Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 216
Лекция 11. элементы квантовой механики
[1] гл. 28
План лекции
1.Волновые свойства микрочастиц. Гипотеза де Бройля.
2.Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
3.Волновая функция. Уравнение Шрёдингера.
1.Волновые свойства микрочастиц. Гипотеза де Бройля.
Микрочастицами называются элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны, фотоны, и др. простые частицы), а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов).
Идея о существовании у микрочастиц волновых свойств и о связи длины волны частицы с её импульсом принадлежит французскому физику Луи де Бройлю.
В результате углубления представлений о природе света выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм.
В 1924г. де Бройль выдвинул гипотезу о том, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют и волновые, он перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Согласно формуле Планка, непосредственно связывающей волновые и корпускулярные свойства электромагнитных волн, энергия фотона равна
.
Согласно релятивистской формуле, связавшей массу и энергию,
.
Тогда импульс р, которым обладает фотон, связан с соотношением
.
По идее де Бройля, микрочастица обладает волновыми свойствами и её длина волны определяется соотношением
.
Гипотеза де Бройля была впервые подтверждена экспериментально в 1927г. американскими физиками К. Девисоном и Л. Джермером, которые направили на грань монокристалла никеля пучок моноэнергетических электронов. При соударении с кристаллом пучок рассеивался во все стороны, а отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом, присоединенным к гальванометру (рис. 1а). Исследование этого рассеяния показало, что существовали такие направления, в которых наблюдалось максимальное количество рассеянных электронов, а в других – минимальное (рис. 1б). Наличие максимумов свидетельствовало о механизме отражения, характерного для волнового процесса. Интенсивность отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего через гальванометр. Наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решетке никеля.
Д. Томсон (1927г.) и независимо от него российский ученый П.С. Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу.
В 1948г. российские физики Н.Г. Сушкин и В.А. Фабрикант получили дифракционную картину, явившуюся результатом прохождения отдельных электронов сквозь тонкую металлическую фольгу и их дифракции на кристаллической решетке металла, то есть было доказано, что волновые свойства присущи отдельному электрону.
2.Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
Микрочастицы, особенно такие легкие как электрон, ведут себя, в зависимости от условий, то почти так же как "настоящие" частицы, то совсем иначе. Если при движении частицы её импульс не меняется или меняется медленно, то микрочастица ведёт себя почти так же, как классическая частица. Но если импульс меняется быстро (при движении электрона вокруг ядра по орбите малого радиуса, когда импульс быстро меняет своё направление), микрочастица ведет себя совершенно иначе чем обычные частицы, скорее как волна. Говорят, что микрочастицы обладают волновыми свойствами.
Волновые свойства микрочастицы выражены сильнее или слабее в зависимости от быстроты изменения импульса. Чем быстрее меняется импульс, тем сильнее выражены волновые свойства микрочастицы. Можно ли предсказать, а когда волны и микрочастицы будут вести себя подобно макрочастицам (т.е. проявляются корпускулярные свойства) и когда их поведение будет качественно другим? Оказывается, это возможно. Микрочастицы будут двигаться в данном направлении подобно обычным большим частицам, если их движение в этом направлении не определяется большими действующими силами или не стеснено узкими рамками.
Если свет проходит через щель, ширина которой велика по сравнению с длиной волны (рис. 2), его поведение подобно поведению классических частиц (корпускул). Если уменьшить ширину щели, то при волны начнут распространяться не только в первоначальном, но и в других направлениях, огибая края щели (дифракция).
Аналогично для микрочастиц: чем уже щель, тем сильнее ограничение движению частиц, и как бы протестуя против этого, микрочастицы огибают края щели, приобретая разнообразные импульсы в направлении (рис. 3).
До щели импульс частиц в направлении равнялся нулю, т.е. был строго определенным. После щели импульс в направлении для разных микрочастиц различен. Обозначим неопределенность (максимальный разброс) в импульсе вдоль оси через , а импульс до прохождения через щель р. Чем больше отношение , тем больше возможное отклонение микрочастицы от первоначального направления, т.е. тем больше отношение .
; т.к. , то .
Это знаменитое соотношение неопределенностей, принадлежащее одному из основателей квантовой механики В. Гейзенбергу (1927г.). Его смысл – реакция частицы на локализацию, т.е. на ограничение её пространственного движения. Чем меньше область , в которой вынуждена двигаться частица, тем больше у неё неопределенность в импульсе .Можно теоретически доказать (Г. Вейль), что наименьшим возможным является произведение флуктуаций
. (1)
Принцип неопределенности Гейзенберга: волновая природа микрочастиц приводит к тому, что микрочастица не может иметь одновременно определенную координату и компоненту импульса . Неопределенности значений и удовлетворяют соотношению (1).
Аналогичные соотношения имеют место для и , и .Таким образом, Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой, и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определенную координату и определенную собственную проекцию импульса ), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям
, , . (2)
Т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.
В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии и времени t, т.е. неопределенность этих величин удовлетворяет условию
.
Если длительность пребывания частицы в данном состоянии рана , то неопределенность энергии частицы в этом состоянии составляет .
Соотношение неопределенностей является одним из фундаментальных положений квантовой механики.
Рассмотрим, к каким результатам приводят эти соотношения. Если велико по сравнению с атомными размерами (т.е. с 10-10м), то ограничения на движение частицы, накладываемые соотношением (1), не является существенными.
Пусть для пылинки с координата определена с точностью .
, , , .
Такая неопределенность не играет никакой роли при любых скоростях, т.е. можно считать, что такое макроскопическое тело имеет одновременно определенное значение и .
Для электрона в атоме в наиболее грубом случае координату можно определить с точностью до размеров атома, т.е. .
.
Но такую же по порядку величину имеет и сама скорость электрона в атоме, . Следовательно, скорость электрона имеет значение в интервале , , т.е. от 0 до 2·106м/с, т.е. оказывается совершенно неопределенной (а, следовательно, и импульс не определен).
3.Волновая функция. Уравнение Шрёдингера.
Если частицы обладают волновыми свойствами, то можно говорить не только о длине волны, присущей данной частице, но и об амплитуде этой волны, и о её интенсивности, т.е. частица должна быть некоторым образом размазана по пространству, и в какой-то области пространства её должно быть больше, а в какой – то меньше.
Наличие максимумов и минимумов в опыте Девисона и Джемера было связано с большей и меньшей интенсивностью волн, присущих отраженным электронам. Следовательно, интенсивность волн де Бройля в данной области пространства определяет число частиц, попавших в эту область. Согласно М.Планку, интенсивность волн де Бройля является мерой вероятности того, что частицы находятся в данной области пространства. Для определения вероятности нахождения частицы в данном объеме пространства была введена некоторая функция – волновая функция или пси-функция. Она выбирается такой, чтобы вероятность нахождения микрочастиц в объеме была пропорциональна квадрату модуля пси-функции и элементу этого объема:
. (3)
Тогда отношение к величине объема есть плотность вероятности нахождения частицы.
–плотность вероятности нахождения частицы в данной области пространства.
Т.к. эта частица где – то в пространстве имеется, или - условие нормировки - функции.
Условие нормировки утверждает объективность существования частицы в пространстве.
Волновая - функция является основной характеристикой состояния микрообъектов в квантовой механике. Она не позволяет однозначно определять положение частицы в пространстве, а дает лишь возможность найти вероятность обнаружения частицы в данной области пространства.
Согласно М. Борну (1926г.), квадрат модуля - функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема .
Уравнение Шрёдингера.
Наличие у микрочастиц волновых свойств делает невозможным применение в квантовой механике законов классической физики, в частности, законов Ньютона.
Необходимо было записать уравнение, с помощью которого, зная начальные условия, можно было бы рассчитать параметры волн де Бойля и вероятность нахождения частицы в любой момент времени. Такое уравнение было записано швейцарским физиком Шредингером в 1926г. Оно не выводилось теоретически, а постулировалось. Подтверждением его правильности явилось то, что все вытекающие из него следствия подтверждались опытными фактами. Для частицы, находящейся в стационарном силовом поле (электрическом, гравитационном) оно имеет вид:
, (4)
где –оператор Лапласа,
–масса частицы,
–полная энергия частицы,
–потенциальная энергия частицы силовом поле.
В этом случае не зависит от (т.к. поле стационарно).
Уравнение (4) применимо для частиц, скорости которых малы по сравнению со скоростью света; для больших скоростей имеется более точное уравнение Дирака.
–плотность вероятности нахождения частиц в окрестностях интересующей нас точки с координатами .
Согласно (3), вероятность нахождения частицы в определенной точке равна нулю, т.е. в квантовой физике имеет смысл определять вероятность нахождения частицы только в некоторой, не равной нулю, области пространства.
Из смысла - функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию частицы, а может лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. В применении к микрочастицам понятие определенного местоположения и траектории вообще теряет смысл.
Рассмотрим решение уравнения Шрёдингера для случая, когда частица находится в "потенциальной яме" шириной с потенциальными плоскими вертикальными "стенками". В этом случае она может двигаться только вдоль оси между точками с координатой (рис. 4) и в этих пределах потенциальная энергия силового поля равна нулю, а как только частица выходит за указанные пределы, потенциальная энергия поля становится бесконечно велика и поле моментально "загонит" частицу обратно, вернее, оно просто не даст частице выскочить за пределы "ямы".
По условию задачи (бесконечно высокие "стенки"), частица не проникает за пределы "ямы", поэтому вероятность её обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами "ямы" равна нулю. На границах "ямы" (при ,) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид
.
В пределах "ямы" () уравнение Шредингера сведется к уравнению
.
Обозначим .
,
Т.к. , , т.е. , .
Т.к., , , т.е. ,
, =, (n=1,2,3,….),
.
Таким образом, частица в такой "потенциальной яме" может иметь лишь дискретный набор значений энергии – спектр энергии (рис. 5).
Из рисунка 5 следует, что в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в середине "ямы", в то время как одинаково часто может пребывать в её левой и правой частях. Такое поведение не совместимо с представлением о траектории.
Г
Рис. 1
а)
б)
х
х >>
px = 0
X
Рис. 2
х
х ~
px 0
X
Рис. 3
U
U=0
U
x
EMBED Equation.3
0
Рис. 4
0
EMBED Equation.3
х
n
E
n(x)
2
1
3
E3
E2
Е1
0
EMBED Equation.3
х
n
E
n(x)2
3
2
1
E3
E2
E1
Рис. 5