Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторна робота № 5
ПРОГРАМНЕ МОДЕЛЮВАННЯ МАШИННИХ АЛГОРИТМІВ ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ ЧИСЕЛ З ПЛАВАЮЧОЮ КРАПКОЮ
Мета роботи: Розглянути машинні алгоритми виконання операцій додавання та віднімання над числами у форматі з плаваючою крапкою.
Теоретичні відомості:
Будь-яке число Х в позиційній однорідній системі числення з основою р можна записати як X = M*PK, де М називають мантисою числа Х, а К – порядком цього числа (наприклад, X = 0,4*108, то М = 0,4, Р = 10 , К = 8). Інакше порядок числа називають експонентою. Власне кажучи, число PK є масштабним коефіцієнтом, на який необхідно помножити число М для того, щоб уникнути переповнення розрядної сітки.
У форматі представлення чисел з плаваючою крапкою, виділяються 3 частини: знак числа (представляється вкрай лівим бітом формату); мантиса числа (представляється у вигляді правильного або неправильного двійкового дробу); порядок числа (представляється в загальному вигляді як ціле число зі знаком). Значення числа А з плаваючою крапкою, представляється у виді :
Апк=(sign A)-1*Ma*SPa
де sign A - знак 0 - «+», 1 - «-»
SPa - порядок числа А, S - підстава порядку.
Число з плаваючою крапкою, називається нормалізованим, якщо старша цифра його мантиси значуща (не 0), у противному випадку число називається не нормалізованим.
Основними особливостями представлення чисел з плаваючою крапкою, у сучасних ЕОМ є :
Ця особливість полегшує обробку порядку при виконанні арифметичних операцій. Величина зсуву дорівнює або вазі старшого розряду порядку, або на одиницю менше. Зміщений порядок прийнятий називати характеристикою числа.
Ці формати мають найменування :
а) короткий (одинарної точності) - 32 біта;
б) довгий (подвійної точності) - 64 біта;
в) розширений (розширеної точності) - 80 біт.
Перехід від короткого формату до розширеного супроводжується підвищенням розрядності як мантиси так і порядку.
Короткий формат (В мові програмування PASCAL має назву SINGLE):
31 30 24 23 0
|
sign |
характеристика |
Мантиса |
Подвійний формат (В мові програмування PASCAL має назву DOUBLE):
63 62 53 52 0
|
sign |
характеристика |
Мантиса |
Розширений формат (В мові програмування PASCAL має назву EXTENDED):
79 78 64 63 0
|
Sign |
характеристика |
Мантиса |
У мові програмування Pascal існує ще один тип даних з плаваючою крапкою REAL, який має довжину 6 байт і відрізняється від типу SINGLE тим, що має мантису на 2 байти довшу.
47 46 40 39 0
|
sign |
характеристика |
Мантиса |
Схована одиниця має місце в короткому і довгому форматах, у розширеному форматі вона представляється в явному виді. Величина зсуву визначається як вага старшого розряду характеристики, зменшена на одиницю.
Додавання чисел з плаваючою крапкою. Нехай задано два числа у нормалізованому вигляді:
де, - мантиси у формі з фіксованою крапкою перед старшим розрядом у нормалізованій формі ,
знакові числа з фіксованою крапкою після молодшого розряду.
Треба знайти результат алгебраїчного додавання цих чисел: С=А+В, при цьому, зрозуміло, що С=срmс – число з плаваючою крапкою, оскільки для того, щоб знайти суму двох чисел з різними порядками їх треба попередньо звести до спільного порядку, тобто перетворити один з доданків, наприклад, В таким чином
(mзаг-mа)
Після цього можна степінь основи системи числення у загальному степені винести за дужки і виконати лише додавання мантис:
Наприклад.
Мантиса числа В після перетворення повинна бути правильним дробом з тим, щоб при додаванні нічим не відрізнятися від звичайних (неперетворених) мантис. Тому перетворенню підлягає завжди менший доданок, оскільки у протилежному випадку відбувається переповнення розрядної сітки мантиси числа, яке перетворюється.
