Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Глазовский государственный педагогический институт
имени В. Г. Короленко»
Кафедра информатики, теории и методики обучения информатике
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ГУМАНИТАРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Курсовая работа
студентки группы 145
факультета информатики, физики и математики
Марьиной Марии Васильевны
Научный руководитель: Данилов О. Е.,
канд. пед. наук, доцент.
Дата защиты курсовой работы: ________
Оценка: ____________________________
оценка и подпись научного руководителя
Глазов, 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………..
Глава 1. Математические методы
Глава 2. Математические методы в системе образования
2.1. Изучение многокомпонентной модели обучения…………………….
Список использованной литературы ………………………………………………
ВВЕДЕНИЕ
Исследование операций — научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами.
Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены. Следовательно, цель исследования операций — количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.
При решении конкретной задачи управления применение методов исследования операций предполагает:
• построение экономических и математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;
• изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.
Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами.
Элементами обобщенной математической модели являются (Рис. 1):
Рис.1. Обобщенная математическая модель
Цель исследования – изучить математические модели, рассмотреть математические модели в системе образования, разобрать многокомпонентную модель обучения и предоставить компьютерную программу.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Выяснить что такое математические методы.
2. Изучить несколько методов.
3. Изучить многокомпонентную модель обучения.
Объект исследования – математические модели в гуманитарных исследованиях.
Предмет исследования – многокомпонентная математическая модель обучения.
Основное содержание курсовой работы изложено в 2 главах. В главе 1 рассматриваются общие сведения о математических моделях и некоторые их примеры. В главе 2 рассматривается математическая модель обучения. Все выводы по проделанной работе сформулированы в “Заключение”.
Глава 1. Математические методы
Графический метод используется для решения задач с двумя переменными следующего вида:
Z(X) =c1x1+c2x2 → max (min)
Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения.
Область допустимых решений задачи строится как пересечение областей решений каждого из заданных ограничений.
Областью решений линейного неравенства ai1x1+ai2x2≤bi является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая ai1x1+ai2x2=0, соответствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость. Для того, чтобы определить, какая из полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая эту точку, если не удовлетворяется – то полуплоскость, не содержащая данную точку.
Для нахождения среди допустимых решений оптимального используют линии уровня и опорные прямые. Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня имеет вид c1x1+c2x2=L, где L = const. Все линии уровня параллельны между собой. Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой эта область находиться в одной из полуплоскостей. Важное свойство линии уровня: при параллельном смещении линии в одну сторону уровень возрастает, а в другую сторону – убывает.
Задание 1: Решить графическим методом задачу с двумя переменными.
Z(x)=2х1+3х2 → max
-6х1+х2 ≥ 3
-5х1+9х2 ≤ 45
x1-3х2 ≤ 3
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0
Найдем точки пересечения прямых с осями координат:
I. -6х1+х2=3
1) х1=0 2) х2=0
x2=3 х1= -1/2
II. -5х1+9х2=45
x2=5 х1= -9
III. х1-3х2=3
x2= -1 х1=3
Построим область решения данной системы:
Найдем вектор направленности целевой функции
Z(х)=2х1+3х2=0
x2=0 х2= -2
Z(х)=2х1+3х2=6
x2=2 х1=3
Ответ: Целевая функция принимает максимальное значение в точке (0;0), при х1=0 и х2=0.
Любой задаче линейного программирования, называемой исходной, можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной. Обе эти задачи образуют пару двойственных задач. Каждая из задач является двойственной к другой задаче.
Алгоритм составления двойственной задачи:
1) Привести все неравенства ограничений исходной задачи к единому смыслу: если в исходной задаче ищется максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду «≤», а если минимум – к виду «≥». Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1.
2) Составить расширенную матрицу системы – А, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.
3) Найти матрицу А' транспонированную к матрице А
4) Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы А` и условия неотрицательности переменных.
Основная теорема двойственности: Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их целевых функций равны. Если линейная функция одной задачи неограниченна, то условия другой задачи противоречивы.
Вторая теорема двойственности: Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.
Задание 2: Решить графическим методом задачу с двумя переменными.
Z(х)=4х1+13х2+3х3+6х4 → min
При ограничениях:
-5х1+3х2-х3+2х4+х5 = -1
9х1-4х2+2х3-3х4+х6 = 6
Учитывая условия неотрицательности:
xj ≥ 0 , j=1,2,3,4.
Для решения данной задачи необходимо перевести систему ограничений в стандартный вид путём введения дополнительных переменных:
-5х1+3х2-х3+2х4+х5 ≥ -1
9х1-4х2+2х3-3х4+х6 ≥ 6
Составим расширенную матрицу системы уравнений:
-5 3 -1 2 1 0 -1
А = 9 -4 2 -3 0 1 6
4 13 3 6 0 0 Z
Найдем транспонированную матрицу системы уравнений:
-5 9 4
3 -4 13
-1 2 3
А′ = 2 -3 6
1 0 0
0 1 0
-1 6 F
Составим новую систему ограничений:
F(y)= -у1+6у2 → max
-5у1+9у2 ≤ 4
3у1+4у2 ≤ 13
-у1+2у2 ≤ 3
2у1-3у2 ≤ 6
y1≤ 0
у2 ≤ 0
у1 ≥ 0; у2 ≥ 0
Найдем точки пересечения прямых с осями координат:
I. -5у1+9у2 ≤ 4
1) у1=0 2) у2=0
y2=4/9 у1= -4/5
II. 3у1+4у2 ≤ 13
y2= -13/4 у1=13/3
III. –у1+2у2 ≤ 3
у2=3/2 у1= -3
IV. 2у1-3у2 ≤ 6
у2= -2 у1=3
Построим область решений системы неравенств:
FA=9– max
FB=4/9*6=8/3=2*2/3– min
Ответ: по теореме двойственности Fmax = Zmin = 9.
Данный метод состоит в целенаправленном переборе опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов расчета либо найти оптимальное решение, либо установить его отсутствие.
Для реализации симплексного метода необходимо:
– последовательного улучшения решения
– необходимо освоить три основных элемента:
Задание 3: Решить задачу симплексным методом.
Z(x)=x1-x2+x3 → max
При ограничениях:
4x1+2x2+x3 ≥ 6
-x1+x2+x3 = 1
x1-x2+4x3 ≤ 24
Учитывая условия неотрицательности:
xj ≥ 0 , j=1,2,3
Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на две группы – основные и свободные. В качестве основных переменных на первом шаге следует выбирать такие m переменные, каждая из которых входит только в одно из m уравнений системы, в которые не входит не одна из этих переменных. Свободные переменные удовлетворяют этому правилу.
I шаг: Основные переменные: х2, х4, х5
Свободные переменные: х1, х3
С помощью дополнительных неотрицательных переменных перейдём к системе уравнений:
x2=1+x1-x3
x4=-4+6x1-3x3
x5=25+3x3
Получим первое базисное решение, которое является недопустимым т.к. присутствует отрицательный компонент
x1=(0,1,0,-4,25) – недопустимое базисное решение.
x3=min{1,∞,25/3}=1
II Шаг.
Основные переменные: х1, х2, х5
Свободные переменные: х3, х4
Выразим новые основные переменные через неосновные:
x1=2/3+х3/2+х4/6
x2=5/3+x3/2+x4/6
x5=25+x3
Получим второе базисное решение, которое является допустимым т.к. отрицательных компонентов нет.
x2=(2/3,5/3, ,0,0,25) – допустимое базисное решение.
Выражаем линейную функцию через неосновные переменные:
Z(x)=2/3+x3/2+x4/6-5/3-x3/2-x4/6+25+x3=24+x3=24.
Так как в выражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.
Глава 2. Математические методы в системе образования
2.1. Изучение многокомпонентной модели обучения
Допустим имеется n учеников, каждый из которых характеризуется набором параметров αi ,βi , γi ,…( i= 1, 2,…,n), и m учителей, владеющих методами М1, М2, М3, и т.д. Основная задача дидактики состоит в том, чтобы так организовать учебный процесс, то есть выбрать методы и распределить изучаемый материал в течение заданного промежутка времени, чтобы в конце обучения учащиеся справились с системой тестов Т={Т1,Т2,...}. Сформулируем закон дидактики: скорость увеличения знаний Z пропорциональна прилагаемым усилиям F(t), эффективности методики обучения η, коэффициентами усвоения α и понимания П: dZ/dt=αПηF(t). Будем считать, что прилагаемые усилия F пропорциональны разности между уровнем требований U учителя и знаниями Z учащихся: F=a(U-Z). Усвоение и запоминание сообщаемой информации предполагает установление логических и ассоциативных связей между новыми и имеющимися знаниями. В результате приобретенные знания становятся более прочными и забываются значительно медленнее. Предполагаемая многокомпонентная модель обучения выражается следующей системой уравнений:
dZ1/dt= ka1(U-Z)Zb-ka2Z1-γ1Z1,
dZ2/dt= ka2Z1-ka3Z2-γ2Z2,
dZ3/dt= ka3Z2-ka4Z3-γ3Z3,
dZ4/dt= ka4Z3-γ4Z4 ,
где U –– уровень требований, предъявляемый учителем, равный сообщаемым знаниям Z0, Z –– суммарные знания, Z1 –– самые “непрочные” знания первой категории с высоким коэффициентом забывания γ1 (гамма), а Z4 –– самые “прочные” знания четвертой категории с низким γ4 (γi+1меньше γi, i= 1, 2, 3). Коэффициенты усвоения αi (альфа) характеризуют быстроту перехода знаний (i-1)–ой категории в знания i–ой категории. Пока происходит обучение, k=1, а когда оно прекращается k=0. Коэффициент забывания γi=1/τi, где τi –– время, в течение которого количество знаний i–ой категории уменьшается в e = 2,72... раза. Результат обучения характеризуется не только суммарным уровнем приобретенных знаний Z= Z1+ Z2+ Z3+ Z4, но и коэффициентом “прочности”: Pr=(Z2/4+ Z3/2+Z4)/Z. При изучении одной темы сначала растет уровень знаний Z1, затем постепенно происходит увеличение количества более прочных знаний Z2, Z3, Z4. При этом повышается прочность Pr. Результаты использования двухкомпонентной модели обучения представлены на рис. 2. Учитель проводит три урока в течении которых уровень требований растет пропорционально времени: U=a1(t-t0)+a2. Видно, что во время перерывов и после обучения уровень непрочных знаний Z1 быстро уменьшается, а прочные знания Z2 забываются медленнее. При использовании четырехкомпонентной модели получаются аналогичные результаты (рис. 3.). Уровень требований в течение занятия не изменяется.
Uses crt, graph;
const a1=0.01; a2=0.0075; a3=0.005; a4=0.0025; g1=0.02;
g2=0.002; g3=0.0002; g4=0.00002; dt=0.01; Mt=0.25; Mz=5;
Var t, U, Z1, Z2, Z3, Z4, Z, Pr, S, k: real; DV,MV: integer;
BEGIN DV:=Detect; InitGraph(DV,MV,’d:\bp\bgi’);
Repeat t:=t+dt; U:=0; k:=0;
If (t<500) then begin U:=40; k:=1; end;
If (t>800) and (t<1300) then begin U:=60; k:=1; end;
If (t>1600) and (t<2100) then begin U:=80; k:=1; end;
Z:=Z1+Z2+Z3+Z4;
Z1:=Z1+k*a1*(U-Z)*dt-g1*Z1*dt-k*a2*Z1*dt;
Z2:=Z2+k*a1*Z1*dt-g2*Z2*dt-k*a3*Z2*dt;
Z3:=Z3+k*a3*Z2*dt-g3*Z3*dt-k*a4*Z3*dt;
Z4:=Z4+k*a4*Z3*dt-g4*Z4*dt;
Pr:=(Z2/4+Z3/2+Z4)/(Z+0.001);
S:=S+k*(U-Z)*dt;
circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*U),1);
circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*U),1);
circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*U),1);
circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*U),1);
circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*(Z2+Z3+Z4)),1);
circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*(Z2+Z3+Z4)),1);
circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*(Z3+Z4)),1);
circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*(Z3+Z4)),1);
circle(10+round(Mt*t),450-round(Mz*Z4),1);
circle(10+round(Mt*t),451-round(Mz*Z4),1);
circle(10+round(Mt*t),450-round(150*Pr),1);
circle(10+round(Mt*t),450-round(S/100),1);
circle(10+round(Mt*t),450-round(150),1);}
until KeyPressed; CloseGraph;
end.
Рис. 2. Двухкомпонентная модель обучения
Рис. 3. Четырехкомпонентная модель обучения
Обучение будет наиболее эффективным, когда уровень требований учителя превышает знания учащегося на максимально возможную величину, при которой у учащегося не пропадает мотивация к учебной деятельности. Такой режим обучения будем называть согласованным. Для нахождения эффективного пути обучения, соответствующего минимальным затратам энергии учителя и учащегося, в качестве целевой функции рассматриваемой оптимизационной задачи возьмем функционал:
j-Zj)t ,
n= (t2-t1)/t
Нагрузка на учащегося должна быть равномерно распределена по всем занятиям так, чтобы не было переутомления. Поэтому для каждого i-го занятия следует вычислять затраты энергии Si=k(U-Z)Δt и сравнивать их с пороговым значением Smax. Допустим, в режиме согласованного обучения проводятся три занятия, начинающиеся в фиксированные моменты времени t0=0, t2 и t4. Определим длительность занятий, при которой уровень знаний в момент t’ будет равен Z(t’)= Z’. Для решения этой оптимизационной задачи использовалась программа, содержащая цикл, в котором случайным образом изменяется длительность урока Tu, затем пересчитывается Z и выясняется, приблизился уровень знаний к требуемому значению Z’ или нет. Если да, то изменения Tu принимаются, если нет, то отвергаются, и все повторяется снова. Результаты представлены на рис. 4. Рассмотрим другую ситуацию, в которой начала t0, t2, t4, t6, t8 и длительности Tu пяти занятий фиксированные, а уровни требований Ui(i=1,2,…,5) изменяются. Необходимо подобрать такие Ui, чтобы уровень знаний учащегося достиг заданного значения Z’. Результаты моделирования представлены на рис. 5.
Рис. 4. Нахождение оптимальной организации обучения
Рис. 5. Нахождение оптимальной организации обучения
Теперь представим, что учитель должен обучить ученика решать 10 задач возрастающей сложности θi= θi+i∆ θ, которая равна количеству знаний, требующихся для решения i-й задачи. Учитель располагает задачи в порядке возрастания сложности и задает их ученику через равные промежутки времени ∆t. Если общее количество знаний Z больше или равно θi, то ученик решает задачу. Суммарные знания Z увеличиваются, часть непрочных знаний становится прочными. После этого ученику предлагается (i+1)-я задача с более высоким уровнем сложности θi+1 . Если у ученика знаний меньше чем θi+1, то он не может решить (i+1)-ю задачу сразу. Учитель его обучает в течение времени ∆t, а затем снова предлагает эту же или аналогичную задачу той же сложности θi+1. Занятия длительностью Tu∆t чередуются переменами продолжительностью TП∆t.
Решение задачи будем рассматривать как случайный процесс, вероятность которого равна: Pi= 1/(1+exp(-λ(Z(t)-θi)) (формула Раша). Результаты имитационного моделирования обучения на трех и четырех занятиях представлены на рис. 6. Ступенчатая линия u(t) показывает, как меняется сложность решаемых задач; графики Z1(t) и Z2(t) характеризуют динамику роста непрочных и прочных знаний. Эти кривые похожи на графики на рис. 2., соответствующие линейной зависимости уровня требований учителя от времени.
Рис. 6. Модель обучения путем решения задач возрастающей сложности
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проделанной работы рассмотрены некоторые математические модели: графический метод, теория двойственности, симплексный метод; изучена многокомпонентная модель обучения, поставленные цели и задачи выполнены, а именно:
Список использованной литературы
1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие. Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА – М, 2004.
3. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи. Клименко Ю.И..- М.: Экзамен, 2005.
4. Справочное пособие по высшей математике. Боярчук А.К., Головач Г.П.
5. Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .