости v и минимальна в системе отсчета, в которой тело покоится (масса покоя):
. (6.5)
Из этой зависимости можно сделать вывод, что чем быстрее двигается тело, тем тяжелее его разгонять дальше.
Частицы вещества имеющие массу покоя могут двигаться с любыми скоростями, всегда меньшими скорости света в пустоте, частицы же не имеющие массы покоя могут двигаться только со скоростью света.
СТО устанавливает также соотношение между энергией, массой и импульсом
(6.6)
Это уравнение по форме напоминает теорему Пифагора и, таким образом оказывается, что импульс тела и его масса покоя связаны как две компоненты некоторого вектора – энергии, рис. 4
Все эти соотношения работают в физике высоких энергий и элементарных частиц.
6.2. Общая теория относительности
Все рассмотренные явления справедливы в инерциальных системах отсчета. Когда мы рассматривали неинерциальные системы отсчета, для описания явлений в них мы вводили силы инерции. При прямолинейном движении с ускорением а это была сила F = – mа. Причем отмечалось, что находясь в космическом корабле, летящем с ускорением g при закрытых иллюминаторах космонавты в силу эквивалентности гравитационной и инертной масс не смогут понять, летят они с ускорением или покоятся на Земле.
Эйнштейн предположил, что силы инерции можно рассматривать как проявление локальных полей тяготения, которые векторно складываются с любым обычным гравитационным полем. Кроме того, он предположил, что они по своему действию полностью эквивалентны. Исходя из этого положения, он разработал теорию, в которой гравитационные массы искривляют пространство так, что тяготение становится просто следствием геометрии. Три предсказания сделанные на основе этой теории в дальнейшем нашли подтверждение: прецессия орбиты Меркурия, не прямолинейность распространения света вблизи массивных тел, замедление времени в гравитационных полях.
Глава 7. ГИДРОДИНАМИКА
7.1. Основные понятия гидродинамики. Уравнение неразрывности
Кроме механики материальной точки, существует механика сплошных сред, жидкость или газ рассматриваются как сплошная среда, соответствующим образом взаимодействующая со своим окружением.
Чтобы полностью охарактеризовать движение среды можно, как это делалось ранее указать положение каждой частицы среды для выбранного момента, а затем проследить за её перемещением в пространстве и времени под действием соответствующих сил. Этот способ описания разрабатывался Лагранжем.
Второй способ (Эйлера) заключается в том, чтобы выбрать отдельные точки пространства и отмечать скорости и ускорения, с которыми проходят их отдельные частицы среды.
Состояние движения жидкости определяется указанием для каждой точки пространства вектора скорости как функции времени. Совокупность векторов v, заданных для всех точек пространства, называется полем вектора скорости. Для наглядности это поле изображают с помощью линий тока, которые проводятся так, что чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направлению с вектором скорости v, а густота их была пропорциональна величине скорости в данном месте, рис. 7.1. Такая картина позволяет судить о направлении и величине скорости в каждой точке.
Течение жидкости, при котором скорости v в каждой точке потока не изменяются со временем, называется стационарным (установившимся). При стационарном течении скорость v по величине и направлению остается в каждой точке постоянной и линии тока не изменяются. Линии тока в этом случае совпадают с траекториями движения частиц.
Рис. 7.1. Рис. 7.2.
Поток, в котором распределение скоростей меняется со временем, называется нестационарным. Часть потока, ограниченная cо всех сторон линиями тока, называется трубкой тока (рис. 7.2). Так как вектор скорости направлен по касательной к линиям тока, то он будет направлен по касательной и к поверхности трубки тока. Следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.
Рассмотрим стационарное течение несжимаемой жидкости, происходящее без разрывов сплошности (без пузырьков и пустот). При таком течении за один и тот же интервал времени ∆t через разные сечения трубки S1 и S2 должны проходить одинаковые объемы жидкости (сечения S должны выбираться достаточно малыми, чтобы скорость в пределах их можно было считать одинаковой):
V = S1v1∆t = S2v2∆t (7.1)
откуда следует, что
S1v1 = S2v2 = Sv = const. (7.2)
Произведение величины скорости течения несжимаемой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для любого сечения данной трубки тока. Это утверждение носит название уравнения (закона) неразрывности.
Из уравнения (7.2) в частности следует, что:
- чем уже сечение трубки тока, тем больше скорость и наоборот;
- при переменном сечении трубки тока частицы движутся с ускорением.
Рассмотрим эти утверждения немного подробнее. Из первого утверждения следует, что в сечении S2 (S2 > S1) скорость будет меньше, значит ускорение (а следовательно и силы, действующие на частицы) направлены в сторону противоположную течению. А это в свою очередь означает, что давление в большем сечении S2 больше (F = р/S), чем в меньшем S1 (р2 > р1), что интуитивно не очевидно.
7.2. Уравнение Бернулли и его следствия
Вернемся к рассмотренной трубке тока и проследим за положением частиц в сечениях S1 и S2 через промежуток времени ∆t (рис. 7.3). Запишем
закон сохранения энергии для объема жидкости, ограниченной трубкой тока в первоначальном положении сечений S1 и S2 и их положением через время ∆t. Заметим, что энергия частиц трубки тока, ограниченная сечениями S1 и S2 (выделенный на рис. 7.3 объем) не изменилась, поэтому нас будет интересовать разность энергий объемов между сечениями S1-S1 и S2-S2. Энергия каждого из этих объемов
складывается из кинетической и потенциальной энергий. Обозначим высоту первого объема относительно некоторого уровня за h1 а второго за h2. Тогда изменение энергии ∆E рассматриваемых объемов будет:
∆E = E2 – E1 = (Eр2 + Ek2) – (Eр1 + Ek1). (7.3)
Учитывая обозначения рис. 7.3 и то, что в силу закона непрерывности
V1 = V2 = V можно записать, (учитывая, что m = V, где – плотность жидкости):
E1 = (m1v12)/2 + m1gh1 = (Vv12)/2 + Vgh1. (7.4)
E2 = (m2v22)/2 + m2gh2 = (Vv22)/2 + Vgh2. (7.5)
Е = V{gh2 + (v22)/2} – V{gh1 + (v12)/2}. (7.6)
Т.к. силы давления на боковые поверхности трубки тока перпендикулярны скорости и работы не совершают, изменение энергии должно равняться работе, совершаемой силами давления на сечениях S1 и S2:
A = F1∆ℓ1 – F2∆ℓ2 = р1S1∆ℓ1 – р2S2∆ℓ2 = V(р1 – р2) (7.7)
Приравнивая (6) и (7) после сокращения на V, получим:
gh2 + (v22)/2 – gh1 – (v12)/2 =р1 – р2, (7.8)
или после разделения слагаемых, относящихся к разным сечениям:
gh1 + (v12)/2 + р1 = gh2 + (v22)/2 + р2, (7.9)
Поскольку сечения были выбраны произвольно, то в общем случае можно сформулировать уравнение Бернулли следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока величина
gh + (v2)/2 + р остается постоянной:
gh + (v2)/2 + р = const. (7.10)
Это уравнение связывает изменение давления с изменением скорости течения и геометрической высотой и представляет собой закон сохранения энергии для объема жидкости. р – называется гидростатическим давлением, (v2)/2 – гидродинамическим давлением а gh – гидравлическим давлением. Тогда уравнение Бернулли модно сформулировать так: сумма давлений гидравлического, гидродинамического и гидростатического вдоль линии тока стационарно текущей идеальной жидкости остается постоянной. Несмотря на то, что это уравнение было получено для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей и газов, внутреннее трение в которых не очень велико.
7.3. Следствия уравнения Бернулли
7.3.1. Горизонтальная струя жидкости
Уравнение (7.9) для горизонтальной струи примет вид
(v12)/2 + р1 = (v22)/2 + р2, (7.11)
т. е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше, что качественно вытекало из уравнения непрерывности. Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного (пароструйного) насоса (пуливилизатора), рис. 7.4.
Струя жидкости с большой скоростью подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому жидкость течет с большей скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объем, из него можно откачать воздух до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей жидкости и уносится в атмосферу.
Если в качестве движущейся среды взять воздух, а разрыв сужения трубкой соединить с сосудом с жидкостью, то получится пуливилизатор, разбрызгивающий жидкость. Уравнение Бернулли объясняет «притягивание» плывущими большегрузными судами плывущих рядом легких судов, аэрацию (рис. 7.5) почвы и ряд других явлений. Аэрация почвы возникает в результате «обдувания» ветром боровков почвы на полях. Скорость ветра в понижениях боровков меньше, чем у вершин и следовательно давление больше. В результате воздух проникает в почву, разрыхляя ее и насыщая кислородом.
7.3.2. Истечение жидкости из отверстия
Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из
небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны – отверстие, через которое жидкость вытекает (рис. 7.6). Скорость и высоту первого сечения примем равными v1 и h1, а второго – v2 и h2. Давления в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Кроме того,
скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде можно положить равной нулю, а v2 = v. Отсчет высоты вести относительно отверстия: h2 = 0, h1 = h. Тогда уравнение (9) можно записать в виде:
gh = (v2)/2, (7.12)
откуда
v = 2gh . (7.13)
Таким образом скорость вытекания воды из отверстия на глубине h под открытой поверхностью совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с такой же высоты. Выражение (7.13) носит название формулы Торричелли. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения (7.13), чем больше вязкость жидкости.
Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосуде, уносит с собой определенный импульс. Этот импульс сообщается вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону Ньютона сосуд получает от вытекающей жидкости такой же импульс и называется реакцией вытекающей струи. Если сосуд поставить на тележку, то в результате она придет в движение в направлении, противоположном направлению струи.
На реакции вытекающей струи газа основано действие реактивных двигателей и ракет. Реактивное движение, не нуждаясь для своего осуществления в наличии атмосферы, используется для полетов в космическом пространстве.
7.4. Силы внутреннего трения
Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является в общем случае абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.
Для выяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис. 7.7), линейные размеры которых
Рис. 7.7.
а верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v0. Опыт дает, что для перемещения верхней пластины с постоянной скоростью v0 необходимо действовать на нее с вполне определенной постоянной по величине силой F. Поскольку пластина не получает ускорения, значит, в соответствии с первым законом Ньютона действие этой силы должно уравновешиваться равной ей по величине противоположно направленной силой, которая, очевидно, есть сила трения, действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее Fтр. Варьируя скорость пластины v0, площадь пластин S и расстояние между ними d, можно установить, что
F = (v0S)/d, (7.14)
где – коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости и ее состояния, например, температуры. Он называется коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа).
Нижняя пластина при движении верхней также оказывается подверженной действию силы F, равной по величине Fтр. Для того чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силу Fтр необходимо уравновесить с помощью силы F'. Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин друг относительно друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (1). Воздействие пластин друг на друга осуществляется, очевидно, через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если в любом месте зазора провести мысленно плоскость, параллельную пластинам (см. пунктирную линию на рис. 1), то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует на часть жидкости, лежащую под плоскостью, с силой Fтр, а часть жидкости, лежащая под плоскостью, в свою очередь действует на часть жидкости, лежащую над плоскостью, с силой Fтр, причем значения этих сил также определяются формулой (1). Таким образом, формула (1) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но и силу трения между соприкасающимися слоями жидкости.
Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z, перпендикулярном к пластинам (рис. 1), по линейному закону:
v(z) = (v0z)/d. (7.15)
Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Учитывая, что v0/d в формуле (1) это есть dv(z)/dz, формулу (1) можно переписать в более общем виде:
F = Sdv(z)/dz ). (7.16)
Знак модуля поставлен по той причине, что если бы мы закрепили верхнюю пластину, а двигали нижнюю или изменили направление оси z на обратное, то производная dv(z)/dz стала бы отрицательной. Величина же v0/d. всегда положительна. Формула (3) определяет модуль силы трения. Величина
dv(z)/dz показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z, и представляет собой модуль градиента скорости.
Формула (3) получена для случая, когда скорость изменяется по линейному закону, однако она остается справедливой и для любого другого закона изменения скорости от слоя к слою. В этом случае для определения силы трения между двумя граничащими друг с другом слоями нужно брать значение dv(z)/dz) в том месте, где проходит воображаемая поверхность раздела слоев.
Все сказанное относится не только к жидкостям, но и к газам. Единицей вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев. Эта единица называется паскаль-секундой (обозначается Пас-1). В системе СГС единицей вязкости является пуаз (П). Между пуазом и паскаль-секундой имеется соотношение 1 Пас = 10 П. Вязкости некоторых жидкостей при комнатной температуре приведены в таблице.
Таблица
|
Вещество |
Ацетон |
Бензин |
Вода |
Глицерин |
|
Вязкость, Пас |
0,33 |
0,53 |
1,002 |
1499 |
|
Вещество |
Керосин |
Ртуть |
Эт. спирт |
Эт. эфир |
|
Вязкость, Пас |
1,8…1,9 |
1,55 |
1,2 |
0,23 |
Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости существенно различен для жидкостей и газов. У жидкостей коэффициент вязкости сильно уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет. Отличие в характере поведения при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.
7.5. Ламинарное и турбулентное течения
Можно выделить два вида течения жидкости (или газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным (слоистым). Если в ламинарный поток ввести подкрашенную струйку, то она сохраняется, не размываясь, на всей длине потока, так как частицы жидкости в ламинарном потоке не переходят из одного слоя в другой. Ламинарное течение стационарно. При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения существенным образом изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте все время изменяется беспорядочным образом – течение нестационарное. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределяется по всему сечению потока.
Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины:
Re = (vl)/ = (vl)/v, (7.17)
где – плотность жидкости (или газа), v – средняя (по сечению) скорость потока, , – коэффициент вязкости жидкости, l – характерный для поперечного сечения размер (например, радиус или диаметр трубы при круглом сечении), v – кинематическая вязкость, равная отношению /. Величина (7.17) называется числом Рейнольдса. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного размера для круглой трубы взять ее радиус r, то критическое значение числа Рейнольдса окажется равным примерно 1000.
Число Рейнольдса может служить критерием подобия для течения жидкостей и газов: характер течения будет совершенно одинаков, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re.
7.6. Течение жидкости в круглой трубе
При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Полагая течение ламинарным, найдем закон изменения скорости с расстоянием r от оси трубы.
Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис. 7.8). При стационарном течении скорости всех частиц жидкости остаются в каждой точке неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На основания рассматриваемого цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна (р1 – р2)r2. Эта сила действует в направлении движения жидкости. Кроме того, на боковую поверхность цилиндра действует сила трения, равная в соответствии с (7.16) 2rldv/dr), (имеется в виду значение dv/dr на расстоянии r от оси трубы). Условие стационарности будет имеет вид:
(р1 – р2)r2 = – 2rl (dv/dr), (7.18)
где знак «–» выбран, поскольку скорость убывает с расстоянием от оси трубы. После разделения переменные, получим уравнение:
dv = –{(р1 – р2)rdr}/2l, (7.19)
интегрирование которого дает:
v = –{(р1 – р2) r2}/4l + С. (7.20)
Постоянную интегрирования нужно выбрать так, чтобы скорость обращалась в нуль на стенках трубы, т. е. при r = R (R – радиус трубы). Из этого условия
С = {(р1 – р2) R2}/4l. (7.21)
После подстановки С из (7.21) в (7.20) получим:
v(r) = {(р1 – р2)(R2 – r2}/4l = {(р1 – р2)R2(1 – r2/R2}/4l. (7.22)
Значение скорости на оси трубы (r =0) равно
v0 = v(0) = {(р1 – р2) R2}/4 l. (7.23)
С учетом этого формуле (9) можно придать вид
v(r) = v0(1 – r2/R2). (7.24)
Таким образом, при ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону (рис. 7.8). При турбулентном течении скорость в каждой точке меняется беспорядочным образом. При неизменных внешних условиях постоянной оказывается средняя по времени скорость в каждой точке сечения трубы. Профиль средних скоростей при турбулентном течении изображен на рис. 7.9. Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, в остальной же части сечения скорость изменяется меньше.
а б
Рис. 7.8. Рис. 7.9.
Полагая течение ламинарным, можно вычислить поток жидкости Q т. е. объем жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени, который будет равен
Q = {(р1 – р2) R4}/8l. (7.25)
Эта формула называется формулой Пуазейля. Согласно (7.25) поток жидrости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости. Формула Пуазейля применима только при ламинарном течении. Соотношение (7.25) можно использовать для определения вязкости жидкостей. Пропуская жидкость через капилляр известного радиуса, и измеряя перепад давления и поток Q, можно найти .
7.7. Движение тел в жидкостях и газах
При движении тела в жидкости или газе на него действуют силы, равнодействующую которых обозначим буквой R (рис. 7.10). Силу R можно разложить на две составляющие, одна из которых, Q, направлена в сторону, противоположную движению тела (или в сторону движения потока, набегающего на тело), а вторая, Р, перпендикулярна к этому направлению.
Составляющие Q и Р называются соответственно лобовым сопротивлением и подъемной силой. Очевидно, что на тело, симметричное относительно направления движения, может действовать только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае будет равна нулю.
Заметим, что при постоянной скорости движения тела относительно жидкости сила, действующая на тело, будет такой же, как и в случае движения жидкости с той же скоростью относительно неподвижного тела.
Рис. 7.10 . Рис. 7.11. Рис. 7.12.
В идеальной жидкости движение тел должно происходить без лобового сопротивления. Не обладая вязкостью, идеальная жидкость должна свободно скользить по поверхности тела, полностью обтекая его. Для симметричного тела (рис. 7.11) в этом случае картина линий тока так же оказывается совершенно симметричной относительно вертикальной и горизонтальной осей. Поэтому давление вблизи точек А и В будет одинаково (и больше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек меньше); точно так же давление вблизи точек С и D тоже будет одинаково (и меньше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек больше). Следовательно, результирующая сил давления на поверхность цилиндра (которая при отсутствии вязкости могла бы обусловить лобовое сопротивление), очевидно, будет равна нулю.
Для возникновения подъемной силы вязкость жидкости не имеет существенного значения. На рис. 7.12 показаны линии тока при обтекании идеальной жидкостью полуцилиндра. Вследствие полного обтекания линии тока будут симметричны относительно прямой CD. Однако относительно прямой АВ картина будет несимметричной. Линии тока сгущаются вблизи точки С, поэтому давление здесь будет меньше, чем вблизи точки D, и возникает подъемная сила Р.
Иначе протекают явления при движении тела в жидкости, обладающей вязкостью. В этом случае очень тонкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за трения последующие слои. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев становится все меньше, и, наконец, на некотором расстоянии от поверхности жидкость оказывается практически не возмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости, в котором имеется градиент скорости. Этот слой называется пограничным. В нем действуют силы трения, которые в конечном итоге оказываются приложенными к телу и приводят к возникновению лобового сопротивления. Наличие пограничного слоя в корне изменяет характер обтекания тела жидкостью. Полное обтекание при больших скоростях становится невозможным. Действие сил трения в поверхностном слое приводит к тому, что при больших скоростях поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри. На рис. 7.13 приведены картинки обтекания круглого шарика при различных числах Рейнольдса. Вихри отрываются и уносятся потоком и постепенно затухают вследствие трения; при этом энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным, поэтому результирующая сил давления будет отлична от нуля, в свою очередь, обусловливая лобовое сопротивление. Таким образом,
Re1 Re20
Re40 Re100
Рис. 7.13
лобовое сопротивление вязких жидкостей складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. При данных поперечных размерах тела сопротивление давления сильно зависит от формы. По этой причине его называют также сопротивлением формы. Наименьшим сопротивлением давления обладают тела хорошо обтекаемой каплевидной формы (рис. 7.14). Такую форму стремятся придать фюзеляжу и крыльям самолетов, кузову автомобилей и т. п.
Рис. 7.14. Рис. 7.15.
Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления определяется значением числа Рейнольдса (7.17). В данном случае – некоторый характерный размер тела (например, радиус для тела шаровой формы), v – скорость тела относительно жидкости. При малых Re основную роль играет сопротивление трения, так что сопротивление давления можно не принимать во внимание. При увеличении Re роль сопротивления давления все больше растет. При больших значениях Re в лобовом сопротивлении преобладают силы давления.
Определяя характер сил, действующих на тело в потоке, число Рейнольдса может служить критерием подобия явлений и в этом случае, например, модель самолета будет вести себя в потоке газа таким же образом, как и ее прообраз, если, кроме геометрического подобия модели и самолета, будет соблюдено также равенство для них чисел Рейнольдса.
Силой, поддерживающей самолет в воздухе, служит подъемная сила, действующая на его крыло, рис. 7.15, обеспечиватя достаточную по величине подъемную силу. Оптимальным для крыла является показанный на рис. 7.15 профиль, найденный великим русским ученым Н. Е. Жуковским (1847—1921).
7.8. Определение вязкости жидкости с использованием формулы Стокса
Стокс экспериментально установил, что при малых Re, т. е. при небольших скоростях движения и небольших геометрических размерах, сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. В частном случае для шарика с радиусом r, двигающегося в жидкости с вязкостью со скоростью v эта сила будет равна
FСТ = 6rv. (7.26)
Предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости, например до стенок сосуда, значительно больше размеров тела.
Пользуясь этой формулой можно определить вязкость жидкости. Рассмотрим для этого шарик из материала с плотностью ш, опущенный в жидкость с плотностью ж, рис. 7.16. Шарик будут двигаться вниз под действием трех сил: силы тяжести (mшg), направленной вниз, выталкивающей силы (mжg) и силы трения, определяемой согласно (7.26), направленных вверх. Вначале, пока скорость шарика мала, сила трения также будет иметь небольшое значение и шарик будет двигаться вниз ускоренно.
Однако, что поскольку согласно (7.26) сила трения увеличиваться с увеличением скорости, наступит момент, когда сила трения и сила Архимеда уравновесят силу тяжести. Начиная с этого момента движение будет происходить с постоянной скоростью v0, которую можно рассчитать, приравняв соответствующие силы:
6rv0 + mжg = mшg. (7.27)
Учитывая, что масса шарика mш = шVш = ш (4r3/3), а масса вытесненной воды mж = жVш = ж (4r3/3), перепишем (7.27) в виде:
6rv = (4r3/3)( ш – ж), (7.28)
откуда для вязкости получим:
= {2(r2 g)(ш – ж)}/9v0. (7.29)
Таким образом, измерив скорость установившегося движения шарика в жидкости, его радиус и зная остальные величины входящие в (7.29) можно вычислить вязкость жидкости.
Колебательными называют процессы, имеющие определенную повторяемость во времени.
Колебания могут быть механическими, электрическими и.т.д. (например численность волков и зайцев в лесу). Колебательные процесс могут использоваться в жизни, а могут оказывать вредные последствия (например, маятник в часах и обрушение моста под ротой солдат, идущих в ногу).
В случае механических колебаний повторяются изменения положений, скоростей и ускорений каких-либо тел.
Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.
Колебания могут быть свободными (собственными) или вынужденными. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по синусоидальному закону.
Для ознакомления с величинами, характеризующими колебательный процесс, рассмотрим простую физическую модель, например, колебания тела на пружинке без трения (рис. 1).
Рис. 1
Если начало координат совместить с положением равновесия тела, а затем отклонить его на расстояние х, то возвращающая сила, согласно закону Гука, будет F = –kx. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения будет
ma = F = –kx или, учитывая, что a = d2x/dt2 ,
F = –kx = m(d2x/dt2) или (d2x/dt2) – (k/m)x = 0. (1)
Будем искать решение уравнения в виде: x = Acos(0t + 0), тогда
dx/dt = –A0sin(0t + 0), d2x/dt2 = –A02 cos(0t + 0). (2)
Подставляя (2) в (1) получим
(k/m)Acos(0t + 0) – A02 cos(0t + 0) = 0, (3)
откуда для угловой частоты колебаний получим:
0 = (k/m) (4)
Таким образом, решением уравнения является синусоида (косинусоида), то есть изменения амплитуды отклонения тела от положения равновесия, его скорость и ускорения будут происходить в соответствии с рис. 2. Начальную фазу по возможности надо принять за 0.
При наличии затухания (трения) добавится сила трения Fтр – rv, пропорциональная скорости и уравнение движения примет вид:
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) – (k/m)x = 0, (5)
Где введено обозначение 2= r/m. Его решением будет также синусоида, но с экспоненциально убывающей амплитудой х = exp(–t) Acos(0t + 0) – затухающее колебание.
Для вынужденных колебаний добавится вынуждающая сила
Fвн = f0 cos Ωt и уравнение будет иметь вид:
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) – (k/m)x = f0 cos Ωt, (6)
Решение которого выходит за рамки данного курса. В случае, когда частота вынуждающей силы Ω совпадает с собственной частотой 0 = (k/m) наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний резко возрастает.
Примером свободных колебаний может служить математический маятник – материальная точка массы m, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) длиной l и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести – mg
(рис. 3).
Уравнение динамики вращательного движения в этом случае имеет вид:
I = N = –mgl sin, (7)
где I – момент инерции тела (в данном случае
I = ml2), N – момент действующей силы, – угловое ускорение тела. Принимая во внимание, что = d/dt = d2/dt2 и I = ml2, уравнение (7) примет вид :
ml2(d2/dt2) = –mgl sin. (8)
Для малых углов можно считать sin = , тогда окончательно получим:
d2/dt2 + 02 = 0, (9)
где 02 = g/l.
Рис. 3
С подобным уравнением мы уде встречались (1) и знаем, что его решением является гармоническое колебание с частотой 0:
= a sin (0t + 0). (10)
2. Упругие волны
В лекции 4 уже рассматривались упругие силы, возникающие между соседними областями твердого тела, и подчиняющиеся закону Гука. Твердое тело можно представить как совокупность отдельных частиц, связанных между собой упругими силами. Под частицей в данном случае подразумевается достаточно малая область тела, но состоящая из значительного числа атомов или молекул. Предположим, что в какой-то области тела, например на его поверхности, нам удалось под действием вынуждающей силы Fвн = f0 cos Ωt привести частицы в колебательное движение (в направлении нормальном или касательном к поверхности). Данное возмущение, из-за наличия сил упругости, будет передаваться соседним частицам, и таким образом будет распространяться по телу. Процесс распространения механических колебаний, сопровождающийся переносом энергии, но не сопровождающийся переносом вещества носит название упругой волны. В зависимости от того, как движутся частицы по отношению к направлению распространения, волны делятся на продольные и поперечные (тип волны). В продольной волне направление движения частиц совпадает с направлением ее распространения (рис. 4, а). Продольные волны могут распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных. За их существование отвечает упругость объема – способность тела возвращать свой объем после прекращения воздействия. В поперечной волне колебания частиц происходят в направлении перпендикулярном направлению распространения волны (рис 4, б). Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах, за них отвечает упругость формы – способность тела возвращать свою форму после прекращения воздействия. Волна в веществе распространяется с определенной скоростью, зависящей от механических характеристик вещества и типа волны.
а б
Рис. 4
Наиболее важные характеристики волны, кроме скорости ее распространения это частота колебаний (v), период (Т), длина волны (), амплитуда колебаний частиц (А), интенсивность волны (I) и величина звукового давления (р). Между перечисленными характеристиками и циклической частотой существуют определенные связи:
= vТ = v/v, v = 1/T, I A2, = 2v (11)
Совокупность точек, куда пришла волна в данный момент называется фронтом волны. В зависимости от формы фронта волны выделяют плоские, цилиндрические и сферические волны.
3. Уравнение упругой волны
Итак, в упругой волне происходит периодическое колебание частиц около их положения равновесия. Смещение частиц относительно положения равновесия принято обозначать буквой . Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в направлении х со скоростью v. Пусть в плоскости
х = 0, колебания описываются уравнением
(0, t) = A cos(t + ), (12)
где А – амплитуда колебания частиц, – начальная фаза колебаний. До некоторой плоскости х возмущение дойдет за время = х/v, следовательно, колебания в этой плоскости будут отставать на это время:
(х, t) = A cos[(t – х/v) + ]. (13)
Выражение, стоящее в квадратных скобках носит название фазы волны. Совокупность точек, где волна имеет одинаковую фазу, называется волновой поверхностью.
Уравнению волны можно придать симметричный относительно х и t вид:
(х, t) = A cos(t – kх + ), (14)
где введена новая величина
k = 2/ = /v, (15)
которая носит название волнового числа.
При распространении двух волн с одинаковой частотой и амплитудой навстречу друг другу возникает стоячая волна. Стоячая волна не переносит энергии и характеризуется тем, что в ней чередуются области, где амплитуда колебаний равна нулю – узлы волны и области, где амплитуда колебаний максимальна – пучности волны, рис. 5.
Рис. 5.
В зависимости от частоты механических волн их принято делить на диапазоны.
Инфразвук – частота до 20 Гц.
Звук – частота от 20 Гц до 20 кГц.
Ультразвук – частота от 20 кГц до 1 ГГц.
Гиперзвук – частота выше 1 ГГц.
Часть 3. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Молекулярно-кинетическая теория объясняет наблюдаемые на опыте законы как суммарный результат действия отдельных молекул на основании статистических методов. В данном разделе считается, что молекулы газа находятся в беспорядочном хаотическом движении, периодически сталкиваясь между собой и со стенками сосуда в котором он находится. Все направления движения равновероятны, а интенсивность движения зависит от температуры.
В отличие от этого термодинамика описывает макроскопические явления, не интересуясь их микроскопической картиной. В основе ее лежат несколько фундаментальных законов, называемых началами термодинамики, установленных на основании наблюдаемых фактов.
В данных разделах используются некоторые свои понятия и определения. Системой называется совокупность рассматриваемых объектов. Состояние системы характеризуется параметрами системы. Параметрами идеального газа, например, являются давление (р), температура (Т), объем (V), и др. Если данному состоянию системы соответствуют одинаковые значения параметров, не меняющиеся со временем, то состояние называют равновесным. В противном случае говорят о неравновесных состояниях. Равновесное состояние можно изобразить в виде точки на координатной плоскости, если в качестве осей выбрать какие либо два параметры системы. При резком изменении какого либо параметра, например объема газа в цилиндрическом сосуде под поршнем, изменится и давление. Сначала изменение произойдет около поршня, а потом постепенно, за время релаксации, во всем объеме и новому состоянию будет соответствовать на плоскости другая точка. Переход из одного состояния в другое называется процессом. Если изменения производить достаточно медленно, так, чтобы параметры успевали принимать новые равновесные значения за время изменений, то процесс называется квазистационарным или равновесным и на диаграмме он может быть отображен в виде линии. Равновесные процессы обратимы, то есть могут протекать в обратном направлении. Если после ряда изменений система возвращается в исходное состояние не по тому же пути, то процесс называется круговым или циклом. На диаграмме цикл изобразится замкнутой кривой.
1.1. Агрегатные состояния вещества
Все вещества могут находится в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком, газообразном (плазма в данном разделе не выделяется). С точки зрения механики их можно характеризовать соотношением между кинетической и потенциальной энергией взаимодействия молекул (атомов, ионов) = Еп/Ек. Это отношение зависит от двух параметров, определяющих состояние вещества: температуры – Т и давления – р. Переходы между состояниями, как правило, осуществляются скачкообразно. Так например вода при нормальном давлении при Т = 0 С переходит из жидкого состояния в твердое, а при Т = 100 С из жидкого в газообразное. Возможны и плавные переходы. Например, переход между жидким и газообразным состоянием в обход критической точки.
В твердом состоянии молекулы находятся в стабильных положениях благодаря значительным силам межмолекулярного взаимодействия, обусловливающим потенциальную энергию. Молекулы испытывают небольшие колебания около положений равновесия, которые и обусловливают их кинетическую энергию, 1. Кинетическая энергия атомов пропорциональна абсолютной температуре тела. Вещество в твердом состоянии сохраняет свои объем и форму.
По характеру взаимного расположения молекул твердые вещества можно разделить на три группы: кристаллические, аморфные и композиты.
Для кристаллических тел характерно периодически повторяющееся расположение атомов в пространстве, называемое кристаллической решеткой. Атомы находятся в узлах кристаллической решетки, где удерживаются силами потенциального взаимодействия. Правильный порядок взаимного расположения атомов (дальний порядок) соблюдается на значительных расстояниях по сравнению с межатомным. Область, где наблюдается дальний порядок называется монокристаллом (в металлах зерном), и имеет форму многогранника. Ряд твердых тел (например, металлы) состоят из большого числа беспорядочно ориентированных зерен, размеры которых могут изменяться в значительных пределах от единиц мкм до десятков мм. В этих случаях говорят, что они имеют поликристаллическую структуру.
Минимальный объем, транслируя который можно получить кристаллическую структуру, называют элементарной решеткой. Существует семь элементарных ячеек, обладающих разной степенью симметрии из которых состоят все кристаллы, рис. 1.1.
а б в г
д е ж з
Рис. 1.1.
Кубическая (а) – имеет все прямые углы и равные стороны, тетрагональная (б) – прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием, орторомбическая (в) – прямоугольный параллелепипед, моноклинная (г) – все не прямые углы, стороны одинаковые, триклинная (д) – не прямые углы, стороны двух противоположных оснований равны, тригональная (е) – не прямые углы, разные ребра, гексагональная (ж) – призма с правильным шестиугольником при основании.
В настоящее время получен еще один тип решетки – фуллерен, гранями которого являются правильные шестигранники и пятигранники (рис. 1.2, а).
В некоторых случаях физические характеристики (например, скорость звука, тепло- и электропроводность) могут быть различны в различных направлениях, что объясняется отсутствием симметрии решетки. В этом случае говорят об анизотропии свойств кристаллов.
Атомы располагаются в узлах решетки, которыми могу являться вершины фигур (рис. 1.1, з), а также вершины фигур и центры граней или центры фигур.
Многие элементы могут иметь несколько типов кристаллических решеток (полиморфизм). Так углерод может иметь структуру графита (рис. 1.2, б), алмаза (рис. 1.2, в), или фуллерена (рис. 1.2, а).
а б в
Рис. 1.2.
Каждая решетка имеет определенную плотность заполнения. Так простая кубическая решетка (NaCl …) имеет степень заполнения 68%. Наиболее плотную упаковку 75% имеют гексагональная решетка (Zn, Mg, Be …) и гранецентрированная кубическая решетки (Ag, Au, Ni, Cu, Al …). На рис. 3, а, б, в, г приведены примеры кубической, кубической объемно-центрированной, кубической гранецентрированной и гексагональной решеток соответственно.
Рис. 1.3.
Кристаллические решетки могут иметь различного рода нарушения (дефекты), например отсутствие атома в узле (вакансия), лишний атом в межузлии (атом внедрения), атом другого элемента вместо основного (примесь) и ряд других, более сложных (рис. 1.4). Дефекты кристаллов могут значительно изменить их свойства, например проводимость полупроводников.
Для аморфных твердых тел характерно отсутствие дальнего порядка, в то время как положение атомов фиксировано и может сохраняться ближний порядок, рис. 1.5. Для аморфных тел характерно отсутствие определенной температуры плавления. К аморфным телам относятся стекло, смолы, пластмассы. В последние годы активно изучаются аморфные металлические сплавы, которые находят широкое применение в технике.
Рис. 1.4. Рис. 1.5.
К композитам относятся кость, кровеносные сосуды, дерево, бетон и др. Структура их достаточно сложна и состоят они из различных связанных друг с другом материалов.
По мере повышения температуры кинетическая энергия атомов (молекул) возрастает и при 1 отдельные атомы (молекулы) могут скачкообразно покидать свои места в узлах кристаллической решетки, хотя некоторое время (время оседлой жизни) они находятся в них. Для сохранения жидкого состояния потенциальная энергия все же должна превышать кинетическую энергию. Время оседлой жизни () уменьшается с ростом температуры. Если обозначить частоту колебания частиц около положения равновесия за 0-1 (0 10-12 с), то
= 0 exp(–w/kT), (1.1)
где w – энергия активации процесса, а k – постоянная Больцмана.
Правильное взаимное расположение атомов может сохраняется только в незначительных по сравнению с межатомным расстояниях и носит название ближнего порядка. Дальний порядок у жидкостей отсутствует. Структура жидкостей близка к структуре аморфных материалов. Анизотропия свойств у жидкостей отсутствует. Вещество в жидком состоянии сохраняет свой объем, но принимает форму сосуда, в котором находится.
При дальнейшем повышении температуры (кинетической энергии) при 1 вещество характеризуется газообразным состоянием. В газах молекулы находятся на значительном расстоянии друг от друга (что является причиной малой потенциальной энергии), хаотически движутся с большими скоростями, которые определяются его температурой. При этом происходят случайные столкновения молекул между собой и со стенками сосуда, в котором он находится. Газ занимает весь предоставленный ему объем и соответственно имеет форму сосуда, в котором находится.
1.2. Жидкое состояние. Поверхностное натяжение
Силы притяжения между молекулами в веществах эффективно действуют лишь на некотором расстоянии – r, называемым радиусом межмолекулярного взаимодействия и составляющем примерно несколько диаметров молекулы. Если молекула находится «внутри» тела, то ее окружают молекулы равномерно со всех сторон, рис. 6, а. В этом случае результирующая сил, действующих на молекулу со стороны соседних молекул, находящихся на расстояниях в пределах радиуса межмолекулярного взаимодействия будет равна нулю. Иначе обстоит дело, если молекула находится на расстоянии от поверхности меньшем радиуса межмолекулярного взаимодействия, рис. 6, б. Рис. 6. б соответствует случаю границы раздела жидкость-газ, хотя подобные рассуждения справедливы и для любой другой граница раздела двух сред.
Из рис. 1.6, б очевидно, что поскольку в газе плотность молекул много меньше, результирующая сила межмолекулярного взаимодействия будет направлена внутрь жидкости и будет препятствовать движению молекулы к поверхности. Аналогичные силы будут действовать на все молекулы,
находящиеся вблизи поверхности на расстоянии меньшем, чем радиус межмолекулярного взаимодействия. Эта сила растет при приближении к поверхности. Таким образом, можно считать, что вблизи поверхности наблюдается картина подобная той, что имеет место в поле сил тяжести Земли. При подъеме тела совершается работа против сил тяжести, уменьшается кинетическая энергия и увеличивается потенциальная. Аналогично при движении молекулы к поверхности увеличивается ее потенциальная энергия.
Из механики известно, что система всегда стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией, поэтому жидкость, предоставленная сама себе, будет стремится принять форму с минимальной потенциальной энергией. В невесомости это будет форма шара, в поле сил тяжести – форма капли.
Силы, стремящиеся уменьшить площадь поверхности, называют силами поверхностного натяжения. Эти силы направлены перпендикулярно мысленно выделенному контуру (рис. 1.7) по касательной к поверхности и равны
F = dl. (1.2)
где называют коэффициентом поверхностного натяжения, а dl – длина элемента контура, на который действует рассматриваемая сила. Аналогичная сила действует на любой элемент контура поверхности жидкости. Коэффициент поверхностного натяжения имеет размерность Н/м.
Рис. 1.7. Рис. 1.8.
На рис. 8 представлена тонкая подвижная перемычка на рамке с пленкой (например, мыльной). На перемычку действует сила поверхностного натяжения, равная согласно (1.2) 2l. (множитель 2 берется, поскольку пленка имеет две поверхности). В равновесии перемычка удерживается внешней силой равной по величине и противоположной по направлению. Если перемычку медленно переместить на расстояние dx, то при этом будет совершаться работа
dA = 2l dx = S = dE , (1.3)
которая будет идти на увеличение энергии этой пленки. Таким образом, исходя из (1.3) коэффициент поверхностного натяжения можно представить как энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности (Дж/м2). Коэффициент поверхностного натяжения уменьшается с ростом температуры и обращается в ноль при критической температуре. В значительной степени на коэффициент поверхностного натяжения могут влиять примеси. Так мыло понижает коэффициент поверхностного натяжения примерно в полтора раза, в то время как поваренная соль его увеличивает.
Коэффициенты поверхностного натяжения некоторых жидкостей приведены в таблице.
|
Жидкость |
вода |
глицерин |
спирт |
ртуть |
|
α, мН/м |
73 |
66 |
22 |
490 |
1.3. Давление под изогнутой поверхностью
Рассмотрим поверхности различной формы, опирающиеся на контур в форме кольца, рис. 1.9.
В случае плоской формы поверхности (рис. 1.9, а) результирующая всех сил приложенных к элементам контура будет равна нулю. Обозначим давление жидкости в этом случае р = р0. Для выпуклой поверхности (рис. 1.9, б) – результирующая сила направлена вниз и создает дополнительное давление р = р0 + р. В случае вогнутой поверхности (рис. 1.9 в) результирующая сила будет уменьшать давление: р = р0 – р.
а р = р0
б р = р0 + р
в р = р0 – р
Рис. 1.9 Рис. 1.10.
Нетрудно посчитать избыточное давление, создаваемое сферической поверхностью, рис. 5. Суммарная сила, действующая на выделенный контур в соответствии с (2) будет равна
F = l = 2R, (1.4)
а давление создаваемое этой силой
р = F/S = 2R/R2 = 2/R. (1.5)
Формула (5) справедлива для сферической поверхности, имеющей одинаковую во всех точках кривизну. Для произвольной формы поверхности справедлива формула Лапласа:
р = 2(1/R1 + 1/R2), (1.6)
где R1 и R2 радиусы кривизны поверхности в двух произвольных взаимно перпендикулярных сечениях проведенных через нормаль к данной точке.
Добавочное давление обуславливает изменение уровня жидкости в капиллярах, поэтому его иногда называют капиллярным давлением.
1.4. Равновесие на границе раздела: твердое тело, газ и жидкость
Как уже отмечалось, понятие поверхностного натяжения можно отнести к любой границе раздела и в этом случае имеет смысл говорить о суммарной поверхностной энергии граничащих друг с другом веществ.
Рассмотрим систему, состоящую из трех граничащих друг с другом веществ: твердого, жидкого и газообразного (рис. 1.11, а) и определим условие их равновесия, соответствующее минимуму потенциальной энергии. Обозначим коэффициенты поверхностного натяжения соответствующих границ как αгж, αжт и αгт соответственно. Угол между направлениями сил Fгж и Fжт называется краевым углом. При равновесии системы сумма проекций сил на плоскость должна быть равно нулю: Fжт + Fгж cos – Fгт = 0 или
lжт + lгж cos – lгт = 0. (1.7)
Откуда для краевого угла получим:
cos = (гт – жт)/жг . (1.8)
а
б
Рис. 1.11.
