Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Аналитическое моделирование систем автоматического управления методом вариации постоянных (автор: доц., к.т.н. Соседка Вилий Лукич)
Лабораторная работа № 4
Аналитическое моделирование систем автоматического управления методом вариации постоянных
1. Цель работы
Целью работы является:
- определение дифференциальных уравнений систем автоматического управления по заданным структурным схемам;
- определение по дифференциальным уравнениям систем автоматического управления матриц коэффициентов, управления, выхода и обхода системы;
- аналитическое вычисление фундаментальной матрицы;
- реализация математической модели систем автоматического управления на ЭВМ методом вариации постоянных с использованием стандартной программы MatLab.
2. Методические указания
Процессы в одномерной системы могут быть описаны дифференциальным векторно-матричным уравнением
где – матрица коэффициентов; – матрица управления; – матрица выхода системы; – матрица обхода системы; X – вектор состояния системы; - выходной сигнал системы; - входной сигнал системы.
Решение такого уравнения можно выразить через фундаментальную матрицу. Предложено несколько методов для вычисления фундаментальных матриц.
Первый способ определения матрицы основан на взятии конечного числа элементов разложения
.
Второй способ основан на аналитическом вычислении матрицы . В частотной области вычисление фундаментальной матрицы связано с преобразованием Лапласа.
Пусть задано векторное дифференциальное уравнение
Применим к этому уравнению преобразование Лапласа, получим
Решая относительно изображения переменной, находим
Применяя к обеим частям последнего уравнения обратное преобразование Лапласа, получим
.
Выражение
определяет фундаментальную матрицу системы.
Общее решение матричного дифференциального уравнения для известной фундаментальной матрицы определяется формулой Коши (формулой вариации постоянных)
.
Как известно, одной передаточной функции системы регулирования соответствуют несколько структурных схем, которые могут быть получены тремя различными способами: прямого, параллельного и последовательного программирования.
Для определения переходных характеристик методом вариации постоянных рассмотрим систему с передаточной функцией
.
По структурной схеме, построенной для метода прямого программирования (рис.1) получим систему дифференциальных уравнений
; ; ,
где , , - фазовые координаты.
Рис.1. Схема моделирования системы методом прямого программирования
Выходная величина определяется как линейная комбинация фазовых координат, взятых с соответствующими весовыми коэффициентами
.
Из схемы моделирования (рис.1) и системы дифференциальных уравнений можно получить матрицу коэффициентов , матрицу управления , матрицу выхода системы и матрицу обхода системы .
Матрица коэффициентов
.
Матрица управления
.
Матрица выхода системы (матрица строка, которая при умножении на вектор фазовых координат системы дает скалярную величину)
.
Матрица обхода системы
.
Вычислим фундаментальную матрицу. В пакете MatLab это выполняются с помощью следующей программы
%Программа 1
%Вычисление фундаментальной матрицы в частотной
%и временной областях
A=[0,1,0;0,0,1;0,-12,-7] %Исходные данные. Матрица
%коэффициентов
syms s %Использование пакета Symbolik Math
Is=[s,0,0;0,s,0;0,0,s] %Ввод единичной матрицы
F=inv([Is]-[A]) %Определение обратной матрицы в
%частотной области
F1=ilaplace(F) %Определение обратной матрицы во
%временной области
В результате выполнения Программы 1 была получена фундаментальная матрица в частотной области
(1)
и во временной области
. (2)
Выражение (2) получено из (1) путем применения обратного преобразования Лапласа к каждому элементу матрицы. Эта информация избыточная. Для определения выходной величины системы достаточно знать только некоторые элементы фундаментальной матрицы (2). Проанализируем формулу Коши
.
Она состоит из трех слагаемых. В случае нулевых начальных условий и нулевой матрицы обхода системы первое и третье слагаемые формулы Коши равны нулю, откуда
.
То есть для того, чтобы решить матричное дифференциальное уравнение, определяющее реакцию системы на входное воздействие необходимо найти матричное произведение .
Представим выражение (2) в символической форме
.
Для определения подынтегрального выражения вычислим произведение матриц
,
.
Таким образом, для определения выходной величины системы из выражения (2) необходимо взять элементы , и .
