Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
26
«Матрицы, действия с матрицами»
Основные определения
Матрицей А размера n×mназывается прямоугольная таблица из n строк и m столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений aij(называемых элементами матрицы), i = 1,2,3…m, j = 1,2,3…n
Матрица А с элементами aij обозначается так же (aij).
Матрица , у которой число строк равно числу столбцов , называется квадратной. Квадратную матрицу размера n×nназывают матрицейn-го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали , равны нулю , называется диагональной.- диагональная матрица 3-го порядка
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной.(Обозначается Е) - единичная матрица 3-го порядка
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
- треугольные матрицы 4-го и 3-го порядка
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. (обозначается О)
- нулевая матрица 3-го порядка
Матрица, содержащая один столбец (строку), называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка).
Матрица полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. (обозначается АТ)
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.
Операции над матрицами
Сложение
Суммой двух матриц называется матрица такая , что
Свойства операции сложения матриц
Умножение на число
Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что
Свойства операции умножения матрицы на число
1) (дистрибутивность относительно сложения матриц)
2) (дистрибутивность относительно сложения чисел)
3) (ассоциативность)
Произведение матриц
Операция умножение двух матриц вводится только для случая когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , такая что
Свойства операции умножения матриц
1) (ассоциативность)
2) (дистрибутивность)
3) (дистрибутивность)
Определители 2-го,3-го порядка
Любой квадратной матрице А n-го порядка можно поставить в соответствие выражение detA, которое называется определителем (детерминантом) матрицы А (обозначается Δ или ), следующим образом :
вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой
при вычислении определителя 3-го порядка удобно использовать правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записать так:
Свойства определителя
Минором некоторого элемента аijопределителя n – го порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца. (обозначается Мij)
Алгебраическим дополнение элемента аijопределителя n – го порядка называется его минор , взятый со знаком «плюс» , если i + j – четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная.(обозначается Аij)
Обратная матрица
Пусть А – квадратная матрица n-го порядка
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ не равен нулю: Δ . В противном случае (Δ=0) матрица называется вырожденной.
Обратной матрицей к квадратной матрицы А называется такая матрица (обозначается ), что , где E- единичная матрица того же порядка , что и А.
Присоединенной матрицей к квадратной матрицы А называется матрица , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы А.
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную
.(1)
Свойства обратной матрицы:
Метод присоединенной матрицы вычисления обратной матрицы к невырожденной матрицы А состоит в применении формулы (1).
Метод элементарных преобразований (метод Гаусса) вычисления обратной матрицы к невырожденной матрицы А состоит в следующем. Приписывая справа к матрице А размера единичную матрицу размера , получим прямоугольную матрицу размера . С помощью элементарных преобразований приведем её к треугольному виду , где матрица - треугольная, а затем к виду .
«Системы линейных уравнений»
Пусть дана система m линейный уравнений с n неизвестными
(1)
где числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами
Решением системы (1) такой набор чисел (), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений системы обращается в тождество.
Если система (1) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; система не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают.
Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.
Систему можно записать в матричной форме:
где - матрица системы,
- столбец неизвестных - столбец свободных членов
. Матрица - расширенная матрица системы.
Формулы Крамера
Пусть дана система m линейный уравнений с n неизвестными
если для системы m = n и detA ≠ 0 , то верны формулы Крамера для вычисления неизвестных
,
где , а являются определителями n – го порядка, которые получаются из путем замены в нем -го столбца столбцом свободных членов исходящей системы.
Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод)
Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными записана в матричной форме , где - матрица коэффициентов системы размера , - столбец неизвестных , - столбец свободных членов. Если определитель матрицы А не равен нулю, то система совместна и определена , ее решение задается формулой :
Решение системы линейных уравнений
методом Гаусса
Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме. Для того чтобы решить систему уравнений
выписывают расширенную матрицу этой системы
С помощью элементарных преобразований над строками приводим матрицу к ступенчатому виду. Полученной расширенной матрице соответствует система линейных уравнений, эквивалентная данной системе.
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размера m×n.
Выделим в ней k строк и k столбцов (k ≤ min (m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице A пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где - число сочетаний из n элементов по k.)
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rangA.
Очевидно, что 0≤r≤min (m;n), где min(m;n) – меньшее из чисел m и n.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Теорема 3.1 (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (3.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрица системы:
Исследовать систему линейных уравнений означает определить совместна она или нет, а для совместной системы –выяснить, определена она или нет. При этом возможно три варианта:
Векторы. Линейные операции над векторами
Векторомназывается направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, конец – в точке В, то вектор обозначается символом . Начало вектора называют также точкой его приложения.
