тематика список вопросов для подготовки к экзаменам Прокопье
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
томский университет систем управления и радиоэлектроники
Высшая математика
(список вопросов для подготовки к экзаменам)
Прокопьевск - Томск, 2005 г.
Составитель: кандидат физико-математических наук,
профессор Магазинников Л.И.
Содержание
I семестр 3
II семестр 15
III семестр 20
IV семестр 27
I семестр
Глава I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Дать определение матрицы размера m×n.
Привести примеры информации, которую удобно записывать в матричном виде.
Дайте определения ступенчатой, квадратной, треугольной, диагональной и единичной матриц.
Какие матрицы называются равными?
Опишите операцию умножения матрицы на число.
Опишите операцию сложения матриц.
Опишите операцию умножения матриц.
Опишите операцию транспонирования матрицы.
Дайте определение перестановки и инверсии в ней. Как подсчитать число инверсий в перестановке (α1, α2, … αn).
Для каких матриц определено понятие определителя.
Опишите, как составляются слагаемые, входящие в определитель n-того порядка.
Дайте определение определителя n-того порядка.
Опишите правило вычисления определителя порядка 2.
Опишите правило вычисления определителя порядка 3.
Как изменится определитель при транспонировании матрицы?
Чему равен определитель, имеющий стоку или столбец целиком состоящий из нулей?
Как измениться определитель, если его строку или столбец умножить на число α?
Как измениться определитель, если в нем переставить две строки или два столбца?
Опишите, в чем заключается линейное свойство определителя?
Как измениться определитель, если к какой-либо его строке прибавить другую, умноженную на некоторое число?
Как измениться определитель, если к какой-либо строке, умноженной на число α добавить другую строку, умноженную на число β?
Чему равен определитель имеющий две пропорциональные строки?
Как связаны между собой определители матриц А и λА.
Чему равен определитель произведения матриц А и В.
Дайте определение алгебраического дополнения элемента .
Сформулируйте и докажите две теоремы об алгебраических дополнениях.
Дайте определение минора .
Сформулируйте и докажите теорему о связи минора и алгебраического дополнения.
Опишите, как свести, вычисление определителя порядка n к вычислению определителя порядка n-1.
Дать определение обратной матрицы.
Какие матрицы имеют обратную?
Как найти элемент обратной матрицы?
Как найти матрицу Х из уравнения А·Х=В, если detА≠0.
Как найти матрицу Х из уравнения Х·А=В, если detА≠0.
Объясните, как понимаете слова: «Определена внутренняя операция над элементами множества А».
Объясните, как понимаете слова: «Определена внешняя операция над элементами множества А».
Сформулируйте аксиомы, характеризующие внутреннюю операцию в определении линейного пространства.
Сформулируйте аксиомы, характеризующие внешнюю операцию в определении линейного пространства.
Сформулируйте аксиомы, связывающие внешнюю и внутреннюю операции в определении линейного пространства.
Дайте определение понятий линейной комбинации, линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы векторов.
Приведите примеры линейных пространств.
Какое линейное пространство называется n-мерным?
Дайте определение базиса n-мерного линейного пространства.
Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по базису в n-мерном линейном пространстве.
Дать определение координат вектора в линейном пространстве.
Сформулируйте и докажите теорему о сведении внутренней и внешней операций над векторами к операциям над их координатами.
Дайте определение минора порядка m матрицы А.
Дайте определение ранга матрицы.
Дайте определение базисного минора, базисных строк и столбцов матрицы.
Сформулируйте и докажите теорему и базисном миноре.
Сформулируйте правило, позволяющее определить линейно зависимы строки (столбцы) матрицы или нет.
Сформулируйте правило, позволяющее определить, является ли данная строка матрицы линейной комбинацией других строк или нет.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимых и достаточных условиях равенства нулю определителя.
Определите преобразования матрицы, называемые элементарными.
Опишите практический способ отыскания ранга матрицы.
Какие два линейных пространства называются изоморфными.
Дайте определение подпространства. Понятия линейной оболочки.
Сформулируйте теорему о размерности линейной оболочки Z [].
Какое линейное пространство называется евклидовым.
Запишите неравенство Коши - Буняковского.
Какие два вектора из Еn называются ортогональными.
Дайте определение ортогональной системы векторов в Еn. Сформулируйте и докажите теорему линейной независимости ортогональной системы.
Опишите процесс ортогонализации системы векторов из Еn.
Как строится матрица перехода от одного базиса к другому.
Запишите формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух базисах (в матричной форме).
Укажите свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Запишите формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух ортонормированных базисах.
Какие формы записи систем линейных уравнений знаете? Запишите систему, используя правило Эйнштейна, а также в матричной форме.
Дайте определение решения системы.
Дайте определения совместных, несовместных, определенных и неопределенных систем.
Сформулируйте и докажите теорему о совместности произвольной системы линейных уравнений.
Какие две системы называются эквивалентными.
Для каких систем линейных уравнений применимо правило Крамера. Запишите формулы Крамера и получите их.
Как узнать, какие из уравнений можно удалить из системы, не нарушая ее эквивалентности.
Какие неизвестные системы называют свободными, а какие зависимыми.
Дайте определение общего и частного решения системы.
Сформулируйте и докажите две теоремы о существовании нетривиальных решений однородной системы.
Свойства решений системы линейных однородных уравнений.
Из каких свойств решений линейной однородной системы следует, что множество всех решений таких систем образует линейное пространство. Какова его размерность.
Дайте определение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений. Сколько решений содержит Ф.С.Р.
Дайте определение геометрического вектора , его модуля || и нулевого вектора. Какие два вектора называются коллинеарными.
Какие два вектора и называются равными?
Как отложить вектор от точки А?
Как определяется операция сложения векторов ?
Как определяется операция умножения вектора на число?
Дать определение понятий: «Линейная комбинация геометрических векторов», «Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов».
Понятие аффинного и декартова базиса во множестве геометрических векторов. Понятие координат вектора. Как устроен базис на прямой, плоскости и в пространстве.
Что означает геометрически линейная зависимость системы двух векторов.
Какая система векторов называется компланарной. Что означает геометрически линейная зависимость системы из трех и более векторов.
Понятие аффинной и декартовой систем координат. Как называют оси в декартовой системе координат.
Понятие радиуса-вектора точки и координат точки. Как найти координаты вектора, зная координаты его конца и начала.
Как понимаете утверждение: «Точка М делит отрезок АВ в отношении λ.
Запишите координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ, если А(х1,у1), В(х2,у2).
Понятие проекции точки на ось и проекции вектора на ось. Чему равна проекция вектора на ось , если (^)=φ.
Дайте определение скалярного произведения геометрических векторов. Его свойства.
Как узнать, используя скалярное произведение, какой угол (прямой, тупой или острый) образуют векторы и .
Запишите формулы вычисления скалярного произведения (,), если известны декартовы координаты векторов и .
Как, используя понятие скалярного произведения, найти длину вектора и расстояние между двумя точками.
Как найти , cos (^)?
Дайте определение направляющих косинусов вектора, как их найти?
Понятие орта вектора. Как найти координаты орта вектора.
Понятие правой и левой связки двух векторов. Понятие левой и правой тройки векторов.
Дать определение векторного произведения геометрических векторов и .
Свойства векторного произведения.
Геометрический смысл |[,]|.
Формула вычисления векторного произведения, если известны декартовы координаты векторов.
Дать определения смешанного произведения трех векторов.
Геометрический смысл |[,,]| и знака (,,).
Как узнать компланарна тройка векторов ,, или нет, используя понятие смешанного произведения.
Формула вычисления смешанного произведения векторов по их известным декартовым координатам.
Понятие функции f:хRn→yRm.
Определение линейного оператора А:Rn→Rm.
Как строится матрица линейного оператора А:Rn→Rm.
Как найти координаты вектора А, зная матрицу оператора А:Rn→Rm.
Запишите матрицу линейного оператора А:R1→R1.
Запишите матрицу линейного оператора А:Rn→R1.
Запишите матрицу линейного оператора А:R1→Rn.
Определите операцию сложения двух линейных операторов. Как найти матрицу суммы двух операторов.
Определите операцию умножения оператора на число.
Определите композицию двух линейных операторов. Как найти матрицу композиции линейных операторов А и В.
Понятие обратного линейного оператора.
Запишите закон изменения матрицы линейного оператора А:Rn→ Rn при переходе к новому базису.
Дать определение собственных чисел и собственного вектора линейного оператора А:Rn→Rn.
Запишите характеристическое уравнение матрицы А.
Опишите процесс отыскания собственных векторов матрицы А.
Сформулируйте и докажите теорему о линейной комбинации собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу.
Сформулируйте теорему о системе собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным числам.
Дайте определение симметрического линейного оператора Q:En→En.
Охарактеризуйте свойства симметрического линейного оператора.
Дать определение линейной формы L[y].
Запишите общий вид линейной формы. Как вычисляются коэффициенты линейной формы.
Как изменяются коэффициенты линейной формы при изменении базиса.
Дать определение билинейной формы В(,).
Запишите общий вид билинейной формы. Как определяются элементы матрицы билинейной формы в заданном базисе.
Какая билинейная форма называется симметричной.
Как изменяется матрица билинейной формы при изменении базиса?
Дать определение квадратичной формы. Запишите общий вид квадратичной формы при n=3.
Понятие канонического вида и главных осей квадратичной формы.
Опишите процесс приведения квадратичной формы к главным осям.
Дайте определение уравнения плоской кривой z относительно декартовой системы координат.
Записать уравнение окружности с центром в точке (х0,у0) радиуса R.
Дайте определение уравнения поверхности S относительно декартовой системы координат.
Дайте определение сферы. Запишите уравнение сферы с центром в точке, М0(х0,у0,z0) радиуса R.
Запишите параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости.
Запишите и докажите формулу вычисления расстояния от точки М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 на плоскости.
Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, охарактеризуйте его коэффициенты.
Запишите формулы для вычисления угла между прямыми.
Охарактеризуйте взаимное расположение двух прямых А1х+В1у+С1=0, А2х+В2у+С2=0.
Запишите в векторной и координатной форме уравнения плоскости, проходящей через точку М0(х0,у0,z0) перпендикулярно вектору ={А,В,С}.
Запишите общее уравнение плоскости. Охарактеризуйте его коэффициенты.
Запишите в векторной и координатной форме уравнения плоскости, проходящей через точку М0(х0,у0,z0) с радиусом вектором параллельно векторам ={m1,n1,p1} и ={m2,n2,p2}.
Запишите формулу вычисления расстояния от точки М0(х0,у0,z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0.
Как найти угол между двумя плоскостями А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0
Охарактеризуйте расположение трех плоскостей по заданным их общим уравнениям.
Запишите параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.
Запишите общее уравнение прямой в пространстве.
Опишите процесс перехода от общих уравнений прямых в пространстве к каноническим и параметрическим.
Запишите в векторной форме формулу вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве.
Запишите в векторной форме формулу для вычисления расстояния между двумя прямыми в пространстве.
Охарактеризуйте взаимное расположение двух прямых в пространстве по заданным их уравнениям в векторной форме.
Дайте определение эллипса.
Запишите каноническое уравнение эллипса. Объясните выбор декартовой системы координат. Изобразите эллипс на рисунке.
Дайте определение эксцентриситета эллипса и его директрис.
Дайте определение гиперболы.
Запишите каноническое уравнение гиперболы. Изобразите гиперболу на рисунке.
Дайте определение эксцентриситета гиперболы и его директрис.
Дайте определение параболы.
Запишите каноническое уравнение параболы. Изобразите параболу на рисунке.
Опишите процесс приведения к каноническому виду общего уравнения а11х2+2а12ху+а22у2+а1х+а2у+b=0 кривой второго порядка.
179187. Укажите название, изобразите на рисунке поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат может быть записана в виде:
179)
180)
181)
(p>0)
(p>0)
188. Опишите процесс приведения общего уравнения второго порядка а11х2+а22у2+а33z2+2а12ху+2а13хz+2а23уz+а1х+а2у+а3z+b=0 к каноническому виду.
Глава II. Математический анализ.
Опишите понятие множества. Приведите примеры множеств. Поясните смысл утверждения: «Множество А задано». Какие способы задания множеств знаете.
Объясните, что означают следующие записи аА, аА, АВ, ВА.
Какие два множества называются равными. Как можно доказать, что А=В.
Дайте определение суммы (объединения) двух множеств. Приведите примеры.
Дайте определение произведения (пересечения двух множеств). Приведите примеры.
Понятие разности двух множеств.
Понятие универсального множества. Понятие отрицания множеств.
Дать определение действительного числа. Какие числа называются рациональными, иррациональными.
Дать определение модуля действительного числа, укажите его свойства.
Запишите в виде неравенств множества действительных чисел: [а,b], (a,b), [a,b), (a,b].
1115. Дайте определения и приведите примеры:
11) верхней границы множества А;
12) точной верхней границы множества А;
13) нижней границы множества А;
14) точной нижней границы множества А;
15) ограниченного сверху (снизу), ограниченного множества.
В чем заключается свойство непрерывности, плотности и упорядоченности множества действительных чисел.
Символы -, +, . Запишите в виде неравенств множества а,+), (а,+, (-,а, (-,а).
Операции с символами -, +, .
Понятие функции f:хRn→yRm.
Понятие области определения и области значений функции.
Охарактеризуйте частные классы функций f:хRn→yRm при различных значениях m и n. Примеры таких классов.
Понятие графика функции.
2328. Дать определение следующих классов функций f:хR→yR:
монотонно убывающей, строго монотонно убывающей функции;
монотонно возрастающей, строго монотонно возрастающей функции;
четной, нечетной функции и общего вида функции;
ограниченной сверху (снизу), ограниченной функции;
неограниченной сверху (снизу), неограниченной функции;
периодической функции.
Опишите класс основных элементарных функций. Укажите их области значений и определения. Постройте график каждой из основных элементарных функций.
Дайте определение композиции функций.
Понятие обратной функции.
Виды окрестностей конечной точки х0 на прямой, их обозначения и запись в виде неравенств.
Понятия односторонней окрестности точки х0 на прямой. Их обозначения и запись в виде неравенств.
Понятия шаровых и параллелепипедальных окрестностей на плоскости и в пространстве.
Окрестности символов -, +, на прямой, их обозначение и запись в виде неравенств.
Понятие предельной точки, внутренней и граничной точки множества. Понятие границы множества, открытые и закрытые множества.
3760. Дать определение на языке окрестностей и неравенств, привести рисунок для понятия:
Понятие числовой последовательности. Виды числовых последовательностей.
Понятие предела числовой последовательности.
Понятие векторной последовательности.
Сформулировать теорему о пределе векторной последовательности.
Сформулировать теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности.
Дать определение предела функции на языке последовательностей.
Сформулировать и доказать теорему об единственности предела.
Сформулировать и доказать теорему об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
Сформулировать и доказать теорему о пределе суммы, произведения и частного.
Сформулировать и доказать теорему о переходе к пределу в неравенстве f(x)(х)(х)
Сформулировать и доказать теорему о переходе к пределу в неравенстве f(x)b.
Сформулировать теорему о пределе при ММ0 функции f:хRn→yRm.
Сформулировать теорему о связи пределов
Сформулировать теорему о связи пределов
Сформулируйте различные определения непрерывности в точке х0.
Сформулировать и доказать теорему о непрерывности сложной функции.
Понятие непрерывности функции слева и справа.
Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функции.
Сформулировать теорему Коши о промежуточных значениях непрерывной на [a,b] функции.
Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на [a,b] функции.
Как вы понимаете слова: функция на [a,b] достигает своих наименьших и наибольших границ. Сформулировать вторую теоремы Вейерштрасса.
Запишите и докажите справедливость первого замечательного предела и некоторых его следствий.
Приведите различные формы записи второго замечательного предела. Докажите, что существует.
Запишите следствия второго замечательного предела и докажите их.
Дайте определения линейно зависимых и линейно независимых систем функций.
Приведите примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций.
Определитель Вронского. Теорема о линейной зависимости систем функций.
Понятие дифференциального линейного оператора . Доказательство его линейности.
Запишите в общем виде линейное дифференциальное уравнение n-того порядка. Однородные и неоднородные линейные уравнения.
Сформулируйте теорему существования и единственности для линейного дифференциального уравнения n-того порядка.
Свойства решений дифференциального уравнения L[y]=0.
Сформулируйте и докажите теорему об условиях линейной независимости решений ЛОУ.
Докажите, что множество всех решений L[y]=0 образует n-мерное линейное пространство.
Дайте определение Ф.С.Р. уравнения L[y]=0.
Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения уравнения L[y]=0.
Комплексные числа и операции над ними.
Линейные однородные уравнения n-того порядка с постоянными коэффициентами. Получите характеристическое уравнение для него.
Отыскание Ф.С.Р. однородного уравнения. Рассмотреть все возможные случаи, связанные с характером корней характеристического уравнения.
Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
В чем заключается метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейного уравнения n-того порядка.
Способ отыскания частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения со специальной правой частью.
Понятие о системах дифференциальных уравнений в нормальной форме. Сведение их к одному уравнению n-того порядка.
Глава IV. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Определение интеграла по многообразию.
Запишите формулы вычисления двойного интеграла в декартовых координатах.
Запишите формулы вычисления тройного интеграла в декартовых координатах.
Запишите формулы замены переменных в двойном интеграле.
Переход к полярной системе координат в двойном интеграле.
Запишите формулу замены переменных в тройном интеграле.
Цилиндрическая система координат. Переход к цилиндрической системе координат в тройном интеграле.
Сферическая системе координат. Переход к сферической системе координат в тройном интеграле.
Запишите вычислительные формулы для криволинейных интегралов первого рода.
Запишите вычислительные формулы для криволинейных интегралов второго рода.
Запишите вычислительные формулы для поверхностных интегралов первого рода.
Сторона и ориентация поверхности.
Запишите вычислительные формулы для поверхностных интегралов второго рода.
Докажите формулу Грина.
Докажите формулу Остроградского.
Запишите формулу Стокса.
Сформулируйте и докажите лемму об обращении в нуль.
Сформулировать и доказать теоремы о необходимых и достаточных условиях независимости интеграла от пути интегрирования.
Как восстановить функцию по ее полному дифференциалу.
Формула Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов.
Сформулируйте теоремы о независимости криволинейного интеграла в пространственном случае.
Понятие векторного поля и его силовых линий.
Поток векторного поля через поверхность и его вычисление.
Понятие дивергенции векторного поля. Ее физический смысл.
Понятие циркуляции векторного поля. Плотность циркуляции.
Ротор вектора поля и его физический смысл.
Запишите формулы Остроградского и Стокса в векторной форме. Их физический смысл.
Понятие потенциального поля и его потенциала. Свойства потенциального поля.
Как восстановить потенциал потенциального поля.
Соленоидальное поле и его свойства.
III семестр
Глава I. Основные понятия комплексного анализа
Как вводится операция сложения и умножения комплексных чисел
Изображение комплексных чисел на плоскости. Сопряженные комплексные числа
Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Главное значение аргумента комплексного числа
Как выражается argz через функцию arctgx
Сформулируйте теорему об умножении и делении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
Дайте определение понятия
Запишите формулу для отыскания
Дайте определение последовательности комплексных чисел. Приведите примеры
Дайте определение предела комплексных чисел
Сформулируйте теорему о пределе последовательности
Объясните, как вводится символ на комплексной плоскости
Как вводится операция для комплексных значений z
Показательная форма записи комплексного числа
Дать определение логарифма комплексного числа
Запишите все значения логарифма комплексного числа
Главное значение логарифма
Как вводятся операции sinz, cosz, tgz, ctz, shz, chz для комплексных чисел
Дайте определение функции комплексного числа z
Покажите, что задание функции f(z) сводится к заданию двух функций U(x,y), V(x,y) на каком-нибудь примере
Дайте определение предела функции f(z) при zz0
Сформулируйте теорему о пределе функции f(z)=U(x,y)+iV(x,y) при z=x+iyz0=x0+iy0
Сформулируйте теорему о пределе функции
Дать определение непрерывной функции W=f(z) в точке z0
Охарактеризуйте линейные отображения f(z)=az+b
Сформулируйте теорему о непрерывности функции f(z)=U(x,y)+iV(x,y) в точке z0=x0+iy0
Дайте определение производной от функции f(z)
Дайте определение дифференцируемой функции f(z)
Сформулируйте теорему о связи дифференцируемости и существовании f(z)
Сформулируйте и докажите теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости функции f(z)=U(x,y)+iV(x,y) в точке z0=x0+iy0. Условия Коши-Римана.
Докажите теорему о связи условий Коши-Римана с частной производной
Дайте определение аналитической функции в точке z0 в области Д
Опишите некоторые свойства аналитической функции
Какая функция U(x,y) называется гармонической
Какие две функции U(x,y), V(x,y) называются сопряженными гармоническими
Какое отношение имеет понятие сопряженных гармонических функций к понятию аналитических функций
Получите формулу вычисления вероятности того, что за время t действия пуассоновского потока событие наступит m раз.
Понятие о цепях Маркова. Вычислений вероятностей P(i,j) перехода из состояния A(i) в состояние A(j) для дискретной однородной цепи с конечным числом состояний.
Глава II. Одномерные случайные величины.
Понятие случайной величины. Одномерные и многомерные случайные величины. Примеры.
Дискретные одномерные случайные величины. Понятие ряда распределения.
Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины и ее свойства.
Построение функции распределения для дискретных одномерных величин.
Запишите формулу вычисления P(a≤x<b), зная F(x).
Плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины и ее свойства.
Запишите формулу для вычисления P(a<x<b), зная плотность распределения (х).
Понятие математического ожидания одномерной дискретной случайной величины, его смысл.
Получите формулу для вычисления математического ожидания для непрерывной одномерной случайной величины.
Понятие функции случайного аргумента. Получите формулу вычисления математического ожидания функции одного случайного аргумента.
Свойство математического ожидания. Какие случайные величины называются независимыми, зависимыми.
Понятие дисперсии случайной величины.
Получите вычислительную формулу дисперсии.
Свойство дисперсии.
Понятие о моде, медиане и квантили порядка p.
Моменты случайной величины, асимметрия, эксцесс.
Понятие характеристической функции. Записать характеристическую функцию для дискретной и непрерывной случайной величины.
Запишите характеристическую и кумулянтную функцию для:
Показательное распределение. Запишите плотность распределения, mx, Dx.
Нормальное распределение. Охарактеризуйте его параметры.
Постройте график нормального распределения.
Приведите правило вычисления P(<x<) для нормальной величины.
Приведите правило вычисления Р(|x-a|<) для нормальной величины.
Докажите, что если Х нормальная случайная величина, то величина Z=x+ также нормальна. Найдите М[Z] и D[Z].
Пусть Х и Y независимые нормальные случайные величины. Докажите, что величина Z=X+Y также нормальна. Найдите М[Z] и D[Z].
Понятие о центральных предельных теоремах Ляпунова. Сформулируйте теорему Ляпунова для одинаково распределенных случайных величин.
Докажите неравенство Чебышева.
Дать определение понятия сходимости по вероятности.
Сформулировать и доказать теорему о сходимости по вероятности последовательности .
Сформулируйте и докажите следствие из теоремы Чебышева о сходимости по вероятности последовательности , когда величины х1, х2, …, хn распределены по одному закону.
Сформулировать и доказать теорему Бернулли о сходимости по вероятности относительной частоты события к вероятности события в схеме с испытаниями Бернулли.
Сформулируйте и докажите теорему Пуассона о сходимости по вероятности относительно частоты наступления события к среднему арифметическому вероятностей этих событий.
Глава III. Многомерные случайные величины.
Как строится матрица распределения двумерной дискретной случайной величины.
Как найти ряды распределения случайной величины X и Y, зная матрицу распределения системы (X,Y) дискретных величин.
Дать определение функции распределения системы.
Запишите предельные значения функции распределения F(х,у) при х, х+, у, у+.
Докажите, что функция F(x,y) не убывает по каждому аргументу.
Запишите формулу для вычисления Р(х1<X<x2, y1<Y<y2), зная функцию распределения F(x,y).
Докажите теорему о функции распределения для независимых случайных величин.
Понятие об условных функциях распределения. Правило умножения законов распределения.
Понятие плотности распределения системы.
Как, зная плотность распределения системы (х,у) найти Р((х,у)D).
Как найти функцию распределения системы F(х,у), зная плотность распределения (х,у).
Как найти функции распределения F1(х,у) и F2(х,у), зная плотность распределения (х,у) системы (Х,У).
Как найти плотность распределения 1(х) и 2(у), зная плотность распределения (х,у) системы (Х,У).
Плотность распределения системы для независимых случайных величин.
Понятие условных плотностей распределения. Правило умножения плотностей распределения.
Как, зная плотность распределения системы (х,у) найти плотность распределения случайной величины Z=(Х,У).
Получите формулы для вычисления математического ожидания величины Z=(Х,У) в дискретном и непрерывном случаях.
Понятие об условных математических ожиданиях и о кривых регрессии.
Понятие о ковариации и коэффициенте корреляции для независимых случайных величин.
Сформулируйте и докажите теорему о М[X+Y].
Сформулируйте и докажите теорему о М[XY].
Сформулируйте и докажите теорему о D[X+Y].
Запишите выражение для D[X+Y].
Докажите, что |rxy|≤1, где коэффициент корреляции.
Докажите теорему о коэффициенте корреляции величины X и Y=ах+b.
Понятие о линейной среднеквадратичной регрессии g(x) величины Y на Х. Запишите вид функции g(x).
Докажите теорему, характеризующую случай |rxy|=1.
Двумерное нормальное распределение. Охарактеризуйте его параметры.
Канонический вид двумерного нормального распределения.
Глава IV. Элементы математической статистики
Понятие выборки
Способы обработки выборки.
Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
Выборочные числовые характеристики величины Х.
Понятие оценки параметров распределения.
Требования к качеству оценки параметров распределения.
Метод максимума правдоподобия получения оценок.
Метод моментов Пирсона получения оценок.
Получите методом максимума правдоподобия оценки параметров нормального распределения.
Проверьте оценки параметров нормального распределения полученных методом максимума правдоподобия на несмещенность и на эффективность.
Понятие о доверительных интервалах.
Построение доверительного интервала для mx нормального распределения при известном .
Построение доверительного интервала оценки mx нормального распределения при неизвестном .
Построение доверительного интервала для оценки параметра нормального распределения.
Понятие о статических гипотезах. Построение критических областей.