Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

Подписываем
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ДИМИТРОВГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНОЛОГИИ, УПРАВЛЕНИЯ И ДИЗАЙНА
(филиал)
УЛЬЯНОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
НОЗДРИНА н. а.
ЭКОНОМЕТРИКА:
Множественная регрессия, система эконометрических уравнений
и временные ряды в эконометрических исследованиях
Для студентов специальности 080109
дневной, заочной и сокращенной форм обучения
Учебное пособие
Димитровград 2006
УДК 330. 43 (075.8)
ББК 65в6я73
Н 78
Утверждено редакционно издательским Советом Димитровградского института
технологии управления и дизайна
Рецензенты:
Кандидат технических наук, зав. кафедрой экономики и управления производством ДИТУД Бердичевская Н.Ф.
Доктор педагогических наук, зав. кафедрой «Математика и информационные технологии» ДИТУД Ильмушкин Г М.
Кандидат технических наук, зав. кафедрой менеджмента и агробизнеса технологического института - филиала СГОУФПО (Ульяновской ГСХА) Ермаков Г. П.
Ноздрина Н. А.
Н 78 Эконометрика: множественная регрессия, система эконометрических уравнений и временные ряды в эконометрических исследованиях.
Учебное пособие / Н. А. Ноздрина Димитровград: ДИТУД, 2006. -80 с.
Учебное пособие составлено на основании Государственного образовательного стандарта высшего и профессионального образования второго поколения. Содержит вводный теоретический и практический материал по разделам: множественная регрессия и корреляция; системы эконометрических уравнений; моделирование одномерных временных рядов.
Даны практические задачи и контрольные задания для выполнения их на компьютере, приведены контрольные вопросы.
Пособие предназначено для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» (080109) дневной, сокращенной и заочной форм обучения.
УДК 330.43 (075.8)
ББК 65в6я73
© Н. А. Ноздрина
© ДИТУД УлГТУ, оформление, 2006
СОДЕРЖАНИЕ
1. Множественная регрессия и корреляция 4
1.1. Виды многофакторных моделей 4
1.2. Оценка параметров уравнения множественной регрессии 5
1.3. Расчет коэффициентов эластичности 7
1.4. Показатели корреляции и детерминации, их использование 9
1.5. Оценка надежности результатов множественной регрессии, корреляции и фактора дополнительно включенного в модель 12
1.6. Решение типовых задач 14
1.7. Практические задачи 20
1.8. Реализация типовых задач на компьютере 31
Контрольные вопросы 41
2. Система эконометрических уравнений 43
2.1. Виды систем уравнений 43
2.2. Проблема идентификации. Необходимое и достаточное условие 44
2.3. Методы оценивания параметров структурной модели 47
2.4. Практические задания 51
Контрольные вопросы 58
3. временные ряды в эконометрических исследованиях 59
3.1. Выявление структуры временного ряда 59
3.2. Моделирование тенденции временного ряда 62
3.3. Моделирование сезонных и циклических колебаний 64
3.4. Прогнозирование по моделям временного ряда 70
2.4. Практические задачи 71
Контрольные вопросы 80
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 80
Множественная регрессия один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на результат.
Множественная регрессия характеризует зависимость объясняемой переменной у от ряда независимых переменных - факторов х i :
у = f (x 1, x 2,…, x p), (1.1)
где у зависимая переменная (результативный признак);
x 1, x 2,…, x p - независимые переменные (факторы).
Построение многофакторной модели включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.
Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.
В виду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции.
Линейная множественная регрессия имеет вид:
(1.2)
В этой модели параметры при х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.
Степенная функция получила наибольшее распространение в исследованиях спроса и потребления, а также в производственных функциях. Она имеет вид:
. (1.3)
В ней коэффициенты b 1, b 2 , … b р, являются средними коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1 % при неизменности действия других факторов.
Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду, например: экспоненту и равностороннюю гиперболу , которая используется при обратных связях признаков.
Если исследователя не устраивает ни одна из вышеперечисленных функций, то можно использовать любые другие функции, приводимые к линейному виду, например:
(1.4)
Или полиномиальная функция полином второго порядка:
(1.5)
Однако чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.
Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). Возможны два способа расчета параметров многофакторной модели:
В первом случае для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:
(1.6)
Для ее решения может быть применен метод определителей:
(1.7)
где - определитель системы; (1.8)
частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.
Во втором методе уравнение множественной регрессии преобразуется в уравнение регрессии в стандартизованном масштабе (виде):
, (1.9)
где стандартизованные переменные; стандартизованные коэффициенты регрессии.
К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК, стандартизованные коэффициенты регрессии определяются из следующей системы уравнений:
, (1.10)
Связь коэффициентов множественной регрессии b i со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением
(1.11)
Параметр а определяется как . (1.12)
Это позволяет от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе
,
переходить к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных:
При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходным переменным, а к преобразованным данным. Например, для степенной функции
преобразование в линейный вид заключается, как и в парной регрессии, в логарифмировании уравнения по десятичному или натуральному основанию. Линейный вид степенной функции: где переменные выражены в логарифмах.
Далее обработка МНК та же, что и описана выше: строится система нормальных уравнений и определяются параметры lna, b1, b2, …, b p. Потенцируя значение lna, найдем параметр а и соответсвенно общий вид степенной функции.
Для другого вида моделей, например, полиномиальных, гиперболических и т. п. линеаризация исходного уравнения проводится, как и в парной регрессии, путем замены нелинейных переменных на линейные.
Для множественного уравнения регрессии рассчитываются средние и частные коэффициенты эластичности.
Средние коэффициенты эластичности для множественной регрессии рассчитываются по формуле
(1.13)
где частные производные уравнения регрессии по соответствующему фактору; среднее значение соответствующего фактора x i; среднее значение результативного признака.
Средний коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменится результат у с увеличением фактора хi на 1 % от своего среднего уровня.
Для линейной множественной регрессии средние коэффициенты эластичности рассчитываются
(1.14)
где b i - коэффициент чистой регрессии для соответствующего фактора x i;
средние значения соответствующего фактора и результативного признака по совокупности показателей.
Средние коэффициенты эластичности можно сравнивать друг сдругом и соответственно использовать для ранжирования факторов по силе их влияния на результат. Чем больше величина , тем сильнее влияет фактор хi на результат у.
Частные коэффициенты эластичности рассчитываются на основе частных уравнений регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами хi при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Для линейной множественной регрессии частные уравнения регрессии имеют следующий вид:
(1.15)
……………………………………………………………….
При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т. е. имеем:
(1.16)
…………………………………
Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения регрессии
С учетом частных уравнений регрессии для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:
(1.17)
где b i - коэффициент регрессии для соответствующего фактора x i в уравнении множественной регрессии;
- частное уравнение регрессии.
Значения частных коэффициентов эластичности могут быть использованы при принятии решений относительно экономических явлений конкретных регионов, областей, предприятий и т. п.
Для множественной регрессии рассчитываются показатели множественной и частной корреляции.
Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым результативным признаком, т. е. оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.
Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:
(1.18)
где общая дисперсия результативного признака;
остаточная дисперсия для уравнения с полным набором факторов.
Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.
При линейной зависимости признаков показатель множественной корреляции называется линейный коэффициент множественной корреляции или совокупный коэффициент корреляции, который может быть рассчитан по следующим формулам:
(1.19)
где стандартизованные коэффициенты регрессии;
парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.
Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:
(1.20)
где определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для уравнения определитель матрицы коэффициентов парной корреляции примет вид:
(1.21)
определитель более низкого порядка: образуется, когда из матрицы коэффициентов парной корреляции вычеркиваются первая строка и первый столбец:
(1.22)
Для двухфакторного линейного уравнения регрессии совокупный коэффициент корреляции определяется по выражению вида:
(1.23)
Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости признаков, но и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным.
Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. В этом случае для оценки тесноты связи исследуемых признаков используется только индекс множественной корреляции .
Коэффициент (или индекс) множественной детерминации оценивает качество построенной модели в целом и рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции или квадрат совокупного коэффициента множественной корреляции:
или (1.24)
Если число параметров при хi приближается к объему наблюдений n, то для оценки качества полученной многофакторной модели используется скорректированный индекс множественной детерминации, формула расчета которого имеет вид:
(1.25)
где k - число параметров при переменных х;
n - число наблюдений.
Чем больше величина k, тем сильнее различия и R2.
Величина показателя множественной детерминации изменяется от 0 до 1. Низкое его значение означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы - с одной стороны, а с другой стороны рассматриваемая форма связи выбрана неверно.
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом у и соответствующим фактором xi при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии. Рассчитываются по формуле:
(1.26)
где R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;
R2 yx1x2…xi-1 xi+1…xp - тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора xi.
Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:
(1.27)
При двух факторах и i =1 данная формула примет вид:
(1.28)
(1.29)
Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от до +1. Величина множественного коэффициента корреляции всегда больше (или равна) максимального частного коэффициента корреляции.
При линейной зависимости исследуемых признаков частные коэффициенты корреляции могут быть использованы для ранжирования факторов, при нелинейной их взаимосвязи эту функцию выполняют частные индексы детерминации.
Кроме того, широко используются при решении проблемы отбора факторов.
Статистическая значимость множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:
(1.30)
где Dфакт. - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;
Dост. -остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;
R2 - коэффициент (индекс) множественной детерминации;
k - число параметров при переменных х ;
n - число наблюдений.
Фактическое значение F критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: k и n-k-1. Если фактическая величина критерия Фишера больше его табличного значения, то построенная многофакторная модель признается статистически значимой.
Частный F критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого фактора в уравнении или, другими словами, оценивает целесообразность включения фактора в модель. В общем виде для фактора хi частный F критерий определится как
(1.31)
где R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;
R2 yx1x2…xi-1 xi+1…xp - тот же показатель детерминации, но без включения в модель фактора xi.
Фактическое значение частного F критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и n-k-1. Если фактическое значение частного критерия Фишера Fxi превышает табличное, то дополнительное включение фактора xi в модель статистически оправданно.