Другое обозначение вектора а ().
Модулем вектора называется его длинна, т.е расстояние между его началом и концом, он обозначается через . Модуль вектора – скалярная неотрицательная величина.
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец, которого совпадают. Нулевой вектор обозначается символом . его модуль равен нулю, а направление не определено.
Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
Два вектора и называютсяколлинеарными,если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора , , называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными. Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными.
Вектор противоположный вектору , обозначается , а вектору - через .
Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называют сложение, вычитание, умножение вектора на число.
Суммой векторов и называют третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора при условии, что вектор отложен из конца вектора .
Вектор получается по правилу треугольника или по правилу параллелограмма (рис. 2).
Аналогично определяется сумма трёх и более векторов. Суммой n векторов , ,…, называют вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, конец- с концом последнего при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего (k= 1, 2, 3,…,n-1).такой способ построения суммы называется правилом замыкания ломаной ( рис. 3).
Разностьюдвух векторов и называется такойвектор , который при сложении с вектором даёт вектор : , если
Чтобы получить разность двух векторов и , необходимо отложить их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого.
Произведением вектора на число называется вектор , такой что , а направление совпадает с направлением при >0 и противоположно ему при <0 (рис. 4).
Проекция вектора на ось.
Прямая l с выбранным на ней направлением, принимаемым за положительное называется осью.
Проекцией вектора на ось lназывается число обозначаемое и равное
Где - угол между положительным направлением оси l и направлением вектора .
Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:
Скалярное произведение
Декартовы прямоугольные координаты
вектора в пространстве.
Данная формула выражает разложение вектора по базисным векторам ,,:
= x+ y+ z.
формула длины вектора через его координаты:
.
Рассмотрим два вектора =(x1,y1,z1) и = (x2,y2,z2),
+= (x1+x2,y1+y2,z1+z2),
т.е. координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат.
-=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)
т.е. координаты разности векторов равны разности соответствующих координат.
= (x,y,,z).
т.е. координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат вектора на .
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , образуемых им с осями координат. Исходя из определения проекции, имеем
Выражая косинусы, получаем
Направляющие косинусы связаны соотношением
Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам, т.е. , т.к . В частности, .
Если рассмотреть вектор заданный двумя точками и , то координаты вектор выражается формулой т.е. координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.
Формула длины вектора в этом случае принимает вид
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть l– некоторая прямая и АВ – отрезок на l.
Будем говорить, что точка С l делит отрезок АВ в отношении ,если .
Пусть координаты точки А(x1,y1,z1), точки B(x2,y2,z2). Найдём координаты точки С(x,y,z), делящий отрезок АВ в отношении .
,или в координатной форме,
(x-x1,y-y1,z-z1)= (x2-x,y2-y,z2-z).
Из условия равенства векторов и правила умножения вектора на число имеем: x-x1=(x2-x), y-y1=(y2-y), z-z1=(z2-z). Выражая искомые x,y,z, окончательно получаем
, , ().
Скалярное произведение
Векторное и смешанное произведение.
Векторное произведение.
Три некомпланарных вектора взятые в указанном порядке, образуют правую(левую) тройку векторов, если с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совещающимся против часовой стрелки (по часовой стрелки).
Векторным произведениемнеколлинеарных векторов и называется вектор , определяемый условиями:
1) вектор перпендикулярен векторам и , т.е. , ;
2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах , т.е.
3) тройка ,, - правая.
Векторное произведение обозначается или . Если вектора коллинеарны, то по определению
Свойства векторного произведения :
;
Если вектора и заданы своими координатами , , то векторное произведение равно
или
Для вычисления площади параллелограмма , построенного на векторах и применяется формула
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Обозначение: .
Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах. Смешанное произведение векторов положительно, если данные вектора образуют правую тройку, и отрицательно – если левую.
Свойства смешанного произведения векторов:
1. =====.
2. =+;
3. ==, где -число.
4.если компланарны.
Если вектора заданы своими координатами , , , то смешанное произведение равно
Полярная система координат. Уравнение прямой на плоскости
Полярная система координат
Выберем на плоскости некоторую фиксированную точку О – начало координатной системы, или полюс. Фиксированный луч с выбранным на нем единичным вектором и с началом в полюсе назовем полярной осью.
