Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРАВИЛО КРАМЕРА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Рассмотрим линейную систему уравнений
В матричных обозначениях
Матрица системы (матрица коэффициентов)
,
вектор правых частей
,
неизвестный вектор
Найдем . Для этого умножим первое уравнение на , второе умножим на и вычтем из первого уравнения второе, в результате получим
(*)
Обозначим
Это определитель квадратной матрицы второго порядка
Элементы образуют главную диагональ матрицы, а элементы - побочную.
Определитель равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.
Итак, определитель – это число, вычисляемое по определенному правилу, соответствующее данной матрице.
Его обозначают так
выражение в правой части уравнения (*) представляет определитель матрицы
, полученный из матрицы А заменой первого столбца на столбец свободных членов. Обозначим его
С учетом введенных обозначений уравнение (*) перепишем в виде
,
отсюда
аналогичным образом
,
Теорема. Если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.
Выше эта теорема была доказана для системы двух уравнений (n=2). Она верна для системы любого порядка.
, …., ,
где -определитель матрицы системы, а получается из заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Эти формулы носят название правила Крамера.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА. МИНОРЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ.
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка
Ее определитель есть число, вычисленное по правилу
Коэффициент при в этой формуле называется минором этого элемента. Вообще минор элемента - это определитель матрицы, полученный из матрицы А вычеркиванием i – ой строки и j –го столбца. Например, определитель
есть минор элемента (вычеркиваем 1 – ю строку и 2 – й столбец).
Итак,
,
где - миноры элемента . Последняя формула называется разложением определителя по первой строке.
Положим
Назовем алгебраическим дополнением к элементу . Тогда
Вычисляя алгебраические дополнения, следует брать знак ‘+’, если (i+j) четное число и ‘-’, если (i+j) нечетное число.
Используя алгебраические дополнения, запишем формулу для определителя в виде
Формула означает, что определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.
Аналогичным образом можно получить, что это правило верно для любой строки или столбца.
Правило вычисления определителя третьего порядка:
+ _
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОРЯДКА n.
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
…………………………..
В матричном виде система запишется следующим образом:
где
, ,
Вектор x – решение системы.
Теорема Крамера. Пусть определитель матрицы системы
отличен от нуля. Тогда система имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам
, …., ,
где получаются из заменой i-го столбца на столбец свободных членов (i=1,2,…)
Свойства определителей
1. Определитель не меняется, если все его строки заменить соответствующими столбцами.
Пример.
2. Перестановка двух строк (столбцов) влечет изменение знака определителя
Пример.
3. При умножении всех элементов строки (столбца) на число определитель умножается на это число
Пример.
4.Определитель не меняется при добавлении к элементам строки элементов другой строки, умноженных на число. То же верно для столбцов.
Пример.
Здесь от первой строки отняли вторую, умноженную на 3.
4. Определить, у которого две одинаковые строки (столбца) равен нулю.
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
С матрицами можно выполнять алгебраические действия, придерживаясь следующих правил:
1). Любую матрицу можно умножить на число. Результатом умножения будет матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента исходной матрицы на это число.
2). Складывать и вычитать можно только матрицы одного размера, т.е. матрицы у которых количество строк и столбцов одно и тоже.
3).Две матрицы можно перемножить, если число строк первого сомножителя равно числу столбцов второго сомножителя. Такие матрицы называются сцепленными. Произведение матриц не коммутативно – произведение матриц зависит от перестановки сомножителей.
Умножение двумерной матрицы на одномерную
Отметим, что эти матрицы можно перемножить, так как у первого сомножителя столбцов, у второго сомножителя строк, в результате умножения получится одномерная матрица с элементами, которые определяются по формуле
,
Пример.
Умножить двухмерную матрицу на одномерную матрицу , где
,
Умножение двумерной матрицы на двумерную
Отметим, что эти матрицы можно перемножить, так как у первого сомножителя матрицы строк и столбцов, у второго сомножителя матрицы строк и столбцов, в результате умножения получится двухмерная матрица , имеющая строк и столбцов, элементы, которые определяются по формуле
, ,
Пример.
Умножить двухмерную матрицу на двухмерную матрицу , где
,
Обратная матрица
Пусть A и B – квадратные матрицы порядка n.
Матрица B называется обратной к матрице A, если
, ,
матрица называется единичной матрицей. Это квадратная матрица, у которой по диагонали стоят единицы, а остальные элементы нули.
Для обратной матрицы B используется обозначение ( - обратная к матрица).
Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. У такой матрицы существует обратная матрица.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Исходная матрица
– исходная матрица, (или ) - обратная матрица, Е – квадратная единичная матрица такого же порядка, что и матрицы и .
Запишем матрицу в виде
Умножим 1-ую строку матрицы на 1/2 и вычтем из второй строки,
умножим 1-ую строку матрицы на 5/2 и вычтем из второй строки,
в результате получим
Умножим 2-ую строку матрицы на 17/7 и вычтем из третьей строки, в результате получим
Определитель матрицы
Матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравняем их и найдем все элементы обратной матрицы.
Приравняем элементы первых столбцов:
Аналогичным образом, приравнивая элементы второго и третьего столбцов, найдем
Ответ :
Второй способ вычисления обратной матрицы
1). Для каждого элемента вычислим алгебраическое дополнение
,
где - миноры элемента .
Составим матрицу из алгебраических дополнений
2). Транспонируем эту матрицу
3) Разделим полученную матрицу на определитель матрицы А, получим обратную матрицу
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными
…………………………..
определитель которой не равен нулю
В матричном виде система запишется следующим образом:
где
, ,
Умножим матричное уравнение на обратную матрицу
Так как
,
то
ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ
Модель «затраты - выпуск»
Имеется предприятие, выпускающее n видов продукции в количестве соответственно.
Вектор
называется планом выпуска.
При этом расходуется m видов ресурсов в количестве соответственно.
Вектор
называется вектором ресурсов.
Известны расходные коэффициенты - количество i – го ресурса, необходимого для производства j – го продукта (i=1,2,…m, j=1,2,…n).
Они образуют матрицу
,
которую называют матрицей расходных материалов или технологической матрицей. При плане расход i – го ресурса составит
i=1,2,…m
или в матричном виде
,
y – вектор расходов ресурсов.
Можно рассматривать модель, когда расходы не превышают запасы
,
то есть
.
А можно потребовать, чтобы расходовались все имеющиеся ресурсы. Тогда
, .
Будем рассматривать последний вариант.
Пусть даны запасы ресурсов и матрица расходных коэффициентов .
Требуется определить план выпуска такой, что
,
то есть найти решение линейной системы.
Если m=n , , то решение дается формулой
.
Модель межотраслевого баланса Леонтьева.
Имеется n отраслей промышленности. Каждая отрасль производит один продукт, который потребляет она сама и другие отрасли, а остаток предназначен для непроизводственного, или конечного потребления (личного и общественного).
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени, например, за год.
Обозначим
- общий (валовой) объем продукции i – той отрасли (i=1,2,…,n),
- объем продукции i – той отрасли, потребляемый j – той отраслью (i,j=1,2,…,n),
- объем конечного продукта i – той отрасли для непроизводственного потребления (i=1,2,…,n).
Все величины в одних единицах, например, в рублях.
Соотношения баланса имеют вид
, i=1,2,…,n (*)
Общий продукт = продукт, потребляемый n отраслями + конечный продукт.
Введем коэффициенты прямых затрат
, i,j=1,2,…,n
Это затраты продукции i – той отрасли на производство продукции j – той отрасли. Будем считать, что постоянные, не зависящие от , . Тогда имеет место зависимость
, i,j=1,2,…,n
это линейная зависимость материальных затрат от валового выпуска.
Подставим последнюю формулу в уравнение (*)
, i=1,2,…,n
Это линейные балансовые соотношения.
Обозначим
, ,
Тогда линейные балансовые соотношения запишем в виде
или (Е – единичная матрица)
Основная задача межотраслевого баланса
Дана матрица прямых затрат А и вектор конечного продукта Y. Найти вектор валового выпуска X.
Пусть матрица (Е-А)- невырождена (. Тогда существует обратная матрица . Умножая последнее уравнение на , получим
Матрица называется матрицей полных затрат.
(*)
Выясним смысл коэффициентов матрицы S
Для этого положим , то есть требуется получить единицу первого конечного продукта, приравняв остальные конечные продукты нулю. Тогда
Итак, на производство единицы первого конечного продукта каждая отрасль требует
полных затрат, соответственно. Аналогично, положив
получим
,
Итак, на производство единицы j –го конечного продукта каждая отрасль требует
полных затрат 1-й, 2-й,…, n-й отрасли, соответственно. Итак, - количество полных затрат (или валового выпуска) i – той отрасли, необходимых для производства единицы продукта j – той отрасли.
Знание матрицы полных затрат легко позволяет найти решение задачи по формуле (*).
Продуктивная матрица
В соответствии с экономическим смыслом задачи должно быть
Здесь означает, что , а означает, что . Кроме того, .
Определение. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора существует вектор , являющийся решением основной задачи межотраслевого баланса
.
Пусть существует и имеет неотрицательные коэффициенты. Тогда ясно, что
Последнее вытекает из правила умножения матрицы на вектор и того факта, что скалярное произведение двух векторов с неотрицательными коэффициентами есть неотрицательная величина. Итак, имеет место
Теорема 1. Пусть существует и имеет неотрицательные коэффициенты. Тогда матрица А продуктивна.
Теорема 2. Пусть матрица А имеет неотрицательные коэффициенты и пусть для любого j – го столбца
причем существует столбец с номером k, для которого
Тогда матрица А продуктивна.
Пример
В таблицах приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в условных денежных единицах
|
.Потребление . Производство . |
Энергетика |
Машино- строение |
Конечный продукт |
Валовой Выпуск |
|
Энергетика машиностроение |
7 12 |
21 15 |
72 73 |
100 100 |
Требуется увеличить конечный продукт энергетики, сохранив конечный продукт машиностроения. Каков должен быть новый валовой выпуск каждой отрасли?
Здесь
Следовательно, коэффициенты прямых затрат равны соответственно
Таким образом,
Матрица А прямых затрат с положительными коэффициентами имеет суммы столбцов
0,07+0,12=0,19>0
0,21+0,15=0,36>0
и, следовательно, удовлетворяет условию продуктивности.
Найдем
det(E-A)=0,93*0,85-0,21*0,12=0,7653
Матрица из алгебраических дополнений имеет вид
,
а транспонирование дает
.
Следовательно,
По условию новый вектор конечного продукта равен
Найдем новый вектор валового выпуска
Итак, новые значения валового выпуска будут