Для двухфакторной модели оценка целесообразности включения одного фактора после другого осуществляется по формулам:
(1.32)
(1.33)
mbi- стандартная ошибка коэффициента регрессии bi, она может быть определена по формуле:
(1.35)
где среднее квадратическое отклонение для признака у;
среднее квадратическое отклонение для признака xi;
R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;
R2 xix1x2… xp - тот же показатель детерминации для зависимости фактора xi со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии;
n -k-1 число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.
Величина F критерия, оценивая значимость уравнения регрессии в целом, характеризует одновременной и значимость коэффициента (индекса) множественной корреляции.
Аналогично можно оценивать и существенность частных показателей корреляции. Если величина частного критерия Фишера Fxi выше табличного, то это означает и значимость частного коэффициента корреляции.
Задача 1. На основании анализа экономики 10 стран имеются данные об ожидаемой продолжительности жизни х1 (лет), суточной калорийности питания х2 (ккал. на душу населения) и индексе человеческого развития у.
Таблица 1.1- Исходные данные
Страна |
Австрия |
Австралия |
Аргентина |
Белоруссия |
Бельгия |
Бразилия |
Англия |
Венгрия |
Германия |
Греция |
х1 |
,2 |
,9 |
,2 |
,8 |
,2 |
,9 |
,2 |
,1 |
||
х2 |
||||||||||
у |
,904 |
,922 |
,827 |
,763 |
,923 |
,739 |
,918 |
,795 |
,906 |
,867 |
Требуется:
Решение
Таблица 1.2 - Расчеты для линейной множественной регрессии
N |
x1 |
x2 |
y |
x1*y |
x2*y |
x12 |
x22 |
x1*x2 |
1 |
,904 |
,608 |
||||||
2 |
,2 |
,922 |
,100 |
|||||
3 |
,9 |
,827 |
,288 |
|||||
4 |
,763 |
,884 |
||||||
5 |
,2 |
,923 |
,256 |
|||||
6 |
,8 |
,739 |
,365 |
|||||
7 |
,2 |
,918 |
,870 |
|||||
8 |
,9 |
,795 |
,366 |
|||||
9 |
,2 |
,906 |
,943 |
|||||
10 |
,1 |
,867 |
,713 |
|||||
Сумма |
743,5 |
,564 |
,393 |
,07E+08 |
||||
Среднее |
74,35 |
,6 |
,8564 |
- |
- |
- |
- |
- |
4,143 |
,722 |
,067 |
- |
- |
- |
- |
- |
Определитель системы рассчитываем по формуле (1.8):
Частные определители:
Расчет параметров уравнения регрессии выполним по формулам (1.7):
Уравнение множественной регрессии имеет вид:
С увеличением ожидаемой продолжительности жизни на 1 год при фиксированной суточной калорийности питания индекс человеческого развития повышается 0,164. С увеличением суточной калорийности питания на 1 ккал. на душу населения и фиксированной ожидаемой продолжительности жизни индекс человеческого развития снижается на 0,000034.
Для расчета параметров того же уравнения применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:
Расчет - коэффициентов выполним, учитывая систему уравнений (1.10). Для этого рассчитаем парные коэффициенты линейной корреляции (табл.1.3):
Таблица 1.3 - Парные коэффициенты корреляции
у |
х1 |
х2 |
|
у |
1 |
||
х1 |
0,962 |
||
х2 |
0,428 |
,525 |
Линейные коэффициенты парной корреляции показывают, что связь между ожидаемой продолжительностью жизни и индексом человеческого развития тесная, прямая. Между суточной калорийностью питания и индексом человеческого развития умеренная, прямая. Умеренная, прямая межфакторная связь.
Получим уравнение
ty = 1,0107tx1 ,1064tx2.
Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1 и b2, используя формулы перехода (1.11) и значения среднего квадратического отклонения из табл. 1.2.:
Значение а определим из соотношения (1.12):
а = 0,8564 ,0164*74,35+0,000034*3260,6 = -0,25.
Уравнение регрессии в естественной форме:
Таким образом, получили ту же самую модель, что и методом определителей.
По значению средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на индекс человеческого развития у ожидаемой продолжительности жизни х1, чем суточной калорийности питания х2: 1,42% против ,13%. Причем с увеличением ожидаемой продолжительности жизни х1 на 1% от своей средней величины и фиксированном воздействии суточной калорийности питания х2 индекс человеческого развития у в среднем возрастает на 1,42%. При росте суточной калорийности питания х2 в среднем на 1% и фиксированном воздействии ожидаемой продолжительности жизни х1 индекс человеческого развития у в среднем снижается на ,13 %.
Для расчета частных коэффициентов эластичности по формуле (1.17) необходимо определить значения частных уравнений регрессии по формулам (1.16). Результаты расчета сведены в таблицу 1.4.
Таблица 1.4 Расчет частных уравнений регрессии и коэффициентов эластичности
№ |
,% |
,% |
Аi, % |
||||
1 |
,900 |
,403 |
,854 |
-0,135 |
,897 |
,008 |
,774 |
2 |
,920 |
,394 |
,865 |
-0,120 |
,928 |
,007 |
,701 |
3 |
0,833 |
,435 |
,861 |
-0,126 |
,837 |
,012 |
,200 |
4 |
,752 |
,482 |
,862 |
-0,124 |
,758 |
,007 |
,682 |
5 |
,903 |
,401 |
,847 |
-0,144 |
,893 |
,032 |
,208 |
6 |
0,733 |
,495 |
,868 |
-0,117 |
,744 |
,006 |
,642 |
7 |
,903 |
,401 |
,857 |
-0,130 |
,904 |
,015 |
,532 |
8 |
,800 |
,453 |
,852 |
-0,138 |
,795 |
,000 |
,004 |
9 |
,903 |
,401 |
,854 |
-0,134 |
,901 |
,006 |
,581 |
10 |
,918 |
,395 |
0,846 |
-0,146 |
,907 |
,046 |
,619 |
Как видим, частные коэффициенты эластичности по странам несколько отличаются от аналогичных средних показателей по совокупности наблюдений. Так, в Бразилии произошел наибольший процентный рост индекса человеческого развития у по сравнению с другими странами с изменением ожидаемой продолжительности жизни х1 на 1 % при условии, что х2 зафиксирован на среднем уровне. В той же стране наблюдается наименьшее процентное снижение индекса человеческого развития у при изменении суточной калорийности питания х2 на 1 % и закреплении ожидаемой продолжительности жизни х1 на среднем уровне.
(1.32)
где теоретическое значение результата, полученное путем подстановки в построенную модель соответствующих значений факторов хi .
Отсюда, прежде чем рассчитать среднюю ошибку аппроксимации, необходимо определить теоретическое значение результативного признака
Результаты расчета средней ошибки аппроксимации представлены в табл. 1.4.
Средняя ошибка аппроксимации составит:
Поскольку величина средней ошибки аппроксимации не превышает (8 ) %, то линейная форма модели, описывающей зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания, подобрана, верно.
Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что теснота и направление связи для ожидаемой продолжительности жизни и индекса человеческого развития не изменилась, в то же время для суточной калорийности питания и индекса человеческого развития связь осталась умеренной, но изменилось ее направление с прямого на обратное. Это объясняется имеющей место межфакторной связью.
или .
Расчет по обеим формулам позволил получить одинаковый результат: связь между индексом человеческого развития, ожидаемой продолжительностью жизни и суточной калорийностью питания тесная прямая.
Для расчета множественного коэффициента детерминации используем формулу (1.24), согласно которой R2 x1x2 = 0,9632 = 0,927.
Вариация индекса человеческого развития на 92,7 % объясняется вариацией ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания.
F табл. = 5,59 при
Сравнивая F табл. и F хi., приходим к выводу о нецелесообразности включения в модель фактора х2 после фактора х1, так как прирост доли объясненной вариации результативного признака за счет включения дополнительного фактора х2 в модель статистически незначим.
F табл. = 4,74 при
Сравнивая F табл. и F, делаем заключение о статистической значимости построенной линейной модели. Следовательно, ее можно использовать для анализа и прогноза.
Существенность параметров полученной модели оценим, используя критерий Стьюдента, рассчитанный по формуле (1.34):
t табл. = 2,36 при
Сравнивая t табл и t факт. приходим к выводу, что так как >2,36 коэффициент регрессии b1 является статистически значимым, надежным. Так как < 2,36, приходим к заключению, что величина b2 является статистически незначимой и фактор суточную калорийность питания нет смысла включать в эконометрическую модель.
Задача 1.
Имеются следующие данные о курсе американского доллара х1,(руб.), фондовом индексе х2 и котировке акций у,(%) за 10 дней:
Таблица 1.4 Котировка акций, курс американского доллара и фондовый индекс
№ |
1 |
|||||||||
х1 |
,75 |
,7 |
,54 |
,9 |
,88 |
,35 |
,98 |
,1 |
,05 |
,9 |
х2 |
,2 |
,7 |
,1 |
,9 |
,6 |
,8 |
,3 |
,4 |
,5 |
|
у |
Задание :
Задача 2.
По 19 предприятиям оптовой торговли изучается зависимость объема реализации (у) от размера торговой площади (х1) и товарных запасов (х2). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:
(2,5) (4,0)
(5,0) (12,0) (0,2)
В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.
Задание
Задача 3.
Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:
y = 21,1 ,2 х1 + 0,95 х2 + 3,57 х3 R2 = 0,7,
(1,8) (0,54) (0,83)
где у цена объекта, тыс. руб.;
х1 расстояние от центра города, км;
х2 - полезная площадь объекта, кв. м;
х2 - число этажей в доме, ед;
R2 - коэффициент множественной детерминации.
В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.
Задание
Задача 4.
По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции у (млн. руб.) от количества отработанных за год человеко часов х1 (тыс. чел. ч.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования х2 (млн. руб.):
Уравнение регрессии |
у = 35 + 0,06 х1 +2,5 х2 |
Множественный коэффициент корреляции |
0,9 |
Сумма квадратов отклонений расчетных значений результата от фактических |
3000 |
Задание
Задача 5.
Анализируя зависимость объема производства продукции предприятиями отрасли черной металлургии от затрат труда и расхода чугуна. Для этого по 20 предприятиям собраны следующие данные: у - объем продукции предприятия в среднем за год (млн. руб.); х1 среднегодовая списочная численность рабочих предприятия (чел); х2 - средние затраты чугуна за год (млн. т). Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:
Таблица 1. 5 Матрица парных коэффициентов корреляции
У |
Х1 |
Х2 |
|
У |
1 |
||
Х1 |
0,78 |
||
Х2 |
0,86 |
,96 |
Задание
Задача 6.
