Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
16
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Зваридчук Василь Богданович
УДК 519.86:517.944
РЕГУЛЯРИЗАЦІЙНІ ТА ПСЕВДОІНВЕРСНІ МЕТОДИ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ
01.05.02 –математичне моделювання та обчислювальні методи
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Стоян Володимир Антонович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри моделювання складних систем.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Грищенко Олександр Юхимович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри обчислювальної математики;
кандидат фізико-математичних наук Марченко Ольга Олексіївна, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, старший науковий співробітник.
Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України і НКА України.
Захист відбудеться “18”січня 2007 р. о 15:30 год. на засіданні спеціалізованої Вченої ради Д 26.001.35 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, пр. Академіка Глушкова, 2, корп. 6, факультет кібернетики, ауд. 40.
З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розісланий “”грудня 2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої Вченої ради П.М. Зінько
Актуальність теми дослідження. Розробка ефективних та стійких алгоритмів математичного моделювання лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами (СРП) все ще залишається однією з найактуальніших проблем дослідження складних систем.
Відомі теорії математичного моделювання динаміки розподілених просторово-часових процесів (РПЧП) традиційно будувалися на базі диференціальних рівнянь у частинних похідних, якими ця динаміка описувалась. Розвитком таких теорій та дослідженням багатьох важливих для практики РПЧП займалися зокрема Б.М. Бублик, А.Г. Бутковський, Ф.Г. Гаращенко, О.Ю. Грищенко, В.Ф. Губарєв, В.С. Дейнека, М.З. Згуровський, А.Г. Івахненко, Ю.П. Ладіков-Роєв, К.А. Лур’є, І.І. Ляшко, С.І. Ляшко, О.Г. Наконечний, Ю.І. Самойленко, І.В. Сергієнко, В.В. Скопецький та інші.
Не для всіх складних систем, однак, шляхом вивчення та формалізації їх суті вдається побудувати повні, адекватні та зручні в користуванні математичні моделі. Отримані при цьому залежності між характеристиками системи можуть бути неповними, неадекватно відображати суть процесу, або ж містити невідомі параметри.
Розвинуті з часом методи ідентифікації та мінімаксного оцінювання дозволили з використанням експериментальних даних будувати та досліджувати математичні моделі в умовах неповноти даних про них. Проте методи ідентифікації СРП на відміну від систем з зосередженими параметрами все ще недостатньо розвинуті. Розробці та застосуванню таких методів присвячено праці В.Ф. Губарєва, М.М. Личака та ін.
Більшість класичних СРП описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних, розв’язання яких при коректно заданих початково-крайових умовах на даний час не складає особливих математичних проблем. У деяких випадках, однак, розв’язання прямих та обернених задач динаміки СРП з використанням диференціальних моделей викликає ряд труднощів, або й зовсім не можливе. Проблеми ці стають ще більш нерозв’язними, якщо задача поставлена некоректно.
В наукових роботах М.Ф. Кириченка, В.В. Скопецького та В.А. Стояна запропоновано проблеми математичного моделювання зовнішньодинамічної обстановки та стану динамічних СРП розв’язувати з використанням псевдоінверсної алгебри. Недослідженими при цьому однак залишилися питання ідентифікації, математичного моделювання стану та керування ним для систем, які описуються частковими диференціальними співвідношеннями.
Застосування регуляризаційних та псевдоінверсних методів до розв’язання задач математичного моделювання лінійних частково формалізованих спостережуваних СРП дозволяє моделювати стійкі до збурень у вхідних даних розв’язки таких задач. Тому тема дисертації є актуальною як з теоретичної, так і з прикладної точок зору.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Робота виконана в рамках науково-дослідних тем №01БФ015-05 „Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” (номер держ. реєстрації 0101U000968) та №06БФ015-03 „Розвиток теорії та розробка технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем” (номер держ. реєстрації 0106U005858) кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методики математичного моделювання лінійних динамічних СРП, диференціальні моделі яких неповні, а їх характеристики доступні для спостереження.
Поставлена мета зумовлює такі завдання:
Об’єктом дослідження є лінійні стаціонарні спостережувані СРП, що описуються неповними диференціальними моделями.
Предметом дослідження є інтегральні моделі СРП, ідентифікація ядер інтегральних моделей РПЧП, алгоритми моделювання стану лінійних динамічних СРП та керування ним.
