У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематика список вопросов для подготовки к экзаменам Прокопье

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 2.2.2025

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

томский университет систем управления и радиоэлектроники

Высшая математика

(список вопросов для подготовки к экзаменам)

Прокопьевск - Томск, 2005 г.


Составитель: кандидат физико-математических наук,

   профессор Магазинников Л.И.

Содержание

I семестр      3

II семестр       15

III семестр      20

IV семестр      27


I семестр

Глава I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

  1.  Дать определение матрицы размера m×n.
  2.  Привести примеры информации, которую удобно записывать в матричном виде.
  3.  Дайте определения ступенчатой, квадратной, треугольной, диагональной и единичной матриц.
  4.  Какие матрицы называются равными?
  5.  Опишите  операцию умножения матрицы на число.
  6.  Опишите  операцию сложения матриц.
  7.  Опишите  операцию умножения матриц.
  8.  Опишите  операцию транспонирования матрицы.
  9.  Дайте определение перестановки и инверсии в ней. Как подсчитать число инверсий в перестановке (α1, α2, … αn).
  10.  Для каких матриц определено понятие определителя.
  11.  Опишите, как составляются слагаемые, входящие в определитель n-того порядка.
  12.  Дайте определение определителя n-того порядка.
  13.  Опишите правило вычисления определителя порядка 2.
  14.  Опишите правило вычисления определителя порядка 3.
  15.  Как изменится определитель при транспонировании матрицы?
  16.  Чему равен определитель, имеющий стоку или столбец целиком состоящий из нулей?
  17.  Как измениться определитель, если его строку или столбец умножить на число α?
  18.  Как измениться определитель, если в нем переставить две строки или два столбца?
  19.  Опишите, в чем заключается линейное свойство определителя?
  20.  Как измениться определитель, если к какой-либо его строке прибавить другую, умноженную на некоторое число?
  21.  Как измениться определитель, если к какой-либо строке, умноженной на число α добавить другую строку, умноженную на число β?
  22.  Чему равен определитель имеющий две пропорциональные строки?
  23.  Как связаны между собой определители матриц А и λА.
  24.  Чему равен определитель произведения матриц А и В.
  25.  Дайте определение алгебраического дополнения  элемента .
  26.  Сформулируйте и докажите две  теоремы об алгебраических дополнениях.
  27.  Дайте определение минора .
  28.  Сформулируйте и докажите теорему о связи минора и алгебраического дополнения.
  29.  Опишите, как свести, вычисление определителя порядка n к вычислению определителя порядка n-1.
  30.  Дать определение обратной матрицы.
  31.  Какие матрицы имеют обратную?
  32.  Как найти элемент  обратной матрицы?
  33.  Как найти матрицу Х из уравнения А·Х=В, если detА≠0.
  34.  Как найти матрицу Х из уравнения Х·А=В, если detА≠0.
  35.  Объясните, как понимаете слова: «Определена внутренняя операция над элементами множества А».
  36.  Объясните, как понимаете слова: «Определена внешняя операция над элементами множества А».
  37.  Сформулируйте аксиомы, характеризующие внутреннюю операцию в определении линейного пространства.
  38.  Сформулируйте аксиомы, характеризующие внешнюю операцию в определении линейного пространства.
  39.  Сформулируйте аксиомы, связывающие внешнюю и внутреннюю операции в определении линейного пространства.
  40.  Дайте определение понятий линейной комбинации, линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.
  41.  Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы векторов.
  42.  Приведите примеры линейных пространств.
  43.  Какое линейное пространство называется n-мерным?
  44.  Дайте определение базиса n-мерного линейного пространства.
  45.  Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по базису в n-мерном линейном пространстве.
  46.  Дать определение координат вектора в линейном пространстве.
  47.  Сформулируйте и докажите теорему о сведении внутренней и внешней операций над векторами к операциям над их координатами.
  48.  Дайте определение минора порядка m матрицы А.
  49.  Дайте определение ранга матрицы.
  50.  Дайте определение базисного минора, базисных строк и столбцов матрицы.
  51.  Сформулируйте и докажите теорему и базисном миноре.
  52.  Сформулируйте правило, позволяющее определить линейно зависимы строки (столбцы) матрицы или нет.
  53.  Сформулируйте правило, позволяющее определить, является ли данная строка матрицы линейной комбинацией других строк или нет.
  54.  Сформулируйте и докажите теорему о необходимых и достаточных условиях равенства нулю определителя.
  55.  Определите преобразования матрицы, называемые элементарными.
  56.  Опишите практический способ отыскания ранга матрицы.
  57.  Какие два линейных пространства называются изоморфными.
  58.  Дайте определение подпространства. Понятия линейной оболочки.
  59.  Сформулируйте теорему о размерности линейной оболочки Z [].
  60.  Какое линейное пространство называется евклидовым.
  61.  Запишите неравенство Коши - Буняковского.
  62.  Какие два вектора из Еn называются ортогональными.
  63.  Дайте определение ортогональной системы векторов в Еn. Сформулируйте и докажите теорему линейной независимости ортогональной системы.
  64.  Опишите процесс ортогонализации системы векторов из Еn.
  65.  Как строится матрица перехода от одного базиса к другому.
  66.  Запишите формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух базисах (в матричной форме).
  67.  Укажите свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
  68.  Запишите формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух ортонормированных базисах.
  69.  Какие формы записи систем линейных уравнений знаете? Запишите систему, используя правило Эйнштейна, а также в матричной форме.
  70.  Дайте определение решения системы.
  71.  Дайте определения совместных, несовместных, определенных и неопределенных систем.
  72.  Сформулируйте и докажите теорему о совместности произвольной системы линейных уравнений.
  73.  Какие две системы называются эквивалентными.
  74.  Для каких систем линейных уравнений применимо правило Крамера. Запишите формулы Крамера и получите их.
  75.  Как узнать, какие из уравнений можно удалить из системы, не нарушая ее эквивалентности.
  76.  Какие неизвестные системы называют свободными, а какие – зависимыми.
  77.  Дайте определение общего и частного решения системы.
  78.  Сформулируйте и докажите две теоремы о существовании нетривиальных решений однородной системы.
  79.  Свойства решений системы линейных однородных уравнений.
  80.  Из каких свойств решений линейной однородной системы следует, что множество всех решений таких систем образует линейное пространство. Какова его размерность.
  81.  Дайте определение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений. Сколько решений содержит Ф.С.Р.
  82.  Дайте определение геометрического вектора , его модуля || и нулевого вектора. Какие два вектора называются коллинеарными.
  83.  Какие два вектора  и  называются равными?
  84.  Как отложить вектор  от точки А?
  85.  Как определяется операция сложения векторов ?
  86.  Как определяется операция умножения вектора на число?
  87.  Дать определение понятий: «Линейная комбинация геометрических векторов», «Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов».
  88.  Понятие аффинного и декартова базиса во множестве геометрических векторов. Понятие координат вектора. Как устроен базис на прямой, плоскости и в пространстве.
  89.  Что означает геометрически линейная зависимость системы двух векторов.
  90.  Какая система векторов называется компланарной. Что означает геометрически линейная зависимость системы из трех и более векторов.
  91.  Понятие аффинной и декартовой систем координат. Как называют оси в декартовой системе координат.
  92.  Понятие радиуса-вектора точки и координат точки. Как найти координаты вектора, зная координаты его конца и начала.
  93.  Как понимаете утверждение: «Точка М делит отрезок АВ в отношении λ.
  94.  Запишите координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ, если А(х1,у1), В(х2,у2).
  95.  Понятие проекции точки на ось и проекции вектора на ось. Чему равна проекция вектора на ось , если (^)=φ.
  96.  Дайте определение скалярного произведения геометрических векторов. Его свойства.
  97.  Как узнать, используя скалярное произведение, какой угол (прямой, тупой или острый) образуют векторы и .
  98.  Запишите формулы вычисления скалярного произведения (,), если известны декартовы координаты векторов и .
  99.  Как, используя понятие скалярного произведения, найти длину вектора и расстояние между двумя точками.
  100.  Как найти , cos (^)?
  101.  Дайте определение направляющих косинусов вектора, как их найти?
  102.  Понятие орта вектора. Как найти координаты орта вектора.
  103.  Понятие правой и левой связки двух векторов. Понятие левой и правой тройки векторов.
  104.  Дать определение векторного произведения геометрических векторов и .
  105.  Свойства векторного произведения.
  106.  Геометрический смысл |[,]|.
  107.  Формула вычисления векторного произведения, если известны декартовы координаты векторов.
  108.  Дать определения смешанного произведения трех векторов.
  109.  Геометрический смысл |[,,]| и знака (,,).
  110.  Как узнать компланарна тройка векторов ,, или нет, используя понятие смешанного произведения.
  111.  Формула вычисления смешанного произведения векторов по их известным декартовым координатам.
  112.  Понятие функции f:хRn→yRm.
  113.  Определение линейного оператора А:Rn→Rm.
  114.  Как строится матрица линейного оператора А:Rn→Rm.
  115.  Как найти координаты вектора А, зная матрицу оператора А:Rn→Rm.
  116.  Запишите матрицу линейного оператора А:R1→R1.
  117.  Запишите матрицу линейного оператора А:Rn→R1.
  118.  Запишите матрицу линейного оператора А:R1→Rn.
  119.  Определите операцию сложения двух линейных операторов. Как найти матрицу суммы двух операторов.
  120.  Определите операцию умножения оператора на число.
  121.  Определите композицию двух линейных операторов. Как найти матрицу композиции линейных операторов А и В.
  122.  Понятие обратного линейного оператора.
  123.  Запишите закон изменения матрицы линейного оператора А:Rn→ Rn при переходе к новому базису.
  124.  Дать определение собственных чисел и собственного вектора линейного оператора А:Rn→Rn.
  125.  Запишите характеристическое уравнение матрицы А.
  126.  Опишите процесс отыскания собственных векторов матрицы А.
  127.  Сформулируйте и докажите теорему о линейной комбинации собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу.
  128.  Сформулируйте теорему о системе собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным числам.
  129.  Дайте определение симметрического линейного оператора Q:En→En.
  130.  Охарактеризуйте свойства симметрического линейного оператора.
  131.  Дать определение линейной формы L[y].
  132.  Запишите общий вид линейной формы. Как  вычисляются коэффициенты линейной формы.
  133.  Как изменяются коэффициенты линейной формы при изменении базиса.
  134.  Дать определение билинейной формы В(,).
  135.  Запишите общий вид билинейной формы. Как определяются элементы матрицы билинейной формы в заданном базисе.
  136.  Какая билинейная форма называется симметричной.
  137.  Как изменяется матрица билинейной формы при изменении базиса?
  138.  Дать определение квадратичной формы. Запишите общий вид квадратичной формы при n=3.
  139.  Понятие канонического вида и главных осей квадратичной формы.
  140.  Опишите процесс приведения квадратичной формы к главным осям.
  141.  Дайте определение уравнения плоской кривой z относительно декартовой системы координат.
  142.  Записать уравнение окружности с центром в точке (х0,у0)  радиуса R.
  143.  Дайте определение уравнения поверхности S относительно декартовой системы координат.
  144.  Дайте определение сферы. Запишите уравнение сферы с центром в точке, М0(х0,у0,z0) радиуса R.
  145.  Укажите способы задания кривой в пространстве.
  146.  Охарактеризуйте поверхности, задаваемые уравнениями F(x,y)=0, F(x,z)=0, F(y,z)=0.
  147.  Охарактеризуйте поверхность, задаваемую однородным уравнением F(x,y,z)=0. Объясните, какое уравнение называется однородным.
  148.  Охарактеризуйте поверхности задаваемые уравнениями типа F(x,)=0, F(y,)=0, F(z,)=0.
  149.  Опишите полярную систему координат. Запишите формулы, связывающие декартовы и полярные координаты точки.
  150.  Запишите в векторной и координатной форме уравнения прямой проходящей через точку М0(х0,у0) перпендикулярно вектору =(А,В).
  151.  Запишите общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат. Охарактеризуйте его коэффициенты.
  152.  Охарактеризуйте прямые на плоскости, задаваемые неполными уравнениями Вх+D=0, Ау+D=0, Ах+Ву=0, х=0, у=0.
  153.  Запишите параметрические и канонические уравнения прямой на плоскости.
  154.  Запишите и докажите формулу вычисления расстояния от точки М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 на плоскости.
  155.  Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, охарактеризуйте его коэффициенты.
  156.  Запишите формулы для вычисления угла между прямыми.
  157.  Охарактеризуйте взаимное расположение двух прямых А1х+В1у+С1=0, А2х+В2у+С2=0.
  158.  Запишите в векторной и координатной форме уравнения  плоскости, проходящей через точку М0(х0,у0,z0) перпендикулярно вектору ={А,В,С}.
  159.  Запишите общее уравнение плоскости. Охарактеризуйте его коэффициенты.
  160.  Запишите в векторной и координатной форме уравнения плоскости, проходящей через точку М0(х0,у0,z0) с радиусом вектором  параллельно векторам ={m1,n1,p1} и ={m2,n2,p2}.
  161.  Запишите формулу вычисления расстояния  от точки М0(х0,у0,z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0.
  162.  Как найти угол между двумя плоскостями А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0
  163.  Охарактеризуйте расположение трех плоскостей по заданным их общим уравнениям.
  164.  Запишите параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.
  165.  Запишите общее уравнение прямой в пространстве.
  166.  Опишите процесс перехода от общих уравнений прямых в пространстве к каноническим и параметрическим.
  167.  Запишите в векторной форме формулу вычисления расстояния от точки до прямой в пространстве.
  168.  Запишите в векторной форме формулу для вычисления расстояния между двумя прямыми в пространстве.
  169.  Охарактеризуйте взаимное расположение двух прямых в пространстве по заданным их уравнениям в векторной форме.
  170.  Дайте определение эллипса.
  171.  Запишите каноническое уравнение эллипса. Объясните выбор декартовой системы координат. Изобразите эллипс на рисунке.
  172.  Дайте определение эксцентриситета эллипса и его директрис.
  173.  Дайте определение гиперболы.
  174.  Запишите каноническое уравнение гиперболы. Изобразите гиперболу на рисунке.
  175.  Дайте определение эксцентриситета гиперболы и его директрис.
  176.  Дайте определение параболы.
  177.  Запишите каноническое уравнение параболы. Изобразите параболу на рисунке.
  178.  Опишите процесс приведения к каноническому виду общего уравнения а11х2+2а12ху+а22у2+а1х+а2у+b=0 кривой второго порядка.

179–187. Укажите название, изобразите на рисунке поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат может быть записана в виде:

  1.  

179)

180)

181)

  1.   (p>0)
  2.   (p>0)
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

188. Опишите процесс приведения общего уравнения второго порядка а11х2+а22у2+а33z2+2а12ху+2а13хz+2а23уz+а1х+а2у+а3z+b=0 к каноническому виду.

Глава II. Математический анализ.

  1.  Опишите понятие множества. Приведите примеры множеств. Поясните смысл утверждения: «Множество А задано». Какие способы задания множеств знаете.
  2.  Объясните, что означают следующие записи аА, аА, АВ, ВА.
  3.  Какие два множества называются равными. Как можно доказать, что А=В.
  4.  Дайте определение суммы (объединения) двух множеств. Приведите примеры.
  5.  Дайте определение произведения (пересечения двух множеств). Приведите примеры.
  6.  Понятие разности двух множеств.
  7.  Понятие универсального множества. Понятие отрицания множеств.
  8.  Дать определение действительного числа. Какие числа называются рациональными, иррациональными.
  9.  Дать определение модуля действительного числа, укажите его свойства.
  10.  Запишите в виде неравенств множества действительных чисел: [а,b], (a,b), [a,b), (a,b].

11–15. Дайте определения и приведите примеры:

11) верхней границы множества А;

12) точной верхней границы множества А;

13) нижней границы множества А;

14) точной нижней границы множества А;

15) ограниченного сверху (снизу), ограниченного множества.

  1.  В чем заключается свойство непрерывности, плотности и упорядоченности множества действительных чисел.
  2.  Символы -, +, . Запишите в виде неравенств множества а,+), (а,+, (-,а, (-,а).
  3.  Операции с символами  -, +, .
  4.  Понятие функции f:хRn→yRm.
  5.  Понятие области определения и области значений функции.
  6.  Охарактеризуйте частные классы функций f:хRn→yRm при различных значениях m и n. Примеры таких классов.
  7.  Понятие графика функции.

23–28. Дать определение следующих классов функций f:хR→yR:

  1.  монотонно убывающей, строго монотонно убывающей функции;
  2.  монотонно возрастающей, строго монотонно возрастающей функции;
  3.  четной, нечетной функции и общего вида функции;
  4.  ограниченной сверху (снизу), ограниченной функции;
  5.  неограниченной сверху (снизу), неограниченной функции;
  6.  периодической функции.
  7.  Опишите класс основных элементарных функций. Укажите их области значений и определения. Постройте график каждой из основных элементарных функций.
  8.  Дайте определение композиции функций.
  9.  Понятие обратной функции.
  10.  Виды окрестностей конечной точки х0 на прямой, их обозначения и запись в виде неравенств.
  11.  Понятия односторонней окрестности точки х0 на прямой. Их обозначения и запись в виде неравенств.
  12.   Понятия шаровых и параллелепипедальных окрестностей на плоскости и в пространстве.
  13.  Окрестности символов -, +, на прямой, их обозначение и запись в виде неравенств.
  14.  Понятие предельной точки, внутренней и граничной точки множества. Понятие границы множества, открытые и закрытые множества.

37–60. Дать определение на языке окрестностей и неравенств, привести рисунок для понятия:

  1.  Понятие числовой последовательности. Виды числовых последовательностей.
  2.  Понятие предела числовой последовательности.
  3.  Понятие векторной последовательности.
  4.  Сформулировать теорему о пределе векторной последовательности.
  5.  Сформулировать теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности.
  6.  Дать определение предела функции на языке последовательностей.
  7.  Сформулировать и доказать теорему об единственности предела.
  8.  Сформулировать и доказать теорему об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
  9.  Сформулировать и доказать теорему о пределе суммы, произведения и частного.
  10.  Сформулировать и доказать теорему о переходе к пределу в неравенстве f(x)(х)(х) 
  11.  Сформулировать и доказать теорему о переходе к пределу в неравенстве f(x)b.
  12.  Сформулировать теорему о пределе при ММ0 функции f:хRn→yRm.
  13.  Сформулировать теорему о связи пределов   
  14.  Сформулировать теорему о связи пределов   
  15.  Сформулируйте различные определения непрерывности в точке х0.
  16.  Сформулировать и доказать теорему о непрерывности сложной функции.
  17.  Понятие непрерывности функции слева и справа.
  18.  Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функции.
  19.  Сформулировать теорему Коши о промежуточных значениях непрерывной на [a,b] функции.
  20.  Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на [a,b] функции.
  21.  Как вы понимаете слова: функция на [a,b] достигает своих наименьших и наибольших границ. Сформулировать вторую теоремы Вейерштрасса.
  22.  Запишите и докажите справедливость первого замечательного предела и некоторых его следствий.
  23.  Приведите различные формы записи второго замечательного предела. Докажите, что  существует.
  24.  Запишите следствия второго замечательного предела и докажите их.
  25.  Приведите классификацию разрывов функции: f:хR→yR.
  26.  Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Примеры.
  27.  Сформулировать и доказать теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции.
  28.  Сформулировать и доказать теорему о произведении бесконечно малой и ограниченной функции.
  29.  Сформулировать и доказать теорему о разности функции и ее предела.
  30.  Дайте определение порядка малости бесконечно малой функции (х) относительно (х).
  31.  Понятие эквивалентности двух бесконечно малых функций.
  32.  Понятие главной части бесконечно малой функции относительно другой бесконечно малой.
  33.  Сформулируйте и докажите свойства эквивалентных бесконечно малых.
  34.  Объясните, как можно применять понятие эквивалентных бесконечно малых при отыскании пределов.
  35.  Как определяют бесконечно малые и бесконечно большие функции в случае f:хRn→yRm.
  36.  Дайте определение дифференцируемой функции. Понятие производной матрицы и дифференциала.
  37.  Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывности.
  38.  Строение производной матрицы в случае f:хR→yR.
  39.  Строение производной матрицы в случае f:хRn→yR. Понятие частных производных.
  40.  Строение производной матрицы в случае f:хR→yRn и . f:хRm→yRn
  41.  Получите формулы для производных всех основных элементарных функций.
  42.  Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения и частного.
  43.  Сформулируйте и докажите теорему о дифференцировании сложной функции.
  44.  Укажите формулу дифференцирования функции U= f[x1(t), x2(t),…,xn(t)].
  45.  Укажите правило дифференцирования функции U= f[x1(t1, t2, …,tn), x2(t1, t2, …,tn),…,xn(t1, t2, …,tn)].
  46.  Опишите правило дифференцирования обратных функций.
  47.  Понятие производной по направлению.
  48.  Запишите и докажите формулу вычисления производной по направлению. Понятие градиента.
  49.  Понятие производных высших порядков от f:хR→yR.
  50.  Понятие частных производных высших порядков.
  51.  Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных.
  52.  Опишите правило дифференцирования параметрически заданных функций. Объясните параметрический способ задания функций.
  53.  Поясните неявный способ задания функций f:хR→yR. Правило их дифференцирования.
  54.  Правило отыскания частных производных функций заданных неявно.
  55.  Геометрический и механический смысл производной функции f:хR→yR.
  56.  Записать уравнение касательной к кривой при различных способах ее задания.
  57.  Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
  58.  Как записывается общий вид дифференциала для функции f:хR→yR.
  59.  Как записать дифференциал для функции f:хRn→yR.
  60.  Как записать дифференциал для функции f:хR→yRn.
  61.  Как записать дифференциал для функции f:хRn→yRm.
  62.  В чем заключается свойство инвариантности формы записи первого дифференциала.
  63.  Как определяются дифференциалы d2f, d3f,…, dnf.
  64.  Записать общий вид дифференциалов d2f, d3f,…, dnf для функций f:хR→yR, если х – независимое переменное.
  65.  Записать выражение для d2f функции у=f(х), если х=х(t).
  66.  Записать выражение для d2f функции z=f(х,y).
  67.  Записать выражение для d3f функции z=f(х,y).
  68.  Запишите формулу Тэйлора порядка n для функций у=f(х), у=f(х1, x2,…, xn) в дифференциальной форме.
  69.  Запишите формулу Тэйлора порядка n для функций у=f(х), используя в записи производные.
  70.  Записать формулу Маклорена для функций ex, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x).
  71.  Сформулируйте  и докажите теорему о поведении функции f(х) в окрестности точки х0, если f’(х)>0, (f’(х)<0).
  72.  Сформулируйте и докажите теорему Ферма об обращении в нуль производной в точке наибольшего (наименьшего) значения.
  73.  Сформулируйте и докажите теорему Роля об обращении производной в нуль.
  74.  Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа (об отношении ).
  75.  Сформулируйте и докажите теорему Коши (об отношении ).
  76.  Сформулируйте и докажите теорему о дифференцируемости функции f:хR→yR.
  77.  Сформулируйте и докажите теорему о дифференцируемости функции f:хRn→yR.
  78.  Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенности
  79.  Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенности
  80.  Как раскрыть неопределенность 0, -.
  81.  Как раскрыть неопределенность 00, 1, 0.
  82.  Дайте определение точек экстремума для функции у=f(х), у=f(х1, x2,…, xn).
  83.  Сформулируйте и докажите необходимое условие экстремума для функций у=f(х) и у=f(х1, x2,…, xn).
  84.  Сформулируйте и докажите достаточные условия экстремума для функций f(х), связанные со знаком f’(х).
  85.  Сформулируйте и докажите достаточные условия экстремума для функций f(х), связанные со второй производной и производной n-того порядка.
  86.  Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Сформулируйте критерий Сильвестра положительной и отрицательной определенной квадратичной формы.
  87.  Сформулируйте достаточные условия экстремума функций f(х1, x2,…, xn).
  88.  Опишите правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом множестве.
  89.  Понятие условного экстремума.
  90.  Какие знаете способы отыскания условного экстремума.
  91.  Дайте определение выпуклости вверх и вниз графика функции.
  92.  Сформулируйте необходимые и достаточные условия выпуклости вниз (вверх) графика функции, связанные со второй производной.
  93.  Понятие точки перегиба и правило их отыскания.
  94.  Понятие асимптоты графика функции.
  95.  Как найти вертикальные асимптоты.
  96.  Как найти горизонтальные асимптоты.
  97.  Как найти наклонные асимптоты.
  98.  Опишите схему исследования функции и построения графиков.


II семестр

Глава I. Неопределенный интеграл

  1.  В чем состоит основная задача интегрального исчисления?
  2.  Если V(x) производная функция от функции S(x), то как называется функция S(x) по отношению к функции V(x)?
  3.  Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются разве лишь на константу.
  4.  Дайте определение неопределенного интеграла.
  5.  Сформулируйте свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.
  6.  Какого класса функции имеют первообразную, а потому интегрируемы.
  7.  Выучите таблицу интегралов.
  8.  Объясните, в чем заключается метод интегрирования подведением под знак дифференциала.
  9.  Методы отыскания ; m0, n0 – целые числа. Одно из них может равняться нулю.
  10.  Интегралы от выражений sinxcosx, sinx sinx, cosx cosx.
  11.  Интегралы вида , .
  12.  Формула интегрирования по частям. Приведите примеры интегралов, которые рекомендуется находить, применяя формулу интегрирования по частям.
  13.  Какая функция называется дробной рациональной. Дайте определение правильной и неправильной рациональной дроби.
  14.  Какие рациональные дроби  называются элементарными. Методы их интегрирования.
  15.  Как представить правильную дробь  в виде суммы элементарных.
  16.  Методы отыскания интегралов вида ,
  17.  Методы отыскания интегралов вида , .
  18.  Какие замены применяют при вычислении интегралов, содержащих

Глава II. Определенный интеграл

  1.  Опишите процесс построения интегральных сумм Римана.
  2.  Дайте определение интеграла .
  3.  В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла.
  4.  Укажите классы интегральных функций.
  5.  Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами.
  6.  Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами.
  7.  Теоремы о среднем.
  8.  Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности функции .
  9.  Сформулируйте и докажите теорему о дифференцируемости функции .
  10.  Докажите справедливость формулы Ньютона-Лейбница.
  11.  Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.
  12.  Сформулируйте теорему о замене переменной в определенном интеграле и докажите ее для непрерывных функций.
  13.  Определения несобственных интегралов первого рода на промежутках
  14.  Исследование интеграла  на сходимость в зависимости от значения .
  15.  Принцип сравнения в конечной форме для .
  16.  Принцип сравнения в предельной форме для .
  17.  Условная и абсолютная сходимость. Сформулируйте признак Дирихле.
  18.  Исследуйте интеграл  на сходимость.
  19.  исследуйте на сходимость интеграл .
  20.  Дайте определение несобственного интеграла второго рода в трех возможных случаях расположения особой точки. Их геометрическая иллюстрация.
  21.  Исследовать на сходимость интегралы , в зависимости от значения .
  22.  Применение формулы Ньютона-Лейбница для вычислений несобственного интеграла
  23.  Как решается вопрос о сходимости интеграла , не вычисляя интеграл.

