Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Львівський національний університет імені Івана Франка
Карабин Оксана Олександрівна
УДК 517.518.34
НЕСТАНДАРТНІ БАЗИ В ГІЛЬБЕРТОВОМУ
ПРОСТОРІ
(01.01.01 --- математичний аналіз)
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів --- 2000
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Львівському національному університеті
імені Івана Франка на кафедрі математичного і функціонального аналізу.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук,професор
Лянце Владислав Елійович,
професор кафедри математичного і функціонального аналізу
Львівського національного університету імені Івана Франка.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук
Горбачук Валентина Іванівна,
провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь
в частинних похідних Інституту математики НАН України,
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник
Боднар Дмитро Ількович,
професор кафедри прикладної математики Державного університету
"Львівська політехніка".
Провідна установа --- Інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна,
відділ математичної фізики
Захист відбудеться 28 вересня 2000 р. о 15.20 год.
на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.07 у Львівському
національному університеті імені Івана Франка за адресою:
79000, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного
університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.
Автореферат розіслано 16 серпня 2000 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.В. Микитюк
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. З часів відкриття Рене Декартом методу координат поняття бази
(координатного репера) стало однією з фундаментальних концепцій геометрії, алгебри, аналізу. Воно лежить в основі алгебри і лінійного функціональногоаналізу. Перелік прізвищ видатних учених, які займались цими дослўдженнями (Ю.Шаудер, С.Банах, Н.Барі, І.Гельфанд, М.Крейн, М.Фаге та ін.) свідчить про велику вагу теорії баз, зокрема,у функціональних просторах.
З виникненням нестандартного аналізу (друга половина ХХ сторіччя) в теорії
баз виникли нові проблеми, дослідження яких є природньою необхідністю. До таких проблем належить, наприклад, визначення еквівалентності баз в нестандартному універсумі, визначення колостандартності бази та її тіні, отримання ознак колостан- дартності і тіні вектора в термінах його координат щодо нестандартної бази, а також його тіні. При цьому важливо було включити в коло досліджень необмежені оператори, а також бази з підпросторів
Саме відповідям на ці та деякі інші природні запитання, наприклад вивченню
взаїмозв'язків між базами різних типів, зокрема, баз Рісса, Барі, присвячена ця робота.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науково-дослідницькими роботами кафедри математичного і функці- онального аналізу Львівського національного університету ім. І.Франка "Деякі проблеми теорії несамоспряжених операторів та нестандартний аналіз" (шифр МА 400--Д) та "Властивості операторів у гільбертових просторах " (шифр МА--378Б).
Мета і задачі дослідження:
Метою дисертації є дослідження нестандартних аспектів теорії баз. Зокрема:
--- ввести природнє поняття колостандартності для бази і оперуючи ним, знайти формулу тіні і критерій сильної колостандартності вектора в гільбертовому просторі з колостан- дартною векторною базою;
--- осмислити з точки зору нестандартного аналізу відомі результати М.Г.Крейна, що стосуються баз, квадратично близьких до ортонормованої;
--- дослідити поведінку бази Рісса при нескінчено малому збуренні;
--- дослідити діагональні оператори, власними векторами яких є елементи колостандарт- ної бази Рісса.
--- дослідити подібні питання для нестандартних баз з підпросторів.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше розглянуто елементи теорії баз в гільбертовому просторі з точки зору нестандартного аналізу. Досліджуються властивості нововведеного класу баз --- колостандартних баз Рісса, і в гільбертовому просторі з такою базою встановлено критерій сильної колостандартності вектора, а та- кож знайдено формулу тіні вектора і оператора. Отримані результати узагальнено на випадок баз з підпросторів, а також застосовано при дослідженні нестандартних властивостей діагонального оператора. Нестандартний аналіз дав змогу замість поняття квадратично близьких баз, яке існує в класичній теорії, ввести поняття квадратично скінченно і квадратично нескінчено близьких баз і отримати доповнення до результатів М.Крейна, що стосуються необхідних і достатніх умов, за якими послідовність векторів є базою гільбертового простору, квадратично близькою до його ортонормованої бази.
Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Одержані результати можуть знайти застосування в теорії операто- рів в гільбертовому просторі, а також в дослідженнях, в яких застосовується нестандарт- ний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).
Особистий внесок здобувача. У праці [1] В.Е.Лянце належить попереднє формулюван- ня очікуваних результатів досліджень. Остаточне формулювання результатів та їх фак-тична реалізація належить автору дисертації.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Львівському міжвузівському семінарі з функціонального аналізу (кер. проф. Лянце В.Е.), на Львів-ському регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. Шеремета М.М.) на міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвя- ченій 70-річчю Я.С.Підстригача (Львів, травень 24-26, 1998), на міжнародній науковій конференції, присвяченій Ю.П.Шаудеру (Львів, серпень 23-29, 1999).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в п'яти працях , з яких чотири надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.
Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, роз- битих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 114 сто- рінок. Список використаних джерел займає 5 сторінок і включає 52 найменування.
ЗМІСТ РОБОТИ
Дисертаційна робота присвячена дослідженню властивостей нестандартних баз гіль- бертовому просторі і складається із вступу і трьох розділів.
У вступі обгрунтовано актуальність вибраної теми досліджень, визначена мета і задачі дослідження, а також подано коротку анотацію нових наукових положень, викладених у дисертації.
У розділі 1 викладено огляд літератури зa темою, наведено основні поняття з теорії баз і твердження, які використовувались при дослідженні, викладено потрібні факти з нестандартного аналізу, а також подано короткий виклад результатів дисертації.
Розділ 2 присвячено дослідженню нестандартних векторних баз в стандартному
гільбертовому просторі . Вводиться наступна основа для класифікації баз:
Означення 2.1.1. Еквівалентні бази i в назвемо nst-еквівалентними, якщо їх еквіваленція і --- рівномірно колостандартні оператори.
Для послідовності векторів в , які задовольняють умову:
(2.2)
визначається послідовність ( є стандартним продовженням зовнішньої послідовності , яка є тінню і вводиться означення колостандартної бази.
Означення 2.1.2. База , для якої виконується умова (2.2) називається колостан- дартною, якщо її тінь є базою і якщо i є nst-еквівалентними з еквіваленцією такою, що .
Отримано наступні властивості колостандартних баз.
Твердження 2.1.1. Нехай --- колостандартна база в, а --- база, біортого- нальна до неї. Тоді база також є колостандартною.
Твердження 2.1.2. Нехай i є nst-еквівалентними базами в . є колостан-дартною тоді і тільки тоді, коли є колостандартною. Тінь еквіваленції баз i є еквіваленцією їх тіней: .
На основі цих властивостей колостандартних баз, отримано наступну теорему, яка задає формулу тіні вектора.
Теорема 2.1.1. Нехай --- колостандартна база в . Розглянемо довільний вектор , і поначимо через послідовність його координат в базі :
.
Припустимо, що (зазначимо, що такий вектор є колостандартним в слабкому сенсі). Тоді
де --- стандартне продовження (зовнішньої) послідовності , а --- тінь бази .
Н.К. Барі ввела поняття бази, еквівалентної деякій ортонормованій базі гільбер- тового простору (бази Рісса) і встановила ряд характеристичних властивостей баз, еквівалентних ортонормованій. (Бари Н.К. О базисах в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. - 1946. - T.54. - С.383--386.; Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Учён. зап МГУ, серия матем., - 1951 - N 4. - Bып.148. - С.69--107.
В підрозділі 2.2. вводиться поняття колостандартної бази Рісса і наведено критерій того, коли база в гільбертовому просторі є nst - базою Рісса, а також критерій сильної колостандартності вектора.
Означення 2.2.1. База гільбертового простору називається nst-базою Рісса, якщо вона є nst-еквівалентною до стандартної бази Рісса.
Твердження 2.2.1.
(i). База в гільбертовому просторі є nst-базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є коло- стандартною і її тінь є базою Рісса.
(iі). База в гільбертовому просторі є nst-базою Рісса, якщо і тільки якщо, вона є nst-еквівалентною стандартній ортонормованій базі.