Методи дослідження. У роботі використано методи переходу від диференціальних моделей СРП до інтегральних, методи ідентифікації, регуляризаційні методи розв’язання некоректно поставлених задач та псевдоінверсні методи обернення систем лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних рівнянь.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертаційній роботі вперше поставлені й розв’язані задачі побудови математичних моделей та моделювання лінійних динамічних СРП частково формалізованих диференціальними співвідношеннями з використанням спостережень за ними. Зокрема:
Практичне значення одержаних результатів дисертаційної роботи полягає у тому, що запропонована в ній методика математичного моделювання лінійних спостережуваних СРП з неповно визначеною диференціальною моделлю їх функціонування може бути успішно використана для дослідження та керування практично важливими РПЧП, які в силу своєї складності та неповноти інформації про них не можуть бути досліджені традиційними аналітичними, чисельними, або ідентифікаційними методами. Результати дослідження використані для моделювання процесів у ґрунтових масивах складної структури, які можуть мати місце в нафтоносних регіонах України.
Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертаційну роботу, отримані автором самостійно. У публікаціях [1-5], написаних у співавторстві з членом-кореспондентом НАН України В.В. Скопецьким та професором В.А. Стояном, останнім належить постановка задач, пропозиції щодо методів їх розв’язання та участь в обговоренні результатів.
Апробація результатів дослідження. Матеріали дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах кафедри моделювання складних систем Київського національного університету імені Тараса Шевченка, відділу моделювання динаміки процесів Землі і планет Інституту космічних досліджень НАН України і НКА України, відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України а також на:
Публікації. За темою дисертації опубліковано 11 наукових робіт. З них: 6 статей [1-6] та 1 доповідь [7] опубліковані у фахових виданнях із переліку ВАК України; 4 праці [8-11] –у збірниках доповідей міжнародних наукових конференцій.
Структура та обсяг дисертаційної роботи.
Дисертаційна робота складається із переліку умовних позначень, вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних джерел з 148 найменувань та 2 додатків, які містять 12 ілюстрацій. Загальний обсяг роботи становить 131 сторінок, з них 115 сторінок основного тексту.
У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету, задачі та об’єкт дослідження, визначено наукову новизну отриманих результатів, висвітлено їх теоретичну та практичну цінність.
У першому підрозділі першого розділу дисертаційної роботи подано огляд літератури за тематикою дисертації та обґрунтовано напрямок наукового дослідження. У другому підрозділі визначене коло проблем, які виникають при моделюванні динаміки розподілених просторово-часових процесів. Критично проаналізовані диференціальні
,
,
,
та інтегральні
моделі динаміки лінійних стаціонарних СРП.
У третьому та четвертому підрозділах здійснено огляд регуляризаційних методів розв’язання некоректно поставлених задач та методів середньоквадратичного обернення систем лінійних алгебраїчних, інтегральних та функціональних рівнянь. У п’ятому підрозділі стисло викладено зміст роботи за розділами.
У першому підрозділі другого розділу встановлені випадки, коли інтегральні моделі мають простіший вигляд, а саме:
.
Умови щодо можливості зведення моделі до простішого вигляду сформульовані у вигляді наступних теорем:
Теорема 1. Для систем -, які задовольняють умовам: 1) ; 2) 3) інтегральна модель матиме вигляд .
Теорема 2. Для систем -, які задовольняють умовам 1), 4) теореми 1 при , співвідношення матиме вигляд .
У другому підрозділі другого розділу розглядаються задачі ідентифікація матриці –ядра інтегральних моделей та . При цьому:
для систем, моделі яких мають вигляд ;
,
для систем, моделі яких мають вигляд .
Наступні теореми визначають умови, за виконання яких розв’язки задач , існують, єдині.
Теорема 3. Якщо а вектор-рядки матричної функції лінійно незалежні, то розв’язок задачі існує, єдиний і має вигляд .
Теорема 4. Якщо і вектор-рядки матричної функції лінійно незалежні, то розв’язок задачі існує, єдиний і має вигляд .
У третьому підрозділі другого розділу розглядається випадок, коли спостереження за станом системи задані неточно, де похибка є стаціонарним білим шумом, або ж містить адитивну компоненту білого шуму, а точні значення спостережень за вектор-функцією стану. Показано, що в цьому випадку формально побудовані розв’язки , задач ідентифікації матриці-функції стають нестійкими до похибок у вхідних даних.
При для знаходження наближених стійких розв’язків задач ідентифікації ядер інтегральних моделей , розглядається задача
для систем, моделі яких мають вигляд , і
для систем, динаміка яких моделюються співвідношенням . При цьому вимагається щоб
.
Доведені теореми, за виконання умов яких існують стійкі до похибок у вхідних даних наближені розв’язки задач , та , .
Теорема 5. Нехай для задачі виконуються умови теореми 3. Тоді існують такі вектор і послідовність , що
при ,
де матриця-функція є розв’язком задачі , .
Теорема 6. Нехай для задачі виконуються умови теореми 4. Тоді існують такий вектор і послідовність , для яких має місце , де матриця-функція є розв’язком задачі , відповідно.
