Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Глав 14 - Введение в цифровые фильтры 12
Введение в цифровые фильтры
Цифровые фильтры используются для двух основных целей: (1) разделения сигналов из их комбинации и (2) восстановление испорченных сигналов. Аналоговые (электронные) фильтры могут использоваться для тех же задач; однако цифровые фильтры могут обеспечить значительно лучшие результаты. Самые популярные цифровые фильтры описываются и сравниваются в следующих семи главах. Эта вводная глава описывает параметры, которые желательно изучить для каждого фильтра.
Цифровой фильтр очень важная часть ЦОС. Фактически, благодаря их превосходным характеристикам ЦОС стала так популярна. Как упоминалось во введении, фильтры имеют два использования: выделение сигнала и восстановление сигнала. Выделение сигнала необходимо, когда он загрязнен переотражениями, шумами или другими сигналами. Например, представьте прибор для измерения активности сердца ребенка в утробе матери. Исходный сигнал будет искажен дыханием и сердцебиением матери. Фильтр может быть использован для выделения этого сигнала так, что он сможет быть индивидуально проанализирован.
Восстановление сигнала используется, когда сигнал как-либо испорчен. Например, аудио запись, сделанная некачественной аппаратурой, может быть отфильтрована для лучшего представления действительного звучания. Другой пример, размытие изображения из-за неправильной фокусировки или дрожания камеры.
Проблем может быть решена либо аналоговым, либо цифровым фильтром. Какой лучше? Аналоговый фильтр дешевле, быстрее и имеет больший динамический диапазон, как по амплитуде, так и по частоте. Цифровой фильтр значительно превосходит его по уровню характеристик, которые могут быть достигнуты. Например, низкочастотный цифровой фильтр, представленный в главе 16, имеет коэффициент усиления 10,0002 от постоянного тока до 1000 Гц, и коэффициент усиления менее 0,0002 для частот выше 1001 Гц. Перепад целиком находится внутри только 1 герца. Не ожидайте этого от схем с операционным усилителем! Цифровые фильтры могут иметь характеристики в тысячи раз лучше, чем аналоговые фильтры. Это создает колоссальную разницу в подходе к проблемам фильтрации. Для аналоговых фильтров главное ограничение наблюдается со стороны электроники - точности и стабильности резисторов и емкостей. Для сравнения, цифровые фильтры так хороши, что зачастую эти параметры просто игнорируются. У них главные моменты сдвигаются в сторону ограничения по сигналам и теоретических вопросов, относящихся к обработке сигналов.
Обычно в ЦОС на входе фильтра и на выходе фильтра присутствуют сигналы временной области. Это вызвано тем, что сигналы обычно создаются отсчетами через регулярные интервалы времени. Но это не единственный способ получения отсчетов. Отсчеты могут получаться и через равные интервалы пространства. Например, представьте одновременное считывание информации из массива датчиков растяжения, расположенных через 1 сантиметр вдоль крыла самолета. Возможны многие другие области; однако, время и пространство наиболее типичны. Когда вы видите термин временная область в ЦОС, помните, что это может действительно означать отсчеты во времени, или может быть общее обозначение любой области, откуда поступают отсчеты
Как показано на рисунке 14-1, каждый линейный фильтр обладает импульсным откликом, ступенчатым откликом и частотным откликом (частотная характеристика). Каждый из этих откликов (характеристик) содержит полную информацию о фильтре, но в разной форме. Если один из них определен, то два других могут быть соответственно вычислены. Все три представления важны потому, что они описывают реакцию фильтра при разных условиях.
Наиболее прямой путь выполнения цифрового фильтра это свертка входного сигнала с импульсным откликом цифрового фильтра. Все возможные линейные фильтры могут быть выполнены таким способом. (Это должно быть очевидно. Если нет, то вы, возможно, не имеете основ для понимания этого раздела по созданию фильтров. Попробуйте еще раз посмотреть предыдущий раздел по основам ЦОС.) Когда импульсный отклик используется в этом способе, схема фильтра получает специальное название: ядро фильтра.
