Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Модуль 2. Математичне моделювання водних екосистем та динаміки популяцій
Змістовий модуль 3. Математичне моделювання гідроекологічних процесів і функціонування водних екосистем
Лекція 9
Основні принципи та особливості математичного моделювання гідроекологічних процесів
Водні ресурси, їх класифікація за видами водокористування
В залежності від цільвого використання водних об’єктів їх поділяють на 3 види: господарсько-питного, комунально-побутового та рибогосподарського призначення.
До господарсько-питного водокористування належить використання водних об’єктів як джерел господарсько-питного водопостачання, а також для водопостачання підприємств харчової промисловості.
До комунально-побутового водокористування належить використання водних об’єктів для купання, заняття спортом і відпочинку населення.
До рибогосподарських водних об’єктів належать водотоки, водойми і їх окремі ділянки, що використовуються для промислового добування риби та інших об’єктів водного промислу або мають значення для відтворення запасів риби. Водні об’єкти даного виду користування в свою чергу поділяють на 3 категорії:
- вищої категорії, до якої належать ділянки водних об’ктів в місцях розташування нерестилищ, зимувальних ям і масового нагулу особливо цінних видів риб, мешкання промислових водних ссавців, а також в охоронних зонах господарств будь-якого типу для штучного розведення та вирощування цінних видів риб, водних тварин і рослин
- першої категорії, до якої належать водні об’єкти, які використовуються для збереження і відтворення цінних видів риби, що мають високу чутливість до вмісту кисню у воді
- другої категорії, якої належать водні об’єкти, які використовуються для інших рибогосподарських потреб.
Крім того окремо виділяють водні об’єкти із спеціально встановленими нормами якості води (ВСНЯ), до яких відносяться водні об’єкти прикордонних, лікувальних, заповідних зон, болота, а також водні об’єкти з наявністю специфічних особливостей природного складу і властивостей води, наприклад, підвищеного природного вмісту завислих речовин, мінеральних солей, заліза, алюмінію, міді і т.п. Для таких об’єктів встановлюються окремі показники складу і властивостей води, додатково або замість показників для водних об’єктів господарсько-питного, комунально-побутового та рибогосподарського водокористування.
Види та категорії водокористування водних об’єктів і їх ділянок встановлюються радами відповідних рівнів за поданням органів рибоохорони, Мінекоресурсів та МОЗ України.
Основні задачі математичного моделювання гідроекологічних процесів
Математичне моделювання гідроекологічних процесів проводиться за декількома напрямками:
Математична модель динаміки РК-БСК Фелпса-Стрітера
Класичними результатами в області математичного моделювання кисневого режиму і динаміки органічної речовини є математична модель Стрітера і Фелпса:
(9.1)
де СБПК –концентрація органічної речовини, мгО2/л
СРК –концентрація розчиненого у воді кисню О2/л
к1=к1(СРК) –константа швидкості біохімічного окислювання (за таблицями)
к2=к2(Т) –константа аерації, що залежить від температури Т
С*РК –концентрація насиченого кисню у воді О2/л
Перше рівняння (9.1) має розв’язок:
(9.2)
Якщо задана початкова умова у вигляді:
(9.3)
(9.4)
То підставивши (9.3) у (9.2) визначимо . Отже розв’язок першого рівняння (9.1) при умові (9.3) буде:
(9.5)
Підставимо (9.5) у друге рівнянн (9.1):
(9.6)
Рівняння (9.6) –неоднорідне лінійне. Для його розв’язання розглянемо лінійне рівняння:
(9.7)
Розв’язок (9.7) буде: .
За методом варіації довільної сталої (Лагранжа) розв’язок (9.6) шукатимемо у вигляді:
(9.8)
Візьмемо похідну від (8.8):
(9.9)
Прирівняємо праві частини (9.6) і (9.9) і скористаємось розв’язком (9.8):
(9.10)
Звідки
(9.11)
(9.12)
(9.13)
(9.14)
Проінтегруємо (9.14):
(9.15)
Підставимо (8.15) у (8.8)
(9.16)
або (9.17)
Для знаходження В підставимо початкову умову (9.4) у (9.16):
(9.18)
Звідки
(9.19)
Рівняння (8.5), (8.17), (8.19) утворюють модель Фелпса-Стрітера динаміки РК-БСК.
Коефіцієнт к2 –найчастіше визначають за формулою, діб-1:
. (9.20)
Концентрацію насиченого кисню у воді визначають за формулою:
(9.21)
Лекція 10
Математичне моделювання розповсюдження забруднювачів у водному середовищі
Стаціонарна модель молекулярної дифузії без джерел і перетворень
Розповсюдження стічних вод у відкритих водних потоках описується рівнянням:
(10.1)
де –компоненти швидкості течії в напрямках координат x, y, z;
–коефіцієнти турбулентної дифузії в напрямках координат x, y, z;
С –концентрація забруднюючої речовини;
G –джерела або стоки забруднюючої речовини.
Якщо в процесі розповсюдження речовини настає рівновага, то такий процес вважають стаціонарним і приймають .
Якщо забруднення розповсюджуються в нерухомому середовищі (озері видовженої форми), то стаціонарна модель цього процесу за відсутності в системі джерел і самоочищення описується рівнянням:
(10.2)
Даний процес будемо розглядати на кінцевому проміжку розповсюдження забруднень від точки х1 до х2.
Після подвійного інтегрування рівняння (10.2) одержимо:
(10.3)
, (10.4)
Де А і В –поки що невідомі параметри.
Для визначення параметрів А і В скористаємося граничними умовами, які можуть бути задані в 3 варіантах.
. Відомі значення концентрацій забруднення на границях ділянки (озера), де розповсюджуються забруднення:
, (10.5)
де С1 –концентрація забруднених стоків у точці х1, С2 - –концентрація забруднених стоків у точці х2.
Підставивши (27) у (24) одержимо:
(10.6)
Почленно віднімемо рівняння (10.6):
(10.7)
Звідки
(10.8)
Підставимо (10.8) у перше рівняння (10.6):
(10.9)
Отже підставивши (10.9) і (10.8) у (10.4) одержимо розв’язок у вигляді:
(10.10)
Для спрощення формули (10.10) покладемо х1=0, х2=l (l –відстань від точки х1 до х2). Тоді одержимо:
(10.11)
1. Якщо концентрацію забруднень у стічних водах позначити через Сз, а концентрацію забруднень в кінці озера через Св, то формула (10.11) матиме вигляд:
(10.12)
Формула (10.12) є шуканою математичною моделюю стаціонарного процесу розповсюдження забруднень в озері у функціональній формі.
. В точці скидання стічних вод відома концентрація і градієнт забруднень:
(10.13)
Підставивши (10.13) у (10.4) отримаємо:
(10.14)
Таким чином математична модель набуде вигляду:
(10.15)
3. Якщо градієнт забруднень заданий у кінцевій точці х=l, то математична модель матиме вигляд (10.15).
Використовуючи (10.15) можна знайти таку точку х0 на ділянці розповсюдження забруднень, в якій вода буде чистою (С=0):
(10.16)
Змістовий модуль 4. Математичне моделювання динаміки популяцій
Лекція 11
Математичні моделі динаміки окремих популяцій
Характеристики популяції (повторення 2-го курсу)
Популяція —це група особин одного виду, що живуть спільно у певній частині ареалу існування й обмінюються генетичною інформацією.
Популяцію можна кількісно описати за допомогою ряду параметрів і характеристик, як от:
Швидкість росту. Найважливішою характеристикою динаміки популяції є швидкість росту числа особин. Динаміку популяції можна визначити, знаючи:
Швидкість росту популяції визначається як приріст числа особин популяції за одиницю часу. Якщо —приріст числа особин за певний інтервал часу , то середня швидкість росту популяції визначається як відношення
Якщо число особин зростає з часом (> 0), то швидкість росту чисельності популяції позитивна, а якщо зменшується (< 0) —то негативна.
Миттєву швидкість росту популяції отримують шляхом граничного переходу:
Специфічна (або питома, відносна) швидкість росту популяції —це зміна числа особин популяції в одиницю часу в розрахунку на 1 особину. Середня специфічна швидкість росту дорівнює:
відповідно, миттєва специфічна швидкість визначається як
На практиці завжди вимірюють середню швидкість росту.
Математична модель динаміки популяції Томаса Мальтуса
Перша мат модель динаміки популяцій була запропонована Томасом Мальтусом в 1778 р. Першочергово вона стосувалася народонаселення Землі, а пізніше була узагальнена на будь-яку популяцію.