Глава III. Дифференциальные уравнения

  1.  Понятие дифференциального уравнения n-того порядка и его решения.
  2.  Формы записи дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
  3.  Сформулировать теорему существования и единственности для уравнения .
  4.  Понятия общего, частного и особого решения для уравнения .
  5.  Уравнение с разделяющимися переменными и с его интегрирование.
  6.  Однородные дифференциальные уравнения и е их интегрирование.
  7.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной.
  8.  Уравнение Бернулли и е его интегрирование.
  9.  Уравнение в полных дифференциалах. Теорема о необходимых и достаточных условиях того, что выражение  есть полный дифференциал
  10.  Запишите формулы, позволяющие восстановить функцию по известному ее полному дифференциалу.
  11.  Сформулируйте задачу Коши для уравнения n-того порядка.
  12.  понятие общего и частного решения для дифференциального уравнения n-того порядка
  13.  Некоторые типы уравнений n-того порядка, допускающие понижение порядка.
  14.  Какие знаете бесконечно мерные функциональные линейные пространства.
  15.  Дайте определения линейно зависимых и линейно независимых систем функций.
  16.  Приведите примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций.
  17.  Определитель Вронского. Теорема о линейной зависимости систем функций.
  18.  Понятие дифференциального линейного оператора . Доказательство его линейности.
  19.  Запишите в общем виде линейное дифференциальное уравнение n-того порядка. Однородные и неоднородные линейные уравнения.
  20.  Сформулируйте теорему существования  и единственности для линейного дифференциального уравнения n-того порядка.
  21.  Свойства решений дифференциального уравнения L[y]=0.
  22.  Сформулируйте и докажите теорему об условиях линейной независимости решений ЛОУ.
  23.  Докажите, что множество всех решений L[y]=0 образует n-мерное линейное пространство.
  24.  Дайте определение Ф.С.Р. уравнения L[y]=0.
  25.  Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения уравнения L[y]=0.
  26.  Комплексные числа и операции над ними.
  27.  Линейные однородные уравнения n-того порядка с постоянными коэффициентами. Получите характеристическое уравнение для него.
  28.  Отыскание Ф.С.Р. однородного уравнения. Рассмотреть все возможные случаи, связанные с характером корней характеристического уравнения.
  29.  Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
  30.  В чем заключается метод вариации произвольных постоянных для неоднородного линейного уравнения n-того порядка.
  31.  Способ отыскания частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения со специальной правой частью.
  32.  Понятие о системах дифференциальных уравнений в нормальной форме. Сведение их к одному уравнению n-того порядка.

Глава IV. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

  1.  Определение интеграла  по многообразию.
  2.  Запишите формулы вычисления двойного интеграла в декартовых координатах.
  3.  Запишите формулы вычисления тройного интеграла в декартовых координатах.
  4.  Запишите формулы замены переменных в двойном интеграле.
  5.  Переход к полярной системе координат в двойном интеграле.
  6.  Запишите формулу замены переменных в тройном интеграле.
  7.  Цилиндрическая система координат. Переход к цилиндрической системе координат в тройном интеграле.
  8.  Сферическая системе координат. Переход к сферической системе координат в тройном интеграле.
  9.  Запишите вычислительные формулы для криволинейных интегралов первого рода.
  10.  Запишите вычислительные формулы для криволинейных интегралов второго рода.
  11.  Запишите вычислительные формулы для поверхностных интегралов первого рода.
  12.  Сторона и ориентация поверхности.
  13.  Запишите вычислительные формулы для поверхностных интегралов второго рода.
  14.  Докажите формулу Грина.
  15.  Докажите формулу Остроградского.
  16.  Запишите формулу Стокса.
  17.  Сформулируйте и докажите лемму об обращении  в нуль.
  18.  Сформулировать и доказать теоремы о необходимых и достаточных условиях независимости интеграла от пути интегрирования.
  19.  Как восстановить функцию по ее полному дифференциалу.
  20.  Формула Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов.
  21.  Сформулируйте теоремы о независимости криволинейного интеграла в пространственном случае.
  22.  Понятие векторного поля и его силовых линий.
  23.  Поток векторного поля через поверхность и его вычисление.
  24.  Понятие дивергенции векторного поля. Ее физический смысл.
  25.  Понятие циркуляции  векторного поля. Плотность циркуляции.
  26.  Ротор вектора поля и его физический смысл.
  27.  Запишите формулы Остроградского и Стокса в векторной форме. Их физический смысл.
  28.  Понятие потенциального поля и его потенциала. Свойства потенциального поля.
  29.  Как восстановить потенциал потенциального поля.
  30.  Соленоидальное поле и его свойства.


