У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тема эконометрических уравнений и временные ряды в эконометрических исследованиях Для студентов спе

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 28.4.2025

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ДИМИТРОВГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНОЛОГИИ, УПРАВЛЕНИЯ И ДИЗАЙНА

(филиал)

УЛЬЯНОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

НОЗДРИНА н. а.

ЭКОНОМЕТРИКА:

Множественная регрессия, система эконометрических уравнений

и временные ряды в эконометрических исследованиях

Для студентов специальности 080109

дневной, заочной и сокращенной форм обучения

Учебное пособие

Димитровград 2006


УДК 330. 43 (075.8)

ББК 65в6я73

Н 78

Утверждено редакционно –издательским Советом Димитровградского института

технологии управления и дизайна

Рецензенты:

Кандидат технических наук, зав. кафедрой экономики и управления производством ДИТУД Бердичевская Н.Ф. 

Доктор педагогических наук, зав. кафедрой «Математика и информационные технологии» ДИТУД Ильмушкин Г М.

Кандидат технических наук, зав. кафедрой  менеджмента и агробизнеса технологического  института  - филиала СГОУФПО (Ульяновской ГСХА) Ермаков Г. П.

 Ноздрина Н. А.

Н 78 Эконометрика: множественная регрессия, система эконометрических уравнений и временные ряды в эконометрических исследованиях.

Учебное пособие / Н. А. Ноздрина –Димитровград: ДИТУД, 2006. -80 с.

Учебное пособие составлено на основании Государственного образовательного стандарта высшего и профессионального образования второго поколения. Содержит вводный теоретический и практический материал по разделам: множественная регрессия и корреляция; системы эконометрических уравнений; моделирование одномерных временных рядов.

Даны практические задачи и контрольные задания для выполнения их на компьютере, приведены контрольные вопросы.

Пособие предназначено для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» (080109) дневной, сокращенной и заочной форм обучения.

УДК 330.43 (075.8)

ББК 65в6я73

© Н. А. Ноздрина

© ДИТУД УлГТУ, оформление, 2006


СОДЕРЖАНИЕ

1. Множественная регрессия и корреляция 4

1.1. Виды многофакторных моделей 4

1.2. Оценка параметров уравнения множественной регрессии 5

1.3. Расчет коэффициентов эластичности 7

1.4. Показатели корреляции и детерминации, их использование 9

1.5. Оценка надежности результатов множественной регрессии, корреляции и фактора дополнительно включенного в модель 12

1.6. Решение типовых задач 14

1.7. Практические задачи 20

1.8. Реализация типовых задач на компьютере 31

Контрольные вопросы 41

2. Система эконометрических уравнений 43

2.1. Виды систем уравнений 43

2.2. Проблема идентификации. Необходимое и достаточное условие 44

2.3. Методы оценивания параметров структурной модели 47

2.4. Практические задания 51

Контрольные вопросы 58

3. временные ряды в эконометрических исследованиях 59

3.1. Выявление структуры временного ряда 59

3.2. Моделирование тенденции временного ряда 62

3.3. Моделирование сезонных и циклических колебаний 64

3.4. Прогнозирование по моделям временного ряда 70

2.4. Практические задачи 71

Контрольные вопросы 80

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 80

  1.  
    Множественная регрессия и корреляция

Множественная регрессия –один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная  цель множественной регрессии –построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на результат.

Множественная регрессия характеризует зависимость объясняемой переменной у от ряда независимых переменных - факторов х i :

                                  у = f (x 1, x 2,…, x p),                  (1.1)

где у               –зависимая переменная (результативный признак);

x 1, x 2,…, x p - независимые переменные (факторы).

Построение многофакторной модели включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

  1.  Виды многофакторных моделей

Как и в парной зависимости, возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

В виду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции.

Линейная множественная регрессия имеет вид:

                                     (1.2)

В этой модели параметры при х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Степенная функция получила наибольшее распространение в исследованиях спроса и потребления, а также в производственных функциях. Она имеет вид:

.      (1.3)

В ней коэффициенты b 1, b 2 , … b р,   являются средними коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1 % при неизменности действия других факторов.

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду, например: экспоненту и равностороннюю гиперболу , которая используется при обратных связях признаков.

Если исследователя не устраивает ни одна из вышеперечисленных функций, то можно использовать любые другие функции, приводимые к линейному виду, например:

    (1.4)

Или полиномиальная функция –полином второго порядка:

(1.5)

Однако чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

  1.  Оценка параметров уравнения множественной регрессии

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК). Возможны два способа расчета параметров многофакторной модели:

  •  методом определителей;
  •  метод стандартизации переменных (с использованием парных коэффициентов корреляции).–

В первом случае для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

              (1.6)

Для ее решения может быть применен метод определителей:

    (1.7)

где    - определитель системы;    (1.8)

частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Во втором методе уравнение множественной регрессии преобразуется в уравнение регрессии в стандартизованном масштабе (виде):

,    (1.9)

где  стандартизованные переменные; стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК, стандартизованные коэффициенты регрессии определяются из следующей системы уравнений:

,      (1.10)

Связь коэффициентов множественной регрессии b i  со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением

    (1.11)

Параметр а определяется как  .   (1.12)

Это позволяет от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

,

переходить к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных:

При нелинейной зависимости признаков, приводимой к линейному виду, параметры множественной регрессии также определяются МНК с той лишь разницей, что он используется не к исходным переменным, а к преобразованным данным. Например, для степенной функции

преобразование в линейный вид заключается, как и в парной регрессии, в логарифмировании уравнения по десятичному или натуральному основанию. Линейный вид степенной функции: где переменные выражены в логарифмах.

Далее обработка МНК та же, что и описана выше: строится система нормальных уравнений и определяются параметры lna, b1, b2, …, b p. Потенцируя значение lna, найдем параметр а и соответсвенно общий вид степенной функции.

Для другого вида моделей, например, полиномиальных, гиперболических и т. п. линеаризация исходного уравнения проводится, как и в парной регрессии, путем замены нелинейных переменных на линейные.

  1.  Расчет коэффициентов эластичности

Для множественного уравнения регрессии рассчитываются средние и частные коэффициенты эластичности.

Средние коэффициенты эластичности для множественной регрессии рассчитываются по формуле

       (1.13)

где частные производные уравнения регрессии по соответствующему фактору; среднее значение соответствующего фактора x i;  среднее значение результативного признака.

Средний коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменится результат у с увеличением фактора хi на 1 % от своего среднего уровня.

Для линейной множественной регрессии средние коэффициенты эластичности рассчитываются

     (1.14)

где b i - коэффициент чистой регрессии для соответствующего фактора x i;

средние значения соответствующего фактора и результативного признака по совокупности показателей.

Средние коэффициенты эластичности можно сравнивать друг сдругом и соответственно использовать для ранжирования факторов по силе их влияния на результат. Чем больше величина , тем сильнее влияет фактор хi на результат у.

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются на основе частных уравнений регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами хi при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Для линейной множественной регрессии частные уравнения регрессии имеют следующий вид:

 (1.15)

……………………………………………………………….

             

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т. е. имеем:

                                  

    (1.16)

                                   …………………………………

Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения регрессии

С учетом частных уравнений регрессии для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

  (1.17)

где b i - коэффициент регрессии для соответствующего фактора x i в уравнении множественной регрессии;

- частное уравнение регрессии.

Значения частных коэффициентов эластичности могут быть использованы при принятии решений относительно экономических явлений конкретных регионов, областей, предприятий и т. п.

  1.  Показатели корреляции и детерминации, их использование

Для множественной регрессии рассчитываются показатели множественной и частной корреляции.

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым результативным признаком, т. е. оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

   (1.18)

где общая дисперсия результативного признака;

остаточная дисперсия для уравнения с полным набором факторов.

Значение  индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.

При линейной зависимости признаков показатель множественной корреляции называется линейный коэффициент множественной корреляции или совокупный коэффициент корреляции, который может быть рассчитан по следующим формулам:

   (1.19)

где стандартизованные коэффициенты регрессии;

парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:

    (1.20)

где  определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

определитель матрицы межфакторной корреляции.

Для уравнения  определитель матрицы коэффициентов  парной корреляции примет вид:

    

        

                    (1.21)

       

определитель более низкого порядка: образуется, когда из матрицы коэффициентов  парной корреляции вычеркиваются первая строка и первый столбец:

      

                        (1.22)                     

     

   

Для двухфакторного линейного уравнения регрессии совокупный коэффициент корреляции определяется по выражению вида:

  (1.23)

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости признаков, но и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. В этом случае для оценки тесноты связи исследуемых признаков используется только индекс множественной корреляции .

Коэффициент (или индекс) множественной детерминации оценивает качество построенной модели в целом и рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции или квадрат совокупного коэффициента множественной корреляции:

или   (1.24)

Если число параметров при хi приближается к объему наблюдений n, то для оценки качества полученной многофакторной модели используется скорректированный индекс множественной детерминации, формула расчета которого имеет вид:

    (1.25)

где  k - число параметров при переменных х;

     n - число наблюдений.

Чем больше величина k, тем сильнее различия и R2.

Величина показателя множественной детерминации изменяется от 0 до 1. Низкое его значение означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы  - с одной стороны, а с другой стороны –рассматриваемая форма связи выбрана неверно.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом у и соответствующим фактором xi при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии. Рассчитываются по формуле:

  (1.26)

где  R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

R2 yx1x2…xi-1 xi+1…xp - тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора xi.

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:

(1.27)

При двух факторах  и  i =1 данная формула примет вид:

 

  (1.28)

Соответственно при i =2 частный коэффициент корреляции будет рассчитываться по формуле:

  (1.29)

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –до +1. Величина множественного коэффициента корреляции всегда больше (или равна) максимального частного коэффициента корреляции.

При линейной зависимости исследуемых признаков частные коэффициенты корреляции могут быть использованы для ранжирования факторов, при нелинейной их взаимосвязи эту функцию выполняют частные индексы детерминации.

Кроме того, широко используются при решении проблемы отбора факторов.

  1.  Оценка надежности результатов множественной регрессии, корреляции и фактора дополнительно включенного в модель

Статистическая значимость множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

    (1.30)

где   Dфакт. - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

       Dост.     -остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

 R2     - коэффициент (индекс) множественной детерминации;

 k     - число параметров при переменных х ;

 n      - число наблюдений.

Фактическое значение F –критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: k и  n-k-1.  Если фактическая величина критерия Фишера больше его табличного значения, то построенная многофакторная модель признается статистически значимой.

Частный F –критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого фактора в уравнении или, другими словами, оценивает целесообразность включения фактора в модель. В общем виде для фактора хi частный F –критерий определится как

  (1.31)

где R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

R2 yx1x2…xi-1 xi+1…xp - тот же показатель детерминации, но без включения в модель фактора xi.

Фактическое значение частного F –критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и  n-k-1.  Если фактическое значение частного критерия Фишера Fxi превышает табличное, то дополнительное включение фактора  xi в модель статистически оправданно.

Для двухфакторной модели оценка целесообразности включения одного фактора после другого осуществляется по формулам:

  •  фактора х1 после фактора х2:

                                                  (1.32)                                             

  •  фактора х2 после фактора х1:

   (1.33)

Оценка статистической значимости коэффициентов чистой регрессии производится с помощью t - критерия Стьюдента  по формулам:

  или   .    (1.34)

mbi- стандартная ошибка коэффициента регрессии bi, она может быть определена по формуле:

   (1.35)

где среднее квадратическое отклонение для признака у;

среднее квадратическое отклонение для признака xi;

R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

R2 xix1x2… xp - тот же показатель детерминации для зависимости фактора xi со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии;

n -k-1 –число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

Величина F –критерия, оценивая значимость уравнения регрессии в целом, характеризует одновременной и значимость коэффициента (индекса) множественной корреляции.

Аналогично можно оценивать и существенность частных показателей корреляции. Если величина частного критерия Фишера Fxi выше табличного, то это означает и значимость частного коэффициента корреляции.

  1.  Решение типовых задач

Задача 1. На основании анализа экономики 10 стран имеются данные  об ожидаемой продолжительности жизни х1 (лет), суточной калорийности питания х2 (ккал. на душу населения)  и индексе человеческого развития у.

Таблица 1.1- Исходные данные

Страна

Австрия

Австралия

Аргентина

Белоруссия

Бельгия

Бразилия

Англия

Венгрия

Германия

Греция  

х1

,2

,9

,2

,8

,2

,9

,2

,1

х2

у

,904

,922

,827

,763

,923

,739

,918

,795

,906

,867

Требуется:

  1.  Построить уравнение множественной регрессии линейного вида, применив оба метода оценки его параметров. Сделать экономический вывод.
  2.  Рассчитать средние и частные коэффициенты эластичности, сделать по ним выводы.
  3.  Оценить качество полученного уравнения множественной регрессии, используя показатель –ошибку аппроксимации.
  4.  Рассчитать коэффициенты частной корреляции, сравнить их с коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.
  5.  Определить множественный коэффициент корреляции и детерминации и сделать выводы.
  6.  Используя частный критерий Фишера, оценить целесообразность включения  в модель одного фактора после другого.
  7.   Оценить надежность полученных результатов: статистическую значимость уравнения в целом и ее параметров.

 

Решение

  1.  Линейное уравнение множественной регрессии у от х1 и х2 имеет вид: Для расчета его параметров применим метод определителей и метод стандартизации переменных. При использовании метода определителей по исходным данным рассчитываем: Расчеты рекомендуется выполнять в виде таблицы.

Таблица 1.2 - Расчеты для линейной множественной регрессии

N

x1

x2

y

x1*y

x2*y

x12

x22

x1*x2

1

,904

,608

2

,2

,922

,100

3

,9

,827

,288

4

,763

,884

5

,2

,923

,256

6

,8

,739

,365

7

,2

,918

,870

8

,9

,795

,366

9

,2

,906

,943

10

,1

,867

,713

Сумма

743,5

,564

,393

,07E+08

Среднее

74,35

,6

,8564

-

-

-

-

-

4,143

,722

,067

-

-

-

-

-

Определитель системы рассчитываем по формуле (1.8):         

       

 

       

Частные определители:   

     

  

     

         

  

 

          

 

  

Расчет параметров уравнения регрессии выполним по формулам (1.7):

       

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

С увеличением ожидаемой продолжительности жизни на 1 год при фиксированной суточной калорийности питания индекс человеческого развития повышается 0,164. С увеличением суточной калорийности питания на 1 ккал. на душу населения и фиксированной ожидаемой продолжительности жизни индекс человеческого развития снижается на 0,000034.

Для расчета параметров того же уравнения  применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет  - коэффициентов выполним, учитывая систему уравнений (1.10). Для этого рассчитаем парные коэффициенты линейной корреляции (табл.1.3):

Таблица 1.3 - Парные коэффициенты корреляции

у

х1

х2

у

1

х1

0,962

х2

0,428

,525

Линейные коэффициенты парной корреляции показывают, что связь между ожидаемой продолжительностью жизни и индексом человеческого развития тесная, прямая. Между суточной калорийностью питания и индексом человеческого развития умеренная, прямая. Умеренная, прямая межфакторная связь.

Получим уравнение

ty = 1,0107tx1 –,1064tx2.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1 и b2, используя формулы перехода (1.11) и значения среднего квадратического отклонения   из  табл. 1.2.:

Значение а определим из соотношения (1.12):

а =  0,8564 –,0164*74,35+0,000034*3260,6 = -0,25.

Уравнение регрессии в естественной форме:

Таким образом, получили ту же самую модель, что и методом определителей.

  1.  Средние коэффициенты эластичности, рассчитанные по формуле (1.14) составили:

По значению средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на индекс человеческого развития у ожидаемой продолжительности жизни х1, чем суточной калорийности питания х2: 1,42% против –,13%. Причем с увеличением ожидаемой продолжительности жизни х1 на 1% от своей средней величины и фиксированном воздействии суточной калорийности питания х2  индекс человеческого развития у в среднем возрастает на 1,42%. При росте суточной калорийности питания  х2 в среднем на 1% и фиксированном воздействии ожидаемой продолжительности жизни х1 индекс человеческого развития у в среднем снижается на –,13 %.

Для расчета частных коэффициентов эластичности по формуле (1.17) необходимо определить значения частных уравнений регрессии по формулам (1.16). Результаты расчета сведены в таблицу 1.4.

Таблица 1.4 –Расчет частных уравнений регрессии и коэффициентов эластичности

№

,%

,%

Аi, %

1

,900

,403

,854

-0,135

,897

,008

,774

2

,920

,394

,865

-0,120

,928

,007

,701

3

0,833

,435

,861

-0,126

,837

,012

,200

4

,752

,482

,862

-0,124

,758

,007

,682

5

,903

,401

,847

-0,144

,893

,032

,208

6

0,733

,495

,868

-0,117

,744

,006

,642

7

,903

,401

,857

-0,130

,904

,015

,532

8

,800

,453

,852

-0,138

,795

,000

,004

9

,903

,401

,854

-0,134

,901

,006

,581

10

,918

,395

0,846

-0,146

,907

,046

,619

Как видим, частные коэффициенты эластичности по странам несколько отличаются от аналогичных средних показателей по совокупности наблюдений. Так, в Бразилии произошел наибольший процентный рост индекса человеческого развития у по сравнению с другими странами с изменением ожидаемой продолжительности жизни х1 на 1 %  при условии, что х2  зафиксирован на среднем уровне. В той же стране наблюдается наименьшее процентное снижение индекса человеческого развития у при изменении суточной калорийности питания х2 на 1 %  и закреплении ожидаемой продолжительности жизни х1 на среднем уровне.

  1.  Средняя ошибка аппроксимации для множественной регрессии рассчитывается по той же формуле, что и для парной регрессии:

    (1.32)

где теоретическое значение результата, полученное путем подстановки в построенную модель соответствующих значений факторов хi .

Отсюда, прежде чем рассчитать среднюю ошибку аппроксимации, необходимо определить теоретическое значение результативного признака

Результаты расчета средней ошибки аппроксимации представлены в табл. 1.4.  

Средняя ошибка аппроксимации составит:

Поскольку величина средней ошибки аппроксимации не превышает (8 –) %, то линейная форма  модели, описывающей зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания, подобрана, верно.

  1.  Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитаны по рекуррентным формулам (1.28) –(1.29) и составили:

Если сравнить  значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что теснота и направление связи для ожидаемой продолжительности жизни и индекса человеческого развития не изменилась, в то же время для суточной калорийности питания  и индекса человеческого развития связь осталась умеренной, но изменилось ее направление с прямого на обратное. Это объясняется имеющей место межфакторной связью.

  1.  Множественный коэффициент корреляции для линейной модели рассчитаем по формулам (1.19) и (1.23):

 

или .

Расчет по обеим формулам позволил получить одинаковый результат: связь между индексом человеческого развития, ожидаемой продолжительностью жизни и суточной калорийностью питания тесная прямая.

Для расчета множественного коэффициента детерминации используем формулу (1.24), согласно которой R2 x1x2 = 0,9632 = 0,927.

Вариация индекса человеческого развития на 92,7 % объясняется вариацией ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания.

  1.  Целесообразность включения в уравнение фактора х1 после того, как в него был включен фактор х2 оценивает частный критерий Фишера Fx1. Соответственно, Fx2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1.они рассчитываются по формулам (1.32) –(1.33):

F табл. = 5,59 при

Сравнивая F табл. и F хi., приходим к выводу о нецелесообразности включения в модель фактора х2 после фактора х1, так как прирост доли объясненной вариации результативного признака за счет включения дополнительного фактора х2  в модель  статистически незначим.

  1.  Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проводим с помощью критерия Фишера, который рассчитывается по формуле (1.30):

F табл. = 4,74 при

Сравнивая F табл. и F, делаем заключение о статистической значимости построенной линейной модели. Следовательно, ее можно использовать для анализа и прогноза.

Существенность параметров полученной модели оценим, используя критерий Стьюдента, рассчитанный по формуле (1.34):

t табл. = 2,36 при

Сравнивая t табл и t факт. приходим к выводу, что так как  >2,36 коэффициент регрессии b1 является статистически значимым, надежным. Так как < 2,36, приходим к заключению, что величина b2 является статистически незначимой и фактор –суточную калорийность питания нет смысла включать в эконометрическую модель.

  1.  Практические задачи

Задача 1.

Имеются следующие данные о курсе американского доллара х1,(руб.), фондовом индексе х2 и котировке акций у,(%) за 10 дней:

Таблица 1.4 –Котировка акций, курс американского доллара и фондовый индекс

№

1

х1

,75

,7

,54

,9

,88

,35

,98

,1

,05

,9

х2

,2

,7

,1

,9

,6

,8

,3

,4

,5

у

Задание :

  1.  Построить уравнение множественной регрессии линейного вида, применив оба метода оценки его параметров. Сделать экономический вывод.
  2.  Рассчитать средние коэффициенты эластичности, сделать по ним выводы.
  3.  Оценить качество полученного уравнения множественной регрессии, используя показатель –ошибку аппроксимации.

Задача 2.

По 19 предприятиям оптовой торговли изучается зависимость объема реализации (у) от размера торговой площади (х1) и товарных запасов (х2). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:

  1.  y = 25 + 15 х1    R2 = 0,90; 
  2.  y = 42 + 27 х2    R2 = 0,84; 
  3.  y = 30 + 10 х1  +  8 х2                     R2 = 0,92; 

                     (2,5)       (4,0)   

  1.  y = 21+ 14 х1  +  20 х2  +  0,6 х22 R2 = 0,95. 

                 (5,0)       (12,0)         (0,2)

В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.

Задание

  1.  Проанализируйте тесноту связи результата с каждым из факторов.
  2.  Рассчитайте критерий Фишера для каждого уравнения, сравните его с табличным значением и сделайте вывод.
  3.  Оцените целесообразность включения одного фактора после другого в модель, используя частный критерий Фишера.
  4.  Оцените статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии в уравнениях (3) и (4).
  5.  Выберите наилучшее уравнение регрессии, обоснуйте принятое решение.

Задача 3.

Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:

y = 21,1 –,2 х1 + 0,95 х2 + 3,57 х3                                  R2 = 0,7,

  (1,8)        (0,54)        (0,83)

где  у  –цена объекта, тыс. руб.;

х1 –расстояние от центра города, км;

х2  - полезная площадь объекта, кв. м;

х2 - число этажей в доме, ед;

R2 -  коэффициент множественной детерминации.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.

Задание

  1.  Сделайте экономические выводы  по величине чистых коэффициентов регрессии.
  2.  Оцените надежность полученных результатов анализа рынка жилья.

Задача 4.

По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции у (млн. руб.) от количества отработанных за год человеко –часов х1 (тыс. чел. –ч.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования х2 (млн. руб.):

Уравнение регрессии

у = 35 + 0,06 х1 +2,5 х2

Множественный коэффициент корреляции

0,9

Сумма квадратов отклонений расчетных значений результата от фактических

3000

Задание

  1.  Сделайте экономический вывод по  уравнению регрессии.
  2.  Определите множественный коэффициент детерминации в этой модели и сделайте по нему вывод.
  3.  Выполните дисперсионный анализ (рассчитайте  общую, факторную и остаточную дисперсию на 1 степень свободы).