Анализ формул (1.7, 1.8) показывает, что в случае когда гт > жт + гж ни при каком краевом угле условие равновесия выполняться не будет, cos не может быть больше 1 и жидкость будет растекаться по поверхности. В этом случае говорят о явлении полного смачивания. Существование границы твердое тело–газ энергетически менее выгодно, чем двух поверхностей :жидкость–газ и твердое тело–жидкость. Аналогичное явление может проявляться и в случае системы из двух жидкостей и газа. Так капля олеиновой кислоты растекается на поверхности воды в мономолекулярный слой, что позволяет, зная массу капли, оценить размер молекулы кислоты по диаметру образовавшегося пятна.
Другой предельный случай наблюдается при условии жт > гт + гж . В этом случае cos не может быть меньше –1, жидкость будет собираться в каплю (в отсутствии сил тяжести – шар), краевой угол будет стремиться к 180. Явление называется полным несмачиванием. В качестве примера можно привести капельки ртути на стекле.
В остальных случаях говорят о частичном смачивании, рис. 6, а или частичном несмачивании, рис. 1.11, б.
Явление несмачивания может приводить к ряду неожиданных следствий. Например, смазанная жиром или парафином иголка при медленном опускании ее на поверхность воды может плавать (рис. 1.12, а),
а б
Рис. 1.12.
поскольку поверхность соприкосновения сталь–вода обладает большей энергией, чем сталь–воздух или воздух–вода. Однако при полном погружение иголки в воду она утонет. Все сказанное пояснено на рис. 1.12, б, где изображены потенциальные энергии иголки в поле сил тяжести Земли (Еg), поверхностной энергии границ раздела Епов и суммарная энергия системы Е. На кривой Е(h) наблюдается потенциальная яма, соответствующая состоянию устойчивого равновесия системы. Но если иголку протолкнуть через потенциальный барьер, она утонет.
Аналогичным образом в смазанном жиром решете может удерживаться некоторое количество воды. Известно также, что гусь всегда выходит сухим из воды, а некоторые насекомые свободно перемещаются по поверхности воды.
1.5. Капиллярные явления
Явление смачивания (несмачивания) приводит к искривлению поверхности жидкости в капиллярах и узких зазорах между двумя
плоскостями. Подобного рода искривленные поверхности назы-ваются менисками. Искривление поверхности, как было показано, ведет к изменению давления и, следовательно, изменению уровня жидкости в капилляре (рис. 8, а). Если жидкость смачивает стенки капилляра, то мениск будет вогнутым, избыточное давление отрицатель-
ным и жидкость будет подниматься. Если же жидкость не смачивает стенки, то мениск будет выпуклым и избыточное давление понизит уровень жидкости а капилляре (рис. 1.13, а).
Нетрудно определить уровень поднятия (понижения) уровня в предположении сферичности искривленной поверхности. Обозначим радиус капилляра – r, радиус поверхности – R, а краевой угол – , рис. 1.13, б. В этом случае избыточное давление р = 2/R должно уравновешиваться давлением столба жидкости высотой h. Это давление равно весу жидкости Vg = Shg деленному на площади капилляра, то есть gh:
2/R = gh. (1.9)
Учитывая, что R = r/cos (рис.8, б) для h находим:
h = 2 cos/rg. (1.10)
В соответствии с формулой жидкости смачивающие стенки (0<</2, cos>0) будут подниматься по капилляру (h>0), а не смачивающие (/2<<, cos<0, h<0) – опускаться.
Глава 2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. Внутренняя энергия системы
Внутренней энергией тела (U) называется суммарная кинетическая энергия молекул и потенциальная энергия их взаимодействия. В понятие внутренней энергии не включается кинетическая и потенциальная энергия тела, как целого. Так внутренняя энергия некоторой массы воды в сосуде не будет зависеть от скорости движения сосуда или высоты его расположения.
Можно считать, что внутренняя энергия системы тел равна сумме внутренних энергий отдельных тел, поскольку потенциальная энергия их взаимодействия мала.
Внутренняя энергия является функцией его состояния. Это значит, что как только параметры системы примут какое либо определенное значение, внутренняя энергия примет соответствующее этому состоянию значение, и разница внутренних энергий системы в двух состояниях U2 – U1 не будет зависеть от того, как система попала в эти состояния.
2.2. Первое начало термодинамики
Внутренняя энергия может изменяться в результате двух процессов: совершение над системой работы А или подвода тепла Q. Совершение работы связано с какими либо перемещениями, например поршня в цилиндрическом сосуде. При этом работа внешних сил А = – А, где А – работа газа над внешними силами в соответствии с третьим законом Ньютона.
Увеличение внутренней энергии при сообщении системе тепла связано с процессом теплопередачи при котором молекулы более нагретого тела совершают работу над молекулами тела менее нагретого, характеризуется процесс передачей некоторого количества тепла – Q, передаваемого от одного тела к другому. Таким образом, приращение внутренней энергии системы должно равняться сумме совершенной над системой работы А и сообщенного ей тепла Q:
U2 – U1 = Q + А. (2.1)
Обычно вместо работы А, совершаемой внешними силами над системой, рассматривают работу А, (равную – А), совершаемую системой над внешними силами, тогда (2.1) можно переписать в виде:
Q = U2 – U1 + А. (2.2)
Уравнение (2.2) является первым началом (законом) термодинамики и формулируется следующим образом: количество тепла, сообщенное системе, идет на приращение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними силами. Приращение внутренней энергии
U2 – U1 в (2.2) в общем случае может быть отрицательным. Количество тепла можно измерять в джоулях (Дж) или в калориях, которые связаны между собой механическим эквивалентом: 1 калория рана 4,18 Дж.
Обычно процесс разбивается на элементарные процессы, соответствующие малым изменениям параметров, тогда (2.2) примет вид:
dQ = dU + dA. (2.3)
Интегрирование (2.3) по всему процессу приведет к выражению (2.2).
Рассмотрим систему в виде газа, заключенного в цилиндрический сосуд с поршнем, рис. 2.1. При расширении газ совершит работу Fdh. Учитывая, что F = PS, для работы совершаемой газом можно записать:
dA = Fdh = рSdh = рdV. (2.4)
Рис. 2.1. Рис. 2.2.
Заметим, что при уменьшении объема величина (2.4) может быть отрицательной.
Работа при протекании какого либо процесса в общем случае будет:
V2
A12 = рdV. (2.5)
V1
Можно показать, что выражения (2.4) и (2.5) будут справедливы для тел произвольной формы, если рассматривать работу как сумму работ для элементарных объемов, рис. 2.2. Уравнению первого начала термодинамики, с учетом (2.4), можно придать вид:
dQ = dU + dA = dU + рdV. (2.3)
Изобразим произвольный процесс на диаграмме р – V, рис. 2.3.
Рис. 2.3. Рис. 2.4.
Элементарной работе рidVi соответствует узкая темная полоска. Очевидно, что вся работа А12 (5) будет равна площади под кривой р(V) в пределах изменения объема от V1 до V2. Работа при циклическом процессе будет равна площади светло серой фигуры, рис. 2.4. При переходе из точки 1 в точку 2 по пути I (по стрелке) совершается работа, равная площади фигуры V1 – 1– 2(I) – V2 – V1. Работа при переходе из точки 2 в точку 1 по пути II (по стрелке) будет отрицательна и равна площади темно серой фигуры. Их сумма и составит работу за цикл. Таким образом, при движении в направлении стрелки, работа за цикл будет положительной. Очевидно, что при изменении направления движения работа сменит знак и станет отрицательной. Таким образом, из приведенного примера следует, что полученные формулы справедливы только для обратимых процессов.
2.3. Идеальный газ
2.3.1. Уравнение состояния идеального газа
Идеальным газом называется газ, взаимодействием между молекулами которого можно пренебречь. Это условие будет выполняться при небольших плотностях газа, то есть при разряжении. Наиболее близки к идеальному газу при обычных условиях гелий и водород, мало отличаются от идеального газа также воздух, азот и кислород.
Состояние определенной масса идеального газа определяется значениями трех параметров: давления р, объема V, и температуры Т и хорошо описывается уравнением:
рV/T = const, (6)
которое и является уравнением его состояния.
Если в уравнении (6) для одного моля газа при нормальных условиях обозначить постоянную за R, то получим:
рVм = RT. (7)
Постоянная R носит название газовой постоянной и на основании (7) учитывая, что при нормальных условиях р = 1 атм = 1,01105 Па и Т = 0 С, получается R = 8,31 Дж/(мольК).
От моля газа легко перейти к произвольной массе газа m, учитывая, что эта масса имеет в v раз отличающийся от моля объем – V (v = V/Vм = m/M, где М – молярная масса газа):
рV = v RT = (m/M) RT. (8)
Уравнение (8) носит название уравнения Клайперона-Менделеева.
Если ввести новую постоянную
k = R/NА, (9)
(NА – число Авогадро), называемую постоянной Больцмана, уравнению (8) можно придать вид:
рV = v RT = v(NА/NА)RT = (vNА)kT = NkT. (10)
В уравнении (10) учтено, что vNА = N – число молекул составляющих массу газа m. Если теперь в уравнении (10) рV = NkT обе части поделить на объем V и учесть, что (N/V) = n – концентрация молекул (число молекул в единице объема), получим еще одну формулу, выражающую уравнение состояния идеального газа:
p = (N/V)kT = nkT. (11)
Таким образом, мы получили три формы записи (8), (10) и (11) уравнения состояния идеального газа.
Из уравнения (3) можно выразить плотность газа:
= m/V= (Mp)/RT, (12)
откуда следует, что плотность газа пропорциональна давлению и обратно пропорциональна температуре.
Уравнение состояния идеального газа, дающее простую связь температуры с остальными параметрами, позволяет использовать его для установления идеальной газовой шкалы температур. В качестве газа в этом случае принято брать водород.
2.3.2. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
Внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией молекул и зависит только от температуры:
U = BT, (13)
где В – коэффициент пропорциональности.
Теплоемкость тела (Стела) это величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, что бы повысить его температуру на один градус. Измеряется в Дж/К. Для теплоемкости тела можно написать:
Стела = dQ/dT. (14)
Теплоемкость моля вещества называют молярной теплоемкостью (С), измеряется в Дж/(моль К). Она связана с удельной теплоемкостью (с) для единицы массы вещества соотношением
С = с М. (15)
Далее будем рассматривать молярную теплоемкость и при необходимости определения, например, внутренней энергии для массы m надо просто умножать рассматриваемую величину на v.
Величина теплоемкости зависит от условий, при которых проводится нагрев. Наиболее часто встречаются теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении, которые обозначаются соответственно СV и Ср.
В случае нагрева при постоянном объеме тело не совершает работы и, следовательно, согласно первому началу термодинамики (3), (3) все тепло идет на приращение внутренней энергии тела:
dQV = dU, (16)
откуда следует, что теплоемкость моля при постоянном объеме будет равна
СV = (dUм/dТ)V . (17)
Если рассмотреть (13) для моля газа, то получится
Uм = CVT. (18)
В случае нагрева при постоянном давлении газ будет расширяться, и совершать работу, следовательно, для его нагрева понадобится большая энергия. Из уравнения первого начала термодинамики (3), записанного для моля газа при постоянном давлении, получим
dQp = dUм + pdVм . (19)
После деления (19) на dТ получим для молярной теплоемкости при постоянном давлении
Ср = dUм/dТ + p(dVм/dТ)р = СV + p(dVм/dТ)р, (20)
поскольку согласно (12) (dUм/dТ)V = СV. Значение (dVм/dТ)р можно найти, выразив V из уравнения состояния моля идеального газа: V = (RT)/p и взяв производную по температуре:
(dVм/dT)p = R/p. (21)
Подставляя (16) в (15) окончательно получим
Сp = СV + R. (22)
Откуда следует, что работа, которую совершает моль идеального газа при повышении его температуры на один градус, равна газовой постоянной R.
Отношение теплоемкостей
Ср/СV = = (СV + R)/СV = 1 + R/СV . (23)
Представляет характерную для каждого газа величину.
2.4. Изопроцессы
Многие процессы изменения состояния определенной массы идеального газа происходят так, что один из трех макроскопических параметров, входящих в уравнение состояния (8) рV = v RT = (m/M) RT, остается постоянным, два других соответственно изменяются. Такие процессы называются изопроцессами.
2.4.1. Изотермический процесс. Закон Бойля-Мариотта
Для изотермического процесса (Т = const) в соответствии с (8) получим
рV = v RT = = (m/M) RT = const. (24)
Уравнение (24) известно как закон Бойля-Мариотта.
При изотермическом процессе внутренняя энергия тела в соответствии с (18) не изменяется, поэтому все переданное телу тепло идет на совершение работы: Q=A. При расширении газа, находящегося в цилиндрическом сосуде под поршнем, при столкновении с поршнем скорость (и соответственно энергия) молекул будет уменьшаться, поэтому для сохранения температуры газа к нему надо подводить тепло Q>0 и соответственно А>0. При изотермическом сжатии соответственно Q<0 и А<0. Диаграммы состояний идеального газа для различных параметров, отложенных по осям координат, приведены на рис. 5, а, б и в .
Графиком функции на рис. 5, а является гипербола р = (const)/V и работа при изменении объема от V1 до V2, согласно (5) будет равна:
V2
A12 = рdV = (m/M)RTln (V2/V1) (25)
V1
а б в
Рис. 5.
2.4.2. Изобарный процесс. Закон Гей-Люсака
Изобарный процесс происходит при постоянном давлении. Из уравнения Клайперона-Менделеева при этом условии следует закон Гей-Люсака:
V = [(mR)/Мр] Т = const Т, (26)
или объем газа при постоянном давлении пропорционален термодинамической температуре, что, как уже отмечалось, используется для построения термодинамической температурной шкалы. Диаграммы изобарного процесса приведены на рис. 6.
Рис. 6. Рис. 7.