Для знаходження оптимального вектора параметрів регуляризації використовувався узагальнений принцип нев’язки (УПН).
Розглядаються випадки, коли: 1) після вивчення фізичної суті процесу було отримано рівнянь системи ; 2) матриця-функція діагональна, трикутна, блочна, або „близька” (у нормах відповідних просторів) до них. При цьому обчислення прямого і оберненого перетворення Фур’є здійснювалось за схемою:
Неперервне перетв. Фур’є Дискретне перетв. Фур’є Швидке перетв. Фур’є.
У третьому розділі моделюються розв’язки прямих та обернених задач динаміки систем з розподіленими параметрами, математичні моделі яких мають вигляд , або . У першому підрозділі розглядається задачі моделювання стану точно спостережуваних СРП. Після ідентифікації матриці-функції такі задачі зводяться до знаходження вектор-функцій , фіктивних зовнішньодинамічних збурень. При цьому показано, що вектор-функції та є розв’язками (псевдорозв’язками) системи рівнянь
Співвідношення середньоквадратично обертаються після: 1) дискретизації по змінній ; 2) дискретизації по змінній . У першому випадку задача розв’язання зводиться до середньоквадратичного обернення системи
.
У другому випадку розв’язання системи рівнянь зводиться до середньоквадратичного обернення системи
.
Після середньоквадратичного обернення систем лінійних інтегральних та функціональних рівнянь , для системи побудовані множини
;
їх розв’язків (псевдорозв’язків).
У другому підрозділі третього розділу розглядаються задачі моделювання стану неточно спостережуваних СРП. Після знаходження наближеного розв’язку задачі ідентифікації матриці-функції , проблема побудови стійких наближених значень вектор-функцій та зводиться до наступної:
,
З використанням регуляризаційних методів задача , зводиться до знаходження регуляризованого розв’язку рівняння
,
Прирівнюючи до нуля першу варіацію від, отримуємо рівняння Ейлера
Рівняння розв’язується шляхом: 1) дискретизації з використанням квадратурних формул; 2) методом ітеративної регуляризації Фрідмана. У першому випадку зводиться до системи лінійних алгебраїчних рівнянь матриця якої є симетричною і додатньовизначеною. У другому випадку розглядаються ітераційний процес зупинка якого здійснюється згідно УПН.
У третьому підрозділі третього розділу моделюються розв’язки задач керування СРП у наступних постановках:
.
Для систем, математичні моделі яких мають вигляд (4), після побудови матриці-функції та вектор-функцій при (керуванню доступні компонент вектор-функції ), з використанням методів регуляризації некоректних задач побудований наближений стійкий розв’язок задачі .
Для побудови наближеного стійкого розв’язку задачі розглядається функціонал мінімум якого є розв’язком рівняння Ейлера
.
Рівняння , по аналогії до , розв’язується шляхом дискретизації із застосуванням квадратурних формул та методом ітеративної регуляризації Фрідмана.
Для систем, які моделюються співвідношенням (5), після побудови матриці-функції при побудований наближений стійкий розв’язок .
У четвертому розділі здійснюється чисельно-аналітичне моделювання фільтрації рідини в пористо-пружних повністю насичених вологою ґрунтових масивах складної неоднорідної структури під дією вертикальних поверхневих навантажень, що змінюються в часі вздовж поверхні масиву. У першому підрозділі четвертого розділу розглядаються випадки, коли ґрунтовий масив складається з: 1) двох однорідних ґрунтових пластів з чітко вираженим контактом за умови, що фізичні характеристики їх (щільність, проникність) різні; 2) однорідного ґрунтового масиву з тонким (відносно основного шару) слабопотужним прошарком, проникність якого суттєво відрізняється від проникності основного середовища.
З використанням методики, запропонованої в роботі, для першого випадку побудована залежність вектора переміщення рідини та порового тиску від вертикального поверхневого навантаження у вигляді (4). Дана задача розв’язується за відсутності інформації про фізичні й фільтраційні характеристики ґрунтового масиву та фізико-механічні й фільтраційні властивості контакту ґрунтових шарів . За наявності точно та неточно заданих спостережень за системою, які задовольняють умовам теорем 3 та 5 відповідно, розв’язані задачі ідентифікації матриці , моделювання стану системи та керування ним.
Серед переваг інтегральної моделі вигляду (4) для даної системи над отриманими раніше диференціальними моделями слід виділити наступні: 1) явна залежність вектор-функції від , що дає змогу безпосередньо моделювати стан системи при зміні навантажень; 2) можливість розв’язувати задачі моделювання розглядуваних процесів у випадку наявності водного живлення на границях області функціонування (поверхневе живлення, дренажі, підводні водойми і т.д.) та розривів у вектор-функціях початково-крайових умов.
У другому підрозділі четвертого розділу з використанням спостережень, зімітованих згідно диференціальної моделі процесу фільтрації рідини в пористо-пружних ґрунтах, здійснено чисельно-аналітичні розрахунки розв’язків задач математичного моделювання вищезгаданих систем.
В результаті досліджень, виконаних в даній дисертаційній роботі, поставлені та розв’язані задачі математичного моделювання лінійних динамічних СРП, частково формалізованих диференціальними співвідношеннями з використанням спостережень за ними.
Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:
Всі основні результати є новими, а запропоновані в роботі методи математичного моделювання можуть бути використані при розв’язанні конкретних технічних, екологічних, економічних та інших задач.
Зваридчук В.Б. Регуляризаційні та псевдоінверсні методи в задачах моделювання лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 –математичне моделювання та обчислювальні методи. –Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.
У дисертаційній роботі поставлені та розв’язані задачі математичного моделювання лінійних динамічних систем з розподіленими параметрами, частково формалізованих диференціальними співвідношеннями, з використанням спостережень за ними. Запропонована методика побудови інтегральних моделей таких систем. Розв’язані задачі ідентифікації ядер інтегральних моделей розподілених динамічних систем, що спостерігаються точно та з деякими похибками. Побудовані алгоритми математичного моделювання стану динамічних систем з розподіленими параметрами та керування ним. Встановлені оцінки точності такого моделювання. З використанням запропонованої в роботі методики змодельовано процес фільтрації рідини в пористо-пружних водонасичених ґрунтах складної неоднорідної структури під дією поверхневих навантажень.
Ключові слова: системи з розподіленими параметрами, моделювання стану, керування, інтегральні моделі, ідентифікація ядер інтегральних моделей.
Зваридчук В.Б. Регуляризационные и псевдоинверсные методы в задачах моделирования линейных динамических систем с распределенными параметрами. –Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 –математическое моделирование и вычислительные методы. –Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.
В диссертации поставлены и решены задачи математического моделирования линейных динамических стационарных систем с распределенными параметрами, частично формализованных дифференциальными соотношениями, с доступными для наблюдения характеристиками. Детально изучены вопросы устойчивости решений таких задач от ошибок входных данных.
Решены задачи идентификации ядер интегральных моделей динамики распределенных пространственно-временных процессов, характеристики которых наблюдаются точно и с некоторыми погрешностями. Сформулированы требования к наблюдениям, выполнение которых обеспечивает единственность точных и существование устойчивых приближенных решений вышеупомянутых задач. Рассмотрены случаи, когда матрица наблюдений за вектор-функцией внешнединамических воздействий диагональная, треугольная и блочная. Определены оценки погрешностей решений вышеупомянутых идентификационных задач.
Построены множества решений задач моделирования состояния линейных распределенных динамических систем, наблюдаемых точно. Сформулированы условия однозначности таких множеств.
Для неточно наблюдаемых систем построены устойчивые к погрешностям входных данных прямые и итерационные алгоритмы математического моделирования состояния линейных систем с распределенными параметрами. Определены оценки точности такого моделирования.
Смоделированы решения задач управления динамикой распределенных пространственно-временных систем. Рассмотрены случаи, когда управлению доступны вектор-функции внешнединамических и (или) начально-краевых воздействий.
Предлагаемая в работе методика математического моделирования применена к построению алгоритмов численно-аналитического моделирования процесса фильтрации жидкости в пористо-упругих грунтах сложного состава под воздействием поверхностных нагрузок. Для иллюстрации теоретических результатов работы проведен численный эксперимент.
Ключевые слова: системы с распределенными параметрами, моделирование состояния, управление, интегральные модели, идентификация ядер интегральных моделей.
Zvarydchuk V.B. Regularization and pseudoinverse methods in modeling problems of linear dynamic distributed-parameters systems. –The manuscript.
Thesis for a Candidate Degree in Physical and Mathematical Sciences on speciality 01.05.02 –mathematical modeling and computing methods. – Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.
This dissertation covers problems of mathematical modeling of linear stationary systems with distributed parameters described by incomplete differential models with characteristics accessible for observation. A method to construct integral models of the above-mentioned systems is offered here. Identification problems of integral models kernels of distributed dynamic systems are also solved. The cases where observations were made both with high degree of precision and with definite approximation are considered in this work. Direct and iterative algorithms of state mathematical modeling and control of distributed parameters systems are built. The exactness estimations of such modeling are made. The offered technique has been applied to the problems of state modeling of water filtration process in porous-resilient water-filled ground layers with complicated heterogeneous structures with a surface burdens.
Key words: distributed-parameters systems, direct problems, control problems, integral models, modeling, identification of integral models kernels.