беск. Пусть функция fx определена в окрестности точки x0 и пусть x 0 таково что x0 x принадлежит указа
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Определения:
- Прямая y = kx + b называется правосторонней (левосторонней) асимптотой, если f(x) = kx + b + a(x), где а(х) – бмф при x+(-)беск.
- Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0, и пусть ∆x ≠ 0 таково, что x0 + ∆x принадлежит указанной окрестности. Если существует конечный предел lim ∆x→∞ (f(x0 + ∆x) − f(x0))/∆x, то он называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается f’(x0).
- Если функция f(x) определена в правосторонней окрестности точки x0, то в точке x0 можно рассмотреть правосторонний предел lim ∆x→+∞ (f(x0 + ∆x) − f(x0))/∆x, который в случае его существования называется правой производной функции f(x) в точке x0 и обозначается f’+(x0).
- Производная n порядка – производная от функции = производной n-1 порядка, в случае если он является дифференцируемым в заданной точке.
- Функция f(x) дифференцируема в некоторой точке x0 тогда и только тогда, когда существует производная f’(x0) в этой точке.
- Дифференциалом df(x) функции f(x) в точке x называется f’(x)*∆x.
- Дифференциалом n порядка называется дифференциал от дифференциала n – 1 порядка.
- Функция называется невозрастающей, если при росте х, у не возрастает.
- Функция называется возрастающей, если при росте х, у возрастает.
- Функция называется убывающей, если при росте х, у убывает.
- Функция называется неубывающей, если при росте х, у не убывает.
- Функция называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.
- Функция называется строго монотонной, если она является убывающей или возрастающей.
- Функция имеет локальный минимум в точке х0, если существует окрестность, в которой для каждой точки х f(x)>=f(x0)
- Функция имеет строгий локальный минимум в точке х0, если существует проколотая окрестность, в которой для каждой точки х f(x)>f(x0)
- Функция имеет локальный максимум в точке х0, если существует окрестность, в которой для каждой точки х f(x)<=f(x0)
- Функция имеет строгий локальный максимум в точке х0, если существует проколотая окрестность, в которой для каждой точки х f(x)<f(x0)
- Точка экстремума – точка минимума или максимума функции
- Точка строгого экстремума – точка строгого минимума или максимума функции.
- Стационарные точки – точки, в которых первая производная = 0.
- Критические точки – точки, в которых производная = 0 или не существует.
Теоремы:
- Теорема о необходимом и достаточном условии существования наклонной асимптоты: Для того, чтобы y = kx + b была наклонной асимптотой, необходимо, чтобы существовали конечные k и b и достаточно, чтобы существовало конечное b.
- Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке: Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует конечная её производная в этой точке.
- Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции: Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в ней непрерывна.
- Теорема о производной суммы, произведения и частного: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке x0. Тогда в этой точке дифференцируемы также функции
f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x)
(последняя — при условии g(x) ≠ 0)
далее расписываем нужную функцию
- Теорема о инвариантности формы записи первого дифференциала: dy = f’ * dx
- Теорема Ферма: Пусть функция определена на интервале (а,b) и принимает в некоторой точке хE(а,b) наибольшее или наименьшее значение. Тогда если существует её производная в этой точке, то она = 0
- Теорема Ролля: Пусть функция определена на (а,б), дифференцируема на [а,б] и принимает на концах отрезка равные значения. Тогда на (а,б) существует точка, производная в которой = 0.
- Теорема Лагранжа: Пусть функция определена на (а,б) и дифференцируема на [а,б]. Тогда существует хE(а,b) : f(a) – f(b) = f’(x)(b-a).
- Теорема Коши: Пусть f(x), g(x) определены на (а,б), дифференцируемы на [а,б] и g’(x) ≠ 0. Тогда для всех х на (а,б) : ( f(b) – f(a) ) / ( g(b) – g(a) ) = f(x) / g(x).