Работа при изобарном процессе при изменении объема от V1 до V2 будет равна в соответствии с (5) р(V2 – V1). При расширении газ совершает положительную работу, отдавая энергию окружающим телам. При сжатии – работа отрицательна и внутренняя энергия газа увеличивается.
2.4.3. Изохорный процесс. Закон Шарля
Изохорный процесс идет при постоянном объеме. Из уравнения Клайперона-Менделеева при этом условии следует закон Шарля:
р = [(mR)/МV] Т = const T. (27)
Давление газа при постоянном объеме пропорционально термодинамической температуре. Соответствующие диаграммы приведены на рис. 7. Поскольку изменения объема газа не происходит, работа в этом случае не совершается.
2.4.4. Адиабатический процесс
В некоторых случаях для более полного преобразования тепла в полезную работу систему необходимо теплоизолировать. Термодинамический процесс, протекающий в теплоизолированной системе без обмена теплом c окружающими телами (Q = 0) называется адиабатичеким.
Первое начало термодинамики для адиабатического процесса будет иметь вид:
dU + А = 0 или А = – dU. (28)
При адиабатическом расширении газа А>0, следовательно внутренняя энергия газа уменьшается и в соответствии с (18) (Uм = CVT) температура газа должна уменьшаться, по сравнению с первоначальной. Понижение температуры при адиабатическом расширении происходит более резко, чем при изотермическом процессе, рис. 8. На рис. 8 изображена адиабата 1-2, пересекающая две изотермы при температурах Т1 и Т2. Работа, совершаемая газом при адиабатическом расширении от объема V1 до объема V2 равна площади под кривой 1-2.
При адиабатическом сжатии газа его внутренняя энергия будет увеличиваться, и соответственно будет возрастать температура. Так резкое сжатие воздуха в цилиндре дизельного двигателя приводит к воспламенению топлива, впрыскиваемого в момент наибольшего сжатия и. Это в свою очередь ведет к резкому возрастанию давления и расширению газа, в результате чего совершается полезная работа.
Адиабатический процесс описывается уравнением
рV = const. ()
Рис. 8. Рис. 9.
2.5. Газ Ван-дер-Ваальса
Как отмечалось выше поведение реальных газов хорошо описывается уравнением состояния идеального газа рVМ = RT (записано для моля газа) только при малых плотностях, т. е. при не слишком больших давлениях и достаточно высоких температурах. С повышением давления и уменьшением температуры наблюдаются значительные отступления от уравнения. Во втором столбце таблицы приведены значения произведения рV для массы азота, занимающей при нормальных условиях объем, равный одному литру. Указанные значения даны для различных давлений и одной и той же температуры 0°С.
Таблица
|
р, атм. |
рV, атм. л |
(р + а/VМ2) (VМ – b), атм. л |
|
1 100 200 500 1000 |
1,000 0,94 1,048 1,39 2,062 |
1,000 1.000 1,009 1, 014 0,893 |
В соответствии с уравнением состояния идеального газа произведение рV при неизменной температуре должно оставаться постоянным. В действительности, как видно из таблицы, при давлениях порядка 200 атм наблюдаются заметные отклонения, которые, непрерывно возрастая с увеличением давления, достигают при 1000 атм более 100%,
Эти отклонения не представляются удивительными, поскольку при увеличении плотности начинают играть все большую роль объем молекул и взаимодействие между ними.
Для описания поведения газов в широком интервале плотностей было предложено много различных уравнений. Самым простым из них и вместе с тем дающим достаточно хорошие результаты оказалось уравнение Ван-дер-Ваальса. Это уравнение получено путем внесения поправок в уравнение состояния и имеет для моля газа следующий вид:
(р + а/V2М) (VМ – b), (29)
где р – давление, оказываемое на газ извне (равное давлению газа на стенки сосуда), a и b – константы Ван-дер-Ваальса, имеющие для разных газов различные значения, определяемые опытным путем.
Из-за взаимного притяжения между молекулами газ как бы сжимается большим давлением, чем давление р, оказываемое на газ стенками сосуда, в котором он заключен. Поправка а/V2М характеризует ту добавку к внешнему давлению, которая обусловлена взаимным притяжением молекул друг к другу. Заметное воздействие молекул друг на друга осуществляется в пределах небольших расстояний, называемых радиусом молекулярного действия. Сила взаимного притяжения двух элементарных объемов, имеющих размеры порядка этого радиуса, пропорциональна как числу молекул, заключенных в одном из объемов, так и числу молекул, заключенных в другом объеме. Каждое из этих чисел в свою очередь пропорционально числу молекул в единице объема, т. е. обратно пропорционально объему газа. Этими соображениями можно пояснить то обстоятельство, что поправка к давлению имеет вид а/V2М.
Вследствие того, что молекулы обладают конечным объемом, пространство, доступное для движения молекул, оказывается меньшим, чем объем сосуда VМ. Поправка b в (29) характеризует ту часть объема, которая недоступна для движения молекул. Она равна нескольким суммарным объемам молекул, содержащихся в моле газа.
Уравнение (29) написано для одного моля газа. Чтобы перейти к уравнению для произвольной массы m нужно учесть, что v молей газа при тех же условиях занимают в v раз отличающийся объем: V=vVМ:
(р + а/VМ2) (VМ – b), (30)
где a = vа и b = v2b константы Ван-дер-Ваальса для v молей газа.
В соответствии с тем фактом, что все реальные газы с уменьшением плотности приближаются по своим свойствам к идеальному газу, уравнение Ван-дер-Ваальса в пределе, при стремлении объема к бесконечности, переходит в уравнение состояния идеального газа.
Реальные газы следуют уравнению Ван-дер-Ваальса лишь приближенно. Воображаемый газ, точно подчиняющийся уравнению (30), называется ван-дер-ваальсовским.
Уравнение (30) является кубическим равнением р(V), поэтому изотерма на диаграмме р – V будет иметь вид, приведенный на рис. 9.
2.6. Осмос
При растворении в жидкости твердого вещества его молекулы равномерно распределяются во всем объеме жидкости, образуя раствор. Масса m растворенного вещества, приходящаяся на единицу объема V раствора, называется концентрацией раствора: С = m/V. Растворы малой концентрации называют слабыми или разбавленными. Для слабого раствора размеры молекул растворенного вещества малы по сравнению с расстояниями между ними, поэтому взаимодействия между молекулами практически не будет. Таким образом, в слабом растворе растворенное вещество напоминает собой идеальный газ с той лишь разницей, что в растворе свобода движения молекул растворенного вещества ограничена присутствием молекул растворителя. Отмеченная аналогия между идеальным газом и растворенным веществом в слабом растворе наводит на мысль о возможности применения к растворенному веществу законов идеального газа. В частности, можно предположить, что растворенное вещество обладает парциальным давлением р, которое выражается формулами (8) и (11): рV = (m/M) RT и p = n0kT соответственно. В данном случае n0 – концентрация молекул растворенного вещества, m и М – масса растворенного вещества и его молярная масса, V и Т – объем и температура раствора.
Для того чтобы обнаружить это давление, необходимо отделить раствор от чистого растворителя полупроницаемой перегородкой, пропускающей молекулы растворителя, но не пропускающей молекулы растворенного вещества. Для водного раствора сахара такой полупроницаемой перегородкой являются, например, бычий пузырь и некоторые искусственные пластмассовые пленки. Поры в этих перегородках столь малы, что через них могут пройти молекулы воды, но не пройдут более крупные молекулы сахара.
Если в воронку, раструб которой затянут бычьим пузырем, налить слабый водный раствор сахара и установить ее в сосуд с чистой водой (рис. 10) так, чтобы уровни жидкостей в воронке и в сосуде совпали. Через некоторое время уровень раствора в воронке начнет медленно повышаться и, наконец, установится над уровнем воды в сосуде на высоте h. Происходит это потому, что концентрация молекул воды в сосуде больше концентрации
молекул воды в воронке на величину концентрации молекул сахара. Поэтому через полупроницаемую перегородку диффундирует больше молекул воды из сосуда в воронку, чем в обратном направлении, что вызывает подъем уровня жидкости в воронке. Молекулы же сахара не могут перейти через полупроницаемую перегородку из воронки в сосуд. В результате концентрации молекул воды в воронке и в сосуде уравняются, а концентрации молекул сахара останутся различными: n0 – в воронке и нуль – в сосуде.
Избыточная концентрация n0 молекул сахара создаст, согласно формуле (11), парциальное давление растворенного вещества, уравновешиваемое гидростатическим давлением столбика раствора высотой h. Рассмотренное явление диффузии растворителя через полупроницаемую перегородку, отделяющую раствор от чистого растворителя, называется осмосом, а возникающее при этом в растворе избыточное давление (равное парциальному давлению р растворенного вещества) называется осмотическим давлением.
Поскольку давление столбика h раствора равно gh ( – плотность раствора), то из рассмотренного опыта легко определить осмотическое давление по формуле p = gh. С другой стороны, можно рассчитать осмотическое давление по формуле (8). Оба расчета дают хорошо совпадающие значения осмотического давления, что подтверждает допустимость аналогии, проведенной между идеальным газом и растворенным веществом в слабом растворе. Осмотическое давление, подсчитанное по формуле (8) для водного раствора тростникового сахара C12H22O11 при температуре 27С для столовой ложки сахара, растворенного в 1 л воды составит примерно 250 кПа
Осмотическое давление наглядно обнаруживается в следующем общеизвестном явлении. Если сушеную ягоду с неповрежденной оболочкой погрузить в воду, то вскоре ягода набухнет, приняв сферическую форму, что свидетельствует об избыточном давлении внутри ягоды. Это избыточное давление есть осмотическое давление. Оболочка ягоды проницаема для молекул воды, но непроницаема для молекул сахара, содержащегося внутри ягоды. Вода, диффундируя внутрь ягоды, образует там сахарный раствор. В этом растворе, как и в описанном ранее опыте с сахарным раствором, создается осмотическое давление, распирающее оболочку ягоды.
Если ввести в (8) концентрацию, то получим:
р = (СRT)/M, (32)
откуда следует, что осмотическое давление пропорционально концентрации и температуре раствора и обратно пропорционально молярной массе растворенного вещества.
1. Микро и макро состояния. Энтропия
Любое макроскопическое тело состоит из огромного числа молекул (один моль вещества содержит 61023 частиц). Состояние такой системы может быть описано с помощью макроскопических параметров, таких как объем, давление, температура, внутренняя энергия и других величин, характеризующих тело в целом. Охарактеризованное таким способом состояние называется макросостоянием.
Состояние тела, охарактеризованное так, что заданы состояния каждой его молекулы, называется микросостоянием. Каждое микросостояние это способ реализации макросостояния.
Всякому макросостоянию системы соответствуют различные микросостояния, причем количество их очень велико. Число микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние, называется термодинамической вероятностью макросостояния или статистическим весом, обозначается .
В качестве простого примера рассмотрим, каким образом можно распределить четыре молекулы газа по двум половинкам сосуда. В качестве макросостояния определим количество молекул в левой половинке сосуда (очевидно, что в правой половинке будут остальные). Микросостояние будет описывать, где именно находится каждая молекула в каждом случае. Для такого описания молекулам надо присвоить номера: 1, 2, 3, 4. Каждая молекула с одинаковой вероятностью может находится в любой половинке сосуда, то есть вероятность нахождения любой из них слева равна 1/2. Появление какой либо молекулы в левой половинке сосуда не зависит от того, где находятся остальные молекулы. Поэтому появление слева молекул 1 и 2 будет иметь вероятность 1/2 1/2 = 1/4, а вероятность того, что слева соберутся все молекулы, будет (1/2)4 = 1/16.
В таблице приведены все возможные микросостояния для данного примера. В последнем столбце таблицы записана математическая вероятность данного макросостояния, то есть число способов, которым данное состояние может быть реализовано (статистический вес или термодинамическая вероятность – ) деленное на общее число способов реализации всех состояний. В основе данного заключения лежит предположение о том, что любое из 16 микросостояний равновероятно или в каждом микросостоянии система находится одинаковое время. Это утверждение носит название эргодинамической гипотезы и лежит в основе статистической физики.
Из таблицы видно, что макросостоянию, когда слева и справа находится по 2 молекулы, соответствует 6 микросостояний и вероятность его реализации будет 6/16 – максимальна. В тоже время существует довольно большая вероятность – 1/8, что все молекулы соберутся в одной из половин сосуда.
|
Макросостояние |
Микросостояние |
|
Р |
||
|
Число молекул слева |
Число молекул справа |
№ молекул слева |
№ молекул справа |
||
|
0 |
4 |
- |
1, 2, 3,4 |
1 |
|
|
1 |
3 |
1 2 3 4 |
2, 3, 4 1, 3, 4 1, 2, 4 1, 2, 3 |
4 |
|
|
2 |
2 |
1, 2 1, 3 1, 4 2, 3 2, 4 3, 4 |
3, 4 2, 4 2, 3 1, 4 1, 3 1, 2 |
6 |
|
|
3 |
1 |
1, 2, 3 1, 2, 4 1, 3, 4 2, 3, 4 |
4 3 2 1 |
4 |
|
|
4 |
0 |
1, 2, 3, 4 |
- |
1 |
|
|
Всего способов |
24 = 16 |
В общем случае для N молекул число микросостояний будет составлять 2N и для 24 молекул уже составит 224 = 16 777 216 способов и вероятность того, что все молекулы соберутся в одной половинке сосуда будет равно примерно 10-7, то есть чрезвычайно мала. Для 4 см3 газа такая вероятность составит примерно 10-10000000000000000000 или практически равна нулю.
Для идеального газа в отсутствие внешних сил наиболее вероятным является состояние с равномерным распределением молекул в пространстве.
На основании сказанного можно объяснить природу необратимых процессов. Предположим, что в некоторый момент времени газ находился в одной половинке сосуда и был отделен от второй половинки перегородкой,
рис. 1, а. Если убрать перегородку, газ займет весь объем сосуда, рис. 1, б. Нет специального закона, запрещающего всем молекулам снова собраться в одной
а б
Рис. 1.
половине, но рассмотренный процесс будет необратим, поскольку вероятность этого практически равна нулю. Таким образом, необратимыми будут процессы, обратные к которым маловероятны.
