Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическая работа №15
«Простейший поток случайных событий и распределение Пуассона»
Цель: научиться решать задачи, используя формулу распределения Пуассона.
Краткая теория
При рассмотрении случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто приходится встречаться с так называемыми «потоками событий».
Поток событий
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.
Примерами могут быть:
- поток вызовов на телефонной станции;
- поток включений приборов в бытовой электросети;
- поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;
- поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;
- поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.
При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто целесообразно представлять процесс так, как будто изменения состояний системы происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на обслуживание, поток посетителей и т. д.) Поэтому имеет смысл рассмотреть подробнее потоки событий и их свойства,
Поток событий можно изобразить последовательностью точек на оси времени 0—7 (рис. 5.3, а), каждая из которых имеет определенную координату.
Рис. 5.3. Иллюстрация к определению потока событий (а),
простейший поток (б)
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представляет определенный интерес как предельный случай. Чаще приходится встречаться с потоками событий, для которых и моменты наступления событий, и промежутки времени между ними случайны.
Рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми простыми свойствами.
1. Стационарность. Поток называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на элементарный участок времени длиной т (рис. 5.3, а) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси t расположен этот участок.
Стационарность потока означает его однородность по времени; вероятностные характеристики такого потока не меняются в зависимости от времени. В частности, так называемая интенсивность (или «плотность») потока событий – среднее число событий в единицу времени – для стационарного потока должна оставаться постоянной. Это, разумеется, не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.
2. Отсутствие последействия. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).
В таких потоках события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.
Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если по условиям безопасности они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени, то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Однако, если интервалмал по сравнению со средним интервалом между поездами, то такое нарушение несущественно.
3. Ординарность. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.
Ординарность означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака, и т. д.
Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Несколько сложнее обстоит дело, если число событий, образующих «пакет» (группу одновременно приходящих событий), случайно. Тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину X — число событий в пакете, и математическая модель потока становится более сложной.
Простейший поток
Рассмотрим поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «простейший» связано с тем, что математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым. Отметим, между прочим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями отнюдь не является «простейшим» в вышеназванном смысле слова: он обладает ярко выраженным последействием, так как моменты появления событий связаны между собой жесткой функциональной зависимостью. Именно из-за этого последействия анализ процессов, связанных с регулярными потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению с простейшими.
Распределение Пуассона
Третье широко используемое дискретное распределение – распределение Пуассона. Случайная величина Y имеет распределение Пуассона, если
,
где λ – параметр распределения Пуассона, и P(Y=y)=0 для всех прочих y (при y=0 обозначено 0! =1). Для распределения Пуассона
M(Y) = λ, D(Y) = λ.
Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность р осуществления события мала, но число испытаний n велико, причем np = λ. Точнее, справедливо предельное соотношение
Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.).
Задачи для аудиторной работы
Пример 1. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за две минуты на станцию поступит ровно три вызова.
Решение. Среднее число вызовов за две минуты равно:
.
По формуле вероятность поступления ровно трех вызовов равна:
Пример 2. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что за две минуты придет хотя бы один вызов.
Решение. По формуле имеем:
.
Пример 3. В тех же условиях найти вероятность того, что за две минуты придет не менее трех вызовов.
Решение. По формуле имеем:
Задачи для самостоятельной работы
Пример 1. Число осколков, попадающих в малоразмерную цель при заданном положении точки разрыва, распределяется по закону Пуассона. Средняя плотность осколочного поля, в котором оказывается цель при данном положении точки разрыва, равна 3 оск./кв.м. Площадь цели равна кв.м. Для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка. Найти вероятность поражения цели при данном положении точки разрыва.
Решение. . По формуле находим вероятность попадания хотя бы одного осколка:
.
Пример 2. 2 % книг имеют дефект в переплете. Определить вероятность того, что 5 из 400 книг имеют дефект в переплете.
Решение. Так как и , то воспользуемся аппроксимацией биномиального закона законом Пуассона. Тогда a = np = 400·0.02, e–8 = 0.00034 (см. табл. V Приложения):
.
Пример 3. На ткацком станке нить обрывается в среднем 0.375 раза в течение часа работы станка. Найти вероятность того, что за смену (8 часов) число обрывов нити будет заключено в границах 2 и 4 (не менее двух и не более четырех обрывов).
Решение. Так как задано значение λ = 0.375 - среднее значение обрыва нити за час, то параметр a, характеризующий среднее число обрыва нити за смену (на всем периоде), определяется в виде a = 0.375·8 = 3. Тогда
,
где
Сделайте вывод.