Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Метод координат — математичний метод, основоположником якого вважають Декарта з 1637 року, коли у своїй книзі “Геометрія” дав чіткий вигляд ідеї методу координат на площині. Він запропонував полження точки на площині відносно заданої системи координат визначати за допомогою 2 чисел — її координат, а кожну лінію на площині — як множину точок, заданих певною геометричною умовою. Ця умова записується у вигляді рівняння, яке зв'язує змінні координати точок, що належать даній лінії, називається рівнянням цієї лінії. Такий спосіб дослідження геометричних об'єктів і називається методом координат.
Будемо важати, що на площині задана декартова прямокутна система координат, якщо задані одиничний (масштабний) відрізок, а також пара взаємно перпендикулярних осей і при цьому домовлено яка з осей є першою, а яка другою.
Точку О перетину цих осей будемо називати початком координат, першу з осей — віссю абсцис (або віссю ОХ), другу — віссю ординат (або віссю ОУ).
Довільній точці М площини поставимо у відповідність 2 числа(перше – абсцису Х, що дорівнює відстані точки М від ОУ, взяту зі знаком «+» якщо т.М лежить справа від ОУ, і з «-» якщо зліва; друге – ординату У, що дорівює відстані точки М від ОХ, взяту зі знаком «+» якщо т.М лежить зверху від ОХ, і з «-» якщо знизу).
Кожній точці на площині відповідає одна пара дійсних чисел Х та У. Вірним є і обернене.
3. Відстань між двома точками на площині.
Знайдемо відстань d між М1 та М2 на площині:
d= M1 M2 = Sqrt( (M1N)2 + (M2N)2 ) =
= Sqrt ( (x2-x1)2+(y2-y1)2 )
4. Поділ відрізка у заданому відношенні
Нехай на площині є 2 точки М1(х1;у1) та М2(х2;у2). Необхідно знайти т.М(х;у), що лежить на М1 М2 і ділить його у відношенні
М1М
М2М = а
З елементарної геометрії відомо, що М1М = x – x1 = а
М2М x – x2
Звідси можемо знайти кординати:
Х= х1 + ах2 У= у1+ау2
1+а 1+ а
Якщо а=1, то т.М ділить відрізок М1М2 навпіл.
5. Полярні координати. Залежність між прямокутними і полярними координатами
Зафіксуємо на площині точку О і напівпряму ОР, яка виходть з цієї точки, а також виберемо одиницю масштабу:
т. О – полюс;
ОР – полярна вісь;
Довільній точці М площини ставимо у відповідність числа:
перше – полярний радіус r, що дорівнює відстані точки М від полюса О, вимірений обраною
одиницею масштабу;
друге – полярний кут а, що дорівнює кутові між ОР і напівпрямою ОМ і вимірюється в радіанах,
відлік додатних значень а ведеться від ОР проти годинникової стрілки.
Запис М(r; a) оначає, що т. М має полярні координати r та a. Якщо полюс полярної системи координат помістити в початок прямокутної системи координат так, щоб ОР збігалась з ОХ, легко встановити залежність між полярними та прямокутними координатами:
x = r cosa
y = r sina
r = x2 + y2
tga = y/x
У виразі tga = y/x можна одержати значення полярного кута a (-П<= a <=П); при обчисленні a для точки М за її прямокутними координатами спочатку з’ясовують, в якому квадраті вона знаходиться.
6. Рівняння лінії на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Рівняння прямої лінії на площині у прямокутній системі координат називається рівняння вигляду f(x;y)=0 зі змінними х та у, якому задовольняють координати кожної точки цієї лінії і не задовольняють координати довільної точки площини, що не лежать на цій лінії.
Змінні х та у називаються поточними координатами лінії.
Рівняння прямої лінії з кутовим коефіцієнтом
Знайдемо рівняння прямої l.
Якщо т. М(х;у) — довільна точка прямої l з поточними координатами х та у, то з прямокутного трикутника BNM маємо, що tg а = (у-в)/х.
