Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Національний університет “Львівська політехніка”
Олива Олег Васильович
УДК 519.872+621.373.1
МАКРОМОДЕЛІ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
ІЗ НЕПЕРІОДИЧНИМИ ПРОЦЕСАМИ
01.05.02 –математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Львів –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Львівському національному університеті імені
Івана Франка Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник – доктор технічних наук, професор
Матвійчук Ярослав Миколайович,
професор кафедри теоретичної радіотехніки
та радіовимірювань Національного університету
“Львівська політехніка”
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор
Стахів Петро Григорович,
завідувач кафедри теоретичної та загальної
електротехніки Національного університету
“Львівська політехніка”;
доктор технічних наук, професор
Дивак Микола Петрович,
завідувач кафедри комп’ютерних наук
Тернопільського державного економічного університету
Провідна установа – Інститут проблем моделювання в енергетиці
ім. Г.Є. Пухова НАН України (м. Київ)
Захист відбудеться “30”червня2005 р. о 17 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 у Національному університеті "Львівська політехніка" (79013, Львів-13, вул. С.Бандери, 12, 218 ауд. 11 корпусу).
З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічній бібліотеці Національного університету "Львівська політехніка" (79013, Львів, вул. Професорська,1)
Автореферат розісланий “30” травня 2005 р.
Вчений секретар спеціалізованої
вченої ради, д.т.н., проф. Федасюк Д.В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Значне методологічне і практичне значення має моделювання реальних електричних та електронних систем. Серед відомих методів моделювання вирізняється математичне моделювання, яке полягає в побудові математичної моделі за заданими множинами вхідних і вихідних сигналів об’єкта. Математична модель повинна відтворювати із заданою точністю вихідні сигнали як еквівалентні реакції на відповідні вхідні.
Відомі підходи до розв’язку цієї проблеми можна об’єднати у дві великі групи: аналітичні та числові. Аналітичні підходи, що базуються на апріорній інформації щодо детальної структури математичної моделі, загалом не забезпечують розв’язку проблеми, хоча для окремих задач існують досконалі математичні моделі. Числові підходи базуються на загальних структурах математичних моделей для широкого класу об’єктів і методах оптимального синтезу параметрів структур на основі множин вхідних і вихідних сигналів. Розробки числових підходів далекі від цілковитого завершення. Необхідні дослідження як загальних структур математичних моделей, так і методів параметричного синтезу цих структур. Значні труднощі спричинені некоректністю числової постановки задачі ідентифікації математичних моделей нелінійних динамічних систем із неперіодичними процесами. Отже, необхідні розробки методів регуляризації цієї задачі.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика роботи пов’язана з одним із науково дослідних напрямів кафедри радіофізики Львівського національного університету імені Івана Франка. Наведені у дисертаційній роботі результати знайшли відображення та використовувалися при виконанні держбюджетних робіт: “Синтез автоколивних і неавтономних систем, що відтворюють задані форми коливань”, номер держреєстрації 0100U001418; “Розробка методів та програм дослідження складних нелінійних та параметричних систем”, номер держреєстрації 0103U001938. В рамках цих тем розроблений комбінований метод регуляризації процедури ідентифікації нелінійних динамічних систем; синтезовані нові макромоделі перервного генератора у формі автономної системи диференціальних рівнянь третього порядку та неавтономної системи другого порядку.
Мета й задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є розвиток регуляризованих числових методів ідентифікації макромоделей динамічних систем у вигляді системи диференціальних рівнянь за відомим входом і виходом (метод “чорної скриньки”); синтез нових макромоделей перервних генераторів.
Відповідно до зазначеної мети у дисертаційній роботі поставлено такі завдання:
Об’єктом досліджень є числові методи ідентифікації макромоделей динамічних систем за відомими входом і виходом.
Предметом досліджень є вдосконалення відомих і розроблення нових регуляризованих числових методів синтезу макромоделей динамічних систем; синтез нових макромоделей перервного генератора.