III семестр

Глава I. Основные понятия комплексного анализа

  1.  Как вводится операция сложения и умножения комплексных чисел
  2.  Изображение комплексных чисел на плоскости. Сопряженные комплексные числа
  3.  Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа
  4.  Тригонометрическая форма записи комплексного числа
  5.  Главное значение аргумента комплексного числа  
  6.  Как выражается arg z через функцию arctg x 
  7.  Сформулируйте теорему об умножении и делении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
  8.  Дайте определение понятия  
  9.  Запишите формулу для отыскания  
  10.  Дайте определение последовательности комплексных чисел. Приведите примеры
  11.  Дайте определение предела комплексных чисел
  12.  Сформулируйте теорему о пределе последовательности  
  13.  Объясните, как вводится символ  на комплексной плоскости
  14.  Как вводится операция  для комплексных значений z 
  15.  Показательная форма записи комплексного числа  
  16.  Дать определение логарифма комплексного числа
  17.  Запишите все значения логарифма комплексного числа
  18.  Главное значение логарифма
  19.  Как вводятся операции sin z, cos z, tg z, ct z, sh z, ch z для комплексных чисел
  20.  Дайте определение функции комплексного числа z 
  21.  Покажите, что задание функции f(z) сводится к заданию двух функций U(x,y), V(x,y) на каком-нибудь примере
  22.  Дайте определение предела функции f(z) при zz0 
  23.  Сформулируйте теорему о пределе функции f(z)=U(x,y)+iV(x,y) при z=x+iyz0=x0+iy0 
  24.  Сформулируйте теорему о пределе функции  
  25.  Дать определение непрерывной функции W=f(z) в точке z0 
  26.  Охарактеризуйте линейные отображения f(z)=az+b 
  27.  Сформулируйте теорему о непрерывности функции f(z)=U(x,y)+iV(x,y) в точке z0=x0+iy0  
  28.  Дайте определение производной от функции f(z)
  29.  Дайте определение дифференцируемой функции f(z)
  30.  Сформулируйте теорему о связи дифференцируемости и существовании f’(z)
  31.  Сформулируйте и докажите теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости функции f(z)=U(x,y)+iV(x,y) в точке z0=x0+iy0. Условия Коши-Римана.
  32.  Докажите теорему о связи условий Коши-Римана с частной производной  
  33.  Дайте определение аналитической функции в точке z0 в области Д
  34.  Опишите некоторые свойства аналитической функции
  35.  Какая функция U(x,y) называется гармонической
  36.  Какие две функции U(x,y), V(x,y) называются сопряженными гармоническими
  37.  Какое отношение имеет понятие сопряженных гармонических функций к понятию аналитических функций
  38.  Запишите dU(x,y) зная сопряженную функцию V(x,y) и наоборот, запишите dV(x,y) зная сопряженную функцию U(x,y)
  39.  Запишите формулы, позволяющие восстановить аналитическую функцию по ее действительной или мнимой части
  40.  В чем заключается геометрический смысл модуля производной
  41.  В чем заключается геометрический смысл аргумента производной

Глава II. Интегральное представление аналитической функции.

  1.  Как строится интегральная сумма Римана от функции f(z) по кривой L 
  2.  Дайте определение интеграла Римана от функции f(z) по кривой L 
  3.  Сформулируйте свойства  
  4.  Запишите вычислительные формулы для  
  5.  Сформулируйте теорему Коши для интеграла по замкнутому контуру от аналитической функции
  6.  Сформулируйте теорему о существовании первообразной для аналитической функции. Общий вид первообразной
  7.  Теорема об условиях справедливости формулы Ньютона-Лейбница
  8.  Сформулируйте теорему Коши для многосвязной области
  9.  Сформулируйте теорему об условиях справедливости интегральной формулы Коши
  10.  Понятие интеграла типа Коши
  11.  Сформулируйте теорему об условиях справедливости интегральной формулы для  

Глава III. Представление аналитических функций рядами.

  1.  Дайте определение числового ряда
  2.  Дайте определение частичных сумм Sn  числового ряда
  3.  Дать определение понятия суммы числового ряда
  4.  Дать определение сходящегося и расходящегося числового ряда
  5.  Приведите примеры сходящихся и расходящихся числовых рядов
  6.  Укажите условие сходимости и расходимости ряда  .
  7.  Дан ряд . Сформулируйте необходимое и достаточное условие сходимости ряда, связанное с поведением его мнимой и действительной частей
  8.  Сформулируйте критерий Коши о необходимом и достаточном условии сходимости числового ряда. Докажите расходимость ряда .
  9.  Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда
  10.  Сформулируйте достаточное условие расходимости числового ряда
  11.  Понятие остатка ряда. Поведение остатка сходящихся и расходящихся рядов
  12.  Сформулируйте свойство о поведении линейной комбинации сходящихся рядов
  13.  В чем заключается сочетательное свойство сходящихся рядов
  14.  Выполняется ли переместительное свойство для рядов
  15.  Дайте определение условной и абсолютной сходимости
  16.  В чем заключается основное отличие условно и абсолютно сходящихся рядов
  17.  Сформулируйте признак сравнения в конечной форме
  18.  Сформулируйте признак сравнения в предельной форме
  19.  Сформулируйте признак Даламбера в конечной форме
  20.  Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме
  21.  Сформулируйте радикальный признак Коши в конечной форме
  22.  Сформулируйте радикальный признак Коши в предельной форме
  23.  Интегральный признак Коши
  24.  Дайте определение знакочередующегося ряда и сформулируйте теорему Лейбница о его сходимости
  25.  Понятие функционального ряда и его области сходимости
  26.  Понятие суммы функционального ряда
  27.  Дать определение равномерной и неравномерной сходимости функционального ряда
  28.  Сформулируйте признак Вейерштрасса для равномерной сходимости функционального ряда
  29.  Сформулируйте теорему о предельном переходе под знаком суммы
  30.  Сформулируйте теорему о непрерывности суммы функционального ряда
  31.  Как вы понимаете слова: «Ряд можно интегрировать почленно»
  32.  Сформулируйте теорему о почленном интегрировании функционального ряда
  33.  Как вы понимаете слова: «Ряд можно дифференцировать почленно»
  34.  Сформулируйте теорему об аналитичности суммы ряда
  35.  Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании рядов для действительного случая
  36.  Понятие степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля о строении области сходимости степенного ряда
  37.  Понятие радиуса сходимости степенного ряда. Способы отыскания радиуса сходимости
  38.  Теорема о разложимости аналитической функции в ряд Тейлора
  39.  Знать вид ряда Тейлора для функций еz, sin z, cos z, ch z, sh z, ln(1+z), arctg z, (1+z)  
  40.  При решении каких задач применяют ряды Тейлора
  41.  Понятие ряда Лорана. Как устроена область сходимости ряда Лорана
  42.  Сформулируйте теорему о разложимости функции в ряд Лорана
  43.  Понятие окрестности точки . Ряд Лорана функции f(z) в окрестности  
  44.  Понятие нуля аналитической функции и его кратности
  45.  Сформулировать и доказать теорему о поведении ряда Тейлора в окрестности m-кратного нуля
  46.  Как практически найти кратность нуля
  47.  Сформулировать  и доказать теорему об изолированности нулей
  48.  Сформулировать и доказать теорему об обращении функции в тождественный нуль
  49.  Сформулировать теорему единственности аналитической функции

Глава IV. Особые точки. Вычеты и их приложения.