Имеется также и другой способ создания цифрового фильтра, называемый рекурсия. Этим способом фильтр создается с помощью свертки, каждый отсчет выходного сигнала вычисляется взвешиванием входных отсчетов и их сложением. Рекурсивный фильтр расширяет этот подход, используя кроме входных точек предыдущее вычисление выходной величины. Вместо ядра фильтра рекурсивный фильтр определяется набором рекурсивных коэффициентов. Этот метод будет детально обсуждаться в главе 19. Теперь важно усвоить, что все линейные фильтры имеют импульсный отклик, даже если вы не используете его при создании фильтра. Что бы найти импульсный отклик рекурсивного фильтра, просто подайте на его вход импульс и посмотрите, что будет на выходе. Импульсный отклик рекурсивного фильтра состоит из синусоид, амплитуда которых уменьшается по экспоненте. В принципе, это делает их импульсный отклик бесконечно длинным. Однако амплитуда, в конечном счете, падает ниже уровня шумов округления системы, и оставшиеся отсчеты могут быть проигнорированы. Благодаря такому импульсному отклику рекурсивные фильтры также называются фильтрами с бесконечным импульсным откликом (Infinite Impulse Response or IIR). Аналогично, фильтры, выполненные с помощью свертки, называются фильтрами с конечным импульсным откликом (Finite Impulse Response or FIR).
РИСУНОК 14-1
Параметры фильтра. Каждый линейный фильтр имеет импульсный отклик, ступенчатый отклик и частотный отклик. Ступенчатый отклик (b) может быть найден дискретным интегрированием импульсного отклика (а). Частотный отклик может быть найден из импульсного отклика с помощью БПФ. Он может быть отображен по линейной шкале (с), или по логарифмической (d).
Как вы знаете, импульсный отклик есть выходной сигнал системы, когда на ее вход подан импульс. Точно таким же образом, ступенчатый отклик есть выходной сигнал, когда на вход системы подана ступенька (скачок, отклик на скачок). Поскольку ступенька есть интеграл от импульса, ступенчатый отклик есть интеграл от импульсного отклика. Имеется два способа найти ступенчатый отклик: (1) подать ступенчатый сигнал на вход фильтра и посмотреть, что будет на выходе, или (2) проинтегрировать импульсный отклик. (Что бы быть математически корректными отметим: интегрирование используется для непрерывных сигналов, для дискретных сигналов используется дискретное интегрирование, т.е. текущая сумма [running sum]). Частотный отклик (частотная характеристика – АЧХ) может быть найдена применением ДПФ (используя алгоритм БПФ) к импульсному отклику. Это будет рассмотрено позже в этой главе. Частотный отклик может быть отображен по линейной шкале по вертикальной оси (с) или по логарифмической шкале (d) в децибелах. Линейная шкала лучше показывает дрожание в полосе пропускания и спад, в то время как логарифмическая шкала необходима, чтобы увидеть ослабление в полосе подавления.
Не помните, что такое децибелы? Быстро напомним. Бел (в честь Александра Грэхема Белла) означает, что мощность изменилась в десять раз. Например, электронная цепь, которая имеет коэффициент усиления 3 бела, производит сигнал в 10 10 10 = 1000 раз мощнее, чем на входе. Децибел (дБ) – одна десятая бела. Следовательно, величины в децибелах: -20 дБ, -10 дБ, 0 дБ, 10 дБ и 20 дБ означают отношение мощностей: 0,01, 0,1, 1, 10, и 100, соответственно. Другими словами, каждые десять децибел означают изменение мощности в десять раз.
Здесь есть зацепка: вы, обычно, хотите работать с амплитудой сигнала, а не с его мощностью. Например, представьте усилитель с 20 дБ усилением. По определению, это означает, что мощность сигнала будет увеличена в 100 раз. Поскольку амплитуда пропорциональна корню квадратному из мощности, то амплитуда выходного сигнала будет в 10 раз больше чем входного. Следовательно, 20 дБ соответствуют 100 кратному увеличению мощности и только 10 кратному увеличению амплитуды. Каждые двадцать децибел означают изменение амплитуды в десять раз. В формульном виде:
Эти формулы используют логарифм по основанию 10. Однако, многие компьютерные языки могут работать только с логарифмами по основанию е (натуральный логарифм, записывается logex или lnx). Для натурального логарифма формулы могут быть модифицированы: dB = 4,342945 ln(P2/P1) и dB = 8,685890 ln(A2/A1).
Поскольку децибелы выражают отношение двух сигналов, они идеально подходят для описания коэффициента усиления системы, то есть, отношения между выходным и входным сигналами. Однако инженеры также используют децибелы для обозначения амплитуды (или мощности) выбранного сигнала по некоторым правилам. Например, термин dBV означает, что сигнал соотносится с 1 вольтовым среднеквадратическим сигналом. Подобным образом, dBm означает соотношение с сигналом, который выделяет 1 милливатт на 600 Ом нагрузке (около 0,78 вольт среднеквадратического сигнала).
Если вы еще ничего не поняли в децибелах, помните две вещи. Первое, -3 дБ означают, что амплитуда уменьшилась до 0,707 (и мощность, следовательно, понизилась до 0,5). Второе, помните следующие преобразования между децибелами и отношениями амплитуд:
|
60дБ |
= |
1000 |
|
40дБ |
= |
100 |
|
20дБ |
= |
10 |
|
0дб |
= |
1 |
|
-20дБ |
= |
0,1 |
|
-40дБ |
= |
0,01 |
|
-60дБ |
= |
0,001 |
Наиболее важным моментом в любой задаче ЦОС является понимание того, как информация вводится в сигнал, с которым вы работаете. Имеется много способов записи информации в сигнал. Это особенно справедливо, если сигнал зашифрован. Например, представьте все модуляционные схемы, которые были созданы: АМ, ФМ, однополосная (?), импульсно-кодовая, широко-импульсная и так далее и так далее. К счастью, имеется только два общих способа представления информации в естественных сигналах. Мы будем называть их представление информации во временной области и представление информации в частотной области.
Представление информации во временной области описывает связь изменения в амплитуде сигнала, с каким либо событием. Например, представьте эксперимент по изучению солнечного излучения. Излучение измеряется и записывается каждую секунду. Каждый отсчет в сигнале отображает, что произошло в данный момент времени, и каков уровень события. Если произошла солнечная вспышка, сигнал непосредственно представляет информацию о моменте события, продолжительности, развития во времени и т.д. Каждый отсчет содержит информацию, которая непосредственно интерпретируется без ссылок на другие отсчеты. Даже если вы имеете только один отсчет из всего сигнала, вы еще что-то знаете о том, что измеряете. Это есть самый простой способ хранения информации в сигнале.
В противоположность этому, информация, представленная в частотной области, не столь очевидна. Многие вещи в нашем мире демонстрируют периодическое движение. Например, бокал, по которому щелкнули пальцем, будет вибрировать, производя звон, маятник дедушкиных часов качается; звезды и планеты вращаются вокруг собственной оси и друг друга и так далее. Путем измерения частоты, фазы и амплитуды этого периодического движения, может быть получена информация о системе, совершающей это движение. Предположим, что мы получили отсчеты звука, который производит звенящий бокал. Основная частота и гармоники периодической вибрации зависят от массы и эластичности материала. Одиночный отсчет, сам по себе, не содержит информацию о периодическом движении. Информация содержится во взаимоотношении между многими точками сигнала.