Величина k, яка дорівнює tg а, називається кутовим коефіцієнтом прямої l і тоді у= kх+b(1).
Рівняння (1) називається рівняння прямої на площині з кутовим коефіцієнтом k, а число b – початкова ордината.
Якщо k =0, то пряма паралельна ОХ
Якщо b =0, то пряма проходить через початок координат.
7. Загальне рівняння прямої та її дослідження.
Рівняння вигляду ax+by+c=0(1) називається загальним рівнянням прямої на площині.
Дослідимо його, тобто розглянемо окремі випадки розміщення прямої в системі координат ОХУ в залежності від значень a,b,c:
1) a=0, b=0, c=0, то рівняння (1) можна звести до рівняння прямої у відрізках на осях:
x/a + y/b=1
x/(-c/a) + y/(-c/b) =1
Пряма перетинається з ОХ у точці a, і з ОУ у точці b.
2) a=0, b=0, c=0, то отримаємо by+c=0, отже пряма паралельна ОХ
3) b=0, a=0, с=0, то отримаємо ax+c=0, отже пряма паралельна ОУ
4) с=0, a=0, b=0, то отримаємо ax+by=0, отже пряма проходить через початок координат
5) a=c=0, отже пряма співпадає з віссю ОХ
6) b=c=0, отже пряма співпадає з віссю ОУ
8. Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки
Нехай є 2 точки М1(х1;у1) та М2(х2;у2). Використаємо рівняння прямої, що проходить через задану точку з даним кутовим коефіцієнтом, враховуючи, що точки М1 та М2 належать цій прямій, тоді маємо:
система: y-y1 = k(x – x1) і y2-y1 = k(x2 – x1)
Виключимо з цієї системи параметр k і отримаємо:
x – x1 = y - y1
x2 – x1 y2 - y1
9. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендкулярності двох прямих.
Нехай маємо 2 прямі l1 та l2, що задані рівняннями:
у = k1x1 + b1 та у = k2x2 + b2, де k1= tg а1, k2= tg а2,
а1 – кут між l1 та ОХ, а2 – кут між l2 та ОХ, а – кут між прямими (0 <= а <= П)
tg а = tg(а2- а1) =
= tg а2 - tg а1 = k2 - k1
1+ tg а1 tg а2 1+ k1 k2
tg а = k2 - k1
1+ k1 k2
З рівняння (*) можна отримати відношення між кутовими коефіцієнтами паралельних і перпендикулярних прямих.
1) Умова паралельності прямих. Якщо l1 паралельна l2, то кут а = 0, tg а = 0, то k1 = k2.
2) Умова перпендикулярності прямих. Якщо l1 паралельна l2, то кут а =П/2; tg а2 = -1/ tg а1
k2 = -1/ k1
k1* k2 = -1
10. Відстань від точки до прямої
Якщо пряма задана рівнянням ax+by+c=0 і т.М0(х0;у0) не лежить на цій прямій, то відстань від точки до прямої:
d = Ax0 + By0+C
Sqrt(A2 + B2)
11. Означення і рівняння кола.
Коло – множина точок площини, відстані яких від заданої точки площини (центра кола) дорівнює сталому числу (радіусу).
(х – а1)2 + (у – а2)2 = R2(*) ,
де (а1; а2) – координати центра кола.
Рівняння (*) є канонічним рівнянням кола. Якщо розкрити дужки, то отриаємо загальне рівняння кола:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
12. Означення еліпса. Канонічне рівняння еліпса.
Еліпс – множина всіх точок площини, сума відстаней яких від 2 даних точок цієї площини, які називаються фокусами. Це величина стала і є більшою від відстані між фокусами:
2а >2c
a2 - c2 = b2
Канонічне рівняння еліпса:
x2 + y2 = 1
a2 b2
13. Властивості дослідження форми еліпса. Ексцентриситет, директриси еліпса. Фокальні радіуси точки.
Встановимо властивості і дослідимо форму еліпса.