В рассмотренном примере в качестве микросостояния рассматривалось пространственное расположение молекулы в левой или правой половине. В действительности же надо задать координаты молекул и их скорости.
Статистический вес – характеризует макросостояние, однако если рассмотреть систему, разбитую на две со статистическими весами 1 и 2, то статистический вес всей системы будет равен произведению:
= 1 2, (1)
то есть не является аддитивной величиной. В то же время величина
ln = ln 1 + ln 2 (2)
является аддитивной и удобнее для описания термодинамических систем.
Величину, определенную как
S = k ln (3)
называют энтропией системы.
Из сказанного ранее следуют некоторые свойства энтропии.
Энтропия изолированной системы при протекании необратимых процессов возрастает.
dS > 0. (4)
Энтропия системы, находящейся в равновесном состоянии, максимальна и остается неизменной.
Можно показать, что энтропия моля идеального газа будет:
Sм = RlnV + CV lnT + S0 , (5)
где S0 – некоторая постоянная. Из (5) можно получить соотношение:
ТdS = pdV + dU = dA + dU, (6)
справедливое для любой массы идеального газа. Правая часть (6), согласно первому началу термодинамики, равна dQ, поэтому для обратимого процесса можно записать
dS = dQ/T. (7)
Для необратимых процессов
dS > dQ/T. (8)
При абсолютном нуле всякое тело находится в состоянии, статистический вес которого = 1, поэтому согласно определению энтропии (3) ее значение должно быть равно нулю, следовательно, при стремлении температуры к нулю, энтропия всякого тела стремится к нулю:
lim S = 0. (9)
Т0
Это утверждение называется теоремой Нернста или третьим началом термодинамики.
2. Термодинамические потенциалы
В лекции 4 мы уже встречались с понятием внутренней энергии, которая являлась функцией состояния системы и не зависела от того, каким путем система в это состояние попала. Такие функции называются термодинамическими потенциалами и часто используются в расчетах. Каждому набору независимых переменных: р, V, T, S соответствуют свои термодинамические потенциалы. Еще одним свойством термодинамических потенциалов является то, что они являются полными дифференциалами своих переменных. Полный дифференциал функции f(x, y) определяется выражением:
df = (f/x)уdx +(f/y)хdy. (10)
2.1. Внутренняя энергия
Выразив dQ из уравнения (7) второму началу термодинамики можно придать вид:
dU = TdS – pdV. (11)
Сравнивая с (10) можно заметить, что если в качестве независимых переменных для внутренней энергии принять S и V, то:
(U/S)V = T, (U/V)p = – р. (12)
Из первого начала термодинамики следует, что при отсутствии теплообмена (адиабатический процесс) вся работа идет на изменение внутренней энергии системы.
2.2. Свободная энергия
При изотермическом процессе работу можно записать в виде:
dA = –dU + TdS = –d(U – TS). (13)
Функция состояния
F = U – ТS (14)
называется свободной энергией системы.
Свободная энергия при изотермических процессах аналогична внутренней энергии при адиабатическом.
Взяв дифференциал от (14) и сравнив с (10) можно показать, что:
(dF/dT)V = –S, (dF/dV)T = –p. (15)
При постоянных T и V равновесным является состояние, при котором свободная энергия минимальна.
2.3. Энтальпия
Для процессов, протекающих при постоянном давлении справедливо:
dQ = dU +pdV = d(U + pV). (16)
Функция состояния
H = U + pV (17)
называется энтальпией. При постоянном давлении количество получаемого системой тепла равно приращению энтальпии. Для энтальпии выполняется:
(dH/dS)р = T, (dH/dp)S = V (18)
Можно показать, что теплоемкость при постоянном давлении будет:
Cp = (dH/dT)p (19)
При постоянном давлении энтальпия обладает свойствами аналогичным внутренней энергии при постоянном объеме.
2.4. Термодинамический потенциал Гиббса
Потенциал Гиббса определяется как
G = H – TS = U + pV –TS. (20)
Ее полный дифференциал равен
dG = Vdp – SdT. (21)
Переменными для него являются р и Т, а частные производные равны:
(dG/dp)T = V, (dG/dT)p = –S. (22)
При постоянных Т и р равновесным будет являться состояние, при котором термодинамический потенциал Гиббса минимален.
3.Тепловые двигатели
Средний здоровый человек в день может совершать работу около 106 Дж, в то время как за счет сжигания различных видов топлива в среднем на человека приходится около 500106 Дж. Большая часть этой энергии превращается в полезную работу при помощи тепловых двигателей – устройств, преобразующих внутреннюю энергию топлива в механическую работу. Механическая работа в двигателях совершается при расширении рабочего вещества (газа или пара), перемещающего поршень в цилиндре (Арасш). После расширения газа его необходимо снова сжать при помощи внешних сил, совершив при этом работу Асж. Очевидно, что Асж должна быть меньше Арасш, для чего сжатие надо проводить при более низкой температуре.
Общая схема теплового двигателя приведена на рис. 2. Рабочее тело (газ или пар) получает от нагревателя некоторое количество тепла Q1. часть этого тепла превращается рабочим телом в полезную работу А, отдавая при
этом холодильнику тепло Q2. Исходя из того, что рабочее тело вернулось в исходное состояние, можно заключить, что
А = Q1 – Q2. (23)
При этом характеристикой любого теплового двигателя является его коэффициент полезного действия (кпд)
= А/Q1 = (Q1 – Q2)/Q1. (24)
Пример работы теплового двигателя приведен на рис. 3.
а б в г д
Рис. 3.
Груз массы m находится на поршне цилиндра с газом. Исходному состоянию, рис. 3, а на диаграмме р – V соответствует точка 1 (рис. 4). Начнем нагрев газа в цилиндре. При постоянном объеме V1 этому изохорному процессу будет соответствовать переход 1-2, рис. 4. Давление будет повышаться от р1 до тех пор, пока не станет равно р2 = рат + mg/S внешнему давлению плюс давление груза. Температура при этом увеличится от Т1 до Т2 и к газу будет подведено тепло Q11. При дальнейшем нагреве поршень начнет поднимать груз при постоянном давлении (рис. 3, б), совершая полезную работу. Этому процессу на диаграмме состояний соответствует изобара 2-3. Объем газа при этом увеличился до V2, температура – до Т3, и к газу подведено тепло Q12. В верхнем
положении груз снимается и для продолжения работы теплового двигателя необходимо завершить цикл, то есть вернуть поршень в исходное состояние. Чтобы работа по возвращению системы в исходное состояние не была больше совершенной полезной при подъеме груза, газ сначала необходимо охладить при постоянном объеме V2 до температуры Т3, соответствующей давлению р1 и изобарно сжать до исходного состояния, продолжая отбирать тепло. Общее количество тепла, отданное при этом холодильнику, будет Q21 + Q22.
Французский инженер Сади Карно показал, что максимальный коэффициент полезного действия не может быть больше, чем
= А/Q1 = (Q1 – Q2)/Q1 = (Т1 – Т2)/Т1, (25)
независимо от конструкции и выбора рабочего тела. Такой кпд имеет, например двигатель, работающий по циклу, изображенному на рис. 5, состоящему из двух изотерм (1-2 и 3-4) и двух адиабат (2-3 и 4-1). Этот цикл носит название цикла Карно.
Глава 3. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МОЛЕКУЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ГАЗОВ
3.1. Характер теплового движения молекул.
Распределение Максвелла по скоростям молекул
При равновесии газа его молекулы движутся беспорядочно, хаотически меняя направления движения и скорости после каждого соударения. Все направления движения равновероятны, а скорости могут быть самыми различными по величине. После каждого удара скорость молекулы может как увеличиться, так и уменьшиться. Может случиться, что после каждого удара скорость молекулы будет увеличиваться, и ее значение значительно превысит среднее значение. Но даже если все молекулы передадут ей свою кинетическую энергию, она останется конечной. Таким образом, скорости молекул могут быть распределены от 0 до некоторой максимальной скорости Vmax. Учитывая, что процессы, приводящие к постоянному возрастанию скорости маловероятны, следует ожидать, что молекул со скоростями, значительно превышающими среднюю, будет немного. Аналогично предположить, что немного будет и молекул, обладающих нулевой скоростью, так как для этого она должна претерпеть лобовой удар с покоящейся молекулой. Из сказанного следует, что скорости молекул
Рис. 1.
должны группироваться около некоторого наиболее вероятного значения Vвер, рис. 1. Поскольку строго заданную скорость V может не иметь ни одна из молекул, по оси Y откладывается число молекул N, имеющих скорости от V до V + V.
N/V = [m/(2kT)]3/2 exp[–(mV2)/(2kT)] 4V2 (1)
Максимум распределения приходится на скорость Vвер, около которой имеют скорости наибольшее число молекул. Она равна
Vвер = (2kT)/m. (2)
Среднее значение Vср составляет
Vср = (8kT)/(m). (3)
В различные уравнения часто входит так называемая средняя квадратичная скорость Vср кв = V2 ср, которая равна
Vср кв = (8kT)/m. (4)
Между скоростями выполняется следующее соотношение:
Vвер : Vср : Vср кв = 2 : 8/ = 3 = 1 : 1,13 : 1,22.
То, что Vср > Vвер можно объяснить тем, если даже справа от максимума молекул столько же, сколько слева, скорости их больше. Общее число молекул N определяется площадью под кривой.
При увеличении температуры в соответствии с (2) максимум распределения будет смещаться вправо, в область более высоких скоростей, при этом величина N будет меньше, так как суммарная площадь под кривой должна остаться равной общему числу молекул. Поскольку масса молекулы стоит в знаменателе (2), зависимость от нее будет обратной: с увеличением массы максимум будет смещаться в область низкий скоростей, и число молекул N при этом будет увеличиваться.
Средняя скорость молекул кислорода, определенная согласно (3) при комнатной температуре составляет приблизительно 500 м/с. Молекулы водорода, имеющие массу в 16 раз меньше, будут иметь скорость в 4 раза больше, то есть 2000 м/с.
Относительное число молекул имеющие различные скорости представлено на рис. 2.
Рис.2.
3.2. Давление газа на стенку. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории газов
Стенки сосуда, в котором заключен газ, испытывают непрерывные соударения со стороны молекул газа. В результате этих ударов на стенку действует сила, обусловливающая давление газа. Это давление можно легко рассчитать, сделав предположение, что все молекулы имеют среднюю скорость движения. Для расчета необходимо определить силу, с которой действует на стенку одна молекула при ударе и затем умножить на число молекул, ударяющихся о единичную площадку в единицу времени. Поскольку удар молекул о стенку абсолютно упругий, он происходит по закону зеркального отражения, рис. 1. Скорость молекулы при ударе по абсолютной величине не изменяется, а проекция Vх меняется на противоположную. Согласно второму закону Ньютона сила, c которой одна молекула будет действовать на стенку
сосуда будет равна изменению импульса частицы:
f1х = m(dVx/dt) = 2mVx/dt . (5)
За время dt о площадку площадью S ударятся молекулы из объема dv = Sdl = SVхdt. Если концентрация молекул газа равна n, то число таких молекул будет
dN = (1/2)n dv = (1/2)nSVxdt. (6)
Множитель (1/2) поставлен постольку, поскольку в сторону стенки (в силу равно вероятности всех направлений) летит половина всех молекул.
Для определения давления газа на стеку осталось посчитать суммарную силу, действующую на площадку S, то есть умножить силу f1х (5) на число ударов dN (6) и поделить эту силу на площадь S. При этом надо предположить, что все молекулы имеют некоторую среднюю скорость Vх ср:
р = [(2mVx ср/dt) (1/2)nSVx срdt]/S = nmVx2 ср . (7)
Поскольку все направления движения равновероятны, можно считать, что:
Vx2 ср = Vу2 ср = Vz2 ср . (8)
Учитывая (8) и то, что
V2 ср = Vx2 ср + Vу2 ср + Vz2 ср = 3 Vx2 ср (9)
выражение для давления (7) можно переписать:
р = nmVx2 ср =(nmV2 ср)/3. (10)
Или, учитывая, что (mV2 ср)2 = Ек ср – средняя кинетическая энергия молекулы
р = (nmV2 ср)/3 = (2/3)nЕк ср . (11)
Уравнения (10), (11) связывают макроскопический параметр – давление с микроскопическими: массой молекулы, концентрацией молекул и их средним квадратом скорости (концентрацией молекул и их средней кинетической энергией). Уравнение носит название основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа.
Сопоставляя (11) и уравнение состояния идеального газа в виде
p = nkT можно заключить, что
Ек ср = (3/2) kT. (12)
Считая, что молекула имеет три степени свободы поступательного движения (х, у и z), исходя из (12) говорят, что на каждую степень свободы поступательного движения молекулы приходится средняя кинетическая энергия, пропорциональная термодинамической температуре
Ек ср = (1/2) kT, (13)
где коэффициентом пропорциональности является постоянная Больцмана – k
Соотношение (12) всегда справедливо для одноатомных молекул. Если молекула состоит из двух или более атомов, свой вклад в среднюю энергию могут давать вращательные (по kT/2) и колебательные (по kT) степени свободы и в общем случае справедливо уравнение:
Ек ср = (i/2) kT, (12)
где i – общее число степеней свободы молекулы. Однако свой вклад вращательные и колебательные степени свободы дают только при высоких температурах.
3.3. Барометрическая формула.
Распределение Больцмана по энергиям молекул
Барометрическая формула дает связь давления воздуха для изотермической атмосферы с высотой над поверхностью Земли.
Выделим мысленно атмосферный столб некоторого сечения S. Атмосферное давление обусловлено весом вышележащих слоев газа. Рассмотрим изменения давления dр при изменении высоты от h до h+dh, рис. 4.
Рис. 4. Рис. 5.
Давление на высоте h+dh будет меньше, следовательно, dр будет отрицательно. Численно изменение давления будет равно давлению столба высотой dh, или весу, этого столба, деленному на площадь сечения:
dр = –mg/S = –(dV)g/S = –(Sdh)g/S = –gdh. (14)
Если из уравнения Клайперона-Менделеева выразить плотность газа: = m/V= (Mp)/RT, (формула (12), лекции 4) и подставить ее в (14), для изменения давления получим:
dр = – [(Mpg)/RT] dh, (15)
или, после разделения переменных:
dр/p = –[(Mg)/RT] dh. (16)
Интегрирование (16) дает:
lnp = –(Mgh)/RT + ln(const). (17)
Для удобства дальнейших преобразований постоянная интегрирования здесь записана как ln(const). После переноса ln(const) в левую часть и экспонирования уравнения окончательно получим:
р = р0 exp–[(Mgh)/RT]. (18)
Очевидно, что р = р0 на поверхности Земли при h = 0. Эта формула носит название барометрической. Уравнение (18) получено в предположении изотермической атмосферы Т = const. Графики изменения давления для разных температур (молекулярных масс газов) приведены на рис. 5. Из графиков видно, что давление для газов с большей молекулярной массой (давление воздуха при низкой температуре) падает с высотой быстрее.
Произведем в (18) следующие замены: (М/R) = (m/k), p0 = n0kT (m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, n – концентрация молекул у поверхности Земли) и после сокращения на kT барометрическая формула примет вид:
n = n0 exp–[(mgh)/kT] = n0 exp–[Ер/kT]. (19)
Уравнение (19) носит название распределения Больцмана и дает распределение молекул по потенциальным энергиям. Из него следует, что молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, рис. 6.
Глава 4. ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
4.1. Фазовые состояния и диаграммы
Фазой называется совокупность однородных, одинаковых по своим свойствам частей системы. Простым примером фазовых состояний является закрытый сосуд, в котором одновременно находится вода, лед и смесь водяного пара и воздуха. Различные кристаллические структуры одного и того же вещества (например графит и углерод) также являются фазами.
Любая фаза характеризуется основными параметрами: давление (р), температура (Т), объем (V) и др. Если эти параметры не меняются, то говорят о равновесном состоянии. Изображение состояния системы в координатах р – Т, р – V или V – T носит название диаграммы состояний. Равновесие двух фаз возможно только при вполне определенных температурах, причем каждой температуре отвечает определенное давление. На диаграмме состояний р – Т это будет линия р = f(Т).
Три фазы одного вещества могут находится в равновесии при единственных значениях р и Т – на диаграмме этому состоянию будет соответствовать точка Т3, называемая тройной. Равновесие более трех фаз одного вещества невозможно. На рис. 1 приведен пример фазовой диаграммы состояний. Стрелками там обозначены следующие переходы: 1-1 – плавление и кристаллизация; 2-2 – испарение и конденсация; 3-3 – возгонка и сублимация.
Переходы между фазами, происходящие с выделением или поглощением тепла (скрытого тепла фазового перехода) называются фазовыми переходами первого рода. Переходы без выделения и поглощения тепла – фазовые переходы второго рада. Фазовые переходы первого рода при постоянном подводе тепла в координатах температура – время изобразятся кривой, рис. 2. Горизонтальный участок кривой соответствует фазовому переходу, при котором в зависимости от направления перехода поглощается или выделяется скрытая теплота фазового перехода.
Рис. 1. Рис. 2.
Возьмем вещество в виде жидкости и находящегося с ней в равновесии газа на кривой Т3-Ткр и не изменяя объема, станем отнимать от него тепло. Этот процесс будет сопровождаться понижением температуры вещества и соответствующим уменьшением давления. Поэтому точка, изображающая состояние вещества на диаграмме (р, Т), перемещается вниз по кривой (рис. 1). Это продолжается до тех пор, пока не будет достигнута температура кристаллизации вещества, отвечающая равновесному значению давления. Эта температура обозначена Т3. Все время, пока идет процесс кристаллизации, температура и давление остаются неизменными. Отводимое при этом тепло представляет собой тепло, выделяющееся при кристаллизации.
Температура Т3 и соответствующее ей равновесное давление р3 – единственные значения температуры и давления, при которых могут находиться в равновесии три фазы вещества: твердая, жидкая и газообразная. Соответствующая точка, на диаграмме (р, Т) называется тройной точкой. Таким образом, тройная точка определяет условия, при которых могут находиться в равновесии одновременно три фазы вещества.
По окончании процесса кристаллизации в равновесии будут находиться твердая и газообразная фазы. Если продолжать отнимать от вещества тепло, то температура снова начнет понижаться. Соответственно уменьшается давление паров, находящихся в равновесии с кристаллической фазой. Точка, изображающая состояние вещества, перемещается вниз по кривой сублимации.
Температура тройной точки есть температура, при которой плавится вещество, находясь под давлением, равным рнп (см. следующий раздел) при данной температуре. При других давлениях температура плавления будет иной. Связь между давлением и температурой плавления изобразится кривой плавления, начинающейся в тройной точке. Таким образом, тройная точка оказывается лежащей на пересечении трех кривых, определяющих условия равновесия двух фаз: твердой и жидкой, жидкой и газообразной н, наконец, твердой и газообразной.
Кривые плавления, испарения и сублимации разбивают координатную плоскость на три области. Слева от кривых сублимации и плавления лежит область твердой фазы, между кривыми плавления и испарения заключена область жидких состояний и, наконец, справа от кривых испарения и сублимации простирается область газообразных состояний вещества. Любая точка в одной из этих областей изображает соответствующее однофазное состояние вещества (все время имеются в виду только равновесные состояния, т. е. такие состояния, в которых вещество при неизменных внешних условиях пребывает сколь угодно долго). Всякая точка, лежащая на одной из разграничивающих области кривых, изображает состояние равновесия двух соответствующих фаз вещества. Тройная точка изображает состояние равновесия всех трех фаз. Таким образом, каждая точка на диаграмме изображает определенное равновесное состояние вещества. Поэтому ее называют диаграммой состояния.
Для вещества с несколькими кристаллическими модификациями диаграмма состояния имеет более сложный характер. Кривая равновесия жидкого и твердого состояний на рис. 1 в определенной точке разобьется не две: одна будет разделять две твердых фазы, а вторая новую твердую фазу и жидкость. Появится вторая тройная точка.
Диаграмма состояния для каждого конкретного вещества строится на основе экспериментальных данных. Зная диаграмму состояния, можно предсказать, в каком состоянии будет находиться вещество при различных условиях (при различных значениях р и Т), а также какие превращения будет претерпевать вещество при различных процессах.
4.2.Фазовые переходы испарения и конденсации. Равновесие жидкости и насыщенного пара
В жидкости при любой не нулевой температуре имеется некоторое количество молекул, энергии у которых достаточно, чтобы преодолеть силы притяжения со стороны соседних молекул и покинуть жидкость. Жидкость покидают наиболее быстрые молекулы, которые уносят часть энергии, вследствие чего жидкость охлаждается. Чтобы процесс продолжался, к жидкости необходимо подводить тепло. Тепло, необходимое для перехода единицы массы жидкости в пар называют удельной теплотой парообразования. Ее величина зависит от температуры и для воды, например, она составляет 597 Кал/г при 0 С и 539 Кал/г при 100 С. При конденсации жидкости затраченное на испарение тепло возвращается назад.
Рассмотрим герметический сосуд с жидкостью при некоторой температуре закрытый поршнем, который можно перемещать, рис. 3.
В первом положении поршня жидкость занимает весь предоставленный ей объем сосуда, обозначим его Vж. В положении 2 объем сосуда увеличивается. Часть молекул, как указывалось выше, может покинуть поверхность жидкости, образуется вторая фаза – газ (пар, если речь идет о воде). Молекулы газа, двигаясь с большими скоростями, испытывают столкновения между собой и с молекулами на поверхности жидкости. Часть
1 2 3 4
Рис. 3.
молекул после столкновения с поверхностью жидкости передают ей свою энергию и остаются в жидкости. Через некоторое время наступает момент, когда число покидающих жидкость молекул и число молекул возвращающихся назад станет равным. Такое состояние называют динамическим равновесием системы. Пар, находящийся над поверхностью жидкости называется насыщенным. Данному состоянию соответствует вполне определенное при данной температуре давление – давление насыщенного пара (Рнп). Если далее увеличивать объем, то большее количество молекул будет находится в газообразном состоянии, давление же газа будет сохраняться и по прежнему будет равно давлению насыщенного пара, соответствующего данной температуре. При дальнейшем увеличении объема при некотором положении поршня все молекулы испарятся, и весь объем будет занимать газ, обозначим его Vг. Давление его по-прежнему будет Рнп. Данному процессу на диаграмме Р – V будет соответствовать участок 2-3, рис. 4. Если продолжать увеличивать объем сосуда, давление будет падать по закону, описываемому уравнением состояния идеального газа при данной температуре (участок 3-4, рис. 4).
Рис. 4. Рис. 5.
Если теперь начать уменьшать объем, все процессы до точки 2 будут происходить в обратной последовательности. Вначале по мере уменьшения объема давление газа будет расти. По достижении объема Vг давление перестает изменяться, а вещество перестает быть однородным – часть газа конденсируется в жидкость. Происходит расслоение вещества на две фазы: жидкую и газообразную. По мере дальнейшего уменьшения объема все большая часть вещества переходит в жидкую фазу, причем переход осуществляется при постоянном давлении рнп (давлении насыщенного пара). После того как процесс конденсации вещества заканчивается (это происходит при достижении объема Кж), дальнейшее уменьшение объема начинает сопровождаться быстрым ростом давления.
При любом промежуточном значении объема V от Vг до Vж часть вещества с массой mж будет находиться в жидком, а часть с массой mг в парообразном состоянии. Отношение масс жидкости и газа описывается уравнением:
mж/mг = (Vг – V)/(V – Vж) = у/х. (1)
Таким образом, отношение масс жидкости и насыщенного пара в двухфазном состоянии равно отношению отрезков, на которые делит горизонтальный участок изотермы точка, изображающая состояние
На участке 2-3, когда в динамическом равновесии находятся газ и жидкость количество молекул, покидающих жидкость, резко растет с повышением температуры. Количество возвращающихся молекул также растет, но медленнее. В результате этого давление насыщенного пара при увеличении температуры также будет увеличиваться. Диаграмма равновесных состояний насыщенного пара и воды приведена на рис. 5, линия Т3 – Ткр. Смысл критической температуры (Ткр) будет пояснен ниже.
Если построить диаграммы Р – V, аналогичные рис. 4, для других температур, то окажется, что с ростом температуры кривые будут идти выше.
Рис. 6. Рис. 7.
Давление насыщенного пара будет соответствовать диаграмме на рис. 5, при этом длина горизонтального отрезка диаграммы с ростом температуры будет уменьшаться (рис. 6) и при некоторой температуре Т = Ткр отрезок выродится в точку.
Физический смысл существования критической точки можно пояснить следующим образом. Вспомним, что для газообразного состояния средняя кинетическая энергия молекул много больше потенциальной энергии их взаимодействия: ЕК >> ЕП. Учитывая, что для газа ЕК = (3/2)kT, можно записать:
(3/2)kT >> ЕП. (2)
В тоже время для сохранения жидкого состояния потенциальная энергия должна превышать кинетическую энергию: ЕП > ЕК = (3/2)kT. Таким образом, оказывается, что переход в жидкое состояние возможен только при температурах меньше некоторой критической:
Т < Ткр = (2ЕП)/3k. (3)
Газ при температуре выше Ткр перевести в жидкое состояние невозможно, вещество при любом давлении оказывается однородным. Критическая температура зависит от потенциальной энергии взаимодействия молекул и будет различна для разных газов.
Колоколообразная область средней яркости соединяющей края горизонтальных линий соответствует двухфазным состояниям, где в равновесии находятся жидкость и пар. Любое состояние в этой области отличается от остальных газообразных состояний в том отношении, что при изотермическом сжатии вещество, первоначально находившееся в таком состоянии, претерпевает процесс ожижения. Область справа, светло серого цвета соответствует газообразному состоянию, а слева (темная) – жидкому. Состояние жидкости выше изотермы, соответствующей критической температуре называется критическим. В этом состоянии не существует различия между жидкостью и паром. На рис. 7 приведены температурные зависимости плотности жидкости и пара из которых видно, что при критической температуре они совпадают. Аналогичным образом ведут себя и другие характеристики, например вязкость, поверхностное натяжение и др.
4.3. Пересыщенный пар и перегретая жидкость
В лекции 3 приведено уравнение (30), предложенное Ван-дер-Ваальсом для описания состояния газов при больших плотностях. На рис. 8 изображены изотермы Ван-дер-Ваальса, т. е, кривые, описываемые уравнением (30) для нескольких температур.
Рис. 8. Рис. 9.
Характерным для этих изотерм является то, что при температурах ниже Ткр у кривых имеется S-образный участок, в области которого заданному значению давления соответствуют три различных значения объема. У изотерм, рассмотренных в предыдущем разделе, (рис. 6) такого завитка нет, вместо него у них имеется прямолинейный горизонтальный участок. На рис. 9 наложены одна на другую реальная изотерма и изотерма Ван-дер-Ваальса. Оказывается, что уравнение Ван-дер-Ваальса довольно хорошо описывает ход изотермы при объемах, больших Vг, при объемах меньших Vж; ход реальной изотермы также примерно следует уравнению Ван-дер-Ваальса. Таким образом, это уравнение охватывает не только газообразное, но и жидкое состояние вещества
Расслоение на две фазы объясняется неустойчивостью однородных состояний, отвечающих участку 1-2-3-4 (рис. 9). Неустойчивость состояний на участке 2-3 становится очевидной, если учесть, что на этом участке вещество обладало бы противоестественными свойствами: увеличение объема газа сопровождалось бы не уменьшением, а ростом давления. Состояния на участках 1-2 и 3-4 могли бы теоретически реализоваться. Действительно, при
известных условиях состояния, соответствующие этим участкам, могут осуществляться и на практике. Правда, они не вполне устойчивы: достаточно, например в состоянии А на участке 3-4 (С на участке 1-2) попадания в пар (жидкость) пылинки, чтобы все вещество распалось на две фазы и перешло в состояние В (Д). Подобные не устойчивые состояния называются метастабильными. Вещество в состояниях 1-2 называется перегретой жидкостью, вещество в состояниях 3-4 называется пересыщенным паром.
При достаточно низких температурах нижняя часть изотермы Ван-дер-Ваальса может пересекать ось V и переходить в область отрицательных давлений (участок 6-7 на нижней изотерме, рис. 9). Вещество под отрицательным давлением, очевидно, находится в состоянии не сжатия, а растяжения. Такие состояния также могут быть при известных условиях реализованы. Таким образом, участок 5-6. на нижней изотерме соответствует перегретой, а участок 6-7 – растянутой жидкости.
Рассмотрим условия, при которых могут быть осуществлены метастабильные состояния. Начнем с пересыщенного пара. Если пар совершенно не содержит посторонних включений, конденсация его в жидкость начаться не может. Для образования капельки необходимо, чтобы большое количество молекул одновременно сблизилось на расстояния того же порядка, что и расстояния между молекулами в жидкости, а это совершенно невероятно. Для возникновения конденсации необходимо наличие так называемых центров конденсации, которые улавливают подлетающие к ним молекулы и переводят их в конденсированную фазу. Центрами конденсации могут служить пылинки, капельки жидкости и, в особенности, заряженные частицы (ионы).
Таким образом, если пар тщательно очистить от посторонних включений и ионов, то он может находиться при давлении, превышающем давление насыщенных паров рнп при данной температуре. Такое состояние будет метастабильным: достаточно возникнуть хотя бы одному центру конденсации, как состояние пересыщенного пара будет нарушено и вещество перейдет в двухфазное состояние.
Метастабильные состояния могут сохраняться очень долго.
Метастабильные состояний широко используются в технике, например, при регистрации заряженных частиц в камере Вильсона и пузырьковой камере.
Из диаграммы состояния (рис. 10) следует, что жидкая фаза может существовать в равновесном состоянии только при давлениях не меньших, чем давление тройной точки (то же самое относится и к твердой фазе). При давлениях, меньших р3, наблюдаются только переохлажденные жидкости.
У большинства обычных веществ тройная точка лежит значительно ниже атмосферного давления, вследствие чего переход этих веществ из твердого состояния в газообразное осуществляется через промежуточную жидкую фазу. Так, например, тройной точке воды соответствует давление 4,58 мм рт. ст. и температура 0,0075°С. Для углекислоты давление тройной точки равно 5,11 атм (температура тройной точки – 56,6°С). Поэтому при атмосферном давлении углекислота может существовать только в твердом и газообразном состояниях.
Твердая углекислота (сухой лед) превращается непосредственно в газ. Температура сублимации углекислоты при атмосферном давлении равна 78°С.
Если удельный объем кристаллов превосходит удельный объем жидкой фазы, то поведение вещества при некоторых процессах может оказаться весьма своеобразным. Возьмем, например, подобное вещество в состоянии, изображенном точкой 1 на рис.10, и подвергнем его изотермическому сжатию. При таком сжатии давление растет, и процесс изобразится на диаграмме вертикальной прямой (см. пунктирную прямую 1–2). В ходе процесса вещество проходит такую последовательность состояний: газ – кристаллы – жидкое состояние. Подобная последовательность, очевидно, наблюдается только при температурах меньших, чем температура тройной точки. В заключение отметим еще одну особенность диаграммы состояния. Кривая испарения заканчивается в критической точке Ткр. Поэтому возможен переход из области жидких состояний в область газообразных состояний, совершаемый в обход критической точки, без пересечения кривой испарения (см. изображенный пунктиром переход 3–4 на рис. 10). На рис. 10 показано, как выглядит такой переход на диаграмме (р, V). В этом случае переход из жидкого состояния в газообразное (и обратно) совершается непрерывно, через последовательность однофазных состояний. Отметим, что точке с координатой Т, взятой на кривой испарения, отвечает на рис. 10 весь горизонтальный участок соответствующей изотермы. Непрерывный переход между жидким и газообразным состояниями возможен потому, что различие между ними носит скорее количественный, чем качественный характер; в частности, у обоих этих состояний отсутствует анизотропия. Непрерывный переход из кристаллического состояния в жидкое или газообразное невозможен, ибо характерной чертой кристаллического состояния, как мы знаем, является анизотропия. Переход же от состояния, обладающего анизотропией, к состоянию, ею не обладающему, может совершаться только скачком – анизотропия не может иметься только частично, она либо есть, либо ее нет, третья возможность исключена. По этой причине кривая сублимации и кривая плавления не могут обрываться подобно тому, как обрывается кривая испарения в критической точке. Кривая сублимации идет в точку р=0 и Т=0, кривая плавления уходит в бесконечность.
Точно так же невозможен непрерывный переход из одной кристаллической модификации в другую. Различные кристаллические модификации вещества отличаются присущими им элементами симметрии. Поскольку какой-либо элемент симметрии может только либо быть в наличии, либо отсутствовать, переход из одной твердой фазы в другую возможен только скачком. По этой причине кривая равновесия двух твердых фаз, подобно кривой плавления, уходит в бесконечность.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть I. МЕХАНИКА
Глава 1. КИНЕМАТИКА
1.1. Общие понятия 5
1.2. Векторные величины. Действия над векторами 6
1.3. Производная 8
1.4. Траектория, путь, перемещение, скорость 10
1.5. Ускорение 11
1.6. Кинематика вращательного движения 13
Глава 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. Общие понятия 14
2.2. Виды взаимодействия и сил в природе 14
2.3. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета 15
2.4. Масса и импульс тела 16
2.5. Второй закон Ньютона 17
2.6. Третий закон Ньютона 17
2.7. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея 18
2.8. Упругие силы 29
2.8.1. Деформация растяжения – сжатия 20
2.8.2. Деформация сдвига 22
2.9. Силы трения 22
2.10. Сила тяжести. Вес тела 25
2.11. Тело на наклонной плоскости 26
Глава 3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
3.1. Сохраняющиеся величины 28
3.2. Кинетическая энергия 29
3.3. Работа 30
3.4. Консервативные силы. Потенциальная энергия 31
3.5. Потенциальная энергия во внешнем поле сил тяжести Земли 32
3.6. Потенциальная энергия упругой деформации 35
3.7. Условия равновесия механической системы 35
3.8. Закон сохранения импульса 36
3.9. Соударение двух тел 38
Глава 4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
4.1. Кинематика твердого тела 39
4.3. Основной закон динамики вращательного движения.
Момент силы 41
5.3. Центробежная сила инерции 45
5.4. Сила Кориолиса 46
1. Специальная теория относительности (релятивистская механика) 47
6.2. Общая теория относительности 50
Глава 7. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
7.1. Основные понятия гидродинамики. Уравнение неразрывности 51
7.2. Уравнение Бернулли и его следствия 52
7.3. Следствия уравнения Бернулли 53
7.3.1. Горизонтальная струя жидкости 53
7.3.2. Истечение жидкости из отверстия 54
7.4. Силы внутреннего трения 55
7.5. Ламинарное и турбулентное течения 57
7.6. Течение жидкости в круглой трубе 58
7.7. Движение тел в жидкостях и газах 59
7.8. Определение вязкости жидкости с использованием
формулы Стокса 62
2. Упругие волны 65
3. Уравнение упругой волны 66
Часть 3. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 1. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА. ЖИДКОЕ СОСТОЯНИЕ
1.1. Агрегатные состояния вещества 68
1.2. Жидкое состояние. Поверхностное натяжение 71
1.3. Давление под изогнутой поверхностью 73
1.4. Равновесие на границе раздела: твердое тело, газ и жидкость 74
1.5. Капиллярные явления 75
Глава 2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. Внутренняя энергия системы
2.2. Первое начало термодинамики
2.3. Идеальный газ
2.3.1. Уравнение состояния идеального газа
2.3.2. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
2.4. Изопроцессы
2.4.1. Изотермический процесс. Закон Бойля-Мариотта
2.4.2. Изобарный процесс. Закон Гей-Люсака
2.4.3. Изохорный процесс. Закон Шарля
2.4.4. Адиабатический процесс
2.5. Газ Ван-дер-Ваальса
2.6. Осмос
2.7. Микро и макро состояния. Энтропия
2.8. Термодинамические потенциалы
2.8.1. Внутренняя энергия
2.8.2. Свободная энергия
2.8.3. Энтальпия
2.8.4. Термодинамический потенциал Гиббса
2.9.Тепловые двигатели
Глава 3. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ГАЗОВ
3.1. Характер теплового движения молекул.
Распределение Максвелла по скоростям молекул
3.2. Давление газа на стенку. Основное уравнение
молекулярно-кинетической теории газов
3.3. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
по энергиям молекул
Глава 4. ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
4.1. Фазовые состояния и диаграммы
4.2.Фазовые переходы испарения и конденсации.
Равновесие жидкости и насыщенного пара
4.3. Пересыщенный пар и перегретая жидкость
Теория
относительности
Квантовая
физика
Классическая физика
х Т
х0
t, сек
v
t, сек
а
t, сек
Рис. 2.
m
m
E
pc
mc
Рис.6.4.
А
2А
N/V N/V
Т1 (m1)
Т2 > Т1 (m2 < m1)
Т2 (m2)
Vвер Vср Vср кв V V
П1 v
И
H П2
Рис. 6.3.
Y а Y б
a y Р c
ay ayey
axex r b
ey ey n
О ex ax X О ex x X a
Y
f(x)
f(x+) А
f
x x+х X O х
а б
Рис. 1.4.
ea(t)
ea
ea(t+t)
e ee
Рис. 1.5
Y 1
s
r 2
r1
r2
Х
Рис. 1.6.
V
Vi
O t1 ti t2 t
Y Vdt=ds=Rd
R аn R
аn d
X
V V
d R
dS
d = dS/R = (Vdt)/R
а б
Рис. 1.9.
m1 V1 = 0
m2 V2 = 0
m1 a1
m2 a2
m1 V1
m2 V2
F12 F21= – F12
m1 m2
Рис. 2.2.
y K y K
P
O x O
V0t x
z z
Рис. 2.3.
F1 FУПР1 FУПР2 F2
F F
l0 l0 + l l0 – l
a F
b
Fr
F
Fтр Fтр
Fn
Рис. 2.7.
F F
F0
V2
V
V V
Рис. 2.8. Рис. 2.9.
Fр
G mg
Fр
G mg
Рис. 2.10.
X
a a = 0 a
G = m(g + a) G = mg G = m(g – a)
Рис. 2.11.
Fr
а Fn
Fтр
mgx
mgn
Х
Fg = mg
б Fr
Fn
Fтр mgx
mgn
Х
Fg = mg
Fs
0 1 ds 2 s
Рис. 3.1.
у у
vt
а б
Рис. 6.2.
Fх вн
Fвн kx
(kx2)/2
– х (kx2)/2 х
Fвн
Рис.3.2.
1
ds dsF=–dh
Fds F
sF
2 F
I
2
1
II
h
h0
а х
ЕП
ЕП0
2 Е0
Е1
F F F
1
0 х3 х1 х4 х2 х5 х
б
Рис. 3.5.
0 х
а
ЕП
kх2/2
0 х
б
Рис. 3.6.
а
О
б
1
1
О
2
1
О
О
ri
mi
O
2V
O V
O V = 0
F
Z r
r sin = l
Z
Fi,
ri
mi
a = g
ma = –mg
Fr
Fr+mg
Fr Fin=– mаin
a = ain mg
mg
Fr
a = 0
mg
Fцб
FG
mg
А V
О FК
В
FЦБ
v
v
v
р1 v1 S1, S1
F1
V1
S2
р2,
v2 S2,
V2 F2
Рис. 7.3
Вода в атмосферу
(пар)
Воздух, подсос
Рис. 7.4.
h
Рис. 7.6.
р1 р1 р1
р2 р2
Рис. 7.5.
z
v0 F
v Fтр
d
F Fтр
P R
Q
C
A B
D
P
С
A B
D
P R
Q
FСТ =
6rv FA =
mжg
Fg =
mш g
Рис. 7.16
р
Жидкость Ткр
Тв. 2
3
4
р3 Т3
1 Газ
0 Т
Рис. 10.
р
3
D A
1 B 4
С 2
5
6
0 V
7
р
Ткр
р2
р1
Т2
Т1
V11 V12 V13 V
Жидкость
Насыщенный
пар
0 Ткр Т
Т3
Т2
рнп3
рнп2
рнр1
р
Т1 < Т2 < Т3 < Ткр
Ткр
Т1
V
р 1
жидкость
газ + жидкость
рнп 2 3 газ
х у
4
Vж V Vг V
р Ткр
Т3
Т
Vж
Vг
Т
Фаза 2
Фазовый переход
Фаза 1
t (время)
р
твердая жидкая Ткр
1
1 2 2
3 газообразная
Т
Т3
n
n0
Т1 Т1 > Т2
Т2
0 h
Рис. 6.
h+dh р+dр
h р
р
р0
Т1 (М1) Т1 > Т2
(М1 < М2)
Т2 (М2)
0 h
V
V
Рис. 3
8,1 70,7% 16,6 4,6% 0,04%
% %
0 0,5 1 1,5 2 3 5 8 10-9% V/Vвер
N/V N/V
Т1 (m1)
Т2 > Т1 (m2 < m1)
Т2 (m2)
Vвер Vср Vср кв V V
р
2 3
Р2
Р1
1 4
V1 V2 V
Рис. 4.
р
1
2
4
3
V1 V2 V
Рис. 5.
Р1, V1, Т1 р2, Q11
m
m
m
Q1
A
Q2
Рис. 2.
РАБОЧЕЕ
ТЕЛО
ХОЛОДИЛЬНИК
НАГРЕВАТЕЛЬ
Раствор
Сахара
h
Вода
Рис. 10.
р
0 V
2
р
р1 1 Т1 > Т2
Т2 Т1
р2
0 V1 V2 V
р
р
0 V1 V2 V
V
V2
V1
0 Т1 Т2 Т
р
р2
р1
Т1 Т2 Т
р
р2
р1
0 V V
V
V2
V1
Т Т
р
р1
р2
0 V1 V2 V
р
р2
р1
Т Т
р
I
1 2
II
0 V1 V2 V
р
рi
0 V1 dVi V2 V
S
dh
р
dSi
р dhi
R
r
h
–h
а б
Рис. 1.13.
h0
Е
Е
Еg
Епов
0 h0 h
Fгж
l Fжт
Fгт
газ lгж
жидкость
lгт lжт
твердое тело
F
dl
l Fпов. Fвн
dx
а б
в г
а б
Рис. 1.6.
область область