Определяем формулу Коши единичного ступенчатого входного воздействия
.
Решение матричного дифференциального уравнения
. (3)
В пакете MatLab график переходной характеристики вычисляется Программой 2.
%Программа 2
%Определение переходной характеристики
t=0:0.1:2;
y=(1/6)*t+(11/72)-(3/8)*exp(-4*t)+(2/9)*exp(-3*t);
plot(t,y)
Структурная схема для параллельного программирования получается из заданной передаточной функции, если ее представить в виде суммы элементарных дробей
.
Методом Хевисайда определяем коэффициенты , ,
; ; .
С учетом значений коэффициентов составляем схему моделирования (рис.2).
Рис.2. Схема моделирования системы методом параллельного программирования
Из схемы моделирования (рис.2) получаем систему дифференциальных уравнений для фазовых координат , , и уравнение выхода системы
.
Представим систему уравнений в матричной форме, предварительно определив матрицу коэффициентов
,
матрицу управления
,
и матрицу выхода системы
.
Далее, используя Программу 1, определяем фундаментальную матрицу
, (4)
а затем, используя матрицы , и , с помощью формулы Коши определяем переходной процесс для ступенчатого воздействия
(5)
Решение выражения (4) определяет реакцию системы
. (6)
Выражение (6) совпадает с выражение (3), что свидетельствует об идентичности переходных характеристик.
Структурная схема для последовательного программирования получается из заданной передаточной функции, если ее разбить на типовые блоки и заменить каждого блок соответствующей ему моделью (рис.3)
Рис.3. Схема моделирования системы методом последовательного программирования
Из схемы моделирования (рис.3) получаем систему дифференциальных уравнений для фазовых координат , , и уравнение выхода системы
.
Матрицы коэффициентов , управления и выхода системы в соответствии с системой дифференциальных уравнений имеют вид
, , .
Далее используя Программу 1, определяем фундаментальную матрицу , а затем через известные матрицы и определяем подинтегральное выражение формулы Коши
. (7)
Решение уравнения (7) определяется выражением
, (8)
которое полностью совпадает с решением уравнения для структурных схем рис.1 и рис.2.
3. Порядок выполнения работы
Лабораторная работа выполняется на персональной ЭВМ с использованием стандартной программы MatLab. Порядок выполнения работы следующий:
1. По заданной передаточной функции (таб.П1) и структурной схеме для метода прямого программирования составить систему дифференциальных уравнений и уравнение выхода. Из схемы моделирования и системы дифференциальных уравнений найти матрицу коэффициентов , матрицу управления , матрицу выхода системы и матрицу обхода системы .
2. Вычислить фундаментальную матрицу с помощью Программы 1.
3. Применив к фундаментальной матрице обратное преобразование Лапласа, определить переходную характеристику
4. Задавшись длительностью переходного процесса, построить график реакции системы на единичное ступенчатое воздействие по Программе 2.
5. Повторить пп.1-4 для метода параллельного программирования.
6. Повторить пп.1-4 для метода последовательного программирования.
7. Сравнить переходные характеристики и фундаментальные матрицы, полученные методом прямого, последовательного и параллельного программирования и сделать выводы.
4. Содержание отчета
1. Структурные схемы исследуемой системы для метода прямого программирования, метода параллельного программирования и метода последовательного программирования.
2. Дифференциальные уравнения и уравнения выхода системы для метода прямого программирования, метода параллельного программирования и метода последовательного программирования.
3. Матрицы коэффициентов , матрицы управления , матрицы выхода и матрицы обхода системы для методов прямого, последовательного и параллельного программирования.
4. Экспериментальные данные при исследовании различных структур и выводы.
5. Контрольные вопросы
Таблица П1.
|
№ п/п |
Передаточная функция исследуемой системы. |
№ п/п |
Передаточная функция исследуемой системы. |
|
1 |
13 |
||
|
2 |
14 |
||
|
3 |
15 |
||
|
4 |
16 |
||
|
5 |
17 |
||
|
6 |
18 |
||
|
7 |
19 |
||
|
8 |
20 |
||
|
9 |
21 |
||
|
10 |
22 |
||
|
11 |
23 |
||
|
12 |
24 |
7
PAGE 6