Оскільки рівняння x2 + y2 = 1 (*) містить тільки члени з парними степенями х та у, то
a2 b2
еліпс симетричний відносно осей ОХ та ОУ, а також відносно початку координат.
Точка О(0;0) – центр еліпса. Для встановлення форми еліпса достатньо дослідити ту його частину, яка розміщується в одному, наприклад першому, координатному куті.
Еліпс перетинає осі координат в точці А1(-а; 0), В1(0; b), A2(a; 0); В2(0; -b). Ці точки називаюьбся вершинами еліпса.
Величини А1 A2 = 2а, В1 В2 = 2b називаються великою і малою осями еліпса відповідно, а а і b називаються великою і малою півосями еліпса.
Весь еліпс вміщається в прямокутник зі сторонами 2а і 2b. Точки F1(-c; 0), F2(c; 0) є фокусами еліпса.
Якщо а= b, то рівняння (*) матиме вигляд: х2 + у2 = а2 , отже коло є окремим випадком еліпса. Коло – еліпс, у якого фокуси збігаються з його центром.
Міра відхилення еліпса від кола характеризується величиною епсилон, яка називається ексцентриситетом еліпса:
Е = с/а, 0<=E<=1.
1) Якщо Е = 0, то b=a і еліпс перетворюється в коло.
2) Якщо Е прямує до 1, то відношення b до a зменшується і еліпс все більше розтягується вздовж осі ОХ.
Нехай М (х;у) – довільна точка еліпса з фокусами F1 та F2. Тоді відстані F1М = r1, F2М = r2 – фокальні радіуси точки М: r1+ r2 = 2а.
Прямі х= + а/Е називаються директрисами еліпса.
Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса:
r1/d1 = r2/d2 = E
14. Означення і канонічне рівняння гіперболи
Гіперболою називається множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох даних точок цієї площини, що називається фокусами є величина стала і менша відстані між фокусами.
Для гіперболи 2а < 2с, а < c.
Канонічне рівняння гіперболи:
x2 + y2 = 1
a2 b2
b2 = с2 – а2
15. Властивості дослідження форми гіперболи. Ексцентриситет, директриси гіперболи
Властивості:
1) Гіпербола симетрична відносно осей ОХ, ОУ та початку координат
2) Точки А1(-а; 0) і A2(a; 0) належать гіперболі і є точками перетину гіперболи з віссю ОХ. А1 і A2 – вершини гіперболи.
Вісь А1A2 = 2а – дійсна вісь гіперболи
а – дійсна піввісь гіперболи
Вісь В1В2 = 2b – не має спільних точок з гіперболою і називається уявною віссю
b – дійсна піввісь гіперболи
3) Віддаляючись у нескінченність змінна т. М (х;у) гіперболи необмежено наближається до прямої у = b х , яка називається асимптотою гіперболи.
а
Гіпербола складається з двох віток і має 2 асимптоти: у = b х та у = - b х .
а а
Осі симетрії називаються осями гіперболи, а точка їх перетину – її центром.
Прямокутник зі сторонами 2а і 2b – основний прямокутник гіперболи.
Рівняння y2 - x2 = 1 також визначає гіперболу, яка називається спряженою до
b2 a2
гіперболи з канонічним рівнянням.
Ексцентриситет гіперболи Е=с/а > 1 характеризує її форму: чим більший ексцентриситет, ти більше с/а, тобто тим більше основний прямокутник розтягується в напрямі осі ОУ, а гіпербола відхиляється від осі ОХ. Чим ближче Е до 1, тим більше основний прямокутник розтягується в напрямі осі ОХ, а гіпербола наближається до цієї осі.
Прямі х= + а/Е називаються директрисами гіперболи. Вони мають ту саму властивість, щро і директриси еліпса: r1/d1 = r2/d2 = E.
16. Означення, рівняння параболи. Дослідження форми параболи.
Парабола – множина всіх точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, яка називається фокусом і від даної прямої, що що зветься директрисою і не проходить через фокус.