Методи досліджень. Для виконання описаних у дисертаційній роботі досліджень використано апроксимацію методом найменших квадратів, сплайн-апроксимацію, диференціювання сплайнів, QR-алгоритм розв’язку системи лінійних алгебрїчних рівнянь (СЛАР), числові методи інтегрування систем диференціальних рівнянь, метод регуляризації за Тіхоновим, метод редукції, комбінований метод регуляризації.
Наукова новизна одержаних результатів:
Практичне значення одержаних результатів. Створено комбінований метод регуляризації, значно ефективніший за відомі числові методи синтезу макромоделей динамічних об’єктів.
Створено комплекс програм в середовищі MATLAB 6 для синтезу макромоделей перервних генераторів у вигляді “чорної скриньки” за відомими вхідним і вихідним сигналами. Цей набір програм можна застосовувати під час макромоделювання динамічних об’єктів довільної природи за відомими вхідним і вихідним сигналами.
Синтезовано нові макромоделі перервного генератора, які можна використовувати при моделюванні перервних генераторів та інших динамічних об’єктів.
Результати досліджень, отримані під час виконання дисертаційної роботи, використовуються у:
Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, викладені в дисертації, отримано автором особисто. В опублікованих у співавторстві наукових працях авторові належать: у [1] − описано запропонований автором комбінований метод регуляризації; у [2, 3] − синтезовано автономну математичну модель перервного генератора у вигляді системи диференціальних рівнянь Коші нормальної форми третього порядку із використанням нового комбінованого методу регуляризації; у [4] − синтезовано математичну модель перервного генератора у вигляді автономної системи диференціальних рівнянь третього порядку із використанням числових методів, обґрунтовано теоретичну можливість синтезу математичної моделі перервного генератора у вигляді автономної системи диференціальних рівнянь другого порядку; у [5] − ідентифіковано неавтономну макромодель перервного генератора у формі системи диференціальних рівнянь другого порядку та приведено область її збіжності.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації представлено й обговорено на: − міжнародній конференції з управління “Автоматика-2000”, Львів, 11-15 вересня 2000 р.; міжнародній науково-технічній конференції “Математичне моделювання як засіб мінімізації енергоспоживання в електротехнічних пристроях та системах”, Шацьк, 18 − 22 червня 2001 р.; міжнародній науково-технічній конференції “Modern problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science” TCSET’, Львів − Славськ, 18 − 23 лютого 2002 р.; VII міжнародній конференції “Проблеми сучасної електротехніки 2002”, ПСЕ–, Київ, 4-6 червня 2002 р.; щорічних звітних наукових конференціях фізичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка; наукових семінарах кафедри радіофізики Львівського національного університету імені Івана Франка.
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 5 фахових виданнях України.
Структура та обсяг дисертації.Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків. Загальний обсяг роботи становить 127 сторінок, перелік літератури містить 72 найменування.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність проблеми, сформульовано мету й задачі досліджень, наведена загальна характеристика дисертації.
У першому розділі проведено огляд структур математичних моделей динамічних об’єктів та числових методів ідентифікації таких моделей. Виявлено відсутність загального підходу до вибору оптимальної структури макромоделі та методів її ідентифікації. Наголошено, що при числовому макромоделюванні постає проблема некоректності внаслідок вибору надлишкової структури моделі та похибок процедур числового диференціювання.
У другому розділі наведено аналіз проблеми некоректності задач числового математичного макромоделювання динамічних об’єктів, продемонстровано необхідність використання регуляризуючих методів числового синтезу математичних моделей. До таких методів належить регуляризація за Тіхоновим. Розглянемо основну ідею цього методу.
В книзі Я. М. Матвійчука “Математичне макромоделювання динамічних систем: теорія та практика” доведено, що системі (1) еквівалентна за входом-виходом система (2).
–дійсні вектори вхідних впливів, стану та вихідних реакцій відповідно; дійсна вектор функція диференційована за ; сумарна розмірність векторів дорівнює k.
Матриця передавальних функцій –лінійна підсистема з вихідними векторами та вхідним вектором , а нелінійна вектор-функція –нелінійна підсистема з векторними входами і вихідним вектором .
Апроксимація лінійної підсистеми із використанням малосигнального аналізу здебільшого не зумовлює ускладнень на відміну від апроксимації нелінійної вектор-функції, що є доволі складним завданням.
Загальне формулювання задачі апроксимації нелінійної вектор-функції таке.
Нехай –апроксимаційна вектор-функція, –вектор аргументів цієї функції, –деякий параметр (у наших задачах –час). Також нехай –вектор значень функції , що залежить від параметра . Тоді для кожного -го значення параметра справджується рівність (3) де і складові векторів та ; N –кількість точок.
За апроксимації у лінійному просторі дійсних базисних функцій розмірності отримуємо систему лінійних алгебричних рівнянь щодо коефіцієнтів апроксимації яку можна розв’язувати методом найменших квадратів.
Дуже важливим є вибір апроксимаційного базису –функцій . Здебільшого використовують багатовимірні степеневі поліноми.
Підставою для цього є теорема Стоуна-Веєрштрасса, яка гарантує можливість досягнення будь-якої точності апроксимації за умови підвищення степеня багатовимірного степеневого полінома. Однак на практиці безпосередній розв’язок задачі із використанням апроксимації за доволі великих значень виявляється незадовільним. Причиною такої ситуації є некоректність: малі зміни вихідних даних задачі апроксимації –векторів і зумовлюють значні зміни коефіцієнтів . І навпаки, малі зміни коефіцієнтів спричинюють значні порушення умов задачі.
При розв’язанні некоректних задач спостерігається чимале зростання модуля коефіцієнтів внаслідок незначних похибок (збурень) у вектори і . Тіхоновим та його школою запропоновано ввести обмеження на зростання абсолютних значень коефіцієнтів . Їх визначають шляхом мінімізації функціонала Тихонова де вектор в загальному випадку залежить і від похибки у значеннях і . Перший член функціоналу Тіхонова забезпечує найкращу точність розв’язку системи лінійних рівнянь (4) в обраній метриці, другий –регуляризуючий –мінімальну норму вектора . В результаті використання функціоналу Тіхонова забезпечує регуляризацію розв’язку СЛАР.
Для відомих значень похибок школою Тіхонова розроблено алгоритми для визначення оптимального значення . Однак на практиці, зазвичай, похибка вихідних даних невідома. У такій ситуації параметр підбирають емпірично, спостерігаючи за коректністю розв’язку СЛАР.
При побудові математичних моделей здебільшого невідомий точний набір базисних функцій. Отож доводиться використовувати певною мірою універсальний набір таких функцій (наприклад, степеневі поліноми). Однак у такій ситуації деякі базисні функції бувають зайвими. Тобто однією із причин некоректності задачі ідентифікації є надлишкова розмірність простору базисних функцій (надлишкова розмірність вектора невідомих параметрів апроксимації ).
Запропоновано застосовувати метод редукції зайвих членів апроксимаційного полінома, що забезпечує зменшення розмірності простору базисних функцій. Під час використання цього методу здійснюється пошук певної компактної множини базисних функцій, на якій задача апроксимації наближається до коректної.
Головною ідеєю методу редукції є припущення, що “зайві” базисні функції виявляють себе найбільшою відносною зміною відповідних коефіцієнтів апроксимації за малих збурень апроксимаційної задачі. Послідовне видалення “зайвих” базисних функцій може регуляризувати її (задача апроксимації стає стійкішою).
Розглянемо задачу апроксимації у якій використаємо багатовимірні степеневі поліноми. Апроксимацію здійснюватимемо методом найменших квадратів.
Проаналізуємо задачу апроксимації, якщо у масив , введено деякі збурення , достатньо малої амплітуди.
Приймемо, що розв'язок задачі неперервний за вихідними даними у деякому невеликому околі вектора . Тоді , при , .
Розглянемо відносні зміни коефіцієнтів апроксимації:
, .
Для “незайвих”коефіцієнтів при , .
Для “зайвих” коефіцієнтів і отож .
Отже, “зайві” базисні функції можна виявити за значно більшими відносними змінами відповідних коефіцієнтів апроксимації за заданої незначної зміни вихідних даних апроксимаційної задачі. Послідовне вилучення таких “зайвих” членів апроксимаційного базису повинно робити задачу стійкішою, тобто регуляризувати її.
Використання методу редукції зводиться до послідовного видалення “зайвих” членів апроксимаційного базису, котрим відповідає найбільше відносне відхилення відповідного коефіцієнта .
Під час розв’язування деяких задач із використанням лише методу редукції чи регуляризації за Тіхоновим не вдається отримати позитивний результат. Для таких задач спеціально створено комбінований метод регуляризації, що є поєднанням методу редукції та регуляризації за Тіхоновим.
На першому кроці здійснюється вибір структури математичної моделі, диференціювання вихідного сигналу із метою отримання його похідних, що необхідні для подальшої ідентифікації. Другий етап відповідає за обчислення вектора невідомих коефіцієнтів для певних значень параметра . Далі відбувається інтегрування отриманих математичних моделей. Четвертий крок – обчислення похибок отриманих моделей. Наступним етапом є вибір оптимального параметра за мінімумом похибки моделі. На шостому кроці здійснюється одна ітерація процесу редукції, під час якої мінімізується функціонал Тіхонова із використанням обраного на попередньому кроці . Далі відбувається перевірка можливості продовження процесу редукції. Після завершення процесу редукції здійснюється вибір оптимальної моделі, похибка якої є мінімальною відповідно до обраного критерію її оцінки.
Перевірка ефективності комбінованого методу регуляризації була здійснена шляхом його застосування для синтезу макромоделі у вигляді автономної системи диференціальних рівнянь для атрактора Лоренца за вихідним сигналом.
Початкова структура макромоделі містить 50 базисних функцій. Розширення меж зміни індексів , j, k у багатомірному степеневому поліномі в структурі макромоделі до від’ємних не суперечить апроксимаційній теоремі Стоуна-Веєрштрасса. Необхідні для ідентифікації макромоделі перші 3 похідні вихідного сигналу обчислювались за допомогою сплайн-інтерполяції 9 порядку, та послідовного диференціювання сплайну. Дев’ятий порядок сплайну обрано за мінімумом похибок диференціювання. Невідомі коефіцієнти макромоделі обчислювались шляхом мінімізації функціоналу Тихонова.
Як результат застосування комбінованого методу регуляризації отримано макромодель, в якій залишилось 7 базисних функцій.
Стільки ж базисних функцій у системі диференціальних рівнянь дивного атрактора Лоренца, що приведена до нормальної форми.
Фазовий портрет макромоделі та системи диференціальних рівнянь атрактора Лоренца в нормальній формі якісно схожі.
Завдяки застосуванню запропонованого комбінованого методу регуляризації синтезовано макромодель атрактора Лоренца за його вихідним сигналом. Цю задачу неможливо розв’язати із використанням таких відомих раніше регуляризаційних прийомів, як метод редукції та рагуляризація за Тіхоновим. Отож показано незамінність комбінованого методу регуляризації при синтезі складних макромоделей динамічних систем за відомими вхідними та вихідними сигналами.
У третьому розділі здійснено синтез автономної макромоделі для перервного генератора, що представлений автономною системою диференціальних рівнянь, за відомим вихідним сигналом. Структура макромоделі обрана у вигляді автономної системи диференціальних рівнянь Коші третього порядку в нормальній формі.
Необхідні для ідентифікації макромоделі перші 3 похідні вихідного сигналу перервного генератора отримано шляхом сплайн-інтерполяції 9 порядку вихідного сигналу та диференціювання сплайну до третьої похідної включно. Дев’ятий порядок сплайну обрано за мінімумом похибки диференціювання. Невідомі коефіцієнти макромоделі можна знайти застосуванням методу регуляризації за Тихоновим. Проте розв’язати поставлену задачу за допомогою методу регуляризаціїї Тіхонова також не вдалось внаслідок суттєвої некоректності задачі.
Застосування ще одного регуляризаційного прийому –методу редукції, –також не забезпечило коректного розв’язку задачі. Лише використання нового комбінованого методу регуляризації разом із розширенням меж зміни індексів в структурі макромоделі до від’ємних, дозволило синтезувати ряд макромоделей перервного генератора. Із них оптимальною з точки зору точності відтворення вихідного сигналу є макромодель, що містить 34 базисні функції.
У четвертому розділі розглянуто синтез макромоделі перервного генератора, що представлений електричною схемою.
За вихідний сигнал прийнято значення напруги на колекторі транзистора Q1. Аналіз електричної схеми перервного генератора здійснено із використанням пакета MicroCap 5.
Вихідний сигнал перервного генератора загалом є квазіперіодичним. Квазіперіодичні коливання за визначенням є суперпозицією хоча б двох періодичних коливань із неспівмірними періодами. Відомо, що такі коливання можуть виникати в нелінійних автономних системах не нижче третього порядку, або в неавтономних системах другого порядку.
З метою перевірки періодичності вихідного сигналу перервного генератора використано стробоскопічний аналіз, що полягає у фіксації значень вихідного сигналу в моменти часу , , –період огинаючої вихідного сигналу. На початку відбувається перехідний процес (до =0,00125с). Далі у встановленому режимі графік стає близьким до горизонтальної прямої лінії, що засвідчує періодичність вихідного сигналу перервного генератора. Тому теоретично можливо збудувати модель перервного генератора представленого радіотехнічною схемою у вигляді автономної системи диференціальних рівнянь другого порядку.
Для синтезу макромоделі перервного генератора у формі автономної системи диференціальних рівнянь Коші другого порядку необхідною є наявність вихідного сигналу та його похідних до другої включно. За вихідний сигнал обрано значення колекторної напруги транзистора Q1 на часовому інтервалі [] секунд (рис. 8) –біля 600 точок, що відповідає встановленому режиму роботи перервного генератора.
З метою отримання необхідних похідних вихідного сигналу виконано сплайн-інтерполяцію сплайном 9-го порядку та послідовне диференціювання сплайну до другої похідної. Дев’ятий порядок сплайну обрано за мінімумом похибок диференціювання та обчислень.
Однак збудувати макромодель перервного генератора, що представлений електричною схемою, у формі автономної системи диференціальних рівнянь другого порядку не вдалось внаслідок суттєвої некоректності задачі.
У такому випадку необхідно обрати якісно іншу початкову структуру макромоделі, яка, відповідно, даватиме змогу регуляризувати поставлену задачу.
Цю мету можна досягнути, увівши в систему макромоделі додаткові гармонічні функції , де − циклічна частота огинаючої вихідного сигналу перервного генератора. Такий крок забезпечує суттєву регуляризацію поставленої задачі, однак спричинює втрату автономності початкової структури макромоделей.
Виходячи із описаних вище міркувань, здійснено синтез макромоделі перервного генератора для структури, що представлена неавтономною системою диференціальних рівнянь третього порядку.
В результаті використання нового комбінованого методу регуляризації та цієї структури отримано ряд макромоделей перервного генератора. Із них оптимальною з точки зору відтворення вихідного сигналу є макромодель, що містить 29 базисних функцій. При дослідженні області збіжності макромоделі було виявлено, що вона ширша за область робочих значень фазових змінних. Робочі діапазони фазових змінних є , відповідно.
(25)
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі вирішено наукову задачу розвитку числових методів синтезу математичних моделей динамічних об’єктів за відомими входом та виходом, синтезовано нові макромоделі перервного генератора. З виконаних досліджень випливають такі висновки:
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
АНОТАЦІЯ
Олива О. В. Макромоделі нелінійних динамічних систем із неперіодичними процесами. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 –математичне моделювання та обчислювальні методи. –Національний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2005.
Дисертація присвячена вирішенню наукової задачі розвитку числових методів синтезу математичних моделей динамічних систем та ідентифікації нових макромоделей перервного генератора. Запропоновано новий комбінований числовий метод синтезу математичних моделей, що володіє регуляризуючими властивостями та є ефективнішим за існуючі. Синтезовано нові математичні моделі перервного генератора у формі автономної системи диференціальних рівнянь третього порядку. Обґрунтовано теоретичну можливість синтезу макромоделі найпростішого однотранзисторного перервного генератора у вигляді автономної системи диференціальних рівнянь другого порядку. Ідентифіковано ряд неавтономних макромоделей однотранзисторного перервного генератора як системи другого порядку. Досліджена область збіжності неавтономних макромоделей є значно ширшою за область робочих значень фазових змінних перервного генератора. Усі макромоделі перервного генератора синтезовані із використанням спеціально створеного комплексу програм в середовищі MATLAB 6, що придатний для моделювання довільних динамічних систем, описаних лише вхідними та вихідними сигналами.
Ключові слова: математична модель, макромодель, числові методи синтезу, перервний генератор.
АННОТАЦИЯ
Олыва О. В. Макромодели нелинейных динамических систем с непериодическими процессами. –Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 –математическое моделирование и вычислительные методы. –Национальный университет “Львовская политехника”, Львов, 2005.
Диссертация посвящена научной задаче развития численных методов синтеза математических моделей динамических систем по известным входным и выходным сигналам путем создания нового комбинированного метода с регуляризирующими свойствами.
В работе рассматривается состояние развития математического моделирования динамических систем. Показано, что на сегодняшний день не существует общих подходов для выбора структуры математической модели моделированого объекта. Как следствие, довольно часто исследователи пользуются универсальными структурами. Это приводит к излишеству элементов структуры математической модели и порождает проблему некорректности идентификации таких моделей.
Для решения некорректных задач математического моделирования используют известные регуляризующие методы, среди которых метод Тихонова и метод редукции аппроксимационного полинома. Однако эти приемы оказываются неэффективными для сложных задач, к которым относится идентификация макромодели прерывистого генератора. Для решения таких задач в диссертации предложен новый комбинированный метод регуляризации. В основу этого метода положено совместное использование метода редукции и метода регуляризации Тихонова. Комбинированный метод регуляризации успешно апробирован на задаче синтеза математической модели аттрактора Лоренца.
Синтезированы новые автономные макромодели прерывистого генератора в виде системы дифференциальных уравнений Коши третьего порядка в нормальной форме с использованием нового комбинированного метода регуляризации.
Обоснована теоретическая возможность синтеза автономной макромодели однотранзисторного прерывистого генератора в виде системы дифференциальных уравнений второго порядка. Создать удовлетворительную автономную макромодель в виде системы дифференциальных уравнений Коши второго порядка в нормальной форме не удалось из-за существенной некорректности задачи. Введение дополнительных внешних гармонических функций в структуру регуляризирует задачу построения макромодели. Этот прием вместе с использованием нового комбинированного метода регуляризации обеспечил синтез ряда неавтономных макромоделей однотранзисторного прерывистого генератора. Исследование области сходимости этих макромоделей показало, что она намного шире, чем рабочий диапазон фазовых переменных.
Все модели прерывистого генератора были синтезированы с использованием специально созданного комплекса программ в среде MATLAB 6, пригодного для моделирования произвольных динамических систем, описанных только входными и выходными сигналами.
Ключевые слова: математическая модель, макромодель, численные методы синтеза, прерывистый генератор.
ABSTRACT
Olyva O. V. –Macromodels of non-linear dynamic objects with non-harmonic oscillations. –Manuscript.
Thesis for PhD’s degree in technical science by specialty 01.05.02 –mathematical modeling and calculation methods. –Lviv Polytechnic National University, Lviv, 2005.
The thesis is devoted to the solving of the scientific task of macromodels synthesis of dynamic objects by numerical methods and to the identification of new macromodels of the chopping generator. The new combined numerical method with regularization attributes for macromodels synthesis, that is more effective than present, is proposed. New macromodels of the chopping generator are constructed in the form of the autonomous third order system of differential equations. The theoretical possibility to build the macromodel of the chopping generator as autonomous second order system of differential equations is proven. The set of macromodels of the chopping generator is constructed in the form of the non-autonomous second order system of differential equations. The investigated domain of convergence of non-autonomous second order models of the chopping generator is wider then the working range of phase variables of the chopping generator. All macromodels of the chopping generator were constructed using the specially designed set of programs in the MATLAB 6 environment, that can be used for the modeling of the any dynamic system described by input and output signals.
Key words: the mathematical model, the macromodel, numerical methods, the chopping generator.