Это приводит нас к важности ступенчатого и частотного откликов. Ступенчатый отклик показывает, как информация, представленная во временной области, модифицируется системой. В отличие от этого, частотный отклик (АЧХ) показывает, как изменяется информация, представленная в частотной области. Это разграничение очень критично при разработке фильтров, потому что нет возможности оптимизировать фильтр для обоих приложений. Хорошие характеристики во временной области приводят к плохим характеристикам в частотной области, и наоборот. Если вы создаете фильтр для удаления шумов из сигнала ЭКГ (информация представлена временной областью), то ступенчатый отклик является важным параметром, а частотный отклик мало интересен. Если ваша задача заключается в создании слухового аппарата (информация в частотной области), то частотный отклик очень важен, а ступенчатый отклик не играет роли. Теперь давайте посмотрим, что делает фильтр оптимальным для приложений временной области и для приложений частотной области.
Может быть не очевидно, почему ступенчатый отклик так важен для фильтров временной области. Вы, может быть, удивлены, почему импульсный отклик не столь важный параметр. Ответ лежит в способе, каким человеческий ум воспринимает и обрабатывает информацию. Вспомните, что ступенчатый, импульсный и частотный отклики все содержат идентичную информацию, только по-разному организованной. Ступенчатый отклик полезен для анализа во временной области, потому что он соответствует человеческому видению информации, которая содержится в сигнале.
Например, вы получили какой-то сигнал из неизвестного источника, и вас просят проанализировать его. Первое что вы сделаете, это разделите сигнал на области с похожими характеристиками. Вы не сможете остановиться, пока не сделаете этого, ваш ум будет делать это автоматически. Некоторые области могут быть сглаженными, другие иметь большие амплитудные всплески, какие-то могут быть просто шумом. Эта сегментация завершается определением точек, которые разделяют эти области. Здесь подходит пошаговое действие. Оно наиболее отчетливо представляет разницу между двумя непохожими областями. Можно отметить начало события, или конец события. Это укажет вам, что справа что-то одно, а слева что-то другое. Это соответствует тому, как человеческий ум видит информацию во временной области: группа шаговых действий, разделяющих информацию на области с похожими характеристиками. Ступенчатый отклик, в свою очередь, важен, потому что он показывает, как разделяющая линия будет модифицироваться фильтром.
Параметры ступенчатого отклика, которые важны при разработке фильтра, показаны на рисунке 14-2. Для различения событий в сигнале, продолжительность ступенчатого отклика должна быть короче, чем промежуток между событиями. Это требует, чтобы ступенчатый отклик был как можно быстрее (жаргон ЦОС). Смотрите (а) и (b). Обычно еще вводят понятие время подъема, risetime, (еще жаргон), которое определяют как число отсчетов между уровнями амплитуды 10% и 90%. Почему не всегда возможно быстрое время подъема? Имеется много причин: ограничение по шумам, собственные ограничения системы в получении данных, мероприятия по устранению наложения (aliasing) и т.д.
Рисунки (с) и (d) показывают следующий важный параметр: выброс в шаговом отклике. Выброс, в основном, должен быть устранен, потому что он изменяет амплитуду отсчетов в сигнале; это основное искажение информации, содержащейся во временной области. Все это можно выразить в одном вопросе: Наблюдаемый выброс в сигнале вызван процессом, который вы пытаетесь измерить, или фильтром, который вы используете?
РИСУНОК 14-2
Параметры для оценок характеристик во временной области. Ступенчатый отклик характеризует качество выполнения фильтра во временной области. Важны три параметра: (1) скорость подъема (risetime), показана в (а) и (b); выброс (с) и (d); и (3) линейность фазы, симметрия между верхней и нижней половиной ступенчатого отклика, (e) и (f).
Последнее, часто желательно, чтобы верхняя половина ступенчатого отклика была симметрична с нижней половиной, как показано в (е) и (f). Эта симметрия необходима, что бы поднимающийся край был похож на спадающий край. Эта симметрия называется линейной фазой, так как частотный отклик в этом случае имеет фазу в виде прямой линии (обсуждается в главе 19). Убедитесь, что вы понимаете эти три параметра, они являются ключевыми для оценок во временной области.
Рисунок 14-3 показывает четыре основных частотных отклика. Цель этих фильтров – пропустить некоторые частоты неизменными, и блокировать прохождение других частот. Полоса пропускания (passband) относится к пропускаемым частотам, полоса режекции (stopband) – к блокируемым частотам. Переходная полоса (transition band) – к частотам между ними. Быстрый спад (fast roll-off) означает, что переходная полоса очень узкая. Граница между полосой пропускания и переходной полосой называется частотой отсечки (cutoff frequency). В аналоговых фильтрах частота отсечки обычно определяется точкой, где амплитуда уменьшается до 0,707 (т.е. -3 дБ). Цифровые фильтры менее стандартизованы, и обычно рассматривается уровень амплитуды в 99%, 90%, 70,7% и 50% для определения частоты отсечки.
Рисунок 14-4 показывает три параметра, характеризующие характеристики фильтра в частотной области. Для разделения близко расположенных частот фильтр должен иметь быстрый спад, как показано в (а) и (b). Для пропускания частот без искажения не должно быть ряби в полосе пропускания, как показано в (с) и (d). Последнее, для соответствующей блокировки частот, необходимо иметь хорошее подавление в полосе режекции, как показано в (е) и (f).
РИСУНОК 14-3
Четыре типа частотного отклика. Фильтры частотной области, в основном, используются для пропускания определенных частот (passband) и блокировки других (stopband). Четыре наиболее распространенных частотных отклика, низкочастотный, высокочастотный, полосовой, режекторный.
РИСУНОК 14-4
Параметры для оценки характеристик частотной области. Частотный отклик низкочастотного фильтра. Важны три параметра: (1) резкость спада, показано в (а) и (b); (2) рябь в полосе пропускания (c) и (d); и (3) подавление в полосе режекции (e) и (f).
Почему ничего не говорится о фазе при рассмотрении этих параметров? Во-первых, фаза не важна в большинстве приложений частотной области. Например, фаза в аудио сигналах почти совершенно случайна и содержит мало полезной информации. Во-вторых, если фаза важна, очень легко сделать цифровой фильтр с совершенным фазовым откликом, то есть, все частоты, пропускаемые фильтром, будут иметь нулевой фазовый сдвиг (также обсуждается в главе 19). Для сравнения, аналоговые фильтры в этом отношении очень плохи.
В предыдущих главах описывалось, как ДПФ преобразует импульсный отклик системы в частотный отклик. Коротко напомним. Самый быстрый путь вычисления ДПФ – использовать БПФ, представленное в главе 12. Начав с ядра фильтра длиной в N отсчетов, БПФ вычисляет частотный спектр, состоящий из N точек реальной части и N точек мнимой части. Только отсчеты от 0 до N/2 реальной и мнимой части содержат полезную информацию; оставшиеся точки дубликаты (негативные частоты) и могут быть игнорированы. Поскольку реальная и мнимая части трудны для человеческого понимания, они обычно преобразуются в полярную систему координат, как описано в главе 8. В результате получаем амплитуду (полярную амплитуду – magnitude) и фазу сигнала с номерами отсчетов от 0 до N/2 (т.е. N/2 + 1 отсчетов). Например, для импульсного отклика из 256 точек в частотной области будут отсчеты от 0 до 128. Отсчет 0 представляет постоянный ток, т.е., нулевую частоту. Отсчет 128 представляет 1\2 частоты дискретизации (отсчетного уровня). Помните, частоты выше ½ частоты дискретизации не могут проявляться в данных отсчетов.
