Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция ХI
1. Сильно вырожденный ферми - газ.
Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны, нейтроны), когда . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака (IX.2.2)
(XI.1.1)
как функция энергии при . Пусть химический потенциал при заданной плотности и нулевой температуре равен . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.
Рис. XI.1.
Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной заняты, а выше ее – свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми . Поэтому полное число фермионов в объеме равно
(XI.1.2)
Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы -
, (XI.1.3)
а энергия Ферми
(XI.1.4)
Полная энергия газа равна
(XI.1.5)
или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)
(XI.1.6)
Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем
, (XI.1.7)
т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)
(XI.1.8)
Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:
(XI.1.9)
Если число электронов, а - число ядер (заряд ядра, газ в целом электронейтрален), то и условие (XI.1.9) принимает вид
(XI.1.10)
Отсюда следует неравенство
(XI.1.11)
(радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие “идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности , при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна
(XI.1.12)
Температура внутри Солнца , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.
Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в зону проводимости. Если учесть, что плотность золота , а его молярный вес , то плотность электронов
(XI.1.13)
Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае
(XI.1.14)
Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми
(XI.1.15)
(), т.е. и электронный газ является нерелятивистским.
2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.
Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру . Задача сводится к приближенному вычислению интеграла
(XI.2.1)
при . Полагая , имеем
(XI.2.2)
В первом интеграле делаем замену и учитываем тождество
,
(XI.2.3)
Переходя к переменной в первом из этих интегралов, имеем
(XI.2.4)
Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не было. Учтем теперь, что параметр , а второй и третий интеграл сходятся при значениях . Поскольку
,
то интеграл (XI.2.4) приближенно равен
(XI.2.5)
Используя значение интеграла
(XI.2.6)
окончательно с экспоненциальной точностью получаем.
(XI.2.7)
Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу , который определяется из уравнения (X.2.5) с
(XI.2.8)
Элементарное вычисление дает
(XI.2.9)
Полагая здесь
(XI.2.10)
и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4), получаем
(XI.2.11)
Аналогично вычисляется поправка к полной энергии
(XI.2.12)
Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с , определенной в (XI.2.11), окончательно находим
(XI.2.13)
Отсюда для теплоемкости следует
(XI.2.14)
Эта формула удовлетворяет теореме Нернста: при . Выражение (XI.2.14) показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при , т.е. не дают вклада в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный электронный газ – существенно квантовая система.
Рассмотрим флуктуацию числа частиц в ом квантовом состоянии. Согласно общей формуле (VIII.5.5) имеем
(XI.2.15)
где - среднее число заполнения ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а термодинамический потенциал определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает
(XI.2.16)
Максимальная флуктуация, возникающая при , равна . В классическом пределе ()
, (XI.2.17)
а для сильно вырожденного ферми-газа (при) она равна нулю:
(XI.2.18)
для всех квантовых состояний: при и при .
Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9) получаем
(XI.2.19)
Так что относительная флуктуация
(XI.2.20)
мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, . Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна
, (XI.2.21)
т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой. Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
1