По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых у (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:
х1 количество осадков в период вегетации (мм);
х2 - средняя температура воздуха (0 С).
Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:
Таблица 1.6 Матрица парных коэффициентов корреляции
У |
Х1 |
Х2 |
|
У |
1 |
||
Х1 |
0,6 |
||
Х2 |
-0,5 |
-0,9 |
Задание
По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:
Таблица 1.7 Матрица парных коэффициентов корреляции
У |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|
У |
1 |
|||
Х1 |
0,3 |
|||
Х2 |
0,6 |
,1 |
||
Х3 |
0,4 |
,15 |
,8 |
Задание
По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн. руб.):
Таблица 1. 8 Результаты регрессионного анализа
Множественный коэффициент детерминации |
0,81 |
Множественный коэффициент корреляции |
? ? ? |
Уравнение регрессии |
y = ??? + 0,48 lnx1 +0,62 lnx2 |
Стандартные ошибки параметров |
ma =2; mb1 = 0,06; mb2 = ??? |
Расчетный критерий Стьюдента для параметров |
ta =1,5; tb1 = ???; tb2 = 5 |
Задание
В макроэкономических исследованиях широко используется производственная функция, согласно которой выпуск у (например, ВВП) следующим образом зависит от капитала К и числа занятых L:
У = а*Кb1*L b2.
Можно ли с помощью обычного МНК оценить параметры производственной функции? Если да, то как? Покажите ход решения задачи в общем виде. Поясните экономический смысл параметров.
Задача 10.
Зависимость спроса на свинину у от цены на нее х1 и от цены на говядину х2 представлена уравнением
lny = 0,1274 ,2143lnx1 + 2,8254ln x2 .
Задание
По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн. руб.):
Таблица 1. 8 Результаты регрессионного анализа
Множественный коэффициент детерминации
??? |
|
Множественный коэффициент корреляции |
0,85 |
Уравнение регрессии |
y = ??? + 0,48 x1 +20 x2 |
Стандартные ошибки параметров |
ma =2; mb1 = 0,06; mb2 = ??? |
Расчетный критерий Стьюдента для параметров |
ta =1,5; tb1 = ???; tb2 = 4 |
Задание
По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от трех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг) и количества осадков в период вегетации О (г). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:
) R2 = 0,75.
Таблица 1.9 Доверительные интервалы
Граница |
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе |
|
L |
М |
|
Нижняя |
0,4 |
??? |
Верхняя |
??? |
,4 |
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95. |
2) R2 = 0,77.
Таблица 1.10 Доверительные интервалы
Граница |
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе |
L |
М |
О |
|
Нижняя |
0,1 |
??? |
??? |
Верхняя |
??? |
,3 |
,5 |
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95. |
Задание
По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от четырех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг), количества осадков в период вегетации О (г) и качества почвы Q (баллов). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:
1) R2 = 0,77.
Таблица 1.11 Доверительные интервалы
Граница |
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе |
L |
М |
О |
|
Нижняя |
0,1 |
??? |
??? |
Верхняя |
??? |
,3 |
,5 |
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95. |
) R2 = 0,81.
Таблица 1.12 Доверительные интервалы
Граница |
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при факторе |
L |
М |
О |
Q |
|
Нижняя |
0,3 |
-0,2 |
??? |
,4 |
Верхняя |
??? |
??? |
-1,2 |
,2 |
Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95. |
Задание
Производственная функция, полученная по данным за 1990 гг., характеризуется уравнением
lnP = 0,552 + 0,2761lnZ + 0,5211ln K .
(0,584) (0,065)
R2PZK = 0,9843, R2PZ = 0,7826, R2PK = 0,9843.
где Р индекс промышленного производства;
Z - численность рабочих;
К капитал.
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.
Задание
Задача 15
По 30 наблюдениям получены следующие данные:
Таблица 1.13 Данные регрессионного анализа
Уравнение регрессии |
|
Коэффициент детерминации |
0,65 |
Задание
Зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от объемов производства продукции А х1 (тыс. ед.) и продукции Б х2 (тыс. ед.) характеризуется следующим образом:
Таблица 1.14 Данные регрессионного анализа
Уравнение регрессии в стандартизованном виде |
|
Коэффициент детерминации |
0,95 |
Коэффициент вариации у, Сv, |
27% |
Коэффициент вариации x1, С x1, |
45 % |
Коэффициент вариации x2, С x2, |
40 % |
Задание
Имеется информация по 20 наблюдениям
Таблица 1. 15 Информация для эконометрического анализа
Признак |
Среднее значение |
Коэффициент вариации, % |
Уравнение регрессии |
у |
35 |
||
х1 |
16 |
||
х2 |
8 |
Задание
Имеется информация по 18 наблюдениям
Таблица 1. 16 Информация для эконометрического анализа
Признак
Среднее значение |
Коэффициент вариации, % |
Уравнение регрессии |
|
у |
23 |
||
х1 |
6 |
||
х2 |
8 |
Задание
По совокупности 30 предприятий концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника х1 (ед.) и индекса цен на продукцию х2 (%).
Таблица 1.17 Данные эконометрического исследования
Признак
Среднее значение |
Среднее квадратическое отклонение |
Парный коэффициент корреляции |
|
у |
250 |
r yx1 =0,68 |
|
х1 |
47 |
r yx2 =0,63 |
|
х2 |
112 |
r х1x2 =0,42 |
Задание
Задача 20
По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от производства продукции х1 (тыс. ед.) и уровня механизации х2 (%). Полученные данные характеризуется следующим образом:
Таблица 1.18 Данные анализа работы предприятий
Признак
Среднее значение |
Среднее квадратическое отклонение |
Парный коэффициент корреляции |
|
у |
1000 |
r yx1 =0,77 |
|
х1 |
420 |
r yx2 =0,43 |
|
х2 |
41,5 |
r х1x2 =0,38 |
Задание
Задача 21
Изучается зависимость по 25 предприятиям концерна потребления материалов у (тонн) от энерговооруженности труда х1 (кВт * час на одного рабочего) и объема произведенной продукции х2 (тыс. ед.).
Таблица 1.19 Данные анализа работы предприятий
Признак
Среднее значение |
Среднее квадратическое отклонение |
Парный коэффициент корреляции |
|
у |
12 |
r yx1 =0,52 |
|
х1 |
4,3 |
,5 |
r yx2 =0,84 |
х2 |
10 |
,8 |
r х1x2 =0,43 |
Задание
Задача 22
По 20 семьям изучалось потребление мяса у (кг на душу населения) от дохода х1 (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы х2 (кг на душу населения). Результаты оказались следующие:
Таблица 1. 20 результаты регрессионного анализа
Уравнение регрессии |
|
Стандартные ошибки параметров |
ma =20; mb1 = 0,01; mb2 = 0,25 |
Множественный коэффициент корреляции |
0,85 |
Задание
а) фактора х1 после фактора х2;
б) фактора х2 после фактора х1.
Задача 23
По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась зависимость производительности труда у от уровня квалификации рабочих х1 семьи) и энерговооруженности их труда х2. Результаты оказались следующие:
Таблица 1. 21 Результаты регрессионного анализа
Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров |
ma =0,5; mb1 = 2; mb2 = ??? |
Расчетный критерий Стьюдента для параметров |
ta =3,0; tb1 = ???; tb2 = 5,0 |
Множественный коэффициент корреляции |
0,85 |
Задание
Получить уравнение множественной регрессии на компьютере можно с помощью ППП Excel (функции ЛИНЕЙН и инструмента РЕГРЕССИЯ), ППП MS Excel (описательная статистика) и Statgraphics.
Учитывая, что при построении уравнения множественной регрессии следует исключать дублирующие факторы, рассчитываются парные коэффициенты корреляции переменных, по величине которых определяют их коллинеарность.
Матрицу парных коэффициентов корреляции можно рассчитать, используя инструмент анализа данных, Корреляция. Для этого:
Входной интервал диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть одна или несколько строк столбцов;
Группирование по столбцам (или по строкам);
Метки флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;
Выходной интервал достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;
Щелкните по кнопке ОК.
3. Результаты вычислений - матрица парных коэффициентов корреляции представлены на рис. 1.2.
Рис.1.1 Диалоговое окно вводов параметров инструмента Корреляция
Рис. 1.2. Матрица коэффициентов парной корреляции
Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии Порядок вычисления следующий:
Рис. 1. 3. Диалоговое окно «Мастер функций»
Pис. 1.4. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН
Известные значения у диапазон, содержащий данные результативного признака;
Известные значения х - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака:
Константа логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении. Если Константа =1 (Истина), то свободный член рассчитывается , если Константа = 0 , то свободный член равен 0.;
Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика =1 (Истина), то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.
Значение коэффициента b р |
. . . |
Значение коэффициента b1 |
Значение коэффициента а |
Стандартная ошибка коэффициента b p (m b p) |
. . . |
Стандартная ошибка коэффициента b1 (mb1) |
Стандартная ошибка коэффициента а (m a) |
Коэффициент детерминации R2 |
. . . |
Стандартная ошибка результата (m) |
|
Критерий Фишера F-критерий |
. . . |
Остаточное число степеней свободы (df) |
|
Факторная сумма квадратов - SS факт. |
. . . |
Остаточная сумма квадратов - SS ост. |
Для данных вышеприведенного примера результат вычисления множественной регрессии ЛИНЕЙН представлен на рис.1.5.
Рис. 1.5. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН
Множественная линейная регрессия имеет вид:
.
Множественный коэффициент детерминации R2 = 0,644. Это говорит о том, что доля вариации результата у за счет анализируемых факторов х1 и х2 составляет 64,4 %. Доля вариации от неучтенных в анализе факторов - 35,6 %.
Расчетное значение критерия Фишера - F расч.= 7,242. Табличное значение критерия Фишера при df факт.= 2 и df ост. = 8 составляет - F табл. = 4,46. Следовательно, полученное уравнение множественной регрессии линейного вида статистически значимо с вероятностью ошибки 5%.
Для получения нелинейной регрессии необходимо выполнить преобразование исходных данных, исходя из формы модели. Например, для получения модели в виде полинома второго порядка:
факторы х1, х2, . . . хр следует возвести в квадрат и в диалоговом окне ввода аргументов функции ЛИНЕЙН при заполнении параметра входной интервал Х следует указать все столбцы, содержащие значения факторных признаков. Результаты анализа (на основании исходных данных рис. 1. 2) представлены на рис.1.6.
Рис.1.6. Результат применения функции ЛИНЕЙН для получения нелинейной регрессии в виде полинома второго порядка
.
Множественный коэффициент детерминации R2 = 0,95. Это говорит о том, что доля вариации результата у за счет анализируемых факторов х1 и х2 и их квадратов составляет 95 %. Доля вариации от неучтенных в анализе факторов снизилась до 5,0 %.
Расчетное значение критерия Фишера - F расч.= 26,71. Табличное значение критерия Фишера при df факт.= 4 и df ост. = 6 составляет - F табл. = 4,59. Следовательно, полученное уравнение множественной регрессии линейного вида статистически значимо с вероятностью ошибки 5%.
Эта операция проводится с помощью инструмента анализа данных Регрессия. Для этого:
Входной интервал У диапазон, содержащий данные результативного признака;
Входной интервал Х диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;
Метки флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;
Выходной интервал достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона.
Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне.
Щелкните по кнопке ОК.
Рис. 1.7. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия
Результаты регрессионного анализа для данных вышеприведенного примера представлены на рис 1.8.
Рис. 1.8. Результат применения инструмента Регрессия
По результатам вычислений составим уравнение множественной регрессии вида
.
Критерий Стьюдента t - статистики имеют расчетные значения:
Табличное значение критерия Стьюдента составляет tтабл. = 2,31 при . Расчетные значения критерия Стьюдента больше его табличных значений, следовательно, можно сделать вывод о существенности параметров уравнения.
Задание к задачам 1- 6.
Используя ППП Exsel:
Задача 1
Имеются данные о рентабельности производства шерсти по 18 административным районам области за год:
х1 - настриг шерсти с одной овцы, кг;
х2 - затраты на 1 центнера шерсти, человеко часов;
х3 - себестоимость 1 центнера, руб;
у уровень рентабельности, %.
Таблица 1. 22 Рентабельность производства шерсти
№ района |
х1 |
х2 |
х3 |
у |
1 |
,3 |
,1 |
,3 |
,2 |
2 |
,4 |
,3 |
,9 |
,9 |
3 |
,5 |
,3 |
,2 |
,7 |
4 |
,9 |
,1 |
,7 |
,9 |
5 |
,6 |
,9 |
,3 |
,0 |
6 |
,3 |
,8 |
,8 |
,0 |
7 |
,4 |
,0 |
,0 |
,4 |
8 |
,7 |
,5 |
,5 |
,2 |
Продолжение табл. 1.22. |
||||
9 |
,4 |
,7 |
8550,3 |
,3 |
10 |
,5 |
,6 |
,7 |
,0 |
11 |
,9 |
,0 |
,6 |
,4 |
12 |
,7 |
,4 |
,5 |
,0 |
13 |
,4 |
,5 |
,4 |
,9 |
14 |
,0 |
,8 |
,2 |
,1 |
15 |
,8 |
,5 |
,8 |
,6 |
16 |
,5 |
,7 |
,9 |
,5 |
17 |
,2 |
,8 |
,6 |
,8 |
18 |
,1 |
,5 |
,5 |
,1 |
Задача 2
Имеются данные об уровне убыточности производства мяса птицы по 20 административным районам области за год:
х1- затраты на 1 центнера прироста, человеко часов;
х2 - затраты на 1 центнера прироста, руб.;
х3 - себестоимость 1 центнера, руб.;
у уровень убыточности, %.
Таблица 1. 23 Уровень убыточности производства мяса птицы
№ района
х1 |
х2 |
х3 |
у |
|
1 |
,9 |
,7 |
,1 |
,7 |
2 |
,3 |
,6 |
,2 |
,1 |
3 |
,8 |
,0 |
,6 |
,3 |
4 |
,4 |
,7 |
,9 |
,5 |
5 |
,4 |
,6 |
,5 |
,2 |
6 |
,1 |
,8 |
,0 |
,7 |
7 |
,5 |
,6 |
,5 |
,7 |
8 |
,7 |
,7 |
,4 |
,3 |
9 |
,1 |
,8 |
,9 |
,6 |
10 |
,8 |
,4 |
,4 |
,4 |
11 |
,3 |
,7 |
,9 |
,2 |
12 |
,0 |
,3 |
,1 |
,2 |
13 |
107,1 |
,9 |
,8 |
,9 |
14 |
,3 |
,1 |
,3 |
,7 |
15 |
,9 |
,2 |
,1 |
,0 |
16 |
110,8 |
,2 |
,3 |
,6 |
17 |
,6 |
,1 |
,8 |
,8 |
18 |
,7 |
,3 |
,3 |
,7 |
19 |
,6 |
,3 |
,4 |
|
20 |
,4 |
,2 |
,0 |
,3 |
Задача 3
Имеются данные об уровне рентабельности и удельном весе продукции собственного производства и покупной в товарообороте 15 предприятий общественного питания за год:
х1- удельный вес в товарообороте продукции собственного производства, %;
х2 - удельный вес в товарообороте покупной продукции, %;
у уровень рентабельности, %.
Таблица 1. 24 Уровень рентабельности предприятий общественного питания
№ предпр. |
|||
1 |
,2 |
,8 |
,73 |
2 |
,2 |
,8 |
,41 |
3 |
,2 |
,8 |
,03 |
4 |
,8 |
,2 |
,4 |
5 |
,5 |
,5 |
,53 |
6 |
,1 |
,9 |
,13 |
7 |
,5 |
,5 |
,83 |
8 |
,9 |
,1 |
,51 |
9 |
,2 |
,8 |
,13 |
10 |
,8 |
,2 |
,5 |
11 |
,8 |
,2 |
,71 |
12 |
,1 |
,9 |
,28 |
13 |
,0 |
,0 |
,25 |
14 |
,2 |
,8 |
,61 |
15 |
,2 |
,8 |
,23 |
Задача 4
Имеются данные об уровне рентабельности и показателям хозяйственной деятельности по 15 торговым предприятиям за год:
х1- производительность труда, у. е.;
х2 заработная плата, у. е.;
х3 относительный уровень издержек обращения, %;
у уровень рентабельности, %.
Таблица 1. 25 Уровень рентабельности торговых предприятий
№ предпр. |
х1 |
х2 |
х3 |
у |
1 |
14,91 |
,2 |
||
2 |
,05 |
,41 |
||
3 |
,77 |
,23 |
||
4 |
,55 |
,72 |
||
5 |
,21 |
,14 |
||
6 |
,2 |
,4 |
||
7 |
,23 |
,78 |
||
8 |
,97 |
,83 |
||
9 |
,05 |
,07 |
||
10 |
9156 |
,45 |
,1 |
|
11 |
,13 |
,1 |
||
12 |
,33 |
,21 |
||
13 |
,23 |
,7 |
||
14 |
9383 |
,95 |
,55 |
|
15 |
,17 |
,9 |
Задача 5
Имеются данные об уровне рентабельности и показателям хозяйственной деятельности по 15 предприятиям общественного питания за год:
х1- удельный вес в товарообороте продукции собственного производства, %;
х2 - удельный вес в товарообороте покупной продукции, %;
х3 трудоемкость в расчете на 100000 у. е. товарооборота, чел.;
х4относительный уровень издержек обращения, %;
у уровень рентабельности, %.
Таблица 1. 26 Уровень рентабельности предприятий общественного питания
№ пред. |
Х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
у |
1 |
,6 |
,4 |
,51 |
,92 |
|
2 |
,6 |
,4 |
,2 |
,17 |
|
3 |
,5 |
,5 |
,1 |
,0 |
|
4 |
,2 |
,8 |
,79 |
,04 |
|
5 |
,6 |
,4 |
,44 |
,14 |
|
6 |
,8 |
,2 |
,16 |
,0 |
|
7 |
,2 |
,8 |
,04 |
,13 |
|
8 |
,2 |
,8 |
,91 |
,81 |
|
9 |
,6 |
,4 |
,13 |
,17 |
|
10 |
,1 |
,9 |
,3 |
,01 |
|
11 |
,6 |
,4 |
,7 |
,43 |
|
12 |
,8 |
,2 |
,44 |
,64 |
|
13 |
,0 |
,0 |
,3 |
,75 |
|
14 |
,4 |
,6 |
,65 |
,7 |
|
15 |
,6 |
,4 |
,09 |
,02 |
Задача 6
Имеются данные об уровне трудоемкости товарооборота и показателям хозяйственной деятельности по 15 предприятиям общественного питания за год:
х1- удельный вес в товарообороте продовольственных товаров, %;
х2 удельный вес в товарообороте непродовольственных товаров, %;
х3 удельный вес товарооборота общественного питания, %;
у уровень трудоемкости товарооборота, %.
Таблица 1. 27 Уровень трудоемкости товарооборота
№ пред. |
Х1 |
х2 |
х3 |
у |
1 |
,1 |
,9 |
,9 |
|
2 |
,2 |
,8 |
,6 |
|
3 |
,3 |
,7 |
,5 |
|
4 |
,9 |
,1 |
,0 |
|
5 |
,2 |
,8 |
,0 |
|
6 |
,5 |
,5 |
,7 |
|
7 |
,2 |
,8 |
,3 |
|
8 |
,8 |
,2 |
,9 |
|
9 |
,2 |
,8 |
,1 |
|
Продолжение табл. 1. 27 |
||||
10 |
,3 |
,7 |
,0 |
|
11 |
,1 |
,9 |
,9 |
|
12 |
,0 |
,0 |
,7 |
|
13 |
77,3 |
,7 |
,7 |
|
14 |
,5 |
,5 |
,7 |
|
15 |
,5 |
,5 |
,4 |
Не всегда получается описать адекватно сложное социально экономическое явление с помощью только одного уравнения. Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.
