Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема 8. Системи рівнянь.
Системи рівнянь – це одне з понять, яке відоме ще зі школи. Але там зустрічалися системи, що містили дві невідомі змінні і для їх визначення було задано два рівняння, які виражали зв’язок між цими змінними. За допомогою системи рівнянь двох змінних можна знаходити точку беззбитковості та точку ринкової рівноваги та багато інших величин. Але системи рівнянь більше ніж двох змінних теж мають своє практичне значення. Будемо розглядати системи рівнянь, в яких кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих. Загальний вигляд лінійної системи рівнянь наступний
де числа aij називають коефіцієнтами системи, bi – вільними членами, а xi є шуканими невідомими системи рівнянь.
Для розв’язування систем рівнянь виділяють два методи. Перший з них – метод Крамера. Введемо наступні позначення, що будемо використовувати для даного методу
В цих позначеннях - це визначник матриці А, складеної з коефіцієнтів системи рівнянь, а i – визначник матриці А, але замість і-ого стовпчика стоїть стовпчик з вільними членами, xi – розв’язки системи рівнянь.
Справедлива наступна теорема
Теорема (для методу Крамера). Якщо визначник не рівний нулю, то система має єдиний розв’язок, а якщо =0, то система не має єдиного розв’язку.
Другий метод називається метод Гаусса. Цей метод являє собою послідовне виключення невідомих. Для системи
поступово будемо виключати змінні. Визначимо
схему методу Гаусса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
помножимо перше рівняння на аn1 та віднімемо від n-ого рівняння (щоб виключити змінну х1 з n-ого рівняння)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
помножимо друге рівняння на аn22 та віднімемо від n-ого рівняння (щоб виключити змінну х2 з n-ого рівняння)
і т. д.
Останній вигляд система буде мати
Звідси, послідовно рухаючись знизу вверх, почерзі визначаємо xn, xn-1,…,x1.
Приклад 54. Знайдемо розв’язок системи
Розглянемо два методи розв’язування цієї системи. Перший – метод Крамера. Для цього обчислимо потрібні в цьому методі визначники
Тепер розв’яжемо цю ж систему методом Гаусса і переконаємось, що ці методи дають одинаковий результат. Зауважимо, що можна поміняти рівняння системи для полегшення розв’язування
Контрольні питання з дисципліни “Вища математика”
17. Системи рівнянь (метод Крамера, метод Гаусса)
ЗМІСТ
Тема 1. Поняття функції. Основні функції в економіці. 3
Тема 2. Модель лінійного програмування. 9
Тема 3. Похідна функції та її застосування. 12
Тема 5. Фінансова математика. 28
Тема 6. Функції багатьох змінних. 33
Тема 7. Матриці. Визначники. 42
Контрольні питання з дисципліни “Вища математика” 51
EMBED Equation.3