Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
14. Механические приложения двойного интеграла
В геометрии используется след. св-ва дв. интеграла: ;
С точки зрения механики -масса пластинки D с плотностью .
Опр.1 Статическим моментом материальной точки относительно оси наз. произведение массы точки на расстояние до оси:
если точка М(х;у) имеет массу m, то =my; =mx.
Опр. 2 Стат. моментами и системы мат. точек относит. осей Ох и Оу наз. выражение ; .
Для определения стат. моментов плоской области D ее разбивают произвольным образом на элементарные площадки , каждую из которых считают однородной с плотностью , где . Затем элементарную фигуру с массой =. Тогда , а . Переходя к пределу при получим ; .
В механике важную роль играет понятие центра тяжести (центра масс)-точки, в которой «сосредоточена» вся масса тела.
Опр. 3 Центром масс плоской фигуры D называется такая точка C(), что =М; =М.
Из опр.3 следует, что; . Т.о. ; . Если однородная фигура имеет ось симметрии, то центр масс лежит на этой оси.
Моменты инерции определяются аналогично стат. моментам, только вместо расстояния до оси фигурирует квадрат этого расстояния. Поэтому для плоской пластинки D с плотностью моменты инерции находятся по формулам: =; =; = - момент инерции относительно начала координат.
15. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла.
Опр. 1 Пусть функция f(x;y;z0 непрерывна в области V, ограниченной поверхностью S. Разобъем произвольным образом тело V на элементарные тела c объемами , i=1…n. В каждом из элементарных тел произвольным образом выберем по точке с координатами (;;) и составим интегральную сумму . Пусть S- максимальный диаметр элементарных тел , т.е. наибольшее расстояние между точками тела. Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения и выбора точек , то он называется тройным интегралом ф-ии f(x;y;z) по области V и обозначается: . Поскольку понятие двойного и тройного интеграла аналогичны, то и их свойства аналогичны.
Можно показать, что если область V правильная в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках, то тройной интеграл сводится к двойному.
D
z=z2(x;y)
z=z1(x;y)
z
y
x
Пусть D-проекция тела V на плоскость xоу, сверху тело ограниченно поверхностью z= и z= снизу. Тогда тройной интеграл . Пусть область D правильная в направлении оси Оу:
a b
y=y2(x)
y=y1(x)
D
y
x
Тогда .
Замечание 1. Если область V неправильная, то ее следует разбить на правильные части и находить интеграл как сумму интегралов по правильным областям.
Замечание 2. Область V можно проинтегрировать на плоскости yoz и xoz, формулы будут аналогичны.