Нехай N(t) –чисельність популяції в момент часу t. Функцією приросту R(t) наз. Відносну зміну чисельності за час :
(11.1).
Якщо приріс популяції сталий, тобто , то закон, що управляє динамікою в моделі Мальтуса матиме вигляд:
(11.2)
Перейшовши до границі по отримаємо звичайне диференціальне рівняння:
(11.3)
Для знаходження єдиного розв’язку рівняння (11.3) задамо початкову умову:
, (11.4)
Де N0 –чисельність популяції в початковий момент часу t=t0.
Рівняння (11.3) розв’яжемо ментодом розділення змінних:
(11.5)
(11.6)
(11.7)
Звідки (11.8)
Підставимо початкову умову (11.4) в загальний розв’язок (11.8):
, (11.9)
Отже,
(11.10)
Для визначення коефіцієнта r (питомої швидкості розмноження) прологарифмуємо (11.10):
(11.11)
(11.12)
Отриманий розв’язок (10) за моделлю Мальтуса передбачає необмежене зростання чисельності популяції по експоненціальному закону і добре описує розмноження колоній деяких бактерій до виснаження культурального середовища (їжа). Графік цієї функції наз. кривою зростання (розмноження) популяції (рис.11.1).
Рис.11.1 –Крива зростання чисельності популяції за експоненціальним законом
З іншого боку, питому швидкість розмноження –параметр r –можна біологічно інтерпретувати як різницю між питомою швидкістю народження b і питомою швидкістю смертності d
(11.13)
Показник r часто використовують для кількісної характеристики репродуктивної пристосованості організмів у генетичному розумінні і наз. біотичним потенціалом, тобто цей показник характеризує вроджену властивість організмів до розмноження та виживання. За природних умов у короткочасні періоди, коли мається достатньо їжі, відсутні скупченість і хижаки-вороги, для популяції часто проявляється експоненціальний характер зростання чисельності. За таких умов уся популяція зростає з величезною швидкістю, хоча при цьому кожен організм розмножується з постійною швидкістю. Проте, сприятливі для розмноження умови не можуть в природі довго існувати через вплив навколишнього середовища, присутність хижаків та інших несприятливих для життя тієї чи іншої популяції факторів. Взаємодія популяції з іншими та вплив зовнішнього середовища значно зменшує швидкість розмноження. Зокрема, якщо питома швидкість смертності d перевищує питому швидкість народження b, то величина буде від’ємною і розв’язок рівняння (11.5) запишеться у вигляді:
(11.14)
Графік функції (11.14) буде спадним з асимптотою N=0 (рис.11.1 пунктир).
В природі необмежене зростання неможливе, так як стримуючі фактори присутні завжди. Чисельність популяції, як правило, відчуває невеликі коливання відносно деякої величини.
Лекція 12
Математична модель динаміки популяції П. Ф. Ферхюльста
Одним із перших, хто звернув увагу на коливання чисельності популяції відносно деякої величини був П.Ф. Ферхюльст, який сформулював у 1845 р. закон, що містив обмеження на зростання популяції. Він пояснив це тим, що будь яка екологічна ніша може забезпечити існування популяції тільки визначеного максимального розміру К=Nmax і що коефіцієнт приросту повинен зменшуватися, коли розміри популяції наближаються до К. За його моделлю чисельність популяції описується логістичним рівнянням:
, (12.1)
або
. (12.2)
Розділивши змінні у (16) отримаємо:
(12.3)
Враховуючи, що маємо:
(12.4)
Проінтегруємо (12.4):
(12.5)
(12.6)
(12.7)
Експоненціюємо (12.7):
(12.8)
Якщо відомо, що в початковий момент часу t=0 число особин популяції становило N=N0, то підставивши у (12.8) матимемо:
(12.9)
Підставимо (12.9) у (12.8):
(12.10)
Звідки
(12.11)
(12.12)
(12.13)
Розв’язок логістичного рівняння (12.13) зображується сигмовидною кривою, яка наз. логістичною кривою (рис.12.1). Асимптотою кривої є пряма N=K.
Рис.12.1 –Логістична крива Фергюльста
Основні висновки по моделі Фергюльста:
Більшість біологічних процесів за сприятливих і стабільних природних умов дуже добре описується логістичним рівнянням, причому максимальний рівень розмноження популяції визначається ємністю середовища К, а швидкість розмноження (крутість кривої і положення точки перегину М0) залежить від величини r=b-d (рис.12.1).
«Жорсткі» та «м’які» математичні моделі динаміки популяцій
Визначення «жорстких» та «м’яких» математичних моделей динаміки популяцій
Розглянемо найпростішу модель динаміки популяції –модель Мальтуса:
(r=b-d) (12.14)
Модель Мальтуса передбачає необмежене зростання чисельності популяції по експоненціальному закону, однак в природі необмежене зростання неможливе, так як стримуючі фактори присутні завжди. Отже, модель мальтуса досить «жорстка» і не може описувати зростання чисельності популяції протягом тривалого періоду. «Жорсткість» цієї моделі пов’язана з параметром r, який вважається сталим. Тому «жостку» модель Мальтуса доцільно замінити іншою, так званою «мякою» моделлю:
, (12.15)
де параметр розглядається як змінна величина, що залежить від чисельності популяції і може враховувати зворотний зв’язок, який може набути такого вигляду:
(12.16)
Внаслідок таких уточнень я заміни постійного («жосткого») параметра r змінним («м’яким»), одержимо так звану логістичну модель Фергюльста , які запишемо у вигляді:
(12.17)
Побудуємо графіки залежності швидкості розмноження популяції від її чисельності та графік чисельності популяції залежно від часу для обох моделей.
Аналіз рис.12.2 дозволяє зробити висновок, що похідна функції N(t) додатня при t>0. Отже функція N(t) буде зростаючою при всіх N>0 (рис.12.3).
Аналіз рис.12.4 дозволяє зробити висновок, що для логістичної моделі в точках О і К швидкість розмноження популяції дорівнює нулю: це стаціонарні точки. Похідна функції N(t) додатня при і від’ємна при . Отже функція N(t) буде зростаючою при і спадною при .
За рис.12.5 очевидно, що логістична модель прогнозує встановлення з часом стаціонарного режиму N=K, який є стійким, тобто кількість особин, що перевищує К, зменшується, а кількість особин, що менша за К, збільшується.
Примітка: Населення Землі на сьогоднішній день становить близько 6 млрд, стаціонарне значення за різними оцінками всених становить 16-20 млрд осіб.
Лекція 13
Оптимізація параметрів для математичних моделей динаміки популяції
Логістична модель є значним розширенням експоненціального закону. Але вона теж має певні рамки застосування. Нехай логістична модель (12.17) описує розмноження популяції риб в озері. Якщо на кількість риби впливають тільки природні фактори, то за певних сприятливих природних умов чисельність риби можна спрогнозувати за допомогою моделі (12.17). Але, якщо в розвиток риб втрутилась людина, наприклад, якщо щорічно виловлюється q одиниць риби, то замість моделі (12.17) потрібно розглянути модель:
(13.1)
За допомогою заміни змінних
(13.2)
рівняння (13.2) приведемо до простішого вигляду:
(13.3)
Модель популяції риб (34) описує динаміку чисельності риб у нових умовах, коли починає діяти антропогенний фактор. Дослідимо рівняння (13.3) та побудуємо графік зміни швидкості розмноження і графік динаміки популяції риб у нових умовах при різних значеннях інтенсивності вилову риби Q.
Стаціонарний режим (він же й оптимальний) визначається з умови рівності 0 правої частини (13.3):
. (13.4)
Знайдемо корені квадратного рівняння:
(13.5)
Залежно від значень Q матимемо різні корені рівняння (13.5).
) Якщо Q=1/4, то D=0 і рівняння (13.3) має один корінь В=1/2. Побудуємо графіки згідно рівняння (13.5) при Q=1/4.
Аналіз рис.13.1 дозволяє зробити висновок, що для даного випадку точка В=1/2 –стаціонарна. Похідна функції B(t) від’ємна при всіх B>0. Отже функція B(t) повинна бути спадною при всіх B>0, тому графік залежності чисельності популяції риби від часу набуде вигляду.
Аналізуючи рис.13.2 можна зробити висновок, що значення інтенсивності вилову риби Q=1/4 приводить до одного стаціонарного режиму: буде-яке початкове значення чисельності популяції з часом виходить на стаціонарний режим В=1/2. Але цей стаціонарний режим є нестійким: невелике випадкове зменшення чисельності B<1/2 приводиться до повного знищення популяції за обмежений відрізок часу.
. При великому вилові риби Q>1/4 підкореневий вираз (13.5) від’ємний, отже розв’язків (13.4) не має і відповідно стаціонарний режим не можливий. Графік залежності швидкості розмноження від чисельності популяції матиме вигляд (рис.13.3).
Аналіз рис.13.3 дозволяє зробити висновок, що для даного випадку похідна функції B(t) від’ємна при всіх B>0. Отже функція B(t) повинна бути спадною при всіх B>0, тому графік залежності чисельності популяції риби від часу набуде вигляду (рис.13.4).
Отже, при інтенсивності вилову риби Q>1/4 популяція знищується за певний проміжок часу, якою б великою вона не була в початковий момент часу.
. При малій інтенсивності вилову будемо мати два корені рівняння (13.4) –В1 і В2 і відповідно два стаціонарні режими. Побудуємо графіки згідно рівняння (13.3).
Аналіз рис.13.5 дозволяє зробити висновок, що для даного випадку похідна функції B(t) від’ємна при B<B1 і В>B2 і додатна при . Отже функція B(t) повинна бути спадною при B<B1 і В>B2 і зростаючою при , тому графік залежності чисельності популяції риби від часу набуде вигляду (рис.13.6).
Таким чином, при чисельності популяції B<B1 популяція з часом знищується повністю, при чисельність популяції з часом збільшується і виходить на стаціонарний режим В2, при В>B2 чисельність популяції з часом зменшується і виходить на стаціонарний режим В1.
Таким чином, планування вилову риби приводить до повного знищення жорстко регульованої системи внаслідок виникнення нестійких режимів, що з’являються при оптимізації. Замінимо «жорстке» планування вилову «м’яким», що враховує зворотній зв’язок, тобто величина вилову залежить від чисельності популяції. Нехай ця залежність має такий вигляд:
(13.6)
де параметр (диференційована квота) підлягає вибору.
У даному разі модель (13.3) набуває вигляду:
(13.7)
Стаціонарний режим
При режим буде стійким, оскільки . При –нестійкий, оскільки .
За графіком рис. 13.7 видно, що похідна функції В(t) від’ємна при , отже на цих проміжках функція буде спадною. При похідна функції В(t) додатня, відповідно функція зростаюча.
Виходячи з даного аналізу побудуємо залежність чисельності популяції від часу (рис.13.8).
Таким чином інтенсивність вилову при стаціонарному режимі .
Знайдемо величину значення параметра при максимальному вилові риби. Для цього прирівняємо до нуля похідну інтенсивності вилову:
. (13.8)
(13.9)
Звідки.
Математичне моделювання динаміки біоценозів з урахуванням міжвидових відносин
В природі кожна популяція існує не відокремлено від інших, а взаємодіючи з ними. При цьому можливі різні види взаємовідносин між видами:
1. Хижацтво (+;-): один вид пригнічує розвиток іншого (жертви), а інший вид (жертва) прискорює розвиток першого (хижака)
. Конкуренція (–,–): кожен з видів має пригнічуючий негативний вплив на розвиток іншого виду, хоча імнує внутрішньовидова конкуренція.
. Симбіоз (+,+) або коменсалізм (+,0): кожен з видів прискорює розвиток іншого або один вид дістає вигоду від іншого, нее завдаючи йому шкоди, але й не приносячи користі.
Розвиток окремо взятої популяції можна описати експоненціальним або логістичним рівнянням:
(13.10)
(13.11)
Нехай маємо дві популяції чисельністю N1 i N2, які взаємодіють між собою. Розмноження кожної з них будемо описувати логістичним рівнянням, а їх взаємодію опишемо членом, пропорційним N1N2. Тоді у випадку взаємовідносин типу «хижацтво» динаміка популяцій опишеться системою:
(13.12)
У випадку взаємовідносин типу «конкуренція» динаміка популяцій опишеться системою:
(13.13)
При взаємовідносинах типу «симбіоз» динаміка популяцій опишеться системою:
(13.14)
При взаємовідносинах типу «коменсалізм» динаміка популяцій опишеться системою:
(13.15)
Лекція 14