Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ИНЖИНЕРНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА
Кафедра Высшей Математики
Лабораторная работа № 1
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.
Выполнил: Власенко И.Е.
Группа: Э-32
Номер варианта: 4
Проверила: Фоменко Н.А.
ТАГАНРОГ 2013
Формула прямоугольников.
Пользуясь малостью , заменим интеграл (1.3) выражением , где .
Тогда получим формулу
|
(1.4) |
которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке .
Погрешность формулы (1.4) определяется величиной
которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в виде
|
(1.5) |
и воспользуемся разложением
где . Тогда из (1.5) получим
Обозначая , оценим следующим образом:
Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
|
(1.6) |
т.е. формула имеет погрешность при .
Заметим, что оценка (1.6) является неулучшаемой, т.е. существует функция , для которой (1.6) выполняется со знаком равенства. Действительно, для имеем , и
Суммируя равенства (1.4) по от до , получим составную формулу прямоугольников (центральных прямоугольников):
|
(1.7) |
Погрешность этой формулы
равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,
Отсюда, обозначая , получим
|
(1.8) |
т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина .
В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.
Формула трапеций.
На частичном отрезке эта формула имеет вид
|
(1.9) |
и получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлам , т.е. функцией
Для оценки погрешности достаточно вспомнить, что
Отсюда получим
и, следовательно,
|
(1.10) |
Оценка (1.10) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для .
Составная формула трапеций имеет вид
|
(1.11) |
где .
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
Формула Симпсона.
При аппроксимации интеграла (1.3) заменим функцию параболой, проходящей через точки , , т.е. представим приближенно в виде
,
где – интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,
|
(1.12) |
Проводя интегрирование, получим
Таким образом, приходим к приближенному равенству
|
(1.13) |
которое называется формулой Симпсона или формулой парабол.
На всем отрезке формула Симпсона имеет вид
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить
, , ,
и записать формулу Симпсона в виде
|
(1.14) |
Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (1.13), заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство
Если , это утверждение нетрудно проверить непосредственно, что и предоставляется сделать читателю.
Для оценки погрешности формулы Симпсона построим многочлен третьей степени такой, что
, ,
Известно, что такой многочлен существует и единственен. Он построен в явном виде. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена . Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим
|
(1.15) |
Представим теперь в виде
|
, |
(1.16) |
где – погрешность интерполирования многочленом . Интегрируя (1.16) и учитывая (1.15), получим
|
(1.17) |
Имеем
поэтому для погрешности получаем оценку
где .
Вычисляя интеграл, приходим окончательно к оценке
|
(1.18) |
Погрешность составной формулы Симпсона (1.14) оценивается так:
Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность , а на всем отрезке – .
Рассчитываем точное значение интеграла:
Рассчитываем значение интеграла методом левых прямоугольников:
Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом правых прямоугольников:
Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом центральных прямоугольников:
Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом трапеции:
Рассчитываем значение интеграла и погрешности методом Симпсона:
Исходя из данных, полученных при выполнении данной лабораторной работы, можно сделать вывод о том, что наиболее приемлемый метод численного интегрирования (метод, погрешность которого самая маленькая) это метод Симпсона.