Положение любой точки М на плоскости можно определить упорядоченной парой чисел: длиной r радиус-вектора и углом между полярной осью и . Угол считается положительным, если направление вращения от оси к радиус-вектору берется против часовой стрелки. Запись M(r, ) показывает, что длина радиус-вектора || = r, а угол между полярной осью и радиусом равен . Числа r и называются полярными координатами точки М. Длина радиус-вектора r для разных точек плоскости может меняться от 0 до , полярный угол определяется с точностью до слагаемого, кратного 2.
Установим связь между декартовыми и полярными координатами точки М. Поместим начало декартовой системы координат в полюсе полярной системы и направим ось абсцисс по полярной оси.
Тогда
, (в декартовой системе)
и
(координаты в полярной системе)
Для построения линии, заданной уравнением в полярной системе координат, используют метод построения “по точкам”: вычисляют координаты ряда точек и соединяют эти точки плавной кривой.
Уравнение прямой на плоскости
Частные случаи этого уравнения:
Общее уравнение прямой можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак перед дробью берется противоположный знаку свободного члена С (в общем уравнении прямой)
где - длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно.
Вычисление угла между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Пусть две пересекающиеся в точке М прямые и задаются соответственно уравнениями с угловым коэффициентом
и
и общими уравнениями , условие перпендикулярности и параллельности прямых представлены в таблице
|
прямые |
условие параллельности прямых |
условие перпендикулярности прямых |
угол между прямыми |
Расстояние от точки до прямой :
Уравнение плоскости
Любая плоскость в пространстве Oxyzопределяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными.
Данное уравнение также называют уравнением пучка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением плоскостей имеет вид:
Частные случаи:
плоскость проходит через начало координат
плоскость параллельна оси Oz (аналогично для уравнений ,)
плоскость проходит через ось OzOz (аналогично для уравнений ,)
плоскость параллельна плоскости Оxy (аналогично для уравнений ,)
плоскость совпадает плоскости Оxy (аналогично для уравнений,)
где абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскостью осей координат.
где p- длина перпендикуляра, опушенного из начала координат на плоскость, углы, образованные единичным вектором с осями координат Ox, Oy, Oz.
Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель:
Знак перед дробью берется противоположный знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости).
Угол между плоскостями.
Углом между плоскостями в пространстве называют угол между нормальными векторами этих плоскостей. Если две плоскости заданы уравнениями: и , то величина угла между ними вычисляется по формуле:
Взаимное расположение плоскостей
Условие параллельности двух плоскостей:
Условие перпендикулярности двух плоскостей
Условие совпадение плоскостей:
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние d от точки до плоскости находим по формуле:
Уравнение прямой в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости
Кривые второго порядка
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет следующий вид:
При этом предполагается , что хотя бы один из коэффициентов А, В, С не равно нулю.
Любая линия второго порядка представляет собой либо окружность, либо эллипс, либо параболу, либо гиперболу. Другие случаи линий второго порядка называются вырожденными.
1. Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Окружностью называют множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки О на одно и тоже расстояние R. Точка О - центр окружности, R– радиус окружности. Пусть точка О в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты , а - произвольная точка окружности.
Тогда из условия получаем уравнение
то есть (1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением окружности. Это уравнение второй степени относительно х и у. Следовательно, окружность есть кривая второго порядка.
2. Эллипс
Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Обозначим фокусы через и , расстояние между ними 2с, а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокусов, через 2а (по условию 2а>2c).
Каноническое уравнение эллипса
(2)
Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Из симметрии эллипса следует, что кроме вершинB(0,b) и A(a,0) Эллипс имеет ещё две вершины и . Отрезки и соединяют противоположенные вершины эллипса, а так же длины 2а и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и bназываются большой и малой полуосями эллипса.
Отношение фокального расстояния к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается :
(3)
Так как с<a, то <1 . Эксцентриситет характеризует форму эллипса.
Две прямые, перпендикулярные к Ох и расположенные на расстоянии от центра, называются директрисами эллипса:
. (4)
3. Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Расстояние между фокусами и обозначим 2с, а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов 2а (0<2а<2с).
(5)
уравнение (5) называется каноническим уравнением гиперболы.
Прямые
и (6)
Называется асимптотами гиперболы.
Отношение фокального расстояния к длине действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается :
(7)
Директрисы гиперболы, как и директрисы эллипса, определяются уравнениями
. (8)
4. Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F, называется фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы p. Эта величина называется параметром параболы.
Уравнение директрисы имеет вид
(9)
Уравнение (9) называется каноническим уравнением параболы
«Функция. Преобразование
графиков функций»
Определение:
Переменная величина yназывается функцией переменной величины x, если каждому значению x, которое она может принимать, соответствует единственное значение y. Переменная xназывается независимой переменной или аргументом.
Совокупность всех значении аргумента, при которых функция имеет определенные действительные значение, называется областью определения функции.
Основные элементарные функции.
Элементарными функциями называется функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций (формирование сложной функции) применимое конечное число раз.
Графиком функции называется множество точек плоскости ХОУ с координатами , где xпринадлежит области определения функции.
Построение графиков.
Построение графика аналитической заданной функции по точкам выполняется в следующем порядке
При построении графика воспользуемся следующими правилами: Пусть известен график функции y=f(x), тогда график функции:
|
1. |
y1=f(–x) |
есть зеркальное отражение относительно оси Oy, |
|
2. |
y2=–f(x) |
есть зеркальное отражение относительно оси Ox, |
|
3. |
y3=f(x–a) |
есть смещение вдоль оси Ox на величину a, |
|
4. |
y4=f(x)+b |
есть смещение вдоль оси Oy на величину b, |
|
5. |
y5=f(ax) |
есть сжатие (a>1) или растяжение (a<1) вдоль оси Ox в a раз, |
|
6. |
y6=bf(x) |
есть растяжение (b>1) или сжатие (b<1) вдоль оси Oy в b раз. |
|
7. |
Отображение функции, располагающейся ниже оси ОХ , выше оси |
Отметим, что вместо смещения графиков вдоль координатных осей можно смещать сами оси координат, но только в противоположную сторону.
«Предел последовательности»
Определение:
Пусть каждому натуральному числу nпо некоторому закону поставлено в соответствие действительное число . В этом случае говорят, что задана последовательность: . Число называется первым членом (элементом) последовательности, - вторым, - общим или n – м членом последовательности.
Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Она позволяет вычислить любой член последовательности по номеру .
Определение:
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство
В противном случае последовательность называется неограниченной.
Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого nвыполнятся неравенство (). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность. Все эти последовательности называются монотонными последовательностями.
Определение.
Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такой номер , зависящей от , что для всех выполняется неравенство .
В этом случае пишут или и говорят, что последовательность имеет предел, равный числу .
«Предел функции»
Определение:
Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число ( зависящее от ), что для всех таких, что , выполняется неравенство .
Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел:
Часто используются следующие следствия из замечательных пределов:
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение:
Функция называется бесконечно малой при (или в окрестности точки ), если
Теорема 1.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Теорема 2.
Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Следствие 1.
Произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Следствие 2.
Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая.
Следствие 3.
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Сравнение бесконечно малых функций
Две бесконечно малые функции сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть бесконечно малые функции при
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют эквивалентные бесконечно малые функции.
Определение:
Если , то и называются эквивалентными функциями. Обозначается . Например, при , так как
Эквивалентные функции при
Теорема 3.
Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую функцию или одну заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Теорема 4.
Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
На основе данных теорем можно сделать вывод, что для раскрытия неопределенности можно использовать бесконечно малые функции.
Определение непрерывности по Коши (нотация )
Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножествоB действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению
выполняется неравенство
Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции
Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство
где .
Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.
Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Точки разрыва функции
Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности, называются точками разрыва функции. При этом различают два рода точек разрыва функции.
Если при слева функция имеет конечный предел , а при справа функция имеет конечный предел и , то говорят, что функция при имеет разрыв первого рода. Разность определяет скачок функции в точке . Значение функции при при этом может быть равно какому угодно числу .
Если значение функции при равно , то говорят, что функция непрерывна слева; если же , то говорят, что функция непрерывна справа.
Если говорят, что функция имеет в точке устранимый разрыв.
Если при справа или слева, предел функции не существует или равен бесконечности, то есть , то говорят, что при функция имеет разрыв второго рода.
Определение: функция непрерывна в точке , если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке: .
Определение детализируется в следующих условиях:
1) Функция должна быть определена в точке , то есть должно существовать значение .
2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это подразумевает существование и равенство односторонних пределов: .
3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке: .
Если нарушено хотя бы одно из 3-х условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке .
Комплексные числа
Действия над комплексными числами
Основные элементарные функции комплексного переменного
Аналитические функции