Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 муниципального образования город Горячий Ключ
Урок по теме:
Комбинаторика.
Комбинаторные задачи.
Учитель математики
Минасян Людмила Григорьевна
МБОУ СОШ №2 г.Горячий Ключ
Цель урока: познакомить учащихся с разделом математики – комбинаторикой. Показать решение некоторых комбинаторных задач.
Ход урока: а) объяснение материала; б) закрепление материала, решение задач.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитать число комбинаций.
Такие задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называется комбинаторикой.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает «соединять», «сочетать».
Рассмотрим такой
пример1.
На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром.
Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?
Решение.
|
Плюшка |
Бутерброд |
Пряник |
Кекс |
|
|
Кофе |
Кофе Плюшка |
Кофе Бутерброд |
Кофе Пряник |
Кофе Кекс |
|
Сок |
Сок Плюшка |
Сок Бутерброд |
Сок Пряник |
Сок Кекс |
|
Кефир |
Кефир Плюшка |
Кефир Бутерброд |
Кефир Пряник |
Кефир Кекс |
Всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.
Ответ: 12.
Однако составлять такие таблицы для каждой задачи, занимает время.
А чтобы решить такую задачу быстрее, можно воспользоваться правилом умножения.
Правило умножения.
Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В , следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Пример 2.
Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный.
Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?
Решение будем искать с помощью «дерева возможных вариантов».
Посмотрим на левую «веточку», идущую от «флага», пусть верхняя полоса – белого цвета, тогда средняя полоса может быть синей или красной, а нижняя – соответственно, красной или синей. Получилось два варианта цветов полос флага: белая, синяя, красная и белая, красная, синяя.
Пусть теперь верхняя полоса – синего цвета, это вторая «веточка».
Тогда средняя полоса может быть белой или красной, а нижняя - соответственно, красной или белой. Получилось еще два варианта цветов полос: синяя, белая, красная и синяя, красная, белая.
Аналогично рассматривается случай для верхней полосы красного цвета.
Получается еще два варианта: красная, белая, синяя и красная, синяя, белая.
Всего 6 комбинаций.
Ответ: 6.
Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Поэтому ее называют «деревом возможных вариантов».
А вот так выглядит «дерево возможных вариантов» для такого примера 3:
Пример 3.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 и 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Ответ: 24.
Однако многие задачи можно решить быстрее и легче. Для этого надо знать простейшие комбинации, которые можно составлять из элементов конечного множества.
И одна из первых таких комбинаций - перестановки.
Рассмотрим пример.
Имеются три книги. Обозначим их буквами a ,b и c.Эти книги нужно расставить на полке по-разному:
а b с, а с b, b а с, b с а, с а b, с b а.
Каждое из этих расположений и называют перестановкой из трех элементов.
Перестановкой из n элементов называют каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Обозначают: Рn = n! (n факториал).
n! =.
Например: 3! = , 1! = 1.
Поэтому задачу с книгами можно решить так:
Р3=.
Задача №1.
Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
Решение:
Р4 =
Ответ: 24.
Задача №2.
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2, 4.6?
Решение: из цифр 0,2.4.6 можно составить Р4 перестановок. Из этого числа нужно исключить те перестановки, которые начинаются с 0.
Число таких перестановок Р3. Значит искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0,2,4,6 равно:
Р4 – Р3= 4!-3!= Ответ: 18.
Задача №3.
Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники.
Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Решение: сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р6 способами.
И в каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг равно произведению: Р6*Р4=
Задача № 4.
В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия.
Сколькими способами можно расставить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Решение: Р6* Р2=
Ответ: 1440.
Вторым видом комбинаций являются размещения.
Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d.
В пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора.
|
a |
b |
c |
a |
c |
b |
b |
a |
c |
|
d |
c |
b |
и т.д. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещениями из четырех элементов по три и обозначают А
|
abc |
abd |
acb |
acd |
adb |
adc |
|
bac |
bad |
bca |
bcd |
bda |
bdc |
|
cab |
cad |
cba |
cbd |
cda |
cdb |
|
dab |
dac |
dba |
dbc |
dca |
dcb |
Из составленной таблицы видно, что таких комбинаций 24.
Размещением из n элементов по k (nk) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов и обозначается А.
И необязательно каждый раз составлять схемы или таблицы. Достаточно знать формулу:
А
Если размещения составляются из n элементов по n, то А
Задача 5.
Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета.
Решение: А(способов).
Задача 6.
На странице альбома 6 свободных мест для фотографий.
Сколькими способами можно вложить в свободные места
а) 4 фотографии;
б) 6 фотографий.
Решение: а) А
б) А
Задача 7.
Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?
Объяснение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А. Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.
Значит, искомое число равно: А.
Решение: А
Задача 8.
Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых: а) не встречаются цифры 6 и 7;
б) цифра 8 является последней?
Решение: а) А
б) А
Задача 9.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?
Решение: А
А теперь рассмотрим такой сюжет:
Имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется составить букет из трех гвоздик.
Выясним, какие букеты можно составить.
Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:
abc, abd, abc, acd, ace, adc.
Если в букет не входит гвоздика a, а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:
bcd, bce, bdc.
Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a,гвоздика b, то можно составить букет
cde.
Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.
Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и обозначается С
в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.
С
Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:
Решение: С
Задача 10.
Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: С
Задача 11.
Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?
Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать С способами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать С способами.
Решение: С =
Задачи для закрепления.
Задача I.
В классе 7 человек успешно занимаются математикой.
Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Решение: С
Задача II.
В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.
Сколькими способами это можно сделать, если:
а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;
б) заведующий должен остаться.
Решение: а) С б)С
Задача III.
В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и три девочки.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение: С
Задача IV.
В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
Решение: С.