Щоб вивести рівняння параболи, введемо на площині прямокутну систему координат таким чином, щоб вісь абсцис проходила через фокус і була перпендикулярна директрисі.
За додатній будемо вважати напрям від директриси до фокуса. Початок координат розмістимо посередині між фокусом і директрисою. Відстань між фокусом і директрисою позначимо через р.
р – параметр параболи.
Фокус має координати: F(p/2; 0)
Рівняння директриси: х = - p/2
Канонічне рівняння параболи: у2 = 2рх
Для параболи r = d ; r – фокальний радіус т.М, d – відстань від т.М до директриси.
Вісь симетрії є її віссю, точка перетину осі з параболою – її вершина.
Параметр параболи р відповідає за форму параболи, тобто характеризує ширину області, яку обмежує парабола:
а) у2 = 2рх => вітки вправо
б) у2 = -2рх => вітки вліво
в) х2 = 2ру => вітки вгору
г) х2 = -2ру => вітки вниз
17. Прямокутна система координат у просторі. Означення вектора. Колінеарні вектори.
Будемо важати, що у просторі задана декартова прямокутна система координат, якщо задані одиничний (масштабний) відрізок, а також 3 взаємно перпендикулярні осі і при цьому домовлено яка з осей є першою, яка другою, а яка третьою.
Точку О перетину цих осей будемо називати початком координат, першу з осей — віссю абсцис (або віссю ОХ), другу — віссю ординат (або віссю ОУ), третю – віссю аплікат (або віссю OZ).
Вектор – напрямлений відрізок, який має не тільки числове значення, а ще й напрям. Будь-яка впорядкована пара точок А і В простору визначає вектор, що має певну довжину і певний напрям. Першу точку А називають початком вектора, а другу точку В – кінцем. Напрям – від початку до кінця. Відстань від початку до кінця вектора – довжина або модуль вектора.
Вектор, довжина якого дорівнює 1 називається одиничним вектором. Одиничний вектор, напрям яког збігається з вектором а, називається ортом вектора а –> а0.
Вектор, початок якого збігається з його кінцем називається нульовим.
Вектори а і б називаються колінеарними, якщо лежать на 1 прямій або на паралельних прямих; вони можуть бути напрямлені однаково або в різні сторони (протилежні). Якщо 2 вектора колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні.
18. Проекції вектора на осі координат. Напрямні косинуси вектора.
Проекція вектора на вісь u дорівнює добутку довжини вектора а на cos b між вектором і віссю:
Проекція вектора на вісі декартової системи координат позначається: а = {x; y; z}
Якщо а1, а2, а3 – кути, які складають вектор а з координатними осями, то cos a1, cos a2, cos a3 називаються напрямними косинусами вектора а.
х = |а| cos a1
y = |a| cos a2
z = |a| cos a3
cos a1 + cos a2 + cos a3 = 1
19. Лінійні операції над векторами, властивості лінійних операцій над векторами.
Лінійні операції:
Правило паралелограма: Якщо вектори а і в зведені до спільного початку, то сумою цих векторів буде діагональ паралелогорама, побудованого на цих векторах, яка виходить з їх спільного початку.
Властивості лінійних операцій над векторами:
к*(а + в) = к*а + к*в
20. Означення і основні властивості скалярного добутку
Скалярним добутком двох векторів називається число ab, що дорівнює добутку довжин векторів a i b на cos між ними:
Властивості скалярного добутку:
1)Комунікативна властивість множення ,тобто
2)Асоціативна властивість відносно множення на число .
3)Дистрибутивна властивість відносно додавання векторів.
4)Якщо вектор
5)Скалярний добуток двох не нульових векторів =0 тоді і лише тоді,коли ці вектори перпендикулярні
6)Скалярний квадрат вектора = квадрату його довжин.
21. Вираження скалярного добутку за допомогою координат.
Знайдемо скалярний добуток, який дорівнює сумі добутків їх координат.
Нехай:
Тоді:
22. Векторний добуток векторів. Властивості векторного добутку. Вираження векторного добутку через їх координати.
Добуток вектора на вектор називається вектор , який визначається 2 умовами:
1.Довжина вектора = , де ϕ- кут між векторами;
2.Вектор перпендикулярний до кожного з векторів і .
Властивості векторного добутку:
1.Антикомутативність:
х = -( х )
2.Асоціативність відносно скалярного множника :
х = ( х )
3.Дистрибутивність відносно додавання векторів:
х( + )= х + х
4.Векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні;
5.Модуль векторного добутку неколінеарних векторів дорівнює площі пар-грама, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку, тобто S= .
Вираження векторного добутку векторів через їх координати:
Нехай задано два вектори ={ax ; ay ; az} та ={bx ; by ; bz}. Векторний добуток вектора на вектор визначається за формулою (1) та виражається через іх координати:
х = (1).
х=(ах +ау +аz ) ·(bх +bу +bz ) = ахbx(х ) + ахby(х)+ ax bz( х) + ay bx ( х ) + аyby(х)+
+aybz( х ) + az bx( х ) +az by( х ) + azbz( х )=( aybz – azby) – (axbz – azbx) + (ахby - ay bx)
23.Мішаний добуток трьох векторів і його властивості. Вираження мішаного добутку через координати векторів.Умова компланарності трьох векторів.
Мішаний добуток трьох векторів а, в, с називається число, що дорівнює скалярному добутку вектора а на векторний добуток в*с :
а.в.с = а*(в*с)
Властивості мішаного добутку:
а*(в*с) = - (в*а)*с
(а*в)*с = (в*с)*а = (а*с)*в
(а*в)*с = а*(в*с)
Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю іх мішаного добутку.
Вираження мішаного добутку векторів через їх координати:
ах ау аz
авс = вх ву вz
сх су сz
24. Загальне рівняння площини та його дослідження
П – площина
Нехай в прямокутній системі координат Охуz задана площина П точкою М0 (х0; у0; z0) і вектором
n(а; в; с;), перпендикулярним до цієї площини.
Візьмемо на площині точку М(x; y; z) і знайдемо вектор вектор М0М :
М0М = {х-х0; у-у0; z-z0}
При будь-якому положенні точки М на площині П вектори М0М і n будуть взаємно перпендикулярні, тобто їх скалярний добуток дорівнює 0:
А(х-х0) + В(у-у0) + С(z-z0) = 0 - рівняння площини, яка проходить через т.М0 і перпендикулярна до вектора n з координатами {A; B; C}.
Розкриємо дужки і отримаємо:
Ах + Ву + Cz + D = 0 – загальне рівняння площини.
Дослідимо загальне рівняння площини:
|
Умова |
Наслідок |
|
1) D=0; Ax + By + Cz = 0 |
площина проходить через поч. координат |
|
2) A=0; By + Cz + D = 0 |
П||Ох |
|
3) B=0; Ax + Cz + D = 0 |
П||Оу |
|
4) C=0; Ax + By + D = 0 |
П||Оz |
|
5) A=B=0; Cz + D = 0 |
П||Оху |
|
6) A=C=0; By + D = 0 |
П||Оуz |
|
7) B=C=0; Ax + D = 0 |
П||Охz |
|
8) A=D=0; By + Cz = 0 |
Проходить через вісь Ох |
|
9) B=D=0; Ax + Cz = 0 |
Проходить через вісь Оу |
|
10) C=D=0; Ax + By = 0 |
Проходить через вісь Оz |
|
11) A=B=D=0; Cz = 0 |
Збігається з Оху |
|
12) B=C=D=0; Ax = 0 |
Збігається з Оуz |
|
13) A=C=D=0; By = 0 |
Збігається з Охz |
25. Рівняння площини, що проходить через 3 точки. Рівняння площини у відрізках на осях.
Нехай на площині П задано три точки:
M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)
M3(x3,y3,z3),які не лежать на одній прямій ці точки однозначно визначають площину
Знайдемо її рівняння.Візьмемо на площині довільну т.M(x,y,z) і знайдемо
M1M={x-x1;y-y1;z-z1}
M1M2{x2-x1;y2-y1;z2-z1}
M1M3{x3-x1;y3-y1;z3-z1},де M1M, M1M2, M1,M3 - вектори, ці вектори лежать в площині π, тобто вони компланарні.Оскільки мішаний добуток компланарних векторів = 0,то
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0 - рівняння площини,що проходить через 3 точки.(*)
х3-x1 y3-y1 z3-z1
Нехай площина відтинає на осях Оx,Оy,Оz відрізки a,b,c A(a,0,0) ,B(0,b,0) ,C(0,0,C).Підстівляючи ці точки в рівняння (*) дістанемо рівняння:
x/a+y/b+z/c=1 – рівняння площини у відрізках на осях.
26. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин.
Нехай задано дві площини П1 та П2 рівняннями: A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (П1) та
A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (П2)
Двограний кут між площинами вимірюється лінійним кутом який дорівнює куту між
нормальними векторами n1 i n2:
n1{A1,B1,C1}
n2{A2,B2,C2}
Отже із формули скалярного добутку cosϕ = n1*n2/ǀn1ǀ*ǀn2ǀ
Умови паралельності і перпендикулярності
1) π 1┴π2,то скалярний добуток їх нормальних векторів дорівнює нулю
2) π 1||π2,то координати їх нормальних векторів пропорційні:
A1/A2 = B1/B2 = C1/C2
27. Загальне рівняння прямої у просторі.
Пряму лінію у просторі можна розглядати як перетин двох площин і визначити заданими двох рівнянь першого степеня.
Нехай задана прямокутна система координат OXYZ і довільна пряма. Позначимо через дві різні площини, що перетинаються по цій прямій і задано відповідно рівняннями
(1)
Сукупність рівняння (1) визначає пряму в тому разі і тільки в тому випадку,коли площини не паралельні і не збігаються одна з одною. Сукупність рівняння(1) називають загальним рівнянням прямої у просторі.
28. Канонічне рівняння прямої у просторі
Нехай задана деяка пряма L і ненульовий вектор , що лежить на цій прямій або їй паралельний. Вектор називається напрямним вектором даної прямої. Виведемо рівняння прямої що проходить через задану m і має напрямний вектор з координатами . Нехай M(x,y,z)- довільна точка. Вона лежить на прямій тоді і лише тоді коли колінеарний напрямному вектору , тобто тоді коли координати цих векторів пропорційні.
-канонічне рівняння прямої.
29. Кут між двома прямими у просторі. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.
Нехай дві прямі у просторі L 1 і L2 задані канонічними рівняннями х-х1 = у-у1 = z-z1
l1 m1 n1
та х-х2 = у-у2 = z-z2 .
l2 m2 n2
Одним з кутів між прямими знаходиться як кут а їх напрямними векторами з координатами:
а1 = {l1; m1; n1},
a2 = {l2; m2; n2}.
Тоді:
cos a = l1l2 + m1m2 + n1n2
Sqrt(l12 + n12 + m12) * Sqrt(l22 + n22 + m22)
Другий кут знаходиться як 180о – а.
Умова перпендикулярності прямих: l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
Умова паралельності прямих: l1 / l2 = m1 / m2 = n1 /n2
31. Взаємне розташування прямої і площини.
Нехай задана площина П Ах + Ву + Cz + D = 0 та пряма L .
Кутом а між прямою L і площиною П занивається гострий кут між L та її проекціею на П:
sin a = |Al + Bm + Cn|
Sqrt(l12 + n12 + m12) * Sqrt(l22 + n22 + m22)
L||П тоді і лише тоді, коли напрямний вектор прямої L буде перпендикулярним нормальному вектору площини П.
Al + Bm + Cn = 0 – умова паралельності прямої і площини.
А/l = B/m = C/n - умова перпендикулярності прямої і площини.
32. Означення матриці. Ранг матриці.
Прямокутна таблиця чисел, складена з m-рядків і n-стовбців і записана у вигляді
а11 а12 … a1n
А = a21 a22 … a2n
:
am1 am2 … amn
називається матрицею.
аij – називаються елементами матриці, причому індекс і показує номер рядка, а індекс j – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Матриця, у якої число рядків дорівнює числу стовпців називається квадратною, а якщо не дорівнює – прямокутною.
Матриця, у якої всього один рядок називається матрицею-рядком, у якої один стовбець – матрицею-стовпцем.
Дві матриці А=(аij) і В=(вij) називаються рівними, якщо вони однакового розміру і на однакових місцях стоять рівні елементи.
Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю.
Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі елементи, крім тих, що стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю.
Діагональна матриця, якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною.
В будь-якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається її визначником.
Рангом r(A) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів відмінних від нуля. Безпосередньо з означення випливає, що:
1. для будь-якої матриці 0 r(A)min (n,m);
2. ранг матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли А=0;
3. для квадратної матриці n-порядку ранг дорівнює n тоді і тільки тоді, коли матриця не вироджена.
Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпців(рядків) матриці.
33. Дії над матрицями:
Дія 1. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакових розмірів. Сумою С=А+В називається матриця С, кожен елемент якої є сума елементів матриць А і В.
Дія 2. Добутком матриці А на число к називається матриця В=к*А.
Дія 3. Різниця матриць А-В визначається як сума матриці А і матриці В помноженої на (-1).
Справедливі такі властивості операцій:
Дія 4. Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В. Якщо ця умова не виконується, то множення матриць неможливе.
Добутком С=А*В називається матриця, кожен елемент якої Сij дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці А на відповідні елементи j-того стовпця матриці В.
Операція матриць не комутативна А*ВВ*А.
Одинична матриця має чудову властивість: добуток одиничної матриці на квадратну матрицю дорівнює цій квадратній матриці.
34. Обернена матриця
(Нехай квадратна матриця, матриця А-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова А*А-1= А-1*А=Е.)
Квадратна матриця називається виродженою, якщо детермінант detA=0, і не виродженою, якщо detA0.
А11 А21 А31
А-1 = 1/detA А12 А22 А32
А13 А23 А33
Аij – алгебраїчні доповнення до елементів аij визначника detA.
Обернена матриця існує тільки для не вироджених матриць.
35. Матричний запис лінійних рівнянь.
Розглянемо систему рівнянь:
a1x + b1y + c1z = h1
a2x + b2y + c2z = h2
a3x + b3y + c3z = h3
Введемо позначення
a1 b1 c1 x h1
A = a2 b2 c2 X = y B = h2
a3 b3 c3 z h3
Матриця А складена з коефіцієнтів системи (1) називається основною матрицею системи
Матриця Х складена з невідомих і називається матрицею невідомих.
Матриця В називається матрицею вільних членів.
Тоді, згідно з правилами множення матриць, систему (1) запишемо в матричному вигляді А*Х=В (2)
Припустимо, що матриця А системи (1) не вироджена і має обернену матрицю А-1. Помножимо рівність (2) на А-1 зліва
А-1 *А*Х= А-1*В, де А-1 *А=Е.
Е*Х= А-1 *В, звідси Х= А-1 *В.
Розв’язок системи рівнянь у матричному вигляді можлиий лише тоді, коли матриця А не вироджена.
36. Критерії сумісності системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера -Капеллі.
Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної і дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.
Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але менше числа невідомих, то система має безліч розв’язків.
О
Р
a
r
М
О
Р
a
r
М
х
у
0\
х
у
х
у
М(х;у)
0\
х
у
х
у
М(х;у)
0\
х
у
х
у
М(х;у)
0\
Х
У
х1
у1
М2
х2
у2
М1
N
О
М(х;у)
х
В(0;в)
у
х
у
N
а
l
х
y
z
с
в
а
с
в
а
проекція а
u
а
b
(*)
l1
l2
у
х
0
о
М
n
М0
П