Задача 5.

Анализируя зависимость объема производства продукции предприятиями отрасли черной металлургии от затрат труда и расхода чугуна. Для этого по 20 предприятиям собраны следующие данные: у - объем продукции предприятия в среднем за год (млн. руб.); х1 –среднегодовая списочная численность рабочих предприятия (чел); х2 - средние затраты чугуна за год (млн. т). Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:

Таблица 1. 5 –Матрица парных коэффициентов корреляции

У

Х1

Х2

У

1

Х1

0,78

Х2

0,86

,96

Задание

  1.  Охарактеризуйте тесноту и направление связи между исследуемыми экономическими признаками.
  2.  Определите значения коэффициентов детерминации в уравнениях парной регрессии у = a + bx1 и у = a + bx2. Какое из этих уравнений лучше?
  3.  Определите частные коэффициенты корреляции для линейного уравнения множественной регрессии.
  4.  Найдите уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.
  5.  Рассчитайте множественный коэффициент корреляции. Сделайте по нему вывод.

Задача 6.

По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых у (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:

х1 –количество осадков в период вегетации (мм);

х2 - средняя температура воздуха (0 С).

Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:

Таблица 1.6 –Матрица парных коэффициентов корреляции

У

Х1

Х2

У

1

Х1

0,6

Х2

-0,5

-0,9

Задание

  1.  Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных частных коэффициентов корреляции с парными.
  2.  Постройте уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.
  3.  Оцените целесообразность включения одного фактора после другого в модель множественной регрессии.

Задача 7

По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Таблица 1.7 –Матрица парных коэффициентов корреляции

У

Х1

Х2

Х3

У

1

Х1

0,3

Х2

0,6

,1

Х3

0,4

,15

,8

Задание

  1.  Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).
  2.  Постройте уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.
  3.  Оцените целесообразность включения переменной х1 в модель после введения в нее переменных х2 и х3.

Задача 8

По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн. руб.):

Таблица 1. 8 –Результаты регрессионного анализа

Множественный коэффициент детерминации

0,81

Множественный коэффициент корреляции

? ? ?

Уравнение регрессии

y = ??? + 0,48 lnx1 +0,62 lnx2

Стандартные ошибки параметров

ma =2;  mb1 = 0,06;  mb2 = ???

Расчетный критерий Стьюдента для параметров

ta =1,5;  tb1 = ???;  tb2 = 5

Задание

  1.  Восстановите пропущенные характеристики.
  2.  Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х1 и х2 в явном виде.
  3.  С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
  4.  Сделайте экономические выводы по результатам регрессионного анализа.

Задача 9

В макроэкономических исследованиях широко используется производственная функция, согласно которой выпуск у (например, ВВП) следующим образом зависит от капитала К и числа занятых L:

У = а*Кb1*L b2.

Можно ли с помощью обычного МНК оценить параметры производственной функции? Если да, то как? Покажите ход решения задачи в общем виде. Поясните экономический смысл параметров.

Задача 10.

Зависимость спроса на свинину у от цены на нее х1 и от цены на говядину х2  представлена уравнением

lny = 0,1274 –,2143lnx1 + 2,8254ln x2 .

Задание

  1.  Представить данное уравнение в естественной форме.
  2.  Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что t –критерий для параметра b1 при х1 составил 0,827 а для параметра b2  при х2 –,015.
  3.  Оценить силу влияния каждого фактора на результат.

Задача 11

По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн. руб.):

Таблица 1. 8 –Результаты регрессионного анализа

Множественный коэффициент детерминации

???

Множественный коэффициент корреляции

0,85

Уравнение регрессии

y = ??? + 0,48 x1 +20 x2

Стандартные ошибки параметров

ma =2;  mb1 = 0,06;  mb2 = ???

Расчетный критерий Стьюдента для параметров

ta =1,5;  tb1 = ???;  tb2 = 4

Задание

  1.  Восстановите пропущенные характеристики.
  2.  Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х1 и х2 в явном виде.
  3.  С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
  4.  Сделайте экономические выводы по результатам регрессионного анализа.

Задача 12

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от трех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг) и количества осадков в период вегетации –О (г). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:

)   R2 = 0,75.

Таблица 1.9 –Доверительные интервалы

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L

М

Нижняя

0,4

???

Верхняя

???

,4

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

2)  R2 = 0,77.

Таблица 1.10 –Доверительные интервалы

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L

М

О

Нижняя

0,1

???

???

Верхняя

???

,3

,5

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

Задание

  1.  Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.
  2.  Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.
  3.  Рассчитайте критерий Стьюдента при факторе О во 2 –ом уравнении.

Задача 13

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от четырех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг), количества осадков в период вегетации –О (г) и качества почвы Q (баллов). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:

1)  R2 = 0,77.

Таблица 1.11 –Доверительные интервалы

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L

М

О

Нижняя

0,1

???

???

Верхняя

???

,3

,5

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

)  R2 = 0,81.

Таблица 1.12 –Доверительные интервалы

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L

М

О

Q

Нижняя

0,3

-0,2

???

,4

Верхняя

???

???

-1,2

,2

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

Задание

  1.  Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.
  2.  Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии на примере одного из факторных признаков.
  3.  Оцените целесообразность включения в модель y = (L, M, O) фактора Q.

Задача 14

Производственная функция, полученная по данным за 1990 –гг., характеризуется уравнением

lnP = 0,552 + 0,2761lnZ + 0,5211ln K .

(0,584) (0,065)

R2PZK = 0,9843, R2PZ = 0,7826,   R2PK = 0,9843.

где Р –индекс промышленного производства;

Z - численность рабочих;

К –капитал.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание  

  1.  Дайте интерпретацию параметров уравнения регрессии.
  2.  Оцените значимость коэффициентов регрессии и сделайте выводы.
  3.  Оцените значимость уравнения регрессии в целом.
  4.  Найдите величины частных критериев Фишера и сделайте выводы о целесообразности включения факторов в модель.
  5.  Какова роль факторов, не учтенных в модели, в вариации индекса промышленного производства.

Задача 15

По 30 наблюдениям получены следующие данные:

Таблица 1.13 –Данные регрессионного анализа

Уравнение регрессии

Коэффициент детерминации

0,65

Задание

  1.  Найдите скорректированный коэффициент корреляции, сделайте вывод о тесноте связи исследуемых признаков.
  2.  Оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом.
  3.  Определите средние коэффициенты эластичности.
  4.  Рассчитайте значение параметра а.

Задача 16

Зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от объемов производства продукции А –х1 (тыс. ед.) и продукции Б –х2 (тыс. ед.) характеризуется следующим образом:

Таблица 1.14 –Данные регрессионного анализа

Уравнение регрессии в стандартизованном виде

Коэффициент детерминации

0,95

Коэффициент вариации у, Сv,

27%

Коэффициент вариации x1, С x1,

45 %

Коэффициент вариации x2, С x2,

40 %

Задание

  1.  Сделайте выводы о силе влияния факторов на результат.
  2.  Определите средние коэффициенты эластичности, сделайте по ним выводы.
  3.  Оцените значимость уравнения регрессии, учитывая, что оно построено по 30 наблюдениям.

Задача 17

Имеется информация по 20 наблюдениям

Таблица 1. 15 –Информация для эконометрического анализа

Признак

Среднее

значение

Коэффициент

вариации, %

Уравнение регрессии

у

35

х1

16

х2

8

Задание

  1.  Оцените статистическую значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что rx1x2  = -0,35.
  2.  Оцените статистическую значимость коэффициентов в уравнении множественной регрессии.
  3.  Определите показатели частной корреляции.
  4.  Рассчитайте средние коэффициенты эластичности.

Задача 18

Имеется информация по 18 наблюдениям

Таблица 1. 16 –Информация для эконометрического анализа

Признак

Среднее

значение

Коэффициент

вариации, %

Уравнение регрессии

у

23

х1

6

х2

8

Задание

  1.  Оцените статистическую значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что rx1x2  = -0,5.
  2.  Оцените статистическую значимость коэффициентов в уравнении множественной регрессии.
  3.  Определите показатели частной корреляции.
  4.  Рассчитайте скорректированный коэффициент множественной корреляции.

Задача 19

По совокупности 30 предприятий концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника х1 (ед.) и индекса цен на продукцию х2 (%).

Таблица 1.17 –Данные эконометрического исследования

Признак

Среднее

значение

Среднее квадратическое отклонение

Парный коэффициент корреляции

у

250

r yx1 =0,68

х1

47

r yx2 =0,63

х2

112

r х1x2 =0,42

Задание

  1.  Постройте линейные уравнения парной регрессии, оцените их статистическую значимость.
  2.  Найдите уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном виде.
  3.  Рассчитайте множественный коэффициент корреляции, общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

Задача 20

По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от производства продукции –х1 (тыс. ед.) и уровня механизации –х2 (%). Полученные данные характеризуется следующим образом:

Таблица 1.18 –Данные анализа работы предприятий

Признак

Среднее

значение

Среднее квадратическое отклонение

Парный коэффициент корреляции

у

1000

r yx1 =0,77

х1

420

r yx2 =0,43

х2

41,5

r х1x2 =0,38

Задание

  1.  Постройте  уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.
  2.  Определите показатели частной и множественной корреляции.
  3.  Найдите средние коэффициенты эластичности и сделайте вывод о силе влияния факторов на результат.
  4.  Рассчитайте общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

Задача 21

Изучается зависимость по 25 предприятиям концерна потребления материалов у (тонн) от энерговооруженности труда –х1 (кВт * час на одного рабочего) и объема произведенной продукции –х2 (тыс. ед.).

Таблица 1.19 –Данные анализа работы предприятий

Признак

Среднее

значение

Среднее квадратическое отклонение

Парный коэффициент корреляции

у

12

r yx1 =0,52

х1

4,3

,5

r yx2 =0,84

х2

10

,8

r х1x2 =0,43

Задание

  1.  Сделайте вывод о тесноте связи исследуемых признаков.
  2.  Постройте  уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров.
  3.  Определите показатели частной и множественной корреляции.
  4.  Найдите средние коэффициенты эластичности и сделайте вывод о силе влияния факторов на результат.
  5.  Рассчитайте общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

Задача 22

По 20 семьям изучалось потребление мяса у  (кг на душу населения) от дохода –х1 (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы –х2 (кг на душу населения). Результаты оказались следующие:

Таблица 1. 20 –результаты регрессионного анализа

Уравнение регрессии

Стандартные ошибки параметров

ma =20;  mb1 = 0,01;  mb2 = 0,25

Множественный коэффициент корреляции

0,85

Задание

  1.  Используя критерий Стьюдента, оценить значимость параметров уравнения.
  2.  Рассчитайте общий критерий Фишера и сделайте выводы о статистической значимости уравнения регрессии.
  3.  По частным критериям Фишера оцените целесообразность включения в модель:

а) фактора х1 после фактора х2;

б) фактора х2 после фактора х1.

Задача 23

По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась зависимость производительности труда у  от уровня квалификации рабочих –х1 семьи) и энерговооруженности их труда –х2. Результаты оказались следующие:

Таблица 1. 21 –Результаты регрессионного анализа

Уравнение регрессии

Стандартные ошибки параметров

ma =0,5;  mb1 = 2;  mb2 = ???