Число отсчетов, представляющих импульсный отклик, может быть произвольной величиной. Например, предположим, что вы хотите найти частотный отклик фильтра с ядром из 80 точек. Так как БПФ работает только с числами кратными двум, вам необходимо добавить 48 нулей к сигналу, чтобы получить величину в 128 отсчетов. Эти добавочные нули не изменяют импульсный отклик. Что бы понять, почему это так, подумайте, что случится с этими добавочными нулями, когда входной сигнал свернется с импульсным откликом системы. Добавочные нули просто исчезнут в свертке, и не окажут никакого воздействия на выход.
Сделаем следующий шаг, вы можете добавить много нулей в импульсный отклик, скажем, 256, 512, или 1024. Идея заключается в том, что более длинный импульсный отклик в результате дает более близкое расположение точек данных в частотной области. То есть, будет большее число отсчетов между постоянным током (DC) и ½ частоты дискретизации. В пределе, если добавить импульсному отклику бесконечное число нулей, мы получим в частотной области такое близкое расположение точек, что они сольются в непрерывную линию. Выход ДПФ есть отсчеты, взятые по этой непрерывной линии. Какая длина импульсного отклика должна использоваться, когда вычисляется частотная характеристика (отклик) фильтра? Первая мысль, которая приходит в голову, попробовать N = 1024, но не бойтесь изменить эту величину, если это необходимо (при недостаточном разрешении или чрезмерном времени вычислений).
Имейте в виду, что «хорошие» или «плохое» параметры, которые обсуждались в этой главе, всего лишь общие понятия. Многие сигналы не делятся на эти категории. Например, представьте сигнал ЭКГ смешанный с 60 Гц помехой. Информация закодирована во временной области, но помеху лучше удалить в частотной области. Лучшее решение для этого приложения заключается в выборе компромисса, и пойти против шаблонной мудрости этой главы. Вспомните первое правило образования: параграф в книге не дает вам право не думать.
Высокочастотный, полосовой и режекторный фильтры создаются, начиная с низкочастотного фильтра, и затем преобразуются в желаемые характеристики (отклики). По этой причине в большинстве обсуждаемых схем фильтров рассматривается низкочастотный фильтр. Есть два способа преобразования низкочастотного фильтра в высокочастотный фильтр: спектральная инверсия (spectral inversion) и спектральное реверсирование (spectral reversal). Оба они широко используются.
Пример спектральной инверсии показан на рисунке 14-5. Рисунок (а) показывает ядро низкочастотного фильтра, называемого «оконный гармонический» (windowed-sinc – тема главы 16). Ядро этого фильтра имеет длину в 51 точку, хотя многие отсчеты так малы, что сливаются с нулем на графике. Соответствующий частотный отклик показан в (b), он найден добавлением 13 нулей и использованием БПФ. Две вещи необходимо сделать, что бы изменить ядро низкочастотного фильтра в ядро высокочастотного фильтра. Первое, изменить знак каждого отсчета в ядре фильтра. Второе, добавить один отсчет в центре симметрии. Это преобразует ядро низкочастотного фильтра (с) в ядро высокочастотного фильтра (d). Спектральная инверсия перебрасывает частотную характеристику сверху вниз, изменяя полосу пропускания в полосу блокировки и полосу блокировки в полосу пропускания. Другими словами, она изменяет низкочастотный фильтр в высокочастотный фильтр, высокочастотный фильтр в низкочастотный фильтр, полосовой фильтр в режекторный фильтр, режекторный фильтр в полосовой фильтр.
РИСУНОК 14-5
Пример спектральной инверсии. Ядро низкочастотного фильтра (а) имеет частотный отклик (b). Ядро высокочастотного фильтра (с) получено изменением знака каждого отсчета в (а), и добавлением одного отсчета в центре симметрии. Эти действия во временной области приводят к инверсии частотного спектра (переброска сверху в низ), как показано в высокочастотной характеристике фильтра (d).
Рисунок 14-6 показывает, почему эти два шага модификации временной области приводят к инверсии частотного спектра. В (а) входной сигнал x[n] поступает на две параллельные системы. Одна из систем низкочастотный фильтр с импульсным откликом h[n]. Другая ничего не делает с сигналом, и поэтому ее импульсный отклик просто дельта функция [n]. Общий выход y[n] равен пропускающей все системе минус выход низкочастотной системы. Поскольку низкочастотные компоненты будут вычтены из исходного сигнала, только высокочастотные компоненты будут на выходе. Так создается высокочастотный фильтр.
РИСУНОК 14-6
Блок схема спектральной инверсии. В (а) входной сигнал поступает на две параллельные системы с импульсными откликами h[n] и [n]. Как показано в (b) комбинация систем имеет импульсный отклик [n] - h[n]. Это означает, что частотный отклик комбинации систем есть инверсия частотного отклика системы с h[n].
Этот способ может быть выполнен двумя шагами в компьютерной программе: пропустить сигнал через низкочастотный фильтр, а затем вычесть полученный сигнал из исходного сигнала. Однако целиком операция может быть выполнена в одном каскаде комбинацией двух фильтров. Как описывалось в главе 7, параллельные системы со сложением выходов могут быть скомбинированы в один каскад сложением их импульсных откликов. Как показано в (b), ядро высокочастотного фильтра равно [n] - h[n]. То есть, меняется знак каждого отсчета и добавляется один отсчет в центр симметрии.
Для того, что бы этот способ работал, фаза сигнала на выходе низкочастотного фильтра должна быть точно такой же, как и фаза сигнала на выходе все пропускающей системы. Иначе вычитание не сможет произойти. Отсюда возникают два ограничения на этот метод: (1) исходное ядро фильтра должно иметь лево-правую симметрию (т.е. нулевую линейную фазу); и (2) импульс должен быть добавлен в центр симметрии.
РИСУНОК 14-7
Пример спектрального реверсирования. Ядро низкочастотного фильтра (а) имеет частотный отклик (b). Ядро высокочастотного фильтра (с) формируется изменение знака каждого следующего отсчета в (а). Это действие во временной области приводит в частотной области к перебросу слева на право, что создает частотный отклик высокочастотного фильтра.
Второй метод преобразования низкочастотного фильтра в высокочастотный фильтр, спектральная инверсия, иллюстрируется рисунком 14-7. Так же как и раньше, ядру низкочастотного фильтра (а) соответствует частотный отклик (b). Ядро высокочастотного фильтра (с) формируется изменением знака каждого следующего отсчета в (а). Как показано в (d), это перебрасывает частотную область слева направо, 0 становится 0,5 и 0,5 становится 0. Частота отсечки низкочастотного фильтра в этом примере равная 0,15 преобразуется в частоту отсечки высокочастотного фильтра равной 0,35.
Изменение знак каждого соседнего отсчета эквивалентно перемножению ядра фильтра на синусоиду с частотой 0,5. Как обсуждалось в главе 10, это вызывает сдвиг частотной области на 0,5. Посмотрите на (b) и представьте отрицательные частоты между -0,5 и 0, которые зеркально отображают частоты между 0 и 0,5. Частоты, которые появились в (d) есть отрицательные частоты из (b), сдвинутые на 0,5.
РИСУНОК 14-8
Создание полосового фильтра. Как показано в (а), полосовой фильтр может быть создан последовательным включением низкочастотного и высокочастотного фильтров. Возможно однокаскадное выполнение, при свертке ядер фильтров.
Последнее, рисунки 14-8 и 14-9 показывают, как могут быть скомбинированы ядра низкочастотного и высокочастотного фильтров для получения полосовых и режекторных фильтров. Короче, сложение ядер фильтров производит режекторный фильтр, свертка ядер производит полосовой фильтр. Имеются основные способы последовательной и параллельной комбинации систем, как обсуждалось в главе 7. Многократные комбинации так же могут быть использованы. Например, полосовой фильтр может быть создан сложением двух ядер фильтров для формирования режекторного фильтра, и, затем, использованием спектральной инверсии или спектрального реверсирования. Как описывалось выше. Все эти способы очень хорошо работают с незначительными сюрпризами.
Таблица 14-1 показывает, как цифровые фильтры классифицируются по их использованию и по их выполнению. Использование цифровых фильтров может быть разбито на три категории: временная область, частотная область и специальные (заказные или пользовательские). Как описывалось выше, фильтры временной области используются, когда информация закодирована в форме сигнала. К фильтрации во временной области относятся такие действия, как сглаживание, выделение постоянного тока, создание формы сигнала и т.д. В противоположность этому, фильтрация в частотной области используется, когда информация содержится в амплитуде, частоте и фазе составляющих синусоид. Цель этих фильтров заключается в разделении одних частот от других. Специальные фильтры используются, когда требуются специальные действия для фильтрации, что-нибудь более изощренное, чем типичные фильтры (низкочастотный, высокочастотный, полосовой и режекторный). Глава 17 описывает, как специальный фильтр может быть создан для выполнения обратной свертки (deconvolution), способ, противодействующий нежелательной свертке.
РИСУНОК 14-9
Создание режекторного фильтра. Как показано в (а), режекторный фильтр формируется параллельным соединением низкочастотного и высокочастотного фильтров и сложением их выходов. Как показано в (b), возможно однокаскадное выполнение, путем сложения ядер низкочастотного и высокочастотного фильтров.
|
ВЫПОЛНЕНИЕ |
|||
|
Свертка Конечный импульсный отклик (FIR) |
Рекурсия Бесконечный импульсный отклик (IIR) |
||
|
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ |
Временная область (сглаживание, выделение DC) |
Скользящий усредняющий (Гл. 15) |
Однополюсный (Гл. 19) |
|
Частотная область (разделение частот) |
Оконный гармонический (Гл. 16) |
Чебышева (Гл. 20) |
|
|
Специальные (обратная свертка) |
специальный FIR (Гл. 17) |
Повторяющиеся приемы (Гл. 26) |
ТАБЛИЦА 14-1
Классификация фильтров. Фильтры могут быть разделены по использованию (применению) и выполнению.
Цифровые фильтры могут быть выполнены двумя способами, с помощью свертки (называются фильтры с конечным импульсным откликом или FIR) или с помощью рекурсии (называются фильтры с бесконечным импульсным откликом или IIR). Фильтры, выполненные с помощью свертки, могут иметь лучшие характеристики, чем рекурсивные фильтры, но значительно медленнее делать вычисления.
Следующие шесть глав описывают цифровые фильтры согласно классификации таблицы 14-1. Вначале мы будем рассматривать фильтры, выполненные сверткой. Скользящий усредняющий фильтр (глава 15) используется во временной области. Оконный гармонический фильтр (глава 16) – в частотной области и специальный FIR фильтр (глава 17), когда требуется что-нибудь особенное. Заканчивая дискуссию о FIR фильтрах, глава 18 представляет технику, называемую БПФ свертка. Это алгоритм для увеличения скорости свертки, что позволяет FIR фильтрам работать быстрее.
Затем мы рассмотрим рекурсивные фильтры. Однополюсный рекурсивный фильтр (глава19) используется во временной области, в то время как фильтр Чебышева используется в частотной области. Рекурсивные фильтры, имеющие специальные характеристики (специальный отклик) создаются с помощью повторяющихся приемов (iterative techniques). По этой причине мы отложим их обсуждение до главы 26, где они будут представлены с другими типами повторяющихся процедур: нейронных сетей
Как показано в таблице 14-1, свертка и рекурсия конкурирующие способы, вы можете выбрать любой из них для частного приложения. Как сделать выбор? Глава 21 шаг за шагом представляет их сравнение во временной области и в частотной области.