Различают несколько видов систем уравнений:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Такая система уравнений называется структурной формой модели.
Системы эконометрических уравнений включают множество эндогенных, экзогенных и предопределенных переменных.
Эндогенные переменные взаимозависимые переменные (у), которые определяются внутри модели (системы). Их число равно числу уравнений в системе.
Экзогенные переменные независимые переменные (х), которые определяются вне системы и влияющие на эндогенные переменные.
Предопределенные переменные экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы (yt-1).
Коэффициенты а и b при переменных называются структурными коэффициентами модели.
Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели неприемлемо и поэтому структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели. Это система линейных функций эндогенных переменных от всех экзогенных и предопределенных переменных системы:
(2.4)
где - коэффициенты приведенной формы модели.
Зная оценки приведенных коэффициентов модели, можно определить параметры структурной формы модели, но не всегда, а только если модель является точно идентифицируемой.
Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированы.
Модель считается не идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно не идентифицированное.
Модель считается сверх идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.
Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно однозначно найти по коэффициентам приведенной формы модели.
Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно получить более одного численного значения.
Уравнение называется недентифицированным, если оценки его структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной формы модели.
Выполнение условия идентифицируемости проверяется для каждого уравнения системы по правилу: уравнение считается идентифицируемым, если число экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.
Если обозначить число эндогенных переменных в j oм уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости может быть записано в виде следующего счетного правила:
D+1 = H уравнение идентифицируемо;
D+1 < H уравнение неидентифицируемо;
D+1 > H уравнение сверхидентифицируемо.
Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.
Достаточное условие идентификации - уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.
Ранг матрицы размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.
Рассмотрим пример.
Пусть имеется система:
(2.5)
Требуется проверить каждое уравнение структурной модели на идентификацию, применив необходимое и достаточное условие идентификации.
Решение:
В данной системе у1, у2 и у3 - эндогенные переменные (Н = 3);
х1, х2 и х3 экзогенные переменные (D = 3).
Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.
Первое уравнение.
Необходимое условие.
Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у1, у2), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).
Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Достаточное условие.
В уравнении отсутствуют у2 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
у2 |
х2 |
|
Второе |
-1 |
а22 |
Третье |
b32 |
0 |
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.
Второе уравнение.
Необходимое условие.
Уравнение содержит три эндогенных переменных: Н = 3 (у1, у2,, у3,), отсутствуют две экзогенных переменных: D = 2 (х1 ,х3 ).
Выполняется необходимое равенство: 2 + 1 = 3, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Достаточное условие.
В уравнении отсутствуют х1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
х1 |
х3 |
|
Второе |
а11 |
а13 |
Третье |
а31 |
а33 |
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.
Третье уравнение.
Необходимое условие.
Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у2,, у3), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).
Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Достаточное условие.
В уравнении отсутствуют у1 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение |
Отсутствующие переменные |
|
у1 |
х2 |
|
Второе |
-1 |
0 |
Третье |
b21 |
а22 |
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.
Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема.
Для решения точно идентифицируемого уравнения используется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), для решения сверхидентифицированных двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).
Алгоритм косвенного МНК включает три шага:
Рассмотрим пример. Пусть дана структурная форма модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:
(2.6)
Для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по семи регионам:
Таблица 2.1 Исходные данные для построения структурной формы модели
№ |
у1 |
у2 |
х1 |
х2 |
||||
1 |
-3 |
-1 |
-2,1 |
-0,4 |
||||
2 |
-2 |
-1,1 |
,6 |
|||||
3 |
-1 |
,9 |
-1,4 |
|||||
4 |
0 |
-2 |
-0,1 |
-1,6 |
||||
5 |
1 |
-3 |
-0,1 |
-0,4 |
||||
6 |
2 |
,9 |
-0,4 |
|||||
7 |
3 |
,9 |
,6 |
|||||
Ср. |
,1 |
,4 |
Шаг1. Приведенная форма модели составит:
(2.7)
Шаг2. Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем обычный МНК и определяем - коэффициенты.
Чтобы упростить процедуру расчетов, можно использовать отклонения от средних уровней: .
Для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:
Для расчета приведенных коэффициентов по исходным данным определяем Расчеты ведем в таблице 2.2.
Таблица 2. 2 Расчеты приведенных и структурных коэффициентов
№ |
у1х1 |
у1х2 |
х1х2 |
х12 |
х22 |
у2х1 |
у2х2 |
+х1=z |
у1*z |
z2 |
|
1 |
,3 |
,2 |
,84 |
,41 |
,16 |
,1 |
,4 |
-12,63 |
-14,73 |
,18 |
,86 |
2 |
,2 |
-1,2 |
-0,66 |
,21 |
,36 |
-2,23 |
-3,33 |
,65 |
,06 |
||
3 |
-1,9 |
,4 |
-2,66 |
,61 |
,96 |
,9 |
-1,4 |
1,87 |
,77 |
-3,77 |
,24 |
4 |
0,16 |
,01 |
,56 |
,2 |
,2 |
-9,17 |
-9,27 |
,00 |
,93 |
||
5 |
-0,1 |
-0,4 |
,04 |
,01 |
,16 |
,3 |
,2 |
-2,67 |
-2,77 |
-2,77 |
,65 |
6 |
-0,8 |
-3,6 |
,81 |
,16 |
-0,8 |
2,31 |
,21 |
,43 |
,33 |
||
7 |
,7 |
,8 |
,54 |
,81 |
,36 |
,7 |
,8 |
7,73 |
,63 |
,90 |
,55 |
Сумма |
,2 |
-5,34 |
,87 |
,72 |
,2 |
,4 |
-14,77 |
-14,47 |
,62 |
,62 |
Имеем:
Решая данную систему, получим первое уравнение приведенной формы модели:
у1 = 4,939 х1+4,96 х2..
Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим:
Для расчета приведенных коэффициентов этой системы по исходным данным дополнительно определяем Расчеты в таблице 2.2.
Применительно к нашему примеру имеем:
,
Откуда второе приведенное уравнение составит:
у2 = 4,98 х1+5,42 х2..
Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:
Шаг 3. Переходим о приведенной формы модели к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений:
Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х2, выразив его из второго уравнения приведенной формы модели и подставив в первое:
Тогда
- первое уравнение структурной модели.
Чтобы найти другое уравнение структурной модели из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х1, выразив его из первого уравнения и подставив во второе:
Тогда
- второе уравнение структурной модели.
Итак, структурная форма модели имеет вид:
Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:
Для того, чтобы привести вышеприведенную идентифицируемую модель (2.5) в сверхидентифицируемую наложим ограничения на ее параметры, а именно b12 = a11. Тогда она примет вид:
(2.8)
Bыполнив пункты 1 и 2 алгоритма для тех же исходных данных, получим ту же систему приведенных уравнений:
На основе второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у2, т. е. . С этой целью во второе уравнение подставляем значения х1 и х2 как отклонения от средних. Оценки для эндогенной переменной у2, приведены в таблице 2.2.
После того как найдены оценки эндогенной переменной у2, обратимся к сверхидентифицированному структурному уравнению
.
Заменяя фактические значения у2 их оценками , найдем значения новой переменной + х1 = z.
Далее применим МНК к уравнению , т. е. .
Откуда
Таким образом, сверхидентифицированное структурное уравнение оставит:
.
Ввиду того, сто второе уравнение системы (2.7) не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:
у2 = 4,98 х1 +5,42 х2..
В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит:
Задача 1.
1.Применив необходимое и достаточное условие оценить следующую структурную модель на идентификацию:
найти структурные коэффициенты модели.
Задача 2.
Рассматривается следующая модель:
(функция потребления)
(функция инвестиций)
(функция денежного рынка)
(тождество дохода)
Задание:
Задача 3.
Эконометрическая модель содержит четыре уравнения, четыре эндогенные переменные (у) и три экзогенные переменные (х).В табл. 2.3 представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели.
Таблица 2.3 матрица структурных коэффициентов
Уравнение |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
x1 |
x2 |
x3 |
I |
-1 |
0 |
b13 |
b14 |
c11 |
0 |
0 |
II |
-1 |
b23 |
0 |
c21 |
|||
III |
b32 |
-1 |
c31 |
c33 |
|||
IY |
b41 |
b42 |
b43 |
-1 |
c42 |
c43 |
Задание:
Задача 4.
Рассматривается следующая модель:
где St заработная плата в период t;
Dt чистый национальный доход в период t;
М t денежная масса в период t;
С t расходы на потребление в период t;
С t-1 расходы на потребление в период t-1;
U t уровень безработицы в период t;
U t-1 уровень безработицы в период t-1;
It инвестиции в период t.
Задание:
Задача 5
Ниже приводятся результаты расчета параметров некоторой эконометрической модели.
Структурная форма модели:
Приведенная форма модели:
Задание:
Задача 6.
Имеется следующая модель:
Приведенная форма этой модели имеет вид:
Задание:
Задача 7.
Имеется следующая модель:
(функция потребления);
(функция инвестиций);
(функция налогов);
(тождество доходов),
где С совокупное потребление в период времени t;
Y совокупный доход в период времени t;
I - инвестиции в период времени t;
G государственные расходы в период времени t;
Yt-1 - совокупный доход в период времени t-1.
В этой модели С, Y, Т и I являются эндогенными.
Задание:
Задача 8.
Имеется модель, построенная по шести наблюдениям:
Ей соответствует следующая приведенная форма:
Известны также следующие исходные данные:
n 1 2 3 4 5 6
Y1 3 2 4 1 5 3
X1 2 3 5 6 10 8
X2 4 7 3 6 5 5
Задание:
Задача 9.
Строится модель вида
,
.
Задание:
Определите структурные коэффициенты, учитывая, что
а также .
Задача 10.
Имеется следующая структурная модель:
,
Приведенная форма модели имеет вид
Задание:
Задача 11.
Пусть имеются данные представленные в таблице 2.4.
Табл. 2.4. Темпы прироста показателей
Период времени |
Темп прироста, % |
% безработных |
заработной платы, У1 |
цен, У2 |
дохода, У3 |
цен на импорт, Х2 |
экономически активного населения, Х3 |
||
1 |
2 |
6 |
10 |
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
7 |
12 |
3 |
2 |
2 |
3 |
4 |
8 |
11 |
1 |
5 |
3 |
4 |
5 |
5 |
15 |
4 |
3 |
2 |
5 |
6 |
4 |
14 |
2 |
3 |
3 |
6 |
7 |
9 |
16 |
2 |
4 |
4 |
7 |
8 |
10 |
18 |
3 |
4 |
5 |
Задание:
Определите параметры структурной модели следующего вида:
Задача 12.
В табл. 2.5 имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходе У, объеме потребления С , инвестициях I и государственных расходах G, полученные для некоторой страны за 10 лет.
Табл. 2.5 Исходные данные
С |
195 |
203 |
210 |
200 |
215 |
215 |
210 |
215 |
225 |
220 |
I |
10 |
20 |
30 |
20 |
10 |
20 |
30 |
20 |
15 |
30 |
У |
225 |
233 |
260 |
260 |
255 |
245 |
260 |
245 |
280 |
270 |
G |
20 |
Задание:
Постройте функцию формирования доходов, используя модель Кейнса:
(функция потребления),
(тождество дохода).
Задача 13
В табл. 2.6 имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходе У, объеме потребления С и инвестициях I, полученные для некоторой страны за 10 лет.
Табл. 2.6 Исходные данные
С
210 |
||||||||||
I |
||||||||||
У |
Задание:
Постройте функцию потребления, используя модель Кейнса вида:
(функция потребления),
(тождество дохода).
Задача 14.
Рассматривается система уравнений вида
Задание:
Задача 15
К системе двух структурных уравнений вида
применен косвенный метод наименьших квадратов. Для коэффициентов приведенной формы модели
получены следующие оценки с1 = 2,2; с2 = 0,4; с3 = 0,08; с4 = -0,5.
Задание:
Найти оценки параметров системы уравнений, применив двухшаговый метод наименьших квадратов.
Задача 16.
Имеется модель спроса и предложения в зависимости от цены вида
где Qd функция спроса;
Qs функция предложения;
Р цена;
I доход.
Задание:
временные ряды в эконометрических исследованиях
Модели, построенные по данным, характеризующим объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.
Временной ряд это совокупность значений какого либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.
Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием трех компонент:
Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение мультипликативные модели временного ряда.
Аддитивная модель имеет вид:
; (3.1)
мультипликативная модель: . (3.2)
Аддитивную модель применяют, когда амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется. Если амплитуда сезонных колебаний со временем возрастает или уменьшается, то применяют мультипликативную модель.
Для выявления структуры ряда, т. е. состава компонент рассчитывают автокорреляцию уровней ряда.
Автокорреляция уровней ряда это корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда.
Автокорреляция может быть измерена линейным коэффициентом корреляции ( ri ) между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Сдвиг во времени (лаг) определяет порядок коэффициента автокорреляции.
Различают коэффициент автокорреляции первого, второго, третьего и т. д. порядков. Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда первого порядка рассчитывают при лаге 1:
, (3.3)
где - средний уровень исходного ряда, рассчитанный от t=2 до n; - средний уровень ряда, сдвинутого на один шаг, рассчитанный от t=2 до n.
Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда второго порядка рассчитывают при лаге 2:
, (3.4)
где - средний уровень исходного ряда, рассчитанный от t=3 до n;
- средний уровень ряда, сдвинутого на два шага, рассчитанный от t=3 до n.
Обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции можно определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.
Если наиболее высоким оказалось значение коэффициента автокорреляции первого порядка, то исследуемый временной ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
Рассмотрим пример: пусть имеются данные предприятия по объемам выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года в тыс. шт. (табл.3.1).
Табл. 3.1. объем выпуска товара, тыс. шт.
t |
Yt |
Yt-1 |
()* () |
()2 |
()2 |
Yt-2 |
()* () |
()2 |
()2 |
||||
1 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
|
2 |
-368,64 |
-295,91 |
109084,3 |
135895,4 |
,73 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
||
3 |
-53,64 |
-305,91 |
16409,01 |
2877,25 |
,93 |
410 |
-90,5 |
-243 |
21991,5 |
8190,25 |
|||
4 |
-168,64 |
,09 |
-1532,94 |
28439,45 |
,6281 |
400 |
-205,5 |
-253 |
51991,5 |
42230,25 |
|||
5 |
-183,64 |
-105,91 |
19449,31 |
33723,65 |
,93 |
715 |
-220,5 |
-13671 |
48620,25 |
||||
6 |
-208,64 |
-120,91 |
25226,66 |
43530,65 |
,23 |
600 |
-245,5 |
-53 |
13011,5 |
60270,25 |
|||
7 |
206,36 |
-145,91 |
-30110 |
42584,45 |
,73 |
585 |
169,5 |
-68 |
-11526 |
28730,25 |
|||
8 |
31,36 |
,09 |
8438,662 |
983,4496 |
,43 |
560 |
-5,5 |
-93 |
511,5 |
30,25 |
|||
9 |
-3,64 |
,09 |
-342,488 |
13,2496 |
,928 |
975 |
-40,5 |
-13041 |
1640,25 |
||||
10 |
-48,64 |
,09 |
-2874,14 |
2365,85 |
,628 |
800 |
-85,5 |
-12568,5 |
7310,25 |
||||
11 |
466,36 |
,09 |
6571,012 |
217491,6 |
,5281 |
765 |
429,5 |
48104 |
184470,3 |
||||
12 |
331,36 |
,09 |
175319,3 |
109799,4 |
,2 |
720 |
294,5 |
19731,5 |
86730,25 |
||||
8865 |
-0,04* |
-0,01* |
325638,6 |
617704,5 |
,9 |
6530 |
104535 |
468222,5 |
* сумма не равна нулю в виду наличия ошибок округления.
.
Коэффициент автокорреляции первого и второго порядков составят:
Аналогично рассчитываются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и пятого порядков, составившие: r3 = 0,432; r3 = 0,992; r3 = 0,373.
Анализ рассчитанных коэффициентов автокорреляции позволяет сказать, что в данном ряду динамики имеется тенденция и сезонные колебания с периодом, равным 4.
Для выявления основной тенденции (тренда) в уровнях ряда используется аналитический метод выравнивания. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Данный метод заключается в построении уравнения регрессии, характеризующего зависимость уровней ряда от временной переменной Т(t) = f(t).
Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формирования можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:
Параметры каждого из перечисленных выше трендов определяют обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной фактические уровни временного ряда Уt. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.
В ППП MS Exsel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:
В качестве дополнительной информации на диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 3.2);
Рис 3.1. Диалоговое окно типов линий тренда
Рис. 3.2. Диалоговое окно параметров линии тренда
На рис. 3.3 представлен линейный тренд, описывающий изменение объема выпуска продукции по месяцам (рассмотренный выше пример).
Рис. 3.3. Линейный тренд
Величина коэффициента детерминации R2 = 0,6889 позволяет сказать, что 68,89% вариации объема выпуска продукции зависит от времени, прочие факторы составляют 31,11% от общей вариации.
Существует несколько подходов при моделировании сезонных или циклических колебаний:
Наиболее простым является первый метод.
Процесс построения аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и Е для каждого порядка.
Процесс построения модели включает следующие шаги.
Для расчетов используем данные об объеме выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года, представленные в табл. 3.1.
Анализ величины коэффициентов автокорреляции показал, что в данном временном ряде имеются сезонные колебания с периодичностью 4.
Рассчитаем компоненты аддитивной модели.
Таблица 3.2 расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели
Номер квартала t |
Объем выпуска Yt |
Итого за четыре квартала |
Скользящая средняя за 4 квартала |
Центрированная скользящая средняя |
Оценка сезонной компоненты |
1 |
410 |
- |
- |
- |
- |
2 |
400 |
- |
- |
- |
- |
3 |
715 |
2125 |
531,25 |
553,13 |
161,87 |
4 |
600 |
2300 |
575 |
595 |
5,0 |
5 |
585 |
2460 |
615 |
647,5 |
-62,5 |
6 |
560 |
2720 |
680 |
705 |
-145,0 |
7 |
975 |
2920 |
730 |
752,5 |
222,5 |
8 |
800 |
3100 |
775 |
795 |
5,0 |
9 |
765 |
3260 |
815 |
847,5 |
-82,5 |
10 |
720 |
3520 |
880 |
917,5 |
-197,5 |
11 |
1235 |
3820 |
955 |
||
12 |
1100 |
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени;
б) разделим полученные суммы на 4, найдем скользящие средние, которые не содержат сезонной компоненты;
с) найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних центрированные скользящие средние.
Таблица 3.3 расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
Показатели |
Год |
Номер квартала, i |
I |
II |
III |
IY |
||
1 2 |
- -62,5 -82,5 |
- -145 -197,5 |
161,87 222,5 - |
5,0 5,0 - |
|
Итого за i- й квартал за все годы |
-145 |
-342,5 |
384,37 |
10,0 |
|
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала |
-72,5 |
-171,25 |
192,185 |
5,0 |
|
Скорректированная сезонная компонента, Si |
-60,858 |
-159,609 |
203,826 |
16,641 |
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si.
В аддитивной модели сумма значений сезонной компоненты по кварталам должна быть равна нулю.
Для данной модели имеем: -72,5-171,25+192,185+5,0=-46,565.
Определим корректирующий коэффициент :
k = -46,565/4 = -11,641.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
-60,858 159,609 + 203,826 + 16,641 = 0.
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: S1 = -60,858; II квартал: S2 = -159,609;
III квартал: S3 = 203,826; IY квартал: S4 = 16,641.
Занесем полученные значения в табл.3.4 для соответствующих кварталов года.
Таблица 3. 4 расчет выровненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели
t |
Yt |
Si |
T + E = Yt - S |
T |
T + S |
Е=Yt (T+S) |
E2 |
1 |
410 |
-60,858 |
470,858 |
445,727 |
384,869 |
25,131 |
631,5672 |
2 |
400 |
-159,609 |
559,609 |
499,004 |
339,395 |
60,605 |
3672,966 |
3 |
715 |
203,826 |
511,174 |
552,281 |
756,107 |
-41,107 |
1689,785 |
4 |
600 |
16,641 |
583,359 |
605,558 |
622,199 |
-22,199 |
492,7956 |
5 |
585 |
-60,858 |
645,858 |
658,835 |
597,977 |
-12,977 |
168,4025 |
6 |
560 |
-159,609 |
719,609 |
712,112 |
552,503 |
7,497 |
56,20501 |
7 |
975 |
203,826 |
771,174 |
765,389 |
969,215 |
5,785 |
33,46622 |
8 |
800 |
16,641 |
783,359 |
818,666 |
835,307 |
-35,307 |
1246,584 |
9 |
765 |
-60,858 |
825,858 |
871,943 |
811,085 |
-46,085 |
2123,827 |
10 |
720 |
-159,609 |
879,609 |
925,22 |
765,611 |
-45,611 |
2080,363 |
11 |
1235 |
203,826 |
1031,174 |
978,497 |
1182,323 |
52,677 |
2774,866 |
12 |
1100 |
16,641 |
1083,359 |
1031,774 |
1048,415 |
51,585 |
2661,012 |
Шаг 3. элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Yt S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Шаг 4. определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда Т + Е с помощью линейного тренда. В результате получен линейный тренд вида:
Т = 392,45 + 53,277*t.
Коэффициент детерминации R2 = 0,958. График уравнения тренда приведен на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Объем выработки продукции
Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2,…,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значение сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле
Е = Yt (T+S).
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной модели она равна 17631,84. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 735606,3. Эта величина составляет 2,4 %.
(1-17631,84/735606,3)*100 = 97,6%.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,6% общей вариации уровней временного ряда объема выпуска продукции за последние 12 кварталов.
Определим компоненты мультипликативной модели временного ряда, используя данные о поквартальном объеме выработки некоторой продукции за 3 года, использованные для расчета компонент аддитивной модели временного ряда.
Таблица 3.5 расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели
Номер квартала t |
Объем выпуска Yt |
Итого за четыре квартала |
Скользящая средняя за 4 квартала |
Центрированная скользящая средняя |
Оценка сезонной компоненты |
1 |
410 |
- |
- |
- |
- |
2 |
400 |
- |
- |
- |
- |
3 |
715 |
2125 |
531,25 |
553,13 |
1,293 |
4 |
600 |
2300 |
575 |
595 |
1,008 |
5 |
585 |
2460 |
615 |
647,5 |
0,903 |
6 |
560 |
2720 |
680 |
705 |
0,794 |
7 |
975 |
2920 |
730 |
752,5 |
1,296 |
8 |
800 |
3100 |
775 |
795 |
1,006 |
9 |
765 |
3260 |
815 |
847,5 |
0,903 |
10 |
720 |
3520 |
880 |
917,5 |
0,785 |
11 |
1235 |
3820 |
955 |
||
12 |
1100 |
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в табл. 3.5.
Шаг 2. найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчетов значений сезонной компоненты S (табл. 3.6).
Таблица 3.6 расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели
Показатели |
Год |
Номер квартала, i |
I |
II |
III |
IY |
||
1 |
- 0,903 0,903 |
- 0,794 0,785 |
1,293 1,296 - |
1,008 1,006 - |
|
Итого за i- й квартал за все годы |
1,806 |
1,579 |
2,589 |
2,014 |
|
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала |
0,903 |
0,79 |
1,295 |
1,007 |
|
Скорректированная сезонная компонента, Si |
0,904 |
0,791 |
1,296 |
1,009 |
Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).
Имеем 0,903 + 0,789 + 1,295 + 1,007 = 3,995.
Определим корректирующий коэффициент: k = 4/3,995 = 1,001.
Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k.
Проверим условие равенства 4 значений сезонной компоненты:
0,904 + 0,791 + 1,296 + 1,009 = 4.
Получим следующие значения сезонной компоненты:
I квартал: S1 = 0,904; II квартал: S2 = 0,791;
III квартал: S3 = 1,296; IY квартал: S4 = 1,009.
Занесем полученные значения в табл.3.6 для соответствующих кварталов года.
Таблица 3. 6расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели
t |
Yt |
Si |
T * E = Yt : S |
T |
T * S |
Е=Yt : (T*S) |
Е=Yt - (T*S) |
E2 |
1 |
410 |
0,904 |
453,54 |
441,92 |
399,496 |
1,026 |
10,504 |
,334 |
2 |
400 |
0,791 |
,689 |
495,15 |
391,664 |
1,021 |
8,336 |
,489 |
3 |
715 |
1,296 |
,698 |
548,38 |
710,7 |
1,006 |
4,3 |
,490 |
4 |
600 |
1,009 |
,4 |
601,61 |
607,024 |
0,988 |
-7,024 |
,337 |
5 |
585 |
0,904 |
647,124 |
654,84 |
591,975 |
0,988 |
-6,975 |
,651 |
6 |
560 |
0,791 |
,965 |
708,07 |
560,083 |
1,000 |
-0,083 |
,007 |
7 |
975 |
1,296 |
,315 |
761,3 |
986,645 |
0,988 |
-11,645 |
,606 |
8 |
800 |
1,009 |
,864 |
814,53 |
821,861 |
0,973 |
-21,861 |
,903 |
9 |
765 |
0,904 |
846,239 |
867,76 |
784,455 |
0,975 |
-19,455 |
,497 |
10 |
720 |
0,791 |
,24 |
920,99 |
728,503 |
0,988 |
-8,503 |
,301 |
11 |
1235 |
1,296 |
,932 |
974,22 |
1262,589 |
0,978 |
-27,589 |
,153 |
12 |
1100 |
1,009 |
,188 |
1027,45 |
1036,697 |
1,061 |
63,303 |
,270 |
Шаг 3. разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим величины Т*Е = Yt : S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). График линейного тренда представлен на рис. 3. 5.
Уравнение тренда имеет следующий вид:
Т = 388,69 + 53,23*t.
Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.
Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
Шаг 6. расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле
Е = Yt : (T*S).
Для того, чтобы оценить качество полученной мультипликативной модели, используя коэффициент детерминации, необходимо рассчитать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как
Е = Yt - (T*S).
Рис. 3.5. Объем выпуска продукции
В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 6129,037. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения равна 735606,3. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна: (1-6129,037/735606,3)*100 = 99,17%.
По аддитивной модели
Предположим, по данным примера (табл. 3.1) требуется дать прогноз объема выпуска продукции в течение первого полугодия ближайшего следующего года.
Прогнозное значение Уt уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.1) есть сумма трендовой и сезонной компонент.
Объем выпуска продукции в течение первого полугодия ближайшего следующего, т. е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпуска в I и II кварталах четвертого года, соответственно У13 и У14. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
Т = 392,45 + 53,277*t.
Получим: Т13 = 395,45+53,277*13 = 1088,051;
Т14 = 395,45+53,277*14 = 1141,328.
Значение сезонной компоненты равны: S1 = -60,858; S2 = -159,609.
Таким образом,
У13 = 1088,051 - 60,858 = 1027,652;
У14 = 1141,328 ,609 = 981,719.
Прогноз объема выработки продукции на первое полугодие ближайшего следующего (четвертого) года составит:
(1027,652 + 981,719) = 2009,371 тыс. шт.
По мультипликативной модели.
Предположим, что по данным того же примера необходимо сделать прогноз ожидаемого объема выработки продукции за первое полугодие ближайшего следующего года.
Прогнозное значение Уt уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.2) есть произведение трендовой и сезонной компонент.
Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
Т = 388,69 + 53,23*t.
Получим: Т13 = 388,69 + 53,23 * 13 = 967,68;
Т14 = 388,69 + 53,23 *14 = 1119,91.
Значения сезонной компоненты равны: S1 = 0,904; S2 = 0,791.
Таким образом,
У13 = 967,68 * 0,904 = 874,783;
У14 = 1119,91 * 0,791 = 885,849.
Прогноз объема выработки продукции на первое полугодие ближайшего следующего (четвертого) года составит:
(874,783 + 885,849) = 1760,632 тыс. шт.
Задача 1.
Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет (млн. долл. в сопоставимых ценах). Исходные данные представлены ниже:
Время, лет 1 2 3 4 5 6 7
Депозиты физических лиц, 2 6 7 3 10 12 13
Известно также следующее:
Задание
Задача 2.
Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого были собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса Yt (кг) за 7 месяцев. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов:
Месяц
ln Yt ,1 ,11 ,13 ,17 ,22 ,28 ,31
Задание
Задача 3.
Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах области:
Год
Урожайность
зерновых, ц/га 10,2 ,7 ,7 ,1 ,9 ,2 ,0 ,2
Задание
Задача 4.
Имеются следующие данные об уровне безработицы Yt (%) за 8 месяцев:
Месяц
Yt 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 ,0
Задание
Задача 5.
Для прогнозирования объема продаж компании АВС (млн. руб.) на основе поквартальных данных за 1993 гг. была построена модель временного ряда объема продаж. Уравнение, моделирующее динамику трендовой компоненты этой модели, имеет вид: Т = 100 + 2*t . Показатели за 1996 г., полученные в ходе построения аддитивной модели, представлены в табл. 3.7.
Таблица 3.7 Показатели аддитивной модели
Время года |
Фактический объем продаж в 1996 г. |
Компонента, полученная по аддитивной модели |
||
трендовая |
сезонная |
случайная |
||
Зима |
100 |
+4 |
||
Весна |
10 |
+5 |
||
Лето |
150 |
25 |
||
Осень |
Задание
Определите недостающие в таблице данные, учитывая, что объем продаж компании АВС за 1996 год в целом составил 490 млн. руб.
Задача 6.
На основе помесячных данных о потреблении электроэнергии в регионе (млн. кВт *час) за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы даны в табл. 3.8.
Таблица 3.8 Скорректированные значения сезонной компоненты
Январь |
+25 |
Май |
-32 |
Сентябрь |
+2 |
Февраль |
+10 |
Июнь |
-38 |
Октябрь |
+15 |
Март |
+6 |
Июль |
-25 |
Ноябрь |
+27 |
Апрель |
-4 |
Август |
-18 |
Декабрь |
? |
Уравнение тренда выглядит следующим образом:
Т = 300+1,5 * t.
Задание
Задача 7.
На основе поквартальных данных об уровне безработицы в летнем курортном городе (% от экономически активного населения) за последние 5 лет построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за каждый квартал приводятся ниже:
I квартал ……..1,4 III квартал …….0,7
II квартал ……..0,8 IY квартал ……. ?
Уравнение тренда выглядит следующим образом:
Т = 9,2 ,3t.
Задание
Задача 8.
Изучается зависимость объема продаж бензина (Yt) от динамики потребительских цен (Хt). Полученные за последние 6 кварталов данные представлены в табл. 3.9.
Таблица 3.9 Объем продаж бензина
Показатель |
1 кв. |
2 кв. |
3 кв. |
4 кв. |
5 кв. |
6 кв. |
Индекс потребительских цен, % к кварталу 1 |
100 |
104 |
112 |
117 |
121 |
126 |
Средний за день объем продаж бензина в течение квартала, тыс. л |
89 |
83 |
80 |
77 |
75 |
72 |
Известно также, что
Задание
Задача 9.
Годовое потребление товара А и доходы населения (тыс. руб.) за 1989 гг. приведены в табл. 3.10.
Таблица 3.10 Годовое потребление товара
Показатель |
1989 |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
Потребление |
46 |
50 |
54 |
59 |
62 |
67 |
75 |
86 |
100 |
Доходы |
53 |
57 |
64 |
70 |
73 |
82 |
95 |
110 |
127 |
Задание
что
Задача 10.
Имеются данные за 10 лет о производительности труда и электровооруженности труда на одном из предприятий промышленности области (табл. 3.11).
Таблица 3.11 производительность и электровооруженность труда
Показатель |
1987 |
1988 |
1989 |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
Среднегодовая выработка на продукции на 1 рабочего, усл. ед., Уt |
28,7 |
31,7 |
31,7 |
32,6 |
33,9 |
31,2 |
33,3 |
42,6 |
46,0 |
49,9 |
Электровооруженность, кВт*ч/чел.*ч, Хt |
3,33 |
3,39 |
3,5 |
3,63 |
3,81 |
3,84 |
3,88 |
4,07 |
4,12 |
4,17 |
Задание
Задача 11.
Администрация торговой фирмы интересуется, есть ли взаимосвязь между объемом продаж и удельным весом женщин среди работников компании, для этого были собраны данные за последние девять лет (табл. 3.11).
Таблица 3.11 Объем продаж
Показатель |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Объем продаж, тыс. долл., Уt |
378 |
385 |
393 |
403 |
414 |
428 |
444 |
462 |
481 |
Удельный вес женщин среди работников компании, %, Хt |
25 |
24 |
27 |
30 |
31 |
29 |
31 |
33 |
34 |
Известны также следующие данные:
Задание
1. Определите коэффициент корреляции между изучаемыми рядами по их уровням, охарактеризуйте тесноту связи между временными рядами объемов продаж и долей женщин среди работников компании.
2. Постройте уравнение тренда для ряда Хt в виде линейной регрессии, для ряда Уt в виде параболы второго порядка.
3. Постройте уравнение регрессии, описывающее зависимость объема продаж от удельного веса женщин среди работников компании.
Задача 12.
На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в табл. 3.12.
Таблица 3.12 Скорректированные значения сезонной компоненты
Месяц |
Скорректированные значения сезонной компоненты |
Месяц |
Скорректированные значения сезонной компоненты |
Январь |
-1,0 |
Июль |
3,0 |
Февраль |
2,0 |
Август |
1,0 |
Март |
-0,5 |
Сентябрь |
2,5 |
Апрель |
0,3 |
Октябрь |
1,0 |
Май |
-2,0 |
Ноябрь |
-3,0 |
Июнь |
-1,1 |
Декабрь |
? |
Уравнение тренда выглядит следующим образом:
Т = 2,5 + 0,03 * t.
Задание
Задача 13.
Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 1995 1999 гг. (табл. 3.13).
Таблица 3.13 Розничный товарооборот России
Номер квартала |
Товарооборот, % к предыдущему периоду |
Номер квартала |
Товарооборот, % к предыдущему периоду |
1 |
100,0 |
11 |
98,8 |
2 |
93,9 |
12 |
101,9 |
3 |
96,5 |
13 |
113,1 |
4 |
101,8 |
14 |
98,4 |
5 |
107,8 |
15 |
97,3 |
6 |
96,3 |
16 |
102,1 |
7 |
95,7 |
17 |
97,6 |
8 |
98,2 |
18 |
83,7 |
9 |
104,0 |
19 |
84,3 |
10 |
99,0 |
20 |
88,4 |
Задание
Задача 14.
Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн. долл.), представленными в табл. 3.14.
Таблица 3.14 Динамика выпуск продукции Финляндии
Год |
Выпуск продукции |
Год |
Выпуск продукции |
Год |
Выпуск продукции |
1961 |
1054 |
1973 |
3837 |
1985 |
13617 |
1962 |
1104 |
1974 |
5490 |
1986 |
16356 |
1963 |
1149 |
1975 |
5502 |
1987 |
20037 |
1964 |
1291 |
1976 |
6342 |
1988 |
21748 |
1965 |
1427 |
1977 |
7665 |
1989 |
23298 |
1966 |
1505 |
1978 |
8570 |
1990 |
26570 |
1967 |
1513 |
1979 |
1991 |
||
1968 |
1635 |
1980 |
1992 |
||
1969 |
1987 |
1981 |
1993 |
||
1970 |
2306 |
1982 |
1994 |
||
1971 |
2367 |
1983 |
1995 |
||
1972 |
2913 |
1984 |
1996 |
Задание
Задача 15.
Имеются данные об объеме экспорта из Российской Федерации (млрд. усл. ед.) за 1994 гг.
Таблица 3.15 Объем экспорта из Российской Федерации
Номер квартала |
Экспорт, млрд. долл. |
Номер квартала |
Экспорт, млрд. долл. |
Номер квартала |
Экспорт, млрд. долл. |
1 |
4087 |
9 |
17 |
5875 |
|
2 |
4737 |
10 |
7087 |
18 |
6140 |
3 |
5768 |
11 |
7310 |
19 |
6248 |
4 |
6005 |
12 |
8600 |
20 |
6041 |
5 |
5639 |
13 |
6975 |
21 |
4626 |
6 |
6745 |
14 |
6891 |
22 |
6501 |
7 |
6311 |
15 |
7527 |
23 |
6284 |
8 |
7107 |
16 |
7971 |
24 |
6707 |
Задание
Задача 16.
Имеются данные о разрешениях на строительство нового частного жилья, выданных в 1990 гг., % к уровню 1987 г.
Таблица 3.16 Разрешение на строительство нового жилья
Месяц |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
Январь |
72,9 |
61,4 |
71,2 |
78,3 |
86,4 |
Февраль |
113,4 |
51,0 |
69,9 |
76,4 |
87,5 |
Март |
86,2 |
55,3 |
74,3 |
74,5 |
80,2 |
Апрель |
80,8 |
59,1 |
70,2 |
68,5 |
84,3 |
Май |
73,7 |
59,5 |
68,4 |
71,6 |
86,8 |
Июнь |
69,2 |
64,3 |
68,5 |
72,1 |
86,9 |
Июль |
71,9 |
62,5 |
68,6 |
73,3 |
85,2 |
Август |
69,9 |
63,1 |
70,6 |
76,2 |
85,0 |
Сентябрь |
69,4 |
61,2 |
69,7 |
79,8 |
87,5 |
Октябрь |
63,3 |
63,2 |
72,3 |
81,2 |
90,0 |
Ноябрь |
60,0 |
64,3 |
73,5 |
83,5 |
88,4 |
Декабрь |
61,0 |
63,9 |
72,5 |
88,0 |
85,7 |
Задание
Задача 17.
Имеются данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле, в сопоставимых ценах 1987 г., млрд. усл. ед.
Таблица 3.17 Объем продаж в промышленности и торговле
Месяц
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
|
Январь |
472,5 |
477,9 |
510,9 |
541,0 |
578,2 |
Февраль |
482,1 |
467,5 |
484,7 |
512,3 |
539,4 |
Март |
489,5 |
470,9 |
486,6 |
512,6 |
545,3 |
Апрель |
493,6 |
469,1 |
488,4 |
511,5 |
551,9 |
Май |
488,0 |
478,1 |
489,5 |
511,9 |
549,7 |
Июнь |
490,6 |
480,6 |
486,6 |
513,9 |
550,1 |
Июль |
492,5 |
479,3 |
491,8 |
520,0 |
554,0 |
Август |
488,1 |
484,2 |
495,2 |
515,9 |
550,0 |
Сентябрь |
493,1 |
484,9 |
491,8 |
524,2 |
565,6 |
Октябрь |
484,5 |
485,6 |
496,1 |
527,1 |
564,7 |
Ноябрь |
483,0 |
486,1 |
498,8 |
529,8 |
566,9 |
Декабрь |
476,9 |
484,7 |
501,5 |
534,9 |
572,7 |
Задание
Задача 18.
Имеются данные об экспорте и импорте Германии за 1985 гг., мрд. усл. ед.
Таблица 3.18 Объем экспорта и импорта Германии
Год
Экспорт |
Импорт |
Год |
Экспорт |
Импорт |
|
1985 |
184 |
158 |
1991 |
403 |
390 |
1986 |
243 |
191 |
1992 |
422 |
402 |
1987 |
294 |
228 |
1993 |
382 |
346 |
1988 |
323 |
280 |
1994 |
430 |
385 |
1989 |
341 |
270 |
1995 |
524 |
464 |
1990 |
410 |
346 |
1996 |
521 |
456 |
Задание
Задача 19.
Динамика объема платных услуг населению региона по кварталам 1996 -1999 гг. характеризуется данными, представленными в табл. 3.19.
Таблица 3.19 Объем платных услуг населению, млн. руб.
Квартал |
Объем платных услуг населению |
Квартал |
Объем платных услуг населению |
1 |
2428 |
9 |
3528 |
2 |
2010 |
10 |
3838 |
3 |
2981 |
11 |
3916 |
4 |
3074 |
12 |
4142 |
5 |
2993 |
13 |
4441 |
6 |
3198 |
14 |
5583 |
7 |
3250 |
15 |
6230 |
8 |
3495 |
16 |
6497 |
Задание