Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
где длине волны соответствует максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, - постоянная Вина.
Квантовая гипотеза Планка устанавливает пропорциональность между энергией кванта излучения и частотой колебаний
,
где - постоянная Планка.
Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела имеет вид
.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
,
где - работа выхода электрона из металла, - максимальная кинетическая энергия электрона.
Красная граница фотоэффекта может быть определена по формулам
, .
Величина запирающего напряжения вычисляется по формуле
.
Масса фотона определяется при помощи формул Планка и Эйнштейна
,
а его импульс равен
.
Давление света, падающего нормально на некоторую поверхность, определяется по формуле
,
где - энергия всех фотонов, падающих на единицу площади поверхности за единицу времени (энергетическая освещенность поверхности), - коэффициент отражения света от поверхности, - объемная плотность энергии излучения.
Изменение длины волны коротковолнового излучения при его рассеянии на свободных (или слабосвязанных) электронах (эффект Комптона) определяется по формуле
,
где - угол рассеяния, - комптоновская длина волны (для рассеяния фотона на электроне ).
Длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра определяется по формуле
,
где - напряжение на рентгеновской трубке.
Примеры решения задач
Задача 1. Излучение Солнца близко по своему спектральному составу к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны . Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на 1%.
Решение
Воспользуемся законом смещения Вина и определим температуру поверхности Солнца
. (2.1.1)
Тогда энергетическая светимость Солнца по закону Стефана – Больцмана и при помощи (2.1.1) запишется в виде
. (2.1.2)
Умножая (2.1.2) на площадь излучающей поверхности и время, находим энергию, излучаемую Солнцем
. (2.1.3)
Для определения массы, теряемой Солнцем вследствие излучения, воспользуемся формулой Эйнштейна для взаимосвязи массы и энергии, что с учетом (2.1.3) позволит записать
. (2.1.4)
Учитывая, что площадь излучающей поверхности (сферы) , из (2.1.4) находим
Чтобы оценить время уменьшения массы Солнца на 1%, предположим, что в течение этого времени энергия, излучаемая Солнцем, не изменяется, тогда
.
Задача 2. Определить установившуюся температуру зачерненного шарика, расположенного на половине расстояния от Земли до Солнца. Температуру поверхности Солнца принять равной .
Решение
Очевидно, что находясь в состоянии теплового равновесия, шарик должен получать в единицу времени такую же энергию излучения от Солнца, которую сам излучает в окружающее пространство. Тогда, обозначая мощность солнечного излучения, упавшего на шарик через , а мощность, излученную шариком – через , имеем
. (2.1.5)
Предполагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, выражение для мощности солнечного излучения можно записать в виде
, (2.1.6)
где - температура поверхности Солнца, - площадь поверхности Солнца. Долю мощности солнечного излучения, приходящуюся на поверхность шарика, найдем из пропорции
, (2.1.7)
где - площадь круга радиуса , равного радиусу шарика, - расстояние от Земли до Солнца. Из (2.1.6), (2.1.7) находим
. (2.1.8)
Определим теперь мощность излучения шарика, предполагая, что он тоже излучает как абсолютно черное тело, а температура всех его точек одинакова. Тогда получим
. (2.1.9)
Из (2.1.5), (2.1.8), (2.1.9) следует
.
Используя табличные данные, получаем ответ
.
Задача 3. Медный шарик, удаленный от других тел, под действием света, падающего на него, зарядился до потенциала . Определить длину волны света.
Решение
Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна
. (2.1.10)
Вследствие вылета электронов с шарика под действием света он приобретает положительный заряд, в результате чего вокруг него создается электрическое поле, тормозящее движение вылетевших электронов. Шарик будет заряжаться до тех пор, пока максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не станет равной работе тормозящего электрического поля при перемещении электронов на бесконечно большое расстояние. Так как потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, по теореме о кинетической энергии получаем
,
что с учетом (2.1.10) позволяет найти длину волны света
. (2.1.11)
Подставляя в (2.1.11) числовые значения (работа выхода электронов из меди равна ), находим
.
Задача 4. Плоская поверхность освещается светом с длиной волны . Красная граница фотоэффекта для данного вещества . Непосредственно у поверхности создано однородное магнитное поле с индукцией , линии которого параллельны поверхности. На какое максимальное расстояние от поверхности смогут удалиться фотоэлектроны, если они вылетают перпендикулярно поверхности?
Решение
Воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта и определим максимальную скорость вылетающих фотоэлектронов
. (2.1.12)
Используя формулу для красной границы фотоэффекта
,
выражение (2.1.12) можно записать в виде
. (2.1.13)
После вылета с поверхности электроны попадает в перпендикулярное к вектору скорости однородное магнитное поле, следовательно, движутся в нем по окружности, и их максимальное удаление от поверхности будет равно радиусу этой окружности. Радиус окружности можно найти, применяя второй закон Ньютона и используя формулу Силы Лоренца
. (2.1.14)
Тогда из (2.1.13), (2.1.14) находим максимальное удаление электронов от поверхности
.
Вычисления дают
.
Задача 5. Катод фотоэлемента освещают монохроматическим светом. При задерживающем напряжении между катодом и анодом ток в цепи прекращается. При изменении длины волны света в раза потребовалось подать на электроды задерживающую разность потенциалов . Определить работу выхода электронов из материала катода.
Решение
Используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и формулу для задерживающего напряжения, получаем
, (2.1.15)
, (2.1.16)
где длины волн связаны условием
. (2.1.17)
Решая систему уравнений (2.1.15) – (2.1.17), находим
.
Задача 6. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны .
Решение
Предварительно сравним энергию фотона с энергией покоя электрона
,
.
Вычисления показывают, что энергия фотона больше энергии покоя электрона, следовательно, при решении задачи необходимо использовать формулы специальной теории относительности. Приравнивая формулы импульса фотона и релятивистского электрона, получаем
. (2.1.18)
Решая (2.1.18) относительно скорости электрона, получаем
.
Задача 7. В космосе движется пылинка плотностью , поглощающая весь падающий на нее свет. Зная мощность излучения Солнца , найти радиус пылинки, при котором ее гравитационное притяжение к Солнцу компенсируется силой светового давления.
Решение
Согласно условию задачи сила всемирного тяготения должна уравновешиваться силой светового давления, поэтому
. (2.1.19)
По закону всемирного тяготения
, (2.1.20)
где массу пылинки можно записать в виде
; (2.1.21)
здесь - радиус пылинки, - расстояние от пылинки до Солнца.
Сила светового давления равна
, (2.1.22)
где проекция поверхности пылинки на плоскость, перпендикулярную солнечным лучам, имеет площадь
, (2.1.23)
а давление связано с мощностью излучения , пронизывающего поверхность пылинки формулой
. (2.1.24)
Мощность излучения, приходящуюся на пылинку, можно выразить через мощность солнечного излучения при помощи пропорции
. (2.1.25)
Исключая из системы (2.1.19) – (2.1.25) неизвестные, получаем формулу для радиуса пылинки
.
Подстановка числовых значений дает
.
Задача 8. В результате столкновения фотона и протона, летевших по взаимно перпендикулярным направлениям, протон остановился, а длина волны фотона изменилась на . Чему был равен импульс фотона? Скорость протона считать .
Решение
Воспользуемся для решения задачи законами сохранения импульса и энергии. Пусть первоначальный импульс фотона направлен по оси
, импульс протона – по оси , а импульс фотона после рассеяния образует с осью угол (рис. 2.1.1). Учитывая, что движение протона по условию можно описывать классическими формулами, по закону сохранения энергии имеем
. (2.1.26)
Рис. 2.1.1
Закон сохранения импульса в проекциях на оси и дает
, . (2.1.27)
Изменение длины волны рассеянного фотона по условию удовлетворяет формуле
. (2.1.28)
Выразим из (2.1.27) и , возведем эти уравнения в квадрат, сложим и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. В результате получим
. (2.1.29)
Исключая из (2.1.26), (2.1.29) при помощи (2.1.28), преобразуем эти уравнения к виду
, (2.1.30)
. (2.1.31)
Исключая теперь из системы (2.1.30), (2.1.31) скорость протона, находим длину волны фотона до рассеяния
,
после чего определяем первоначальный импульс фотона
.
Задача 9. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами и , отличаются друг от друга в раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.
Решение
Воспользуемся формулами изменения длины волны при комптоновском рассеянии для двух углов рассеяния, упомянутых в условии
, . (2.1.32)
Деля второе уравнение (2.1.32) на первое, получаем
. (2.1.33)
Решая (2.1.33), находим длину волны падающего на вещество излучения
.
Задача 10. Фотон с энергией, в раза превышающей энергию покоя электрона, рассеялся назад на неподвижном свободном электроне. Найти радиус кривизны траектории электрона отдачи в магнитном поле с индукцией , предполагая, что линии индукции перпендикулярны вектору скорости электрона.
Решение
Запишем выражение изменения длины волны света при комптоновском рассеянии
. (2.1.34)
Перейдем в (2.1.34) от длин волн к энергиям при помощи соотношения и учтем, что угол рассеяния . В результате получим
, (2.1.35)
где - энергия покоя электрона. С учетом того, что , находим из (2.1.35) энергию рассеянного фотона
и кинетическую энергию электрона отдачи
. (2.1.36)
Как известно, радиус окружности, по которой электрон движется в магнитном поле, определяется по формуле
, (2.1.37)
где с учетом релятивистского характера движения электрона
. (2.1.38)
Используя релятивистскую формулу кинетической энергии
,
из (2.1.36) после алгебраических преобразований можно получить
,
что после подстановки в (2.1.37), (2.1.38) позволяет найти радиус кривизны траектории электрона
. (2.1.39)
Подстановка в (2.1.39) числовых значений дает
.
Задача 11. При увеличении напряжения на рентгеновской трубке в раза длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на . Найти первоначальное напряжение на трубке.
Решение
Применим формулу длины волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра для случаев до и после изменения напряжения на трубке
, . (2.1.40)
Вычитая из первого уравнения (2.1.40) второе, находим
,
откуда следует формула первоначального напряжения на трубке
.
Индивидуальные задания
2.1.1. Найти температуру печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью имеет мощность Вт. Излучение считать близким к излучению абсолютно черного тела. Ответ: .
2.1.2. Какую мощность излучения имеет Солнце? Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела. Температура поверхности Солнца . Ответ: .
2.1.3. Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом отверстии площадью равна 1,3 кК. Принимая, что отверстие печи излучает как абсолютно черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками, если потребляемая печью мощность составляет 1,5 кВт. Ответ: .
2.1.4. Определить, как и во сколько раз изменится мощность излучения черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его спектральной плотности энергетической светимости, сместилась с до . Ответ: .
2.1.5. Черное тело находится при температуре . При остывании тела длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на . Определить температуру , до которой тело охладилось. Ответ: .
2.1.6. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке , длина спирали . При включении лампочки в сеть напряжением через лампочку течет ток . Найти температуру спирали. Считать, что по установлении равновесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела при данной температуре . Ответ: .
2.1.7. Найти солнечную постоянную , т.е. количество лучистой энергии, посылаемой Солнцем в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к солнечным лучам и находящуюся на таком же расстоянии от него, как и Земля. Температура поверхности Солнца . Ответ: .
2.1.8. Температура поверхности Солнца , отношение диаметра земной орбиты к диаметру Солнца составляет . Считая, что Земля одинаково излучает по всем направлениям, вычислить ее среднюю температуру. Ответ: .
2.1.9. Мощность излучения абсолютно черного тела кВт. Найти площадь излучающей поверхности тела, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны . Ответ: .
2.1.10. Считая, что тепловые потери обусловлены только излучением, определить, какую мощность необходимо подводить к медному шарику диаметром , чтобы при температуре окружающей среды поддерживать его температуру равной . Принять поглощательную способность меди . Ответ: .
2.1.11. Калий освещается монохроматическим светом с длиной волны 400 нм. Определить наименьшее задерживающее напряжение, при котором фототок прекратится. Работа выхода электронов из калия равна 2,2 эВ. Ответ: .
2.1.12. Определить температуру тела, при которой оно излучало бы энергии в 10 раз больше, чем поглощало. Температура окружающей среды . Ответ: .
2.1.13. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 500 нм. Определить: 1)работу выхода электронов из этого металла; 2) максимальную скорость электронов, вырываемых из этого металла светом с длиной волны 400 нм. Ответ: , .
2.1.14. Задерживающее напряжение для платиновой пластинки (работа выхода 6,3 эВ) составляет 3,7 В. При тех же условиях для другой пластинки задерживающее напряжение равно 5,3 В. Определить работу выхода электронов из этой пластинки. Ответ: .
2.1.15. Определить, до какого потенциала зарядится уединенный серебряный шарик при облучении его ультрафиолетовым светом длиной волны . Работа выхода электронов из серебра . Ответ: .
2.1.16. При освещении вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны он заряжается до потенциала . Определить, до какого потенциала зарядится фотоэлемент при освещении его монохроматическим светом с длиной волны . Ответ: .
2.1.17. Плоский серебряный электрод освещается монохроматическим излучением с длиной волны . Определить, на какое максимальное расстояние от поверхности электрода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется задерживающее электрическое поле напряженностью . Красная граница фотоэффекта для серебра . Ответ: .
2.1.18. При освещении катода вакуумного фотоэлемента монохроматическим светом с длиной волны фототок прекращается при некотором задерживающем напряжении. При увеличении длины волны на 25%, задерживающее напряжение оказывается меньше на 0,8 В. Определить по этим экспериментальным данным постоянную Планка. Ответ: .
2.1.19. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка (работа выхода ) при облучении -излучением с длиной волны . Ответ: .
2.1.20. Определить длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона, прошедшего разность потенциалов . Ответ: .
2.1.21. Определить температуру, при которой средняя энергия молекул трехатомного газа равна энергии фотонов, соответствующих излучению . Ответ: .
2.1.22. Определить, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был равен импульсу фотона, длина волны которого . Ответ: .
2.1.23. Давление монохроматического света с длиной волны на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лучам, равно 0,12 мкПа. Определить число фотонов, падающих ежесекундно на поверхности. Ответ: .
2.1.24. Определить давление света на стенки электрической 150-ваттной лампочки, принимая, что вся потребляемая мощность идет на излучение и стенки лампочки отражают 15% падающего на них света. Считать лампочку сферическим сосудом радиуса . Ответ: .
2.1.25. Давление монохроматического света с длиной волны на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, равно 0,15 мкПа. Определить концентрацию фотонов в световом пучке. Ответ: .
2.1.26. На идеально отражающую поверхность нормально падает монохроматический свет с длиной волны . Поток излучения . Определить силу давления, испытываемую этой поверхностью. Ответ: .
2.1.27. Фотон с энергией рассеялся на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить угол рассеяния фотона, если длина волны рассеянного фотона оказалась равной комптоновской длине волны . Ответ: .
2.1.28. Фотон с энергией, вдвое превышающей энергию покоя электрона, при рассеянии на покоящемся электроне теряет половину своей энергии. Найти угол разлета между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Ответ: .
2.1.29. Фотон с длиной волны испытал комптоновское рассеяние под углом на первоначально покоившемся свободном электроне. Определить импульс электрона отдачи. Ответ: .
2.1.30. Фотон с энергией рассеялся под углом на первоначально покоившемся электроне. Определить кинетическую энергию электрона отдачи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 20%. Ответ:.
2.2. Теория атома водорода по Бору. Элементы квантовой механики.
Обобщенная формула Бальмера для частот спектральных линий излучения атомарного водорода
,
где , . При возникает серия Лаймана, при - серия Бальмера, при - серия Пашена, при - серия Брэкета, при - серия Пфунда, при - серия Хэмфри. Формула Бальмера, записанная при помощи длин волн
.
В формулах Бальмера постоянные и называются постоянными Ридберга.
Согласно постулату Бора при переходе электрона в атоме с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) квант света с энергией
,
равной разности энергий и соответствующих стационарных состояний.
Правило квантования круговых орбит электрона в атоме
,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3