  1.  Дайте определение особой точки z0 аналитической функции и приведите их классификацию
  2.  Сформулируйте и докажите теорему о поведении ряда Лорана в окрестности устранимой точки z0   
  3.  Сформулируйте теорему о связи между нулями и полюсами  
  4.  Дайте определение m-кратного полюса
  5.  Сформулируйте и докажите теорему о представимости функции в окрестности m-кратного полюса в виде
  6.  Сформулируйте и докажите теорему о поведении ряда Лорана в окрестности m-кратного полюса  
  7.  Сформулируйте и докажите теорему о поведении ряда Лорана функции f(z) в окрестности существенно особой точки
  8.  Дайте классификацию точки  
  9.  Сформулируйте и докажите теорему о поведении ряда Лорана функции f(z) в окрестности  
  10.  Дать определение вычета
  11.  Сформулировать и доказать теорему о связи вычета с коэффициентами ряда Лорана
  12.  Получите формулы вычисления вычета относительно простого полюса (две формулы)
  13.  Получите формулу вычисления вычета относительно m-кратного полюса  
  14.  Дайте определение вычета в  
  15.  Укажите способы вычисления вычета в  
  16.  Сформулируйте и докажите теорему о вычетах с учетом точки  
  17.  Сформулируйте и докажите теорему о вычетах без учета точки  
  18.  Как применяются вычеты для вычислений интегралов по замкнутому контуру
  19.  Вычисление интегралов  с помощью вычетов
  20.  Сформулируйте теорему о вычислении несобственных интегралов  
  21.  Сформулируйте лемму Жордана
  22.  Сформулируйте теорему о вычислении интеграла  
  23.  Запишите формулы для вычисления интегралов типа  и

Глава V. Ряды и интеграл Фурье.

  1.  Приведите примеры классов функций, образующих линейные пространства
  2.  Дать определение понятия базиса для бесконечномерного линейного пространства
  3.  Дать определение понятия скалярного произведения двух функций
  4.  Дать определение нормы функций
  5.  Дать определение ортогональной системы функций
  6.  Приведите примеры ортогональных систем функций
  7.  Запишите основную тригонометрическую систему функций. Укажите норму этих функций
  8.  Как найти коэффициенты ряда Фурье по произвольной системе функций
  9.  Что называется средним квадратичным отклонением функции f(x) от функции g(x)
  10.  Дать определение сходимости последовательности {Sn(x)} к функции S(x) в среднеквадратичном смысле
  11.  В чем заключается экстремальное свойство многочленов Фурье
  12.  Запишите неравенство Бесселя
  13.  Запишите уравнение замкнутости Парсеваля – Стеклова
  14.  Какая ортогональная система называется замкнутой в классе L2’  
  15.  Какая ортогональная система называется полной в классе L2’   
  16.  Запишите общий вид ряда Фурье по основной тригонометрической системе
  17.  Запишите формулы для отыскания коэффициентов тригонометрического ряда Фурье
  18.  Сформулируйте теорему Дирихле о представимости функций тригонометрическим рядом Фурье
  19.  Вид коэффициентов тригонометрического ряда Фурье для четных и нечетных функций
  20.  Как разложить в ряд Фурье функции, заданные на [0,l] и [a,a+2l]  
  21.  Запишите вид ряда Фурье по гармоническим колебаниям
  22.  Понятие об амплитудном, фазовом и частотном спектрах периодической функции
  23.  Укажите систему функций для записи ряда Фурье в комплексной форме
  24.  Сформулируйте теорему о представимости функции интегралом Фурье
  25.  Запишите интеграл Фурье в действительной форме (три формы)
  26.  Для чего функцию разлагают в ряд Фурье
  27.  Для чего функцию представляют интегралом Фурье

Глава VI. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа.

  1.  Понятие интегрального преобразования Фурье
  2.  Понятие синус - преобразования Фурье
  3.  Понятие косинус - преобразования Фурье
  4.  Дать определение оригинала
  5.  Дать определение изображения (по Лапласу)
  6.  Сформулируйте теорему об аналитичности изображения
  7.  Свойство линейности преобразования Лапласа
  8.  Сформулируйте и докажите теорему подобия
  9.  Сформулируйте и докажите теорему запаздывания
  10.  Сформулируйте и докажите теорему смещения
  11.  Сформулируйте и докажите правило дифференцирования оригинала
  12.  Сформулируйте и докажите правило дифференцирования изображения
  13.  Сформулируйте и докажите правило интегрирования оригинала в пределах от 0 до t 
  14.  Сформулируйте и докажите правило интегрирования изображения в пределах от р до  
  15.  Дайте определение свертки двух функций
  16.  Сформулируйте теорему об изображении свертки
  17.  Запишите формулу Дюамеля
  18.  Сформулируйте теорему обращения (о восстановлении функции по ее изображению)
  19.  Какие знаете способы отыскания оригинала по его изображению
  20.  Опишите общую схему решения задач операторным способом
  21.  Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами операторным способом
  22.  Применение формулы Дюамеля для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  23.  Решение операционным методом интегральных уравнений типа свертки


IV семестр

(теория вероятностей)

Глава I. Случайные события.

  1.  Дайте определение детерминированных и статических закономерностей. Приведите примеры.
  2.  Что изучает теория вероятностей.
  3.  Понятие о пространстве элементарных событий. Приведите примеры.
  4.  Понятие события и поля событий. Примеры.
  5.  Классификация событий: достоверные, невозможные, совместные и несовместные события.
  6.  Операции над событиями: сумма, пересечение, отрицание. примеры.
  7.  В каких случаях применимо классическое определение вероятности. Как устроено в этом случае пространство элементарных событий.
  8.  Геометрическое определение вероятностей.
  9.  Статистическое определение вероятностей.
  10.  Аксиоматическое определение вероятностей.
  11.  Понятие условной вероятности. Примеры.
  12.  Установите связь между условными и безусловными вероятностями для случая геометрического определения вероятностей.
  13.  Зависимые и независимые события. Примеры.
  14.  Формула умножения вероятностей.
  15.  Получите формулу сложения вероятностей для случая геометрического определения вероятностей.
  16.  Сформулируйте задачу, которую решает формула полной вероятности. Получите эту формулу.
  17.  Сформулируйте задачу, которую решает формула Байеса. Получите эту формулу.
  18.  Опишите схему испытаний Бернулли.
  19.  Математическая модель схемы испытаний Бернулли.
  20.  Какую задачу решает формула Бернулли. Получите формулу Бернулли.
  21.  Сформулируйте локальную теорему Муавра-Лапласа.
  22.  Сформулируйте интегральную теорему Муавра-Лапласа.
  23.  Опишите пуассоновский поток событий.
  24.  Получите формулу вычисления вероятности того, что за время t действия пуассоновского потока событие наступит m раз.
  25.  Понятие о цепях Маркова. Вычислений вероятностей P(i,j) перехода из состояния A(i) в состояние A(j) для дискретной однородной цепи с конечным числом состояний.

Глава II. Одномерные случайные величины.

  1.  Понятие случайной величины. Одномерные и многомерные случайные величины. Примеры.
  2.  Дискретные одномерные случайные величины. Понятие ряда распределения.
  3.  Функция распределения вероятностей одномерной случайной величины и ее свойства.
  4.  Построение функции распределения для дискретных одномерных величин.
  5.  Запишите формулу вычисления P(a≤x<b), зная F(x).
  6.  Плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины и ее свойства.
  7.  Запишите формулу для вычисления P(a<x<b), зная плотность распределения (х).
  8.  Понятие математического ожидания одномерной дискретной случайной величины, его смысл.
  9.  Получите формулу для вычисления математического ожидания для непрерывной одномерной случайной величины.
  10.  Понятие функции случайного аргумента. Получите формулу вычисления математического ожидания функции одного случайного аргумента.
  11.  Свойство математического ожидания. Какие случайные величины называются независимыми, зависимыми.
  12.  Понятие дисперсии случайной величины.
  13.  Получите вычислительную формулу дисперсии.
  14.  Свойство дисперсии.
  15.  Понятие о моде, медиане и квантили порядка p.
  16.  Моменты случайной величины, асимметрия, эксцесс.
  17.  Понятие характеристической функции. Записать характеристическую функцию для дискретной и непрерывной случайной величины.
  18.  Запишите характеристическую и кумулянтную функцию для:
    1.  нормального распределения;
    2.  биноминального распределения;
    3.  распределения Пуассона.
  19.  Свойства характеристической функции.
  20.  Вычисление начальных моментов, зная кумулянтную функцию.
  21.  Равномерное распределение случайной величины. Запишите для равномерного распределения функцию распределения, плотность, mx, Dx.
  22.  Показательное распределение. Запишите плотность распределения, mx, Dx.
  23.  Нормальное распределение. Охарактеризуйте его параметры.
  24.  Постройте график нормального распределения.
  25.  Приведите правило вычисления P(<x<) для нормальной величины.
  26.  Приведите правило вычисления Р(|x-a|<) для нормальной величины.
  27.  Докажите, что если Х – нормальная случайная величина, то величина Z=x+ также нормальна. Найдите М[Z] и D[Z].
  28.  Пусть Х и Y независимые нормальные случайные величины. Докажите, что величина Z=X+Y также нормальна. Найдите М[Z] и D[Z].
  29.  Понятие о центральных предельных теоремах Ляпунова. Сформулируйте теорему Ляпунова для одинаково распределенных случайных величин.
  30.  Докажите неравенство Чебышева.
  31.  Дать определение понятия сходимости по вероятности.
  32.  Сформулировать и доказать теорему о сходимости по вероятности последовательности .
  33.  Сформулируйте и докажите следствие из теоремы Чебышева о сходимости по вероятности последовательности , когда величины х1, х2, …, хn распределены по одному закону.
  34.  Сформулировать и доказать теорему Бернулли о сходимости по вероятности относительной частоты события к вероятности события в схеме с испытаниями Бернулли.
  35.  Сформулируйте и докажите теорему Пуассона о сходимости по вероятности относительно частоты наступления события к среднему арифметическому вероятностей этих событий.

Глава III. Многомерные случайные величины.

  1.  Как строится матрица распределения двумерной дискретной случайной величины.
  2.  Как найти ряды распределения случайной величины X и Y, зная матрицу распределения системы (X,Y) дискретных величин.
  3.  Дать определение функции распределения системы.
  4.  Запишите предельные значения функции распределения F(х,у) при х, х+, у, у+.
  5.  Докажите, что функция F(x,y)  не убывает по каждому аргументу.
  6.  Запишите формулу для вычисления Р(х1<X<x2, y1<Y<y2), зная функцию распределения F(x,y).
  7.  Докажите теорему о функции распределения для независимых случайных величин.
  8.  Понятие об условных функциях распределения. Правило умножения законов распределения.
  9.  Понятие плотности распределения системы.
  10.  Как, зная плотность распределения системы (х,у) найти Р((х,у)D).
  11.  Как найти функцию распределения системы F(х,у), зная плотность распределения (х,у).
  12.  Как найти функции распределения F1(х,у) и F2(х,у), зная плотность распределения (х,у) системы (Х,У).
  13.  Как найти плотность распределения 1(х) и 2(у), зная плотность распределения (х,у) системы (Х,У).
  14.  Плотность распределения системы для независимых случайных величин.
  15.  Понятие условных плотностей распределения. Правило умножения плотностей распределения.
  16.  Как, зная плотность распределения системы (х,у) найти плотность распределения случайной величины Z=(Х,У).
  17.  Получите формулы для вычисления математического ожидания величины Z=(Х,У) в дискретном и непрерывном случаях.
  18.  Понятие об условных математических ожиданиях и о кривых регрессии.
  19.  Понятие о ковариации и коэффициенте корреляции для независимых случайных величин.
  20.  Сформулируйте и докажите теорему о М[X+Y].
  21.  Сформулируйте и докажите теорему о М[XY].
  22.  Сформулируйте и докажите теорему о D[X+Y].
  23.  Запишите выражение для D[X+Y].
  24.  Докажите, что |rxy|≤1, где коэффициент корреляции.
  25.  Докажите теорему о коэффициенте корреляции величины X и Y=ах+b.
  26.  Понятие о линейной среднеквадратичной регрессии g(x) величины Y на Х. Запишите вид функции g(x).
  27.  Докажите теорему, характеризующую случай |rxy|=1.
  28.  Двумерное нормальное распределение. Охарактеризуйте его параметры.
  29.  Канонический вид двумерного нормального распределения.

Глава IV. Элементы математической статистики

  1.  Понятие выборки
  2.  Способы обработки выборки.
  3.  Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
  4.  Выборочные числовые характеристики величины Х.
  5.  Понятие оценки параметров распределения.
  6.  Требования к качеству оценки параметров распределения.
  7.  Метод максимума правдоподобия получения оценок.
  8.  Метод моментов Пирсона получения оценок.
  9.  Получите методом максимума правдоподобия оценки параметров нормального распределения.
  10.  Проверьте оценки параметров нормального распределения полученных методом максимума правдоподобия на несмещенность и на эффективность.
  11.  Понятие о доверительных интервалах.
  12.  Построение доверительного интервала для mx нормального распределения при известном .
  13.  Построение доверительного интервала оценки mx нормального распределения при неизвестном .
  14.  Построение доверительного интервала для оценки параметра нормального распределения.
  15.  Понятие о статических гипотезах. Построение критических областей.

  1.  



1. я РФ
2. Возможно я совершил ошибку создав человека теперь мне не будет покоя.html
3. Конституция - основной источник конституционного права
4. Скрещивание Drosophil melnogster
5. Лекция 7. Освоение чужой культуры Понятие и сущность аккультурации.html
6. 022003 СТРОИТЕЛЬНЫЕ НОРМЫ И ПРАВИЛА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИТЕПЛОВАЯ ЗАЩИТА ЗДАНИЙTHERML PERFORMNCE OF THE BUILDINGS.
7. вестернизация экономических и политических аспектов жизни многих стран мира позволяют многим делать пред
8. Речь как деятельность
9. завдання на основі прямих домовленостей рівноправності довіри і прозорості при прийнятті та реалізації ріш
10.  Задачи по изучению курса Предмет и метод истории отечественного государства и права её место в систе

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе