Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Работу выполнили студенты группы ЭС-41:
Елкин Ян
Кашпур Евгений
Киндурис Томас
Косякова Татьяна
Ксендзов Максим
Шило Елена
Метод Монте-Карло
Цель работы: найти общую информацию о методе Монте-Карло, с помощью этого метода решить задачу согласно варианту.
Сведения из теории
Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Происхождение метода Монте-Карло
Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 год, когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method». Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В Советском Союзе первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955—1956 годах.
Теоретическая основа метода была известна уже давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, то есть фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины вручную – очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.
Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом. Дело в том, что одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.
Для того чтобы было более понятно, в чем состоит суть метода, рассмотрим весьма простой пример. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически, связная или состоящая из нескольких кусков. Пусть это будет фигура, изображенная на рисунке 1, и предположим, что она вся расположена внутри единичного квадрата.
Рисунок 1 – Заданная фигура
Выберем в квадрате N случайных точек. Обозначим через N’ число точек, попавших при этом внутрь S. Геометрически очевидно, что площадь S приближенно равна отношению N'/N. Чем больше будет N, тем больше будет точность этой оценки.
В примере, изображенном на рисунке 1, выбраны N = 40 точек. Из них N’=12 точек оказались внутри S. Отношение N/N’ = 12/40 = 0,30, в то время как истинная площадь S равна 0,35).
Особенности метода Монте-Карло
Первая особенность метода – простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от всех остальных, и результаты всех опытов усредняются.
Поэтому иногда метод Монте-Карло называют методом статистических испытаний.
Вторая особенность метода: ошибка вычислений, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N – число испытаний. Из этой формулы видно, что для того, чтобы уменьшить ошибку в 10 раз нужно увеличить N в 100 раз.
Ясно, что добиться высокой точности на таком пути невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью(5 – 10%).
Однако одну и ту же задачу можно решать различными вариантами метода Монте-Карло, которым отвечают различные значения D. Во многих задачах удается значительно увеличить точность, выбрав способ расчета, которому соответствует значительно меньшее значение D.
Задачи, решаемые методом Монте-Карло
Во-первых, метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Во-вторых, для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайностями, можно искусственно придумать вероятностную модель, позволяющую решать эти задачи.
Таким образом, можно говорить о методе Монте-Карло как об универсальном методе решения математических задач.
Особенно интересно, что в некоторых случаях выгодно отказаться от моделирования истинного случайного процесса и вместо этого использовать искусственную модель.
Решение задачи
Задача 2.7.1 Методом Монте-Карло определить закономерности времени занятия абонентской телефонной линии, если данное время складывается из времени ожидания гудка (tг), времени набора номера (tн), ожидания соединения (tс), ожидания ответа абонента (tо1), ожидания ответа абонента при условии его отсутствия (to2), времени слушания сигнала занятости (tз), времени разговора (t), времени разъединения (tр). Время каждого из этапов считать независимыми случайными величинами, подчиняющимися некоторому закону распределения с параметрами (см. инд. задание). Вероятность занятости вызываемого абонента (pз) и вероятности отсутствия вызываемого абонента (ро) принять равной (см. инд. задание).
Найти среднее время занятия АЛ и квантили времени занятия АЛ уровней 0,05,0,1,0,25, 0,5,0,75,0,9,0,95. Обосновать достаточное количество реализаций модели.
|
Вариант |
tг |
tн |
tс |
tо1 |
to2 |
tз |
t |
tр |
ро |
pз |
|
|
Распределение |
R |
LN |
R |
LN |
LN |
R |
LN |
R |
|||
|
1 |
α, сек |
1 |
6 |
2 |
6 |
12 |
2 |
40 |
1 |
0,2 |
0,3 |
|
β,сек |
3 |
4 |
4 |
7 |
5 |
3 |
60 |
3 |
Решение
Статистический анализ
Выборка из 100 значений
Рисунок 2 – Оцениваемые числовые характеристики и столбцовая диаграмма для 100 значений
Выборка из 6000 значений
Рисунок 3 – Оцениваемые числовые характеристики и столбцовая диаграмма для 6000 значений
|
Count – объем выборки |
|
Average – математическое ожидание |
|
Median – медиана |
|
Mode – мода |
|
Geometric mean – геометрическое среднее |
|
Variance – дисперсия |
|
Std. Deviation – среднеквадратическое (стандартное) отклонение |
|
Std. Error – стандартная ошибка |
|
Minimum – минимальное значение выборки |
|
Maximum – максимальное значение выборки |
|
Range – размах выборки |
|
Lower quartile – нижняя квартиль |
|
Upper quartile – верхняя квартиль |
|
Interquar. Range – межквартильный размах выборки |
|
Skewness – коэффициент асимметрии |
|
Std. Skewness – стандартизованный коэффициент асимметрии |
|
Kurtosis – коэффициент эксцесса |
|
Std. Kurtosis – стандартизованный коэффициент эксцесса |
|
Coeff. of Variation – коэффициент вариации |
|
Sum – сумма элементов выборки |
Вывод: В результате проведенного анализа, мы пришли к выводу, что различия между средними значениями времени занятия АЛ для выборок из 100 и 6000 значений являются незначительными и, следовательно, выборка из 100 значений достаточна для определения числовых характеристик.