Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Уральский государственный технический университет - УПИ
Радиоавтоматика
Учебное пособие
Екатеринбург
2007
УДК 519.71, (075.9)
Авторы:
Астрецов Д.В.,
Самусевич Г.А.
Радиоавтоматика: Учебное пособие/ Д.В. Астрецов, Г.А. Самусевич. Екатеринбург: 2007. 154 с.
Представленная работа является конспектом лекций, читаемых в течение ряда лет на радиотехническом факультете УГТУ – УПИ для студентов специальностей: «Средства связи с подвижными объектами», «Радиоэлектронные системы». Программа курса «Радиоавтоматика» охватывает широкий круг вопросов от общих представлений о следящих радиотехнических системах до методов анализа качества их работы и коррекции систем в соответствии с заданными показателями качества. Основной целью, которую должен преследовать студент, должно быть знакомство с наиболее часто встречающимися системами радиоавтоматики, овладением приемами составления математических моделей таких систем и методами их исследования.
Работа содержит достаточно подробное описание методов анализа и коррекции линейных непрерывных систем и систем с прерывистым режимом работы.
Библиогр.: 7 назв. Рис. 78. Табл. 9.
Подготовлено кафедрой «Радиоэлектронные и телекоммуникационные системы».
© Астрецов Д.В., Самусевич Г.А., 2007
|
[1] Оглавление [2] 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [2.1] 1.1. Система автоматической подстройки частоты [2.2] 1.2.. Система фазовой автоподстройки частоты [2.3] 1.3. Система автоматического сопровождения цели бортовой РЛС [2.4] 1.4. Система автоматической регулировки усиления [2.5] 1.5. Система измерения дальности РЛС [2.6] 1.6. Обобщенная структурная схема системы РА [2.7] 1.7. Классификация систем РА [3] 2. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ [3.1] 2.1. Уравнение состояния системы [3.2] 2.2. Методы линеаризации [3.2.1] 2.2.1. Линеаризация статической нелинейности [3.2.2] 2.2.2. Линеаризация динамической нелинейности. [3.3] 2.3. Математические методы описания характеристики линейных непрерывных систем [3.3.1] 2.3.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка [3.3.2] 2.3.2. Передаточная функция [3.3.3] 2.3.3. Частотные характеристики [3.3.3.1] 2.3.3.2. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) [3.3.4] 2.3.4. Временные характеристики [3.3.4.1] 2.3.4.1. Импульсная переходная характеристика [3.3.4.2] 2.3.4.2. Переходная характеристика [3.3.5] 2.3.5. Методы определения временных характеристик [3.3.5.1] 2.3.5.1. Классический метод [3.3.5.2] 2.3.5.2. Методы, основанные на использовании преобразования Лапласа [3.3.5.3] 2.3.5.3. Моделирование САУ [3.4] 2.4 Типовые звенья [3.4.1] Идеальное усилительное звено. [3.4.2] 2.4.2 Идеальное интегрирующее звено. [3.4.3] 2.4.3 Инерционное звено. [3.4.3.1] 2.4.3.1. Комплексный коэффициент передачи звена и его характеристики [3.4.3.2] 2.4.3.2. Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ) [3.4.3.3] 2.4.3.3. Временные характеристики инерционного звена [3.4.4] 2.4.4. Форсирующее звено [3.4.4.1] 2.4.4.1. Передаточная функция форсирующего звена [3.4.4.2] 2.4.4.2. Комплексный коэффициент передачи звена и его характеристики [3.4.5] 2.4.5. Сравнение свойств интегрирующего и инерционного звеньев [3.4.6] 2.4.6. Колебательное звено [3.5] 2.5. Структурные преобразования [3.5.1] 2.5.1. Стандартные соединения [3.5.1.1] 2.5.1.1. Параллельное соединение элементов [3.5.1.2] 2.5.1.2. Последовательное соединение элементов [3.5.1.3] 2.5.1.3. Встречно – параллельное соединение элементов [3.5.2] 2.5.2. Система с единичной отрицательной обратной связью [3.5.3] 2.5.3. Системы с двумя входными воздействиями [3.6] 2.6 Устойчивость линейных непрерывных систем [3.6.1] 2.6.1. Определение устойчивости [3.6.2] 2.6.2. Анализ устойчивости по расположению корней характеристического уравнения [3.6.3] 2.6.3. Критерий Михайлова [3.7] 2.6.4. Критерий Найквиста [3.7.0.1] 2.6.4.1.Общий случай критерия Найквиста [3.7.0.2] 2.6.4.2. Частный случай. Устойчивые в разомкнутом состоянии системы [3.8] 2.7. Показатели качества линейных непрерывных систем [3.8.1] 2.7.1. Показатели, определяемые по виду переходной характеристики [3.8.1.1] 2.7.2.1. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно – частотной характеристики системы в замкнутом состоянии . [3.8.1.2] 2.7.2.2. Показатели качества, определяемые по виду логарифмических частотных характеристик [3.8.1.3] 2.7.2.3. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно – фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии (АФХ) [3.9] 2.8. Показатели точности в установившемся режиме работы системы [3.9.1] 2.8.1. Ошибки по регулярному задающему воздействию х(t) [3.9.2] 2.8.2. Ошибки, вызванные помехой f(t) [3.10] 2.9. Техническое задание, запретные зоны [3.10.1] 2.9.1. Техническое задание на проектирование системы [3.10.2] 2.9.2. Построение запретных зон по колебательности [3.10.3] 2.9.3. Построение запретных зон по точности [3.11] 2.10. Коррекция системы [3.11.1] 2.10.1. Последовательный корректирующий фильтр [3.11.2] 2.10.2. Пример коррекции системы [3.11.2.1] 2.10.2.1. Построение логарифмических частотных характеристик (ЛАХ). [3.11.2.2] 2.10.2.2. Построение амплитудно – фазовой характеристики (АФХ). [3.11.2.3] 2.10.2.3. Регулярные ошибки в установившемся режиме [3.11.2.4] 2.10.2.4. Случайные ошибки в установившемся режиме [3.11.3] 2.10.2. Применение последовательного корректирующего фильтра [3.11.4] 2.10.3. Анализ полученных результатов [3.11.4.1] 2.10.3.1. Применение фильтра с опережением по фазе [3.11.4.2] 2.10.2.2. Применение фильтра с запаздыванием по фазе [4] 3. Системы с прерывистым режимом работы [4.1] 3.1. Импульсные системы радиоавтоматики [4.2] 3.2. Понятие о дискретных функциях и разностных уравнениях [4.3] 3.3. Дискретное преобразование Лапласа и Z - преобразование [4.4] 3.4. Передаточные функции импульсных автоматических систем [4.5] 3.5. Оценка устойчивости импульсной автоматической системы [4.6] 3.6. Качество процессов в линейных импульсных системах [4.7] 3.7. Цифровые системы радиоавтоматики [4.8] 3.8. Цифровая фильтрация [5] Библиографический список [5.1] 1 Основная литература [5.2] 2 Дополнительная литература [5.3] Рис. 2.10. Сравнение свойств интегрирующего и инерционного звеньев [5.4] Рис. 2.4. АФХ интегрирующего звена |
Системы РА функционируют на основе автоматиче ского измерения и дальнейшего преобразования входного сигнала, в качестве которого могут использоваться раз личные параметры сигналов: электрическое напряжение в системах стабилизации источников питания, частота или фаза напряжения в системах автоматической подстройки частоты, направление прихода радиолокацион ного сигнала в системах автоматического сопровождения станций (РЛС) по угловым координатам.
Всякий процесс управления, функциональная схема которого приведена на рис. 1.1, подразумевает наличие некоторого устройства — объекта управления (ОУ), режим работы которого автоматически изменяется в соответствии с сигналом управления u(t), сформированным в устройстве управления (УУ) по управляющему воздействию x(t). Например, в системе фазовой автоподстройки частоты объектом управления является генератор, частота колебаний напряжения которого (выходной сигнал системы) автоматически поддерживается на за данном уровне, определенном частотой входного сигнала. В системе автоматического сопровождения цели РЛС объектом управления является электромеханическое устройство — антенна РЛС, продольная ось которой авто матически следит за направлением на сопровождаемую цель. Угол отклонения продольной оси антенны от выбранного направления отсчета углов определяет выход ной сигнал системы автоматического сопровождения цели РЛС.
Выходной сигнал объекта управления y(t) называют регулируемым, он измеряется с помощью специального датчика (Д), связанного с объектом управления. Очевидно, что измерение связано с ошибками, возникающими из-за шума измерения [на рис. 1.1 это обстоятельство учитывается введением дополнительного сигнала g(t)].
Объект управления работает в условиях изменения окружающей среды (температуры, давления, влажности и т. п.), колебаний напряжений источников питания. Влияние этих факторов в функциональной схеме учиты вается введением случайного сигнала g(t), который называют возмущающим воздействием.
Изменение режима работы объекта управления осуществляется сигналом управления u(t), который вырабатывается во второй части системы — устройстве управления. Требуемый характер управления выходным сигналом определяется управляющим воздействием (входным сигналом) x(t).
В зависимости от принципа формирования сигнала управления u(t) различают два основных вида систем РА: разомкнутые и замкнутые. В разомкнутых системах (рис1.1, а) сигнал управления зависит только от управляющего воздействия:
u(t)=f(x) (1.1)
В таких системах РА обеспечивается заранее заданная функциональная связь между управляющим воздействием и выходным сигналом. Из-за помех, действующих на систему, и нестабильности устройств не удается получить высокую точность работы разомкнутых систем РА, поэтому их применяют редко.
В замкнутых системах или в системах с обратной связью (рис. 1.1,6) сигнал управления формируется на основании измерения управляющего воздействия и выходного сигнала:
u(t) = f(x,yu) (1.2)
Выражения (1.1) и (1.2) называют алгоритмами или законами управления систем РА. За счет обратной связи слияние на качество работы замкнутых РА помех и нестабильности устройств в значительной степени компенсируется. Очевидно, что в разомкнутых системах такой компенсации не происходит, поэтому качество их работы намного ниже, чем в замкнутых системах.
Помимо управляющего воздействия на вход систем РА воздействуют различные помехи n(t), снижающие качество работы систем. Например, в системах автоматического сопровождения РЛС возникновение помех обусловлено флуктуациями сигнала из-за неоднородности диаграммы отражения цели, а также перемещением центра отражения радиолокационного сигнала по цели. В радиотехнических устройствах большое распространение получили системы, в которых сигнал управления и(t) формируется по измеренному отклонению выходного сигнала от входного воздействия f (t), Схема такой системы показана на рис. 1.2. Сигнал, поступающий с выхода системы на ее вход, называют сигналом обратной связи, разность
e(t)=f(t)-yu(t) (1.3)
— сигналом рассогласования или сигналом ошибки, а устройство, измеряющее e(t)—измерителем рассогласования, который совместно с устройством управления образует регулятор системы РА. Не следует путать сигнал ошибки с ошибкой системы, которая равна разности управляющего воздействия х(t) и выходного сигнала y{t).
Системы РА, построенные подобным образом, называют системами, работающими по принципу отклонения или рассогласования.
Существуют также системы, работающие по принципу компенсации возмущающих воздействий (рис. 1.3). В таких системах возмущающее воздействие измеряется датчиком (Д) и используется для формирования сигнала управления u(t). При выполнении определенных соотно шений можно добиться того, чтобы выходной сигнал не зависел от возмущающего воздействия g(t), что является достоинством таких систем управления.
Ниже рассматриваются несколько конкретных систем РА, используемых в различных по назначению радиотехнических устройствах и системах радиоуправления.
Системы автоматической подстройки частоты (АПЧ) применяются в радиоприемных устройствах, доплеровских системах измерения скорости подвижных объектов, устройствах частотной селекции сигналов.
Рассмотрим систему АПЧ радиоприемного устройства, предназначенную для поддержания промежуточной частоты сигнала на заданном уровне (рис. 1.4). Входной сигнал - напряжение uc{t) частотой пр— преобразуется в смесителе (СМ) в напряжение промежуточной частоты пр, усиливается усилителем промежуточной частоты (УПЧ) и подается на частотный дискриминатор (ЧД). Если промежуточная частота сигнала отличается на от ее номинального значения, равного центральной частоте УПЧ, то на выходе ЧД возникает напряжение, зна чение и знак которого зависят от значения и знака отклонения промежуточной частоты . Напряжение с ЧД через фильтр нижних частот (ФНЧ) подается на гетеродин (Г) (перестраиваемый генератор), частота сигнала которого перестраивается таким образом, что отклонение уменьшается, в результате чего промежуточная частота с заданной точностью оказывается равной центральной частоте УПЧ про.
Рассмотрим основные соотношения, определяющие точность работы системы АПЧ в установившемся режиме, полагая для простоты, что коэффициент передачи ФНЧ равен единице.
Отклонение промежуточной частоты сигнала пр от ее номинального значения
=пр-про=с-г (1.4)
где пр=с-г; с=со+с — частота входного сигнала; г=го+г - частота сигнала гетеродина; с, г - отклонения частот входного сигнала и гетеродина от номинальных значений со, го.
Напряжение на выходе ЧД является функцией отклонения промежуточной частоты от номинального значения:
uчд=F() (1.5)
Зависимость F() называют дискриминационной характеристикой (рис. 1.5). При малых значениях дискриминационная характеристика линейна и выражение (1.5) принимает вид
uчд=kчд (1.6)
где kчд — коэффициент передачи ЧД (крутизна пеленгационной характеристики). Под действием напряжения, снимаемого ЧД, частота сигнала с гетеродина перестраивается на
=kг uчд (1.7)
где kг — коэффициент передачи гетеродина.
Из выражений (1.4), (1.6) и (1.7) следует, что ошибка регулирования промежуточной частоты в системе АПЧ
=1/(1+К) с (1.8)
где К=КчдКг— коэффициент передачи системы АПЧ.
Коэффициент передачи является одной из основных характеристик системы АПЧ, его значение во многом определяет точность стабилизации промежуточной частоты, динамические характеристики системы. Из выражения (1.8) следует, что с увеличением коэффициента передачи ошибка (1.8) уменьшается. Зная допустимую ошибку и максимальное значение по (1.8), можно найти необходимый коэффициент передачи системы АПЧ. По соотношениям (1.4) —(1.7) на рис. 1.6 построена структурная схема системы АПЧ относительно отклонений от их номинальных значений
На схеме указаны возмущающие воздействия, влияющие на точность работы системы АПЧ; n(t) —флуктуационная составляющая напряжения, поступающего с частотного дискриминатора; δг— нестабильность частоты гетеродина.
Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) применяются в радиоприемных устройствах, перестраиваемых по частоте генераторах высокостабильных колебаний и других устройствах. Функциональная схема си стемы ФАПЧ показана на рис. 1.7. Система стабилизирует частоту подстраиваемого генератора (ПГ) по сигналу с высокостабильного эталонного генератора (ЭГ).
Объектом управления в системе ФАПЧ является ПГ, частота колебаний (или фаза) напряжения которого изменяется в зависимости от напряжения, вырабатываемого управляющим элементом (УЭ), при этом напряжение ПГ остается неизменным. Частота напряжения ПГ является выходным сигналом системы ФАПЧ. На систему действует напряжение от эталонного генератора с частотой э, этот сигнал является управляющим воздействием.
Измерителем рассогласования является фазовый детектор {ФД), выходной сигнал которого является нелинейной периодической функцией разности фаз сигналов, подаваемых от ЭГ и ПГ. Сигнал с ФД через фильтр нижних частот ФНЧ подается на УЭ, который перестраивает частоту ПГ, приближая ее к частоте ЭГ. В установившемся режиме в системе устанавливается постоянная разность фаз между напряжениями uэ и uг, при этом на пряжение на выходе ФД также будет постоянным, в результате чего частота сигнала с ПГ окажется равной частоте сигнала. Начальное рассогласование частот от ЭГ и ПГ
н=э-ги (1.9)
где ги — начальная частота сигнала ПГ.
После включения системы ФАПЧ частота сигнала ПГ
г=ги+гу (1.10)
Составляющая гу возникает из-за перестройки частоты ПГ и определяется выражением
гу=kгkуэuфд= kгkуэF()kД (1.11)
где kг — коэффициент передачи ПГ по частоте; kуэ — ко эффициент передачи УЭ; kД — коэффициент, равный максимальному напряжению на выходе ФД; —разность фаз напряжений ЭГ и ПГ.
Для простоты принято, что ФНЧ отсутствует и напряжение с ФД подается на УЭ. Величина
уд= kгkуэkД (1.12)
имеющая размерность круговой частоты, определяет максимальное допустимое начальное рассогласование частот н, которое может быть скомпенсировано в системе ФАПЧ, эту величину называют полосой удержания системы. С учетом выражений (1.11) и (1.12) частота сигнала с ПГ (1.10) оказывается равной
г=ги+уд F() (1.13)
Разность фаз сигналов с ЭГ и ПГ определяется выражением
(1.14)
где 0 — начальное значение разности фаз. Из последнего выражения следует, что
= э-г (1.15)
В установившемся режиме разность фаз — постоянная величина, поэтому частота сигнала ПГ равна частоте сигнала ЭГ, т, е. ошибка стабилизации частоты сигнала П Г равна нулю. Подставив в выражение (1.15) формулу (1.13), получим нелинейное дифференциальное уравнение для системы ФАПЧ:
+удF()=и (1.16)
Уравнение (1.16) является основным дифференциальным уравнением системы ФАПЧ; из этого уравнения следует, что в любой момент времени алгебраическая сумма разности частот э-г и расстройки является постоянной величиной, равной начальному рассогласованию частот сигналов ЭГ и ПГ.