При цьому треба зробити "перенесення" крапки вліво на ma–mb – позицій (зсув мантиси вправо). При цьому частина розрядів мантиси може втратитись. Тому арифметичні дії над числами з плаваючою крапкою по своїй суті є наближеними, а не точними. При додаванні чисел в нормальній формі можна виділити 4 етапи.
Етапи алгебраїчного додавання чисел з плаваючою крапкою:
1. Урівноваження порядків доданків.
Менший порядок збільшується до більшого, а мантиса перетвореного числа зсувається вправо на відповідну кількість розрядів:
Знак і модуль різниці будуть визначати відповідно, який з доданків треба перетворити і на скільки розрядів слід зсунути їх мантису.
Якщо Z=0, то нічого не перетворюється, а при Z>0 перетворюється число В, інакше перетворюється число А.
При цьому молодші розряди числа, що перетворюється, можуть пропадати, в наслідок чого в доданок, зсунутий вправо, вноситься похибка.
2. Відбувається перетворення мантис доданків в один з спеціальних кодів (додатковий або обернений).
3. Виконується додавання мантис за правилами додавання чисел з фіксованою крапкою у відповідному спеціальному коді.
4. Потім результат переводиться в прямий код відбувається нормалізація результатів (при необхідності) до нього додається загальний порядок доданків і виконується округлення мантиси результату.
В залежності від абсолютних величин мантис доданків сума може одержуватися:
Треба відмітити, що додані нормалізовані числа завжди мають 1 в р-1 розряді, а від'ємні в оберненому та додатковому кодах 0 в р-1.
Приклади. Нехай для подання чисел з плаваючою крапкою буде: n=8, m=4.
Знаковий розряд порядка
Знаковий розряд мантиси
|
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-7 |
2 |
1 |
0 |
||
|
Sa |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-7 |
Sm |
m 2 |
m 1 |
m 0 |
m=4
n=8
і всі операції будуть виконуватися в додатковому коді.
а) А=-0,101012101
В=0,110012011
Апр=1|1010100||0|101
Впр=0|1100100||0|011
Z=ma-mb=102=2>0.
mзаг=0|101, ma>mb, необхідно зробити зсув мантіси числа B вправо на два розряди:
Впр=0|0011001||0|101
b'пр=0|0011001=в'дод
адод= 1|0101100
+
співпадання числа в знаковому розряді і в старшому розряді – ознака денормалізації вправо.
в’дод= 0|0011001
сдод = 1|1000101
соб=1|1000110
спр=1|0111011
спр=1|0111011||0|101 – мантиса денормалізована вправо на один розряд, тому необхідно зробити корекцію порядку:
m’=mзаг-1=101-1=100
відсікання, оскільки в результаті значущих цифр на одну більше ніж у вхідних даних!
Тоді спр=1|111011||0|100
С=-0,1110112100
б) А=-0,101012101
В=-0,110012100
mзаг=101, тому в мантисі В треба зробити зсув на 1 порядок вправо.
Апр=1|1010100||0|101
Впр=1|1100100||0|100
Впр'=1|0110010||0|101
адод= 1|0101100
переповнення (від'ємне) розрядної сітки, тому має місце денормалізація результата вліво.
в’дод= 1|1001110
сдод=10|1111010
При цьому треба мантису результату зсунути на один розряд вправо, а порядок збільшити на 1.
Сдод=1|0111101||0|110
Соб= 1|0111100
Спр= 1|1000011 (є відсікання)
С=-0,100012110
Зауваження.
1. Слід відмітити, що додатні нормалізовані числа завжди мають 1 у розряді , а відємні числа записані в інтервальному коді (додатковому або оберненому), мають 0 в розряді . Тому у нормалізованих чисел значення цифр розрядів з вагою р0 і р-1 не співпадають ні для додатних чисел, ні для зображень від'ємних чисел. В наслідок цього неспівпадання цифр у знакових розрядах свідчить про денормалізацію вліво (переповнення), а співпадання цифр знакового і старшого розрядів мантиси – про денормалізацію вправо.
2. При денормалізації результата вліво, мантиса результата (разом із знаковим розрядом) зсувається на один розряд вправо, а порядок – збільшується на один розряд, оскільки сума двох мантис може бути денормалізована вліво не більше ніж на один розряд.
3. При денормалізації вправо мантиса зсувається вліво (без знакового розряду) до появи в старшому розряді 1, при с>0, або 0 при с<0, а з порядку віднімається число одиниць, яке дорівнює кількості зсувів мантиси.
4. Кількість зсувів, як правило обмежується кількістю розрядів суматора, оскільки процес зсуву може бути нескінченним, якщо с=0. (мантиса =0). В цьому випадку після (n-1) зсувів результат покладається рівним машинному 0. Обнулення відбувається і тоді коли порядок числа внаслідок зсуву мантиси вліво зменшиться до числа меншого ніж допустиме число.
5. При додаванні може відбутися справжнє переповнення розрядної сітки числа, тобто переповнення розрядної сітки порядку. В даному випадку в ЕОМ формується сигнал про переповнення порядку.
Віднімання чисел у форматі з плаваючою крапкою відбувається шляхом додавання першого доданка до другого зі знаком мінус. Тобто потрібно змінити знак другого доданку на протилежний і виконати вищеописаний алгоритм додавання.
В системах команд сучасних ЕОМ є великій набір команд на виконання операцій додавання і віднімання як з довгими, так і з короткими операндами, з нормалізацією і без нормалізації.
Хід роботи
Варіант: Перше число: 12.890, друге число: 6;
Блок-схема:
Блок-схема процедури Sum:
j:=n до 1; i:=i-1
Вхід
r:=0;
ord(b[j])+ord(c[j])-96+r>1
c[j]:='0';
c[j]:='1'
+
+
-
ord(b[j])+ord(c[j])-96+r=1
ord(b[j])+ord(c[j])-96+r>2
c[j]:='0';
c[j]:='1'
+
+
-
-
r:=0;
r:=1;
Вихід
-
Блок-схема функції Dod:
Вхід
a:=b;
i:=length(a);
a[i]<>'1'
+
dec(i);
-
-
i:=i-1 до1;i:=i-1
a[i]:='1'
a[i]:='0';
a[i]='0'
+
-
+
DOD:=a;
Вихід
Блок-схема функції ERROR:
Вхід
ERROR:=FALSE;
i:=1 до length(a); i:=i+1
(a[i]<>'1')and(a[i]<>'0')
+
ERROR:=TRUE
-
+
-
Вихід
Блок-схема функції Plus:
Вхід
a1:=copy(a,2,8);
c:=a1;
a1:=b1;
b1:=c;
c:=a;
a:=b;
b:=c;
insert('000',a1,1); sum('01110000000',a1,11); delete(a,2,8); insert('0000000000000000000000000000',a,25); insert('01',a,2);
delete(b,2,11); insert('01',b,2);
b1:=copy(b,2,11);
a1<b1
+
-
a1<>b1
Sum('00000000001',b1,11); insert('0',b,2); delete(b,55,1);
+
a[1]='1'
-
a:=DOD(a);
+
-
b[1]='1'
b:=DOD(b);
+
-
1
1
a[1]='1'
DOD(a);
+
-
sum(b,a,55);
a[2]='1'
Plus:=a;
+
-
delete(a,2,1); delete(a,53,1); sum('00000000001',a1,11);
(a[3]<>'1')and(a1>'00000000000')
delete(a,2,1); insert('0',a,55); sum('11111111111',a1,11);
delete(a,2,2);
insert(a1,a,2);
Вихід
Блок-схема процедури Input:
Вхід
1| Vvodutu v rychny
2| Vvodutu yak konstanty
k:=readkey;
f:=True;
1
1
K=1
A -->
+
a
Error(a))or(length(a)<>64
'Ne pravulno!'
f:=False;
Error(b))or(length(b)<>64
_
B -->
b
+
'Ne pravulno!'
+
f:=False;
a:=x1;
b:=x2;
Вихід
Блок-схема програми Lab5:
Вхід
Input(a,b,f);
1
1
f
plus(a,b)
+
-
Кінець
Program LAB_5;
uses crt;
const x1='010010110011101011100000000000000000000000000000000000000000000';
x2='110000110000000000000000000000000000000000000000000000000000000';
var a,b:string;
f:boolean;
procedure SUM(b:string; var c:string;n:integer);
var j,r:integer;
begin
r:=0;
for j:=n downto 1 do
begin
if ord(b[j])+ord(c[j])-96+r>1 then
begin
if ord(b[j])+ord(c[j])-96+r>2 then c[j]:='1'
else c[j]:='0';
r:=1;
end
else
begin
if ord(b[j])+ord(c[j])-96+r=1 then c[j]:='1'
else c[j]:='0';
r:=0;
end;
end;
end;
Function DOD(b:string):string;
var i:integer;
a:string;
Begin
a:=b;
i:=length(a);
while a[i]<>'1' do dec(i);
for i:=i-1 downto 2 do if a[i]='0' then a[i]:='1'
else a[i]:='0';
DOD:=a;
end;
Function ERROR(a:string):boolean;
var i:integer;
begin
ERROR:=FALSE;
for i:=1 to length(a) do if (a[i]<>'1')and(a[i]<>'0') then ERROR:=TRUE;
end;
Function Plus(a,b:string):string;
var a1,b1,c:string;
begin
(*A*) a1:=copy(a,2,8);
insert('000',a1,1);
sum('01110000000',a1,11);
delete(a,2,8);
insert('0000000000000000000000000000',a,25);
insert('01',a,2);
(*B*) b1:=copy(b,2,11);
delete(b,2,11);
insert('01',b,2);
if a1<b1 then
begin
c:=a1;
a1:=b1;
b1:=c;
c:=a;
a:=b;
b:=c;
end;
while a1<>b1 do
begin
Sum('00000000001',b1,11);
insert('0',b,2);
delete(b,55,1);
end;
if a[1]='1' then a:=DOD(a);
if b[1]='1' then b:=DOD(b);
sum(b,a,55);
if a[1]='1' then DOD(a);
(* Normalizazzia *) if a[2]='1' then
begin
delete(a,2,1);
delete(a,53,1);
sum('00000000001',a1,11);
end
else
begin
while (a[3]<>'1')and(a1>'00000000000') do
begin
delete(a,2,1);
insert('0',a,55);
sum('11111111111',a1,11);
end;
delete(a,2,2);
end;
insert(a1,a,2);
Plus:=a;
end;
Procedure Input(var a,b:string;var f:boolean);
var k:char;
begin
writeln('1| Vvodutu v rychny');
writeln('2| Vvodutu yak konstanty');
k:=readkey;
f:=True;
case k of
'1' : begin
Write('A --> '); readln(a);
if (Error(a))or(length(a)<>32) then
begin
writeln('Ne pravulno!');
f:=False;
end
else
begin
Write('B --> '); Readln(b);
if (Error(b))or(length(b)<>64) then
begin
writeln('Ne pravulno!');
f:=False;
end;
end;
end
else begin
a:=x1;
b:=x2;
end;
end;
end;
begin
clrscr;
Input(a,b,f);
if f then writeln(plus(a,b));
readkey;
end.
Ця програма призначена для додавання в двійковій системі в форматі DOUBLE з плаваючою крапкою. Ввівши свої дані до програми я отримав такі результати:
Висновок. Виконуючи лабораторну я ознайомився з програмним моделюванням машинних алгоритмів додавання та віднімання чисел з плаваючою крапкою. Також я проаналізував програму, до якої ввів свої дані в форматі DOUBLE.