Теорема 2.2.1. Нехай є nst-базою Рісса в , а --- біортогональна до неї база. Вектор такий, що є сильно колостандартний тоді і тільки тоді, коли для довільного нескінчено великого натурального
,
де --- послідовність координат вектора : .
Властивість послідовності в гільбертовому просторі бути базою Рісса є стійкою в тому сенсі, що кожна послідовність "достатньо близька" до бази Рісса, є базою Рісса. Однією з теорем про стійкість є теорема Пелі-Вінера.
Підрозділ 2.5. ілюструє застосування отриманих результатів в теорії операторів. Зокрема, розглядається оператор вигляду:
(2.31)
де i --- біортогональні бази гільбертового простору , а --- деяка послідовність комплексних чисел. Отримано такі теореми.
Теорема 2.5.1. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst-базу Рісса стандартного гільбертового простору . Такий оператор є сильно колостандартний тоді і тільки тоді, коли
Позначимо через --- стандартну послідовність в таку, що
Оператор є рівномірно колостандартним тоді і тільки тоді, коли
Теорема 2.5.2. Припустимо, що власні вектори оператора вигляду (2.31) утворюють nst-базу Рісса стандартного гільбертового простору . Оператор є s-компактним тоді і тільки тоді, коли
(2.38)
Якщо виконується умова (2.38), то тінь оператора є компактним оператором (у стандартному розумінні).
В подальшій теоремі подано формулу тіні для оператора вигляду (2.31), коли деякі з є нескінчено великими.
Теорема 2.5.3. Якщо для оператора вигляду (2.31) виконується
умова: , то такий оператор є графколостандартним, його тінь є замкненим відображенням ізвтаким, що
збіжний (2.41)
, (2.42)
де --- стандартне продовження послідовності
, а , --- тіні відповідно баз i стандартного гільбертового простору .
В підрозділі 2.6. знайдено тінь і досліджується спектр оператора ви- гляду:
(2.45)
де --- стандартний простір із -адитивною мірою, а --- деяка -вимўрна,-обмежена функція. Такий оператор є нормальним і якщо , то є самоспряженим. Спектром та- кого оператора є , де . Для цього оператора в теоремі 2.6.2. отримано результат типу "спектр тіні дорівнює тіні спектра".
В Розділі 3 дисертаційної роботи досліджуються нестандартні бази з підпросторів.
Аналогічно як в розділі 2, вводиться означення nst-еквівалентних баз з підпросторів, а також отримано аналоги теорем 2.1.1. і 2.2.1.
ВИСНОВКИ
Дисертація присвячена висвітленню деяких аспектів теорії векторних баз і баз з під- просторів в стандартному гільбертовому просторі з точки зору нестандартного аналізу.
Ввівши поняття колостандартної бази, отримано критерій того, коли база в гільбертовому просторі є колостандартною базою Рісса (nst-базою Рісса) і знайдено критерій сильної колостандартності вектора в гільбертовому просторі з nst-базою Рісса, а також знайдено формулу розвинення тіні вектора і оператора за базою, що є тінню колостандартної бази Рісса. Виявилось, що тіні вектора і оператора виражаються в термінах координат.
Показано, що при нескінчено малому збуренні колостандартна база Рісса залишається колостандартною базою Рісса.
Отримано нестандартний додаток до результатів М.Крейна і А.Маркуса, що стосу- ються баз Барі.
Як застосування отриманих результатів, знайдено необхідні і достатні умови сильної і рівномірної колостандартності і s-компактності діагонального оператора власними векто- рами якого є елементи nst-бази Рісса, а також оператора вигляду
де для кожного --- nst-база Рісса з підпросторів в гільберто- вому просторі i --- проектори на.
Отримані результати можуть знайти застосування при дослідженнях в теорії операторів в гільбертовому просторі, а також в дослідженнях, в яких застосовується нестандартний аналіз (математична фізика, стохастичний аналіз).
Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi в наступних статтях:
1.Lyantse V.E., Karabyn O.O. On operator of multiplication by theindependent variable // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична. - 1998. - Вип. 51. - С.128--133.
2. Карабин О.О. Нестандартні бази з підпросторів // Матем. методи та фіз-мех поля. - 1999. - T.42, N 4. - C.38--45.
3. Карабин О.О. До поняття бази з підпросторів // Вол. матем. вісник. - 1999. - Вип.6. - С.81--84.
4. Karabyn O. Nst-Riesz basis in a Hilbert Space // Вісник Львівського університету, серія механіко-математична. - 1999. - Вип. 54.
- С.96--101.
5. Lyantse W., Karabyn O. Nearstandard bases in Hilbert space // Book of abstracts International conf. ded. to J.P.Schauder. - Lviv. - 1999. - P.133.
Карабин О.О. Нестандартні бази в гільбертовому просторі. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
за спеціальністю 01.01.01. - математичний аналіз. Львівський національний
університет імені Івана Франка, Львів, 2000.
В роботі досліджуються певні аспекти теорії баз в гільбертовому просторі із застосуванням методів нестандартного аналізу. Введено поняття колостандартної бази і її тіні. Це дало змогу встановити критерій колостандартності вектора і оператора в термінах їхніх координат і, відповідно, матриць. В якості застосування, отримані умови сильної і рівномірної колостандартності, а також s-компактності діагонального оператора.
Ключові слова: колостандартність, колостандартна еквівалентність, тінь вектора, тінь оператора, тінь бази.
Karabyn O.O. Nonstandard basis in Hilbert space. - Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degreeon the speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.
A fragment of the nonstandard theory of bases in Hilbert space is developped. A conception of nearstandard basis and shadow is proposed. This allows to define a criterion of nearstandardness of a vector and operator in terms of theirs corresponding coordinates and matrices. As examples, the condition of strong and uniform nearstandardness and also s-compactness of diagonal operator is obtained.
Key words: nearstandardness, nearstandard equivalency, shadow of vector, shadow of operator, shadow of basis.
Карабын О.О. Нестандартные базисы в гильбертовом прострастве. - Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
по специальности 01.01.01. - математический анализ. Львовский национальный
университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.
В работе исследуются определённые аспекты теории базисов в гильбертовом
пространстве с применением методов нестандартного анализа. Работа начинается
с обзора литературы по исследуемой теме и краткого обзора принципов
нестандартного анализа, используемых в работе. В разделе, посвящённом
векторным базисам, вводится понятие околостандартной эквивалентности
нестандартных базисов (в основе лежит требование околостандартности
эквиваленции базисов в смысле операторной нормы). Бесконечная близость
нестандартных базисов определяется условием, что эквиваленция этих
базисов является оператором, бесконечно близким по норме к оператору
тождественного преобразования. Это позволяет естественным образом
определить понятие околостандартного базиса и его тени. На этом основании
найдена формула для тени вектора в терминах его координат относительно
околостандартного базиса. В случае околостандартного базиса Рисса
(базиса, nst-эквивалентного некоторому ортонормированному базису)
подаётся критерий сильной околостандартности вектора. Доказывается, что
понятие околостандартности базиса Рисса является инвариантным относительно
бесконечно малых возмущений. Найдены условия для того, чтобы
последовательность векторов в гильбертовом пространстве образовывала
нестандартный базис Бари.
В качестве приложений, получены условия сильной и равномерной
околостандартности, а также s-компактности оператора, собственные векторы
которого образуют околостандартный базис Рисса. Используя концепцию
граф-околостандартности, получено формулу для тени неограниченного
диагонального оператора.
В заключительном разделе диссертации предыдущие результаты обобщены на
случай базисов из подпространств. В частности, рассмотрен диагональный
оператор вида: ,где для каждого ,--- nst-базис Рисса из подпространств в гильбертовом пространстве H и --- проекторы H на . Для него найдены условия сильной и равномерной околостандартности, s-компактности. Найдена формула тени такого оператора при условии, что некоторые
из операторов неограниченные.
Ключевые слова: околостандартность, околостандартная эквивалентность,тень вектора, тень оператора, тень базиса.