Расчетный критерий Стьюдента для параметров

ta =3,0;  tb1 = ???;  tb2 = 5,0

Множественный коэффициент корреляции

0,85

Задание

  1.  Определите параметр а и заполните пропущенные значения.
  2.  Оцените значимость уравнения в целом.
  3.  Выявите, какой из факторов оказывает более сильное влияние на результат.
  4.  Реализация типовых задач на компьютере

Получить уравнение множественной регрессии на компьютере можно с помощью ППП Excel (функции ЛИНЕЙН и инструмента РЕГРЕССИЯ), ППП MS Excel (описательная статистика) и  Statgraphics.

  1.  Решение задач  с помощью ППП Excel (функции ЛИНЕЙН)

Учитывая, что при построении уравнения множественной регрессии следует исключать дублирующие факторы, рассчитываются парные коэффициенты корреляции переменных, по величине которых определяют их коллинеарность.

Матрицу парных коэффициентов корреляции можно рассчитать, используя инструмент анализа данных, Корреляция. Для этого:

  1.  В главном меню последовательно выберите пункты Сервис/Анализ данных/Корреляция. Щелкните по кнопке ОК;
  2.  Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 1.1):

Входной интервал –диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть одна или несколько строк столбцов;

Группирование –по столбцам (или по строкам);

Метки –флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал –достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Щелкните по кнопке ОК.

3.   Результаты вычислений  - матрица парных коэффициентов корреляции –представлены на рис. 1.2.

               

Рис.1.1 Диалоговое окно вводов параметров инструмента Корреляция

    

Рис. 1.2. Матрица коэффициентов парной корреляции

Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии  Порядок вычисления следующий:

  1.  введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
  2.  выделите область пустых ячеек 5 х (P+1) (5 строк, (P+1) столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1 х (P+1) –для получения только оценок коэффициентов регрессии;
  3.  активизируйте мастер функций любым из способов:
  4.  в главном  меню выберите Вставка /Функция;

Рис. 1. 3. Диалоговое окно «Мастер функций»

  1.  на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;
  2.  в окне Категория  (Рис.1.3) выберите Статистические, в окне Функция –ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;
  3.  заполните аргументы функции (рис.1.4) по исходным данным (рис. 1.2):

Pис. 1.4.  Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

Известные значения у –диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака:

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении. Если Константа =1 (Истина), то свободный член рассчитывается , если Константа = 0 , то свободный член равен 0.;

Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика =1 (Истина), то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

  1.  нажмите на комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift>< Enter>;
  2.  данные регрессионного анализа будут выводиться в следующем порядке:

Значение коэффициента  b р

. . .

Значение коэффициента  b1

Значение коэффициента  а

Стандартная ошибка коэффициента b p (m b p)

. . .

Стандартная ошибка коэффициента b1 (mb1)

Стандартная ошибка коэффициента  а (m a)

Коэффициент детерминации  R2

. . .

Стандартная ошибка результата  (m)

Критерий Фишера  F-критерий

. . .

Остаточное число степеней свободы (df)

Факторная сумма квадратов - SS факт.

. . .

Остаточная сумма квадратов -  SS ост.

Для данных вышеприведенного примера результат вычисления множественной регрессии ЛИНЕЙН представлен на рис.1.5.

Рис. 1.5. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Множественная линейная регрессия имеет вид:

.

Множественный коэффициент детерминации R2 = 0,644. Это говорит о том, что доля вариации результата у за счет анализируемых факторов х1 и х2 составляет 64,4 %. Доля вариации от неучтенных в анализе факторов - 35,6 %.

Расчетное значение критерия Фишера  - F расч.=  7,242. Табличное  значение критерия Фишера  при df факт.= 2 и  df ост. = 8 составляет - F табл. = 4,46. Следовательно, полученное уравнение множественной регрессии линейного вида статистически значимо с вероятностью ошибки 5%.

Для получения нелинейной регрессии необходимо выполнить преобразование исходных данных, исходя из формы модели. Например, для получения модели в виде полинома второго порядка:

факторы х1, х2, . . . хр  следует возвести в квадрат и в диалоговом окне  ввода аргументов функции ЛИНЕЙН при заполнении параметра входной интервал Х следует указать все столбцы, содержащие значения факторных признаков. Результаты анализа (на основании исходных данных рис. 1. 2) представлены на рис.1.6.

 

 

 

Рис.1.6. Результат применения функции ЛИНЕЙН для получения нелинейной регрессии в виде полинома второго порядка

По результатам вычислений составим уравнение множественной регрессии

.

Множественный коэффициент детерминации R2 = 0,95. Это говорит о том, что доля вариации результата у за счет анализируемых факторов х1 и х2  и их квадратов составляет 95 %. Доля вариации от неучтенных в анализе факторов снизилась до 5,0 %.

Расчетное значение критерия Фишера  - F расч.=  26,71. Табличное  значение критерия Фишера  при df факт.= 4 и  df ост. = 6 составляет - F табл. = 4,59. Следовательно, полученное уравнение множественной регрессии линейного вида статистически значимо с вероятностью ошибки 5%.

  1.  Решение задач  с помощью ППП Excel (инструмент Регрессия)

Эта операция проводится с помощью инструмента анализа данных Регрессия. Для этого:

  1.  В главном меню последовательно выберите пункты Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;
  2.  Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис.1.7):

Входной интервал У –диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал Х –диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Метки –флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал –достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне.

Щелкните по кнопке ОК.

Рис. 1.7. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных вышеприведенного примера представлены на рис 1.8.

Рис. 1.8. Результат применения инструмента Регрессия

По результатам вычислений составим уравнение множественной регрессии вида

.

Критерий Стьюдента  t - статистики имеют расчетные значения:

Табличное значение критерия Стьюдента составляет  tтабл. = 2,31 при . Расчетные значения критерия Стьюдента больше  его табличных значений, следовательно, можно сделать вывод о существенности параметров уравнения.

  1.  Контрольные задания

Задание к задачам 1- 6.

Используя ППП Exsel:

  1.  Рассчитайте парные коэффициенты корреляции и сделайте  по ним вывод.
  2.  Постройте множественное уравнение регрессии с полным перечнем факторов и  сделайте экономическую интерпретацию  его параметров.
  3.  Оцените статистическую значимость множественного уравнения в целом и его параметров.
  4.  Оцените качество построенной модели, используя ошибку аппроксимации и коэффициент множественной детерминации.
  5.  Рассчитайте средние и частные коэффициенты эластичности, а также частные коэффициенты корреляции, выполните анализ.

Задача 1

Имеются данные о рентабельности производства шерсти по 18 административным районам области за год:

х1 - настриг шерсти с одной овцы, кг;

х2 - затраты на 1 центнера шерсти, человеко –часов;

х3 - себестоимость 1 центнера, руб;

у – уровень рентабельности, %.

Таблица 1. 22 –Рентабельность производства шерсти

№ района

х1

х2

х3

у

1

,3

,1

,3

,2

2

,4

,3

,9

,9

3

,5

,3

,2

,7

4

,9

,1

,7

,9

5

,6

,9

,3

,0

6

,3

,8

,8

,0

7

,4

,0

,0

,4

8

,7

,5

,5

,2

Продолжение табл. 1.22.

9

,4

,7

8550,3

,3

10

,5

,6

,7

,0

11

,9

,0

,6

,4

12

,7

,4

,5

,0

13

,4

,5

,4

,9

14

,0

,8

,2

,1

15

,8

,5

,8

,6

16

,5

,7

,9

,5

17

,2

,8

,6

,8

18

,1

,5

,5

,1

Задача 2

Имеются данные об уровне убыточности производства мяса птицы по 20 административным районам области за год:

х1- затраты на 1 центнера прироста, человеко –часов;

х2 - затраты на 1 центнера прироста, руб.;

х3 - себестоимость 1 центнера, руб.;

у – уровень убыточности, %.

Таблица 1. 23 –Уровень убыточности производства мяса птицы

№ района

х1

х2

х3

у

1

,9

,7

,1

,7

2

,3

,6

,2

,1

3

,8

,0

,6

,3

4

,4

,7

,9

,5

5

,4

,6

,5

,2

6

,1

,8

,0

,7

7

,5

,6

,5

,7

8

,7

,7

,4

,3

9

,1

,8

,9

,6

10

,8

,4

,4

,4

11

,3

,7

,9

,2

12

,0

,3

,1

,2

13

107,1

,9

,8

,9

14

,3

,1

,3

,7

15

,9

,2

,1

,0

16

110,8

,2

,3

,6

17

,6

,1

,8

,8

18

,7

,3

,3

,7

19

,6

,3

,4

20

,4

,2

,0

,3

Задача 3

Имеются данные об уровне рентабельности и удельном весе продукции собственного производства и покупной в товарообороте 15 предприятий общественного питания за год:

х1- удельный вес в товарообороте продукции собственного производства, %;

х2 - удельный вес в товарообороте покупной продукции, %;

у – уровень рентабельности, %.

Таблица 1. 24 –Уровень рентабельности  предприятий общественного питания

№ предпр.

1

,2

,8

,73

2

,2

,8

,41

3

,2

,8

,03

4

,8

,2

,4

5

,5

,5

,53

6

,1

,9

,13

7

,5

,5

,83

8

,9

,1

,51

9

,2

,8

,13

10

,8

,2

,5

11

,8

,2

,71

12

,1

,9

,28

13

,0

,0

,25

14

,2

,8

,61

15

,2

,8

,23

Задача 4

Имеются данные об уровне рентабельности и показателям хозяйственной деятельности по 15 торговым предприятиям за год:

х1- производительность труда, у. е.;

х2 –заработная плата, у. е.;

х3 –относительный уровень издержек обращения, %;

у – уровень рентабельности, %.

Таблица 1. 25 –Уровень рентабельности  торговых предприятий

№ предпр.

х1

х2

х3

у

1

14,91

,2

2

,05

,41

3

,77

,23

4

,55

,72

5

,21

,14

6

,2

,4

7

,23

,78

8

,97

,83

9

,05

,07

10

9156

,45

,1

11

,13

,1

12

,33

,21

13

,23

,7

14

9383

,95

,55

15

,17

,9

Задача 5

Имеются данные об уровне рентабельности и показателям хозяйственной деятельности по 15 предприятиям общественного питания за год:

х1- удельный вес в товарообороте продукции собственного производства, %;

х2 - удельный вес в товарообороте покупной продукции, %;

х3 –трудоемкость в расчете на 100000 у. е. товарооборота, чел.;

х4–относительный уровень издержек обращения, %;

у – уровень рентабельности, %.

Таблица 1. 26 –Уровень рентабельности предприятий общественного питания

№ пред.

Х1

х2

х3

х4

у

1

,6

,4

,51

,92

2

,6

,4

,2

,17

3

,5

,5

,1

,0

4

,2

,8

,79

,04

5

,6

,4

,44

,14

6

,8

,2

,16

,0

7

,2

,8

,04

,13

8

,2

,8

,91

,81

9

,6

,4

,13

,17

10

,1

,9

,3

,01

11

,6

,4

,7

,43

12

,8

,2

,44

,64

13

,0

,0

,3

,75

14

,4

,6

,65

,7

15

,6

,4

,09

,02

Задача 6

Имеются данные об уровне трудоемкости товарооборота и показателям хозяйственной деятельности по 15 предприятиям общественного питания за год:

х1- удельный вес в товарообороте продовольственных товаров, %;

х2 – удельный вес в товарообороте непродовольственных товаров, %;

х3 –удельный вес товарооборота общественного питания, %;

у – уровень трудоемкости товарооборота, %.

Таблица 1. 27 –Уровень трудоемкости товарооборота

№ пред.

Х1

х2

х3

у

1

,1

,9

,9

2

,2

,8

,6

3

,3

,7

,5

4

,9

,1

,0

5

,2

,8

,0

6

,5

,5

,7

7

,2

,8

,3

8

,8

,2

,9

9

,2

,8

,1

Продолжение табл. 1. 27

10

,3

,7

,0

11

,1

,9

,9

12

,0

,0

,7

13

77,3

,7

,7

14

,5

,5

,7

15

,5

,5

,4

Контрольные вопросы

  1.  Назовите, в чем состоит спецификация модели множественной регрессии.
  2.  Сформулируйте требования, предъявляемые к факторам для включения их в модель множественной регрессии.
  3.  К каким трудностям приводит мультиколлинеарность факторов, включенных в модель, и как они могут быть разрешены?
  4.  Назовите методы устранения мультиколлинеарности факторов.
  5.  Что означает взаимодействие факторов и как оно может быть представлено графически?
  6.  Назовите способы оценки параметров множественной регрессии?
  7.  Приведите порядок вычисления параметров множественной модели методом наименьших квадратов.
  8.  В чем заключается метод оценки параметров уравнения множественной регрессии с использованием стандартизованных переменных?
  9.  Как интерпретируются коэффициенты множественной регрессии степенной  модели?
  10.  Как интерпретируются коэффициенты множественной регрессии линейной модели?
  11.   Какие эконометрические параметры используются для оценки сравнительной силы воздействия факторов на результат?
  12.   Как рассчитываются коэффициенты множественной корреляции и детерминации?
  13.   Для чего используются частные коэффициенты эластичности и как их рассчитать?
  14.   Каково назначение частной корреляции при построении множественного уравнения регрессии?
  15.   Составьте матрицу частных коэффициентов корреляции разного порядка для регрессионной модели с четырьмя факторами.
  16.   Как оценить статистическую значимость множественной модели в целом?
  17.   Как оценить статистическую значимость параметров уравнения множественной регрессии?
  18.   Что такое частный критерий Фишера и для чего он рассчитывается?
  19.   Как связаны между собой критерий Стьюдента, используемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии, и частные критерии Фишера?
  20.   При каких условиях строится уравнение множественной регрессии с фиктивными переменными?
  21.   Как трактуются коэффициенты модели, построенной только на фиктивных переменных?
  22.   Сформулируйте основные предпосылки применения МНК для построения регрессионной модели.
  23.   Как можно проверить наличие гомо –или гетероскедастичности остатков?
  24.   Как оценивается отсутствие автокорреляции остатков при построении статистической регрессионной модели?

  1.  Система эконометрических уравнений

Не всегда получается описать адекватно сложное социально –экономическое явление с помощью только одного уравнения. Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

  1.  Виды систем уравнений

Различают несколько видов систем уравнений:

  •  система независимых уравнений –когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

                   (2.1)

                         

  •  система рекурсивных  уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

(2.2)

                                                       

  •  система взаимосвязанных (совместных) уравнений –когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других –в правую:

(2.3)

Такая  система уравнений называется структурной формой модели.

Системы эконометрических уравнений включают множество эндогенных, экзогенных и предопределенных переменных.

Эндогенные переменные –взаимозависимые переменные (у), которые определяются внутри модели (системы). Их число равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные –независимые переменные (х), которые определяются вне системы и влияющие на эндогенные переменные.

Предопределенные переменные –экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы (yt-1).

Коэффициенты а и b при переменных называются структурными коэффициентами модели.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели неприемлемо и поэтому структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели. Это система линейных функций эндогенных переменных от всех экзогенных и предопределенных переменных системы:

          (2.4)

где - коэффициенты приведенной формы модели.

  1.  Проблема идентификации. Необходимое и достаточное условие

Зная оценки приведенных коэффициентов модели, можно определить параметры структурной формы модели, но не всегда, а только если модель является точно идентифицируемой.

Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированы.

Модель считается не идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно не идентифицированное.

Модель считается сверх идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.

Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно однозначно найти по коэффициентам приведенной формы модели.

Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно получить  более одного численного значения.

Уравнение называется недентифицированным, если оценки его структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной формы модели.

Выполнение условия идентифицируемости проверяется для каждого уравнения системы по правилу: уравнение считается идентифицируемым, если число экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j –oм  уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1 = H –уравнение идентифицируемо;

D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации - уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Ранг матрицы –размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Рассмотрим пример.

Пусть имеется система:

                    (2.5)

Требуется проверить каждое уравнение структурной модели на идентификацию, применив необходимое и достаточное условие идентификации.

Решение:

В данной системе у1, у2 и у3  - эндогенные переменные (Н = 3);

х1, х2 и х3 –экзогенные переменные (D = 3).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Первое уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у1, у2), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют у2 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

у2

х2

Второе

-1

а22

Третье

b32

0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе  уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит три эндогенных переменных: Н = 3 (у1, у2,, у3,), отсутствуют две экзогенных переменных: D = 2 (х1 ,х3 ).

Выполняется необходимое равенство: 2 + 1 = 3, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют х1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

х1

х3

Второе

а11

а13

Третье

а31

а33

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье  уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у2,, у3), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют у1 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение

Отсутствующие переменные

у1

х2

Второе

-1

0

Третье

b21

а22

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема.

  1.  Методы оценивания параметров структурной модели

Для решения точно идентифицируемого уравнения используется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), для решения сверхидентифицированных –двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм косвенного МНК включает три шага:

  1.  Составление приведенной формы модели.
  2.  Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ( ).
  3.  Путем алгебраических преобразований по оценкам приведенных коэффициентов определение параметров структурной формы модели.

Рассмотрим пример. Пусть дана структурная форма модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:

                                                                           (2.6)

                                                                                

Для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по семи регионам:

Таблица 2.1 –Исходные данные для построения структурной формы модели

№

у1

у2

х1

х2

1

-3

-1

-2,1

-0,4

2

-2

-1,1

,6

3

-1

,9

-1,4

4

0

-2

-0,1

-1,6

5

1

-3

-0,1

-0,4

6

2

,9

-0,4

7

3

,9

,6

Ср.

,1

,4

Шаг1. Приведенная форма модели составит:

            (2.7)

                                                                             

Шаг2. Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем обычный МНК и определяем  - коэффициенты.

Чтобы упростить процедуру расчетов, можно использовать отклонения от средних уровней: .

Для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

Для расчета приведенных коэффициентов по исходным данным определяем   Расчеты ведем в таблице 2.2.

Таблица 2. 2 –Расчеты приведенных и структурных коэффициентов

№

у1х1

у1х2

х1х2

х12

х22

у2х1

у2х2

+х1=z

у1*z

z2

1

,3

,2

,84

,41

,16

,1

,4

-12,63

-14,73

,18

,86

2

,2

-1,2

-0,66

,21

,36

-2,23

-3,33

,65

,06

3

-1,9

,4

-2,66

,61

,96

,9

-1,4

1,87

,77

-3,77

,24

4

0,16

,01

,56

,2

,2

-9,17

-9,27

,00

,93

5

-0,1

-0,4

,04

,01

,16

,3

,2

-2,67

-2,77

-2,77

,65

6

-0,8

-3,6

,81

,16

-0,8

2,31

,21

,43

,33

7

,7

,8

,54

,81

,36

,7

,8

7,73

,63

,90

,55

Сумма

,2

-5,34

,87

,72

,2

,4

-14,77

-14,47

,62

,62

Имеем:

                                    

Решая данную систему, получим первое уравнение приведенной формы модели:

у1 = 4,939 х1+4,96 х2..

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим:

Для расчета приведенных коэффициентов этой системы по исходным данным  дополнительно определяем   Расчеты в таблице 2.2.

Применительно к нашему примеру имеем:

                            

,

Откуда второе приведенное уравнение составит:

у2 = 4,98 х1+5,42 х2..

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

Шаг 3. Переходим о приведенной формы модели к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений:

 

Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х2, выразив его из второго уравнения приведенной формы модели и подставив в первое:

Тогда

- первое уравнение структурной модели.

Чтобы найти другое уравнение структурной модели из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х1, выразив его из первого уравнения и подставив во второе:

Тогда

- второе уравнение структурной модели.

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

  1.  Составление приведенной формы модели.
  2.  Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ( ).
  3.  Определение расчетных значений эндогенных переменных, которые находятся в правой части сверхидентифицируемого уравнения структурной формы модели.
  4.  Определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение экзогенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных.

Для того, чтобы привести вышеприведенную идентифицируемую модель (2.5) в сверхидентифицируемую наложим ограничения на ее параметры, а именно b12 = a11. Тогда она примет вид:

   (2.8)                   

 

Bыполнив пункты 1 и 2 алгоритма для тех же исходных данных, получим ту же систему приведенных уравнений:

На основе  второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у2, т. е. . С этой целью во второе уравнение подставляем значения х1 и х2 как отклонения от средних. Оценки для эндогенной переменной у2, приведены в таблице 2.2.

После того как найдены оценки эндогенной переменной у2, обратимся к сверхидентифицированному структурному уравнению

.

Заменяя фактические значения у2 их оценками , найдем значения новой переменной + х1 = z.

Далее применим МНК к уравнению , т. е. .

Откуда

Таким образом, сверхидентифицированное структурное уравнение оставит:

.

Ввиду того, сто второе уравнение системы (2.7) не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:

у2 = 4,98 х1 +5,42 х2..

В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит:

  1.  Практические задания

Задача 1.

1.Применив необходимое и достаточное условие оценить следующую структурную модель на идентификацию:

  1.  Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

Задача 2.

Рассматривается следующая модель:

   (функция потребления)

  (функция инвестиций)

  (функция денежного рынка)

                        (тождество дохода)

Задание:

  1.  Применив необходимое и достаточное условие идентификации, оценить структурную модель на идентификацию и выбрать способ оценки ее параметров.
  2.   Записать приведенную форму модели в общем виде.

Задача 3.

Эконометрическая модель содержит четыре уравнения, четыре эндогенные переменные (у) и три экзогенные переменные (х).В табл. 2.3  представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели.

Таблица 2.3 –матрица структурных коэффициентов

Уравнение

y1

y2 

y3

y4

x1

x2

x3

I

-1

0 

b13

b14

c11

0

0

II

-1

b23

0

c21

III

b32

-1

c31

c33

IY

b41

b42

b43

-1

c42

c43

Задание:

  1.  Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое уравнение модели.
  2.  Выберите метод оценки структурных параметров этой модели.

Задача 4.

Рассматривается следующая модель:

где St –заработная плата в период t;

Dt –чистый национальный доход в период t;

М t –денежная масса в период t;

С t –расходы на потребление в период t;

С t-1 –расходы на потребление в период t-1;

U t –уровень безработицы в период t;

U t-1 –уровень безработицы в период t-1;

It  –инвестиции в период t.

Задание:

  1.  Установите  метод оценки структурных параметров этой модели.
  2.  Напишите приведенную форму модели.
  3.  Охарактеризуйте методику расчета параметров первого и второго структурного уравнения модели.

Задача 5

Ниже приводятся результаты расчета параметров некоторой эконометрической модели.

Структурная форма модели:

Приведенная форма  модели:

 

Задание:

  1.  Каким методом были получены параметры структурной формы модели, обоснуйте выбранный метод.
  2.  Восстановите пропущенные характеристики.

Задача 6.

Имеется следующая модель:

Приведенная форма  этой модели имеет вид:

 

Задание:

  1.  Определите все возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

Задача 7.

Имеется следующая модель:

      (функция потребления);

               (функция инвестиций);

                 (функция налогов);

                 (тождество доходов),

где  С –совокупное потребление в период времени t;

Y –совокупный  доход в период времени t;

I - инвестиции в период времени t;

G –государственные расходы в период времени t;

Yt-1 - совокупный  доход в период времени t-1.

В этой модели С, Y, Т и I являются эндогенными.

Задание:

  1.  Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.
  2.  Укажите, каким методом вы будете оценивать структурные параметры каждого уравнения.
  3.  напишите приведенную форму модели.

Задача 8.

Имеется модель, построенная по шести наблюдениям:

 

Ей соответствует следующая приведенная форма:

         

Известны также следующие исходные данные:

n   1 2 3 4 5 6

Y1  3 2 4 1 5 3

X1  2 3 5 6 10 8

X2  4 7 3 6 5 5

Задание:

  1.  Определите структурные параметры первого уравнения, если это возможно.
  2.  Определите структурные параметры второго уравнения, если это возможно.

Задача 9.

Строится модель вида

,

.

Задание:

Определите структурные коэффициенты, учитывая, что

а также  .

Задача 10.

Имеется следующая структурная модель:

,

Приведенная форма модели имеет вид

Задание:

  1.  Проверьте структурную форму модели на идентификацию, применив необходимое и достаточное условия.
  2.  определите структурные коэффициенты модели.

Задача 11.

Пусть имеются данные представленные в таблице 2.4.

Табл. 2.4. – Темпы прироста показателей

Период времени

Темп прироста, %

%

безработных

заработной

платы, У1

цен,

У2

дохода, У3

цен на импорт, Х2

экономически активного населения, Х3

1

2

6

10

2

1

1

2

3

7

12

3

2

2

3

4

8

11

1

5

3

4

5

5

15

4

3

2

5

6

4

14

2

3

3

6

7

9

16

2

4

4

7

8

10

18

3

4

5

Задание:

Определите параметры структурной модели следующего вида:

Задача 12.

В табл. 2.5 имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходе У, объеме потребления С , инвестициях I и государственных расходах G, полученные для некоторой страны за 10 лет.

Табл. 2.5 –Исходные данные

С

195

203

210

200

215

215

210

215

225

220

I

10

20

30

20

10

20

30

20

15

30

У

225

233

260

260

255

245

260

245

280

270

G

20

Задание:

Постройте функцию формирования доходов, используя модель Кейнса:

            (функция потребления),

          (тождество дохода).

Задача 13

В табл. 2.6 имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходе У, объеме потребления С и инвестициях I, полученные для некоторой страны за 10 лет.

Табл. 2.6 –Исходные данные

С

210

I

У

Задание:

Постройте функцию потребления, используя модель Кейнса вида:

 (функция потребления),

          (тождество дохода).

Задача 14.

Рассматривается система уравнений вида

Задание:

  1.  Проверить, является ли данная система идентифицируемой.
  2.  Изменится ли ответ, если во второе уравнение включить: а) константу; б) переменную Х1?

Задача 15

К системе двух структурных уравнений вида

применен косвенный метод наименьших квадратов. Для коэффициентов приведенной формы модели

получены следующие оценки с1 = 2,2; с2 = 0,4; с3 = 0,08; с4 = -0,5.

Задание:

Найти оценки параметров системы уравнений, применив двухшаговый метод наименьших квадратов.

Задача 16.

Имеется модель спроса и предложения в зависимости от цены вида

где  Qd –функция спроса;

Qs –функция предложения;

Р –цена;

I –доход.

Задание:

  1.  Применив необходимое и достаточное условия, оценить идентификацию модели.
  2.  Выбрать метод оценки параметров модели.

Контрольные вопросы

  1.  Назовите возможные способы построения систем уравнений. Чем они отличаются друг от друга?
  2.  Как связаны между собой структурная и приведенная формы модели?
  3.  В чем состоят проблемы идентификации модели и какие условия идентификации (необходимое и достаточное) вы знаете?
  4.  Какие способы оценки параметров структурной формы модели вы знаете? В каких случаях они используются?
  5.  Раскройте суть косвенного метода наименьших квадратов.
  6.  Раскройте содержание двухшагового метода наименьших квадратов.
  7.  Как интерпретируются коэффициенты приведенной модели?
  8.  Приведите пример системы, связанной с экономикой.
  9.  Как строится структурная модель спроса и предложения?
  10.  Перечислите основные направления использования систем эконометрических уравнений.

временные ряды в эконометрических исследованиях

Модели, построенные по данным, характеризующим объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд –это совокупность значений какого либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием трех компонент:

  •  трендовой компоненты, характеризующей основную тенденцию уровней ряда (Т);
  •  циклической компоненты, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Различают коньюктурную компоненту (К), связанную с большими экономическими циклами и сезонную  компоненту (S), связанную с внутригодовыми колебаниями ряда;
  •  случайной компоненты, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е).

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение –мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид:

;        (3.1)

мультипликативная модель: .    (3.2)

Аддитивную модель применяют, когда амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется. Если амплитуда сезонных колебаний со временем возрастает или уменьшается, то применяют мультипликативную модель.

  1.  Выявление структуры временного ряда

Для выявления структуры ряда, т. е. состава компонент рассчитывают автокорреляцию уровней ряда.

Автокорреляция уровней ряда –это корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда.

Автокорреляция может быть измерена линейным коэффициентом корреляции ( ri ) между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Сдвиг во времени (лаг) определяет порядок коэффициента автокорреляции.

Различают коэффициент автокорреляции первого, второго, третьего и т. д. порядков. Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда первого порядка рассчитывают при лаге 1:

            ,      (3.3)

где   - средний уровень исходного ряда, рассчитанный от t=2 до n;   - средний уровень ряда, сдвинутого на один шаг, рассчитанный от t=2 до n.

Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда второго порядка рассчитывают при лаге 2:

                    ,     (3.4)

где   - средний уровень исходного ряда, рассчитанный от t=3 до n;  

- средний уровень ряда, сдвинутого на два шага, рассчитанный от t=3 до n.

Обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции можно определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.

Если наиболее высоким оказалось значение коэффициента автокорреляции первого порядка, то исследуемый временной ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

  •  либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
  •  либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Рассмотрим пример: пусть имеются данные предприятия по объемам выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года в тыс. шт. (табл.3.1).

Табл. 3.1. –объем выпуска товара, тыс. шт.

t

Yt

Yt-1

()*

()

()2

()2

Yt-2

()*

()

()2

()2

1

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

2

-368,64

-295,91

109084,3

135895,4

,73

-

-

-

-

-

-

3

-53,64

-305,91

16409,01

2877,25

,93

410

-90,5

-243

21991,5

8190,25

4

-168,64

,09

-1532,94

28439,45

,6281

400

-205,5

-253

51991,5

42230,25

5

-183,64

-105,91

19449,31

33723,65

,93

715

-220,5

-13671

48620,25

6

-208,64

-120,91

25226,66

43530,65

,23

600

-245,5

-53

13011,5

60270,25

7

206,36

-145,91

-30110

42584,45

,73

585

169,5

-68

-11526

28730,25

8

31,36

,09

8438,662

983,4496

,43

560

-5,5

-93

511,5

30,25

9

-3,64

,09

-342,488

13,2496

,928

975

-40,5

-13041

1640,25

10

-48,64

,09

-2874,14

2365,85

,628

800

-85,5

-12568,5

7310,25

11

466,36

,09

6571,012

217491,6

,5281

765

429,5

48104

184470,3

12

331,36

,09

175319,3

109799,4

,2

720

294,5

19731,5

86730,25

8865

-0,04*

-0,01*

325638,6

617704,5

,9

6530

104535

468222,5

* сумма не равна нулю в виду наличия ошибок округления.

.

Коэффициент автокорреляции первого и второго порядков составят:

Аналогично рассчитываются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и пятого порядков, составившие: r3 = 0,432;   r3 = 0,992; r3 = 0,373.

Анализ рассчитанных коэффициентов автокорреляции позволяет сказать, что в данном ряду динамики имеется тенденция и сезонные колебания с периодом, равным 4.

  1.  Моделирование тенденции временного ряда

Для выявления основной тенденции (тренда) в уровнях ряда используется аналитический метод выравнивания. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Данный метод заключается в построении уравнения регрессии, характеризующего зависимость уровней ряда от временной переменной Т(t) = f(t).

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формирования можно использовать различные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции:

  •  линейный тренд: ;
  •  гипербола:
  •  экспоненциальный тренд: ;
  •  тренд в форме степенной функции
  •  парабола второго и более высоких порядков

Параметры каждого из перечисленных выше трендов определяют обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной –фактические уровни временного ряда Уt. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

В ППП MS Exsel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:

  1.  выделите область построения диаграммы или графика; в главном меню выберите Диаграмма/Добавить линию тренда;
  2.  в появившемся диалоговом окне (рис.3.1) выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. Для полиномиального тренда необходимо задать степень аппроксимации полинома.

В качестве дополнительной информации на диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 3.2);

  1.  щелкните по кнопке ОК.

             

Рис 3.1. Диалоговое окно типов линий тренда

                      

Рис. 3.2. Диалоговое окно параметров линии тренда

На рис. 3.3 представлен линейный тренд, описывающий изменение объема выпуска продукции по месяцам (рассмотренный выше пример).

   

Рис. 3.3. Линейный тренд

Величина коэффициента детерминации R2 = 0,6889 позволяет сказать, что 68,89% вариации объема выпуска продукции зависит от  времени, прочие факторы составляют 31,11% от общей вариации.

  1.  Моделирование сезонных и циклических колебаний

Существует несколько подходов при моделировании сезонных или циклических колебаний:

  •  расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;
  •  применение сезонных фиктивных переменных;
  •  использование рядов Фурье и др.

Наиболее простым является первый метод.

Процесс построения аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и Е для каждого порядка.

Процесс построения модели включает следующие шаги.

  1.  Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
  2.  Расчет значений сезонной компоненты S.
  3.  Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.
  4.  Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
  5.  Расчет полученных по модели значений (Т+ S ) или (Т* S).
  6.  Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

  1.  Построение аддитивной модели временного ряда

Для расчетов используем данные об объеме выпуска некоторого товара по кварталам за 3 года, представленные в табл. 3.1.

Анализ величины коэффициентов автокорреляции показал, что в данном временном ряде имеются сезонные колебания с периодичностью 4.

Рассчитаем компоненты аддитивной модели.

Таблица 3.2 –расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Номер квартала t

 Объем выпуска Yt

Итого за четыре квартала

Скользящая средняя за 4 квартала

Центрированная скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

1

410

-

-

-

-

2

400

-

-

-

-

3

715

2125

531,25

553,13

161,87

4

600

2300

575

595

5,0

5

585

2460

615

647,5

-62,5

6

560

2720

680

705

-145,0

7

975

2920

730

752,5

222,5

8

800

3100

775

795

5,0

9

765

3260

815

847,5

-82,5

10

720

3520

880

917,5

-197,5

11

1235

3820

955

12

1100

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени;

б) разделим полученные суммы на 4, найдем скользящие средние, которые не содержат сезонной компоненты;

с) найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних –центрированные скользящие средние.

Таблица 3.3 –расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели

Год

Номер квартала, i

I

II

III

IY

1

2

-

-62,5

-82,5

-

-145

-197,5

161,87

222,5

-

5,0

5,0

-

Итого за i- й квартал  за все годы

-145

-342,5

384,37

10,0

Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала

-72,5

-171,25

192,185

5,0

Скорректированная сезонная компонента, Si

-60,858

-159,609

203,826

16,641

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si.

В аддитивной модели сумма значений сезонной компоненты по кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем: -72,5-171,25+192,185+5,0=-46,565.

