Будь умным!


У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Модуль аргумент комплексного числа

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 28.11.2024

PAGE  8

Занятие 12.    Комплексные числа.

12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Комплексным числом в алгебраической форме называется число

                                                         ,                                                                           (1)

где  называется мнимой единицей и  - действительные числа:  называется действительной (вещественной) частью;  -  мнимой частью комплексного числа . Комплексные числа вида   называются чисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .  

По определению,   

,

     и т.д.

Множество всех действительных чисел  является частью множества   : .  С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству .   Например,  и  , т.к. .

Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ,

т.к. .

Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни

,   .

Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

                   ,  ,   .

Решение.

- соответственно вещественная  и мнимая части числа ,

.

.

.

Любое комплексное число  изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат . Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами (рис 1.)   Ось называется вещественной осью, а ось  - мнимой осью комплексной плоскости .

                       

                                            Рис. 1.

 

Комплексные числа  сравниваются между собой только знаками .      .  Если же хотя бы одно из равенств:  нарушено, то .  Записи типа  не имеют смысла.

По определению, комплексное число   называется комплексно сопряженным числу .  В этом случае пишут  . Очевидно, что .  Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

Например, .

Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.

1. Сложение комплексных чисел   производится так:

 .

Свойства операции сложения:

                            - свойство коммутативности;

       - свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел  означает сложение отвечающих им на плоскости  векторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа  из числа  производится так:

.

2. Умножение комплексных чисел производится так:

.

Свойства операции умножения:

                           - свойство коммутативности;

              - свойство ассоциативности;

       - закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел  выполнимо только при  и производится так:

.

Пример 3. Найти , если  .

Решение.

1)   .(ош!)

2)   .(ош!)

3)   .(ош!)

4)    .

5)    .

Пример 4. Вычислить  , если .

Решение.

.

z, т.к.  .

.(ош!)

Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:   

          .

Модуль, аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа  (модуль  обозначается  )  это -  неотрицательное число , т.е.      .  

Геометрический смысл  - длина вектора, представляющего число  на комплексной плоскости .  Уравнение  определяет множество всех чисел  (векторов на ), концы которых лежат на единичной окружности .

 Аргумент комплексного числа  (аргумент  обозначается  ) это – угол  в радианах между вещественной осью  и числом  на комплексной плоскости , причем  положителен, если он отсчитывается от  до  против часовой стрелки, и  отрицателен, если  отсчитывается от оси  до  по часовой стрелке.

Таким образом, аргумент числа  определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого , где . Однозначно аргумент числа  определяется в пределах одного обхода единичной окружности  на плоскости . Обычно требуется найти  в пределах интервала , такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается .

  и   числа  можно найти из уравнения , при этом обязательно нужно учитывать, в какой четверти плоскости  лежит конец вектора  - точка :

если  (1-я четверть плоскости ), то ;

если  (2-я четверть плоскости ), то;

если  (3-я четверть плоскости ), то ;

если  (4-я четверть плоскости ), то .

Фактически, модуль и аргумент числа , это полярные координаты  точки  - конца вектора  на плоскости .

Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

.

Решение.

1) .

2) .

3)  

                                                                         .

4) .

5)  

                                                            .

6) .

7)  

                                                                                        .

8) .

 

Аргументы чисел , лежащих осях , разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости , находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости .

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.

 Тригонометрическая форма записи комплексного числа  имеет вид:

   ,                                                                     (2)

где - модуль,  - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств  .

 Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа  имеет вид:

                                               ,                                                                                      (3)

где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления  комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:

  .                                                                                  (4)

Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).

Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел:  из примера 5.

Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.

1)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

       - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

2)

     - тригонометрическая форма записи числа ,

       - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

3)  

    - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

4)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

5)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

6)

    - тригонометрическая форма числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма числа .

7)  

    - тригонометрическая форма записи числа ,

       - показательная (экспоненциальная) форма числа .

8)

     - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел.  Пусть  - показательные формы чисел .

1.     При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2.     При делении комплексного числа   на число  получается комплексное число , модуль  которого равен отношению модулей , а аргумент  -  разности  аргументов чисел .

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

По определению,

.

При возведении в целую степень комплексного числа , следует действовать так: сначала найти модуль  и аргумент  этого числа; представить  в показательной форме ;  найти , выполнив следующую последовательность действий

     ,  где  .       (5)

Замечание. Аргумент    числа   может не принадлежать интервалу .  В этом случае следует по полученному значению  найти главное значение  аргумента

числа , прибавляя (или вычитая) число  с таким значением , чтобы

принадлежало интервалу .  После этого, нужно заменить в формулах (5)  на .

Пример 7.  Найти  и , если  .

Решение.

1)  =  (см. число  из примера 6).

2)  ,  где  .   .    .

Следовательно,  можно заменить на  и, значит,

,  где  .

3)   ,  где .  .

Заменим  на  .  Следовательно,

.

 Извлечение корня -й степени  из комплексного числа  проводится по формуле Муавра-Лапласа

               .                                      (6)

Из формулы (6) видно, что  имеет ровно  различных значений  .

Пример 8. Найти все значения .

Решение. Требуется вычислить  в случае  .

.

Формула Муавра-Лапласа (6), подставляя в которую ,  дает:

.

Следовательно,

,

,

Итак, ,  ,    - искомые значения .

Пример 9. Найти в показательной форме все значения .

Решение. Требуется вычислить  в случае  .

 (см. число  из примера 5).

По формуле Муавра-Лапласа, в которой следует положить ,

для значений  последовательно находим требуемые значения :

.

.

,  .  Заменим  на , получим окончательное выражение .

,  . Заменим  на , получим окончательное выражение .

___________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти действительную и мнимую части, модуль и аргумент следующих комплексных чисел:  .  Изобразить эти числа на комплексной плоскости.  Представить эти числа в показательной и тригонометрической формах.

2. Найти   для комплексного числа .

3. Найти все значения .




1. на тему Отношение общественности к инвалидам Вашему вниманию будет предложен социологический опрос пров
2. банк заключили соглашение о сотрудничестве в деле развития Интернет платежей
3. Землі сільськогосподарського призначення.html
4. Договора о нераспространения ядерного оружия 1968 г
5. Iwv 03-32Ultr 00-14-09JnglLounge2 5 сек
6. Правды Русской и судебников знаменуя неизмеримо более высокую ступень феодального права отвечавшего ново
7. Пифагор 1
8. Тема 2- Економічна ефективність виробництва у будівельній організації 1
9. Особливості використання системного підходу у документознавстві
10. Художественные средства в изображении образа Коробочка - одна из мертвых душ
11. Исследование эффективности управления внутренней средой проекта
12. I. СУЩНОСТЬ И НАЗНАЧЕНИЕ ИСТОРИИ.
13. Процессоры обработки текстовой информации
14. на тему 3.2.14- Народні традиції та їх роль в моральноетичному вихованні дітей Р
15. Курсова робота присвячена виявленню та вивченню причин і механізмів порушення імунітету в старості імуноге
16. правового механизма обусловлено прежде всего усложнением содержания и ростом объема международных обязат
17. Анестезиология
18. 1556 гг Военная реформа После неудачного похода на Казань в ноябре 1549г
19. Конец Люси конец теории антропогенеза
20. Музыка Индии