Уравнениям (1.9) —(1.15) соответствует структурная схема системы ФАПЧ, изображенная на рис. 1.8. Блок 1/р позволяет выполнить операцию интегрирования, соответствующую выражению (1.14), возмущение n(t) учитывает влияние на качество работы системы флуктуационной составляющей напряжения, а воздействие δг — влияние нестабильности частоты ПГ.
Радиолокационная станция (РЛС) сопровождения предназначена для автоматического измерения составляющих угла отклонения линии визирования (линия РЛС — сопровождаемая цель) в системе координат OXС YСZС,, связанной с летательным аппаратом (рис. 1.9, а). Антенна РЛС устанавливается в карданном подвесе, наружная рамка которого вращается в горизонтальной, а внутренняя — в вертикальной плоскостях (рис. 1.9,6). С антенной связана система координат OXAYAZA , ОХА которой нормальна к плоскости внутренней рамки карданного подвеса и совпадает с продольной осью антенны. Для измерения углов отклонения линии визирования в горизонтальной у и вертикальной г плоскостях на рамках карданного подвеса устанавливаются аналоговые или цифровые датчики.
Современные РЛС строятся как моноимпульсные (одноимпульсные) системы, в которых измерение угловых координат сопровождаемой цели осуществляется по одному отраженному от цели импульсу. РЛС — это многоканальное устройство, два канала требуются для измерения составляющей угла отклонения линии визирова ния в горизонтальной плоскости и два —для измерения в вертикальной плоскости. Для этого в антенне РЛС формируются одновременно в каждой из плоскостей две остронаправленные перекрещивающиеся диаграммы направленности. На рис. 1.10, а изображены две такие диаграммы направленности для пеленгации цели в вертикальной плоскости; диаграммы разнесены относительно равносигнального направления (РСН) на постоянный угол с. Если линия визирования отклонена от РСН на угол е, который является сигналом рассогласования в системе автосопровождения, то сигналы, принятые по диаграммам направленности, будут различными: сигнал Е1, принятый по верхней диаграмме направленности, будет больше сигнала Е2, принятого по нижней диаграмме:
(1.17)
где Е0 — сигнал, принимаемый по РСН; kA — постоянный коэффициент.
Разность амплитуд принятых сигналов
Ер = Е 1 - Е2 = 2КАеЕ0 (1.18)
пропорциональна углу отклонения линии визирования от РСН. Для того чтобы исключить влияние на измерение напряжения, пропорционального углу отклонения е от абсолютных значений принимаемых сигналов Е1 и Е2, разностный сигнал (1.18) нормируется суммарным сигналом;
Ес = Е1 + Ег = 2Е0. (1.19)
В этом случае отношение амплитуды разностного сигнала (1.18) к амплитуде суммарного сигнала (1.19)
Ер/ Ес = kAe = S (1.20)
пропорционально углу отклонения линии визирования от РСН. Зависимость (1.20) называют пеленгационной характеристикой (рис. 1.10, б). Эта характеристика определяет коэффициент передачи приемника РЛС, допустимый диапазон угла рассогласования от РСН.
На рис. (1.11) показана функциональная схема моноимпульсного приемника, в котором реализация соотношения (1.20) обеспечивается устройством автоматической регулировки усиления (АРУ). Суммарный сигнал (1.19) является также опорным сигналом для фазового детектора
uфд=kфдkАe (1.21)
где kфд— коэффициент передачи фазового детектора.
На рис. 1.12, а показана структурная схема системы автосопровождения РЛС, из которой видно, что напряжение с приемника (П) через корректирующее устройство (КУ) подается на усилитель мощности (УМ), на который подступает и сигнал с местной обратной связи (МОС).
Усилитель мощности вводится для обеспечения нормальной работы электрического двигателя (ЭД), который через редуктор (Р) поворачивает антенну (Л) в направлении уменьшения сигнала рассогласования, не превышающего в режиме сопровождения цели допустимого значения. С помощью КУ, включенного после фазового детектора приемника, и местной обратной связи обеспечивается устойчивость и необходимые динамические свойства системы автосопровождения цели РЛС.
Система автосопровождения работает в условиях действия ряда возмущающих воздействий (помех), основными из которых являются следующие: флуктуация отраженного от цели радиолокационного сигнала, угловой шум, обусловленный перемещением по цели центра отражения сигнала (блуждание блестящей точки), шум первых каскадов приемника. Эти возмущающие воздей ствия снижают точность работы системы автосопровождения. На структурной схеме системы (рис. 1.12, а) эти воздействия учитываются введением возмущающего воздействия n(t).
Регулируемым параметром в системе автосопровождения цели является угол отклонения оси антенны РЛС Фа от продольной оси летательного аппарата ОХС, а уп равляющим воздействием (входным сигналом) — угол отклонения линии визирования ц. Объект управления — антенна РЛС, состояние которой (угол отклонения и его производные) должно изменяться так, чтобы продольная ось антенны с необходимой точностью была направлена на сопровождаемую цель, а производные от ее угла от клонения не превышали допустимых значений.
Системы автоматической регулировки усиления (АРУ) широко применяются в радиоприемных устройствах различного назначения, они предназначены для стабилизации уровня сигнала на выходе усилителей при большом динамическом диапазоне изменения входного сигнала, достигающим, например, в радиолокационных приемниках 60—100 дБ. При таком диапазоне изменения входного сигнала и отсутствии системы АРУ нарушается нормальная работа приемных устройств, что проявляет ся в перегрузке последующих каскадов приемника. В сис темах автоматического сопровождения цели РЛС перегрузка каскадов приемника приводит к искажению ам плитудной модуляции, к снижению коэффициентов усиления, вплоть до срыва сопровождения. В системах стабилизации частоты большой динамический диапазон изменения сигнала вызывает изменение крутизны дискри минационной характеристики, что резко снижает качество работы системы.
Системы АРУ делятся на три основных типа [7]: 1) с обратной связью (с обратным действием); 2) без обратной связи (прямого действия); 3) комбинированные. Существуют одно- и многопетлевые системы АРУ с не прерывной и цифровой регулировкой.
Функциональная схема системы АРУ с обратной связью показана на рис. 1.13. Входное напряжение uвх(t) поступает на усилитель (У) с регулируемым коэффициентом усилении. Выходное напряжение этого усилителя детек тируется, после чего суммируется с напряжением задерж Ки uз. Суммарное напряжение ис усиливается усилите лем постоянного тока (УПТ) и подается на фильтр ниж них частот (ФНЧ). Напряжение с ФНЧ uу используется для регулировки коэффициента усиления входного сигнала. Зависимость коэффициента усиления усилителя входного сигнала от управляющего напряжения называ ют регулировочной характеристикой. В общем случае эта характеристика нелинейная, однако приближенно она может быть заменена линейной зависимостью вида
k(uу)=k0 — auy, (1.22)
где k0 — коэффициент усиления при управляющем напря жении, равном нулю; а — крутизна регулировочной ха рактеристики.
Изменение коэффициента усиления может быть достигнуто различными способами: путем включения управляемого аттенюатора, изменением крутизны характери стик электронных приборов и др. [7]. В качестве приме ра на рис. 1.14 показана схема усилителя с регулируе мым коэффициентом усиления, в котором управляющее напряжение подается на базу транзистора VT. При уве личении управляющего напряжения напряжение на ба зе повышается, в результате чего коэффициент усиления каскада уменьшается.
Эффект стабилизации уровня выходного напряжения uвых(t) достигается за счет того, что с ростом уровни uвых(t) увеличивается и управляющее напряжение uу, под действием которого в соответствии с выражением (1.22) уменьшается коэффициент усиления усилителя входного сигнала, что приводит к снижению уровня вы ходного сигнала.
Для того чтобы не снижать усиление при слабых входных сигналах и начать управление коэффициентом уси ления усилителя только при достижении входным сигна лом определенного уровня в систему АРУ подают напря жение задержки ЕЕЕ3. В результате напряжение управления появится только в том случае, когда напряжение с амплитудного детектора превысит напряжение за держки.
ФНЧ в цепи обратной связи системы АРУ предназначен для передачи управляющего напряжения с частотами изменения уровня выходного напряжения АРУ. При этом ФНЧ не должен пропускать колебания управляю щего напряжения с частотами спектра полезной модуля ции сигнала uвх(t), в противном случае происходит де модуляция входного сигнала, ослабляющая выходной сигнал.
Непосредственно из схемы рис. 1.13 следует, что напряжение на выходе УПТ
если
, если (1.23)
где kд— коэффициент передачи детектора.
Управляющее напряжение на выходе ФНЧ находят из следующего дифференциального уравнения:
Tuу + uу=uф (1.24)
Напряжение на выходе системы АРУ
(1.25)
Уравнениям (1.23) — (1.25) соответствует структурная схема системы АРУ, изображенная на рис. 1.15. В этой схеме нелинейное звено описывается зависимостью
(1.26)
Отличительной особенностью системы АРУ по сравнению с системами РА, рассмотренными в предыдущих параграфах, является зависимость коэффициента передачи системы от времени, что происходит из-за наличия в системе (рис. 1.15) звена с коэффициентом передачи k(t). Кроме того, из-за нелинейного звена с характеристикой (1.26) система АРУ является нелинейной. Анализ нелинейных систем с перемен ными параметрами явля ется сложной задачей
В установившемся режиме при постоянном уровне напряжения на входе системы АРУ из уравнений (1.23) — (1.26) следуют следующие соотношения:
(1.27)
где kупт — коэффициент усиления УПТ.
Уравнение (1.27) определяет регулировочную характеристику системы АРУ с обратной связью (кривая 2 на рис. 1.16). на этом же рисунке изображена характе ристика без АРУ (кривая 1) и регулировочная характе ристика с идеальной системой АРУ (кривая 3).
Дальномер РЛС предназначен для измерения даль ности до выбранной цели, информация о которой исполь зуется в счетно-решающих устройствах систем наведе ния летательных аппаратов, навигационных комплексах и др.
Принцип работы дальномера базируется на измере нии сдвига между зондирующими импульсами, следуе мыми через интервал времени Т, и импульсами, отражен ными от цели. Отраженные от цели импульсы искажены шумами, поэтому непосредственное измерение дальности по времени задержки связано с большими ошибками. Для повышения точности измерения в дальномере формиру ются следящие импульсы, временное положение которых относительно зондирующих импульсов оказывается про порциональным дальности до цели и незначительно за висит от шумов. На рис. 1.17 приведена упрощенная функциональная схема дальномера импульсной РЛС [17].
В режиме измерения дальности отраженный от цели импульс (ОИ) через приемник поступает на вре менной дискриминатор (ВД), на второй вход которого с генератора импульсов (ГИ) подаются на два следую щих друг за другом следящих импульса. Во временном дискриминаторе вырабатывается напряжение, пропор циональное рассогласованию временного положения от раженного импульса относительно оси симметрии следящих импульсов:
u=kД(tR–tи )=kД t (1.28)
где t— рассогласование по времени между от и следящими импульсами; tR = 2R/c — время отраженного импульса относительно зондирующе го;
tи — время задержки следящих импульсов; R — измеряемая дальность; с — скорость света.
На рис. 1.18 приведены эпюры напряжения, пояс няющие принцип работы временного дискримина тора. Если временное рас согласование t не равно нулю, то во временном дискриминаторе выраба тываются два импульса, длительности которых
1=/2 - t;
21=/2 + t, (1.29)
где — длительность от раженного импульса.
Импульсы длительно стями 1 и 2 детектируются, разность полученных напряжений является выходным напряжением временного дискриминатора uД. На каждом периоде измерения дальности напряжение с выхода вре менного дискриминатора фиксируется экстраполятором (Э) и сбрасывается до нуля перед приходом следующей пары следящих импульсов. Напряжение с Э через ФНЧ подается на временной модулятор (ВМ), который зон дирующим импульсом (ЗИ), задержанным на время, пропорциональное сигналу с ФНЧ, запускает ГИ, фор мирующий два следящих импульса. Таким образом, об разуется замкнутый контур, в котором рассогласование сводится к минимальному значению, определяющему ошибку измерения дальности.
Для повышения точности работы в ФНЧ дальномера включают интегратор, при этом рассогласование t при измерении постоянного значения дальности сводится к нулю, а напряжение на выходе ФНЧ в установившемся режиме пропорционально измеряемой дальности:
(1.30)
где kвм — коэффициент передачи временного модулятора.
Для повышения точности измерения дальности в современных РЛС в ФНЧ дальномера включают два интегратора, в такой системе ошибка измерения дальности равна нулю при изменении расстояния до цели по линей ному закону.
Описанные процессы поясняют работу дальномера в импульсной РЛС, здесь информация об измеряемой дальности может быть получена только в дискретные моменты времени, отстоящие на период повторения, поэтому рассмотренный дальномер относится к классу импульсных систем РА.
На рис. 1.19 показана структурная схема дальномера, в которой ключ характеризует импульсный характер сигнала, а звено с характеристикой F(e) соответствует временному дискриминатору (вид этой характеристики зависит от отношения сигнал/шум и длительности сле дящих импульсов); n(t) —случайная помеха, ухудшаю щая качество работы дальномера.
Сравнивая различные системы РА, рассмотренные в п.п. 1.2—1.6, нетрудно установить, что их структурные схемы во многом повторяют одна другую. Аналогия структурных схем систем РА позволяет составить их обобщенную структурную схему (рис. 1,20). На этой схе ме приняты следующие обозначения: x(t) — входной сигнал или управляющее воздействие (угол поворота линии визирования в системе автоматического сопровождения цели РЛС, частота эталонного генератора в системе фа зовой подстройки частоты и т. п.); y(t) —выходной сиг нал илирегулируемый параметр (угол поворота антенны РЛС, частота перестраиваемого генератора); e(t) -сигнал рассогласования, или сигнал ошибки. Работа сис тем РА происходит в условиях действия различных помех
На обобщенной структурной схеме системы влияние помех учитывается введением возмущающего воздействия n(t), поступающего на вход системы. Это воздействие может состоять из нескольких составляющих, напри мер, в системе автоматического сопровождения цели РЛС оно состоит из флуктуации отраженного от цели сигнала, воздействия, возникающего из-за перемещения центра отражения радиолокационного сигнала по поверхности цели, шумов первых каскадов электронных приборов приемника и т. п. Возмущающее воздействие g(t) поступает на объект управления системы РА, это воздействие обусловлено в основном изменением условий окружающей среды (температуры, давления, влажности и т. п.) и флуктуациями источников питания.
Известно, что одним из основных недостатков непрерывных систем РА является дрейф нуля их регулировочных (амплитудных) характеристик. В обобщенной структурной схеме системы РА влияние дрейфа нуля учитывается сигналом сдвига ξ(t), например, в системах автоматического сопровождения цели РЛС сигнал ξ(t) учитывает дрейф нуля пеленгационной характеристики. Функциональные устройства (ФУ) систем РА, указанные в обобщенной структурной схеме, включают устройства измерения сигнала ошибки, исполнительные и корректирующие устройства, предназначенные для создания необходимых динамических характеристик [например, к этой части системы относится ФНЧ в системе фазовой подстройки частоты (см. рис. 1.8)]. На рис. 1.20 ОУ – объект управления (антенна в РЛС, перестраиваемый генератор в системе фазовой подстройки частоты), F(e) – дискриминатор, который, как отмечалось, имеет нелинейную характеристику. При малых сигналах ошибки амплитудная характеристика дискриминатора может быть принята линейной:
uД = kДe (1.31)
Форма дискриминационной характеристики зависит от амплитуды сигнала ошибки, что приводит к нежелательным изменениям динамических характеристик систем РА. Для исключения такой зависимости проводится нормировка сигнала по амплитуде, что достигается путем введения АРУ или ограничителя.
Иногда в системах радиоуправления радиотехнических устройств встречаются системы, структурные схемы которых отличаются от их рассмотренной обобщенной схемы, например системы автоматического сопровождения бортовых РЛС выполняются как комплексные системы, в которых для повышения точности имеется дополнительный канал. Однако в этих случаях введенная обобщенная структурная схема РА является основной для анализа ее качественных и количественных характе ристик.
Системы РА классифицируются по различным признакам. Например, по принципу построения, как отмечалось, различают системы с управлением по отклонению и возмущению.
По виду входного сигнала системы РА делятся на:
В зависимости от вида уравнений, описывающих процессы в системах, различают непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, стационарные (с постоянными параметрами) и нестационарные (с переменными параметрами) системы РА, Одна и та же система может характеризоваться несколькими признаками, например система автоматической регулировки усиления – это нестационарная нелинейная система.
В современных радиотехнических устройствах важную группу составляют цифровые системы, в состав которых входят вычислительные машины или элементы этих машин. С точки зрения математического описания цифровые системы РА являются дискретными нелинейными.
Для улучшения качества работы систем РА в управ ляющем устройстве могут вырабатываться не только сигналы управления, но и изменяться алгоритмы управления и перестраиваться параметры системы (коэффициенты усиления звеньев, постоянные времени корректирующих устройств), в результате чего достигается высокое качество работы системы. Подобные системы РА называются адаптивными.
В настоящем разделе изучается одноконтурная аналоговая динамическая система автоматического управления. Динамической называется любая физическая система, все элементы которой, и в первую очередь объект управления, описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для математического описания динамики рассматриваемой системы используется метод пространства состояний. Вводится n-мерный вектор состояния системы
(2.1)
«T» - знак транспонирования.
Составляющие вектора (2.1) называются переменными состояния.
Система управляемая, поэтому вводится r-мерный вектор управления
(2.2)
т.е. система обладает r степенями свободы и управления.
Динамика описывается системой n дифференциальных уравнений состояния, решенных относительно производных переменных состояния первого порядка
. (2.3)
Векторное уравнение состояния системы имеет вид
, (2.4)
где - непрерывно дифференцируемая по всем своим аргументам вектор-функция (в рассматриваемом случае стационарная).
Переменные состояния есть функции времени, в результате чего вектор состояния в пространстве состояния описывает кривую, называемую траекторией движения системы.
Выходные (измеряемые или наблюдаемые) величины образуют n-мерный вектор , связанный с векторами состояния и управления зависимостью
(2.5)
где - дифференцируемая n-мерная вектор-функция.
При заданных векторах управления и начальных условий интегрирование уравнения состояния (2.4) позволяет определить зависимость и в соответствии с уравнением (2.5) – закон изменения входной величины , т.е. динамический режим работы системы.
В общем случае вектор-функции и в уравнениях (2.4) и (2.5) являются нелинейными. Если эти функции удаётся линеаризовать, то изучение подобных нелинейных, но линеаризованных систем, проводятся с применением значительно более простых методов применимых для линейных систем автоматического управления.
Методы линеаризации можно разделить на две группы:
Статическая нелинейность задается функцией и может быть представлена графически. Пусть линеаризация проводится при , , . При достаточно малом диапазоне изменения аргумента справедливо соотношение
, (2.6)
Введя обозначение , получим линейное уравнение относительно новой переменной
. (2.7)
Если диапазон изменения аргумента х функции настолько велик, что провести линеаризацию на всем диапазоне невозможно, то выбираются несколько значений аргумента определяющие рабочие (опорные) режимы работы системы (или элемента системы). Тогда в достаточно небольшом диапазоне изменения переменной х относительно выбранного рабочего режима получим линеаризованное уравнение (2.7) с коэффициентом . Значения коэффициентов при этом могут существенно отличаться друг от друга.
а) Линеаризация относительно положения равновесия.
Динамический режим работы системы задан уравнениями (2.4) или (2.5). Пусть для системы существует стационарный режим, определяющий её положение равновесия, т.е.
(2.8)
Таким образом, в положении равновесия вектора - постоянные. Если отклонения достаточно малы, то линеаризация уравнений (2.4) или (2.5) приводит к уравнениям вида
Частные производные вектор-функций и по составляющим векторов и образуют матрицы A, B, C, D, все элементы которых постоянны.
(2.9)
b) Линеаризация относительно опорного динамического режима.
Пусть задан некоторый динамический режим работы системы (опорный режим), т.е. заданы вектор-функции , на отрезке времени . Если отклонения невелики, то линеаризованые уравнения совпадают с уравнениями (2.9), но матрицы коэффициентов в них , , , - являются функциями времени.
(2.10)
Рассматривается линейная или линеаризованная одноконтурная стационарная система n-го порядка с одним входным воздействием. Уравнения (2.9) после соответствующих преобразований всегда можно свести к одному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами, а уравнения (2.10) – к уравнению с переменными коэффициентами. В данной дисциплине будут рассматриваться только уравнения с постоянными коэффициентами.
Итак, входное задающее воздействие системы , выходная величина - . Линейная система автоматического управления n-го порядка описывается дифференциальным уравнением
(2.11)
где n и m – наибольшие порядки производных функций и , – постоянные коэффициенты. Для системы с полной информацией все эти параметры должны быть заданы.
При заданном входном воздействии и заданных начальных условиях
(2.12)
интегрирование уравнения (2.11) однозначно определяет закон изменения выходной величины для всех моментов времени (динамический режим работы системы).
Передаточной функцией W(s) комплексной переменной s называется отношение изображения выходной величины к изображению входного воздействия при нулевых начальных условиях. Нулевые начальные условия для линейных непрерывных систем всегда предполагаются. (Этот вопрос будет рассмотрен ниже при описании временных характеристик). Таким образом,
(2.13)
где – оператор прямого преобразования Лапласа, - оператор обратного преобразования Лапласа.
Чтобы получить передаточную функцию системы, заданной уравнением (2.11), необходимо к обеим частям этого уравнения применить преобразование Лапласа. Тогда передаточная функция W(s) представляется в виде отношения двух полиномов комплексной переменно s.
(2.14)
где и – обозначение полиномов.
Приравнивая нулю, полином знаменателя, называемый характеристическим, формируется характеристическое уравнение
. (2.15)
Решением этого алгебраического уравнения являются значения n корней характеристического уравнения или полюсов передаточной функции
Аналогично, приравнивая нулю полином числителя получаем в качестве решения нули передаточной функции Тогда, используя теорему Виета, передаточная функция представляется в виде
В зависимости от того, являются ли полюса или нули вещественными или комплексно-сопряженными, передаточная функция представляется в виде произведения передаточных функций определенного набора типовых звеньев. Например,
(2.16)
Типовые звенья будут подробно рассмотрены в следующем разделе.
2.3.3.1. Комплексный коэффициент передачи
Применение частотных характеристик приводит к косвенным методам анализа систем. Их преимущество в возможности использования исключительно наглядных графических и графо-аналитических методов.
Вручную построенные характеристики используются для предварительного, достаточно приближенного анализа и коррекции системы с последующим уточнением результатов с применением цифровой вычислительной техники.
Рассматриваемые ниже частотные характеристики являются характеристиками комплексного коэффициента передачи. При этом используются две формы представления .
(2.17)
где - вещественные характеристики, - амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики системы.
2.3.3.2. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)
Это наиболее часто используемая характеристика системы, представляющая собой годограф на комплексной плоскости, изображенный при изменении частоты в диапазоне Полная характеристика должна быть построена в диапазоне изменения частоты Но в силу ее симметричности относительно точки используется только половина этой характеристики. В зависимости от формы представления в выражении (2.17) годограф строится в декартовой или полярной системе координат. В обоих случаях искомая кривая задается в параметрической форме, следовательно, при построении годографа теряется информация об изменении частоты при движении по годографу. Поэтому должны быть предусмотрены способы определения значения частоты в любой заданной точке годографа. Например, в ряде точек графика АФХ указывается значение соответствующей частоты.
2.3.3.3. Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ)
АФХ несет полную информацию о свойствах системы, но построение ее графика достаточно трудоемко. Проще построить графики логарифмических частотных характеристик. ЛАХ – это совокупность логарифмических амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, построенных с применением логарифмического масштаба по оси частот (рис. 2.2).
(2.18)
Подробно методы построения ЛАХ будут рассмотрены ниже после изучения типовых звеньев, так как в этом случае передаточную функцию W(s) представляют в виде набора типовых звеньев (см (2.16)).(
Используя графики ЛАХ, для ряда точек на оси частот определяют значения амплитуды и фазы . Далее, используя полярную систему координат, находят точки на графике АФХ. Так можно построить, хотя и приближенно, всю характеристику.
Выходная величина, т.е. функция полностью определяет исследуемый режим работы системы. Она зависит как от свойств самой системы, так и от вида входного воздействия. Чтобы отвлечься от влияния последнего, рассматривают реакцию системы на стандартные, пробные и входные воздействия. Эта реакция зависит только от свойств системы и рассматривается как одна из её характеристик. Для исследования динамики системы наиболее часто используется две из них.
2.3.4.1. Импульсная переходная характеристика
Импульсная переходная характеристика – это реакция системы на идеальное импульсное входное воздействие. Математической моделью его является дельта-функция . Эта функция равна нулю для всех моментов времени, кроме момента . Площадь под кривой равна единице, и поэтому амплитуда при бесконечна.
Итак,
(2.19)
Импульсная переходная характеристика используется для анализа устойчивости системы.
2.3.4.2. Переходная характеристика
Переходная характеристика – это реакция системы на функцию включения, моделью которой служит единичный скачок . Эта функция равна нулю для отрицательных моментов времени , единице для положительных моментов и не определена при .
(2.20)
Временные характеристики связаны между собой. Поскольку
(2.21)
то по одной из этих характеристик всегда можно определить другую
(2.22)
Для наглядности используют графики этих характеристик, где они изображаются обязательно в масштабе, при этом, переходная характеристика изображается на фоне единичного скачка (рис. 2.3).
2.3.5.1. Классический метод
Метод основан на непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений.
Для определения импульсной переходной характеристики интегрируют уравнение (2.11) после подстановки в него входного воздействия и его производных. Линейные системы всегда имеют нулевые начальные условия, т.е. при входное воздействие отсутствует и выходная величина и ее n-1 производных равны нулю. Дельта-функция на входе и ее производная приводят при к скачкообразному изменению начальных условий, а далее их действия прекращаются и правая часть уравнения (2.11) в этих условиях становится равной нулю. Поэтому рассматривают начальные условия для моментов времени , сколь угодно приближающихся к нулю слева, и – справа от нуля.
(2.23,2.24)
При не все составляющие вектора начальных условий должны быть равны нулю.
Величина скачка вектора зависит только от параметров системы. В первую очередь – от соотношений между величинами порядков n и m, во вторую – от коэффициентов и уравнения (2.11). Формулы для вычисления составляющих вектора можно найти в литературе (например, в )
Таким образом, импульсная переходная характеристика определяется интегрированием линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
(2.25)
с начальными условиями (2.24).
Общее решение уравнения (2.25) имеет вид
(2.26)
где - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.24), si – корни характеристического уравнения системы (2.15).
Характер изменения функции зависит исключительно от характера корней si. Подробный анализ решения уравнения (2.25) будет проведен при изучении устойчивости САУ.
Дифференциальное уравнение для переходной характеристики получается подстановкой функции и ее производных в уравнение (2.11) и интегрированием его при . И в этом случае при происходит скачок начальных условий, т.е.
(2.27,2.28)
Формулы для вычисления можно найти в литературе, например, в .
Итак, для положительных моментов времени для переходной характеристики справедливо линейное неоднородное (с правой частью) дифференциальное уравнение n-го порядка
(2.29)
Общее решение
(2.30)
где – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.27), – корни характеристического уравнения (2.26), – частное решение уравнения (2.28), определяемое видом его правой части.
2.3.5.2. Методы, основанные на использовании преобразования Лапласа
В общем случае согласно определению передаточной функции (см.(2.13)) справедливо соотношение
что позволяет определить формулы для вычисления изображений временных характеристик.
а) (2.31)
б) (2.32)
Если задана передаточная функция , то, используя обратное преобразование Лапласа, определяются функции и . Самым универсальным является метод, основный на применении теоремы о вычетах.
Пусть известны корни характеристического уравнения (2.15) . Тогда аналогично формуле (2.16) справедливо соотношение
(2.33)
Применяя обратное преобразование Лапласа, получим выражение, совпадающее с (2.26)
. (2.34)
При разложении изображения появляется дополнительный нулевой корень его характеристического уравнения . Таким образом,
2.3.5.3. Моделирование САУ
Определение временных характеристик с применением описанных выше методов, если и возможно, то весьма трудоемко даже для систем невысокого порядка. Поэтому широко используется моделирование систем: аналоговое или цифровое, наиболее распространенное в последнее время. Различают два вида моделирования: структурное и абстрактное.
а) Структурное моделирование.
Состав и закон изменения машинных переменных модели непосредственно совпадают с составом и законом изменения физических переменных, отличающихся только масштабными коэффициентами.
б) Абстрактное моделирование.
Для упрощения математического описания системы производится замена физических переменных системы некоторыми абстрактными. С участием абстрактных переменных формируется аналоговая или цифровая модель. Примером абстрактной математической модели является описание системы дифференциальными уравнениями.
В предыдущем разделе было показано, что любая передаточная функция может быть представлена как произведение передаточных функций типовых звеньев (см. (2.19)). Это обстоятельство в ряде случаев позволяет существенно упростить расчеты, связанные с анализом и проектированием линейных систем. В данном разделе будут рассмотрены наиболее значимые характеристики типовых звеньев.
k – безразмерный коэффициент усиления. (2.37)
АФХ звена вырождается в точку с координатой (k,0) на вещественной оси комплексной плоскости.
ЛАХ звена: L(ω) = 20lg(k) = const, ϕ(ω) = 0.
График функции L= L(ω) – прямая, параллельная оси частот, проходящая на уровне 20lg(k) ; график функции ϕ = ϕ(ω) совпадает с осью частот.
, (2.38)
где k – коэффициент усиления, его размерность [k] = (радиан в секунду),
T – постоянная времени звена, [T] = с.
Комплексный коэффициент передачи звена
, . (2.39)
, , . (2.40)
Согласно выражению (2.39) годограф комплексного коэффициента передачи инерционного звена совпадает с отрицательной частью мнимой оси. Когда частота ω = 0 его амплитуда бесконечна, с увеличением частоты она уменьшается и при годограф приходит в начало координат.
График L = L() логарифмической амплитудно-частотной характеристики интегрирующего звена (учитывая логарифмический масштаб по оси ) представляет собой прямую с наклоном – 20 дБ/дек во всей области частот (0 <), пересекающую ось на частоте = k. (Наклон -20 дБ/дек означает, что при увеличении частоты в 10 раз (на декаду) величина L() уменьшится на 20 дБ).
Логарифмическая фазочастотная характеристика во всей области частот равна () – 90. На рис. 2.5 точно один под другим изображены графики ЛАХ интегрирующего звена.
Рис. 2.5. ЛАХ идеального интегрирующего звена
Инерционное звено имеет передаточную функцию
. (2.41)
k – безразмерный коэффициент усиления, для идеального инерционного звена k = 1, при звено (2.41) представляет совокупность усилительного и идеального инерционного звеньев.
T – постоянная времени звена, [T] = с.
Значения параметров k и T для инерционного звена не зависят друг от друга.
2.4.3.1. Комплексный коэффициент передачи звена и его характеристики
= , . (2.42)
График АФХ )см. рис. 2.6) представляет собой полуокружность радиусом k/2, начинается она (при ω = 0) в точке (k,0) вещественной оси и при приходит в начало координат.
2.4.3.2. Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ)
, ,
(2.43)
Второе слагаемое в выражении (2.43) (т.е. при k = 1) имеет хорошее приближение в виде линейно – ломанной кривой, асимптотически приближающуюся к истинной кривой на малых и больших частотах.
Таким образом, асимптотические логарифмические характеристики идеального инерционного звена представляются выражениями (учитывая единичный коэффициент усиления и постоянную времени T):
L() = 20lg(A())=, () = – arctgT. (2.44)
График асимптотической амплитудно-частотной характеристики L = L()идеального инерционного звена представляет
собой ломаную линию, совпадающую с осью в диапазоне изменения частот от нуля до частоты сопряжения con = и прямую, имеющую наклон – 20 дБ/дек, для частот, больших частоты сопряжения (рис.2.7).
Рис. 2.7 ЛАХ инерционного звена
График функции L = L() при должен быть поднят на величину 20lg(k), если она положительная, и опущен, если она отрицательная (при k<1).
График фазо-частотной характеристики инерционного звена строится в соответствии с данными табл.1.
() = -– arctg T. Таблица 1
|
|
0 |
0,1/T |
0,2/T |
0,5/T |
1/T |
2/T |
5/T |
10/T |
|
|
() |
0 |
–6 |
–11 |
–26 |
–45 |
–90 +26 |
–90 +11 |
–90 +6 |
–90 |
2.4.3.3. Временные характеристики инерционного звена
В простейших случаях инерционное звено может служить моделью некоторой системы автоматического управления первого порядка. Графическое изображение временных характеристик позволяет оценить характер динамики такой системы. Функции , определяющие эти характеристики, будут получены с применением таблиц преобразования Лапласа, приведенных в приложении 1.
a). Импульсная переходная характеристика .
Изображение её согласно формуле (2.35) имеет вид
(2.45)
b). Переходная характеристика .
Изображение её согласно формуле (2.36)
. (2.46)
На рис. 2.8 представлены графики этих характеристик.
2.4.4.1. Передаточная функция форсирующего звена
. (2.45)
k – безразмерный коэффициент усиления,
T – постоянная времени звена, [T] = с.
Значения этих параметров для форсирующего звена не зависят друг от друга. Для идеального форсирующего звена коэффициент усиления k = 1.
2.4.4.2. Комплексный коэффициент передачи звена и его характеристики
, ,
. (2.46)
Второе слагаемое выражения (16) или L(ω) при k = 1 аппроксимируется линейно - ломаной
L() = 20lgωT = , () = +arctg T. (2.47)
Таким образом, график L = L() идеального форсирующего звена совпадает с осью на частотах, меньших частоты сопряжения < , а на частотах больших частоты сопряжения > является прямой с наклоном +20 дБ/дек (увеличение L() на 20 дБ при увеличении частоты в 10 раз).
Фазовая характеристика форсирующего звена соответствует табл. 4.
() = +arctg T. Таблица 4
|
|
0 |
0,1/T |
0,2/T |
0,5/T |
1/T |
2/T |
5/T |
10/T |
|
|
() |
0 |
6 |
11 |
26 |
45 |
90 –26 |
90 –11 |
90 –6 |
90 |
Рис. 2.9. ЛАХ идеального форсирующего звена
Анализ графических изображений характеристик инерционного звена (см. рис. 2.6, 2.7, 2.8) с аналогическими характеристиками идеальных усилительного и инерционного звеньев позволяет сделать следующие заключения о свойствах инерционного звена:
Особенно наглядно это можно продемонстрировать на примере сравнения логарифмических частотных характеристик (ЛАХ) рассматриваемых звеньев. действительно, на малых частотах характеристики инерционного звена , совпадают с аналогичными характеристиками усилительного звена. Набольших частотах асимптотическая логарифмическая характеристика как инерционного, так и интегрирующего звеньев имеет наклон -20 дБ/дек. И в том и другом случаях ϕ(ω) = -90°.
Особый интерес представляет сравнение свойств интегрирующего звена (W(ω) = 1/ωT) и последовательности инерционных звеньев:
, , ,…,,…,
. (2.48)
На рис. 2.10 приведены графики характеристик интегрирующего и инерционного звеньев. Следует отметить, что введение коэффициентов ki изменяет характерные частоты инерционных звеньев, равных 1/Tki а частота ω = 1/T = k в этих условиях является коэффициентом усиления интегрирующего звена Сравнение изображений ЛАХ показывает, что в пределе, когда , ЛАХ последовательности (2.48) инерционных звеньев в диапазоне частот около частоты ω = 1/T полностью совпадает с ЛАХ интегрирующего звена. Следовательно, должны совпадать в этом диапазоне и другие характеристики.
Итак, при наличии в передаточной функции системы (или элемента системы) интегрирующих звеньев её АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, которая поворачивает конец видимой части АФХ против часовой стрелки на угол, равный девяноста градусам, помноженный на число интегрирующих звеньев.
Передаточная функция колебательного звена имеет вид
, 0 < ξ < 1. (2.49)
k – безразмерный коэффициент усиления, равный единице (k = 1) для идеального колебательного звена,
T – постоянная времени звена, [T] = с,
ξ – коэффициент демпфирования.
Характеристическое уравнение колебательного звена и его корни
,
, . (2.50)
Итак, корни характеристического уравнения колебательного звена имеют отрицательную вещественную часть, система второго порядка, описываемая колебательным звеном устойчивая.
Многие свойства динамики переходного процесса колебательного звена переносятся на системы более высокого (третьего, четвертого) порядка. Поэтому особый интерес представляют временные характеристики колебательного звена.
Согласно выражению (2.35) . Для того, чтобы воспользоваться таблицами преобразования Лапласа (см. прил. ), передаточную функцию (2.49) необходимо преобразовать. Поскольку
,
то ,
следовательно,
. (2.51)
Вывод формулы для переходной характеристики будет продемонстрировано на примере применения классического метода. В соответствии с передаточной функцией (2.49) дифференциальное уравнение для переходной характеристики при (k = 1)имеет вид
, t> 0. (2.52)
Общее решение уравнения (2.52) представляется суммой общего решение однородного уравнения, характеризующего переходной процесс hпер(t), и частного решения, определяемого выражением в правой части и характеризующего процесс в установившемся режиме hуст(t)
+ hуст(t). (2.53)
Для определения hуст(t) и постоянных интегрирования A и ϕ можно теоремами о конечном и начальном значениях преобразования Лапласа.
. (2.54)
,
(2.55)
Дифференцируя выражение (2.53) и, используя полученные значения (2.54), (2.54), определяются формулы для постоянных интегрирования A и ϕ
, . (2.56)
На рис. 2.11 приведены графические изображения временных характеристик, а на рис. 2.12 – семейство кривых для демонстрации влияния коэффициента демпфирования ξ на вид переходных характеристик колебательного звена.
Анализ этих графиков позволяет сделать следующие выводы (обоснование их будет приведено ниже при изучении показателей качества САУ):
Типовые звенья – это кирпичики, из которых можно сложить любую систему. Достаточно только задать её структурную схему. В настоящем разделе будут заданы структурные схемы соединений элементов и передаточные функции этих элементов. Необходимо будет вывести формулы для определения передаточных функций заданных соединений элементов. Для решения подобной задачи разработана теория графов. Однако, системы радиоавтоматики, как правило, не обладают сложной структурой, что позволяет обойтись без теории графов и решать поставленную задачу более простыми методами.
Для ряда часто встречающихся соединений, называемых стандартными, выводятся формулы для передаточных функций. Применение этих формул в дальнейшем позволяет существенно упростить исследование систем. При этом будет продемонстрирован универсальный метод структурных преобразований, заключающийся в следующем:
2.5.1.1. Параллельное соединение элементов
На рис. 2.13 представлена схема параллельного соединения трех элементов. Передаточные функции элементов заданы. Требуется найти передаточную функцию
Схема содержит четыре элемента
(k = 4) и пять переменных. Переменные x(t), y(t) – основные, остальные – вспомогательные. Система уравнений в изображениях:
Исключая из первых трех уравнений вспомогательные переменные получим уравнение относительно основных переменных
. .
Таким образом, в общем случае для n элементов в параллельном соединении получим
. (2.57)
2.5.1.2. Последовательное соединение элементов
На рис. 2.14 представлена схема последовательного соединения элементов.
Искомая передаточная функция
В схеме три элемента, четыре переменные; x(t), y(t) – основные переменные, остальные – вспомогательные. Система уравнений в изображениях:
Исключая вспомогательные переменные для искомой передаточной функции для трех элементов и в общем случае для последовательного соединения n элементов получим:
. (2.58)
Комплесный коэффициент передачи соединения
.
, . (2.59)
Таким образом, логарифмические частотные характеристики последовательного соединения элементов равно сумме логарифмических частотных характеристик его элементов.
2.5.1.3. Встречно – параллельное соединение элементов
На рис.2.15 представлена схема встречно - параллельного соединения элементов, в которой элемент с передаточной функцией W(s) охватывается отрицательной обратной связью. Чтобы показать это либо заштриховывается нижний сектор сумматора, либо (как это показано на рис. 2.14) около этого сектора ставится знак минус. Это означает, величина (t) на выходе сумматора равна разности (t) = x(t) – y1(t).
В дальнейшем будут сохраняться обозначения и названия в этой схеме:
W(s) – передаточная функция прямой цепи,
Wос(s) – передаточная функция обратной связи,
Wз(s) – передаточная функция схемы в замкнутом состоянии,
x(t) – входное воздействие,
y(t) – выходная величина.
Искомая передаточная функция
В схеме три элемента, четыре переменные; x(t), y(t) – основные переменные, (t), y1(t) – вспомогательные. Система уравнений в изображениях:
Исключая вспомогательные переменные после некоторых преобразований получим:
. (2.60)
Важнейшим частным случаем встречно - параллельного соединения элементов является соединение с единичной отрицательной обратной связью Wос(s) = 1. Такое соединение применяется при формировании замкнутой системы автоматического управления (рис 2.16). В этой системе:
Согласно выражению (2.60) в рассматриваемом случае формула для вычисления передаточной функции системы в замкнутом состоянии имеет вид
. (2.61)
Пусть (см. (2.16)) тогда в соответствии с формулой (2.60)
(2.62)
где A(s) = B(s) + C(s) – характеристический полином системы в замкнутом состоянии.
Описание системы с двумя входными воздействиями
с использованием аппарата передаточных функций будет продемонстрировано на примере системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.17.
В этой системе
Пусть заданы система и оба входных воздействия. Чтобы описать свойства динамики системы требуется знать закон изменения выходной величины y = y(t) (или Y = Y(s)). Точность системы определяется ошибкой (t) (или её изображением E(s)). Обе эти величины зависят от обоих входных воздействий. Для линейных непрерывных систем, учитывая принцип суперпозиции, указанная зависимость имеет вид
,
; (2.63)
, ;
, . (2.64)
Требуется определить передаточные функции (2.64), являющиеся коэффициентами приведенной зависимости (2.63). Для этого воспользуемся методом стандартных соединений.
a). = ?
При отсутствии помехи f(t) структурная схема рассматриваемой системы совпадает со схемой рис. 2.15 при условии, что . Таким образом, в соответствии с формулой (2.61) получим
= .
b). = ?
Отсутствует помеха f(t), выходная величина (t). Схему системы удобно представить в виде, изображенном на рис. 2.18. В соответствии со схемой передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
W(s) = 1, передаточная функция цепи обратной связи .
Таким образом,
.
c). = ?
В рассматриваемом случае структурная схема, изображенная на рис. 2.17, может быть преобразована и имеет вид стандартного встречно – параллельного соединения (см. рис. 2.19). При этом был применен приём, позволяющий переносить знак «-» через линейное звено.
Следовательно,
= .
d). = ?
При x(t) = 0 – ошибка системы (t) = – y(t) и
= = .
Устойчивость – это важнейшее свойство системы автоматического управления. Если система не является устойчивой, то она неработоспособная.
Пусть система находится в состоянии равновесия и, начиная с некоторого момента времени, на нее начинают действовать ограниченные воздействия – возмущения. Если система под действием ограниченных возмущений имеет способность мало отклоняться от состояния равновесия, то она устойчива. В противном случае достаточно действия небольшого возмущения чтобы далеко отклонилась от состояния равновесия.
Возмущения могут быть непрерывными или импульсными, действующие на систему, в какие – то моменты времени. Доказывается что, если система устойчива при действии на неё начального мгновенного возмущения, то она будет устойчивой и при действии других видов ограниченных возмущений. Математически начальное мгновенное возмущение описывается дельта – функцией (t). Таким образом, судить об устойчивости системы можно по виду ее импульсной переходной характеристики. Как отмечалось в разделе 2.1 (см.(2.27), (2.28)), действие идеального импульса на линейную систему приводит к мгновенному изменению начальных условий (выводу её из состояния равновесия). Если в дальнейшем, будучи предоставлена самой себе, система сможет вернуться в состояние равновесия, то она устойчива.
Итак, если функция g(t) и её производные до (n-1) – го порядка ограничены, то система устойчива. Если, кроме того, пределы этих функций с течением времени стремятся к нулю, то система устойчива асимптотически.
В разделе 2.1 отмечалось, что характер изменения функции
g(t) =
(и её производных) зависит исключительно характера корней характеристического уравнения системы (2.17) или (2.31). Наглядное представление о характере корней и его влияния на вид функции g = g(t) даёт их расположение на комплексной плоскости. Будут рассматриваться только некратные корни поскольку в дальнейшем будет необходимо обеспечивать условия, при которых система устойчива с некотором запасом. Итак, возможны следующие варианты решения характеристического уравнения.
. Система асимптотически устойчивая.
. Система неустойчивая.
. Система асимптотически устойчивая.
4. Все корни si < 0 , i = 3, 4, …, n, вещественные и отрицательные, пара комплексно – сопряженных корней , > 0 имеет положительную вещественную часть. Этой паре корней соответствует незатухающий колебательный процесс и, следовательно, g = g(t) – возрастающая функция времени
. Система неустойчивая.
Из всего перечисленного вытекают следующие заключения:
Итак, расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости несёт полную информацию об устойчивости системы. Проблема заключается в том, что сложно или невозможно решить аналитически алгебраическое уравнение n – го порядка. Поэтому разработаны методы, позволяющие по косвенным признакам судить об устойчивости, не решая характеристического уравнения. Эти методы называются критериями устойчивости. Ниже будут рассмотрены два частотных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.
Пусть s1, s2,…, sn – корни характеристического уравнения системы. Из них l корней неустойчивых а оставшиеся n-l корней – устойчивых. Воспользовавшись теоремой Виета, представим характеристическое уравнение в виде
(2.65)
Подставляя в уравнение (2.65) вместо текущей переменной s её значение s = jω, сформируем комплексный вектор
(2.66)
и найдем изменение фазы этого вектора ϕA при изменении частоты . Но вектор представляется в (2.66) как произведение векторов разностей , следовательно, изменение фазы ϕA равно сумме изменений фазы этих векторов разностей. Изображение векторов разностей на комплексной плоскости (см. рис 2.24) позволяет сделать следующее заключение:
Таким образом,
.
Но, частотные характеристики симметричны относительно точки ω = 0. Поэтому изменение фазы вектора , называемое действительным, определяют при изменении частоты ω в диапазоне
. (2.67)
Если система в замкнутом состоянии устойчива (l = 0), то требуемое значение изменения фазы вектора равно
. (2.68)
Поскольку анализ устойчивости системы проводится в условиях, когда неизвестны значения корней характеристического уравнения, для определения нужно построить годограф вектора , годограф Михайлова, на комплексной плоскости и по нему найти значение .
Итак,
= . (2.69)
Это означает, что годограф Михайлова в положительном направлении (против часовой стрелки) должен обойти n квадрантов, т. е. повернуться на угол, равный ,
< . (2.70)
т.е. нарушена последовательность обхода квадрантов,если при ω = 0 годограф Михайлова выходит из начала координат, то система находится на апериодической границе устойчивости,
Частотный критерий, тесно связанный с критерием Михайлова. Эго существенное преимущество в том, что его применение позволяет по характеристикам системы в разомкнутом состоянии судить не только об устойчивости, но и о качестве, системы в замкнутом состоянии.
2.6.4.1.Общий случай критерия Найквиста
Задана система с единичной отрицательной обратной связью (см. рис. 2.15) передаточной функцией в разомкнутом состоянии . Приравняв нулю полином знаменателя, получим характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии. Пусть в общем случае lc корней этого уравнения неустойчивы, а n - lc – устойчивы. Тогда в соответствии с критерием Михайлова изменение фазы вектора C(jω) равно
.
Система в замкнутом состоянии должна быть устойчивой, следовательно, должны быть устойчивыми все корни характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии A(s) = 0 и изменение фазы вектора A(jω) равно
.
Вводится вспомогательная переменная F(s). В соответствии с формулой (2.61), она равна отношению характеристических полиномов системы в замкнутом и разомкнутом состояниях
F(s) = 1 + W(s) = 1 + = . (2.70)
Применение критерия Михайлова позволяет определить изменение фазы вектора F(jω)
.
Таким образом,
,
.
Пример 2.1
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии (см. рис. 2.15) имеет вид.
. (2.74)
Требуется определить, устойчива ли система в замкнутом состоянии.
Для решения этого вопроса следует применить критерий Найквиста в следующей последовательности:
Приравниванием нулю знаменателя передаточной функции (2.73), получаем характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии и его корни
C(s) = s(1 - sT); s1 = 0, s2 = 1/T.
Первый корень s1, соответствующий интегрирующему звену, является нулевым, второй – неустойчивый s2 > 0.
Как отмечалось в разделе 2.4.6, нулевой корень s = 0 интегрирующего звена считают условно устойчивым. Таким образом, число неустойчивых корней системы в разомкнутом состоянии lc = 1.
В соответствии с соотношением (2.71) .
Комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии согласно (2.74) имеет вид
.
В таблице 1 отражена зависимость от частоты ω значений вещественной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи, а на рис. 2.25 изображен график АФХ, построенный по этим данным, дополненный дугой бесконечно большого радиуса поскольку передаточная функция (2.74) содержит интегрирующее звено.
Таблица 2.1
|
ω |
||
|
0 |
kT |
–∞ |
|
∞ |
+0 |
-0 |
Определение действительного значения изменения фазы вектора F(jω).
Фаза вектора F(jω), проведенного из точки (-1, 0), при изменении частоты ω от 0 до ∞ сначала уменьшается до значения, близкого -90°,а потом увеличивается до нуля. Таким образом, .
Поскольку в рассматриваемом случае , то согласно условию (2.73) система в замкнутом состоянии неустойчива.
Пример 2.2
На устойчивость исследуется система, передаточная функция которой отличается знаком «-».
. (2.75)
Поэтому по прежнему , но АФХ данной системы повернута на 180° по сравнению с АФХ примера 1 (см. рис. 2.26). При изменении частоты ω от 0 до ∞ вектор F(jω) поворачивается по часовой стрелке на угол, равный 180°. Следовательно, и . Согласно условию (2.73) система в замкнутом состоянии неустойчива.
2.6.4.2. Частный случай. Устойчивые в разомкнутом состоянии системы
В том случае, когда система в разомкнутом состоянии устойчива т.е. число её неустойчивых корней равно нулю (lc=0), то изменение фазы вектора F в соответствии с соотношением (2.72) равно нулю и справедливо правило:
Если АФХ система в разомкнутом состоянии при изменении частоты ω в диапазоне не охватывает точку (-1, 0), то система в замкнутом состоянии устойчива.
Пример 2.3
Задана передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
.
Требуется определить, устойчива ли эта система (в замкнутом состоянии).
Комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии
.
Таблица 2.2
|
ω |
||
|
0 |
kT |
–∞ |
|
∞ |
+0 |
-0 |
На рис. 2.27 изображена АФХ, построенная в соответствии с данными табл. 2.2. Заданная передаточная функция системы в разомкнутом состоянии содержит три интегрирующих звена. Поэтому видимая часть АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающую её низкочастотную часть против часовой стрелке на угол, равный 270°. Изображенная на рис. 2.27 характеристика не охватывает точку (-1, 0), (т.е. ), следовательно, рассматриваемая система устойчива.
Показатели качества имеет смысл изучать только для работоспособных, т. е. устойчивых систем. Для сравнения качества функционирования разных систем или разных вариантов одной системы разработаны числовые показатели, характеризующие системы с той или иной точки зрения. Показатели качества линейных непрерывных систем подразделяются на две группы:
1. Показатели, характеризующие динамику переходного процесса. К ним относят показатели запасов устойчивости и быстродействия систем.
2. Показатели, характеризующие, точность системы. Чаще всего к ним относят характеристики регулярных и случайных составляющих ошибок в установившемся режиме работы системы.
Переходная характеристика – это реакция системы на единичный скачок (см. (2.20)).
Она характеризует качество переходного процесса и позволяет определить прямые показатели качества системы. Основными показателями, определяемыми по ее виду (см. рис.2.28), являются:
a). Время переходного процесса tп (или время регулирования). Это важнейший показатель, характеризующий быстродействие системы. Для его определения на графике характеристики проводят две прямые, параллельные оси 0t, отстоящие от установившегося значения hуст на величину 0,05hуст в ту и другую сторону (трубка 5%). tп – это момент времени, когда переходная характеристика входит в трубку 5% и больше из нее не выходит.
. (2.76)
b). Перерегулирование
. (2.77)
Переходный процесс имеет апериодический или колебательный характер. Для систем радиоавтоматики он в большей степени имеет колебательный характер. Для инерционных систем уровень колебательности ограничивают, для электронных систем радиоавтоматики колебательность допускается, но ее приходится ограничивать, так как она является косвенной характеристикой запаса устойчивости системы. По переходной характеристике колебательность определяется по величине перерегулирования σ (см. формулу (2.77)).
Перерегулирование σ характеризует степень удаления системы от колебательной границы устойчивости (в случае нахождения системы на колебательной границы устойчивости в системе наблюдаются незатухающие колебания и σ = 100%). Запас устойчивости считается достаточным, если . Иногда допускается перерегулирование до 70%, а в ряде случаев не допускается вообще (для инерционных систем).
c). Число колебаний r за время переходного процесса. Этот показатель колебательности исключительно легко определяется по виду переходной характеристики. Допустимое число колебаний обычно не более ,для слабо колебательных систем – меньше одного колебания. Зная период колебаний переходной характеристики по величине r нетрудно (хотя и приближенно) определить время переходного процесса .
Таким образом, по виду переходной характеристики можно определить следующие показатели качества системы:
2.7.2. Показатели, определяемые по виду частотных характеристик
Косвенные методы анализа динамики линейных непрерывных систем основаны на применении частотных характеристик. Для определения показателей качества системы в замкнутом состоянии используется амплитудно – частотная характеристика системы в замкнутом состоянии и две частотные характеристики комплексного коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии (подробно эти характеристики описаны в разделе 2.3.3).
2.7.2.1. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно – частотной характеристики системы в замкнутом состоянии .
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии представляется формулой (2.61)
.
Следовательно, комплексный коэффициент передачи системы в замкнутом состоянии имеет вид
.
Модуль этого комплексного коэффициента и есть амплитудно – частотная характеристика системы в замкнутом состоянии (рис. 2.29).
= (2.78)
Если переходная характеристика системы имеет апериодический характер, то . – невозрастающая функция частоты ω, если колебательный – то функция . имеет максимум. В том случае, когда система находится на колебательной границе устойчивости (незатухающие колебания переходной характеристики постоянной амплитуды) величина этого максимума стремится к бесконечности, а функция . имеет разрыв. Таким образом, чем больше максимальное значение , тем меньше запас устойчивости системы.
Косвенной характеристикой запаса устойчивости и уровня колебательности системы служит показатель колебательности
M = , (2.79)
представляющего собой отношение максимального значения амплитудно-частотной характеристики системы в замкнутом состоянии к значению этой характеристики при ω = 0. Для астатических систем Aз(0)=1, для статических Aз (0) = , при . Таким образом, = .
Используя рассматриваемую характеристику, быстродействие системы можно оценить по величине полосы пропускания ∆ω. Это - значение частоты ω, когда = 0,7. Чем шире полоса пропускания ∆ω, тем выше быстродействие системы.
При M >>1 резонансная частота ωm приближается к частоте колебаний переходной характеристики, таким образом, период колебаний переходной характеристики равен . По величине показателя колебательности M можно определить число колебаний r переходного процесса и оценить время переходного процесса .
Приближенные соотношения, определяющие зависимость между параметрами систем не выше четвертого порядка приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
|
σ |
M |
r |
|
|
Слабоколебательная система |
<15% |
<1,2 |
<1 |
|
Среднеколебательная система |
1530% |
1,21,7 |
12 |
|
Сильноколебательная система |
3050% |
1,72,5 |
34 |
Итак, по виду амплитудно – частотной характеристики системы в замкнутом состоянии можно определить следующие показатели динамики системы:
2.7.2.2. Показатели качества, определяемые по виду логарифмических частотных характеристик
Анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ (рис. 4). Однако, во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения (например, когда фазочастотная характеристика несколько раз пересекает уровень () = – ), необходимо об устойчивости системы судить по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в разомкнутом состоянии.
На рис. 2.30 представлен достаточно типичный пример логарифмических частотных характеристик (ЛАХ). Рассматриваемые характеристики позволяют определить:
A(ср) = 1, L(ср) = 20lgA(ср) = 0, (кр) =-– . (2.80)
Таким образом, частота среза – это частота, на которой кривая L() пересекает ось ω. Критическая частота – частота, на которой фазовая характеристика () равна –180.
Для рассматриваемого на рис.4 примера ср 103 1/с, кр 2103 1/с.
В большинстве случаев условие ср< кр означает, что в соответствии с критерием Найквиста рассматриваемая система устойчива (в общем случае заключение об устойчивости следует проводить на основе анализа АФХ системы);
b). Запасы устойчивости по амплитуде и фазе определяются соотношениями:
L =L(ср) – L(кр)=L(кр); = – (ср) (2.81)
В рассматриваемом на рис.4 примере L 14 дБ, 20 (обычно по техническим условиям желательно иметь L 12 дБ, 30);
c). Переходный процесс имеет апериодический характер, если ср попадает на участок с наклоном – 20 дБ/дек. Необходимая протяженность этого участка будет определена ниже.
Переходный процесс в рассматриваемой на рис. 2.30 системе обладает колебательными свойствами, поскольку частота среза ср находится на участке амплитудно-частотной характеристики с наклоном – 40 дБ/дек.
d). Быстродействие двух однотипных систем (например, два варианта одной системы) можно оценить по частоте среза, поскольку ср определяет полосу пропускания системы. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие.
e). Для очень колебательных систем частота среза ср близка к частоте колебаний переходного процесса и, следовательно, период колебания переходной характеристики можно оценить следующим образом:
Tкол . (2.82)
Если по величине показателя колебательности M задаться числом колебаний r за время переходного процесса (см. таблицу 2.4), то можно определить длительность переходного процесса
tп rTкол. (2.83)
2.7.2.3. Показатели качества, определяемые по виду амплитудно – фазовой характеристики системы в разомкнутом состоянии (АФХ)
Как уже отмечалось, анализ системы стараются проводить на основе изучения ЛАХ. Но во всех случаях, вызывающих какие-либо сомнения необходимо использовать амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) в разомкнутом состоянии (рис.3). В учебных целях эту характеристику необходимо использовать во всех вариантах задания.
Представляет большие трудности построение АФХ по аналитически полученным формулам. Учитывая, что для анализа системы большой точности не требуется, можно АФХ строить графически на основе имеющихся графиков ЛАХ. Действительно, ЛАХ позволяет для каждого значения частоты графически определить значение амплитуды А() (L() = 20lgA()) и фазы () и, используя полярную систему координат, построить точку, принадлежащую АФХ, на комплексной плоскости. Ниже при рассмотрении конкретного примера будет продемонстрирована методика построения АФХ.
Анализ АФХ позволяет сделать следующие выводы:
а). Если системы устойчивы в разомкнутом состоянии (нулевые корни si = 0, соответствующие интегрирующим звеньям, считаются условно устойчивыми, инерционным звеньям соответствуют устойчивые корни: si = – ),
то в соответствии с критерием Найквиста замкнутая система устойчива, если АФХ не охватывает точку ( –1, 0) В случаях, когда передаточная функция системы в разомкнутом состоянии содержит интегрирующие звенья, АФХ дополняется дугой бесконечно большого радиуса, поворачивающую против часовой стрелки низкочастотную часть характеристики на угол, равный девяносто градусам, помноженный на число интегрирующих звеньев (рис. 2.31).
b). Характерные частоты ср и кр и запасы устойчивости A и могут быть определены и по АФХ и, естественно, их значения должны совпадать с полученными ранее с использованием ЛАХ.
c). Колебательность системы оценивается величине показателя колебательности M.
Показатель колебательности M определяется по виду амплитудно – частотной характеристики Aз(ω) (см. рис. 2.29). Задавшись некоторым значением показателя M, на графике этой характеристики проводят прямую, параллельную оси частот. Эта прямая представляет собой линию постоянного уровня показателя колебательности M на рассматриваемой характеристике. Доказывается (см. ), что геометрическое место точек, представляющее указанную линию постоянного уровня амплитудно – частотной характеристики Aз(ω) (см. рис. 2.29), переносится на комплексную плоскость с изображением АФХ.
На комплексной плоскости с изображением АФХ линии постоянного уровня показателя колебательности М представляют собой окружности с центром в точке (–С, 0).Если М>1, то С = , а радиус окружности R = . Концы диаметра этой окружности находятся в точках и (точки A и B на рис 2.31).
Задаваясь рядом значений М, строят окружности, из которых образуется семейство линий постоянного уровня на комплексной плоскости с изображением АФХ. Если окружность постоянного уровня пересекает график АФХ, это означает, что соответствующее ей значение М меньше максимального для рассматриваемой системы показателя колебательности. Для определения показателя колебательности требуется определить такое значение М, при котором окружность касается АФХ (окружности с меьшим значением Мцеликом находятся внутри с большим его значением).
На рис. 2.31 изображены линии постоянного уровня, которым соответствуют значения М, равные 1,5; 2; 2,5. Для рассматриваемой системы показатель колебательности М = 2.54, т.е. систему следует отнести к разряду сильно колебательных (таблица 2.4). Таким образом, построений на комплексной плоскости вполне достаточно, чтобы определить величину М, но для для большей наглядности можно построить график Аз = Аз().
При действии на линейную систему в установившемся режиме регулярного задающего воздействия x(t) и случайной помехи f(t) в соответствии с принципом суперпозиции результирующая ошибка уст(t) складывается из регулярной рег(t) и случайной сл(t) составляющих. Изображение результирующей ошибки уст(t) для системы, представленной структурной схемой, изображенной на рис. 1, определяется выражением:
E(s) = Wx(s)X(s) + Wf(s)F(s), (2.83)
где X(s) - изображение входного воздействия x(t),
F(s) - изображение помехи f(t).
Передаточная функция ошибки системы по задающему входному воздействию x(t)
(2.84)
Передаточная функция ошибки системы по помехе f(t)
Wf(s) = . (2.85)
Представляя передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии W(s) как отношение полиномов
W (s) = (2.86)
и подставляя полученное выражение в формулы (4.2) и (4.3), получим выражения для передаточных функций ошибок
, (2.87)
. (2.88)
Для изучения свойств точности системы ошибки в установившемся режиме работы системы вычисляются для трех пробных регулярных входных воздействий:
а) a = const – постоянная составляющая,
б) v = const – скорость входного воздействия,
в) , w = const – ускорение входного воздействия.
Для расчета характеристик точности системы часто используют метод коэффициентов ошибок, применимый, когда:
Эти допущения позволяют ограничиться тремя слагаемыми при разложении передаточной функции W x (s) по степеням s относительно s = 0.
, (2.89)
где 0, 1, 2 - коэффициенты ошибок по постоянной составляющей задающего воздействия x(t), по его скорости и ускорению.
Итак, с учетом разложения (2.89) выражения (2.83) при F(s) = 0 имеем:
, , (2.90)
и, применяя обратное преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (2.90), получим
, . (2.91)
Для вычисления коэффициентов ошибок 0, 1, 2 либо делят "уголком" полином числителя на полином знаменателя передаточной функции (это удобно делать в цифрах), либо их получают в результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях s левой и правой частей соотношения, получаемого из (4.5) с учетом разложения (4.7)
. (2.92)
Для повышения точности системы следует:
Случайная составляющая сл(t) ошибки системы в данном случае вызывается действием помехи f(t). Рассматриваемая система является линейной и стационарной. Помеха f(t). – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью Sf(). В этих условиях случайная составляющая ошибки сл(t) также представляет собой стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью
S() = Sf()Kf(j)2, Kf(j) = Wf(s)s=j . (2.93)
Ее дисперсия определяется выражением
2 = (2.94)
или, учитывая, что в рассматриваемом задании помеха представляется как белый шум и имеет постоянную спектральную плотность мощности Sf() Sf(0) = const,
2 = . (2.95)
Формулы для вычисления интегралов вида:
Jn = (2.96)
приведены в [ 3 ] на стр. 321 – 322 (n – порядок системы).
Следует обратить внимание на совмещение обозначений: C(s) – знаменатель передаточной функции W(s) (см. (4.4)), а С(j) - числитель комплексного коэффициента передачи Kf(j) в формуле (4.13). Кроме этого, в этих формулах изменен порядок индексации коэффициентов ci: i = 0, 1, 2,…,n – 1 и dj: j = 0, 1, 2, …,n , т.е.
(2.97)
Для исходной системы третьего порядка, т.е. при n = 3, интеграл J3 имеет вид
J3 = . (2.98)
Для результирующей системы четвертого порядка, т.е. при n = 4, формула для интеграла J4 имеет вид
(2.99)
Удобно дисперсию ошибки представлять в виде
, (2.100)
где Fэ = - эквивалентная шумовая полоса рассматриваемой системы, равная полосе пропускания некоторой эквивалентной системы, имеющей прямоугольную амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) замкнутой системы с тем же коэффициентом передачи на нулевой частоте, что и в рассматриваемой системе (см. рис. 10).
Таким образом,
. (2.101)
Именно значение Fэ характеризует помехоустойчивость системы. Чем шире полоса Fэ, тем меньше помехоустойчивость системы.
При проектировании системы должны быть выполнены следующие требования:
а) A0, B0 – для статических систем;
b) A1, B1 – для астатических систем первого порядка;
c) A2 – для астатических систем второго порядка;
уст – ошибка в установившемся режиме,
– максимальные значения задающего воздействия, его скорости и ускорения,
А0, А1, А2, В0, В1 – заданные постоянные.
Запретные зоны по колебательности строятся на ряде характеристик и представляют собой области, в которых выполняется условие . (В предлагаемом задании Мд = 1,5).
1. На амплитудно – частотной характеристике системы в замкнутом состоянии (см. рис. ) - это область, расположенная выше прямой , в которую не должно попадать максимальное значение функции .
2. На амплитудно – фазовой характеристике системы в разомкнутом состоянии (АФХ) запретная зона – внутренние точки области, ограниченной окружностью, являющуюся линией постоянного уровня Мд = 1,5 (см. рис. 9).
3. Наибольшее значение для коррекции системы имеет построение запретной зоны по колебательности на логарифмических частотных характеристиках (ЛАХ) системы (см. рис. 4).
Для построения запретной зоны на ЛАХ системы необходимо:
В соответствии с техническими условиями по точности (пункт 3 предыдущего раздела) подбирается эквивалентное гармоническое входное воздействие x = Asin(ωx t), амплитуда A которого и амплитуды его скорости и ускорения совпадают с перечисленными выше максимальными значениями задающего воздействия, его скорости и ускорения.
Частота ωx и значение логарифмической амплитудно – частотной характеристики L(ωx) = 20lg(A) являются координатами контрольной точки.
Для статической системы:
ωx = A0/B0, A = 1/A0.
L(ωx) = 20lg(1/A0).
Для астатической системы первого порядка астатизма:
ωx = A1/B1, A = B1/.
L(ωx) = 20lg(B1/).
На рис. 11 a) и 11 b) изображены запретные зоны для этих систем с указанием углов наклона границ зон. На рис. 11 c) – запретная зона по точности для системы второго порядка астатизма,
Особо следует отметить, что запретные зоны действуют только в низкочастотной области, ω<< ωср, не затрагивая среднечастотных областей, где значения частот ω соизмеримы с частотой ωср.
В тех случаях, когда исходная система не удовлетворяет всем требованиям технического задания на проектирование, для улучшения ее показателей качества может быть рекомендован один из способов коррекции системы – применение последовательной корректирующего фильтра, в качестве которого в рассматриваемой работе рекомендуется применять однозвенный фильтр (интегро – дифференцирующая цепочка)
(2.102)
Таким образом, в рассматриваемых условиях, когда структура фильтра задана зависимостью (6.1), задача выбора корректирующего фильтра сводится к определению трех параметров kкор, кор, Tкор. Этот процесс удобно разбить на два этапа:
1. Выбор коэффициента kкор, обеспечивающего требуемую точность системы. Известно, что с увеличением коэффициента усиления системы в разомкнутом состоянии точность замкнутой системы повышается. Следовательно, для рассматриваемого примера коэффициент Kкор должен быть больше единицы и таким, чтобы логарифмическая частотная характеристика (рис. 7) в области низких частот проходила выше запретной зоны по точности.
2. Выбор постоянных времени кор и Tкор. Представим передаточную функцию (6.1) системы в виде
(2.103)
В зависимости от соотношения постоянных времени кор и Tкор свойства фильтра существенно различаются:
а) кор > Tкор – корректирующий фильтр с опережением по фазе (см. рис. 12);
Фильтр с опережением по фазе позволяет (с учетом выполнения требования по точности):
1. увеличить запас устойчивости по фазе;
2. увеличить частоту среза и, следовательно, повысить быстродействие результирующей системы по сравнению с исходной;
3. обеспечить наклон –20 дБ/дек логарифмической частотной характеристики L(ω) в районе частоты среза . Это уменьшает колебательность системы.
Недостаток применения этого фильтра заключается в возможном уменьшении запаса устойчивости по амплитуде.
Рис. 2.34. Корректирующий фильтр с опережением по фазе
б) кор < Tкор – корректирующий фильтр с запаздыванием по фазе (см. рис. 13).
Рис. 2.35. Корректирующий фильтр с запаздыванием по фазе
Существенное преимущество фильтра с запаздыванием по фазе в том, что он позволяет уменьшить коэффициент усиления в области средних частот и тем самым улучшить свойства устойчивости системы и все показатели качества динамики переходного процесса. В области низких частот при этом коэффициент усиления не изменяется, следовательно, характеристики точности системы в установившемся режиме остаются прежними.
Недостаток применения этого фильтра заключается в уменьшении частоты среза , и, следовательно, в уменьшении полосы пропускания и в результате этого – снижения быстродействия системы (в частности, уменьшения времени tп переходного процесса).
Задана система, структурная схема которой представлена на рис. 1. Передаточная функция этой системы в разомкнутом состоянии имеет вид
, (2.104)
k = 2000 1/c, T1 = 0,002 c, T2 = 0,0002 c, = 0,0001 c.
Техническое задание на проектирование системы:
30%, (), L14 дБ, 30,
. (2.105)
2.10.2.1. Построение логарифмических частотных характеристик (ЛАХ).
Передаточная функция (6.3) представляется набором типовых звеньев (интегрирующего, двух инерционных и форсирующего)
. (2.106)
На одном графике в масштабе изображаются графики логарифмических частотных характеристик типовых звеньев. Полученные кривые графически суммируются, образуя ЛАХ системы в разомкнутом состоянии (графики L(ω) и ϕ(ω) точно один под другим) (см. рис. 2.36).
Рис. 2.36. ЛАХ рассматриваемого примера
Показатели качества, определенные по этим характеристикам:
ωср = 1000 1/c, ωкр = 2,300 1/с, ∆L(ω) = 14 дБ, ∆ϕ(ω) = 20. (2.107)
Запретная зона по точности, изображенная на рис. 2.36, для рассматриваемой системы первого порядка астатизма представлена на рис. 2.33 b. Параметры контрольной точки рассчитываются в соответствии с требованиями по точности (6.4).
.
ωx = A1/B1 = 1, L(ωx) = 20lg(B1/) = 74 дБ.
Запретной зоны по колебательности. Допустимое значение показателя колебательности Mд = 1,5. Вычисляются значения уровней контрольных линий (см. раздел 5.2):
20lg() = 20lg() = 9,5 дБ,
20lg() = 20lg() = – 4,4 дБ
и по графику логарифмической амплитудно – частотной характеристики L = L() определяются значения частот ωa и ωb, позволяющих определить положение точек A и B на фазовой характеристике. Знание значения угла ∆γ = arcsin(1/Mд) = arcsin(1/1,5) = 41,8 позволяет построить дугу ACB, определяющую запретную зону.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие заключения:
2.10.2.2. Построение амплитудно – фазовой характеристики (АФХ).
В большинстве случаев информации, полученной на основе анализа ЛАХ, бывает достаточной. Но иногда необходимо привлечение еще и данных, полученных в результате исследования амплитудно – частотной характеристики (АФХ) системы в разомкнутом состоянии. В рассматриваемом примере вызывает сомнение определение значения критической частоты ωкр, признанного ранее равным 2,300 1/с. Но фазовая характеристика ϕ(ω) достигает уровня –180 еще и при . Разрешить эту проблему можно только с помощью АФХ.
Для построения приближенной характеристики АФХ, используются построенные ранее графики логарифмических частотных характеристик (рис.2.37). При этом для определения полярных координат комплексного коэффициента передачи K(jω) удобно заполнить таблицу (см. табл. 5).
Таблица 5 Таблица 6
|
A(ω) |
L(ω) дБ |
ω 1/с |
ϕ(ω) гр. |
||||
|
1 |
0 |
1000 |
–160 |
3,0 |
1,5 |
0,75 |
|
|
2 |
6 |
700 |
–150 |
2,5 |
1,6 |
0,71 |
|
|
5 |
14 |
500 |
–140 |
2,0 |
2,0 |
0,67 |
|
|
0,5 |
–6 |
1400 |
–175 |
1,5 |
3,0 |
0,60 |
|
|
0,2 |
–14 |
2000 |
–180 |
1,2 |
6,0 |
0,55 |
Рис. 2.37. АФХ рассматриваемого примера
Задавая значения амплитуды A(ω), вычисляется величина L(ω) = 20lg(A(ω)). На графике рис.2.37 проводится горизонтальная прямая до пересечения с ломаной L = L(ω). Из полученной точки проводится вертикаль, позволяющая определить значения ω и ϕ(ω). Координаты A(ω) и ϕ(ω) определяют точку на комплексной плоскости амплитудно – фазовой характеристики. Около нее подписывается найденное ранее значение частоты ω. Характеристика дополняется дугой бесконечного радиуса, поворачивающую видимую её часть против часовой стрелки на угол, равный 90 (поскольку передаточная функция W(s) содержит одно интегрирующее звено
На график АФХ наносятся линии постоянного уровня показателя колебательности M. В таблице 6 представлены значения показателя M и значения постоянных , , позволяющих определить координаты точек A(–,0) и B(–,0) – концов диаметров окружностей указанных линии постоянного уровня. Область внутри окружности уровня M = 1,5 является запретной зоной по колебательности. График АФХ пересекает эту зону, следовательно, показатель колебательности рассматриваемой системы больше чем 1,5. Действительно, окружность уровня M = 2,5 касается графика АФХ в точке, когда ω = ωm , т.е. M = 2,5. Частота ωm близка к частоте среза ωср.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие заключения:
2.10.2.3. Регулярные ошибки в установившемся режиме
Раскрыв скобки в формуле (6.3) и произведя необходимые преобразования, получим
. (2.108)
Тогда в соответствии с формулой (4.5) передаточная функция ошибки будет иметь вид
. (2.109)
Для рассматриваемого примера полиномы в (6.7) и (6.8) имеют вид:
(2.110)
В соответствии с выражением (4.10) для вычисления коэффициентов ошибок формируется соотношение
(2.111)
Перемножив полиномы левой части и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях s, получим
(2.112)
Таким образом,
Полученные коэффициенты ошибок позволяют определить значения регулярной составляющей ошибки в установившемся режиме работы системы для трех заданных входных воздействий.
а) уст = 0.
b) уст = 0,5 10-3 v.
c) , уст = 0.35 10-6 w,
Из полученных результатов можно сделать заключение, что требования точности системы по скорости входного воздействия не выполняется, а по ускорению – выполняется.
2.10.2.4. Случайные ошибки в установившемся режиме
Влияние случайной составляющей ошибки на работу системы характеризуются дисперсией ошибки σ (4.13) и величиной шумовой полосы ∆Fэ (4.18). Для вычисления этих параметров требуется вычислить интеграл (4.16). В соответствии с выражениями (4.6) и (4.11) комплексный коэффициент передачи случайной ошибки в обозначениях формул (6.9) равен
. (2.113)
В обозначениях интеграла (6.12)
.
Таким образом, с учетом (4.15) имеем
= – 2, 2000.
, ,
.
Подставляя полученные значения в формулу (6.12) вычисляется интеграл J3 и в соответствии с формулами (4.17) и (4.18) – значения параметров 2, ∆Fэ.
J3 = 724, ∆Fэ = 362 Гц, 2 = 724 Sf(0).
Итак, исходная система устойчива, но не удовлетворяет требованиям технического задания по точности и запасам устойчивости. Как отмечалось в разделе 6.1 для удовлетворения требованиям точности необходимо увеличить коэффициент усиления k так, чтобы логарифмическая амплитудно – частотная характеристика проходила выше запретной зоны по точности.
, (2.114)
где
kрез – коэффициент усиления результирующей системы,
kис – коэффициент усиления исходной системы,
kкор – коэффициент усиления корректирующего фильтра.
Для рассматриваемого примера минимальное значение коэффициента усиления равно kкор = 2 (в этом случае ломаная L = L(ω) «лежит» на границе запретной зоны).
Ниже будут рассмотрены два варианта коррекции исходной системы
= 0,002 c, = 0,0001 c.
На рис. 2.38 изображены графики ЛАХ для варианта с применением фильтра с запаздыванием по фазе с параметрами
= 0,02 c, = 0,5 c.
Рис. 2.38. Вариант 1 применения фильтра с опережением по фазе
Рис. 2.39. Вариант 2 применения фильтра с запаздыванием по фазе.
Графики ЛАХ подобные тем, что изображены на рис.2.38 и рис. 2.39, входят в состав индивидуального домашнего задания, выполняемого студентом до соответствующей лабораторной работы. В процессе выполнения указанной лабораторной работы с применением программных продуктов PTSystem и PTSystem_New появляется возможность на экране дисплея иметь графики АФХ, и переходной характеристики, рассчитанные значения показателей точности системы. Это позволяет уточнить предложенные варианты и выбрать из них наилучшие с той или иной точки зрения. Графики переходных характеристик и АЧХ системы в замкнутом состоянии для рассматриваемых вариантов результирующих систем представлены на рис. 2.40 – рис.2.43.
Рис. 2.40. Вариант 1. Переходная характеристика.
Рис. 2.41. Вариант 1. АЧХ
Рис. 2.42. Вариант 2. Переходная характеристика
Рис. 2.43. Вариант 2. АЧХ
В таблице 7 приведены значения показателей качества исходной и двух вариантов результирующих систем. Параметры ωср, ωкр, ∆L, ∆ϕ, M получены на основе анализа частотных характеристик. Показатели точности γ1, γ2, ∆F – рассчитаны по формулам, перерегулирование σ и время переходного процесса tп получены с использованием программного обеспечения, разработанного на кафедре. Для сравнения в первой строке рассматриваемой таблицы приведены данные технического задания.
Таблица 7
|
ωср 1/c |
ωкр 1/c |
∆LдБ |
∆ϕ гр. |
M |
с (γ1) |
с2 (γ2) |
∆F Гц |
σ% |
tп с |
|
|
Техническ. Задание |
14 |
30 |
1,5 |
2 10-4 |
2 10-4 |
30% |
||||
|
Исходная система |
1000 |
2000 |
14 |
20 |
2,5 |
5 10-4 |
3,5 10-7 |
362 |
52,7% |
1,4 10-3 |
|
Система варианта 1 |
5000 |
45 |
1,1 |
2,5 10-4 |
–1,2 10-8 |
11,6% |
1,3 10-2 |
|||
|
Система варианта 2 |
200 |
2000 |
34 |
50 |
1,25 |
2,5 10-4 |
1,2 10-8 |
22,6% |
4,2 10-2 |
2.10.3.1. Применение фильтра с опережением по фазе
Показатель точности по скорости входного воздействия (коэффициент ошибок γ1), не вполне удовлетворяет техническому заданию, (2,5 10-4 вместо требуемого значения 2 10-4). Это означает, что коэффициент усиления корректирующего фильтра kкор следует увеличить. Подобная ошибка в выборе kкор вызвана неточностями при построении ЛАХ.
2.10.2.2. Применение фильтра с запаздыванием по фазе
Импульсная система может быть представлена в виде соединения импульсного элемента ИЭ и непрерывной части НЧС.
Рис.3.1. Схемы замкнутых импульсных систем
На рис. 3.1,а изображена схема системы с ИЭ на входе и в цепи обратной связи, а на рис. 3.1,6 - схема с ИЭ в прямой цепи системы. Легко заметить, что при одинаковых характеристиках ИЭ и НЧС эти системы идентичны по своим динамическим свойствам, так как через их непрерывные части проходит одинаковый дискретный сигнал рассогласования ε(t). Однако более простой является вторая схема, и поэтому применять её удобнее.
Рассмотрим подробнее импульсный элемент. Он преобразует непрерывный сигнал в последовательность модулированных импульсов. Основными параметрами последовательности импульсов являются:
А - высота, или амплитуда импульсов;
γТ - ширина, или длительность импульсов;
Т - расстояние между импульсами, или период повторения;
S(t) - форма импульса.
В зависимости от вида модуляции, т.е. от того, какой из параметров импульса изменяется в соответствии со входным модулирующим сигналом, импульсные элементы подразделяются на элементы с АИМ, ВИМ и ШИМ.
Функция, устанавливающая связь между модулируемым параметром и соответствующими значениями входной переменной , называется статической характеристикой импульсного элемента. Эта характеристика может быть линейной или нелинейной. Импульсный элемент с линейной (линеаризуемой) характеристикой является линейным элементом, а с нелинейной - нелинейным.
Закон изменения представляющего параметра импульса или последовательности импульсов во времени называется сигналом. Сигналы в импульсных схемах описываются дискретными функциями времени.
В реальных системах встречаются все перечисленные выше типы импульсных элементов. Однако расчётные схемы автоматических систем обычно содержат эквивалентные импульсные элементы с АИМ. Импульсный элемент с АИМ характеризуется крутизной статической характеристики, частотой повторения Ω или периодом дискретности Т, длительностью γТ и формой импульсов.
С целью облегчения исследования автоматических систем их реальные импульсные элементы заменяют последовательным соединением простейшего импульсного элемента ПИЭ и формирующего элемента ФЭ (рис. 3.2).
Рис.3.2. Схема соединения простейшего импульсного элемента
с формирующим элементом и временные диаграммы сигналов
Простейший импульсный элемент преобразует непрерывный входной сигнал в кратковременные импульсы, площади которых пропорциональны значениям входной величины в дискретные моменты времени. Эти импульсы можно представить в виде дельта-функции Sδ(t) с соответствующими значениями их площади S. Следовательно, ПИЭ можно рассматривать как импульсный модулятор с несущей в виде последовательности единичных импульсов – дельта-функций (рис. 3.3).
Рис.3.3. Схема простейшего импульсного элемента как модулятора 5-функции
Рис. 3.4. Изображение ПИЭ на структурных схемах
Эта последовательность единичных импульсов описывается выражением
Такое представление импульсного элемента является удобным с точки зрения математического описания процессов. Формирующий элемент должен обеспечивать получение реальных импульсов на выходе ИЭ
На структурных схемах ПИЭ изображаются в виде прямоугольника (рис. 3.4,а) или ключа (рис. 3.4,6). В дальнейшем будем применять второе изображение.
На выходе простейшего импульсного элемента получается сигнал
Формирующий элемент характеризуется тем, что его реакция на дельта-функции совпадает по своей форме с импульсами на выходе реального импульсного элемента. Следовательно, критерием подобия реального импульсного элемента исследуемой системы и его расчётной схемы (рис. 3.2) является аналогичность параметров и формы их выходных импульсов.
Как же описать математически свойства формирующего элемента и системы в целом? Динамические свойства формирующего элемента будут известными, если мы найдём его передаточную функцию.
Известно, что реакция системы (звена) на воздействие типа дельта-функции называется импульсной переходной функцией, или функцией веса. Поэтому реакция формирующего элемента на дельта-функцию есть его функция веса. Она должна быть тождественной форме реального импульса на выходе импульсного элемента при единичном входном сигнале. Значит, форма импульса на выходе реального импульсного элемента S(t) представляет собой функцию веса формирующего элемента wф(t). Передаточная функция формирующего элемента является изображением в смысле Лапласа от функции веса wф(t):
В качестве примера определим передаточную функцию формирующего элемента, на выходе которого импульсы должны иметь прямоугольную форму,
а их длительность равна γТ (рис. 3.2). Функция веса wф(t) формирующего элемента в данном случае представляет собой прямоугольный импульс (рис. 3.5).
Её можно представить как сумму двух единичных ступенчатых функций, одна из которых сдвинута во времени на γT:
Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции:
а изображение единичной смещённой ступенчатой функции:
Следовательно, искомая передаточная функция формирующего элемента:
Рис. 3.5. К формированию прямоугольного импульса
Для прямоугольного импульса, который имеет длительность, равную периоду дискретности Т, передаточная функция определяется из формулы (3.7) при γ = 1:
Рис. 3.5. К формированию прямоугольного импульса
Обычно коэффициент усиления импульсного элемента относят к формирующему элементу, считая, что коэффициент простейшего импульсного элемента равен 1. Тогда в формулах (3.7) и (3.8) появляется сомножитель kи.
Формирующий элемент, передаточная функция которого определяется выражением (3.8), называется фиксатором. Реакция фиксатора εф(t) на модулированную последовательность кратковременных импульсов (δ-функций) ε*(t) показана на рис. 3.6.
Как видно из рисунка, фиксатор запоминает величину площади каждого кратковременного импульса на период дискретности Т, т.е. до прихода следующего импульса.
Во многих практических случаях на выходах реальных импульсных элементов перед непрерывной частью системы применяют фиксаторы. Фиксатор по существу является преобразователем дискретных данных в непрерывные, так как он позволяет приближённо решить задачу преобразования импульсного сигнала ε*(t) в непрерывный сигнал εф(t).
Рис. 3.6. К реакции фиксатора на кратковременные импульсы
Рис. 3.7. Структурная схема импульсного элемента с фиксатором
Структурная схема импульсного элемента с фиксатором отображает динамические свойства особой части импульсной автоматической системы с учётом коэффициента усиления kи и периода повторения Т (рис. 3.7).
Структурная схема импульсной системы с единичной обратной связью изображена на рис.3.8. Она построена в соответствии с рис.3.7. Формирующий элемент и непрерывная часть системы соединены последовательно и образуют приведённую непрерывную часть системы ПНЧ с передаточной функцией:
где Е*(р) - изображение сигнала ε*(t) в смысле дискретного преобразования Лапласа.
Рис. 3.8. Структурная схема импульсно-непрерывной автоматической системы
Упрощённая структурная схема импульсно-непрерывной системы, включающая простейший импульсный элемент, ПНЧ и обратную связь, полностью отображает динамические свойства импульсной автоматической системы (рис. 3.9).
Рис.3.9. Упрощенная структурная схема импульсно-непрерывной системы
Трудности практического порядка заключаются в том, что в системе есть дискретные и непрерывные сигналы, а передаточная функция W(p), как видно из формул (3.7) и (3.8), является дискретно-непрерывной функцией аргумента р. Таблицы дискретно-непрерывного преобразования Лапласа пока не созданы. В связи с этим на практике широкое применение получил математический аппарат дискретного преобразования Лапласа и одна из его разновидностей Z-преобразование.
Переход к дискретному преобразованию Лапласа применительно к рис. 11.9 означает, что мы будем находить реакцию на выходе системы не в виде непрерывной функции xвых(t) , а в виде дискретной функции х*вых(t). Затем, в случае необходимости, с помощью модифицированного преобразования можно найти и функцию xвых(t).
Итак, переходим к краткому математическому описанию импульсных сигналов.
Контрольные вопросы
1. Каково назначение в импульсных системах радиоавтоматики импульсного элемента?
2. Что такое статическая характеристика импульсного элемента ?
Сигналы в импульсных системах могут быть представлены в виде дискретных функций времени, т. е. функций, значения которых определены только для дискретных значений аргумента t—nT. Между этими значениями независимой переменной дискретная функция равна нулю.
Дискретную функцию можно образовать из любой непрерывной функции, если принять во внимание только ее дискретные значения в равностоящие друг от друга моменты времени (рис. 3.10). Эти ординаты называют дискретами.
Дискретную функцию будем обозначать символом х (пТ), где T-период дискретности; п — любое целое число. Для того чтобы получить функцию х(пТ) по заданной непрерывной функции x(f), в последней необходимо заменить t на пТ
Рис. 3.10. Непрерывная (а) и дискретная (b) функции
Примеры непрерывных функций и соответствующих им дискретных функций приведены ниже.
Таблица 3.1
|
Непрерывная функция |
Дискретная функция |
|
x(t) l(t) At At2 e-at sin(ωct) |
х(пТ) l(пТ) АпТ А(пТ)2 e-апТ sin ωcnT |
Заметим, что дискретная функция не является однозначной: ей могут соответствовать различные непрерывные или разрывные функции, если только их ординаты в моменты времени t = пТ равны значениям функции х(пТ). Для устранения этой неоднозначности в рассмотрение вводят смещенные дискретные функции, позволяющие «просматривать» процессы внутри периодов дискретности Т.
Иногда оказывается удобным перейти к относительному масштабу времени . При этом интервал между дискретами становится равным единице.
Как известно, скорость изменения непрерывной функции определяется ее первой производной. Скорость изменения дискретной функции х(мТ) характеризуется ее первой разностью, деленной на период дискретности Т. Следовательно, аналогом дифференциалов для дискретных функций являются разности, а интегралов - суммы.
Первая разность, или разность первого порядка, дискретной функции
х(пТ) Δх(пТ) = х(пТ+Т) - х(пТ) также является дискретной функцией времени.
Вторая разность, или разность второго порядка, определяется как первая разность от первой разности:
или
Разность к - го порядка:
Рассмотрим пример. Дана дискретная функция х(пТ)—АпТ (рис. 3.2). Ее первая разность:
является единичной ступенчатой дискретной функцией. Вторая и высшие разности этой функции равны нулю.
Рис. 3.11. Дискретная функция (а) и ее первая разность (b)
Часто на практике вычисляют запаздывающую разность, которую легче получить техническими средствами:
Известно, что исследование динамики непрерывных систем основано на составлении и решении дифференциальных уравнений. Динамические процессы в дискретных автоматических системах описываются разностными уравнениями, или уравнениями в конечных разностях. Линейное неоднородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
где хвх(пТ) — известная дискретная функция (задающее воздействие); хвых(пТ) -дискретная функция, определяемая уравнением (решение); Δ - разности 1-х порядков; bi и ci - постоянные коэффициенты.
Контрольные вопросы
Удобным для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа, которое представляет собой обобщение обычного преобразования Лапласа на дискретные функции (сигналы).
Обычное прямое преобразование
где x(t) - непрерывная функция - оригинал, Х(р) - изображение.
Как известно, импульсный сигнал на выходе простейшего импульсного элемента можно представить в виде промодулированной последовательности дельта-функций:
Таким образом, каждая ордината дискретной функции представляет собой δ-функцию, площадь которой определяется функцией Х(пТ). Только в этом существует формальное различие между функциями X*(t) и Х(пТ). Но без него невозможно ввести понятия, связанные с изображениями дискретных сигналов.
Изображение сигнала x*{t) в смысле дискретного преобразования Лапласа определяется по формуле:
где X*{t)-оригинал; Х*(р) -изображение.
Как видно из этой формулы, дискретное преобразование устанавливает функциональную связь между дискретными функциями (сигналами) и их изображениями. Нетрудно заметить аналогию между выражениями (10) и (12). Интегралу с бесконечным пределом соответствует бесконечная сумма, непрерывному аргументу t - дискретный аргумент пТ , а непрерывной функции x(t) -дискретная функция х(пТ). По существу выражение (12) есть сумма изображений всех δ - функций, входящих в формулу (11). Под знак суммы необходимо ставить соответствующую дискретную функцию х(пТ).
Очень удобным на практике оказалось Z - преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа путем подстановки z=e pT:
где х(пТ) - оригинал; X(z) - изображение в смысле Z- преобразования.
Рассмотрим два примера определения изображений дискретных функций.
1. Требуется определить изображение единичной ступенчатой дискретной функции х(пТ) — 1(пТ).
В соответствии с формулой (11) имеем
Z-преобразование этой функции
2. Дана экспоненциальная функция х(пТ)=eanT . Найдем ее изображение :
В справочной литературе по автоматике содержатся обширные таблицы дискретного преобразования Лапласа и Z - преобразования. В таблице приведены изображения часто встречающихся функций.
Итак, изображения дискретных функций являются функциями еpT, а не р, как это имеет место в обычном преобразовании Лапласа. В связи с этим возникла необходимость перехода к аргументу z = еpT, который является периодической функцией частоты. Поэтому дискретные изображения и частотные спектры дискретных функций также являются периодическими функциями частоты с периодом 2π.
Таблица 3.2
Изображение часто встречающихся функций времени
Контрольные вопросы
Структурные представления и передаточные функции составляют основу для инженерных расчетов импульсных автоматических систем. Они позволяют в значительной степени облегчить решение задач исследования.
Для исследования динамических свойств системы в первую очередь необходимо определить ее передаточные функции, которые, как известно, устанавливают зависимость между входным воздействием и реакцией системы (звена). Обычно в рассмотрение вводят, как и при исследовании непрерывных систем, следующие передаточные функции: передаточную функцию разомкнутой импульсной системы и передаточную функцию ошибки.
Передаточной функцией разомкнутой импульсной системы называется отношение изображений в смысле дискретного преобразования Лапласа выходного и входного импульсных сигналов при нулевых начальных условиях:
.Аналогично определяется эта передаточная функция в смысле Z - преобразования:
Основная задача состоит в том, чтобы определить передаточную функцию W(z) по известной передаточной функции приведенной непрерывной части системы W(p). Эту задачу решают в следующей последовательности:
1. По передаточной функции W(p) в результате применения обратного
преобразования Лапласа находят функцию веса ПНЧ:
2. По функции веса ПНЧ w(t) определяют аналитическое выражение
для соответствующей дискретной функции веса w(пТ).
3. Искомую передаточную функцию W(z) получают как Z - преобразование дискретной функции веса ПНЧ:
Основная передаточная функция замкнутой импульсной системы позволяет вычислить реакцию замкнутой системы хвых(пТ) на задающее воздействие хвх(пТ). Ее определяют, как и в непрерывных системах, в соответствии с уравнением замыкания через дискретную передаточную функцию разомкнутой системы:
Передаточную функцию замкнутой системы всегда можно представить в виде отношения двух полиномов относительно переменной z.
Запишем это выражение в развернутом виде :
Левая часть этого уравнения (в скобках) представляет собой характеристический полином замкнутой импульсной системы М (z).
В результате перехода от изображений к оригиналам в формуле (16) легко получить соответствующее разностное уравнение системы:
Аналогично можно получить разностное уравнение разомкнутой системы по передаточной функции W(z).
Передаточная функция ошибки определяется через передаточную функцию разомкнутой системы по формуле
Зная задающее воздействие и эту передаточную функцию, можно оценить динамическую точность импульсной системы — найти дискретную функцию ошибки ε(nT).
Рассмотрим конкретный пример определения передаточных функций импульсной системы. Определим передаточные функции системы, структурная схема которой изображена на рис. 3.12.
Рис. 3.12. Структурная схема импульсной системы
Как видно из рисунка, в прямой цепи системы имеется простейший импульсный элемент (фиксатор) и непрерывная часть (интегрирующее звено). Передаточная функция приведенной непрерывной части:
Дискретную передаточную функцию разомкнутой системы находим в соответствии с методикой, изложенной выше:
Разностное уравнение разомкнутой системы определяем, в случае необходимости, непосредственно из формулы (3.18):
Зная W (z), легко найти основную передаточную функцию замкнутой системы :
и передаточную функцию ошибки:
Динамические процессы в замкнутой импульсной системе описываются следующим разностным уравнением, полученным из формулы (3.19) путем перехода к оригиналам:
Контрольные вопросы
3. Как определяется дискретная передаточная функция ошибки и для чего она используется ?
Необходимым условием работоспособности импульсной системы является ее устойчивость. Известные из предыдущих бесед основные определения устойчивости непрерывных систем применимы и к импульсным системам, но с учетом ряда особенностей этих систем.
Обратимся к основной формулировке условия устойчивости : импульсная система устойчива, если ее собственное движение с течением времени затухает.
Как уже отмечалось, на практике часто ограничиваются определением дискретной функции Xвых(nT)на выходе системы. Это решение можно получить, например, из формулы (3.17) в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:
Таким образом, условие устойчивости системы следует записать так:
Оценку устойчивости импульсной системы, как и непрерывной, обычно производят на основании исследования характеристического уравнения замкнутой системы, получаемого из формулы (3.16):
Это алгебраическое уравнение имеет т корней z, на плоскости z. Однако, поскольку переменная z появилась в связи с подстановкой ,то каждый корень Z\ связан с корнями р( на плоскости р зависимостью
Легко заметить, что нулевому корню, например p1 = О, соответствует корень Zi=1, а корням pi с отрицательными вещественными частями соответствуют корни : |Zi|<1 .
Теперь можно дать формулировку математического условия устойчивости:
Рис. 3.13. Комплексная плоскость Z
Определение корней характеристического уравнения (3.21) при т≥3 сопряжено с известными трудностями. Поэтому на практике находят применение косвенные оценки — критерии качества, позволяющие оценивать устойчивость импульсных систем без определения корней.
К импульсным системам применим любой из известных критериев устойчивости непрерывных систем. Однако для этого предварительно необходимо произвести билинейное преобразование полинома М (z) в полином М (ω) по формуле
Такое преобразование позволяет отобразить единичный круг плоскости Z (рис. 3.13) в левую часть комплексной плоскости р, аналогичную области устойчивости непрерывных систем на плоскости р.
К характеристическому уравнению M(ω) = 0, которое также имеет порядок т, применимы алгебраические критерии устойчивости И. А. Вышнеградского и Гурвица. Оценим устойчивость двух конкретных систем.
Пример 1. Импульсная система первого порядка имеет характеристическое уравнение
После подстановки (22) получим
или
Система первого порядка устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:
Исследуем устойчивость импульсной системы с передаточной функцией (3.19).
Характеристические уравнения этой системы
Отсюда получаем два условия устойчивости:
Второе условие раскрывает важное свойство изучаемого класса систем: устойчивость импульсной системы зависит не только от общего коэффициента передачи в разомкнутом состоянии kv, как это имеет место и в непрерывных системах, но и от периода дискретности Т : чем больше Т, тем труднее обеспечить устойчивость системы, при неизменном kv.
Пример 2. Характеристическое уравнение импульсной системы второго порядка
После перехода к переменной СО получаем
Система устойчива, если коэффициенты ее характеристического уравнения положительны:
Эти три неравенства позволяют оценить устойчивость импульсной системы.
Исследование устойчивости систем третьего и более высоких порядков производят с помощью критерия Гурвица.
Контрольные вопросы
3. В чем заключается практический метод определения устойчивости импульсной системы ?
Основные показатели качества процессов в импульсных системах такие же, как и в непрерывных автоматических системах: время регулирования tp, величина перерегулирования σ и число перерегулирований п (показатели качества переходного процесса); точность работы систем в установившихся режимах.
В чем же особенности исследования качества импульсных автоматических систем?
Оценку показателей качества переходного процесса производят по импульсной переходной функции системы h(пТ) — реакции на единичную ступенчатую дискретную функцию Хвх (пТ) = 1 (пТ).
Изображение реакции системы в смысле Z-преобразования находят по формуле (3.14)
Так как изображение единичной дискретной функции
то изображение дискретной переходной функции импульсной системы
Как видно из этой формулы, изображение можно представить в общем случае в виде отношения двух полиномов.
Следовательно, для нахождения Н(z) достаточно знать передаточную функцию замкнутой системы Ф(z).
Далее, необходимо по изображению найти оригинал h(nT), т. е. осуществить операцию обратного Z-преобразования. Эту задачу часто решают методом разложения функции в степенной ряд по отрицательным степеням z (делением полинома числителя на полином знаменателя). Коэффициенты полученного степенного ряда равны дискретным значениям импульсной переходной функции в моменты времени t = пТ. Другой метод требует разложения Н (z) на простые дроби.
Рассмотрим на примере методику оценки показателей качества переходных процессов импульсной системы, изображенной на рис. 14.1, при различных значениях ее параметров kv и T.
Изображение переходной функции системы с учетом формулы (19)
1. При kvТ= 1,5 изображение переходной функции системы
В результате деления числителя на знаменатель находим:
Коэффициенты степенного ряда определяют следующие значения дискретной переходной функции-оригинала:
и т. д.
График переходной функции для этого случая изображен на рис. 3.14, а. Анализ графика позволяет определить показатели качества переходного процесса: tp = 5Т сек; σ= 50%; п = 4.
Очевидно, что для уменьшения величины перерегулирования необходимо уменьшать произведение kvТ.
2. При kvТ = 1 изображение переходной функции системы
Дискреты переходной функции:
Из графика переходной функции, представленного на рис. 3.14,6, видно, что при kvТ = 1 в системе имеет место оптимальный по быстродействию переходный процесс, так как он завершается за один период дискретности Т без перерегулирования .
Рис. 3.14. Переходные функции импульсной системы
Отсюда находим:
График этой функции, изображенный на рис. 3.14, в, близок к экспоненте. Время регулирования в этом случае tp = 5Тсек.
Проведенный анализ позволяет сделать важный вывод о том, что показатели качества переходного процесса импульсной системы существенно зависят от величины произведения коэффициента передачи kv на период дискретности Т.
Точность импульсной системы оценивается величиной ошибки в установившихся режимах. Для расчета ошибки необходимо знать изображение задающего воздействия и передаточную функцию ошибки Фε(z). Методика вычисления дискретной функции ε(пТ) аналогична изложенной выше.
Контрольные вопросы
Системы автоматического управления, в состав которых входят цифровые вычислительные устройства, называются цифровыми САУ. Они применяются во многих областях техники, в том числе в радиотехнике, позволяют создавать сложные многоканальные комплексы дистанционного управления.
Рассмотрим работу цифровой следящей системы (ЦСС), в которой отрабатывающий (выходной) вал должен копировать угол поворота входного вала, т.е. чтобы αвых(t)= αвх(t) Функциональная схема ЦСС приведена на рис. 3.15, где ЗУ - задающее устройство, ПВЧ - преобразователь вал-число, ЦВМ -цифровая вычислительная машина, ЦД - цифровой дискриминатор, ПЧН -преобразователь число-напряжение (цифро-аналоговый преобразователь - ЦАП), У - усилитель, ИД - исполнительный двигатель с редуктором, ОУ объект управления, НЧС — непрерывная (аналоговая) часть системы.
Рис. 3.15. Функциональная схема цифровой следящей системы
Цифровая информация α*вх(t) поступает на вход ЦД по линии связи (ЛС) от ПВЧ совместно с сигналами синхронизации от ЦВМ.
Цифровой дискриминатор является измерительным элементом системы. Он обычно состоит из арифметического устройства, регистра рассогласования и группы ключей. Количество разрядов числа, отображающего рассогласование (на выходе ЦД), обычно меньше количества разрядов входных чисел.
На входы ЦД периодически поступают последовательным кодом в виде двоичных чисел задающее воздействие α*вх(t) и регулируемая (управляемая) величина α*вых(t). На сумматоре производится операция вычитания. Результирущая величина представляет собой рассогласование
При этом положительное рассогласование получается в прямом двоичном коде, а отрицательное - в дополнительном коде. Далее величина рассогласования записывается в регистр и параллельным кодом подаётся на схему преобразователя число-напряжение.
Преобразователь число-напряжение по существу является выходным каскадом цифрового дискриминатора, выполняющим роль фиксатора. Он преобразует рассогласование из цифрового кода в напряжение u(t), которое является управляющим для непрерывной части системы - усилителя и исполнительного двигателя. Под действием этого сигнала двигатель приводит в движение рабочий механизм объекта управления. С выходным валом системы связан кодирующий диск ПВЧ, включённого в цепь обратной связи. Он преобразует угол поворота α*вых(t) в двоичные числа. Синхронную работу цифровой части следящей системы обеспечивает блок управления, запуск которого производится устройством управления ЦВМ.
Заметим, что один цифровой дискриминатор может обеспечить работу нескольких следящих систем. При этом период дискретности каждой системы увеличивается и может составлять 0,1 - 0,01 сек.
Из изложенного выше видно, что в цифровой части ЦСС действуют сигналы, квантованные по времени и уровню. При большом количестве уровней квантования (большом числе разрядов двоичных чисел) эта система по своим динамическим свойствам близка к импульсной системе, в которой происходит лишь квантование по времени. В этом случае структурная схема цифрового дискриминатора подобна схеме временного различителя автодальномера.
Контрольные вопросы
3. Что представляет собой цифровой дискриминатор ?
Цифровой фильтр — это устройство, осуществляющее преобразование одного дискретного сигнала xп в другой дискретный сигнал уп, причем сами сигналы хп и уп представляют собой двоичные цифровые коды.
В общем случае выходной сигнал цифровою фильтра в момент времени t = пТ определяется значением входного сигнала в тот же момент времени, а также значениями входных и выходных сигналов в предшествующие моменты времени.
Если эта зависимость является линейной, то цифровой фильтр называется линейным, при этом выходная величина уп определяется выражением
Линейный дискретный фильтр обычно описывают с помощью передаточной функции, под которой понимают отношение Z-преобразования выходной величины к Z-преобразованию входной величины :
Выражение для передаточной функции можно получить из уравнения (3.25) , если обе его части подвергнуть операции Z-преобразования. Принимая во внимание, что
Получаем
Из выражения (27) видно, что в общем случае передаточная функция линейного цифрового фильтра представляет собой отношение двух многочленов от z.
При построении цифровых фильтров существенным является вопрос их физической реализации, т.е. вопрос о том, любая ли передаточная функция вида (3.27) может быть реализована в виде схемы, построенной из физически осуществимых элементов, либо она может быть запрограммирована для микропроцессорной реализации фильтра.
Из уравнения (2.25) видно, что для получения уп необходимо выполнить следующие операции :
1. Получение сигналов xn-1 , ... , xn-m , уn-1 , ... , у п-l Эти сигналы
можно получить из xп и уп , используя элементы задержки на один период
квантования (рис. 3.16,а), в качестве которых могут служить запоминающие
устройства . Последовательное включение нескольких ЗУ дает возможность
задержать сигнал на произвольное число периодов квантования.
При микропроцессорной реализации цифровых фильтров для получения задержанных сигналов удобно использовать стек.
Рис. 3.16. Элементы цифровых фильтров
а - задержки на период квантования; б - умножения на постоянный коэффициент; в — сложения
Очевидно, единственным ограничением физической реализации разностного уравнения (3.25) является невозможность получения какого-либо из слагаемых правой части по той причине, что соответствующее слагаемое еще не появилось и, следовательно, не может быть получено путем его запоминания с целью задержки на заданное число периодов квантования. Таким образом, цифровой фильтр может быть физически реализован, если в правую часть уравнения (3.25) входят только настоящие и прошлые значения входной величины, но не входят будущие значения.
Покажем вид передаточной функции физически неосуществимого цифрового фильтра. Для этого в правую часть уравнения (25) должно входить слагаемое вида Ахп+s , соответствующее входной величине, которая будет получена через 5 шагов квантования. Очевидно, что Z- преобразование величины Ах п , 5 равно АХ*(z)zs . При этом передаточная функция принимает вид
В качестве нормальной формы записи передаточной функции обычно принимают форму, при которой многочлены в числителе и знаменателе содержат только отрицательные степени z . Для приведения к нормальной форме разделим числитель и знаменатель передаточной функции (28) на zs :
Особенностью передаточной функции (3.29) является отсутствие в знаменателе свободного члена. Это и является признаком физической нереализуемости цифрового фильтра.
При представлении передаточной функции цифрового фильтра в виде отношения многочленов, содержащих только положительные степени z , признаком физически реализуемого фильтра является выполнение условия, что степень многочлена, стоящего в числителе передаточной функции, не должна превышать степени многочлена, стоящего в ее знаменателе.
Подведем итоги.
1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. М.:Радиотехника,2003. - 288 с.
2. Первачев С.В. Радиоавтоматика. М.: Радио и вязь, 1982. -296 с.
3.Ерофеев А.А. Теория автоматического управления, 2–из. Санкт–Петербург, изд–во «Политехника», 2005,302 с,
1. Прикладные математические методы анализа в радиотехнике. Под ред.
Обрезкова Г.В. М.: Высшая школа, 1985. -343 с.
2. Радиоавтоматика . М.:/ под ред. Бесекерского В.А. 1985 г.
3. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.Л.Попов. М.: Наука,1975. 990 с.
4. Справочник по радиоэлектронным системам в 2-х томах. Т 1.: Под ред. Б.Х. Кривицкого – М.: Энергия 1979г. 352 с.
113
PAGE 155
Рис. 2.14. Последовательное соединение элементов
W3(s)
W1(s)
W2(s)
Рис. 2.13. Параллельное соединение элементов
y(t)
W2(s)
W3(s)
W1(s)
y3(t)
y2(t)
y1(t)
y(t)
y2(t)
x(t)
y1(t)
x(t)
–
Рис. 2.16. Система с единичной отрицательной обратной связью
y(t)
y(t)
(t)
x(t)
–
Рис. 2.15. Встречно – параллельное соединение элементов
y(t)
y1(t)
(t)
x(t)
W(s)
Wос(s)
W(s)
y2(t)
y1(t)
f(t)
W2(s)
–
Рис. 2.17. Система с двумя входными воздействиями
(t)
x(t)
W1(s)
–
Рис. 2.18.Схема системы при определении Wx(s)
Рис. 2.19. Схема системы при определении Wyf(s)
–
(t)
x(t)
W1(s)
W2(s)
y(t)
y1(t)
ОУ
f(t)
W2(s)
W1(s)
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 2.1. Амплитудно-фазовая характеристика
A
φ
ω
v(ω)
ω4
ω3
ω2
ω1
ω
ω
Рис. 2.2. ЛАХ системы
lgω
L(ω),[дБ]
40
20
0
φ(ω)
lgω
ω
-90о
0
-180о
-270о
EMBED Equation.DSMT4
1
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 2.8. Временные характеристики инерционного звена
EMBED Equation.DSMT4
ω=∞
Re
Im
K2
K1
1
ω=0
ω=0
ω=∞
Im
Re
АФХ
0
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
20 lgK1
20 lgK2
-90о
ω
ЛАХ
L(ω)
ω
Последовательность инерционных звеньев
Im
Re
АФХ
ω
ω
ω=0
ω=∞
Re
Im
0
ω
-90о
EMBED Equation.DSMT4
ЛАХ
ω
EMBED Equation.DSMT4
L(ω)
Интегрирующее звено
K
ω
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
ω=0
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 2.6. АФХ инерционного звена
ω=∞
Re
Im
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
0
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 2.21. Расположение корней неустойчивой системы
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
u(ω)
EMBED Equation.DSMT4
Рис. 2.10. Временные характеристики колебательного звена.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
1
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
0
0.075
0.05
0.025
75
-25
50
25
EMBED Equation.DSMT4
1
Рис. 2.3. Временные характеристики
EMBED Equation.DSMT4
0 T 2T 3T
Re
Im
ω=0
ω
ω
ω
ω=0
Рис. 2.22. Расположение комплексно-сопряженных корней в устойчивой системе.
Рис. 2.20. Расположение корней асимптотически устойчивой системы
0.015
0.015
0.01
0.005
0
1
Рис. 2.11. Семейство переходных характеристик колебательного звена
0.015
0.01
0.005
0.01
0.005
АФХ
F(jω)
kT
ω
Рис. 2.25. К примеру 2.1.
0
0
Рис. 2.24. К определению изменения фазы
ω=0
ω=∞
Re
ω
Im
Re
Im
ω
Рис. 2.23. Расположение комплексно-сопряженных корней в неустойчивой системе.
ω
-1
Re
Im
ω=∞
ω=0
АФХ
Рис. 2.26. К примеру 2.2.
ω
-1
Re
Im
ω=∞
ω=0
ω
ω
Re
АФХ
Рис. 2.27. К примеру 2.3.
ω
-1
Re
Im
ω=∞
ω=0
ω
εФ(t)
ε*(t)
t
0 T 2T 3T
t
0
ε(t)
εФ(t)
ε*(t)
ε(t)
ФЭ
ПИЭ
б)
ε(t)
XВХ(t)
ε*(t)
ИЭ
XВЫХ(t)
НЧС
а)
ε*(t)
X*ВЫХ(t)
XВЫХ(t)
X*ВХ(t)
XВХ(t)
ИЭ
НЧС
ИЭ
УУ
Д
x(t)
f(t)
n(t)
u(t)
y(t)
g(t)
gu(t)
yu(t)
a)
ОУ
УУ
Д
x(t)
f(t)
n(t)
u(t)
y(t)
g(t)
gu(t)
yu(t)
б)
Рис. 1.1. Схема системы РА:
а – разомкнутой; б - замкнутой
ОУ
УУ
Д
x(t)
u(t)
y(t)
g(t)
Рис. 1.3. Функциональная схема системы c компенсацией возмущения
ОУ
УУ
Д
x(t)
n(t)
gu(t)
yu(t)
y(t)
Регулятор
Рис. 1.2. Функциональная схема одноконтурной системы
СМ
УПЧ
ЧД
Г
ФНЧ
Рис. 1.4. Функциональная схема АПЧ
Uс
(ωc)
(ωпр)
(ωг)
Uг
Uд
UЧД
∆ω
0
Рис. 1.5. Дискриминационная характеристика ЧД
F(∆ω)
ЧД
ФНЧ
Г
Рис. 1.6. Структурная схема АПЧ
n
∆ωc
∆ωпр
∆ωг
δωг
ФД
ПГ
ЗГ
ФНЧ
УЗ
Рис. 1.7. Функциональная схема ФАПЧ
Uг
Uз
Uгу
(ωз)
(ωг)
кд
F(φ)
ПГ
ФНЧ
УЗ
ωз
∆ω
ωг
n
δωг
φ
Рис. 1.8. Структурная схема ФАПЧ
б)
а)
Yc
Ya
Zc
Za
Xc
Xa
Ya
Yc
Xa
Xc
Za
Zc
0
φz
φy
φz
φz
Рис. 1.9. К определению углов отклонения линии визирования: а – система координат OXAYAZA относительно OXСYСZС ;б – схема карданного подвеса
S
0
e
РСН
ЛВ
Е2
Е1
г
Өс
Рис. 1.10. К определению пеленгационной характеристики РЛС:
а – диаграмма направленности; б – пеленгационная характеристика
СМ
СМ
Г
УПЧ
УПЧ
АРУ
ФД
Рис. 1.11. Функциональная схема моноимпульсного приемника
Еp
Еc
UφA
П
КУ
e
УМ
ЗД
Р
А
МОС
Рис. 1.12. Система автоматического сопровождения:
a – структурная схема; б – к отсчету углов
φа
n(t)
φy(t)
ЛВ
0
Xa
Xc
φu
φA
б)
a)
e*
У
ФНЧ
УПТ
Д
Рис. 1.13. Функциональная схема АРУ
Uвх(t)
Uз
UА
Uвых(t)
Uφ
Uс
Uу
Uвх(t)
Uвых(t)
VT
Uу
Eп
Рис. 1.14. Схема регулируемого каскада
K0
Kд
НЗ
УПТ
ФНЧ
K(t)
α
Uвх(t)
Uвых(t)
-Uз
UД
Uу
Рис. 1.15. Структурная схема систему АРУ
Uc
Uвых
0
Uвх
Uвх max
1
2
3
Рис. 1.16. Регулировочные характеристики системы АРУ
ВД
З
ФНЧ
ВМ
ГИ
ОИ
ЗИ
Uφ
Рис. 1.17. Функциональная схема дальномера импульсной РЛС
Uφ
UГИ
UЗИ
UВМ
Uτ1
Uτ2
0
0
0
0
0
0
Рис. 1.18. Эпюры напряжений временного дискриминатора
t
t
t
t
t
t
T
τ
τ1
τ2
∆t
tu
tR
F(e)
Э
ФНЧ
ВМ
Uφ
n(t)
T
Рис. 1.19. Структурная схема дальнометра
tu(t)
tR(t)
F(e)
ФУ
ОУ
x(t)
y(t)
ε(t)
Рис. 1.20. Обобщенная структурная схема системы РА
γT
t
Модулятор
ε(t)
ε*(t)
δT(t)
t
δT(t)
-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T
(3.1)
ε(t)
ε*(t)
а)
б)
ε(t)
ε*(t)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
1(t)
1
0
t
Wф(t)
γT
0
t
1(t-γT)
γT
0
t
-1
T
ε*(t)
t
εФ(t)
t
0 T 3T 5T
0 T 3T 5T
7T
7T
Фиксатор
E(p)
E*(p)
Eф(p)
(3.9)
xвх(p)
E(p)
E*(p)
Wф(p)
Eф(p)
Wн(p)
Xвых(p)
ФЭ
НЧС
ПРИВЕДЕННАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ ЧАСТЬ
Xвых(p)
xвх(p)
E(p)
E*(p)
W(p)
ПНЧ
x(t)
t
0
Tc
x(nT)
nT
a)
0 T 2T 3T 4T
5T 6T 7T 8T
b)
x(nT)=AnT
0
T
3T
2T
nT
Δx(nT)=AT
0
T
3T
2T
nT
a)
b)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Ф
Xвх(p)
E(p)
E*(p)
1-е-Tp
p
Uф(p)
Kv
p
Xвых(p)
НЧ
Ф
xвх(p)
E(p)
E*(p)
1-c-Tp
p
Uф(p)
Kv
p
Xвых(p)
НЧ
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Imz
Rez
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
(3.22)
h(nT)
1
a)
t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
h(nT)
1
б)
t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
h(nT)
1
в)
t
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
αвх(t)
ПВЧ
ЗУ
ЦД
ПЧН
ЦВМ
ЛС
ИД
У
ОУ
ПВЧ
НЧС
α˙вх(t)
α˙вых(t)
ε˙(t)
U(t)
Uy(t)
αвых(t)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)