Определим корректирующий коэффициент :

k = -46,565/4 = -11,641.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом.

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-60,858 –159,609 + 203,826 + 16,641 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S1 = -60,858; II квартал: S2 = -159,609;

III квартал: S3 = 203,826; IY квартал: S4 = 16,641.

Занесем полученные значения в табл.3.4 для соответствующих кварталов года.

Таблица 3. 4 –расчет выровненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

t

Yt

Si

T + E = Yt - S

T

T + S

Е=Yt –(T+S)

E2

1

410

-60,858

470,858

445,727

384,869

25,131

631,5672

2

400

-159,609

559,609

499,004

339,395

60,605

3672,966

3

715

203,826

511,174

552,281

756,107

-41,107

1689,785

4

600

16,641

583,359

605,558

622,199

-22,199

492,7956

5

585

-60,858

645,858

658,835

597,977

-12,977

168,4025

6

560

-159,609

719,609

712,112

552,503

7,497

56,20501

7

975

203,826

771,174

765,389

969,215

5,785

33,46622

8

800

16,641

783,359

818,666

835,307

-35,307

1246,584

9

765

-60,858

825,858

871,943

811,085

-46,085

2123,827

10

720

-159,609

879,609

925,22

765,611

-45,611

2080,363

11

1235

203,826

1031,174

978,497

1182,323

52,677

2774,866

12

1100

16,641

1083,359

1031,774

1048,415

51,585

2661,012

Шаг 3. элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Yt – S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени  и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда Т + Е с помощью линейного тренда. В результате получен линейный тренд вида:

Т = 392,45 + 53,277*t.

Коэффициент детерминации R2 = 0,958. График уравнения тренда приведен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Объем выработки продукции

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2,…,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значение сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле

Е = Yt –(T+S).

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной модели она равна 17631,84. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 735606,3. Эта величина составляет 2,4 %.

(1-17631,84/735606,3)*100 = 97,6%.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97,6% общей вариации уровней временного ряда объема выпуска продукции за последние 12 кварталов.

  1.  Построение мультипликативной модели временного ряда

Определим компоненты мультипликативной модели временного ряда, используя данные о поквартальном объеме выработки некоторой продукции за 3 года, использованные для расчета компонент аддитивной модели временного ряда.

Таблица 3.5 –расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Номер квартала t

 Объем выпуска Yt

Итого за четыре квартала

Скользящая средняя за 4 квартала

Центрированная скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

1

410

-

-

-

-

2

400

-

-

-

-

3

715

2125

531,25

553,13

1,293

4

600

2300

575

595

1,008

5

585

2460

615

647,5

0,903

6

560

2720

680

705

0,794

7

975

2920

730

752,5

1,296

8

800

3100

775

795

1,006

9

765

3260

815

847,5

0,903

10

720

3520

880

917,5

0,785

11

1235

3820

955

12

1100

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в табл. 3.5.

Шаг 2. найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние. Используем эти оценки для расчетов значений сезонной компоненты S (табл. 3.6).

Таблица 3.6 –расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели

Год

Номер квартала, i

I

II

III

IY

1

-

0,903

0,903

-

0,794

0,785

1,293

1,296

-

1,008

1,006

-

Итого за i- й квартал  за все годы

1,806

1,579

2,589

2,014

Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала

0,903

0,79

1,295

1,007

Скорректированная сезонная компонента, Si

0,904

0,791

1,296

1,009

Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Имеем 0,903 + 0,789 + 1,295 + 1,007 = 3,995.

Определим корректирующий коэффициент: k = 4/3,995 = 1,001.

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k.

Проверим условие равенства 4 значений сезонной компоненты:

0,904 + 0,791 + 1,296 + 1,009 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S1 = 0,904; II квартал: S2 = 0,791;

III квартал: S3 = 1,296; IY квартал: S4 = 1,009.

Занесем полученные значения в табл.3.6 для соответствующих кварталов года.

Таблица 3. 6–расчет выровненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной  модели

t

Yt

Si

T * E =

Yt : S

T

T * S

Е=Yt : (T*S)

Е=Yt  - (T*S)

E2

1

410

0,904

453,54

441,92

399,496

1,026

10,504

,334

2

400

0,791

,689

495,15

391,664

1,021

8,336

,489

3

715

1,296

,698

548,38

710,7

1,006

4,3

,490

4

600

1,009

,4

601,61

607,024

0,988

-7,024

,337

5

585

0,904

647,124

654,84

591,975

0,988

-6,975

,651

6

560

0,791

,965

708,07

560,083

1,000

-0,083

,007

7

975

1,296

,315

761,3

986,645

0,988

-11,645

,606

8

800

1,009

,864

814,53

821,861

0,973

-21,861

,903

9

765

0,904

846,239

867,76

784,455

0,975

-19,455

,497

10

720

0,791

,24

920,99

728,503

0,988

-8,503

,301

11

1235

1,296

,932

974,22

1262,589

0,978

-27,589

,153

12

1100

1,009

,188

1027,45

1036,697

1,061

63,303

,270

Шаг 3. разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим величины Т*Е = Yt : S,  которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). График линейного тренда представлен на рис. 3. 5.

Уравнение тренда имеет следующий вид:

Т = 388,69 + 53,23*t.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, 2, …,12, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле

Е = Yt : (T*S).

Для того, чтобы оценить качество полученной мультипликативной модели, используя коэффициент детерминации, необходимо рассчитать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как

Е = Yt - (T*S).

Рис. 3.5. Объем выпуска продукции

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 6129,037. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения равна 735606,3. Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда равна: (1-6129,037/735606,3)*100 = 99,17%.

  1.  Прогнозирование по моделям временного ряда

По аддитивной модели

Предположим, по данным примера (табл. 3.1) требуется дать прогноз объема выпуска продукции в течение первого полугодия ближайшего следующего года.

Прогнозное значение Уt уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.1) есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объем выпуска продукции в течение первого полугодия ближайшего следующего, т. е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпуска в I и II кварталах четвертого года, соответственно У13 и У14. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Т = 392,45 + 53,277*t.

Получим: Т13 = 395,45+53,277*13 = 1088,051;

              Т14 = 395,45+53,277*14 = 1141,328.

Значение сезонной компоненты равны: S1 = -60,858; S2 = -159,609.

Таким образом,

У13 = 1088,051 - 60,858 = 1027,652;

У14 = 1141,328 –,609 = 981,719.

Прогноз объема выработки продукции на первое полугодие ближайшего следующего (четвертого) года составит:

(1027,652 + 981,719) = 2009,371 тыс. шт.

По мультипликативной модели.

Предположим, что по данным того же примера необходимо сделать прогноз ожидаемого объема выработки продукции за первое полугодие ближайшего следующего года.

Прогнозное значение Уt уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением (3.2) есть произведение трендовой и сезонной компонент.

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Т = 388,69 + 53,23*t.

Получим: Т13 = 388,69 + 53,23 * 13 = 967,68;

              Т14 = 388,69 + 53,23  *14 = 1119,91.

Значения сезонной компоненты равны: S1 = 0,904; S2 = 0,791.

Таким образом,

У13 = 967,68 * 0,904 = 874,783;

У14 = 1119,91 * 0,791 = 885,849.

Прогноз объема выработки продукции на первое полугодие ближайшего следующего (четвертого) года составит:

(874,783 + 885,849) = 1760,632 тыс. шт.

  1.  Практические задачи

Задача 1.

Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет (млн. долл. в сопоставимых ценах). Исходные данные представлены ниже:

Время, лет                            1     2     3      4     5     6     7  

Депозиты физических лиц, 2     6    7      3   10    12   13

Известно также следующее:

Задание

  1.  Постройте уравнение линейного тренда и дайте интерпретацию его параметров.
  2.  Определите коэффициент детерминации.
  3.  Администрация банка предполагает, что среднегодовой абсолютный прирост депозитов физических лиц составит не менее 2,5 млн. долл. Подтверждается ли это предположение результатами, которые вы получили ?

Задача 2.

Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого были собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса Yt (кг) за 7 месяцев. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов:

Месяц         

ln Yt   ,1 ,11 ,13 ,17 ,22 ,28 ,31

Задание

  1.  Постройте уравнение экспоненциального тренда.
  2.  Дайте интерпретацию его параметров.

Задача 3.

Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах области:

Год           

Урожайность

зерновых, ц/га   10,2 ,7 ,7 ,1 ,9 ,2 ,0 ,2

Задание

  1.  Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.
  2.  Рассчитайте параметры уравнения тренда.
  3.  Дайте прогноз урожайности зерновых на следующий год.

Задача 4.

Имеются следующие данные об уровне безработицы Yt (%) за 8 месяцев:

Месяц         

Yt   8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 ,0

Задание

  1.  Определите коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка.
  2.  Обоснуйте выбор типа уравнения тренда и рассчитайте его параметры.
  3.  Интерпретируйте полученные результаты

Задача 5.

Для прогнозирования объема продаж компании АВС (млн. руб.) на основе поквартальных данных за 1993 –гг. была построена модель временного ряда объема продаж. Уравнение, моделирующее динамику трендовой компоненты этой модели, имеет вид: Т = 100 + 2*t . Показатели за 1996 г., полученные в ходе построения аддитивной модели, представлены в табл. 3.7.

Таблица 3.7 –Показатели аддитивной модели

Время

года

Фактический объем продаж в 1996 г.

Компонента, полученная по аддитивной модели

трендовая

сезонная

случайная

Зима

100

+4

Весна

10

+5

Лето

150

25

Осень

Задание

Определите недостающие в таблице данные, учитывая, что объем продаж компании АВС за 1996 год в целом составил 490 млн. руб.

Задача 6.

На основе помесячных данных о потреблении электроэнергии в регионе (млн. кВт *час) за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы даны в табл. 3.8.

Таблица 3.8 –Скорректированные значения сезонной компоненты

Январь

+25

Май

-32

Сентябрь

+2

Февраль

+10

Июнь

-38

Октябрь

+15

Март

+6

Июль

-25

Ноябрь

+27

Апрель

-4

Август

-18

Декабрь

?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

Т = 300+1,5 * t.

Задание

  1.  Определите значение сезонной компоненты за декабрь.
  2.  На основе построенной модели дайте точечный прогноз ожидаемого потребления электроэнергии в течение первого квартала следующего года.

Задача 7.

На основе поквартальных данных об уровне безработицы в летнем курортном городе (% от экономически активного населения) за последние 5 лет построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за каждый квартал приводятся ниже:

I  квартал ……..1,4    III квартал …….0,7

II квартал ……..0,8    IY квартал ……. ?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

Т = 9,2 –,3t.

Задание

  1.  Определите значение сезонной компоненты за IY квартал.
  2.  На основе построенной модели дайте точечные прогнозы уровня безработицы на I и II квартал следующего года.

Задача 8.

Изучается зависимость объема продаж бензина (Yt) от динамики потребительских цен (Хt). Полученные за последние 6 кварталов данные представлены в табл. 3.9.

Таблица 3.9 –Объем продаж бензина

Показатель

1 кв.

2 кв.

3 кв.

4 кв.

5 кв.

6 кв.

Индекс потребительских цен, % к кварталу 1

100

104

112

117

121

126

Средний за день объем продаж бензина в течение квартала, тыс. л

89

83

80

77

75

72

Известно также, что

Задание

  1.  Постройте модель зависимости объема продаж бензина от индекса потребительских цен с включением фактора времени.
  2.  Дайте интерпретацию параметров полученной вами модели.

Задача 9.

