У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Модуль аргумент комплексного числа

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 27.4.2025

PAGE  8

Занятие 12.    Комплексные числа.

12.1. Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

12.2. Модуль, аргумент комплексного числа.

12.3. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

12.4. Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

Определение комплексных чисел в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Комплексным числом в алгебраической форме называется число

                                                         ,                                                                           (1)

где  называется мнимой единицей и  - действительные числа:  называется действительной (вещественной) частью;  -  мнимой частью комплексного числа . Комплексные числа вида   называются чисто мнимыми числами. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой .  

По определению,   

,

     и т.д.

Множество всех действительных чисел  является частью множества   : .  С другой стороны, существуют комплексные числа, не принадлежащие множеству .   Например,  и  , т.к. .

Комплексные числа в алгебраической форме естественным образом возникают при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ,

т.к. .

Следовательно, заданное квадратное уравнение имеет комплексные корни

,   .

Пример 2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

                   ,  ,   .

Решение.

- соответственно вещественная  и мнимая части числа ,

.

.

.

Любое комплексное число  изображается вектором на комплексной плоскости , представляющей плоскость с декартовой системой координат . Начало вектора лежит в точке , а конец - в точке с координатами (рис 1.)   Ось называется вещественной осью, а ось  - мнимой осью комплексной плоскости .

                       

                                            Рис. 1.

 

Комплексные числа  сравниваются между собой только знаками .      .  Если же хотя бы одно из равенств:  нарушено, то .  Записи типа  не имеют смысла.

По определению, комплексное число   называется комплексно сопряженным числу .  В этом случае пишут  . Очевидно, что .  Везде далее черта сверху над комплексным числом будет означать комплексное сопряжение.

Например, .

Над комплексными числами можно выполнять такие операции, как сложение (вычитание), умножение, деление.

1. Сложение комплексных чисел   производится так:

 .

Свойства операции сложения:

                            - свойство коммутативности;

       - свойство ассоциативности.

Нетрудно видеть, что геометрически сложение комплексных чисел  означает сложение отвечающих им на плоскости  векторов по правилу параллелограмма.

Операция вычитание числа  из числа  производится так:

.

2. Умножение комплексных чисел производится так:

.

Свойства операции умножения:

                           - свойство коммутативности;

              - свойство ассоциативности;

       - закон дистрибутивности.

3. Деление комплексных чисел  выполнимо только при  и производится так:

.

Пример 3. Найти , если  .

Решение.

1)   .(ош!)

2)   .(ош!)

3)   .(ош!)

4)    .

5)    .

Пример 4. Вычислить  , если .

Решение.

.

z, т.к.  .

.(ош!)

Нетрудно проверить (предлагается это сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:   

          .

Модуль, аргумент комплексного числа.

Модуль комплексного числа  (модуль  обозначается  )  это -  неотрицательное число , т.е.      .  

Геометрический смысл  - длина вектора, представляющего число  на комплексной плоскости .  Уравнение  определяет множество всех чисел  (векторов на ), концы которых лежат на единичной окружности .

 Аргумент комплексного числа  (аргумент  обозначается  ) это – угол  в радианах между вещественной осью  и числом  на комплексной плоскости , причем  положителен, если он отсчитывается от  до  против часовой стрелки, и  отрицателен, если  отсчитывается от оси  до  по часовой стрелке.

Таким образом, аргумент числа  определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого , где . Однозначно аргумент числа  определяется в пределах одного обхода единичной окружности  на плоскости . Обычно требуется найти  в пределах интервала , такое значение называется главным значением аргумента числа и обозначается .

  и   числа  можно найти из уравнения , при этом обязательно нужно учитывать, в какой четверти плоскости  лежит конец вектора  - точка :

если  (1-я четверть плоскости ), то ;

если  (2-я четверть плоскости ), то;

если  (3-я четверть плоскости ), то ;

если  (4-я четверть плоскости ), то .

Фактически, модуль и аргумент числа , это полярные координаты  точки  - конца вектора  на плоскости .

Пример 5. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

.

Решение.

1) .

2) .

3)  

                                                                         .

4) .

5)  

                                                            .

6) .

7)  

                                                                                        .

8) .

 

Аргументы чисел , лежащих осях , разделяющих четверти 1,2,3,4 комплексной плоскости , находятся сразу же по графическим изображениям этих чисел на плоскости .

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах записи.

 Тригонометрическая форма записи комплексного числа  имеет вид:

   ,                                                                     (2)

где - модуль,  - аргумент комплексного числа . Такое представление комплексных чисел вытекает из равенств  .

 Показательная (экспоненциальная) форма записи комплексного числа  имеет вид:

                                               ,                                                                                      (3)

где - модуль, - аргумент числа . Возможность представления  комплексных чисел в показательной форме (3) вытекает из тригонометрической формы (2) и формулы Эйлера:

  .                                                                                  (4)

Эта формула доказывается в курсе ТФКП (Теория функций комплексного переменного).

Пример 6. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел:  из примера 5.

Решение. Воспользуемся результатами примера 5, в котором найдены модули и аргументы всех указанных чисел.

1)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

       - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

2)

     - тригонометрическая форма записи числа ,

       - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

3)  

    - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

4)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

5)

    - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

6)

    - тригонометрическая форма числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма числа .

7)  

    - тригонометрическая форма записи числа ,

       - показательная (экспоненциальная) форма числа .

8)

     - тригонометрическая форма записи числа ,

      - показательная (экспоненциальная) форма записи числа .

Показательная форма записи комплексных чисел приводит к следующей геометрической трактовке операций умножения и деления комплексных чисел.  Пусть  - показательные формы чисел .

1.     При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2.     При делении комплексного числа   на число  получается комплексное число , модуль  которого равен отношению модулей , а аргумент  -  разности  аргументов чисел .

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

По определению,

.

При возведении в целую степень комплексного числа , следует действовать так: сначала найти модуль  и аргумент  этого числа; представить  в показательной форме ;  найти , выполнив следующую последовательность действий

     ,  где  .       (5)

Замечание. Аргумент    числа   может не принадлежать интервалу .  В этом случае следует по полученному значению  найти главное значение  аргумента

числа , прибавляя (или вычитая) число  с таким значением , чтобы

принадлежало интервалу .  После этого, нужно заменить в формулах (5)  на .

Пример 7.  Найти  и , если  .

Решение.

1)  =  (см. число  из примера 6).

2)  ,  где  .   .    .

Следовательно,  можно заменить на  и, значит,

,  где  .

3)   ,  где .  .

Заменим  на  .  Следовательно,

.

 Извлечение корня -й степени  из комплексного числа  проводится по формуле Муавра-Лапласа

               .                                      (6)

Из формулы (6) видно, что  имеет ровно  различных значений  .

Пример 8. Найти все значения .

Решение. Требуется вычислить  в случае  .

.

Формула Муавра-Лапласа (6), подставляя в которую ,  дает:

.

Следовательно,

,

,

Итак, ,  ,    - искомые значения .

Пример 9. Найти в показательной форме все значения .

Решение. Требуется вычислить  в случае  .

 (см. число  из примера 5).

По формуле Муавра-Лапласа, в которой следует положить ,

для значений  последовательно находим требуемые значения :

.

.

,  .  Заменим  на , получим окончательное выражение .

,  . Заменим  на , получим окончательное выражение .

___________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти действительную и мнимую части, модуль и аргумент следующих комплексных чисел:  .  Изобразить эти числа на комплексной плоскости.  Представить эти числа в показательной и тригонометрической формах.

2. Найти   для комплексного числа .

3. Найти все значения .




1. Задание 1 Найдите в литературе художественной публицистической научной учебной или придумайте по од
2. . Концепция трех монополий в развитии туристской дестинации В качестве теоретической основы разработки ст
3. управление менеджмент и руководство
4. Типы обсадных колонн
5. Тема 8. Методы локализации неисправностей на аппаратуре СВ и РМ.
6. Социальная природа агрессии
7. Основные заболевания периферической нервной системы
8. ТЕМА ОЦЕНКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ Название модуля
9. Описание технологии получения винилхлорида термическим пиролизом 12дихлорэтана Технология получени
10. Введение Роль статистики при переходе к рыночным отношениям как известно возрастает