Годовое потребление товара А и доходы населения (тыс. руб.) за 1989 –гг. приведены в табл. 3.10.

Таблица 3.10 –Годовое потребление товара

Показатель

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

Потребление

46

50

54

59

62

67

75

86

100

Доходы

53

57

64

70

73

82

95

110

127

Задание

  1.  Определите уравнение регрессии, включив в него фактор времени, если известно,

что

  1.  Интерпретируйте полученные результаты.

Задача 10.

Имеются данные за 10 лет о производительности труда и электровооруженности труда на одном из предприятий промышленности области (табл. 3.11).

Таблица 3.11 –производительность и электровооруженность труда

Показатель

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

Среднегодовая выработка на продукции на 1 рабочего, усл. ед., Уt

28,7

31,7

31,7

32,6

33,9

31,2

33,3

42,6

46,0

49,9

Электровооруженность, кВт*ч/чел.*ч, Хt

3,33

3,39

3,5

3,63

3,81

3,84

3,88

4,07

4,12

4,17

Задание

  1.  Определите коэффициент корреляции между временными рядами, сделайте вывод.
  2.   Рассчитайте коэффициент автокорреляции первого и второго порядков внутри каждого временного ряда.
  3.  Сделайте выводы о структуре временных рядов.

Задача 11.

Администрация торговой фирмы интересуется, есть ли взаимосвязь между объемом продаж и удельным весом женщин среди работников компании, для этого были собраны данные за последние девять лет (табл. 3.11).

Таблица 3.11 –Объем продаж

Показатель

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Объем продаж, тыс. долл., Уt

378

385

393

403

414

428

444

462

481

Удельный вес  женщин среди работников компании, %, Хt

25

24

27

30

31

29

31

33

34

Известны также следующие данные:

Задание

1. Определите коэффициент корреляции между изучаемыми рядами по их уровням, охарактеризуйте тесноту связи между временными рядами объемов продаж и долей женщин среди работников компании.

2. Постройте уравнение тренда для ряда Хt в виде линейной регрессии, для ряда Уt в виде параболы второго порядка.

3. Постройте уравнение регрессии, описывающее зависимость объема продаж от удельного веса женщин среди работников компании.

Задача 12.

На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние 3 года была построена аддитивная модель временного ряда. скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в табл. 3.12.

Таблица 3.12 – Скорректированные значения сезонной компоненты

Месяц

Скорректированные значения сезонной компоненты

Месяц

Скорректированные значения сезонной компоненты

Январь

-1,0

Июль

3,0

Февраль

2,0

Август

1,0

Март

-0,5

Сентябрь

2,5

Апрель

0,3

Октябрь

1,0

Май

-2,0

Ноябрь

-3,0

Июнь

-1,1

Декабрь

?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

Т = 2,5 + 0,03 * t.

Задание

  1.  Определите значение сезонной компоненты за декабрь.
  2.  На основе построенной модели дать прогноз общего числа браков, заключенных в течение первого квартала следующего года.

Задача 13.

Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту России в 1995 – 1999 гг. (табл. 3.13).

Таблица 3.13 –Розничный товарооборот России

Номер квартала

Товарооборот, % к предыдущему периоду

Номер квартала

Товарооборот, % к предыдущему периоду

1

100,0

11

98,8

2

93,9

12

101,9

3

96,5

13

113,1

4

101,8

14

98,4

5

107,8

15

97,3

6

96,3

16

102,1

7

95,7

17

97,6

8

98,2

18

83,7

9

104,0

19

84,3

10

99,0

20

88,4

Задание

  1.  C использованием ППП МS Exsel определите уравнения трендов.
  2.  Выберите  наилучший вид тренда на основании значения коэффициента детерминации.
  3.  Постройте графики ряда динамики и наилучшего тренда.
  4.  Постройте мультипликативную модель временного ряда.

Задача 14.

Динамика выпуска продукции Финляндии характеризуется данными (млн. долл.), представленными в табл. 3.14.

Таблица 3.14 –Динамика выпуск продукции Финляндии

Год

Выпуск продукции

Год

Выпуск продукции

Год

Выпуск продукции

1961

1054

1973

3837

1985

13617

1962

1104

1974

5490

1986

16356

1963

1149

1975

5502

1987

20037

1964

1291

1976

6342

1988

21748

1965

1427

1977

7665

1989

23298

1966

1505

1978

8570

1990

26570

1967

1513

1979

1991

1968

1635

1980

1992

1969

1987

1981

1993

1970

2306

1982

1994

1971

2367

1983

1995

1972

2913

1984

1996

Задание

  1.  C использованием ППП МS Exsel определите уравнения линейного и экспоненциального трендов.
  2.  Постройте графики ряда динамики и трендов.
  3.  Выберите наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации.

Задача 15.

Имеются данные об объеме экспорта из Российской Федерации (млрд. усл. ед.) за 1994 –гг.

Таблица 3.15 –Объем экспорта из Российской Федерации

Номер

квартала

Экспорт, млрд. долл.

Номер

квартала

Экспорт, млрд. долл.

Номер

квартала

Экспорт, млрд. долл.

1

4087

9

17

5875

2

4737

10

7087

18

6140

3

5768

11

7310

19

6248

4

6005

12

8600

20

6041

5

5639

13

6975

21

4626

6

6745

14

6891

22

6501

7

6311

15

7527

23

6284

8

7107

16

7971

24

6707

Задание

  1.  Постройте график временного ряда.
  2.  Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда.
  3.  Оцените качество каждой модели, используя показатель ошибки аппроксимации.

Задача 16.

Имеются данные о разрешениях на строительство нового частного жилья, выданных в 1990 –гг., % к уровню 1987 г.

Таблица 3.16 –Разрешение на строительство нового жилья

Месяц

1990

1991

1992

1993

1994

Январь

72,9

61,4

71,2

78,3

86,4

Февраль

113,4

51,0

69,9

76,4

87,5

Март

86,2

55,3

74,3

74,5

80,2

Апрель

80,8

59,1

70,2

68,5

84,3

Май

73,7

59,5

68,4

71,6

86,8

Июнь

69,2

64,3

68,5

72,1

86,9

Июль

71,9

62,5

68,6

73,3

85,2

Август

69,9

63,1

70,6

76,2

85,0

Сентябрь

69,4

61,2

69,7

79,8

87,5

Октябрь

63,3

63,2

72,3

81,2

90,0

Ноябрь

60,0

64,3

73,5

83,5

88,4

Декабрь

61,0

63,9

72,5

88,0

85,7

Задание

  1.  Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты.
  2.  Постройте автокорреляционную функцию временного ряда и охарактеризуйте его структуру.
  3.  Постройте аддитивную модель этого ряда.

Задача 17.  

Имеются данные об объемах продаж в перерабатывающей промышленности и торговле, в сопоставимых ценах 1987 г., млрд. усл. ед.

Таблица 3.17 –Объем продаж в промышленности и торговле

Месяц

1990

1991

1992

1993

1994

Январь

472,5

477,9

510,9

541,0

578,2

Февраль

482,1

467,5

484,7

512,3

539,4

Март

489,5

470,9

486,6

512,6

545,3

Апрель

493,6

469,1

488,4

511,5

551,9

Май

488,0

478,1

489,5

511,9

549,7

Июнь

490,6

480,6

486,6

513,9

550,1

Июль

492,5

479,3

491,8

520,0

554,0

Август

488,1

484,2

495,2

515,9

550,0

Сентябрь

493,1

484,9

491,8

524,2

565,6

Октябрь

484,5

485,6

496,1

527,1

564,7

Ноябрь

483,0

486,1

498,8

529,8

566,9

Декабрь

476,9

484,7

501,5

534,9

572,7

Задание

  1.  Рассчитайте трендовую и сезонную компоненты.
  2.  Постройте автокорреляционную функцию временного ряда и охарактеризуйте его структуру.
  3.  Постройте мультипликативную модель этого ряда.

Задача 18.

Имеются данные об экспорте и импорте Германии за 1985 –гг., мрд. усл. ед.

Таблица 3.18 –Объем экспорта и импорта Германии

Год

Экспорт

Импорт

Год

Экспорт

Импорт

1985

184

158

1991

403

390

1986

243

191

1992

422

402

1987

294

228

1993

382

346

1988

323

280

1994

430

385

1989

341

270

1995

524

464

1990

410

346

1996

521

456

Задание

  1.  Постройте график одновременного движения экспорта и импорта в Германии.
  2.  Постройте по каждому ряду тренды и выберите лучший из них.
  3.  Постройте уравнение регрессии с включением в нее фактора времени и оцените тесноту и силу связи двух рядов.
  4.  Выполните прогноз уровней одного ряда на 2007 год, исходя из его связи с уровнями другого ряда.

Задача 19.

Динамика объема платных услуг населению региона по кварталам 1996 -1999 гг. характеризуется данными, представленными в табл. 3.19.

Таблица 3.19 –Объем платных услуг населению, млн. руб.

Квартал

Объем платных

услуг населению

Квартал

Объем платных

услуг населению

1

2428

9

3528

2

2010

10

3838

3

2981

11

3916

4

3074

12

4142

5

2993

13

4441

6

3198

14

5583

7

3250

15

6230

8

3495

16

6497

Задание

  1.  Постройте автокорреляционную функцию временного ряда.
  2.  Охарактеризуйте структуру этого ряда.
  3.  Рассчитайте трендовую компоненту.

Контрольные вопросы

  1.  Перечислите основные элементы временного ряда.
  2.  Что такое автокорреляция уровней временного ряда и как ее можно оценить количественно?
  3.  Каким образом выявляется структура временного ряда?
  4.  Перечислите основные виды трендов.
  5.  Каким образом можно построить уравнение тренда, используя ПП МS Exsel?
  6.  Выпишите общий вид аддитивной и мультипликативной модели временного ряда.
  7.  Перечислите этапы построения мультипликативной и аддитивной моделей.
  8.  С какими целями проводятся выявление и устранение сезонного эффекта?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Эконометрика / под редакцией члена –корреспондента Российской Академии наук И. И. Елисеевой. –М.: Финансы и статистика, 2001.
  2.  Елисеева И. И. Практикум по эконометрике: учебное пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др. - М.: Финансы и статистика, 2003.
  3.  Новиков А. И. Эконометрика: учебное пособие / А. И. Новиков. –М.: ИНФРА –М, 2006.
  4.  Эконометрика / под редакцией профессора Н. Ш. Кремера. –М.: ЮНИТИ,2002.
  5.  Мардас А. Н. Эконометрика: учебное пособие / А. Н. Мардас. –Санкт - Петербург: ПИТЕР, 2001.
  6.  Эконометрика: парная регрессия в эконометрических исследованиях для студентов дневной, заочной и ускоренной форм обучения специальности 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит / сост. Н. А. Ноздрина. –Димитровград, 2004. –с.

43




1. Тема 8- Понятие сущность принципы и функции права I.
2. Организация технического обслуживания и текущего ремонта автомобилей
3. Горячие клавиши вызова Strt Menu- Shift Del lt Tb Del Ctrl Esc lt F4 - - Windows
4. Разработка урока по черчению Введение в предмет Черчение
5. ориентированные виды активного туризма ~ имеют ряд общих черт с популярным в настоящее время экологическим
6. Тюменский государственный университет Филиал в г4
7. Лекция МЕЖДУНАРОДНОЕ ЧАСТНОЕ ПРАВО ~ ст
8. лекция статья Как подстилевая разновидность науч
9. экономикалы~ жа~арулар мен ~згерулер а~ымында мемлекет билігіні~ ~айнар к~зі болып табылатын хал~ымызды~ р
10. Александр Порфирьевич Бородин

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе